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- เผยแพร่เมื่อ 25 ส.ค. 2024
- 영수의 본질, 본질적 초/중/고 수학 수업
수업 소개: blog.naver.com...
수업 문의: 댓글 또는 withgrace1040@gmail.com
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안녕하세요. 이번 영상에서는 중학교 2학년 교과과정에 등장하는 순환소수라는 개념을 살펴보게 되었습니다. 신기하게도 우리는 순환소수를 중학교 2학년 때 처음 배운 후에, 그 이후로는 거의 사용하지 않는 개념입니다. 그렇다면 도대체 왜 이런 순환소수라는 것은 배우게 되는 것일까요?
사실 저 역시도 중학교 때 이 개념을 배우면서 이런 의문을 품게 되었지만, 누구도 그것을 속시원하게 얘기해주지는 못했습니다. 그러나 지금에 와서 생각하는 것은, 그것에 대한 대답을 듣지 못하는 것이 당연할 수 밖에 없다는 생각입니다. 왜냐하면 그것을 이해하기 위해서는 역사 속에서 진행되었던 수학의 복잡한 전개과정을 알아야 하기 때문입니다.
따라서 이 부분에 대한 속시원한 대답을 알고 싶으시다면 오늘 영상을 통해 어느 정도 대답을 들으실 수 있을 것이라고 생각합니다. 또한 이 영상은 특별히 저번 영상 "(기하학에서) 무파이와 같은 무리수가 생기는 진짜 이유"( • 역설 위에 세워진 기하학 (feat. 무... )와 내용이 있어지는 것이기 때문에, 조금 더 포괄적인 이해를 원하신다면 지난 영상을 보고 오셔도 좋을 것 같습니다. 감사합니다 ^^
#순환소수, #무리수, #무한소수
제 성격상 수학 공부를 하면서 공식이 나오면 증명해보고 개념 공부를 할 때도 그 개념이 왜 그렇게 나오는 지를 찾아보면서 하는 학생입니다.
어느 순간 당연하게 넘기던 “분수의 나눗셈은 역수를 곱한다”, “음수 곱하기 음수는 양수다”, “유리수는 정수, 유한소수, 순환소수이다“ 같은 것들에 왜 라는 질문이 생겼습니다.
책도 찾아보고 하는데 도저히 뭔가 명쾌한 그런 느낌의 설명이 없는 거 같아서 헤매고 있다가 이 채널을 알게 됐습니다.
우선은 고맙습니다.
내가 범접할 수 없는 것들과 당연시해서 넘기던 것들을 찾아보고 보면서 끙끙거리고 있었구나 라는 것을 알게 해주셔서.
수능 수학을 공부하면서도 왜라는 것이 필요하다고 평소에 생각했고 그렇게 듣기도 해서 찾아보던 것들이 너무 본질로 들어가는 내용이었다는 것을.
수능 수학은 알려준 지식을 활용하는 시험이지 지식을 탐구하는 시험이 아니라는 생각이 듭니다.
물론 아직 궁금한 것들이 많지만 어느 정도 궁금증과 타협해야 할 지 감이 잡힌 거 같습니다.
감사합니다.
정성스런 답글과 생각을 나누어주셔서 감사합니다. 수능수학도 본질적인 방법으로 가르칠 수는 있지만 그렇게 하지 못하는데는 크게 두 가지 이유가 있다고 생각합니다.
1) 고등학교 미적분 내용의 증명(실수와 관련된 내용 포함)은 대학 수학과 전공 중에 해석학을 제대로 공부해야만 할 수 있습니다.
2) 고등수학을 가르치는 분들 중에 이것을 제대로 알고 있는 선생님이 거의 없다는 것입니다.
그러다보니 말씀하신 것처럼 지식을 활용하는 수준에서 그치게 되는 것 같고, 실제 답만 잘 맞추면 되는 것이니 더 이상 알 필요를 느끼지 못하는 것 같습니다. ^^
순환하지 않는 무한소수가
순환하지 않는 지 어떻게 알죠?
좋은 질문이십니다 ^^ 일단 루트2나 파이와 같이, 규칙에 의해 그 무한소수 표현을 찾을 수 있는 수들은 그 규칙에 의거하여 그것이 순환하지 않는다는 것을 알 수가 있습니다. 그러나 그렇지 않는 무한소수는 알 수가 없습니다. 그냥 순환하지 않는다고 말할 뿐인데, 우리는 그 수가 무슨 수인지도 알 수가 없습니다. 그렇기 때문에 이러한 수에 대해서는 수많은 논쟁이 있어왔습니다.
물론 이와 같은 문제는 루트 2와 같은 수에도 나타납니다. 우리는 루트2가 순환소수가 아니라는 것은 알고 있지만, 만약 '루트2의 무한소수 표현에 12345678901234567890 이라는 표현이 나타나는가?'라고 물어보면 그것이 나타나는 것을 확인하기 전까지 아무도 대답할 수가 없습니다. 결국 이것은 무한이라는 허구적 실체가 개입되기 때문에 발생하는 일이라고 할 수 있습니다. ^^
정확한 내용은 아니지만, 대략적인 증명 흐름을 "순환하는 무한소수은 모두 유리수이다" 라는 내용을 증명하면 "실수중에서 유리수가 아닌 수(무리수)는 ""순환하지 않는"" 무한소수이다" 를 증명할 수 있을 것 같은데요. 즉, 순환한다면 유리수이므로 순환하지 않는다. 순환할때 유리수가 되는 것은 순환무한소수를 분수로 변환 하는 방법으로 증명하면 될 것 같고요.