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- เผยแพร่เมื่อ 9 ก.พ. 2025
- In questo video facciamo chiarezza su alcuni concetti che generano tanta confusione nella risoluzione. Partendo dalla definizione di dominio di una funzione reale di una variabile reale e di definizione di soluzione di un'equazione andiamo ad affrontare x^x=x^-1/3. Poi facendo una breve riflessione sui valori del dominio negativi della funzione x^x verifichiamo le soluzioni trovate. Più chiaro di così non si può.
Bravo prof. mi fa riappassionare alla matematica dopo tanti anni. Seguirò il suo canale con molto interesse. Le faccio i miei più sinceri complinenti per tutte quelle precisazioni che chiariscono i vari quesiti, a fronte purtroppo di quelle semplificazioni scolastiche che diversamente all'intenzione, creano perplessità e spesso gravi incomprensioni. Grazie per il suo lavoro.😊
Dio mio vi adoro tutti, dopo due anni passati a seguire programmi di approfondimento in modo compulsivo e dibattiti politici su qualsiasi evento potesse stimolare l’ormai patetico confronto tra destra e sinistra, niente vs nulla, leggere il vostro meraviglioso scambio di pareri nel “dominio” della matematica è stato straordinariamente catartico….mi agevola un senso di rinnovato amore per l’umanità intera…..😊😊😊😊😊😊😊…..grazie ragazzi, in un’altra vita mi laureo in matematica e vi tengo compagnia……
Faccio notare però che anche lei ha commesso una (piccola) imprecisione: al primo passaggio non si può fare il logaritmo se x è negativo, si deve sistemare con i valori assoluti già da lì se no quella scrittura non ha senso
Un'altra piccola imprecisione è stata all'inizio quando usa il termine identità anziché uguaglianza vera
Giusto! Una funzione esponenziale deve avere base positiva.
Soluzione più semplice:
Moltiplicare entrambi i lati per x^(1/3). Dato che x=/= 0, la quantità a destra diventa 1.
Dunque abbiamo che
x^(x+1/3) = 1.
Se ci limitiamo a soluzioni positive, x= 1 è l'unica soluzione.
Se accettiamo soluzioni negative -1/3 e -1 sono altre 2 soluzioni. Dobbiamo porre l'esponente = 0 oppure l'argomento = +/- 1
Mah, il video sembra aggiungere confusione a confusione.
Sia (-1)^(-1/3) che (-1/3)^(-1/3) NON sono quantità REALI.
L'autore sembra giocare con il fatto che le tre soluzioni indicate siano effettivamente numeri reali (come richiesto) ma non dà importanza al fatto che i valori dell'espressione ad essi corrispondenti non lo siano affatto (e in effetti ciò non è richiesto).
Stai forse dicendo che -1 e −1,442249570307408382321638310780109588391 non sono numeri reali?
@@danielenascioli900
Me ne guardo bene.
Sto SOLO dicendo che (-1)^(-1/3) = 0.5000 - 0.8660i e che (-1/3)^(-1/3) = 0.7211 - 1.2490i NON sono numeri REALI.
Scusami per non aver aggiunto altre cifre decimali.
Non puoi togliere il segno "-" dal numero di base sottoposto a potenza e aggiungerlo poi solo al risultato finale.
@@silviomanca8328 correggimi se sbaglio:
(-1)^-1/3 = (1/-1)^1/3= (1)^1/3 : (-1)^1/3 = 1/-1=-1;
(-1/3)^-1/3=(-3)^1/3=1,44...
La calcolatrice ha un problema nel calcolare (-1/3)^-1/3, ma se scrivi -3^1/3 o -0,3333^-1/3 invece funziona eppure sono la stessa operazione scritta in maniera diversa.
Stesso discorso vale per (-1)^(-1/3) qui però basta semplicemente scrivere -1^(-1/3).
Mistero della tecnologia.
@@danielenascioli900
La calcolatrice ha un problema perché quella che usi (forse quella di Windows?) non è adatta a compiere ogni tipo di operazione.
Prova (ad esempio) con WolframAlpha online (il link mi viene cassato: lo trovi con Google).
Attento che quando scrivi sia la base che la potenza tutto il numero (compreso il segno "-") va scritto tra parentesi.
@@danielenascioli900
La calcolatrice ha un problema perché quella che usi (forse quella di Windows?) non è adatta a compiere ogni tipo di operazione.
Provane un'altra, ad esempio online.
Attento che quando scrivi sia la base che la potenza tutto il numero (compreso il segno "-") va scritto tra parentesi.
x=-1/3 l'ho subito individuata a occhio ed ha perfettamente senso poiché l'esponente è un numero razionale che, scritto come frazione ridotta ai minimi termini, ha denominatore dispari e dà luogo, quindi, alla radice terza di -1/3 che ovviamente esiste come esistono tutte le radici con indice dispari, a prescindere dal segno della base..
Provato con wolfram alfa?
La definizione di dominio presentata è ovviamente sbagliata. Se definisci f come una funzione f:R->R, allora è implicito che f(x) appartiene ad R per ogni x in R.
Inoltre, si è soliti indicare come dominio di x^x l'insieme R+, dato che non è definita sui numeri irrazionali negativi.
Non è vero che non è definita su numeri irrazionali negativi. Ad esempio, -pi^(-pi) = - 1/ (pi^pi) che è reale.
Qualora intendessi dire che non è definita su numeri razionali (cioè in Q) negativi, anche questo è falso come ti mostra l'autore del video sostituendo -1/3.
Non è definita su numeri razionali negativi di denominatore pari, in generale.
@@mprone è platealmente falso che (-pi)^(-pi) sia definito. Hai applicato male le regole delle potenze. (-pi)^(-pi) = (-1)^(-pi) * pi^(-pi).
La quantità (-1)^(-pi) non è definita. Scegli una qualsiasi successione a_n di razionali con numeratore pari tale che a_n -> pi. Allora (-1)^a_n -> 1 dato che (-1)^a_n = 1 per ogni n.
Possiamo anche scegliere una successione b_n con numeratore e denominatore dispari tale che b_n -> pi. In quel caso (-1)^b_n -> -1.
Dunque (-1)^pi non è definito. Così come non lo è (-pi)^(-pi)
@@thedude882mai sentito parlare di eccezioni?
Stando al tuo ragionamento dovremmo cancellare dai libri di matematica la regola n : n = 1 perché sostituendo n con 0 verrebbe 0 : 0 = 1 il che è errato, ignorando tutti gli altri infiniti casi che al contrario rendono vera tale affermazione.
@@danielenascioli900 l'identita' n/n = 1 e' tale in quanto la divisione implicitamente per n indica n != 0. Inoltre in qualsiasi libro di analisi I il dominio viene indicato come R+. Convenzione, ma sensata, perche' e' privo di senso avere una funzione definita su Z- e pochi altri negativi.
@@thedude882 "il dominio viene indicato come R+" questa definizione si applica per le funzioni logaritmiche e quelle con radici positive, la funzione in questione è una radice cubica fratta, perché x^-1/3 = 3√(1/x)
Il dominio di una funzione con radice cubica è tutto R mentre per una funzione fratta il denominatore deve essere diverso da 0, ergo il campo di esistenza comprende tutto R ad eccezione di 0.
Ma perché devo prendere il logaritmo e non un altro operatore? Si fa fatica a capire l'arbitrarietà della scelta.
Che operatore vorresti prendere?
@@thedude882 Non si tratta di un gusto personale ma di capire qual'è la logica che sta dietro alla scelta. Mi metto nei panni di uno studente che ad un certo punto si sente dire dal Prof. "adesso prendiamo il logaritmo"…uno studente si chiede: "ma perché devo prendere il logaritmo?". Tutto qui.
@@leonardopoerio4007 Qual è si scrive senza apostrofo, Leonardo. Il logaritmo esiste proprio per risolvere equazioni con incognita all'esponente, la scelta è la meno arbitriaria possibile. Spero vivamente che tu non sia un insegnante.
@@thedude882 allora, per essere grammatici oltre che matematici, tra "proprio" e "risolvere" ci vuole un "per" (nel senso di preposizione e non di operatore) 😁
@@criomat vero. Ma c'è differenza tra uno strafalcione e il saltare una parola quando si cancella mezza frase per riscriverla.
In questo video ci sono varie imprecisioni.
La prima è nella definizione di dominio di una funzione. Se uno scrive "f : R --> R", allora automaticamente il dominio della funzione è R. Ciò che intendevi invece definire è il "campo di esistenza" (o insieme di definizione) dell'espressione analitica f(x), cioè l'insieme dei numeri reali che possono essere sostituiti al posto di x in modo tale che f(x) definisca un numero reale. Se questo insieme A non è vuoto, allora può essere preso come dominio di una funzione f : A --> R che ad ogni numero x in A associa il numero f(x).
La seconda imprecisione sta nel fatto che la prima cosa da fare, quando si ha un'equazione, è studiare in quale insieme varia l'incognita, ovvero, equivalentemente, calcolare l'intersezione dei campi di esistenza dei due membri dell'equazione. Questo andava fatto prima di fare i vari passaggi dello svolgimento.
La terza imprecisione sta nel calcolare i logaritmi naturali dei due membri dell'equazione, che potrebbero essere negativi, ad esempio proprio per le soluzioni x=-1 e x=-1/3. I logaritmi potevano essere presi solo per x>0. Una volta osservato che x=0 rende non definito il secondo membro dell'equazione, l'equazione andava studiata a parte per x
Il video sarebbe da rifare. Osservazioni ottime.
marcopavone3223 -- Esatto
ma -1 non può andar bene! A meno che non stabiliamo che - 1/3 e -2/6 sono due numeri diversi!
Perché bisogna usare il valore assoluto?
grande !!!
Geogebra non ha i limiti citati
La funzione y=x^x ha come dominio x maggiore di zero (base deve essere positiva, e secondo me, pure diversa da uno, ma qui potrei sbagliare).
Però le condizioni di esistenza non escludono a priori i valori reali negativi, gli unici numeri che attribuiti alla x non danno risultati reali sono 0(forma di indeterminazione) e le frazioni negative con denominatore paro ad es. -1/2; -1/4; -1/6(in questi casi le soluzioni si trovano esclusivamente nell'insieme dei numeri complessi perché sono radici con indice positivo di numeri negativi).
perché se metto in grafico le 2 funzioni ottengo un solo punto di intersezione ? ... perché perdo tempo a commentare perditempo ?
Non stiamo cercando le intersezione tra due curve, ma le soluzioni di un'equazione. Non sempre c'è corrispondenza tra le 2 cose. Come già detto nel video, le soluzioni di un'equazione sono tutti i valori che sostituiti all'incognita permettono di ottenere un'identità. È sbagliato mischiare le 2 cose.
Ma se le soluzioni sono 3
Una equazione che sbagliano tutti….compreso l’autore del video che ci vuole ricamare una lezione sopra. Come é che nel logaritmo compare magicamente un valore assoluto da un passaggio all’altro ? Pessima figura
Lo spiega nel video
Il titolo è fuorviante. Giusto per indurre la visione
Questo tipo di equazioni li faccio risolvere con l'uguaglianza delle potenze
Però in questo modo non trovi tutte le soluzioni reali
@@fotimath Ma, come giustamente dici alla fine del video, lo studente impara (sempre se lo impara) quello che il libro gli propone. Non solo: l'insegnante propone quello che propone il libro. Va oltre se ne sa qualcosa, se ne ha la voglia, il tempo, la classe giusta, ecc.
mah... x^x definita per valori negativi è un colabrodo!!
Poveri noi.
Logaritmi