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特殊な積分シリーズが楽しみすぎて毎日欠かさずチェックしている自分がいる
実は積分が計算できること自体が特殊だから、高校数学で習う積分は全て特殊説
そうなんだ
確かに
気持ち良すぎだろ！！
ちょうど院試の過去問やりつつ複素解析の復習してたからありがたいです
大変わかりやすい。留数定理の素晴らしさがわかる、良い動画です！留数定理知らない人は、5:15あたりから完全に置いて行かれると思いますが勉強がんばってください！
高校生置いてけぼりで草
留数って概念自体は学んで「すげー！！」ってなったけど、留数定理に関しては当たり前感が凄かった今学期でした
複素解析やって感動したんはコーシーの積分定理
院試の勉強で複素解析の問題してるけど留数定理使って積分値バシッと出ると快感
ばか分かりやすくて好き
特殊な積分ホント好き
高校生でも分かりました！留数定理気持ち良すぎだろ！
大学の複素関数論の授業で、全く同じ問題で留数定理の実積分への応用やりました...w
このシリーズが最近の楽しみ
もはや何でも留数定理やん笑
t=tanΘ/2とおいてから計算するのを学校の朝テストでやりました似たような問題
不定積分は-2/3 arctan (3/tan(x/2)) +C
工学部なのにうちの学科複素解析の講義無いんだけどやっぱやったほうがいいよな
かっこいい
ついに留数までｷﾀ
積分路内に2つ留数がある場合はどうなりますか？
中学生だから意味わからないけど、面白くて見てますw積分と微分、極限に少し触れてみましたが、軽くイきそうになりますね
淫夢予備軍湧いてて臭w
@@amatsuki3701 いや草臭
留数定理の証明ややこしいやつ。
まだ早かったようだ………
俺もだ(高校生)
早く積分やりたい(高1)なにインテグラルって？カッコいい！
今のうちに独学でやっちまったら？
はじはじでもやれば
複素数の導入は高2、複素平面の導入が高３、複素関数、複素解析は大学の範囲
シグマをニューンってしたやつ。
ぶっちゃけただのパターンとめんどい計算しかないから確率を楽しめ。
しゅごい…
大学はいって感動したのは留数定理とかコーシーの積分定理やったなぁsinx/x の積分とか今回と違って高校範囲ではまーじで歯が立たんくせに複素数の力ならきゅーに出来ちゃうんだもんな〜
複素関数論だなこれは
これって、フツーの解き方でも解けるんでしょうか？行き詰まっちゃったけど…。
vacuumcarexpo 単なる不定積分なら(2/3)arctan((1/3)tan(x/2))+Cで求まるんですけどねえ.x=πで原始関数が定義されていないので「あれ？」って感じです.
一応計算し切りましたが, 広義積分の処理がこれで正しいのかは疑問が残ります.f(x)=1/(5+4cos(x))として∫[0, 2π, f(x)dx]f(2π-x)= 1/(5+4cos(2π-x))= 1/(5+4cos(-x))= 1/(5+4cos(x))=f(x)x=πで対称なので0→πの積分結果を2倍すれば良い.∫[0, π, f(x)dx]tan(x/2)=tで置換dx=(2/(1+t^2))dtcos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)5+4cos(x)=(9+t^2)/(1+t^2)x: 0→πt: 0→+∞∫[0, π, f(x)dx]= ∫[0, +∞, 2(1+t^2)dt/(9+t^2)(1+t^2)]= 2∫[0, +∞, dt/(9+t^2)]t=3tanθで置換dt=3dθ/(cos(x))^2t: 0→+∞θ: 0→π/22∫[0, +∞, dt/(9+t^2)]= 2∫[0, π/2, 3dθ/(9+9(tan(θ))^2)(cos(θ))^2]= (2/3)∫[0, π/2, dθ]=(2/3)×(π/2)=π/3答えは2倍なので2π/3が求める定積分.
@@9cmParabellum ご返信ありがとうございます。tanで置換する時に、不連続の所をまたいじゃう気がするんですが、勢いで押し切ると、何か一応2π/3が出てきましたが、いいんでしょうか？
なるほど、不連続の所をまたがない様に処理するわけですか…。
vacuumcarexpo グラフにするとわかりやすいんですが不定積分の一つであるF(x)=(2/3)arctan((1/3)tan(x/2))自体がx=πで不連続なんですよね.ただし不連続とは言っても極限は収束しています.lim[x, π-0, F(x)]=π/3lim[x, π+0, F(x)]= -π/3つまりx>π以降は2π/3分原始関数を上に押し上げればF(x)のグラフは連続なままとなりちゃんと積分として積み重なっているなということが視覚的に理解できます.=[F(x)] [0, 2π]=[F1(x)] [0, π] +[F2(x)] [π, 2π]=[(2/3)arctan((1/3)tan(x/2))] [0, π] +[(2/3)arctan((1/3)tan(x/2))] [π, 2π]=(π/3 -0) +(0 -(-π/3))=2π/3単にx=0, 2πを代入するだけだと失敗しますがx=πで不連続な点に注意さえすれば答えは出ます.まあどの道, 広義積分になっちゃうので, 高校の範囲外ですね.高校で出すならせめて積分範囲は0→π/2になっているでしょう.
複素数すごい
今年大学2年になるものです。線形微分方程式を解くときに、定数変化法を用いると解く事が出来るのですが、なぜあのようにすると解く事ができるのか分かりません。akitoさん良ければ動画にしてください。
東大、東工大はまだですか？
Que interesante ahora ya tienes un suscriptor de México!
t＝tan(x/2)の置換でも解けます…よね？
原始関数がx=πで不連続であることに注意すれば、何とか。
なんか、よくわかんねぇや。
まず使い方を沢山例として挙げるのは学習の強い動機になると思います。数学は、特に論理中心になってくると、砂漠の荒野を進むような学習になりがちです。あと、もう少し丁寧な式変形すると良いと思う、東大の暗算力が試される動画になっている印象です(笑)
これで合ってるのか…？f(x)=1/(5+4cos(x))として∫[0, 2π, f(x)dx]f(2π-x)= 1/(5+4cos(2π-x))= 1/(5+4cos(-x))= 1/(5+4cos(x))=f(x)x=πで対称なので0→πの積分結果を2倍すれば良い.∫[0, π, f(x)dx]tan(x/2)=tで置換dx=(2/(1+t^2))dtcos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)5+4cos(x)=(9+t^2)/(1+t^2)x: 0→πt: 0→+∞∫[0, π, f(x)dx]= ∫[0, +∞, 2(1+t^2)dt/(9+t^2)(1+t^2)]= 2∫[0, +∞, dt/(9+t^2)]t=3tanθで置換dt=3dθ/(cos(x))^2t: 0→+∞θ: 0→π/22∫[0, +∞, dt/(9+t^2)]= 2∫[0, π/2, 3dθ/(9+9(tan(θ))^2)(cos(θ))^2]= (2/3)∫[0, π/2, dθ]=(2/3)×(π/2)=π/3答えは2倍なので2π/3が求める定積分.
留年する年数？
積分経路を半径1の円周上にとる理由がわかりません…なぜ半径1なんですか？
半径は1でなくrとしてz=re^(ix)とおいても計算できます。計算が楽なr=1を採用しているというだけです。
そうだったんですね😊ありがとうございます！
こういう動画はいっそのこと高校生に一切配慮しない方が面白そう
ふーん、エッチじゃん
z=2e^(ix)またはz=3e^(ix)、こういう風にすれば良いですか？私が一度やってみると、極がすべて積分の曲線（|z|=2, |z|=3の円）の上にいることが発見してしまうんせだ、積分の値はゼロになってしまう。これは一体どういうことなのか実に知らないんです。宜しくお願い致します🙏🙏
聞いたことないです
特殊な積分シリーズが楽しみすぎて毎日欠かさずチェックしている自分がいる
実は積分が計算できること自体が特殊だから、高校数学で習う積分は全て特殊説
そうなんだ
確かに
気持ち良すぎだろ！！
ちょうど院試の過去問やりつつ複素解析の復習してたからありがたいです
大変わかりやすい。留数定理の素晴らしさがわかる、良い動画です！
留数定理知らない人は、5:15あたりから完全に置いて行かれると思いますが勉強がんばってください！
高校生置いてけぼりで草
留数って概念自体は学んで「すげー！！」ってなったけど、留数定理に関しては当たり前感が凄かった今学期でした
複素解析やって感動したんはコーシーの積分定理
院試の勉強で複素解析の問題してるけど留数定理使って積分値バシッと出ると快感
ばか分かりやすくて好き
特殊な積分ホント好き
高校生でも分かりました！
留数定理気持ち良すぎだろ！
大学の複素関数論の授業で、全く同じ問題で留数定理の実積分への応用やりました...w
このシリーズが最近の楽しみ
もはや何でも留数定理やん笑
t=tanΘ/2とおいてから計算するのを
学校の朝テストでやりました
似たような問題
不定積分は-2/3 arctan (3/tan(x/2)) +C
工学部なのにうちの学科複素解析の講義無いんだけどやっぱやったほうがいいよな
かっこいい
ついに留数までｷﾀ
積分路内に2つ留数がある場合はどうなりますか？
中学生だから意味わからないけど、面白くて見てますw
積分と微分、極限に少し触れてみましたが、軽くイきそうになりますね
淫夢予備軍湧いてて臭w
@@amatsuki3701 いや草臭
留数定理の証明ややこしいやつ。
まだ早かったようだ………
俺もだ(高校生)
早く積分やりたい(高1)
なにインテグラルって？カッコいい！
今のうちに独学でやっちまったら？
はじはじでもやれば
複素数の導入は高2、複素平面の導入が高３、複素関数、複素解析は大学の範囲
シグマをニューンってしたやつ。
ぶっちゃけただのパターンとめんどい計算しかないから確率を楽しめ。
しゅごい…
大学はいって感動したのは留数定理とかコーシーの積分定理やったなぁ
sinx/x の積分とか今回と違って高校範囲ではまーじで歯が立たんくせに
複素数の力ならきゅーに出来ちゃうんだもんな〜
複素関数論だなこれは
これって、フツーの解き方でも解けるんでしょうか？行き詰まっちゃったけど…。
vacuumcarexpo
単なる不定積分なら
(2/3)arctan((1/3)tan(x/2))+Cで求まるんですけどねえ.
x=πで原始関数が定義されていないので「あれ？」って感じです.
一応計算し切りましたが, 広義積分の処理がこれで正しいのかは疑問が残ります.
f(x)=1/(5+4cos(x))として
∫[0, 2π, f(x)dx]
f(2π-x)= 1/(5+4cos(2π-x))
= 1/(5+4cos(-x))
= 1/(5+4cos(x))=f(x)
x=πで対称なので0→πの積分結果を2倍すれば良い.
∫[0, π, f(x)dx]
tan(x/2)=tで置換
dx=(2/(1+t^2))dt
cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)
5+4cos(x)=(9+t^2)/(1+t^2)
x: 0→π
t: 0→+∞
∫[0, π, f(x)dx]
= ∫[0, +∞, 2(1+t^2)dt/(9+t^2)(1+t^2)]
= 2∫[0, +∞, dt/(9+t^2)]
t=3tanθで置換
dt=3dθ/(cos(x))^2
t: 0→+∞
θ: 0→π/2
2∫[0, +∞, dt/(9+t^2)]
= 2∫[0, π/2, 3dθ/(9+9(tan(θ))^2)(cos(θ))^2]
= (2/3)∫[0, π/2, dθ]
=(2/3)×(π/2)=π/3
答えは2倍なので
2π/3が求める定積分.
@@9cmParabellum ご返信ありがとうございます。
tanで置換する時に、不連続の所をまたいじゃう気がするんですが、勢いで押し切ると、何か一応2π/3が出てきましたが、いいんでしょうか？
なるほど、不連続の所をまたがない様に処理するわけですか…。
vacuumcarexpo
グラフにするとわかりやすいんですが
不定積分の一つである
F(x)=(2/3)arctan((1/3)tan(x/2))
自体がx=πで不連続なんですよね.
ただし不連続とは言っても極限は収束しています.
lim[x, π-0, F(x)]=π/3
lim[x, π+0, F(x)]= -π/3
つまりx>π以降は2π/3分原始関数を上に押し上げればF(x)のグラフは連続なままとなり
ちゃんと積分として積み重なっているなということが視覚的に理解できます.
=[F(x)] [0, 2π]
=[F1(x)] [0, π] +[F2(x)] [π, 2π]
=[(2/3)arctan((1/3)tan(x/2))] [0, π] +[(2/3)arctan((1/3)tan(x/2))] [π, 2π]
=(π/3 -0) +(0 -(-π/3))
=2π/3
単にx=0, 2πを代入するだけだと失敗しますが
x=πで不連続な点に注意さえすれば答えは出ます.
まあどの道, 広義積分になっちゃうので, 高校の範囲外ですね.
高校で出すならせめて積分範囲は0→π/2になっているでしょう.
複素数すごい
今年大学2年になるものです。
線形微分方程式を解くときに、定数変化法を用いると解く事が出来るのですが、なぜあのようにすると解く事ができるのか分かりません。
akitoさん良ければ動画にしてください。
東大、東工大はまだですか？
Que interesante ahora ya tienes un suscriptor de México!
t＝tan(x/2)の置換でも解けます…よね？
原始関数がx=πで不連続であることに注意すれば、何とか。
なんか、よくわかんねぇや。
まず使い方を沢山例として挙げるのは学習の強い動機になると思います。
数学は、特に論理中心になってくると、砂漠の荒野を進むような学習になりがちです。
あと、もう少し丁寧な式変形すると良いと思う、東大の暗算力が試される動画になっている印象です(笑)
これで合ってるのか…？
f(x)=1/(5+4cos(x))として
∫[0, 2π, f(x)dx]
f(2π-x)= 1/(5+4cos(2π-x))
= 1/(5+4cos(-x))
= 1/(5+4cos(x))=f(x)
x=πで対称なので0→πの積分結果を2倍すれば良い.
∫[0, π, f(x)dx]
tan(x/2)=tで置換
dx=(2/(1+t^2))dt
cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)
5+4cos(x)=(9+t^2)/(1+t^2)
x: 0→π
t: 0→+∞
∫[0, π, f(x)dx]
= ∫[0, +∞, 2(1+t^2)dt/(9+t^2)(1+t^2)]
= 2∫[0, +∞, dt/(9+t^2)]
t=3tanθで置換
dt=3dθ/(cos(x))^2
t: 0→+∞
θ: 0→π/2
2∫[0, +∞, dt/(9+t^2)]
= 2∫[0, π/2, 3dθ/(9+9(tan(θ))^2)(cos(θ))^2]
= (2/3)∫[0, π/2, dθ]
=(2/3)×(π/2)=π/3
答えは2倍なので
2π/3が求める定積分.
留年する年数？
積分経路を半径1の円周上にとる理由がわかりません…
なぜ半径1なんですか？
半径は1でなくrとしてz=re^(ix)とおいても計算できます。
計算が楽なr=1を採用しているというだけです。
そうだったんですね😊ありがとうございます！
こういう動画はいっそのこと高校生に一切配慮しない方が面白そう
ふーん、エッチじゃん
z=2e^(ix)またはz=3e^(ix)、こういう風にすれば良いですか？
私が一度やってみると、極がすべて積分の曲線（|z|=2, |z|=3の円）の上にいることが発見してしまうんせだ、積分の値はゼロになってしまう。これは一体どういうことなのか実に知らないんです。宜しくお願い致します🙏🙏
聞いたことないです