Ciao Gaetano! Grazie per questa chicca! P.s. Chi enuncia delle conseguenze che non sono contenute nelle premesse....può pure rendersi conto dopo che lo erano 😜😜😜
Bel trucco, non lo conoscevo! Riflettendoci un attimo, si può fare la stessa cosa anche col prodotto: d/dx (f·g^n) = (f'·g + nf·g')g^{n-1} Mi chiedo se abbia senso, didatticamente, proporre queste due formule invece di quelle consuete per n=1. Per non farle percepire il caso n=1 e il caso n generico come formule distinte, si potrebbe fare la dimostrazione per induzione su n, con n=0 caso base (banale), mentre per gli n successivi la dimostrazione sarebbe poco più complicata di quella arcinota del caso n=1. Ho provato a fare la dimostrazione della formula del prodotto f·g^n e mi è venuta abbastanza agevolmente. Immagino che, anche per quella del quoziente, la dimostrazione per induzione ricalchi quella del caso n=1.
@@GaetanoDiCaprio Sì sì ho visto il video con attenzione. La dimostrazione non richiede l'induzione però richiede di conoscere la formula della derivata di un quoziente. Ritengo che si possa fare la dimostrazione (per induzione) senza presupporre la formula della derivata del quoziente. In un colpo solo, diciamo! Facevo questo ragionamento perché io tendo a mostrare ai miei studenti meno formule possibili, quindi mi chiedevo se avesse senso proporre loro solo la formula più generale. Se per dimostrare quella generale c'è bisogno della formula "standard" ovviamente questo discorso casca, perché gliele dovrei comunque insegnare entrambe.
Ciao Gaetano, in effetti è una formula utile. Un altro metodo utile, almeno in questo caso è la riduzione in fratti semplici, ad esempio sommando e sottraendo 1 al numeratore si ha y=x/(x+1)^2=(x+1-1)/(x+1)^2= (x+1)/(x+1)^2-1/(x+1)^2= 1/(x+1)-1/(x+1)^2= (x+1)^-1 - (x+1)^-2 che è facilmente derivabile y'=-1/(x+1)^2+2/(x+1)^3 y''=2/(x+1)^3-6/(x+1)^4=(2x-4)/(x+1)^4.
Il tutto si riduce al fatto che la base del denominatore è un fattore comune ai due termini del denominatore quindi la funzione derivata ottenuta è semplificabile direttamente senza svolgere pedissequamente le moltiplicazioni. In questo esempio, generalizzabile appunto nella forma veloce, Il fattore (x+1) è semplificabile direttamentee immediatamente in ogni passaggio di derivazione.
Un altro metodo per risolvere il problema è utilizzare la differenzazione logaritmica, che tuttavia in questo caso è un pochino laboriosa, ma che in altre situazioni risulta essere molto utile.
un altro metodo potrebbe essere questo: partiamo da: y=x/(x+1)² (*) , che posso riscrivere così: y(x+1)² = x a questo punto derivo rispetto a x a destra e a sinistra: y' (x+1)² + 2y(x+1) = 1 risolvo rispetto a y': y'=(1-2y(x+1))/(x+1) a questo punto, nel mebro di dx, sostituisco y con la sua definizione (*), semplificando e riarrangiando si ottiene il risultato finale
In realtà il metodo lento si può accelerare, nella derivata prima, raccogliendo al numeratore (x+1) e semplificando con il denominatore (x+1)^4, ottenendo (x+1)^3. Mentre nella derivata seconda si può fare la stessa cosa raccogliendo al numeratore (x+1)^2 col denominatore (x+1)^6 ecc. evitando un sacco di calcoli inutili.
@@GaetanoDiCaprio mi dispiace contraddirla, ma nella parte “standard” non ha fatto i raccoglimenti a fattor comune che avrebbero reso i calcoli molto più semplici. Sospetto per far sembrare più sorprendente la formula usata, che è semplicemente il risultato del raccoglimento e della semplificazione. Perché imparare una formula in più quando basta saper fare le scomposizioni semplici?
Continuo a invitarla a guardare il video perché dal minuto 6:43 in poi ci sono i raccoglimenti e le semplificazioni. Non capisco davvero perché alcune persone (lei purtroppo non è l'unico) si ostinano a commentare senza guardare il video.
@@GaetanoDiCaprio ok, ha ragione. Mi sono limitato alla prima parte e ho staccato perché trovavo il video poco utile. Ma complimenti per il lavoro, sicuramente tornerà utile a qualcuno. Io personalmente preferisco usare meno formule possibili.
Ciao Gaetano! Grazie per questa chicca!
P.s. Chi enuncia delle conseguenze che non sono contenute nelle premesse....può pure rendersi conto dopo che lo erano 😜😜😜
Buongiorno, non trovo il suo indirizzo email.
invitoallamatematica@gmail.com
Bel trucco, non lo conoscevo!
Riflettendoci un attimo, si può fare la stessa cosa anche col prodotto: d/dx (f·g^n) = (f'·g + nf·g')g^{n-1}
Mi chiedo se abbia senso, didatticamente, proporre queste due formule invece di quelle consuete per n=1. Per non farle percepire il caso n=1 e il caso n generico come formule distinte, si potrebbe fare la dimostrazione per induzione su n, con n=0 caso base (banale), mentre per gli n successivi la dimostrazione sarebbe poco più complicata di quella arcinota del caso n=1. Ho provato a fare la dimostrazione della formula del prodotto f·g^n e mi è venuta abbastanza agevolmente. Immagino che, anche per quella del quoziente, la dimostrazione per induzione ricalchi quella del caso n=1.
Al minuto 8:19 c'è la dimostrazione (che non richiede induzione)
@@GaetanoDiCaprio Sì sì ho visto il video con attenzione. La dimostrazione non richiede l'induzione però richiede di conoscere la formula della derivata di un quoziente. Ritengo che si possa fare la dimostrazione (per induzione) senza presupporre la formula della derivata del quoziente. In un colpo solo, diciamo!
Facevo questo ragionamento perché io tendo a mostrare ai miei studenti meno formule possibili, quindi mi chiedevo se avesse senso proporre loro solo la formula più generale. Se per dimostrare quella generale c'è bisogno della formula "standard" ovviamente questo discorso casca, perché gliele dovrei comunque insegnare entrambe.
Assolutamente sensato, ha ragione
Ciao Gaetano, in effetti è una formula utile.
Un altro metodo utile, almeno in questo caso è la riduzione in fratti semplici, ad esempio sommando e sottraendo 1 al numeratore si ha y=x/(x+1)^2=(x+1-1)/(x+1)^2=
(x+1)/(x+1)^2-1/(x+1)^2=
1/(x+1)-1/(x+1)^2=
(x+1)^-1 - (x+1)^-2
che è facilmente derivabile
y'=-1/(x+1)^2+2/(x+1)^3
y''=2/(x+1)^3-6/(x+1)^4=(2x-4)/(x+1)^4.
Sì è vero, conosco quel metodo ed è molto comodo, ma a mio parere questa formula è ancora più conveniente
Quello che tu chiami numerino al numeratore nel metodo veloce, "n" per intenderci, è l'esponente che compare nella g(X)^2? Grazie
È l'esponente della potenza presente al denominatore, come evidente dalla formula
Il tutto si riduce al fatto che la base del denominatore è un fattore comune ai due termini del denominatore quindi la funzione derivata ottenuta è semplificabile direttamente senza svolgere pedissequamente le moltiplicazioni. In questo esempio, generalizzabile appunto nella forma veloce, Il fattore (x+1) è semplificabile direttamentee immediatamente in ogni passaggio di derivazione.
Sì esatto, è esattamente il succo di quanto volevo mostrare con questo video
Un altro metodo per risolvere il problema è utilizzare la differenzazione logaritmica, che tuttavia in questo caso è un pochino laboriosa, ma che in altre situazioni risulta essere molto utile.
👍
Laboriosa o inefficace?
@@robdellaccm2092 Solo laboriosa. Ovviamente prima di scrivere ho fatto tutti i calcoli
@@59entoniOk, provato anche io! Un po' di sbattimento con i moduli in effetti c'è, ma gestibile
Grande!!!
Mille grazie Signor Professore mi sento meno ignorante…dalla Svizzera con molto affetto !
Rien que pour vous…
Triangle rectangle…
a^2 + b^2 = c^2
3^2 + 4^2 = 5^2
9 + 16 = 25 (25^1/2=5)
a = 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31
b = 4 - - - - - - - - -
c = 5 - - - - - - - - -
Comment :
Trouver toutes les valeurs :
b = ….
c = ….
Bonne salutations 🖖
👋
un altro metodo potrebbe essere questo:
partiamo da: y=x/(x+1)² (*) , che posso riscrivere così:
y(x+1)² = x a questo punto derivo rispetto a x a destra e a sinistra:
y' (x+1)² + 2y(x+1) = 1
risolvo rispetto a y':
y'=(1-2y(x+1))/(x+1)
a questo punto, nel mebro di dx, sostituisco y con la sua definizione (*), semplificando e riarrangiando si ottiene il risultato finale
In realtà il metodo lento si può accelerare, nella derivata prima, raccogliendo al numeratore (x+1) e semplificando con il denominatore (x+1)^4, ottenendo (x+1)^3. Mentre nella derivata seconda si può fare la stessa cosa raccogliendo al numeratore (x+1)^2 col denominatore (x+1)^6 ecc. evitando un sacco di calcoli inutili.
Grazie, ma evidentemente non hai guardato tutto il video. Peccato
Ottimo !
Un metodo ancora più veloce si basa sulla formula (fg)'' = f''g+2f'g' +fg'' ponendo f(x)=x (cosicché f''=0 e f'=1) e g(x)=(x+1)^{-2}
Interessante, grazie
C'era anche una regola per calcolare velocemente la derivata di [A(x)B(x)C(x)...]/[A'(x)B'(x)C'(x)...]
Quale?
Mai sentito parlare di raccoglimento a fattor comune?
Mi sa che non hai guardato il video
@@GaetanoDiCaprio mi dispiace contraddirla, ma nella parte “standard” non ha fatto i raccoglimenti a fattor comune che avrebbero reso i calcoli molto più semplici. Sospetto per far sembrare più sorprendente la formula usata, che è semplicemente il risultato del raccoglimento e della semplificazione. Perché imparare una formula in più quando basta saper fare le scomposizioni semplici?
Si, qualcosa sul raccoglimento abbiamo sentito dire, in tanti anni di studio, cmq grazie...
Continuo a invitarla a guardare il video perché dal minuto 6:43 in poi ci sono i raccoglimenti e le semplificazioni. Non capisco davvero perché alcune persone (lei purtroppo non è l'unico) si ostinano a commentare senza guardare il video.
@@GaetanoDiCaprio ok, ha ragione. Mi sono limitato alla prima parte e ho staccato perché trovavo il video poco utile. Ma complimenti per il lavoro, sicuramente tornerà utile a qualcuno. Io personalmente preferisco usare meno formule possibili.