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僕はAFに線をひいて、左の赤三角をア、右の赤三角をイとしましたそうすると、ア+2:イは2:1アはイ+1と同じ面積なので、ア+2はイ+1+2でイ+3になるなので、イ+3:イが2:1になるということは、イは3㎠とわかりましたアはイ+1と同じなので、3+1で4㎠赤三角=ア+イ=4+3=7㎠
AからFに線を引く。🔺AFBをS1.🔺AFEをS2とするとS1+2:S2=2:1,これを変形すると、2S2=S1+2,S1=S2+1.2つのしきからS2=3,S1=4S1+S2=7となる。😅
この問題は何度見ても面白いね。
心配するな普通に水平線引いても解けるまずEの高さはDに対して3/4倍[=(2+1)/(2+2)]DからBCと水平、BEを延長、CからABと平行な各線を足してやると右側に△2(3)つ、下部全体に平行四辺形ができる右にできた小△(上)と水平線下の赤色部分の計は2右にできた小△(下)はBEの延長分=FEなので1小△(上)は小△(下)の1/3倍なので1/3水平線下の赤色部分=5/3底辺を底辺とする△は4水平線を底辺とする△は5/3+1=8/3∴水平線は底辺の2/3倍 => ADはABの2/3倍ABCは(2+2)x3=12赤色以外は計5なので赤色部分は7
マジで補助線引くセンスが欲しい
黒板に手書きで書いているから左のＡＢＣと右のＡＢＣの平行線が1：１には見えませんAC間のDGの平行線がＡＣを等分しているように見えないのです。図形が不得意とする方はこうしたいいかげんな図形では納得していないのです。図形の教師はもっといいかげんな図を書いています。出来れが三角形の定理、数式と同じようにきちっとした図形で説明していただきたいですね。
ご意見ありがとうございます。図形の正確性、重要ですね。
中学の時に図形がにがてでした。７６歳の現在改めて分数の計算のおさらいをしています。今は分数の計算全てを理解できるようになり。図形の勉強を始めています。全ての答えは途中の計算式を見ればどこが理解できていないのかすぐわかるはずです。担任の教師は手抜き授業をしていたが今になって分かりました。全くひどいものです。現在の小学校ではどうなのでしょうか？「後は自分で理解しろ」では教師ではありません。「そんな細かいことは教師はできない」「塾へ行って勉強しろ」だけの教師がいたら、その教師は失格です。生意気なことを書き綴り皆様の足を引っ張って申し訳ございません。劣等生なんて本来、いないのです。今、算数が楽しくてしようがありません。毎日６年生の分数の計算や文章問題問題を暇さえあれば解いています。ほぼ１００点です。答えが間違っているのは計算式の問題の写し間違いだけです。
将来子供に算数教えてあげたくて勉強し直してるけど本当に難しいな。いい感じの場所に中々線が引けない
いいパパになりそうですね！
やっぱり、経験なんだと思います。慣れとも言いますか。ここで良問題にいっぱい触れれば、将来きっと子供に教えられるようになると思います!
DEに補助線を引いて解きました。DF:FC=1:1より△DEF=1△BCE:△DCE=3:2で底辺CEが共通だから高さの比=3:2よりBA:DA=3:2よってBD:DA=1:2△BCD=4より高さが共通だから△DCA=8求める面積は△DCA-△FCE=8-1=7
画面に出たり引っ込んだり、物凄く気になる。もう少し見易い映像を望む
△ABF = △DBF + △ADF = △DBF + △AFE + △EFC = △AFE + 3△ABF = 2△AFEよって△AFE = 3 あとは簡単に分かる
連立方程式に頼ってしまった自分は負け組
”「右図において、色の付いた部分」は無いから、0c㎡です。”って答える小学生はダメな奴ですか？
普通に中学3年生の時の難問として解いた記憶があるから、難関小入試はやっぱすごい。
解説聞けば簡単だが、なかなかたどり着けない‥小学生も大変だ
ＡＦに補助線を引いて、左側の△ＡＤＦの面積をＰ、右側の△ＡＥＦの面積をＱとします。ＤＦ＝ＦＣより、Ｐ＝Ｑ＋１ＡＥ：ＥＣ＝Ｑ：１＝Ｐ＋２：２より、２Ｑ＝Ｐ＋２＝（Ｑ＋１）＋２、Ｑ＝３、Ｐ＝Ｑ＋１＝４、答え＝Ｐ＋Ｑ＝７
自分もこれでした。
自分も、この解き方を、しました。
私もこれでした。
これとほぼ同じですが補助線AFを引いて、辺DF=辺FC、辺EF:辺FB=1:2より①三角形ADF=三角形AFC、②三角形AFE:三角形ABF=1:2また、図より③三角形AFC=三角形AFE+三角形FEC（1cm2）④三角形ADB=三角形ADF+三角形DBF（2cm2）三角形AFE、三角形ADFの面積をそれぞれ○、×と置くと、①、③より×＝○+1②、④より2○=×+2、×=2○-2×同士で等しくなるので○+1=2○-2となる。よって○=3また、×=○+1より×=43+4+2+2+1=12答えは12cm2
だからあ、小学生が解く算数って言ってるじゃん（笑）相似とか面積比を詳しく説明するためにやってんだから。そりゃ簡単に解く方法なんかいくらでもあるわ
連立方程式もなしに解くってどうやるんだろう？と思ってスガフジさんの説明聞きましたつかっちゃいけないとなると無茶苦茶難問ですね小学生すごいわ
Aから交点に補助線引いて別れた赤をx、yとして2y＝x＋2、x＝y＋1の方程式？で解いた感じ
面白い。
左の辺を2分している2:1で2分してたら2＋2=44×2＋4=12 12－4－1=7
てんびんで解くと10秒で解けます。
この補助線EFはさすがに難しいですね。私なら連立方程式の立式を模索します。ところで 16:00 あたりからの急所の議論、補助線FG（またはDE）を引いて三角形どうしの面積比を求めていくよりは、頂上のCから底辺DGに垂線をおろすほうが今回は明快なように思えます。そうすると「△CEFと△CDGとで、底辺の長さの比は1:2、高さの比も同じ1:2、ゆえに面積比は1:4」「一般に、相似な三角形の面積比は長さの比の2乗」という、汎用性の高い定理が導けます。いかがでしょう？その上で、四角形以上の多角形はすべて三角形に分割できるので同様、円も無限小の二等辺三角形に分割できるので同様、としておけば、そこまででもう、中学入試では十分すぎるほどだと思います。もちろん一般の曲線図形、あるいは立体図形（体積比は長さの比の3乗）についても積分で面積・体積を定義すれば同じことが言えますが、さて、「無限に小さい正方形の総和」「無限に小さい立方体の総和」という説明で子供たちが納得してくれるかどうか。
ほとんど計算いらずに答え出ますです。一番大きな三角形の底辺（黄色い三角形の底辺といっしょ）に平行で、黄色い三角形の頂点に平行に直線を引きます。この直線と青三角と緑三角の外側の線との交点と、黄色い三角形の頂点までの距離を青い三角形と緑三角形の底辺の長さと考えます。三角形の高さの比と面積から、青三角の底辺に相当するのが大きい三角形の底辺の半分、緑三角の底辺に相当するのが大きい三角形の底辺の３分の１に相当するので、これらの和の６分の５が青三角と緑三角の底辺の長さに相当します。そうすると黄色三角の高さは大きな三角の６分の１にあたるので、これから大きな三角形の面積が出ます。わかりにくいかな？
ＡＦを結んで倍数変化算で求めるのが一番普通なんだろうけど…ＤＥを結ぶ方法でやると△DEF＝１㎝²だからAD：AB＝△CED：△CDB＝2：3△ADE：△DBE＝AD：DB＝2：1より△ADE＝6㎝²よって斜線部分の面積＝6＋1＝7㎝²
△CDB→△CEBかな？
ご指摘ありがとうございます。ご指摘の通り書き間違えてました。
変形三角形を直角三角形に書き換えれば比率だけで答え出てきます。
点FにAから補助線をひき底辺をABとした三角形として高さが半分と考え次に底辺をACとした三角形で高さを１対２とすれば小学生でも解けると思います。
DGはすんなり引けたさらにBEを３等分する点（BFの中点）にDから線を引く、これはACと平行なのでABCを上下にも左右にも相似で切り分けることが出来て相似比から解けました
小学生は多分こう解きません。下のくまさんは方程式になっていますが、□と○で、高さの等しい三角形の面積比で消去算で解いて、簡単に出すと思いますよ
錯角より同位角って説明したほうがいいんじゃない？って思う箇所がありました。
学び直しで始めましたけど、難しい。難易度が公立の高校受検よりも下手したら難しいですね。
よしっ 目測で答えましょうか 7㎠でどうでしょう どんなながれでだしたかはわからないですけど、自信度は70%
△ADF＝①とするとDF：FC＝1：1なので△AFC＝①よって△AFE＝①−1BF：FE＝2：1より△ABF＝②−2よって△DBF＝△ABF−△ADF＝②−2−①＝①−2＝2これより、①＝4、△ADF＝4㎠△AFE＝①−1＝4−1＝3㎠よって、赤い部分の面積は、4＋3＝7㎠いい問題ですね。
赤の四角形を縦に割って、左をＰ、右をＱとしたら、比率が分かってる底辺で面積の比較をしたら、Ｐ＝Ｑ＋１、Ｑ＋２＝２ＰからＰ＝４、Ｑ＝３の合計７cm2と解いたほうが分かりやすいんじゃないかな？
ごめんなさい、Ｐ＋２＝２Ｑの間違いですね(^_^;)
四角形ADFEの面積をxとすれば△ADFと△AEFの面積の和がxとなる。辺の比により△ADFの面積は(x+1)/2△AEFの面積は(x+2)/3となるからx=(x+1)/2+(x+2)/3となり、これを解いてx=7が得られる。
与えられた図で考えるのではなくこの問題の場合ABやACを底辺にすれば補助線AFにより高さが明らかな三角形ができるので後は優しい問題になります。
比の内積と外積が等しいのは小学生の範囲内だと思うからこうやったんだが、連立方程式使っててだめじゃん...与えられた面積よりDF:FC=1:1, BF:FE=2:1よって△ADF:△AFE+△FCE=1:1, △ADF+△DBF:△AFE=2:1 △ADF=△AFE+1, 2△AFE=△ADF+2 △ADF=4cm2, △AFE=3cm2求める面積□ADFE=△ADF+△AFE=7cm2
三角形の面積比と、底辺の長さの比、連立方程式の知識を、使ってみました。(ブログ、宅建主任歓天喜地日記、開智中、算数)(ブログ、銀河系の鉄道の規則、開智中、算数) くま、さんと、同じ解き方と、思います。
3分ほどで解くことができました。
ABの平行線をEとFから引いてもいいね。Fを通る平行線とACとの交点P、BCとの交点Q。Eを通る平行線とDCとの交点RDF：CF＝1：1、BF：EF＝2：1、CR：FR＝1：1。△CFQ＝1c㎡、FQ＝ER＝①、PF＝②、AD＝④、DB＝②。△ADC＝8c㎡、□ADFE＝8－1＝7c㎡
平行四辺形BFGDと考えるのも面白い思います
コメントをいただきありがとうございます。確かにそこの平行四辺形をうまく活用できると面白いですね。私はおっしゃる平行四辺形に気付くことができず、三角形の面積比で解いてしまいました、、
三角形関連問題がここまで面白いとは、改めて実感しています。補助線を利用し、三角形の比を上手く引っ張り出す、とても素晴らしい問題でした。
コメントをいただきありがとうございます。この問題とても面白いですよね。小さくシンプルな図形から三角形の長さの比、面積比まで持っていく世界観がとても楽しく面白い問題でした！
愛し方w
AFに補助線を引きます。三角形の面積問題なので、高さが同じならば面積の比と底辺の比が同じになることを利用しています。△ADF=a (cm2)△AEF=b (cm2)とすると、△ADFと△BDFは高さが同じなのでAD:DB=a:2また、△AEFと△CEFも同様にAE:EC=b:1となります。△ADC=a+b+1 (cm2)△BDC=2+2 (cm2)で、その高さは同じなので面積の比は△ADC:△BDC=AD:DB =a:2よって(a+b+1):(2+2)=a:2からa-b=1 …①一方、△AEB=a+b+2 (cm2)△CEB=1+2 (cm2)で、こちらも高さが同じ三角形なので面積の比は△AEB:△CEB=AE:EC =b:1となり、(a+b+2):(1+2)=b:1からa-2b=-2 …②となります。①-②から b=3 a=4よって求める面積はa+b＝3+4 =7 (cm2)と解きました。
△ADF=△ACF、BF:EF＝２：１より、(△ADF+2)：（△ADF－1）＝２：１ △ADF=4 よって求める面積は△ADF+(△ACF－１）＝４＋（４－１）＝７cm2
代数計算って小学校の履修範囲だったっけ？数学使えば誰でも簡単に出来るよな（笑）
補助線の引き方がキモでしたね！スゴい良い問題✨
コメントをいただきありがとうございます。シンプルでありながらとても面白い問題ですよね！
DEに補助線を引きました。AD:DB=△ADC:△DBC かつAD:DB=△ADE:△DBE なので、△DFE＝△CFE＝1を利用して右辺を変形して、（□ADFE +1）:4=（□ADFE-1）:34×□ADFE-4＝3×□ADFE +3□ADFE＝7と解きました（単位は省略）。最初に思いつきやすい補助線なので、簡単な解き方かと思いますが、如何でしょうか？
自分も同じ方法で解きました 余計な交点も増えないですし、模範解答だと思います
@@あれん-f7n そう言って頂けると嬉しいです♪
私もDEに補助線で、△ECD:△ECB=△ACD:△ACB=AD:AB=2:3→AD:DB=2:1△DBC=4→△ADC=8□ADFE=8-1=7と同じ補助線ですが、少し違うやり方でした。やっぱりこの補助線が思い付きやすいですよね😃
AFに補助線を引きDF:FC=1:1より△ADF=△AFC=△AFE+1△ABF=△ADF+2=(△AFE+1)+2=△AFE+3BF:FE=2:1より△ABF=△AFE×2 → △AFE+3=△AFE+△AFE → △AFE=3△ADF=△AFE+1=4 斜線部は△ADF+△AFE=7 のように求めました。
私も。
同じくです
自分もそれで解いたけど数学になるんだよなー。算数ではない感じ。
DからBEに向かってACと平行なDGを引くと、△FDG≡△FCEなのでEF=GF=BGとなるため△ABE=9×△DBGなのがわかり、△DBG=△DGF=1c㎡なので、四角形ADFE=9-2=7c㎡
3+4=7ではなく、12-5=7で求めました。
解き方がシンプルではないAFに補助線を引く方がスマート
小学生の息子と一緒に解いてます。
補助線を引くセンスが欲しい
鮮やかな会報ですね。方程式使える中学生だと、ADFの面積をa、AFEの面積をbとしてABF:AFE＝2：1、ADF=AFCよりa+2=2b、a=b+1でも求められますけど平行線引く方が美しいです。
コメントをいただきありがとうございます。おっしゃるように方程式を使うとまた違う世界が見えてきますね！面白い視点をありがとうございます。
コメントをいただきありがとうございます。AFに補助線を引きたくなるのであれば、かなり図形に対する理解が深いのだと思います！
おっしゃるとおり図形はヒラメキが必要で精神状態に大きく左右されます。どんなに考えても解けなかった問題が一度気分転換するとウソみたいに解けてしまうこともままあります。
同じ三角形をコピーして△A'B'C'とします。これを180度回転させてACとC'A'がちょうど重なるようにくっつけて平行四辺形を作ります。E'からBに線分を引くと、△BCEと△BE'Aは同じ面積で3cm2。DEを引くと△DCE=2cm2面積比よりBD:DA=1:2△DE'A=2cm2△DBC=4cm2なので△ADC=8cm2求める面積は△ADC-1cm2なので、答え 8-1=7cm2
確かに二重三角形の補助線で面積7
サムネから真っ先に上の頂点から三角形内部の交点に線引いて面積比で解くタイプかー、と思って動画再生したら割りと予想外な解法でした
普通にAFで解いた
5:38 薄グレーで示すべき三角形は △FCE ではなく △FBE ですね．私は D から AC と平行な直線を引いて解きました．その直線と 直線BE の交点を H とすると，DF:FC=1:1 より HF:FE=1:1 ，つまり BH:HF:FE=1:1:1 および BD:BA=1:3 がわかって，DEにも直線を引くと △DEF=1cm^2 ，△DBE=3cm^2，△ABE=9cm^2，求める面積=9-2=7cm^2 となりました．
絶対に、自分、間違えた回答を考えてしまった・・みたい・・△DBFと△ECFが２：１なら・・△ADCと△BDCは２：１って考えちゃって・・・４平方センチの２倍で８平方センチ、そこから、△EFCの面積を引いて７平方センチメートルってやってしまいました。絶対に間違えた回答なんだけど、偶然に答えが一致してしまうという馬鹿なことをやってしまいました＾＾；；
大阪桐蔭高校の入試問題で似た問題出たことありますね。(野球以外でも進学校としても有名です)
4:35 揃ってるとは、どこの高さのこと？
いつも、良質な問題ありがとうございますm(_ _)m私は、AFの補助線を引きました。△ABCと△ABFは辺ABを底辺としてみると高さが半分であるから、△ABFと△ABC内の残りの面積は等しくなるため△ABF＝△ABC-△ABF△ADF＝a△AFE＝bとすると、a+2＝b+1+2・・・①また、△ABFと△AFEは、BFを底辺と見ると底辺の面積比が、2:1のためa+2＝2bとなります。あとは、①のa+2に2bを代入して2b＝b+1+22b＝b+3b＝3a+2＝3+1+2a＝4a+b＝4+3a+b＝7としました。でも、これじゃ、連立方程式みたいになるから中学生の解き方なのかな?
楽しい問題ありがとうございます。質問ですが、辺の比が1:2だと面積比が1:4になると言う概念は中受では使わないものですか？
びっくり！
考えている間にコメント、返信が発信されましたね。僕の求め方です。裏技と言えるでしょうか。サムネの三角形は鋭角三角形ですが、便宜的に直角三角形にします。2cm^2+1cm^2=3cm^2になので仮に底辺3cm、高さ2cmとします。これが突破口です。底辺を3cmにしているので高さは8cmとなり12cm^2−5cm^2=7cm^2となります。
これは見てすぐ解けないようでは中学受験難しいのでは？小学生のころは瞬時にAFに引くような訓練はたっぷりやってた記憶があるafd=>a, afe=>bとすると [(2+a)=(b+3)&4+a=2(b+1)] => [a,b=4,3] な流れ
こりゃまた小学校の範囲で解くには難しい問題持ってきましたねぇ。中学の範囲であれば2+A＝2BA＝B+1を解いてA+Bを求めるだけなのに・・・！
僕はAFに線をひいて、左の赤三角をア、右の赤三角をイとしました
そうすると、ア+2:イは2:1
アはイ+1と同じ面積なので、
ア+2はイ+1+2でイ+3になる
なので、イ+3:イが2:1になるということは、イは3㎠とわかりました
アはイ+1と同じなので、3+1で4㎠
赤三角=ア+イ=4+3=7㎠
AからFに線を引く。🔺AFBをS1.🔺AFEをS2とすると
S1+2:S2=2:1,これを変形すると、2S2=S1+2,S1=S2+1.
2つのしきからS2=3,S1=4
S1+S2=7
となる。😅
この問題は何度見ても面白いね。
心配するな普通に水平線引いても解ける
まずEの高さはDに対して3/4倍[=(2+1)/(2+2)]
DからBCと水平、BEを延長、CからABと平行
な各線を足してやると右側に△2(3)つ、下部全体に平行四辺形ができる
右にできた小△(上)と水平線下の赤色部分の計は2
右にできた小△(下)はBEの延長分=FEなので1
小△(上)は小△(下)の1/3倍なので1/3
水平線下の赤色部分=5/3
底辺を底辺とする△は4
水平線を底辺とする△は5/3+1=8/3
∴水平線は底辺の2/3倍 => ADはABの2/3倍
ABCは(2+2)x3=12
赤色以外は計5なので赤色部分は7
マジで補助線引くセンスが欲しい
黒板に手書きで書いているから左のＡＢＣと右のＡＢＣの平行線が1：１には見えません
AC間のDGの平行線がＡＣを等分しているように見えないのです。図形が不得意とする方はこうしたいいかげんな
図形では納得していないのです。図形の教師はもっといいかげんな図を書いています。出来れが三角形の定理、数式と同じようにきちっとした図形で説明していただきたいですね。
ご意見ありがとうございます。図形の正確性、重要ですね。
中学の時に図形がにがてでした。７６歳の現在改めて分数の計算のおさらいをしています。
今は分数の計算全てを理解できるようになり。図形の勉強を始めています。
全ての答えは途中の計算式を見ればどこが理解できていないのかすぐわかるはずです。
担任の教師は手抜き授業をしていたが今になって分かりました。全くひどいものです。
現在の小学校ではどうなのでしょうか？「後は自分で理解しろ」では教師ではありません。「そんな細かいことは教師はできない」「塾へ行って勉強しろ」だけの教師がいたら、その教師は失格です。
生意気なことを書き綴り皆様の足を引っ張って申し訳ございません。劣等生なんて本来、いないのです。
今、算数が楽しくてしようがありません。毎日６年生の分数の計算や文章問題問題を暇さえあれば解いています。
ほぼ１００点です。答えが間違っているのは計算式の問題の写し間違いだけです。
将来子供に算数教えてあげたくて勉強し直してるけど本当に難しいな。いい感じの場所に中々線が引けない
いいパパになりそうですね！
やっぱり、経験なんだと思います。慣れとも言いますか。
ここで良問題にいっぱい触れれば、将来きっと子供に教えられるようになると思います!
DEに補助線を引いて解きました。
DF:FC=1:1より△DEF=1
△BCE:△DCE=3:2で底辺CEが共通だから高さの比=3:2よりBA:DA=3:2
よってBD:DA=1:2
△BCD=4より高さが共通だから△DCA=8
求める面積は△DCA-△FCE=8-1=7
画面に出たり引っ込んだり、物凄く気になる。もう少し見易い映像を望む
△ABF = △DBF + △ADF = △DBF + △AFE + △EFC = △AFE + 3
△ABF = 2△AFE
よって△AFE = 3 あとは簡単に分かる
連立方程式に頼ってしまった自分は負け組
”「右図において、色の付いた部分」は無いから、0c㎡です。”って答える小学生はダメな奴ですか？
普通に中学3年生の時の難問として解いた記憶があるから、難関小入試はやっぱすごい。
解説聞けば簡単だが、なかなかたどり着けない‥
小学生も大変だ
ＡＦに補助線を引いて、左側の△ＡＤＦの面積をＰ、右側の△ＡＥＦの面積をＱとします。
ＤＦ＝ＦＣより、Ｐ＝Ｑ＋１
ＡＥ：ＥＣ＝Ｑ：１＝Ｐ＋２：２より、２Ｑ＝Ｐ＋２＝（Ｑ＋１）＋２、Ｑ＝３、Ｐ＝Ｑ＋１＝４、答え＝Ｐ＋Ｑ＝７
自分もこれでした。
自分も、この解き方を、しました。
私もこれでした。
これとほぼ同じですが補助線AFを引いて、
辺DF=辺FC、辺EF:辺FB=1:2より
①三角形ADF=三角形AFC、
②三角形AFE:三角形ABF=1:2
また、図より
③三角形AFC=三角形AFE+三角形FEC（1cm2）
④三角形ADB=三角形ADF+三角形DBF（2cm2）
三角形AFE、三角形ADFの面積をそれぞれ○、×と置くと、
①、③より×＝○+1
②、④より2○=×+2、×=2○-2
×同士で等しくなるので○+1=2○-2となる。
よって○=3
また、×=○+1より×=4
3+4+2+2+1=12
答えは12cm2
だからあ、小学生が解く算数って言ってるじゃん（笑）
相似とか面積比を詳しく説明するためにやってんだから。
そりゃ簡単に解く方法なんかいくらでもあるわ
連立方程式もなしに解くってどうやるんだろう？と思ってスガフジさんの説明聞きました
つかっちゃいけないとなると無茶苦茶難問ですね
小学生すごいわ
Aから交点に補助線引いて別れた赤をx、yとして
2y＝x＋2、x＝y＋1の方程式？で解いた感じ
面白い。
左の辺を2分している
2:1で2分してたら2＋2=4
4×2＋4=12 12－4－1=7
てんびんで解くと10秒で解けます。
この補助線EFはさすがに難しいですね。私なら連立方程式の立式を模索します。
ところで 16:00 あたりからの急所の議論、補助線FG（またはDE）を引いて三角形どうしの面積比を求めていくよりは、頂上のCから底辺DGに垂線をおろすほうが今回は明快なように思えます。そうすると「△CEFと△CDGとで、底辺の長さの比は1:2、高さの比も同じ1:2、ゆえに面積比は1:4」「一般に、相似な三角形の面積比は長さの比の2乗」という、汎用性の高い定理が導けます。いかがでしょう？
その上で、四角形以上の多角形はすべて三角形に分割できるので同様、円も無限小の二等辺三角形に分割できるので同様、としておけば、そこまででもう、中学入試では十分すぎるほどだと思います。
もちろん一般の曲線図形、あるいは立体図形（体積比は長さの比の3乗）についても積分で面積・体積を定義すれば同じことが言えますが、さて、「無限に小さい正方形の総和」「無限に小さい立方体の総和」という説明で子供たちが納得してくれるかどうか。
ほとんど計算いらずに答え出ますです。
一番大きな三角形の底辺（黄色い三角形の底辺といっしょ）に平行で、黄色い三角形の頂点に平行に直線を引きます。この直線と青三角と緑三角の外側の線との交点と、黄色い三角形の頂点までの距離を青い三角形と緑三角形の底辺の長さと考えます。三角形の高さの比と面積から、青三角の底辺に相当するのが大きい三角形の底辺の半分、緑三角の底辺に相当するのが大きい三角形の底辺の３分の１に相当するので、これらの和の６分の５が青三角と緑三角の底辺の長さに相当します。
そうすると黄色三角の高さは大きな三角の６分の１にあたるので、これから大きな三角形の面積が出ます。
わかりにくいかな？
ＡＦを結んで倍数変化算で求めるのが一番普通なんだろうけど…
ＤＥを結ぶ方法でやると
△DEF＝１㎝²だから
AD：AB＝△CED：△CDB＝2：3
△ADE：△DBE＝AD：DB＝2：1
より△ADE＝6㎝²
よって斜線部分の面積＝6＋1＝7㎝²
△CDB→△CEBかな？
ご指摘ありがとうございます。
ご指摘の通り書き間違えてました。
変形三角形を直角三角形に書き換えれば比率だけで答え出てきます。
点FにAから補助線をひき底辺をABとした三角形として高さが半分と考え次に底辺をACとした三角形で高さを１対２とすれば小学生でも解けると思います。
DGはすんなり引けた
さらにBEを３等分する点（BFの中点）にDから線を引く、これはACと平行なのでABCを上下にも左右にも相似で切り分けることが出来て相似比から解けました
小学生は多分こう解きません。下のくまさんは方程式になっていますが、□と○で、高さの等しい三角形の面積比で消去算で解いて、簡単に出すと思いますよ
錯角より同位角って説明したほうがいいんじゃない？って思う箇所がありました。
学び直しで始めましたけど、難しい。
難易度が公立の高校受検よりも下手したら難しいですね。
よしっ 目測で答えましょうか 7㎠でどうでしょう どんなながれでだしたかはわからないですけど、自信度は70%
△ADF＝①とするとDF：FC＝1：1なので△AFC＝①よって△AFE＝①−1
BF：FE＝2：1より△ABF＝②−2
よって△DBF＝△ABF−△ADF＝②−2−①＝①−2＝2
これより、①＝4、△ADF＝4㎠
△AFE＝①−1＝4−1＝3㎠
よって、赤い部分の面積は、4＋3＝7㎠
いい問題ですね。
赤の四角形を縦に割って、左をＰ、右をＱとしたら、比率が分かってる底辺で面積の比較をしたら、Ｐ＝Ｑ＋１、Ｑ＋２＝２ＰからＰ＝４、Ｑ＝３の合計７cm2と解いたほうが分かりやすいんじゃないかな？
ごめんなさい、Ｐ＋２＝２Ｑの間違いですね(^_^;)
四角形ADFEの面積をxとすれば△ADFと△AEFの面積の和がxとなる。
辺の比により
△ADFの面積は(x+1)/2
△AEFの面積は(x+2)/3
となるから
x=(x+1)/2+(x+2)/3
となり、これを解いて
x=7
が得られる。
与えられた図で考えるのではなくこの問題の場合ABやACを底辺にすれば補助線AFにより高さが明らかな三角形ができるので後は優しい問題になります。
比の内積と外積が等しいのは小学生の範囲内だと思うからこうやったんだが、連立方程式使っててだめじゃん...
与えられた面積よりDF:FC=1:1, BF:FE=2:1
よって△ADF:△AFE+△FCE=1:1, △ADF+△DBF:△AFE=2:1
△ADF=△AFE+1, 2△AFE=△ADF+2
△ADF=4cm2, △AFE=3cm2
求める面積□ADFE=△ADF+△AFE=7cm2
三角形の面積比と、底辺の長さの比、連立方程式の知識を、使ってみました。(ブログ、宅建主任歓天喜地日記、開智中、算数)(ブログ、銀河系の鉄道の規則、開智中、算数)
くま、さんと、同じ解き方と、思います。
3分ほどで解くことができました。
ABの平行線をEとFから引いてもいいね。
Fを通る平行線とACとの交点P、BCとの交点Q。
Eを通る平行線とDCとの交点R
DF：CF＝1：1、BF：EF＝2：1、CR：FR＝1：1。
△CFQ＝1c㎡、FQ＝ER＝①、PF＝②、AD＝④、DB＝②。
△ADC＝8c㎡、□ADFE＝8－1＝7c㎡
平行四辺形BFGDと考えるのも面白い思います
コメントをいただきありがとうございます。
確かにそこの平行四辺形をうまく活用できると面白いですね。
私はおっしゃる平行四辺形に気付くことができず、三角形の面積比で解いてしまいました、、
三角形関連問題がここまで面白いとは、改めて実感しています。補助線を利用し、三角形の比を上手く引っ張り出す、とても素晴らしい問題でした。
コメントをいただきありがとうございます。
この問題とても面白いですよね。小さくシンプルな図形から三角形の長さの比、面積比まで持っていく世界観がとても楽しく面白い問題でした！
愛し方w
AFに補助線を引きます。
三角形の面積問題なので、高さが同じならば面積の比と底辺の比が同じになることを利用しています。
△ADF=a (cm2)
△AEF=b (cm2)
とすると、
△ADFと△BDFは高さが同じなので
AD:DB=a:2
また、△AEFと△CEFも同様に
AE:EC=b:1
となります。
△ADC=a+b+1 (cm2)
△BDC=2+2 (cm2)
で、その高さは同じなので面積の比は
△ADC:△BDC=AD:DB
=a:2
よって
(a+b+1):(2+2)=a:2
から
a-b=1 …①
一方、
△AEB=a+b+2 (cm2)
△CEB=1+2 (cm2)
で、こちらも高さが同じ三角形なので面積の比は
△AEB:△CEB=AE:EC
=b:1
となり、
(a+b+2):(1+2)=b:1
から
a-2b=-2 …②
となります。
①-②から b=3 a=4
よって
求める面積は
a+b＝3+4
=7 (cm2)
と解きました。
△ADF=△ACF、BF:EF＝２：１より、(△ADF+2)：（△ADF－1）＝２：１ △ADF=4 よって求める面積は△ADF+(△ACF－１）＝４＋（４－１）＝７cm2
代数計算って小学校の履修範囲だったっけ？
数学使えば誰でも簡単に出来るよな（笑）
補助線の引き方がキモでしたね！
スゴい良い問題✨
コメントをいただきありがとうございます。
シンプルでありながらとても面白い問題ですよね！
DEに補助線を引きました。
AD:DB=△ADC:△DBC かつ
AD:DB=△ADE:△DBE なので、△DFE＝△CFE＝1を利用して右辺を変形して、
（□ADFE +1）:4=（□ADFE-1）:3
4×□ADFE-4＝3×□ADFE +3
□ADFE＝7
と解きました（単位は省略）。
最初に思いつきやすい補助線なので、簡単な解き方かと思いますが、如何でしょうか？
自分も同じ方法で解きました 余計な交点も増えないですし、模範解答だと思います
@@あれん-f7n そう言って頂けると嬉しいです♪
私もDEに補助線で、
△ECD:△ECB=△ACD:△ACB=AD:AB=2:3
→AD:DB=2:1
△DBC=4
→△ADC=8
□ADFE=8-1=7
と同じ補助線ですが、少し違うやり方でした。やっぱりこの補助線が思い付きやすいですよね😃
AFに補助線を引き
DF:FC=1:1より△ADF=△AFC=△AFE+1
△ABF=△ADF+2=(△AFE+1)+2=△AFE+3
BF:FE=2:1より△ABF=△AFE×2 → △AFE+3=△AFE+△AFE → △AFE=3
△ADF=△AFE+1=4 斜線部は△ADF+△AFE=7 のように求めました。
私も。
同じくです
自分もそれで解いたけど数学になるんだよなー。算数ではない感じ。
DからBEに向かってACと平行なDGを引くと、△FDG≡△FCEなのでEF=GF=BGとなるため△ABE=9×△DBGなのがわかり、△DBG=△DGF=1c㎡なので、四角形ADFE=9-2=7c㎡
3+4=7ではなく、12-5=7で求めました。
解き方がシンプルではない
AFに補助線を引く方がスマート
小学生の息子と一緒に解いてます。
補助線を引くセンスが欲しい
鮮やかな会報ですね。
方程式使える中学生だと、ADFの面積をa、AFEの面積をbとしてABF:AFE＝2：1、ADF=AFCよりa+2=2b、a=b+1でも求められますけど平行線引く方が美しいです。
コメントをいただきありがとうございます。
おっしゃるように方程式を使うとまた違う世界が見えてきますね！
面白い視点をありがとうございます。
コメントをいただきありがとうございます。
AFに補助線を引きたくなるのであれば、かなり図形に対する理解が深いのだと思います！
おっしゃるとおり図形はヒラメキが必要で精神状態に
大きく左右されます。どんなに考えても解けなかった
問題が一度気分転換するとウソみたいに解けてしまう
こともままあります。
同じ三角形をコピーして△A'B'C'とします。
これを180度回転させてACとC'A'がちょうど重なるようにくっつけて平行四辺形を作ります。
E'からBに線分を引くと、△BCEと△BE'Aは同じ面積で3cm2。
DEを引くと△DCE=2cm2
面積比よりBD:DA=1:2
△DE'A=2cm2
△DBC=4cm2なので△ADC=8cm2
求める面積は△ADC-1cm2なので、
答え 8-1=7cm2
確かに二重三角形の補助線で面積7
サムネから真っ先に上の頂点から三角形内部の交点に線引いて面積比で解くタイプかー、と思って動画再生したら割りと予想外な解法でした
普通にAFで解いた
5:38 薄グレーで示すべき三角形は △FCE ではなく △FBE ですね．
私は D から AC と平行な直線を引いて解きました．その直線と 直線BE の交点を H とすると，DF:FC=1:1 より HF:FE=1:1 ，つまり BH:HF:FE=1:1:1 および BD:BA=1:3 がわかって，DEにも直線を引くと △DEF=1cm^2 ，△DBE=3cm^2，△ABE=9cm^2，求める面積=9-2=7cm^2 となりました．
絶対に、自分、間違えた回答を考えてしまった・・みたい・・
△DBFと△ECFが２：１なら・・△ADCと△BDCは２：１って考えちゃって・・・
４平方センチの２倍で８平方センチ、そこから、△EFCの面積を引いて７平方センチメートルってやってしまいました。
絶対に間違えた回答なんだけど、偶然に答えが一致してしまうという馬鹿なことをやってしまいました＾＾；；
大阪桐蔭高校の入試問題で似た問題出たことありますね。
(野球以外でも進学校としても有名です)
4:35 揃ってるとは、どこの高さのこと？
いつも、良質な問題ありがとうございますm(_ _)m
私は、AFの補助線を引きました。
△ABCと△ABFは辺ABを底辺としてみると高さが半分であるから、△ABFと△ABC内の残りの面積は等しくなるため
△ABF＝△ABC-△ABF
△ADF＝a
△AFE＝b
とすると、
a+2＝b+1+2・・・①
また、△ABFと△AFEは、BFを底辺と見ると底辺の面積比が、2:1のため
a+2＝2b
となります。
あとは、
①のa+2に2bを代入して
2b＝b+1+2
2b＝b+3
b＝3
a+2＝3+1+2
a＝4
a+b＝4+3
a+b＝7
としました。
でも、これじゃ、
連立方程式みたいになるから
中学生の解き方なのかな?
楽しい問題ありがとうございます。質問ですが、辺の比が1:2だと面積比が1:4になると言う概念は中受では使わないものですか？
びっくり！
考えている間にコメント、返信が発信されましたね。僕の求め方です。裏技と言えるでしょうか。サムネの三角形は鋭角三角形ですが、便宜的に直角三角形にします。2cm^2+1cm^2=3cm^2になので仮に底辺3cm、高さ2cmとします。これが突破口です。底辺を3cmにしているので高さは8cmとなり12cm^2−5cm^2=7cm^2となります。
これは見てすぐ解けないようでは中学受験難しいのでは？
小学生のころは瞬時にAFに引くような訓練はたっぷりやってた記憶がある
afd=>a, afe=>bとすると [(2+a)=(b+3)&4+a=2(b+1)] => [a,b=4,3] な流れ
こりゃまた小学校の範囲で解くには難しい問題持ってきましたねぇ。
中学の範囲であれば
2+A＝2B
A＝B+1
を解いてA+Bを求めるだけなのに・・・！