未知数が多いときは工夫しましょう。式を見ただけで x と y の係数は確定します。 x^2 - y^2 = ( x + y )( x - y ) なので、それぞれの因子の中に x + y, x - y が含まれるはずです。なので x^2 - y^2 + 4x - 12y - 32 = ( x + y + a )( x - y + b ) とおけます。あとは x, y の係数に注目すれば a + b = 4 b - a = - 12 で a, b が求められます。最後に定数項が等しいことを確認してください。
x^2とy^2の係数から、 ( x + y + a )( x - y + b ) になると予想できる 展開すると x の係数が a+b 、 定数項が ab になるので （たすき掛けと同じように） かけて-32、足して4 になる a b を求めて、 展開した時の y の係数 -a+b に当てはまるか確認
66歳です。受験生になったつもりで拝見しています。毎回楽しいです。ありがとうございます。
ひらめきはおそらく+4と-36に変形だと予想
72のおじい です。因数分解は頭の体操になるのでTH-camで楽しんでいます。因数分解の問題は「必ず因数分解できる」という大前提がありますので、大昔のヒヤヒヤドキドキ感はもはやありません。全体をみて和と差の積が使えそうな雰囲気でしたので32と12yに注目しました。確かに12yは（4+8）yですが（6+6）yでもあります。そうすると定数が36となり4多くなり-4します。元々の式が-（）でくくると式全体を見渡すと+4になりますね。これをxの平方完成に使えばいいわけです。
先生の解2の方が遥かに論理的で数学的です。数学を好きになる子供さんを沢山輩出させてやって下さい。
心が汚れているんで「ひろゆきは１００％不要です。」に見えたｗ
私はとっくに高校を卒業したいい大人なので、こういう自分にも解ける様な中学生向けの数学の動画を上げてくれるのはとてもありがたいです
1:39 ゴミの部分の言い方ツボすぎw
中学からは少しだけ発展的なお話をします。実数 x, y の 2 次方程式
ax^2 + 2bxy + cy^2 + ( x, y の 1 次式 ) = 0
で表される xy 平面上のグラフを 2 次曲線と言います。 2 次曲線はさらに細かく
(i) b^2 - ac = 0 ⇔ 放物線
(ii) b^2 - ac < 0 ⇔ 楕円、1 点(半径 = 0 の円)、方程式をみたす実数解なし(半径が虚数の楕円)
(iii) b^2 - ac > 0 ⇔ 双曲線、重解も含む 2 直線
の 3 つに分類されます。今回は ( a, b, c ) = ( 1, 0, - 1 ) なので b^2 - ac = 1 > 0 。よって、双曲線または 2 直線です。
因数分解できるというのであれば 2 直線です。双曲線か 2 直線かは平方完成すればわかるので
今回の問題も 2 次曲線の演習問題と考えればおのずと答えは出てきます。
上のコメントで半径が虚数の楕円はおかしいですね。失礼しました。
楕円のときは長径、短径と言いますがどちらも虚数という意味です。
しかし虚数に長い、短い、大きい、小さいという概念はありません。
絶対値なら比較できますが。
こないだコメント蘭で送った解説聞きたいです。待ってます❗️
すばる先生ではありませんが、基本的な考え方だけ述べます。結局動画と同じ方法です。
a = 45 + √2022
b = 45 - √2022
とおくと 0 < b < 1 。自然数 n に対して m を n 以下の最大の偶数とする。二項定理より
a^n + b^n = 2( p_{ 0 } + p_{ 2 } + … + p_{ m } ) …①
ここで
p_{ j } = C( n, j )・45^( n - j )・√2022^j
C( n, j ) は二項係数を表す。また
p_{ 2j } = C( n, 2j )・45^( n - 2j )・2022^j
なので a^n + b^n は整数。
a^n = a^n + b^n - 1 + ( 1 - b^n )
0 < 1 - b^n < 1 より a^n の整数部分はガウス記号を用いて
[ a^n ] = a^n + b^n - 1
と表せる。
よって [ a^n ] に関して整数論を展開したければ①を解析すればよい。
動画の問題と同じように [ a^2022 ] の 1 の位を求めたいとする。以下合同式は全て mod 10 とする。
2・45 は 10 の倍数なので j
中学生でたすきがけと平方完成習わない時点でこの問題は中学内容に破綻している。
よってこの問題は中学生には無理と答案に書けば満点はもらえるよ。実はこの問題解かせる問題ではなく、論理的問題なんだよね
円の方程式習った後だと先に解法2が出てきますね
形としては双曲線ですけどね
えっ？まっておれが送ったやつ😭😭😭😭❤️
ありがとうございます
びっくりしちゃった
また積分の動画見たかったり……🥲
高校入試でもこういう問題出てきます…塾ではたすき掛けしろって言われてるけどなかなか出来ない😭
結局解2だなぁ
ノータイムで解法1を選択しそう。2次曲線であれば平方完成を考えますが。
某○端先生のところでも解いていました
解1 の方法にはたくさんの「ひらめき」が入っていると思いますが、これを「ひらめきは100%不要です。」と言い切るあたり、東大生には一般的な感覚が通用しないことがよくわかります。
家庭教師をしているとわかるのですが、こういう式変形をする「ひらめき」がないので苦労しているのです。
冒頭のへ？？？？？って好きです笑笑笑笑
これ見た瞬間に和と差だーーって思って興奮した
因数分解できることはわかっているので
本当によくわからなければ(x+ay+b)(x+cy+d)から逆算(展開)して愚直にやっても答えは出ますよね
32=4-36とか思い浮かぶ前に計算終わりそう
(x+8+y)(x-4-y)
x,yそれぞれを^2になるように因数分解して^2-^2をする
暗算なので答えあってるか不安ですが
私は多項式の因数分解の極意は最高次数の低い方に注目すると習いました。もっとも今回の場合はx、y共に2次ですから同じことですが。
円の方程式作る要領で解2で解きました！！
情報としてのコメントです。
教科書改訂により今の中学3年生は、解2で扱ったような基本的な平方完成を学校で習います。解1は、高校内容ですが、解2は、中学内容の応用の方法で解けるため、今の中学生が解くのであれば、解2がスタンダードになるかと思います。
教科書改訂より前の段階で解2は習いますよ。
解2は、前回の改訂での追加でしたでしょうか？
まったくの記憶違いでしたらすみません。
初手から(ax+by+c)(cx+dy+e)とおいて展開しちゃうのはダメなんでしょうか？
未知数が多いときは工夫しましょう。式を見ただけで x と y の係数は確定します。
x^2 - y^2 = ( x + y )( x - y )
なので、それぞれの因子の中に x + y, x - y が含まれるはずです。なので
x^2 - y^2 + 4x - 12y - 32 = ( x + y + a )( x - y + b )
とおけます。あとは x, y の係数に注目すれば
a + b = 4
b - a = - 12
で a, b が求められます。最後に定数項が等しいことを確認してください。
なるほど!
簡単すぎてアレっと思ったけど、そうか、こんなの難しいと思ってた日があったかな、とうっすら思い出す。
xyの項が“無い” ので、“ある意味” 難しくなってる様だ。
このような(瞬殺、複視座解法)問題も“きちんと” 論理的解説できる“講師” は偉い!👍
因数分解なんて、問題になってる時点で、“答えは存在するんだよ!” って主張されてるわけで(問題に)、だからこそ、どんな問題よりも(その意味で)簡単なわけで😀
うわ高校受験の因数分解懐かしいな
(x² - y²) = (x+y)(x - y) の形を基盤として、定数が、掛けて -32になる数の中から足し引きで 4x、-12yになるものを考えたら 8と4がでて答えがわかった
自分が中学生だったら、−32があるので−8と４や８と−４みたいに組み合わせて適当に解いてそう。もちろん展開してもとに戻るかは試しますが。
友達はそれで
30秒ほどで解いてました…怖いです😢
毎回挨拶カミカミで草
和と差の積思いついたけど、解1の方が先に思いついた
２の方がいいね
これは「たすき掛け」二重にすればできる問題。
xy の項がないのだから x+y と x-y が出てくるのは当然。
あとは 4x と -12y になるように -32 を積の形に分けて２つの括弧に入れればできます。
川端先生のところで出なかったかな、これ。
展開した式にxyがないので、（x＋y＋a）（x−y＋b）の形になるなと問題を見た時点で予測できました。
後は定数項が-32なので、これの因数を持つようにaとbの候補を絞って行くような感じで解きました！
候補が多くないので、一つずつ調べても解答に到達するできますね😊
友達がそれで30秒ほどで解いてました…
パターンが少ないのでそれでも余裕でいけますね😋
@@アユレナノさん これに気づいても30秒で解き切ってしまう友人は凄いですね！
1つの問題に色んな解き方を考えるのはパズルみたいで楽しいです✨
解放2は僕の予想と当たった
因数分解って見た目がかなり大事なんですよね。基本は解法1ですが、解法2は特殊タイプになるはずです。
初手から、和と差の積して後で4、8をどっちにぶち込むかとそれぞれの符号考えてしまった。
x^2とy^2の係数から、 ( x + y + a )( x - y + b ) になると予想できる
展開すると x の係数が a+b 、 定数項が ab になるので
（たすき掛けと同じように） かけて-32、足して4 になる a b を求めて、
展開した時の y の係数 -a+b に当てはまるか確認
確かに中学生にはちょっと難しいかな。
解法は高校生対象でしょうか？高校生には教科書レベル。でも、中学生対象ならば話は別です。たすき掛け自体、中学では(説明する先生もいるでしょうが)習わない概念なので、解法1のように、｢たすき掛け｣と当然のように言い放ち、簡単に書かれると彼らは困るのではないでしょうか。
私個人としては、4と36に分けると考えた、問題提供してくれた中学生の考えが妥当かつ素晴らしいと思いますし、私も敢えてその解き方をしました。(一応、高校で数学を担当しています)
長文失礼しました。
非常によくわかります。
方程式で解くことをまだ学ばない小学生に「鶴亀算は方程式で一発だよ。ひらめきなんでいらないよ。」と言い放つようなものです。この一般的な感覚がわからないのが東大生なのです。彼らはひらめき不要と言いながら一般人が試行錯誤するいろんな解法を頭の中でサクッと排除してしまうので、一般人にはなぜそうなるのかわからないのですが、そのことがわからないのです。参考書にありがちの「スマートさを意識しすぎるあたりシンプルになりすぎて意味不明な解法」と同じです。
へーーーー⤴️草
簡単