Hallo Magda, hier mein Lösungsvorschlag ▶ Wenn man das obere blaue Dreieck nach unten klappt, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck, da die beiden Winkel, die zusammenkommen, 90° ergeben (α+β = 90°). Ablau= 3*4/2 Ablau= 6 cm²
Think outside the box. Als ich den Tipp mit dem Herunterklappen hörte war es mich auch klar. 1/2 * 3 * 4 = 6 Aber die Länge der Hypotenuse hab ich auch sofort gesehen > 5 Denn das ist ein klassisches 3-4-5 Dreieck wo man auch eine 12-Knoten-Schnur draus machen kann. 😁
Jetzt könnte man auch noch die Seitenlänge a des Quadrats leicht berechnen. Die Hypothenuse des zusammengeklappten Dreiecks ist nämlich 5 cm lang (3, 4, 5 ist ein pythagoräisches Zahlentripel - oder man rechnet es mit Pythagoras geschwind aus: 16+9=25). Und a ist die Höhe von der Hypothenuse aus gesehen. Also ist a = 6 cm² · 2 / 5 cm = 2,4 cm.
Lösung: Wenn man das obere Dreieck 'nach unten klappt', erhält man ein komplett blaues rechtwinkliges Dreieck, dass die Katheten 3cm und 4cm hat. Damit hat das Dreieck einen Flächeninhalt von 1/2 * 3cm * 4cm = 6cm² Noch als Erklärung: Es entsteht ein Dreieck, weil die Breite des oberen Dreiecks exakt der Höhe des unteren Dreiecks entspricht, da es sich im fehlenden Bereich ja um ein Quadrat handelt. Es entsteht ein *rechtwinkliges* Dreieck, weil man einen gestreckten Winkel, also 180°, um 90° - nämlich die Ecke des Quadrats - verringert und so einen neuen 90° Winkel erzeugt.
Mir ist dieses Video erst heute über den Weg gelaufen, und leider war mein Adlerauge nicht scharf genug um auf die "Klapplösung" zu kommen. Also, auf die etwas langwierigere Tour: Die blauen Dreiecke haben Seitenlängen (a,s,3) und (s,b,4), wobei s auch die Seitenlänge des Quadrats ist. Kurz vorweg, Pythagoras an den blauen Dreicken: a²+s² = 3² und b²+s² = 4². Gesucht ist dann die Summe der Flächen der beiden blauen Dreiecke, also (as+bs)/2. Pythagoras am ganz großen Dreieck: (a+s)² + (b+s)² = (3+4)² Ausmultipliziert: a² + 2as + s² + b² + 2bs + s² = 7² Etwas umgeformt: a²+s² + b²+s² + 2(as+bs) = 49 Und nun können wir a²+s² durch 3² ersetzen, und b²+s² durch 4²: 9 + 16 + 2(as+bs) = 49 2(as+bs) = 49-16-9 = 24 Dann brauchen wir nur noch durch 4 teilen: (as+bs)/2 = 24/4 = 6
Ja... Stichwort ähnliche Dreiecke. Wenn die Seite des weißen Quadrats a ist, dann hat das obere Dreieck die Katheten 3a/4 und a und das untere Dreieck die Katheten a und 4a/3. Und da kann man Pythagoras anwenden, um a auszurechnen: 9a²/16 + a² = 9 cm² 25a²/16 = 9 cm² 5a/4 = 3 cm a = 2,4 cm Oder: a² + 16a²/9 = 16 cm² 25a²/9 = 16 cm² 5a/3 = 4 cm a = 2,4 cm Die Fläche des oberen Dreiecks ist: A = 3a/4 · a / 2 = 3a²/8 = 2,16 cm² Die Fläche des unteren Dreiecks ist: A = a · 4a/3 / 2 = 2a²/3 = 3,84 cm² Gesamtfläche: A = 2,16 cm² + 3,84 cm² = 6 cm² Man könnte auch die Fläche des ganz großen Dreiecks mit Hypotenuse 7 cm ausrechnen und dann das Quadrat abziehen, aber ich denke, so geht es schneller.
Dann wollen wir doch mal einen Schuss ins Blaue riskieren: . .. ... .... ..... Es seien a und b die Längen der horizontalen und vertikalen Katheten des äußeren rechtwinkligen Dreiecks und c=3cm+4cm=7cm sei die Länge der zugehörigen Hypotenuse. Außerdem sei s die Seitenlänge des weißen Quadrats. Da die beiden blauen Dreiecke offensichtlich ähnlich zueinander sind, finden wir hier jeweils gleiche Werte für das Verhältnis von horizontaler Kathete zu Hypotenuse und vertikaler Kathete zu Hypotenuse. Aus der ersten Gleichheit folgt: (a − s)/(4cm) = s/(3cm) a − s = (4/3)s a = (7/3)s Da das rechte blaue Dreieck ebenfalls rechtwinklig ist, gilt nach dem Satz des Pythagoras: (a − s)² + s² = (4cm)² (4/3)²s² + s² = (4cm)² (16/9)s² + s² = (4cm)² (16/9)s² + (9/9)s² = (4cm)² (25/9)s² = (4cm)² s² = (9/25)*(4cm)² s = (3/5)*(4cm) = (12/5)cm = 2.4cm a = (7/3)s = (7/3)*(2.4cm) = 5.6cm Aus der zweiten Gleichheit folgt: (b − s)/(3cm) = s/(4cm) b − s = (3/4)s b = (7/4)s = (7/4)*(2.4cm) = 4.2cm Damit beträgt die gesuchte Größe der blauen Fläche: A(blau) = A(äußeres Dreieck) − A(Quadrat) = (1/2)*a*b − s² = (1/2)*(5.6cm)*(4.2cm) − (2.4)cm² = 11.76cm² − 5.76cm² = 6cm² Beste Grüße von der Ostsee
Berechnung über die Formel für die Rechteck-Diagonale ergibt einen Flächeninhalt von 6,28cm^2 Die Ermittlung durch Konstruktion ergibt 6,35cm^2 Somit erkläre ich als Ergebnis nach Rundung: 6,3cm^2, Flächeninhalt.
@@Frank-wb1ue 1) Spielen ist nicht unbedingt lebenswichtig, es hilft aber bei Vielem. 2) Ich weiß ja nicht, wlechen Beruf Du hast oder anstrebst, aber ich kann Dir sagen, dass solche und ähnliche Probleme in vielen technischen Berufen zum täglichen Brot gehören. Gerade im Bauwesen kommst Du immer wieder mit Geometrie, rechtwinkligen Dreiecken, und Rechtecken bzw deren Sonderform, den Quadraten ib Berührung, egal ob Du Maurer, lsZimmermann, Fliesenleger oder Ingenieur bist. Als Bäcker brauchst Du Geometrie vielleicht nicht unbedingt, als Konditor aber schon wieder. 3) Stell dich also nicht so an - und wenn es Dich wirklich gar nicht interessiert, dann guck einfach keine Mathevideos.
sehr schönes Beispiel, vielen Dank
Der "geschärfte Blick" hat mir direkt verraten, dass die Lösung auch über die Strahlensätze funktioniert.
Mega! 😍
hab 15 Sekunden gebraucht, ich muss wohl noch ein bisschen trainieren. Danke Magda, nette Mathe-Snacks sind das hier!
Supi! Das ist ja nicht lang! Und falls du es doch findest: macht nichts!! Übung macht den Meister! 💓
Hallo Magda, hier mein Lösungsvorschlag ▶
Wenn man das obere blaue Dreieck nach unten klappt, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck, da die beiden Winkel, die zusammenkommen, 90° ergeben (α+β = 90°).
Ablau= 3*4/2
Ablau= 6 cm²
Think outside the box.
Als ich den Tipp mit dem Herunterklappen hörte war es mich auch klar. 1/2 * 3 * 4 = 6
Aber die Länge der Hypotenuse hab ich auch sofort gesehen > 5
Denn das ist ein klassisches 3-4-5 Dreieck wo man auch eine 12-Knoten-Schnur draus machen kann.
😁
Jetzt könnte man auch noch die Seitenlänge a des Quadrats leicht berechnen. Die Hypothenuse des zusammengeklappten Dreiecks ist nämlich 5 cm lang (3, 4, 5 ist ein pythagoräisches Zahlentripel - oder man rechnet es mit Pythagoras geschwind aus: 16+9=25). Und a ist die Höhe von der Hypothenuse aus gesehen. Also ist a = 6 cm² · 2 / 5 cm = 2,4 cm.
Lösung:
Wenn man das obere Dreieck 'nach unten klappt', erhält man ein komplett blaues rechtwinkliges Dreieck, dass die Katheten 3cm und 4cm hat. Damit hat das Dreieck einen Flächeninhalt von 1/2 * 3cm * 4cm = 6cm²
Noch als Erklärung:
Es entsteht ein Dreieck, weil die Breite des oberen Dreiecks exakt der Höhe des unteren Dreiecks entspricht, da es sich im fehlenden Bereich ja um ein Quadrat handelt.
Es entsteht ein *rechtwinkliges* Dreieck, weil man einen gestreckten Winkel, also 180°, um 90° - nämlich die Ecke des Quadrats - verringert und so einen neuen 90° Winkel erzeugt.
Mir ist dieses Video erst heute über den Weg gelaufen, und leider war mein Adlerauge nicht scharf genug um auf die "Klapplösung" zu kommen.
Also, auf die etwas langwierigere Tour:
Die blauen Dreiecke haben Seitenlängen (a,s,3) und (s,b,4), wobei s auch die Seitenlänge des Quadrats ist.
Kurz vorweg, Pythagoras an den blauen Dreicken: a²+s² = 3² und b²+s² = 4².
Gesucht ist dann die Summe der Flächen der beiden blauen Dreiecke, also (as+bs)/2.
Pythagoras am ganz großen Dreieck: (a+s)² + (b+s)² = (3+4)²
Ausmultipliziert: a² + 2as + s² + b² + 2bs + s² = 7²
Etwas umgeformt: a²+s² + b²+s² + 2(as+bs) = 49
Und nun können wir a²+s² durch 3² ersetzen, und b²+s² durch 4²:
9 + 16 + 2(as+bs) = 49
2(as+bs) = 49-16-9 = 24
Dann brauchen wir nur noch durch 4 teilen: (as+bs)/2 = 24/4 = 6
Ja...
Stichwort ähnliche Dreiecke. Wenn die Seite des weißen Quadrats a ist, dann hat das obere Dreieck die Katheten 3a/4 und a und das untere Dreieck die Katheten a und 4a/3.
Und da kann man Pythagoras anwenden, um a auszurechnen:
9a²/16 + a² = 9 cm²
25a²/16 = 9 cm²
5a/4 = 3 cm
a = 2,4 cm
Oder:
a² + 16a²/9 = 16 cm²
25a²/9 = 16 cm²
5a/3 = 4 cm
a = 2,4 cm
Die Fläche des oberen Dreiecks ist:
A = 3a/4 · a / 2
= 3a²/8
= 2,16 cm²
Die Fläche des unteren Dreiecks ist:
A = a · 4a/3 / 2
= 2a²/3
= 3,84 cm²
Gesamtfläche:
A = 2,16 cm² + 3,84 cm² = 6 cm²
Man könnte auch die Fläche des ganz großen Dreiecks mit Hypotenuse 7 cm ausrechnen und dann das Quadrat abziehen, aber ich denke, so geht es schneller.
🎉😊
😊
Na ja, dass der weiße Viereck ein Quadrat ist, sollte bereits auf dem Bild zu sehen sein, sonst ist die Aufgabenstellung nicht komplett.
Auch wenn es nicht angegeben ist, darf ich also davon ausgehen, dass die 3 cm Seite und die 4 cm Seite parallel sind / einen 180° Winkel bilden
Dann wollen wir doch mal einen Schuss ins Blaue riskieren:
.
..
...
....
.....
Es seien a und b die Längen der horizontalen und vertikalen Katheten des äußeren rechtwinkligen Dreiecks und c=3cm+4cm=7cm sei die Länge der zugehörigen Hypotenuse. Außerdem sei s die Seitenlänge des weißen Quadrats. Da die beiden blauen Dreiecke offensichtlich ähnlich zueinander sind, finden wir hier jeweils gleiche Werte für das Verhältnis von horizontaler Kathete zu Hypotenuse und vertikaler Kathete zu Hypotenuse. Aus der ersten Gleichheit folgt:
(a − s)/(4cm) = s/(3cm)
a − s = (4/3)s
a = (7/3)s
Da das rechte blaue Dreieck ebenfalls rechtwinklig ist, gilt nach dem Satz des Pythagoras:
(a − s)² + s² = (4cm)²
(4/3)²s² + s² = (4cm)²
(16/9)s² + s² = (4cm)²
(16/9)s² + (9/9)s² = (4cm)²
(25/9)s² = (4cm)²
s² = (9/25)*(4cm)²
s = (3/5)*(4cm) = (12/5)cm = 2.4cm
a = (7/3)s = (7/3)*(2.4cm) = 5.6cm
Aus der zweiten Gleichheit folgt:
(b − s)/(3cm) = s/(4cm)
b − s = (3/4)s
b = (7/4)s = (7/4)*(2.4cm) = 4.2cm
Damit beträgt die gesuchte Größe der blauen Fläche:
A(blau) = A(äußeres Dreieck) − A(Quadrat) = (1/2)*a*b − s² = (1/2)*(5.6cm)*(4.2cm) − (2.4)cm² = 11.76cm² − 5.76cm² = 6cm²
Beste Grüße von der Ostsee
Heute hat mir wohl der scharfe Blick gefehlt. Der im Video gezeigte Lösungsweg ist natürlich deutlich eleganter.
Das "Klappen" des Dreiecks ist doch eigentlich ein Drehen um den Treffpunkt der beiden markierten Strecken im Gegenuhrzeigersinn, oder?
Wenn man so will, ja! 🙃
Wäre ich jetzt Gerald (-> Get Mathefit) sagte ich erst einmal: "Nö - woher weiß ich denn, daß das ein Quadrat ist und nicht bloß ein Rechteck?"
Berechnung über die Formel für die Rechteck-Diagonale ergibt einen Flächeninhalt von 6,28cm^2 Die Ermittlung durch Konstruktion ergibt 6,35cm^2 Somit erkläre ich als Ergebnis nach Rundung: 6,3cm^2, Flächeninhalt.
Da ist wohl jemand irgendwo falsch abgebogen 😉
Die Rechnung würde ich gerne mal sehen.
Und das Quadrat besitzt einen Flächeninhalt von 5,76 cm², wenn ich mich nun nicht verrechnet habe.
Jup. Die Seitenlänge des Quadrates ist 2,4cm.
Das hatte ich auch schon so verrmutet. Weiss nur noch nicht in welcher Art und Weise das für mein Leben wichtig ist....
@@Frank-wb1ue 1) Spielen ist nicht unbedingt lebenswichtig, es hilft aber bei Vielem.
2) Ich weiß ja nicht, wlechen Beruf Du hast oder anstrebst, aber ich kann Dir sagen, dass solche und ähnliche Probleme in vielen technischen Berufen zum täglichen Brot gehören. Gerade im Bauwesen kommst Du immer wieder mit Geometrie, rechtwinkligen Dreiecken, und Rechtecken bzw deren Sonderform, den Quadraten ib Berührung, egal ob Du Maurer, lsZimmermann, Fliesenleger oder Ingenieur bist. Als Bäcker brauchst Du Geometrie vielleicht nicht unbedingt, als Konditor aber schon wieder.
3) Stell dich also nicht so an - und wenn es Dich wirklich gar nicht interessiert, dann guck einfach keine Mathevideos.
@@joeviolet4185 Okay, mach' ich. Also bzw mach' ich nicht mehr jetzt...
Wieso soll ich das tun ? Was denkt die sich denn. Soll sie doch alleine rechnen...
Aber es gibt doch Dinge, die machen zu zweit mehr Spaß 😉. Mathe zum Beispiel! 🤣
Wozu guckst Du Dir das Video überhaupt an, wenn Du die Aufgabe sowieso nicht machen willst?
@@joeviolet4185 Weiß ich auch nicht... Langeweile vielleicht..... ?! Keine Ahnung
Hay Liebe Magda ♥️
Isch Hilde hat mim Heinz Spinatpizza gess. Jetz blons nett mam e Magnet vorbeilaufe. 😂😅🤣😆😁
😅🙈 Ist das Schwäbisch? Oder Hessisch?
@@magdaliebtmathe Liebe 😍 Magda Mein Kommentar wurde leider gelöscht, sorry ⛑️
Und ich dachte man müsse die weisse Fläche berechnen.
Wie kommst du darauf, Melih? 😃😃
@@magdaliebtmathe Ich weiss es nicht, vielleicht weil es so schön hell hervosticht? Frag mich was leichteres, bitte. ;-)
Dadurch, dass es ein Pythagoras-Dreieck ist, käme man auch darauf: (2,4 cm)² = 5,76 cm²✌️