INTEGRATION von BRÜCHEN - gebrochen rationale Funktionen, Bruch, Integral - STAMMFUNKTION bilden
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- เผยแพร่เมื่อ 21 ก.ค. 2024
- Integration von Brüchen
In diesem Mathe Lernvideo geht es um das Integrieren von gebrochen rationalen Funktionen. Ich erkläre euch an Beispielen wie man das Integral dieser Brüche berechnet und die Stammfunktion bilden kann. Wir nutzen die Substitution der Integralrechnung, um die Aufleitung zu bestimmen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Integration von Brüchen Beispiele
0:15 Beispiel 1: Bruch integrieren
1:38 Beispiel 2: x im Nenner integrieren ln
2:31 Beispiel 3: Summe im Zähler Integral
4:32 Beispiel 4: Summe im Nenner Integral
6:06 Beispiel 5: Ableitung des Nenners ln
7:06 Beispiel 6: Brüche integrieren Substitution
13:05 Bis zum nächsten Video :)
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#Integration #Brüche #MathemaTrick
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Hi, wieso darf man bei 3:38 das nicht weg kürzen? Also x^2 / x^2
Ich verstehed, dass es 1 ist. Aber für andere Fälle, wann darf man etwas kürzen und wann nicht?
Danke
bewundernswert wie gut einige erklären können, ich bete, dass du weiter machst
Super Video!
Was mir so gut gefällt ist, das du viele und vorallem unterschiedliche Beispiele vorrechnest!!!!! :)
Dankeschön, freut mich sehr, dass dir das Video gefällt! :)
Hilft mir super im Studium, vielen Dank!
Das freut mich sehr!
Was studierst du? Bestimmt irgendwie was mit Ingenieur oder
@@PrimoTheo Nee, Logistikmanagement. Bei nem Ingenieursstudiengang würde ich mit meinem Mathetalent 24/7 auf TH-cam hängen und mir weitere Tutorials angucken. 🤐
@@AlexKawaii24armer Ingenieursstudent hier, vor jeder Klausur finde ich meinen Weg zu TH-cam, weil ich zwar mit höherer Mathematik klarkomme, aber die Basics immer vergesse 😅
Und, bei wem haben sie Maschinenbau studiert? Ich: MathemaTrick
Die bringt mich durch Mathe 1-3 😂
Hahaha, bei mir auch so!
Ich bin dir so dankbar für deine Videos! Wir haben in der Schule eigentlich einen sehr guten Mathelehrer und trotzdem brauch ich immer wieder deine Videos, um es wirklich zu verstehen!
*Falls du noch Fragen haben solltest, kannst du sie gerne in die Kommentare posten, ich beantworte sie im Normalfall sehr zügig! Die Fragen meiner Kanalmitglieder haben hier aber natürlich Priorität! 😊*
No joke, ich bin dir so unfassbar dankbar. Du hilfst mir bei den Klausuren sehr !! 💙
Ich genieße die Zeit, in der ich Mathe nur mit dir lerne
Du bist echt gut .
Mach weiter so . Immer so knapp und viele Beispiele in einem Video . Finde ich immer perfekt
Danke für das Video
Did I already pass that classes? Yes
Do I understand German? Nope
But, I can still see how good the video is .
Du machst einfach jedes mathematische Thema schön ❤
Super erklärt das hat mir echt super geholfen . Du erklärst das super präzise und dabei auch noch unglaublich leicht zum verstehen.👍👍
Hey, du machst das echt super! Erklären, Video als auch Beispielaufgaben sind echt gut gemacht, sympathisch 👍
Dankeschön, freut mich sehr, dass dir meine Videos und meine Art gefallen! 😊
Vielen Dank!
Dir, Deiner Familie und Deinen Freunden wünsche ich ein frohes Weihnachtsfest!
Vielen Dank, das du wirklich viele verschiedene Fälle und Beispiele nimmst. Deine Video sind sehr hilfreich
So toll, deine vidoes zu schwierigen Aufgaben ist mit Abstand am hilfreichsten, so toll danke
Danke für deine krassen Tipps. Sind echt seht hilfreich. Wäre mega stark wenn du noch ein Video mit Partialbruchzerlegung und Partieller Integration und/oder Substitution machen kannst. Und zu uneigentlichen Integralen und Flächeninhalt im unendlichen.
Vielen vielen Dank!! Dein Video hat mir total für meinen Vorkurs fürs Studium geholfen^^
Super, freut mich sehr! Viel Spaß weiterhin mit dem Vorkurs und dann mit dem Studium! 😊 Was wirst du denn studieren?
Danke Dir, gute Auffrichung, begeistert
Das freut mich sehr! Du bist immer so fleißig am Videos anschauen! 😍
Schöne Auswahl! Vielen Dank!
Danke dir! Ich hoffe da war soweit alles dabei, was normalerweise abgefragt wird.
Super Video
Vielen Dank 🙏🏽
Krass! Sehr schön.
Du erklärst das so gut... Da kann ich gefallen dran finden. Bei dir hab ich das erste mal bei gebrochen rationalen Brüchen nicht gleich gebrochen 😉 leider gab's zu meiner Studienzeit noch kein TH-cam 😊
Achja: Pommesgabel 🤘
ich liebe deine videos, danke du rettest mich im Studium
Du hast mir bei mahte 1 gerettet letztes Jahr und jetzt mahte 2 bin dank dir falls durch... Vielen lieben Dank
Das freut mich total! Viel Erfolg weiterhin!
Diese Videos sollte man knieend ansehen, Bravo!!!!!!!
Wow Hammer - du hast das absolut drauf - waaaaaahnsinnig gut erklärt 👍👍👍👍👍
Dankeschön Dunja! 😍
klasse videos macht super spass zu schauen und dabei sogar noch was für die schule machen
Starkes video, danke:D
Einfach episch wie du erklärst, safed my life 🥹
Super, freut mich, dass ich dir weiterhelfen konnte! 😍
Dankeschön 💜
Vielen Dank, toll erklärt!
Gerne! 🤗
Danke für das Video :)
Alter mega gutes Video, schreib demnächst Mathe LK Abi und das hat mir wirklich weitergeholfen. Dankeschön
tolles Video hat mir sehr geholfen, vielen dank
Super, freut mich sehr, dass ich dir helfen konnte! 😊
Die Erklärungen mit Beispielen gefallen mir besser als die Daniel Jung Videos. 👍
Vielen Dank.
Gott du hast mir das Semester gerettet, hatte eigentlich schon gar nichts mehr verstanden weil ich so genervt war, aber toll erklärt
Freut mich sehr, dass dir meine Videos weiterhelfen!
Du bist meine Rettung!
Hallo Susanne,
Hast du auch videos zum Thema uneigentliche Integrale?
Finde deine Videos mehr als super- für mein Studium Bwl
Also in der Schweiz haben wir die Parzialbruchzerlegung im Gymnasium. :'(
Super Video aber😃 Du bist einfach die Beste!
gesucht und gefunden, danke!! :)
Gerne!
Dann machen wir ebend aus allen eine spezial Fall draus fertig, dann were ja jedes Ergebnis richtig. ( spass, ich habe keine Ahnung, muss ich auch nicht bin Autodidakt und zaungast vom Beruf). Tolle Arbeit 😍👍LG
Hallihallo, eine Frage: Das/ein x lässt man immer nur dann stehen bei Substitution, wenn man es rauskürzen kann oder? Der TH-cam Algorithmus hat etwas spät zugeschlagen. Aber jetzt mein Lieblingskanal zu dem Thema😅.
sehr gutes Video!
Hallo Susanne,
deine Mathe-Vorführungen sind einfach super, vielen Dank dafür.
Habe eine bescheidende Frage: was für einen Freihand-Zeichen-Programm verwendest Du für deine Vorführungen? Wo kann ich es eventuell auch bekommen?
Vielen Dank im Voraus und Alles Gute.
ich weiß nicht, ob das extra ausgelassen wurde, aber nun weiß ich, dass ich die Substitution lernen muss und die Partielle integration, bei der Partiellen Integration, weiß ich zwar, dass es bei uns aus dem Lehrplan gestrichen wurde und bei der der anderen k.a.
danke dir
👍🏼💛
kann man im Beispiel 3 einfach nur die "x^-2" mit (x^2-4+x) multiplizieren und dann ausklammern?
Wie komme ich auf die Stammfunktion von 1/(1+x^4) ? Hängt das mit arctan zusammen? Danke schonmal im Voraus!☺️
Was ist das für ein Integral man gefühlt nicht lösbar auch nicht mit arctan, gib das mal in Wolfram Alpha ein
du bist so toll
meine bestttttttttt danke sehr 🥺
Ich liebe dich❤️❤️❤️❤️❤️ dankeeee
💪 Stark! 🤗
Morgen Mathe Klausur, danke 🙏
Viel Glück morgen! 😊
Hey kannst du mal was zur störfunktion machen? :) super Videos btw weiter so
Danke!
Dankeschööön!
Danke!!
Gern! 😊
@@MathemaTrick wie genau würde 4/(x^2 -4) gehen?
Das sieht nach Partialbruchzerlegung aus. Hattet ihr das schon?
Hi, vielen Dank für das Video, was wäre denn, wenn „du“ nicht das Gleiche wie „dx“ ist, was muss man dann machen?
Eine Frage, bei Integral 3/x dx, warum geht es nicht wie davor einfach 3 mal x hoch -1, davor wurde es auch gemacht und 1 ist nur halt eine andere Zahl
Hallo deine Videos helfen mir extrem im Studium, jedoch bin ich etwas verwirrt wie man vorgeht, wenn man eine viel längere gebrochenrationale Funktion hätte wie zb oben x^4 + etc und unten dasselbe Spiel. Und wenn man den zähler zb nicht mit polynomdivision auflösen kann.
MathemaGott könnte auch einem Neugeborenen die Relativitätstheorie erklären! Ehrenfrau
DANKE
Gerne :)
kann man nicht direkt nenner min Bi-formel ausrechnen und dann die x^2 auf jeder einzelnen teilen wie vorher?
Vielen Dank
Das was du meinst geht nur, wenn im Zähler eine Summe steht, also z.b. darf man (x+y) / a umschreiben zu x/a + y/a. Aber das darf man nicht machen, wenn im Nenner die Summe steht.
@@MathemaTrick danke dir viel mals... am Donnerstag ist die Prüfung 😬
Eine Frage, bei 7:00 bezieht sich der Faktor 3 nicht auf die ganze Stammfunktion und müsste daher nicht außerhalb der Klammer stehen?
Hi , kannst Paar Aufgaben über Beweis Techniken machen:)wäre echt nett von dir
Hey Susanne :) Wie würde man denn bei diesem Integral vorgehen? ∫ (x-3)/((x-1)^2*(x-2)) Bin Dir für eine Idee dankbar!
Hattet ihr die Partialbruchzerlegung? Die erkläre ich hier: th-cam.com/video/3J-m83qRO0I/w-d-xo.html
Die würde sich hier eignen und danach würde man dann die entstandenen Brüche einzeln integrieren. Hilft dir das? 😊
Respekt, hätte man zu meiner Zeit Mathe so in der Schule erklärt hätte ich es verstanden und nie wieder Probleme damit gehabt. Leider gab es damals kein Internet
und gute Mathelehrer zu haben ist unwahrscheinlicher als im Lotto zu gewinnen (kannst Du ja mal vorrechnen (-; ). Zudem noch eine tolle Sängerin mit cooler Musik! Vielleicht sieht man sich ja mal auf einem Konzert? Lg Stephan
Hey Stephan, dankeschön für deine lieben Worte! 🥰 Das mit den Konzerten wird noch ein Weilchen dauern, aber ich gebe natürlich Bescheid wenn es soweit ist! 🥳
@@MathemaTrick tja, war nicht einfach sich durchs Ingenieur Studium zu boxen mit schlechten Mathe Kenntnissen. Bist Du Lehrerin oder hast Mathe studiert?
Wie integriere ich denn 75/(x^2-7x+21) ?
Heii, ich hätte noch eine Frage zur Substitution. Wird das auch fürs Abi gebraucht? Wir haben das nicht gemacht, sondern bei gebrochen Fkt einfach statt x/(5-3x)^2 - > x*(5-2)^-2 gemacht. Kann da jemand weiterhelfen?
Aber was wenn im Zähler und oder im Nenner sich 2 Variablen (z.B: t und s) befinden und es entweder nach "t" oder nach "s" gesucht wird (dt oder ds)? Wie wird so etwas integriert?
Ich habe keine Videos gefunden, in denen solche Beispiele gelöst werden. Brauche dringend Hilfe 😬
Moin .Ich habe eine Frage zu dem Beispiel 3 bei Minute 3:44 .Müsste es nicht vereinfacht 4mal x^-1 sein und nicht 4mal x^-2 ?
Hey! Wir schreiben dieses 4/x² ja einfach nur um, also da wird noch keine Stammfunktion gebildet. Wir schreiben statt "durch" einfach nur "mal" und machen die positive Hochzahl einfach negativ. So kommen wir auf 4·x^(-2). Hilft dir das? Dein Vorschlag, dass da 4·x^(-1) stehen müsste, würde nur gelten, wenn bei uns vorher 4/x gestanden hätte.
@@MathemaTrick Achso ok vielen Dank dir!:)
perfect
Ich brauchte genau das für die uni...
Und so hüpf ich von Viedeo zu Video :D danke
Na dann mal viel Spaß dabei! 😉
Kann man die x hoch -3 dann wieder unter den Bruchstrich schreiben?
kann man bei dem Beispiel 6 nicht (2x+6)/(x^2) nicht einfach vor dem Integral schreiben und den Trick von Beispiel 4 und Beispiel 5 benutzen?
Habe den Unterschied zwischen Fall 1 und 2 ganz am Anfang nicht verstanden wie kommts dass man beim zweiten nicht mehr dieselbe Methode nutzen darf und beim ersten hätte ich direkt ln benutzt. Sorry bin den ganzen Tag schon dran und hab mich dabei aufgehangen
Eine Frage,
was wäre anders oder wie würde man vorgehen, wenn z.B. 'du=2dx' oder sogar du=2x*dx' wäre?
Vielen Dank
für das Video.
Ich habe eine Frage: Was wäre, wenn bei der Substitution dx =2du rausgekommen wäre? Hätte man dann am Ende 2du schreiben müssen?
Die Substitution ist nur LK Stoff oder?
Technisch efachrichtung, Grundstudium. Mündliche Prüfung Mathematik (Vorbereitung, 1 von ich meine 3 zu lösenden Aufgaben - sorry, das war 1993):
Integral von (e^x - e^-x)/2 nach dx.
Das Tolle an der Geschichte war, wir hatten die ganzen Aufgaben vorher schon von unserem Lehrer in den Matheseminaren. Da kam ich damit schon (erstmal nicht klar) und habe ihn (Dr. der Mathematik) um Hilfe ersucht. Und auch er mußte sich dann erstmal Bedenkezeit ausbitten... Er kam dann mit einem Bandwurm von Formel an :D
Aber als armer Student in 15 min Vorbereitungszeit...
Die Lösung ist absolut simpel, mir ist sie durch puren Zufall eingefallen. ("Puren Zufall" müßte man an sich groß und in 25 Pkt schreiben). Aber hat mich dann gerettet, denn das war der nächste Zufall, daß ich sie als Aufgabe ziehe (die Zettel waren natürlich verdeckt) und mit meiner Idee dort glänzen konnte. (Auch wenn ich sonst mit Mathe nicht allzuviel am Hut hattte/habe).
Sowas bleibt in Erinnerung. :)
Wie gebe ich das mit ln und Betrag in den Taschenrechner ein?
Supi! ❤️
Danke dir! ❤️
Wie lässt sich erkennen ob ich jetzt eine Integration durch Substitution oder eine Partialbruchzerlegung machen muss?
Ist substitution für nrw grundkurs relevant?
Hallo! In Minute 4:32, wieso wird die -4/-1 nicht zu +4/1? Liebe Grüße
Das kannst du dann gerne zu einem „plus“ vereinfachen, so wie du es vorgeschlagen hast. 😊
Kuss geht raus
Vielen Dank.
Du könntest meine Rettung werden.
Wir haben hier eine Aufgabe, in der wir "explizit die Stammfunktion" von integralen bilden sollen, z.B.
Integral (ohne Grenzen) (4/(x²+1)) dx. oder x*cos(x²-1)*dx
Was will der Prof uns mit der Forderung "explizit" sagen?
Das andere Video mit den expliziten Gleichung habe ich auch angesehen, aber das bringt mich auch nicht wirklich weiter.
Dieses „explizit“ soll einfach nur heißen, dass ihr sie angeben sollt mit den Regeln, die ihr kennt. Manche Stammfunktionen kann man nämlich gar nicht richtig angeben und kann die Integrale dann nur näherungsweise bestimmen. Also wenn du schreibst, dass 1/2x^2 die Stammfunktion von x ist, dann ist das die explizite Darstellung.
@@MathemaTrick 💖
Ach, wer hat denn da so eine süße Eule hinter seinem Namen? 😍 Vielen lieben Dank für deinen Support! Ab Montag bist du dann auch im Abspann meiner Videos drin, die Videos für's Wochenende habe ich schon vorproduziert! 😊
@@MathemaTrick Ich wollte Dir einfach mal nen Kaffee ausgeben 😉. Viele Deiner Videos helfen mir echt weiter.
Im Moment kämpfe ich mit komplexen Zahlen, Integral- (einfache und Doppel / Dreifachintegral) und Differentialgleichungen.
Leider nie in der Schule gehabt ( und hätte ich bestimmt in den letzten knapp 40 Jahren auch wieder vergessen), muss aber irgendwie durch Mathe2 kommen.
Warum spuckt bei Beispiel 6 in der Probe mein Integrationsrechner ein anderes Ergebnis aus, wenn ich für x einsetze?
Hi, kann mir vielleicht jemand erklären, was passiert wenn du != dx ist? Wie ist dieser Fall zu handhaben? Habe gerade in einer Aufgabe dx = du/2x
Und was müsste man (13:11) machen wenn du ≠ dx ist ? Zb du = 3dx ?
Kann ich als Stammfunktion nicht einfach schreiben. 2 mal den LN (x hoch 4) ?
Wäre doch einfacher oder
...wenn jetzt bald alle Kryptowährungen explodieren werden, brauche ich für den Lebensunterhalt nicht mehr arbeiten gehen müssen und dann habe ich ganz viel Zeit um mich so intensiv um die Themen der Mathematik zu kümmern, wie einst im Studium. 😏
Bis dahin schaue ich diese tollen Tutorials und lausche gespannt den exzellenten Erklärungen! 😎👍
Bei Minute 07:03, muss da die 3 nicht außerhalb der Klammern stehen, da wir sie aus dem Intelgral gezogen haben?
Ja stimmt! Es ändert hier jetzt nichts am Ergebnis, aber du hast vollkommen Recht! 😊
@@MathemaTrick okay, danke dir!
Hallo! Was wär passiert wenn du nicht 1 wär? Bsp wär die ableitung ist 2 also du ×2? Wie rechnet man das insgesamt, dann aus? VG
(x³)/(4(x-1) oder (x³)/(4x-4) Stammfunktion soll angegeben werden wie geht das ?
ab 7:44 wird's ein bisschen konfus: korrekter müsste die Argumentation wie folgt sein: 1) gesucht ist eine Substitution von x durch u also eine Funktion x(u). 2) die Gleichung u=x+3 ist nicht die Substitution (hier wird u in Abhängigkeit von von x dargestellt) sondern die "Rücksubstitution" (diese Gleichung braucht man nur um auf die "richtige Substitution zu kommen (wie vorher erklärt). 3) Hier ist jetzt "jedenfalls die Umstellung x=u-3 notwendig. Genau dadurch hat man dann die Substition x(u)=u-3 (dies ist also nicht ein "Spezialfall" sondern die "Normalfall"). Die Ableitung geschieht dann auch nach u (!) und es ergibt sich dx/du = 1 und hieraus dx=du… Hiermit wird dann auch klar(er) warum man im Zähler auf (u-3)^2 kommt.
Zusammengefasst wäre es am bestens einleuchtend wenn man die Substitution als Funktion erklärt: die Variable x wird durch eine Funktion x(u) mit der Variablen u ersetzt. Hier dann also: x^2/(x+3)^2 = x(u)^2/(x(u)+3)^2. Mit x(u) = u-3 ergibt sich dann (u-3)^2/u^2. -> Dies führt dann zur Berechnung des Integrals in u (bis 11:30) . Hier erfolgt nun die "Rücksubstitution" durch Berechnung von u(x) (hier: u(x)=x+3). Dann ergibt sich das Integral in x.
Weitere Anmerkung: liegt ein bestimmtes Integral mit Grenzen x_0 und x_1 vor, so müssen auch diese substituiert werden und zwar durch die Rücksubstitution u(x) (!). Es ergibt dann u_0=u(x_0) und u_1=u(x_1) beim Übergang von x nach u und dann durch Anwendung von x(u) beim Übergang von u nach x: x_0=x(u_0); x_1=x(u_1)
Bin ein bisschen spät dran, vielleicht kann mir aber trotzdem einer helfen: beim ersten Beispiel, müsste nach die zwei nicht noch ein x? Warum ist es nicht so? Würde mich sehr freuen über eine Antwort :)
Was meinst du denn genau oder in welcher Minute müsste noch ein x stehen?