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- เผยแพร่เมื่อ 30 ก.ย. 2024
- 外測度が与えられたときそれを可測集合全体に制限して測度を作り、その測度からある方法で外測度を作ったとき、もとの外測度に戻っているでしょうか？この問題の反例を順序数ω_2を使って与えます。
使用テキスト読み上げ：VOICEVOX (キャラクター：No.7) voicevox.hiros...
参考文献 [1] Rogers, C.A. “Hausdorff Measures”, Cambridge Mathematical Library, 1998.
【訂正1】反例において、部分集合Eとその補集合ω_2﹨Eが両方とも濃度ℵ_2の場合の証明を忘れていました。やることは全く同じです。
あるいは場合分けをなくして「|E|≧ℵ_1かつ|ω_2﹨E|≧ℵ_1」のときEは非可測であることを示すのがスマートだと思います。
【訂正2】「標準的な方法で定まる外測度」で和を取る必要はなく、一個のEを覆うAの元のνの値のinfで十分でした
有限測度で反例を作ってくださいよと言おうと思ったら、そういうのがないということまでちゃんと言ってた。
有限測度で反例あるようです (FremlinのMeasure Theory Volume 1におけるDefinition 132BのRemark)。測度が有限なだけでなく、台集合も有限なものです。
3点集合X={a,b,c}を用意して部分集合Eに対して
μ(E)=0 if E=∅
μ(E)=1 if E=X
μ(E)=1/2 otherwise
と定義するとμは外測度ですが、可測な集合は∅とXのみであり、非空な部分集合Eに対してλ(E)=1です。
だから、今回の例は正則でない外測度の例を与えるには大げさすぎるものでした。