ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 25 ส.ค. 2024
- 영수의 본질, 본질적 초/중/고 수학 수업
수업 소개: blog.naver.com...
수업 문의: 댓글 또는 withgrace1040@gmail.com
-----------------
이번 영상에서는 많은 사람들이 보편타당한 진실이라고 생각하는 1+1=2 라는 수학적 명제가 과연 정말 보편타당한 진실인가, 과연 1+1=2 는 어떤 의미를 가지고 있는가를 다루어보았습니다.
특별히 집합론에서는 1+1=2 는 증명을 할 수 있는 명제인 만큼 이것은 집합론적 공리계가 진실하는 맥락안에서만 진실일 수 있으며, 수리철학의 입장에서 보아도 이 명제는 보편타당한 실이라고 볼 수 없다는 것을 알게 됩니다.
이번 영상에서는 바로 이러한 점을 자세히 다루어 보았으니 수학 자체의 본질이 무엇인지를 엿볼 수 있는 기회가 되셨으면 좋겠습니다.
#일더하기일 #집합론 #수리철학
이것이 수학이라는 학문을 배우는 이유죠 1+1=2가 아닐수도 있다는것 아니겠습니까? ㅎㅎ 함수로써 증명하는 것은 처음본것 같습니다. 대부분의 곳에서는 보편적으로 페아노 공리계를 사용하기 때문에 이러하게 직접적으로 집합을 사용하여 설명하시는건 처음봤습니다.견문이 넓어진것 같아 좋군요.
질문1: 러셀과 화이트 헤드의 수학원리에 설명 되어있는 내용인가요? 아니면 어디에 설명 되어 있는건가요?
질문2: Z.F.C 공리계 내에서 참인건가요? 아니면 어떠한 공리계 인가요?
질문3: 개인적으로 궁금한건데 이러한 함수는 좌표평면상에 어떤식으로 표현되나요?
질문4: 마지막으로 이집합의 역집합 예를들어 2^-1:={@,{1},{2},{1,2}} 이러한 집합은 어떤 함수인가요? 즉 p:={1}인 자연수 p가 존재 하나요?
집합론에 대한 조예가 깊지않아 부끄럽지만서도 궁금해서 글을 남겨 봅니다^^
1 & 2. 집합론에서 보통 쓰는 정의입니다. 조금 더 정확히 이야기해드리면 ZFC 공리계를 공리로 가지는 집합론인데, 제가 영상에서 말한 숫자들을 집합으로 정의한 것은 폰 노이만이 한 것으로 알고 있습니다. 칸토어가 처음에 숫자를 집합으로 정의할 때는 다른 형태였습니다.
3. 함수를 모두 좌표평면 상에 나타낼 필요는 없고, 그렇게 하기 힘든 것들도 많습니다. 예를 들면, 나중에 수학이 점점 추상화되면 functional 같은 것이 등장하는데 이런 건 그냥 추상적으로 이해할 수 밖에 없구요. 그냥 함수는 대응관계라고 보시는 게 제일 좋을 거 같습니다.
4. 집합론의 정의에 따르면 p:={1} 이라는 자연수는 존재하지 않습니다 ^^
참고로 제가 말씀드린 집합론은 어느 집합론 책을 보셔도 나와있는 보편적인 내용입니다. 서울대학교 수리과학부, 계승혁 교수님 강의록을 참고하셔도 됩니다. (www.math.snu.ac.kr/~kye/lecture/08_1_set/)
또한 자연수의 공리적 정의는 먼저는 1888년에 데데킨트가 정의하였고, 그 이후 1889년에 페아노가 조금 더 심플하게 정의를 하였습니다. 집합론으로 정의한 것은 그 이후라고 보시면 됩니다. 지금 제가 말씀드린 내용은 위키를 참고하셔도 됩니다. en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
깊은 영감을 주는 영상이네요
정말 흥미롭게 봤습니다. 수학이 자연의 언어가 아니라 인간의 언어라는 말이 참 와닿습니다.
흥미롭게 봐주셔서 감사합니다. 이번에 필즈상을 수상한 프린스턴대 허준이 교수도 수학은 인문학에 가까운 학문이라고 생각한다는 인터뷰기사를 본적이 있습니다 ^^
고대의 문자로 쓴 기하 도형을 연구하고 있는데 현대 수학의 개념과 맥이 닿아 있는 것 같습니다.
댓글 감사합니다! 혹시 어떤 부분에서 그런지 조금 더 구체적으로 설명해주실 수 있나요? 아니면 관련 링크를 첨부해주셔도 감사하겠습니다 ^^
처음 집합을 배우고 궁금한게 생겨서 찾아봤는데요. 공집합이 다른 집합 안에서는 공집합의 뜻을 갖는 것이 아니라 하나의 원소로 본다고 배웠는데 그럼 다른 기호들도 이런식으로 집합 안에서는 하나의 다른 원소로 보는지 궁금합니다. 예를 들어 루트 4는 2라는 것이 집합 밖에서는 맞는 말이지만 루트4가 집합 안에 있을 때도 2라고 써도 상관없는지 궁금합니다. 그냥 루트4와 똑같이 생긴 기호로 보는 것이 맞나요? 아니면 2라고 보는 것이 맞나요?
좋은 질문 감사드립니다^^ 간단히 말씀드리자면, 공집합이 다른 집합 안에 있어도 공집합이 맞습니다. 집합 안에 들어간다고 해서 성질이 바뀌는 것은 아니고, 다만 집합 안에 들어가면 그 집합의 원소가 됩니다. 제가 찍은 영상 '공집합을 원소로 가지는 집합 th-cam.com/video/tz6UHLXc3RQ/w-d-xo.html'을 보시면, 사실 현대 수학에서는 숫자도 모두 집합으로 정의가 되어 있습니다. 따라서 숫자가 집합 안에 원소로 들어가 있다는 것은 곧 어떤 집합이 다른 집합의 원소로 포함이 되어 있다고 볼 수 있는 것입니다. 마찬가지로 루트 4도 집합 안에 있으나 없으나 여전히 2라고 할 수 있습니다 ^^