Warum wird unser Leben von Primzahlen gesichert?🤔📝 Verschlüsselung mit Primzahlen
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- เผยแพร่เมื่อ 14 ต.ค. 2024
- In unserer heutigen digitalen Welt ist die Sicherheit bei der Nachrichten- und Datenübertragung extrem wichtig. Es gibt verschiedene Verfahren zu sicheren Übertragung, bei vielen spielen Primzahlen eine wichtige Rolle. Mathematiker haben maßgeblich dazu beigetragen durch Erkenntnisse aus der Primzahlforschung Sicherheitsverfahren zu entwickeln. In diesem Video soll es deshalb darum gehen warum die RSA-Verschlüsselung auf Primzahlen basiert und welche Mathematik dahinter steckt.
Warum wird unser Leben von Primzahlen gesichert?🤔📝 Verschlüsselung mit Primzahlen
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Danke für die Darstellung.
Eine Tabelle mit der Multiplikation der Primzahlen (10:50 etwa im Video) und ihrer Ergebnisse löst das Problem N zu finden. Die beiden Multiplikatoren lassen sich dann einfach ablesen. Habe einfach mal eine Tabelle mit Primzahlen bis 1000 angelegt. Das ausrechnen der Multiplikationen hat nicht wirklich lange gedauert.
Je größer desto länger.
@@neonschaf Dafür hat der liebe Gott Copy und Paste erfunden.
@@DirkKuepper Ja, sind halt immer neue Zahlen dabei, so einfach geht das nicht.
Heutzutage wird häufig RSA-4096 verwendet. Die 4096 bedeutet dass der schlüssel 4096 bit lang ist. Um alle Möglichkeiten zu erfassen bräuchtest du 2^4096*512Byte speicher, also viel zu viele um sie alle zu speichern.
Zur Verschlüsslung würde ich heutzutage aber eher ed25519 verwenden. Dieser bietet mit einer Schlüssellänge von 255bit wahrscheinlich mehr Sicherheit, da die Primzahlendichte mit hören zahlen abnimmt.
Macht es das dann aber nicht "einfacher" das zu knacken? Es gibt weniger Primzahlen als natürliche Zahlen und die Primzahlen sind bekannt. Leider gibt es keine Antwort, wenn man nach der Anzahl der bekannten Primzahlen sucht.
Es gibt aber trotzdem unendlich viele Primzahlen, darum bleibt es extrem schwierig zu knacken. 😉
@@entwurzler
Natürlich, aber es gibt keinen einfachen Weg Primzahlen zu bestimmen.
Es gibt nicht weniger Primzahlen als natürliche Zahlen. In der Praxis können wir durchaus sehr große Primzahlen finden, die großgenug sind, das wir Entschlüsselung durch Brute Force (insbesondere schlaue Force) auf über Trilliarden von Jahren Rechenzeit steigern können, sodass das eben im Grunde "unmöglich" ist.
Was ist, wenn unser ganzes Leben aus Primzahlen besteht? 🤯
😄😄
Schau doch einmal nach Dr. Peter Plichta und seinem Primzahlkreuz.
Auch die Musik wird überwiegend durch Primzahlen strukturiert und bestimmt.
Anhand Tasten vom Klavier kann man sie sogar direkt sehen!
Wenn man das ernst nimmt mach das nicht soviel Sinn. Denn Primzahlen benötigen Konzepte wie Teilbarkeit, diese wiederum die natürlichen Zahlen, weswegen diese das Fundament bilden müssen, nicht die Primzahlen.
Sofern man eine ganze Zahl als Produkt zweier Zahlen darstellen kann, lässt sich dieser Vorgang rekursiv fortsetzen, bis im Produkt nur noch Zahlen übrig bleiben, die nicht mehr weiter teilbar sind. Das ist doch völlig logisch. Das als Wunder der Primfaktorenzerlegung darzustellen, beweist die Selbstherrlichkeit der Mathematik. Mein Kritik richtet sich natürlich nicht gegen diesen Kanal, sondern gegen Mathematik im Allgemeinen.
Das, was du meinst, ist eine Irreduziblenzerlegung. In den ganzen Zahlen ist die mit der Primfaktorzerlegung immer identisch, weil jedes irreduzible Element prim ist.
In vielen anderen kommutativen Ringen (das sind die algebraischen Strukturen, die mit den ganzen Zahlen wesentliche Eigenschaften gemeinsam haben) ist das aber nicht so. Deshalb ist die populäre Definition von Primzahl, die er hier auch reproduziert, im Allgemeinen eigentlich eine eines irreduziblen Elements. Eine Irreduziblenzerlegung gibt es eigentlich in allen Ringen, die mir im Studium bisher begegnet sind. Ein Primelement ist aber eigentlich im Allgemeinen etwas Spezielleres, was dazu führt, dass Primfaktorzerlegungen zwar im Fall der Existenz eindeutig sind, aber eben nicht immer existieren. Ein Ring, in dem jedes Element eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat (wie in den ganzen Zahlen), heißt faktoriell. In nicht-faktoriellen Ringen sind Irreduziblenzerlegungen nicht immer eindeutig, d.h. man kann Elemente auf unterschiedliche Arten als Produkt von Irreduziblen darstellen.
Noch eine Bemerkung zur angeblichen Selbstherrlichkeit der Mathematik: Logisch im wahrsten Sinne des Wortes ist Mathematik immer, denn Beweise sind in der Mathematik immer auf reine Logik zurückzuführen (Auch wenn es natürlich Axiome gibt, aber mit denen geht man sehr bewusst und sparsam um). Aber dadurch ist Mathematik noch nicht einfach, weil die Aussagen und damit auch die Beweise beliebig kompliziert werden. Wenn du mir das nicht glaubst, dann such im Internet vielleicht mal nach irgendeinem PDF zur Zahlentheorie, das ungefähr auf deinem Kenntnisstand ansetzt, und versuche ein paar Kapitel zu verstehen. Du bist von mir aus herzlich eingeladen, dich am mathematischen Erkenntnisprozess zu beteiligen. Ich kann dir jedenfalls versichern, dass man selbst mit Hochbegabung nicht ohne eine ganze Menge kognitiver Arbeit durch ein Mathematikstudium kommt.
Die Mathematiker selbst halten das nicht für ein Wunder. Gewisse "Verkäufer" stellen das immer nur so dar!
Allerdings verursacht Objektivität in der Regel bei den meisten Menschen den Eindruck der Arroganz.
Wie, etwas soll nicht relativ sondern absolut sein? Lies einmal Angst vor der Wahrheit von Paul Boghossian.
Darin widerlegt er Konstruktivismus und Relativismus, welche tatsächlich mit einer gewissen Selbstherrlichkeit darherkommen!
Es sind tatsächlich Zahlensystem denkbar, nachdem dieser Algorithmus unterschiedliche (also mehrere) "Faktorenzerlegungen" erzeugen kann.