【新学年チャレンジ】因数分解せよ
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- เผยแพร่เมื่อ 14 ต.ค. 2024
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【最速の解放】
f(x,y,z)=(与式)とおくと、
f(-y,y,z)=0
よって、f(x,y,z)はx+yを因数に持つ。
f(x,y,z)は対称式だから、y+z,z+xも因数に持つ。
(f(x,y,z)は3次式だからあとは定数倍すれば終わりだなという予想が立つ)
素晴らしい
まさに数学の真髄ですね
現実的にはこの程度なら展開する😅、それか因数定理。😁
ただ、この動画は新学年生徒へ「工夫しろ」っなことを教えているように見えます。😉
●解法1
与式を展開してxの降べきの順に並べて、3x²y+3x²z+3xy²+3xz²+6xyz+3y²z+3yz²
=3(y+z)x²+3(y+z)²x+3yz(y+z)
=3(y+z)(x²+(y+z)x+yz)
=3(x+y)(y+z)(z+x)
●解法2
対称性を考慮して、x=-y, y=-z, z=-xを代入すると0なので因数定理と三次式だということより、与式=a(x+y)(y+z)(z+x)
aはx=y=z=1を代入した値で比較しても良いですし、展開した項のxyzの係数を考えてもよし。
「対称性があるので、展開しても大したことないんじゃない？」と思った人は一回りして優秀だと思う。
動画の解法よりも、展開＋降冪した方が式が単純なのが面白い。
問題見たときに手が届くかも？と思ったら、
実は方針、実験のやり方を誤った場合には、
時間がなくなりますね。
タイムトリップではなく、タイムトラップ。
タイムトラベルではなく、タイムトラブル。
全て展開するという、展開にせず、
文字で置換し、文字を減らすのは、
大切だと思いました。
不等式だと範囲も考えないといけませんね。
改めて、良い例題に巡り合いました。
解説有難う御座いました。
スピード重視の解法を思いつきました
順を追って考えれば暗算でできます
検算に使うのもありかも
引き出しは多いほうがいいもんね
与式にx+y=0(x=-y)を代入すると
(0+z)^3-{(-y)^3+y^3+x^3}=z^3-z^3=0
なので、因数定理より
与式はx+yを因数に持つ
対称性よりy+z,z+xも因数になる
これらの因数だけで3次式になるので
与式が3次式であることから
これ以上の文字を因数には持たない
よって、あとは係数を求めるだけ
与式と3因数に分解した式に
(x,y,z)=(1,1,0)を代入して比較すると
係数は3
または、(x+y+z)^3の展開をイメージして
(x^2)yの係数に着目しても3だとわかる
つい先日、同じ問題を解いた時、
かなり無茶な方法ですが次の解答を考えました
f(t)＝(t＋y＋z)＾3 − t＾3−y＾3−z＾3
tの三次の項は明らかに消えるので、これはtの二次式
とするとf(−y)＝f(−z)＝0と
因数定理より
∴f(t)＝k(t＋y)(t＋z) (kは定数)
f(0)＝kyz＝(y＋z)＾3 −y＾3−z＾3＝3yz(y＋z)
∴k＝3(y＋z)
tをxに置き換えて解を得る
解法２でもまぁまぁしんどいの笑う
3変数の対象式が、(x+y)(y+z)(z+x)を因数に持つことを利用すると係数調整して瞬殺
⚠️正しくは｢x-y, y-z, z-xのどれか1つを因数にもつならば、他の2つも因数にもつ｣だから必ずしもx, y, zの対称式が(x-y)(y-z)(z-x)を因数にもつとは限らない。
新高一です！
この動画を見てから色んな動画を見ていき
数学の楽しみに気づき最近は自分で問題を作ったりしてます！
自分勝手なんですけど、自分で作った因数分解の問題で工夫した解き方が分からなくなってしまったので、もしよかったら解説してくれたら嬉しいです！
問題 x^4+14x^3+40x^2-126x-441
答え (x+7)^2 (x+3)(x-3)
x^4+14x^3+40x^2-126x-441
=x^4+40x^2-441+14x^3-126x
=(x^2+49)(x^2-9)+14x(x^2-9)
=(x^2-9)(x^2+14x+49)
=(x+7)^2(x+3)(x-3)
でどうでしょうか
ありがとうございます！
こうやって置き換えて計算して行っても、正解に近づいてるのか分からない不安があるからゴリ押しで安定を取りたくなるんだから、もともとうまくいくって知ってないと解法2は出来なさそう
最後の方のやつ、多分(x+z)で括るのが1番早そう。
与式のxに-yを、同様にしてyに-zを、zに-xを代入すると、与式は０になるから、与式は、A（x）（x+y）（y+z）（z+x）と表現できる。この式のx,y,zに、１を代入すれば、A（x）は３となる。
あとは、逆にこの式が成立するか確認すればOK。
もっといえば、与式は対称式だから、x+yを因数に持つのが確認できればy+z,z+xも無条件に持ちますね。
かしこい！
対称性を利用すればy+zが見えた瞬間x+y,x+zって因数もあるって察してあとは次数と係数を確かめるだけ
公式使うとわりと楽でした。
(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)
=(x+y+z)^3-(x+y+z)((x+y+z)^2-3xy-3yz-3zx)-3xyz
=3((x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz)
あとは t=y+z と置き換えて x について整理すればできました。
パッと見て x^3, y^3, z^3 の項が消えるって気づくのがポイントじゃないかと思いました。
3xyzはもともとなかった括弧内に3xyを加えたことに対する帳尻合わせだと思いますが、3xyzになる理由がわかりません。教えて頂けると幸いです。
この公式の利用です。
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
これから
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
になるので、このまま２つめの括弧に代入しました。
@@知世ちゃんと結婚する
アプローチミスでした。
(x + y)^3 - 3xy(x + y) + z^3にしてしまい、貴方様の式変形に疑問を感じていました。
返信ありがとうございました。
これは難しかった‼️
(y+z)の因数が出た時点で、対称式により、(x+y)、(z+x)の因数が含むことも確定しています。式が3次式なのでそれ以外の因数は含みません。
つまりあとは係数を確定するだけなので適当に数字を代入すれば3という係数を確定できます。
x^3+y^3＝（x+y）^3−3xy（x+y）を利用してさらに（x+y）^3とz^3でおなじことをすると（x+y+z）^3が消えるのであとは共通因数でくくるを繰り返せば4行くらいで終わりますね
３項の３乗の展開ぐらい、面倒くさがらずできるようになった方が良いと思います
展開は、愚直にやるのではなく、組み合わせを使って、
x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3yz(y+z)+3zx(z+x)+6xyz
とすらすらできるようになること
質問なのですが、問題の数式に対称性があったら、答え(因数分解結果)には必ず文字が循環して現れるのですか？
そうだよ
教えて頂きありがとうございます。ということは、この問題ではy+zの因数が出てきた時からx+y,z+xも因数として持つことが分かり、(問題が二次式なのは明らか)頭の係数だけを比較すれば良い感じですかね？😺
二次式というのは、一つの文字の三乗がないという意味です！
@@ざっきぃ-k4w
それでOKですが、記述式だと念のため展開して一致する事を明記して十分性を言及するのが得策と思います。
そうだよ(便乗)じゃないそうだよってなかなか見ないよねw
展開してやってみるのも一興
数学、楽しすぎて他の教科に影響が、、、(^-^;
大学への数学4月号に載ってましたね
3次までは立方体書くのが好き
工夫と手抜きを区別できたらええねんけど、三乗和or差の公式すら時期尚早かも。これは自力で導出させないとあかんやろね。
一応僕のやり方です。
(a-x)(a^2+ax+x^2)-(y+z)(y^2-yz+z^2)
=(y+z){(a-x)^2+3ax-(y+z)^2+3yz}
=(y+z)(3ax+3yz) (∵a=x+y+zよりa-x=y+z)
=3(y+z)(ax+yz)
=3(y+z){x(x+y+z)+yz}
=3(y+z){x(x+y)+z(x+y)}
=3(x+y)(y+z)(z+x)
平方完成することで(a-x)^2が相殺されるので楽かもです。
このくらいなら楽しようとして下手に色々考えるよりも、公式使って普通に展開して計算する方が早そうですね
話聞いてなくて草
凄い面白い‼️
最後-xyzが因数分解終わったんかなあ...ってなっちゃった。
3次の
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz
の形すげえ便利だよな
受験終わった文系やが解けて嬉しいンゴ
この問題、標準問題精講のⅡBの最初の方にあった
与式が対称式なので因数分解した結果も対称式ってところからある程度推測できる
交代式になる場合もあります
(x-y)＾2＝x＾2-2xy＋y＾2
途中で対称性に気づけて進歩を感じた
ぱっと見(x＋y＋z)^2のやつが浮かんだけど全く違った
大数3月号に似たようなのあったな
定性的にいうと
対称式マイナス対称式だからやはり対称式。
項は同類項をまとめないと3^3－3＝24個出てくる。
どうせ3次のクロスタームしか出てこない。
2個同じ文字のやつ(x^2yなど、6種類)が3つずつ、
全部違う文字のやつ(xyz)が6つ出てくる。
展開とは総当たりの順列のことなんです。
だから、かずまなぶ氏同様に「計算せずに展開」することが私もオススメになります。
初手で3で括れるし。
数式を定性的に見るクセをつけると楽ですよ。