Nicht nur für die Schule... Das braucht man im Leben tatsächlich (wenn man richtig weit kommen möchte) Ich habe eine Firma im Bereich Technologie und solche Dinge sind unsere Werkzeuge. Tolles Video!
Die Geschichte der Mathematik . Unverzichtbar um die moderne Mathematik zu verstehen ! Ich freue mich auch auf Teil 2. Man kann übrigens auf den " Umweg " über die komplexen Zahlen eine Reihe uneigentlicher Integrale lösen .
Das bildest du dir doch alles ein! 🙂 Ne mal im Ernst, ich finde es erstaunlich, wie viele Menschen noch nie von komplexen Zahlen bzw. der imaginären Einheit gehört haben.
Wer nun gedacht hat, mit der Herangehensweise von Bombelli, wie im Video beschrieben, alle kubischen Gleichungen der reduzierten Form z³+pz+q=0 mit dem negativen Radikanden Wurzel aus (1/4*q² + (p/3)³) lösen zu können, der wird bitter enttäuscht sein. Denn es klappt nicht bei allen Gleichungen dieser Art, dass sich am Ende alle Wurzeln wegheben und wie bei der Aufgabe x³-15x-4=0 gezeigt, x=2+2=4 als Lösung übrig bleibt. Der Vollständigkeit halber sei hier noch erwähnt, dass diese Gleichung noch zwei weitere reelle Lösungen besitzt, nämlich -3,73205... und -0,26795... Wer alle (reduzierten) kubischen Gleichungen mit negativem Radikanden lösen möchte, dem möchte ich den trigometrischen Lösungsansatz empfehlen, da diese Methode sehr zuverlässig die richtigen Lösungen liefert. Vielleicht wäre auch da mal ein Video angebracht, wie die Mathematiker in der damaligen Zeit diesen Lösungsweg gefunden haben.
4:14 Die eigentliche Leistung hier ist, den Ausdruck oben überhaupt erst zu finden, denn der Ausdruck wurde offensichtlich so konstruiert, dass die Umformung das benötigte Ergebnis liefert.
Cardano hat Formel von seinem Lehrer bekommen und versprochen nirgendwo es weitergeben. Allerdings hat ihm ein andere Mathematiker das gleiche in Werken von seinem Lehrer gezeigt. Da wurde Cardano klar auch andere dran sind. Danach hat er diese Formel publiziert wonach von seinem Lehrer geklagt wurde. Am Ende sind beide bedeutungslos geworden , denn einander viele Schäden angefügt haben
Cardano hat die Formel nicht von seinem "Lehrer" bekommen, wie kommst du denn darauf? Er bekam die Formel von Tartaglia, das war ein Kollege von ihm, nicht sein Lehrer. (Der Rest stimmt dann so in etwa.) Und Cardano ist alles andere als "bedeutungslos geworden".
Das wurde nicht "entdeckt". Wie der Name schon sagt, ist das imaginär und existiert daher "real" nicht. Das hat sich jemand als Rechenspiel ausgedacht, und mal geschaut, was die Folgen wären, wenn es ein "i" mit diesen Eigenschaften gäbe. Da wurde einfach mal wild rumgesponnen. Was Mathematiker halt so tun. Erst SEHR SEHR viel später ist man in der Physik und Ingenieurswissenschaft auf Probleme gestoßen, die von ihrer Struktur her ähnlich sind. Dadurch eignen sich diese vorher rein hypothetischen Rechenregeln dazu, diese Phänomene zu berechnen, und manchmal erstmalig geschlossene Lösungen anbieten zu können.
Naja auch die Reellen Zahlen (oder sogar natürlichen Zahlen) "existieren" nicht wirklich. Keine Zahl existiert als Entität, Zahlen sind immer Konzepte. Wenn du aus dem Fenster guckst, findest du keine "2", ohne _etwas_ (eigenes), _das_ *zu* *zweit* ist. Die Frage ob eine Zahl existiert bzw. echt ist, hängt also nicht davon ab, ob es diese tatsächlich als Entität irgendwo gibt (was für Konzepte nicht geht), sondern ob sie reale Beziehungen und Ereignisse beschreiben kann, also ob sie in der echten Welt verankert ist, und nicht nur ein frei-erfundenes Sprachkonstrukt. Das gilt auch für die komplexe Zahlen, da sie als Zweck beispielsweise die Rotation (im 2-Dimensionalem) beschreiben können. Dass die komplexen Zahlen einen "imaginären" Teil haben, hat damit nichts zutun. Das ist nur ein Name, der ist Zufall oder Schicksal. Wahrscheinlich kömmt er daher, dass die komplexen Zahlen zwar algebraisch Zahlen sind, aber andererseits abseits des herkömmlichen Zählen oder Messens (als welche Zahlen intuitiv verstanden werden) liegen.
Alleine die Tatsache, dass imaginäre Zahlen in Physik und Ingenieurwissenschaften ständig verwendet werden, um reale Probleme zu lösen, zeigt doch, dass diese Zahlen durchaus in der Natur existieren. (Sofern man bei _irgendwelchen_ Zahlen _überhaupt_ jemals davon sprechen kann, dass die in der Natur existieren, siehe den Kommentat von Neonschaf.)
Gut daß ich die Flexzahlen erfunden habe.z.B. die Müllersche Zahl M".Egal welche Rechenoperation man mit dieser Zahl durchführt, das Ergebnis ist IMMER 64 !!! (Nein,nicht 42) Ein paar Beispiele : 3x:2z+M" = 64 oder 0 : 0 - M" = 64 sogar M" x M" ergibt 64.... Immer ist das Ergebnis 64 (Die heilige Zahl der Schachspieler) Ich möchte nicht angeben,aber ein Nobelpreis wäre das eigentlich schon wert.👨🎓
Man kann nicht nur Wurzeln aus negativen Radikanden ziehen, sondern auch Logarithmen negativer Zahlen. Wenn man weiß, dass e^πi = −1, dann bekommt man ln(−1) = πi. Und damit ist ln(−x) = ln(−1 · x) = ln(−1) + ln(x) = ln(x) + πi.
So einfach ist das leider nicht. Der komplexe Logarithmus kann man leider nur auf ganz C bis auf ein Schlitz definieren (z.b C\]-infty,0[ oder C\]0,infty[. In der Regel entscheidet man sich f0r das erstere, weswegen selbst im komplexen ungern aus negativen Zahlen der Logarithmus gezogen wird, obwohl es prinzipiell ginge. Wenn du dich frägst, weshalb wir diesen Schlitz brauchen, liegt es daran, dass ansonsten der Logarithmus nicht wohldefiniert wäre. Beachte nämlich e^(2pi i) ist das selbe wie e^(4pi i). Was soll nun aber der Logarithmus ausspucken? 2 pi oder 4 pi
@@fatihkandemir1296 Ja, natürlich, wenn man sich im Kreis dreht, kommt man wieder am Anfang an. Aber das hat man mit Potenzen von i auch. i^(4n) = 1, i^(4n+1) = i, i^(4n+2) = -1, i^(4n+3) = -i. Jede Multiplikation mit i ist eine Drehung um 90° (π/2) in der komplexen Ebene.
@@Nikioko ich glaube dass du das Problem nicht ganz verstanden hast. Ist nun ln(-x) = ln(x) +pi i + k 2pi i also ne ganze Menge? Funktionen dürfen aber nur ein Funktionswert besitzen. Wenn du dich für eins entscheidest, opferst gleichzeitig die Möglichkeit woanders den ln ziehen zu können.
Ich finde es sehr interessant. Ich werde sehen wie mann tatsächlich diese Aussage interpretieren kann, ohne zu sagen: "Passt auf es geht um imaginären Zahlen". Danke für den Beitrag!
Tja Das ist kein Zwischenschritt. Das ist ein LÖSUNGSANSATZ. Also irgendeine Formel, die solange umgeformt wird, ( ausgewählt aus Dutzend) bis ein entstandener Ausdruck in EINEN TEIL der ursprünglichen Formel passt. Und dann die alte Formel lösen kann - durch weitere Umformung!
Welcher "Zwischenschritt" wurde "mit 3 potenziert"? Meinst du, wie man auf die Rechnung ab 4:10 kommt? Im Wesentlichen war da der Gedanke: Wir haben unter einer dritten Wurzel etwas kompliziertes stehen - also probieren wir halt rum, ob wir dieses komplizierte Ding als die dritte Potenz von etwas einfacherem schreiben kann. Denn dann heben sich die dritte Wurzel und die dritte Potenz ja gegenseitig weg, und das Ergebnis wird viel einfacher.
Du redest mehrmals von "negativen Wurzeln", das ergibt so wenig Sinn; eine negative Wurzel wäre so etwas wie z. B. -sqrt(2). Was du meinst, ist die Wurzel _aus_ etwas Negativem, oder anders gesagt: du meinst einen negativen _Radikanden_.
Dein Titelbild würde schon meinen alten Matheprofessor an der Uni rotieren lassen: i ≠ √-1, denn i^2 = -1 und i = i Du kannst in einer Programmiersprache einem Computer nicht erklären, daß i = √-1 ist, weil dann ERROR kommt. Das war nämlich einer der grundlegenden Fehler meines Vaters, als er Anfang der 80er in BASIC ein Programm zum Rechnen mit komplexen Zahlen selbst programmieren wollte. Erst als ich mein Grundstudium in Chemie mit sehr viel Mathe hinter mir hatte, konnte ich ihm seinen Gedankenfehler erklären.😉
Ein Polynom n-ten Grades hat deshalb genau n Lösungen, weil man es als Produkt von n Binomen schreiben kann, aus der man sämtliche Lösungen direkt ablesen kann (die sog. Nullstellenform). Bei quadratischen Gleichungen entspricht x² − (a+b) ⋅ x + a⋅b = (x−a) ⋅ (x−b). Die Lösungen für x² − (a+b) ⋅ x + a⋅b = 0 wären dann x₁ = a und x₂ = b. Und diese Lösungen können natürlich komplex sein. Oder identisch (sog. doppelte Nullstelle).
Deine Formulierung ist zwar richtig, aber nicht wirklich praktikabel, da es für Gleichungen 5ten oder höheren Grades keine Lösungsformel mehr gibt. Man müsste also Raten (inkl. schlaues Raten), um an ein weiteres Polynom zu gelangen. Eine Formulierung die näher am Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra liegt wäre: Jedes Polynom (mit n>0) hat eine Nullstelle. Zu jedem Polynom gibt es ein Polynom n-1 Grades, dessen Nullstellen eine Teilmenge des vorherigen Polynoms ist (wobei genau eine originale Nullstelle im zweiten Polynom fehle). Daraus folgt, dass Jedes Polynom genau n-1 "Zerlegungen" kennt, die jeweils eine Nullstelle weniger haben, bis das letzte "0ten Grades" ist, bzw. ggf. keine Nullstelle hat. Damit hat jedes Polynom genau 1 + n-1 Nullstellen.
Statt "n Binome" sollte man sagen "n Linearfaktoren". Denn z. B. x² + 1 wäre auch ein Binom, um solche Binome geht es hier ja aber nicht, sondern eben nur um _lineare_ Faktoren.
@@bjornfeuerbacher5514 Die Mathematik ist zu hundert Prozent analytisches Wissen a priori. Entdeckungen sind synthetisches Wissen a posteriori, das empirisch gewonnen wurde.
@@Georgios-ft5nm Kommst du mir jetzt echt mit Begriffen, die Kant vor über 200 Jahren geprägt hat? Die Wissenschaftstheorie hat sich seitdem ein gaaanz klein wenig weiterentwickelt. Und selbst Kant hatte nie behauptet, dass die Mathematik "zu hundert Prozent analytisches Wissen a priori" wäre, das saugst du dir einfach aus den Fingern. Und selbstverständlich spielt Empirie auch in der Mathematik eine Rolle, also gibt es auch in der Mathematik Wissen, das empirisch gewonnen wurde. Ich habe den Eindruck, du wirfst hier mit Fachbegriffen um dich, ohne sie selbst wirklich verstanden zu haben.
@@Georgios-ft5nmnur weil du Latein nutzt hast du nicht Recht. Fakt ist alle Formeln und Regeln die entdeckt wurden existierten bereits, nur eben tief verborgen in der Mathematik. Genauso wie Formeln die zukünftig entdeckt werden schon existieren. Es ist wie in der Quantenmechanik, sie sind existent und gleichzeitig auch nicht.
Das ist bewiesen falsch, der Gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt das es wahre Sätze gibt die man nicht beweisen kann daraus folgt es gibt in der mathematik definition, satz,beweis und sätze ohne beweis die aber wahr sind
Wo ist der zweite Teil? Ich hoffe, Du erklärst nicht nur einfach die Gaußsche Ebene, sondern auch die ANWENDUNG von „i“ in der Technik. Z.B. Spule & Kondensator. Wenn nicht, DURCHGEFALLEN!
Aber wenn man sich einen graph mit x²+1 = 0 ansieht dann scheidet der ja nie y = 0 Also macht das in dem fall ja schon sinn dass es da keine lösung gibt, weil die Funktion da keinen x wert hat. Bei einer Funktion wird ja jedem x wert ein y wert zugewisen aber nicht umgekehrt. das heißt x von -inf bis +inf haben einen bestimmten y wert. aber bei x² gibt es einen Punkt an dem die funktion wieder umdreht und man zu jedem x wert zwei y werte. oder?
Im reellen Zahlenbereich ist das ja auch richtig, der Graph von x²+1 schneidet die x-Achse nicht. Die komplexen Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen, aber sie lassen sich auf der Zahlengeraden nicht darstellen, deshalb versagt hier die übliche Darstellung dieser Funktion. Die komplexen Zahlen lassen sich selber nur in einer Ebene darstellen, deshalb muss und kann man es anders visualisieren. Die Gleichung x²+1 hat dann zwei Lösungen, nämlich -i und +i, wobei i die Wurzel aus -1 ist. Die komplexen Zahlen sind quasi eine kompatible Erweiterung der reellen Zahlen mit vielen schönen Eigenschaften und haben viele Anwendungen.
Das ist eine sehr gute Frage, zu der es tatsächlich ein tolles Video gibt, in dem man grafisch sieht, dass die Parabel eben doch zwei Nullstellen hat: Imaginary Numbers Are Real [Part 1: Introduction], th-cam.com/video/T647CGsuOVU/w-d-xo.html&ab_channel=WelchLabs
Da hilft es zu wissen, dass diese Kurven ja Kegelschnitte sind - also aus der Darstellenden Geometrie kommen. Und in DG kann man solche Kurven der verschiedenen Schnittebenen in sich überführen. Und bei der perspektiv affinen Kurve, sieht man dann die Schnittstellen. Zb In der Geometrie haben zwei parallelle Linien eine Schnittstelle im Unendlichen
Das Minus kommt daher, dass i = √-1 ist. Wenn du jetzt i*i oder √-1*√-1 also i² rechnest, ergibt es -1 weil sich beide Wurzeln raus kürzen(genau wie z.B. bei √4*√4). Minus mal Minus ist plus würde nur bei z.B. -√1*-√1 gelten, nicht bei √-1*√-1
Dein Mathelehrer dreht sich garantiert nicht im Grab um, denn der hat in seinem Studium garantiert auch komplexe Zahlen gelernt. Schließe nicht von deiner eigenen Unwissenheit darauf, was angeblich nicht möglich ist. "Minus mal minus ist plus" Ist richtig, für das Thema hier aber irrelevant. "welche zahl mal mit sich selbst ergibt minus" Jede imaginäre Zahl. Das wurde hier im Video erklärt. Versuch' mal, das zu verstehen, statt einfach zu behaupten, das würde nicht gehen.
Der Begriff ist historisch entstanden, weil dies mal vor Jahrhunderten so wahrgenommen wurde, aber hat heute mit der landläufigen Vorstellung von "imaginär" überhaupt nichts zu tun. Die komplexen Zahlen haben eine saubere mathematische Struktur, die weder unwirklich noch mystisch ist.
Es war nun eben erst mal nur imaginär, bis man zeigte, dass sich solche Zahlen wirklich widerspruchsfrei konstruieren lassen. Im Sinne des Wortes wären alle Zahlen imaginär.
Nein falsch. Der Name "imaginär, bedeutet nicht, dass sich Zahl nicht da ist. Es bedeutet nur das der Name schwachsinnig ist. - Gauss hatte dazu mal einen schönen Satz abgelassen. - Dummerweise kann man sich die Existenz der natürlichen Zahlen nicht diskutieren man kann sie nur anwenden. - Die imaginäre Einheit lässt sich Geometrisch aus der -1 Herleiten. Es beginnt mit der Überlegung das -1 x -1 wieder 1 ist. Stellt man sich die eins als Vektor auf dem Zahlenstrahl vor leitet sich ab, dass die -1 wenn mit ihr multipliziert eine Geometrische Operation darstellt. Eine Rotation von 180°. - daraus ergibt sich sofort die Frage ob es auch eine Zahl gibt die 90° rotiert bei Multiplikation, und die gibt es.
Schöner punkt, aber das ist tatsächlich nicht "möglich". Natürlich kannst du $j$ als Lösung für die Gleichung $x * 0 = 1$ erklären, aber dann gehen dir eine Menge Rechenregeln (Algebraische Regeln) verloren. Das zeigt sich daran, wenn man zum Beispiel diese Gleichung nochmal mal null nimmt. j * 0 * 0 = 1 * 0 = 0 Was jetzt? In welcher Reihenfolge müssen wir (j * 0 * 0) jetzt rechnen? Ist egal bei Mal, sagst du? So einfach ist das leider nicht, wenn man das beispielsweise von hintenrechnet, dann: j * (0 * 0) = j * 0 = 1. Damit haben wir. 1 = 0
Soweit ich mich erinnere, ist das möglich, wenn man nicht mit der normalen Zahlengerade arbeitet, sondern mit der sogenannten "projektiven Gerade". Müsste ich aber nochmal nachlesen...
Also, ich hatte noch komplexe Zahlen in der Schule. Und im Grunde sind sie sowas wie die vierte Dimension. Man kann sie sich kaum vorstellen, aber sie sind da. Und haben eine praktische Anwendung. Und wenn man dann die Zahlengerade zur komplexen Ebene erweitert und Real- und Imaginärteil senkrecht zueinander aufträgt, dann wird das Ganze auch vorstellbar und logisch. Komplexe Zahlen haben einfach eine Dimension mehr als reelle Zahlen.
Du darfst komplexe Zahl nicht so esoterisch betrachte. Es ist grob gesagt eine sehr gemütlich Erweiterung der reelen Zahlen und nur so reel wie es die reele Zahlen sind also gar nicht. Man kann prinzipiell sogar in den meisten Fällen komplett darauf verzichten, wenn man wie du schon sagst einfach eine reele Achse hinzunimmt.
Hatten wir auch in der Schule und im Studium. Aber es wurde NIE erklärt, wie man da drauf gekommen war. Man musste es einfach so hinnehmen und ich habe mich immer gefragt: Wer kommt auf so eine Idee und was rauchen die vorher?? 🙂 Jetzt habe ich es herausgefunden (wer drauf kam, nicht was die geraucht haben..) Tolles Video.
Ich hoffe, Euer Lehrer hat das Euch nicht so erklärt. Die mathematische Einführung ist relativ einfach und völlig unspektakulär und hat nichts Mystisches an sich. Das war vielleicht mal so in der Vergangenheit so, aber über dieses Stadium sind wir schon lange hinaus. Dieses Video hier macht keine mathematische Einführung, da muss man sich andere Videos anschauen, z.B. die von Prof. Weitz aus Hamburg. Man muss allerdings in der Lage sein, Strukturen zu verstehen und in diesen zu denken, dann erkennt man die Einfachheit und erliegt nicht der Versuchung, hier irgend etwas Geheimnisvolles zu vermuten.
@@thomasschattat13 Der Grundgedanke ist sehr einfach: Bestimmte Dinge funktionieren in einem Zahlenbereich nicht, also erweitert man den Bereich. Innerhalb der natürlichen Zahlen funktioniert die Bildung von Differenzen nicht immer, also erweitert man sie zu den ganzen Zahlen. Innerhalb der ganze Zahlen funktioniert die Division nicht immer, also erweitert man sie zu den rationalen Zahlen. Innerhalb der rationalen Zahlen funktioniert die Limes Bildung nicht,immer, also erweitert man sie zu den reellen Zahlen. Jetzt ist die Zahlengerade voll, da passt jetzt nichts mehr rein. Aber noch immer geht nicht alles, einige algebraische Gleichungen können nicht gelöst werden, z.B. x^2+1=0. Also erweitert man den Zahlenbereich wieder, diesmal zu den komplexen Zahlen und jetzt geht es. Dazu muss man nichts rauchen, sondern sehr klar denken können und mathematisch begabt sein, um so etwas zu entwickeln.. Historisch gesehen lief der Prozess teilweise sehr kompliziert ab, weil man solche Erweiterungen oft nicht akzeptierte, verteufelte oder mystifizierte. Wenn man dies aber heute im Rahmen einer Vorlesung z.B. vorgestellt bekommt, ist es klar, einfach und logisch.
@@markushahn9123 Die imaginären Zahlen sind ebenso wenig entdeckt worden wie Kolombus Amerika entdeckt hat. Kolumbus war nie in Amerika und die imaginären Zahlen sind reine Definitionssache. Lies ein Geschichtsbuch und eins über Mathe. ;-)
Lasst euch nicht verückt machern mit dem ganzen Wurzelgeziehe. Sind wir denn hier beim Zahnarzt oder was? Nein, die Antwort auf alles lautet immer 42! Muss man wissen!
𝓗 *_ä_*_ ? ?_ - Wenn I C H *_𝛭uss_* . . . , dann gehe ich zum Klo - und dort gibt es keinerlei '' *42!* '' , nie und nimmer , , , Also, #5mnz , Ich hätte es deshalb lieber _ANSCHAULICHER_ ausgedrückt, nämlich statt ---n und w--- mit 𝓵 und 𝓹 = '' Muss ma𝓵 𝓹i..en! '' : - }} .
Wie wurde die imaginäre Zahl entdeckt? ausser 10 Minuten jonglieren haben Sie nichts gezeigt!. Hätten Sie besser die Erklärung der Enstehungen solche Equationen zeigen. Wann eine Reele Lösung gibt und wann einen Imaginäre. Weil sonst die Gleichungen keinen Zweck haben. Sie könnten mit y=x²-1 anfangen und die kartesische Darstellung davon zeigen. Jetzt muss ich zum Garten einen Zypress entwurzeln.
![SAFEPLANET - ดาวเคราะห์ [ THE PLANET ]](http://i.ytimg.com/vi/4X1XL3I_k3c/mqdefault.jpg)
Nicht nur für die Schule... Das braucht man im Leben tatsächlich (wenn man richtig weit kommen möchte) Ich habe eine Firma im Bereich Technologie und solche Dinge sind unsere Werkzeuge. Tolles Video!
Absolut mindblowing - vielen Dank für das Video! Freue mich auf den 2. Teil
Die Geschichte der Mathematik . Unverzichtbar um die moderne Mathematik zu verstehen ! Ich freue mich auch auf Teil 2.
Man kann übrigens auf den " Umweg " über die komplexen Zahlen eine Reihe uneigentlicher Integrale lösen .
sehr gut erklärt! Glückwunsch zu Ihrer Begabung.
Das bildest du dir doch alles ein! 🙂
Ne mal im Ernst, ich finde es erstaunlich, wie viele Menschen noch nie von komplexen Zahlen bzw. der imaginären Einheit gehört haben.
Sehr interessantes Video. Ich studiere selbst im Ingenieurbereich und habe doch ab und zu mit komplexen Zahlen zu tun. Gute Einführung!
Teil 2 bitte ganz bald-was für ein Cliffhanger
Wer nun gedacht hat, mit der Herangehensweise von Bombelli, wie im Video beschrieben, alle kubischen Gleichungen der reduzierten Form z³+pz+q=0 mit dem negativen Radikanden Wurzel aus (1/4*q² + (p/3)³) lösen zu können, der wird bitter enttäuscht sein.
Denn es klappt nicht bei allen Gleichungen dieser Art, dass sich am Ende alle Wurzeln wegheben und wie bei der Aufgabe x³-15x-4=0 gezeigt, x=2+2=4 als Lösung übrig bleibt.
Der Vollständigkeit halber sei hier noch erwähnt, dass diese Gleichung noch zwei weitere reelle Lösungen besitzt, nämlich -3,73205... und -0,26795...
Wer alle (reduzierten) kubischen Gleichungen mit negativem Radikanden lösen möchte, dem möchte ich den trigometrischen Lösungsansatz empfehlen, da diese Methode sehr zuverlässig die richtigen Lösungen liefert. Vielleicht wäre auch da mal ein Video angebracht, wie die Mathematiker in der damaligen Zeit diesen Lösungsweg gefunden haben.
Ach ist das aufregend
vor allem, wenn man sich einmal verrechnet, dann taugt die ganze Mühe nichts. Mir liegt diese Erbsenzählerei nicht.
Suoer! Den 2 Teil schaue ich mir gerne an!
Cool - Dankeschön. :)
„Ich denke, also bin ich“ den guten Philosophen/Mathematiker spricht man aber „Dekart“ aus (immer diese Franzosen ;) )
Wenn man nun für Wurzel aus -121 x einsetzt und versucht x mit dem Annäherungsverfahren auszurechnen, kommt für x=1,17955 heraus.
4:14 Die eigentliche Leistung hier ist, den Ausdruck oben überhaupt erst zu finden, denn der Ausdruck wurde offensichtlich so konstruiert, dass die Umformung das benötigte Ergebnis liefert.
Wie kommt man von 4:12 auf 4:15 ?
Wunderbares Video !!!!!
Cardano hat Formel von seinem Lehrer bekommen und versprochen nirgendwo es weitergeben. Allerdings hat ihm ein andere Mathematiker das gleiche in Werken von seinem Lehrer gezeigt. Da wurde Cardano klar auch andere dran sind. Danach hat er diese Formel publiziert wonach von seinem Lehrer geklagt wurde.
Am Ende sind beide bedeutungslos geworden , denn einander viele Schäden angefügt haben
Cardano hat die Formel nicht von seinem "Lehrer" bekommen, wie kommst du denn darauf? Er bekam die Formel von Tartaglia, das war ein Kollege von ihm, nicht sein Lehrer. (Der Rest stimmt dann so in etwa.)
Und Cardano ist alles andere als "bedeutungslos geworden".
Das wurde nicht "entdeckt". Wie der Name schon sagt, ist das imaginär und existiert daher "real" nicht. Das hat sich jemand als Rechenspiel ausgedacht, und mal geschaut, was die Folgen wären, wenn es ein "i" mit diesen Eigenschaften gäbe. Da wurde einfach mal wild rumgesponnen. Was Mathematiker halt so tun.
Erst SEHR SEHR viel später ist man in der Physik und Ingenieurswissenschaft auf Probleme gestoßen, die von ihrer Struktur her ähnlich sind. Dadurch eignen sich diese vorher rein hypothetischen Rechenregeln dazu, diese Phänomene zu berechnen, und manchmal erstmalig geschlossene Lösungen anbieten zu können.
Naja auch die Reellen Zahlen (oder sogar natürlichen Zahlen) "existieren" nicht wirklich. Keine Zahl existiert als Entität, Zahlen sind immer Konzepte. Wenn du aus dem Fenster guckst, findest du keine "2", ohne _etwas_ (eigenes), _das_ *zu* *zweit* ist. Die Frage ob eine Zahl existiert bzw. echt ist, hängt also nicht davon ab, ob es diese tatsächlich als Entität irgendwo gibt (was für Konzepte nicht geht), sondern ob sie reale Beziehungen und Ereignisse beschreiben kann, also ob sie in der echten Welt verankert ist, und nicht nur ein frei-erfundenes Sprachkonstrukt. Das gilt auch für die komplexe Zahlen, da sie als Zweck beispielsweise die Rotation (im 2-Dimensionalem) beschreiben können.
Dass die komplexen Zahlen einen "imaginären" Teil haben, hat damit nichts zutun. Das ist nur ein Name, der ist Zufall oder Schicksal. Wahrscheinlich kömmt er daher, dass die komplexen Zahlen zwar algebraisch Zahlen sind, aber andererseits abseits des herkömmlichen Zählen oder Messens (als welche Zahlen intuitiv verstanden werden) liegen.
Alleine die Tatsache, dass imaginäre Zahlen in Physik und Ingenieurwissenschaften ständig verwendet werden, um reale Probleme zu lösen, zeigt doch, dass diese Zahlen durchaus in der Natur existieren. (Sofern man bei _irgendwelchen_ Zahlen _überhaupt_ jemals davon sprechen kann, dass die in der Natur existieren, siehe den Kommentat von Neonschaf.)
joa sehr interessant und freue mich auf die fortsetzung - aber für cliffhanger gibts leider kein like ;)
Veritasium hatte dazu auch ein Video gemacht.
Bei Descartes wird keines der S ausgesprochen.
Danke für den Tipp :)
Das Video ist perfekt. 👍🏼
Gut daß ich die Flexzahlen erfunden habe.z.B. die Müllersche Zahl M".Egal welche Rechenoperation man mit dieser Zahl durchführt, das Ergebnis ist IMMER 64 !!! (Nein,nicht 42) Ein paar Beispiele : 3x:2z+M" = 64 oder 0 : 0 - M" = 64 sogar M" x M" ergibt 64.... Immer ist das Ergebnis 64 (Die heilige Zahl der Schachspieler) Ich möchte nicht angeben,aber ein Nobelpreis wäre das eigentlich schon wert.👨🎓
5:17 Wie kannst Du die Wurzel so kürzen, wenn doch das Voreichen in der Wurzel das nicht erlaubt.
schönes Video!
Man kann nicht nur Wurzeln aus negativen Radikanden ziehen, sondern auch Logarithmen negativer Zahlen. Wenn man weiß, dass e^πi = −1, dann bekommt man ln(−1) = πi. Und damit ist ln(−x) = ln(−1 · x) = ln(−1) + ln(x) = ln(x) + πi.
Aber die Wurzelfunktion ist definiert als eine Funktion von R
So einfach ist das leider nicht. Der komplexe Logarithmus kann man leider nur auf ganz C bis auf ein Schlitz definieren (z.b C\]-infty,0[ oder C\]0,infty[. In der Regel entscheidet man sich f0r das erstere, weswegen selbst im komplexen ungern aus negativen Zahlen der Logarithmus gezogen wird, obwohl es prinzipiell ginge. Wenn du dich frägst, weshalb wir diesen Schlitz brauchen, liegt es daran, dass ansonsten der Logarithmus nicht wohldefiniert wäre. Beachte nämlich e^(2pi i) ist das selbe wie e^(4pi i). Was soll nun aber der Logarithmus ausspucken? 2 pi oder 4 pi
@@fatihkandemir1296 Ja, natürlich, wenn man sich im Kreis dreht, kommt man wieder am Anfang an. Aber das hat man mit Potenzen von i auch. i^(4n) = 1, i^(4n+1) = i, i^(4n+2) = -1, i^(4n+3) = -i. Jede Multiplikation mit i ist eine Drehung um 90° (π/2) in der komplexen Ebene.
@@Nikioko ich glaube dass du das Problem nicht ganz verstanden hast. Ist nun ln(-x) = ln(x) +pi i + k 2pi i
also ne ganze Menge? Funktionen dürfen aber nur ein Funktionswert besitzen. Wenn du dich für eins entscheidest, opferst gleichzeitig die Möglichkeit woanders den ln ziehen zu können.
Ich finde es sehr interessant. Ich werde sehen wie mann tatsächlich diese Aussage interpretieren kann, ohne zu sagen: "Passt auf es geht um imaginären Zahlen". Danke für den Beitrag!
Wahrscheinlich liegt es an mir, aber warum der Zwischenschritt dann plötzlich mit 3 potenziert wurde, ist mir nicht klar.
Tja
Das ist kein Zwischenschritt.
Das ist ein LÖSUNGSANSATZ.
Also irgendeine Formel, die solange umgeformt wird, ( ausgewählt aus Dutzend) bis ein entstandener Ausdruck in EINEN TEIL der ursprünglichen Formel passt.
Und dann die alte Formel lösen kann - durch weitere Umformung!
Das ist das was vorher rausgekommen ist. Man hat das quasi zurück eingesetzt.
Welcher "Zwischenschritt" wurde "mit 3 potenziert"? Meinst du, wie man auf die Rechnung ab 4:10 kommt? Im Wesentlichen war da der Gedanke: Wir haben unter einer dritten Wurzel etwas kompliziertes stehen - also probieren wir halt rum, ob wir dieses komplizierte Ding als die dritte Potenz von etwas einfacherem schreiben kann. Denn dann heben sich die dritte Wurzel und die dritte Potenz ja gegenseitig weg, und das Ergebnis wird viel einfacher.
Wer Englisch verträgt, kann sich die Videos von Welch Lab anschauen. Die Lösung ist jedoch hier viel detaillierter dargestellt
Sehr gut
Du redest mehrmals von "negativen Wurzeln", das ergibt so wenig Sinn; eine negative Wurzel wäre so etwas wie z. B. -sqrt(2). Was du meinst, ist die Wurzel _aus_ etwas Negativem, oder anders gesagt: du meinst einen negativen _Radikanden_.
🙂
Viel zu viel unnötiges Beiwerk. Bis Du zum Kern kommst, hast Du den Großteil der Leute bereits abgehängt.
Oh ja, wie wahr : aus i wird bei enger Wiederholung _i i i i_ h ...
Ich fand es unterhaltsam.
Dein Titelbild würde schon meinen alten Matheprofessor an der Uni rotieren lassen:
i ≠ √-1, denn i^2 = -1 und i = i
Du kannst in einer Programmiersprache einem Computer nicht erklären, daß i = √-1 ist, weil dann ERROR kommt. Das war nämlich einer der grundlegenden Fehler meines Vaters, als er Anfang der 80er in BASIC ein Programm zum Rechnen mit komplexen Zahlen selbst programmieren wollte. Erst als ich mein Grundstudium in Chemie mit sehr viel Mathe hinter mir hatte, konnte ich ihm seinen Gedankenfehler erklären.😉
Fortran kann mit komplexen Zahlen rechnen, Matlab auch.
@@andreasjell734 Ja.... ich habe auch mit Fortran gearbeitet. Und irgendjemand hat Fortran das "beigebracht", daß es mit C rechnen kann.😉
Ein Polynom n-ten Grades hat deshalb genau n Lösungen, weil man es als Produkt von n Binomen schreiben kann, aus der man sämtliche Lösungen direkt ablesen kann (die sog. Nullstellenform).
Bei quadratischen Gleichungen entspricht x² − (a+b) ⋅ x + a⋅b = (x−a) ⋅ (x−b). Die Lösungen für x² − (a+b) ⋅ x + a⋅b = 0 wären dann x₁ = a und x₂ = b. Und diese Lösungen können natürlich komplex sein. Oder identisch (sog. doppelte Nullstelle).
Deine Formulierung ist zwar richtig, aber nicht wirklich praktikabel, da es für Gleichungen 5ten oder höheren Grades keine Lösungsformel mehr gibt. Man müsste also Raten (inkl. schlaues Raten), um an ein weiteres Polynom zu gelangen.
Eine Formulierung die näher am Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra liegt wäre:
Jedes Polynom (mit n>0) hat eine Nullstelle. Zu jedem Polynom gibt es ein Polynom n-1 Grades, dessen Nullstellen eine Teilmenge des vorherigen Polynoms ist (wobei genau eine originale Nullstelle im zweiten Polynom fehle). Daraus folgt, dass Jedes Polynom genau n-1 "Zerlegungen" kennt, die jeweils eine Nullstelle weniger haben, bis das letzte "0ten Grades" ist, bzw. ggf. keine Nullstelle hat. Damit hat jedes Polynom genau 1 + n-1 Nullstellen.
Statt "n Binome" sollte man sagen "n Linearfaktoren". Denn z. B. x² + 1 wäre auch ein Binom, um solche Binome geht es hier ja aber nicht, sondern eben nur um _lineare_ Faktoren.
Es wäre schön, wenn die Eigennamen "Girolamo" Cardano und René "Descartes" richtig ausgesprochen würden und nicht verdeutscht.
In der Mathematik gibt es keine Entdeckungen, sondern nur Definitionen, Sätze und Beweise.
Definitionen, Sätze und Beweise werden alle entdeckt, die fallen nicht einfach so vom Himmel. Also doch, es gibt in der Mathematik Entdeckungen.
@@bjornfeuerbacher5514 Die Mathematik ist zu hundert Prozent analytisches Wissen a priori. Entdeckungen sind synthetisches Wissen a posteriori, das empirisch gewonnen wurde.
@@Georgios-ft5nm Kommst du mir jetzt echt mit Begriffen, die Kant vor über 200 Jahren geprägt hat? Die Wissenschaftstheorie hat sich seitdem ein gaaanz klein wenig weiterentwickelt.
Und selbst Kant hatte nie behauptet, dass die Mathematik "zu hundert Prozent analytisches Wissen a priori" wäre, das saugst du dir einfach aus den Fingern.
Und selbstverständlich spielt Empirie auch in der Mathematik eine Rolle, also gibt es auch in der Mathematik Wissen, das empirisch gewonnen wurde.
Ich habe den Eindruck, du wirfst hier mit Fachbegriffen um dich, ohne sie selbst wirklich verstanden zu haben.
@@Georgios-ft5nmnur weil du Latein nutzt hast du nicht Recht. Fakt ist alle Formeln und Regeln die entdeckt wurden existierten bereits, nur eben tief verborgen in der Mathematik. Genauso wie Formeln die zukünftig entdeckt werden schon existieren. Es ist wie in der Quantenmechanik, sie sind existent und gleichzeitig auch nicht.
Das ist bewiesen falsch, der Gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt das es wahre Sätze gibt die man nicht beweisen kann daraus folgt es gibt in der mathematik definition, satz,beweis und sätze ohne beweis die aber wahr sind
Wo ist der zweite Teil? Ich hoffe, Du erklärst nicht nur einfach die Gaußsche Ebene, sondern auch die ANWENDUNG von „i“ in der Technik. Z.B. Spule & Kondensator. Wenn nicht, DURCHGEFALLEN!
Aber wenn man sich einen graph mit x²+1 = 0 ansieht dann scheidet der ja nie y = 0 Also macht das in dem fall ja schon sinn dass es da keine lösung gibt, weil die Funktion da keinen x wert hat. Bei einer Funktion wird ja jedem x wert ein y wert zugewisen aber nicht umgekehrt. das heißt x von -inf bis +inf haben einen bestimmten y wert. aber bei x² gibt es einen Punkt an dem die funktion wieder umdreht und man zu jedem x wert zwei y werte. oder?
Im reellen Zahlenbereich ist das ja auch richtig, der Graph von x²+1 schneidet die x-Achse nicht. Die komplexen Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen, aber sie lassen sich auf der Zahlengeraden nicht darstellen, deshalb versagt hier die übliche Darstellung dieser Funktion. Die komplexen Zahlen lassen sich selber nur in einer Ebene darstellen, deshalb muss und kann man es anders visualisieren. Die Gleichung x²+1 hat dann zwei Lösungen, nämlich -i und +i, wobei i die Wurzel aus -1 ist. Die komplexen Zahlen sind quasi eine kompatible Erweiterung der reellen Zahlen mit vielen schönen Eigenschaften und haben viele Anwendungen.
Das ist eine sehr gute Frage, zu der es tatsächlich ein tolles Video gibt, in dem man grafisch sieht, dass die Parabel eben doch zwei Nullstellen hat:
Imaginary Numbers Are Real [Part 1: Introduction], th-cam.com/video/T647CGsuOVU/w-d-xo.html&ab_channel=WelchLabs
Und es wird auch toll erklärt, warum der Begriff "imaginär" eigentlich kein guter Begriff für imaginäre Zahlen ist.
@@freddy_zaubert
Eigentlich ist das ein ganz guter Begriff!
Er muss sich ja nicht in der Populärkultur beweisen, wer weiß was es ist, kennt den Namen:
Da hilft es zu wissen, dass diese Kurven ja Kegelschnitte sind - also aus der Darstellenden Geometrie kommen.
Und in DG kann man solche Kurven der verschiedenen Schnittebenen in sich überführen.
Und bei der perspektiv affinen Kurve, sieht man dann die Schnittstellen.
Zb In der Geometrie haben zwei parallelle Linien eine Schnittstelle im Unendlichen
Minus mal minus ist plus .welche zahl mal mit sich selbst ergibt minus irgenwas.mein mathelehrer dreht sich im grab um .Beispiel-1×-1=1 ,genau
Das Minus kommt daher, dass i = √-1 ist.
Wenn du jetzt i*i oder √-1*√-1 also i² rechnest, ergibt es -1 weil sich beide Wurzeln raus kürzen(genau wie z.B. bei √4*√4). Minus mal Minus ist plus würde nur bei z.B. -√1*-√1 gelten, nicht bei √-1*√-1
i selbst ist weder negativ noch positiv. Denn i ist weder kleiner als 0, noch größer als 0 (und auch nicht gleich).
Dein Mathelehrer dreht sich garantiert nicht im Grab um, denn der hat in seinem Studium garantiert auch komplexe Zahlen gelernt. Schließe nicht von deiner eigenen Unwissenheit darauf, was angeblich nicht möglich ist.
"Minus mal minus ist plus"
Ist richtig, für das Thema hier aber irrelevant.
"welche zahl mal mit sich selbst ergibt minus"
Jede imaginäre Zahl. Das wurde hier im Video erklärt. Versuch' mal, das zu verstehen, statt einfach zu behaupten, das würde nicht gehen.
Etwas imaginäres kann man nicht entdecken, nur ausdenken.
Der Begriff ist historisch entstanden, weil dies mal vor Jahrhunderten so wahrgenommen wurde, aber hat heute mit der landläufigen Vorstellung von "imaginär" überhaupt nichts zu tun. Die komplexen Zahlen haben eine saubere mathematische Struktur, die weder unwirklich noch mystisch ist.
Wenn es sich aber um ein in sich logisch funktionierendes system handelt, dann entdeckt man.
Es war nun eben erst mal nur imaginär, bis man zeigte, dass sich solche Zahlen wirklich widerspruchsfrei konstruieren lassen.
Im Sinne des Wortes wären alle Zahlen imaginär.
Nein falsch. Der Name "imaginär, bedeutet nicht, dass sich Zahl nicht da ist. Es bedeutet nur das der Name schwachsinnig ist. - Gauss hatte dazu mal einen schönen Satz abgelassen. - Dummerweise kann man sich die Existenz der natürlichen Zahlen nicht diskutieren man kann sie nur anwenden. - Die imaginäre Einheit lässt sich Geometrisch aus der -1 Herleiten. Es beginnt mit der Überlegung das -1 x -1 wieder 1 ist. Stellt man sich die eins als Vektor auf dem Zahlenstrahl vor leitet sich ab, dass die -1 wenn mit ihr multipliziert eine Geometrische Operation darstellt. Eine Rotation von 180°. - daraus ergibt sich sofort die Frage ob es auch eine Zahl gibt die 90° rotiert bei Multiplikation, und die gibt es.
Hätte man „lateral“ nennen können.
Dann kann man sicher auch durch Null teilen - so lange man eine "imaginäre Null" nimmt...
Schöner punkt, aber das ist tatsächlich nicht "möglich". Natürlich kannst du $j$ als Lösung für die Gleichung $x * 0 = 1$ erklären, aber dann gehen dir eine Menge Rechenregeln (Algebraische Regeln) verloren. Das zeigt sich daran, wenn man zum Beispiel diese Gleichung nochmal mal null nimmt.
j * 0 * 0 = 1 * 0 = 0
Was jetzt? In welcher Reihenfolge müssen wir (j * 0 * 0) jetzt rechnen? Ist egal bei Mal, sagst du? So einfach ist das leider nicht, wenn man das beispielsweise von hintenrechnet, dann:
j * (0 * 0) = j * 0 = 1.
Damit haben wir. 1 = 0
Soweit ich mich erinnere, ist das möglich, wenn man nicht mit der normalen Zahlengerade arbeitet, sondern mit der sogenannten "projektiven Gerade". Müsste ich aber nochmal nachlesen...
Also, ich hatte noch komplexe Zahlen in der Schule. Und im Grunde sind sie sowas wie die vierte Dimension. Man kann sie sich kaum vorstellen, aber sie sind da. Und haben eine praktische Anwendung. Und wenn man dann die Zahlengerade zur komplexen Ebene erweitert und Real- und Imaginärteil senkrecht zueinander aufträgt, dann wird das Ganze auch vorstellbar und logisch. Komplexe Zahlen haben einfach eine Dimension mehr als reelle Zahlen.
Du darfst komplexe Zahl nicht so esoterisch betrachte. Es ist grob gesagt eine sehr gemütlich Erweiterung der reelen Zahlen und nur so reel wie es die reele Zahlen sind also gar nicht. Man kann prinzipiell sogar in den meisten Fällen komplett darauf verzichten, wenn man wie du schon sagst einfach eine reele Achse hinzunimmt.
Hatten wir auch in der Schule und im Studium. Aber es wurde NIE erklärt, wie man da drauf gekommen war. Man musste es einfach so hinnehmen und ich habe mich immer gefragt: Wer kommt auf so eine Idee und was rauchen die vorher?? 🙂 Jetzt habe ich es herausgefunden (wer drauf kam, nicht was die geraucht haben..) Tolles Video.
Letztlich kann man es nur in der abstrakten Algebra verstehen, Gruppen,Ringe, Körper, Körpererweirerungen usw
Ich hoffe, Euer Lehrer hat das Euch nicht so erklärt. Die mathematische Einführung ist relativ einfach und völlig unspektakulär und hat nichts Mystisches an sich. Das war vielleicht mal so in der Vergangenheit so, aber über dieses Stadium sind wir schon lange hinaus. Dieses Video hier macht keine mathematische Einführung, da muss man sich andere Videos anschauen, z.B. die von Prof. Weitz aus Hamburg. Man muss allerdings in der Lage sein, Strukturen zu verstehen und in diesen zu denken, dann erkennt man die Einfachheit und erliegt nicht der Versuchung, hier irgend etwas Geheimnisvolles zu vermuten.
@@thomasschattat13 Der Grundgedanke ist sehr einfach: Bestimmte Dinge funktionieren in einem Zahlenbereich nicht, also erweitert man den Bereich. Innerhalb der natürlichen Zahlen funktioniert die Bildung von Differenzen nicht immer, also erweitert man sie zu den ganzen Zahlen. Innerhalb der ganze Zahlen funktioniert die Division nicht immer, also erweitert man sie zu den rationalen Zahlen. Innerhalb der rationalen Zahlen funktioniert die Limes Bildung nicht,immer, also erweitert man sie zu den reellen Zahlen. Jetzt ist die Zahlengerade voll, da passt jetzt nichts mehr rein. Aber noch immer geht nicht alles, einige algebraische Gleichungen können nicht gelöst werden, z.B. x^2+1=0. Also erweitert man den Zahlenbereich wieder, diesmal zu den komplexen Zahlen und jetzt geht es. Dazu muss man nichts rauchen, sondern sehr klar denken können und mathematisch begabt sein, um so etwas zu entwickeln.. Historisch gesehen lief der Prozess teilweise sehr kompliziert ab, weil man solche Erweiterungen oft nicht akzeptierte, verteufelte oder mystifizierte. Wenn man dies aber heute im Rahmen einer Vorlesung z.B. vorgestellt bekommt, ist es klar, einfach und logisch.
Die imaginäre Zahl ist keine "Entdeckung" sondern eine Definition. Sechs, setzen. Da braucht man sich den Rest vom Video gar nicht erst anzuschauen...
Aber es ist anfangs unglaublich, was man mit komplexen Zahlen alles viel eleganter ausrechnen kann.
Doch natürlich, die Imaginären Zahlen wurde in der Welt der Mathematik durch Erfahrung genau so entdeckt wie Columbus Amerika.
@@markushahn9123 Bullshit. Die imaginären Zahlen sind genauso Definitionen wie die Null. Sowas lernt man im 1. Semester im Mathe-Studium.
@@markushahn9123 Die imaginären Zahlen sind ebenso wenig entdeckt worden wie Kolombus Amerika entdeckt hat. Kolumbus war nie in Amerika und die imaginären Zahlen sind reine Definitionssache. Lies ein Geschichtsbuch und eins über Mathe. ;-)
Franzose 😅😅😅
Das sind komplexe Zahlen, nicht imaginäre Zahlen. i ist die imaginäre Einheit.
Komplexe Zahlen haben meist einen Real- und Imaginärteil!
Komplexe Zahlen haben immer einen Real und Imaginärteil (auch wenn einer oder beide davon 0 sind).
Lasst euch nicht verückt machern mit dem ganzen Wurzelgeziehe. Sind wir denn hier beim Zahnarzt oder was? Nein, die Antwort auf alles lautet immer 42! Muss man wissen!
𝓗 *_ä_*_ ? ?_ - Wenn I C H *_𝛭uss_* . . . , dann gehe ich
zum Klo - und dort gibt es
keinerlei '' *42!* '' , nie und nimmer , , ,
Also, #5mnz , Ich hätte es deshalb lieber _ANSCHAULICHER_ ausgedrückt, nämlich
statt ---n und w--- mit 𝓵 und 𝓹 = '' Muss ma𝓵 𝓹i..en! '' : - }}
.
Wer will denn das wissen?
Die Gretchenfrage des blinden Genies!
Ingenieurinnen, Physikerinnen, Mathematikerinnen...
@@noope8393 und entsprechende Männchen.
Wie wurde die imaginäre Zahl entdeckt? ausser 10 Minuten jonglieren haben Sie nichts gezeigt!. Hätten Sie besser die Erklärung der Enstehungen solche Equationen zeigen. Wann eine Reele Lösung gibt und wann einen Imaginäre. Weil sonst die Gleichungen keinen Zweck haben. Sie könnten mit y=x²-1 anfangen und die kartesische Darstellung davon zeigen. Jetzt muss ich zum Garten einen Zypress entwurzeln.
Man kann dir folgen. Toll, was Euler, Gauß und der Italiener da erkannt haben, doch für mich ist das nichts.