INTEGRAL von Brüchen berechnen - Partialbruchzerlegung, Bruch integrieren
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- เผยแพร่เมื่อ 20 ก.ค. 2024
- Integral von Brüchen berechnen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man Integrale mit der Partialbruchzerlegung lösen kann. Wir finden mit dem Koeffizientenvergleich eine Zerlegung des Bruchs und integrieren die Funktion mit dem Logarithmus. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Integral von Brüchen berechnen
1:18 Nullstellen Nenner berechnen
4:50 Partialbruchzerlegung Ansatz
10:03 Koeffizientenvergleich
12:08 Gleichungssystem lösen
14:38 Bestimmtes Integral lösen
18:34 Bis zum nächsten Video :)
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#Integration #Partialbruchzerlegung #MathemaTrick
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Herzlichen Glückwunsch zu weiteren Abonennten, Mitgliedern und vorallem likes. Ich hoffe nur über den Jahreswechsel gibts einige neue Videos zum schauen, sonst wird es echt ein langer Winter, im Sommer währe es nicht so wild wenn es draussen heiss ist und man nicht zum schauen kommt, aber jetzt ist Höhlenzeit.
Jaaaa ich mache auch zwischen den Jahren weiterhin Videos, also immer Di, Do, Sa und So! 🤗
Du siehst einfach voll aus wie Sara aus CSI LV früher !
Weiss grad ihr realer Name nicht.
Deine Videos sind fachlich & didaktisch mit das Beste, was man in diesem Lehrbereich auf TH-cam finden & verwenden kann!! Hinzu kommt natürlich noch der charmante, sehr ruhige & damit überaus sympathische Vortragsstil in Verbindung mit der technisch sehr ansprechenden Darstellung der Lösungswege des jeweils anstehenden mathematischen Problems .
Wir haben mathe, nach der Pause ist wieder deutsch
Wir brauchen in MINT Lehrer, die so toll erklären können wie du. Danke
🥰❤️
Mathe war bisher ..., ja eben notwendiges Übel und nicht sonderlich beliebt oder ergötzend. Seit einiger Zeit aber bin ich froh, wenn ich abends zu Hause bin und mir die Welt der Mathematik neu erschließen kann! Deine Erklärungen zu den Vorgehensweisen bei den Lösungen, auch zu lauernden Gefahren und Klippen, sind so logisch und klar
aufgebaut (heute sagt man wohl
strukturiert), dass ich mich schon immer
frage, weshalb mir Mathe eigentlich immer so relativ kompliziert erschien.
2, 3 oder mehr Beiträge abends und mit wachsendem Vergnügen an der Sache sind mittlerweile Norm! Und die Enkel
sind froh, dass sie in mir nun jemanden haben, der M-hausaufgaben mitmacht!
Vielen Dank für die sympathische Art
der Mathematik!
Strukturiertes Vorgehen didaktisch gut erklärt. Danke Dir dafür.
Moin Günter
@@nicerice4208 Guten Morgen oder Abend, je nachdem, wann die Info ankommt.
Herzliche Grüße, Gunther und nicht Günter
Du hast mich mit deinen Videos durchs Mathe-abi gebracht und wirst es auch durchs Informatikstudium. Vielen Dank dir für die super lehrreichen Videos!
Wow, freut mich riesig, dass dir meine Videos so gut weiterhelfen!
Nie in 3 Jahren Matheabi gelernt. Kein Wunder, dass die Abschlussarbeit überfordernd war. Unser Mathelehrer liebte es stundenlang kopieren und Kaffetrinken zu gehen. Danke für die Aufklärung!
Super! Ist auch gut das jeder Zwischenschritt geduldig gezeigt wird.
Es ist wirklich eine Kunst hochtrabense mathematische Begiffe, allgemeinverständlich darzustellen.
3:51 Uhr und ich schaue mir Videos über Mathe an, obwohl ich Mathe gar nicht mehr brauche... Irgendwas machst du richtig, viel Erfolg mit der TH-cam Karriere:)
Hey, freut mich sehr, dass du dir meine Videos freiwillig sogar nachts reinziehst! 😅 Wünsche dir weiterhin viel Freude auf meinem Kanal! 🤗
Habe gerade den Anfang von Deinem Video gesehen, wo Du den Anfang Deines Studiums (2009) erwähnst, das wäre "lang her". Ich habe in Düsseldorf angefangen, im Jahr ... 1978. Eine interessante Aufgabe hätte ich auch noch, ich habe damals natürlich auch mit Nachhilfe mein spärliches Einkommen aufgebessert, im Mathebuch eines 9. Klässlers(!) war eine wirklich tolle Geometrie Aufgabe gestellt. Die fand ich so faszinierend, dass ich sie in irgendeiner Analysis oder Algebra Vorlesung den Kommilitonen stellte, das war eine 2-stündige Vorlesung, wir waren damals sehr viele (geburtenstarker Jahrgang 1959), ca. 150(!) Studenten saßen im Hörsaal. Und gegen den Willen des Professors versuchten sich die Studenten alle an dieser Aufgabe - niemand hat sie letztendlich gelöst. Die meisten haben sich richtig "kaputt gerechnet", um eine Lösung zu beweisen, aber angekommen ist keiner. Dabei war kein analytischer Beweis gefordert, man sollte nur eine Konstruktionsanleitung geben. Und die Aufgabe lautet wie folg: man habe ein normales Dreieck, was auf der Grundseite steht. Der Einfachheit halber kein überspitzes Dreieck. Auf der Grundseite soll ein Quadrat konstruiert werden, welches auf der Grundseite steht und dessen beiden oberen Ecken jeweils eine Seite des Dreiecks tangieren. Ich kann hier leider keine Grafik einfügen, aber ich glaube, es ist trotzdem klar, was gemeint ist. Das Quadrat "passt" genau in das Dreieck.
Hätte ich damals in der 8. eine Lehrerin wie dich gehabt, hätte ich sicher nicht wegen Mathe wiederholen müssen 😄 Schau in jeder freien Minute deine Videos und bin auf einmal unglaublich fasziniert von dem, was mir früher nur Schweißperlen auf die Stirn gezaubert hat. Absolut sensationell, wie du das machst 😊 Vielen Dank für die viele Mühe - es macht einfach richtig Spaß, die zuzuhören 😊
Hey Marco, das freut mich riesig!! 😍 Dann wünsche ich dir weiterhin ganz viel Freude auf meinem Kanal! 🤗
Ja wegen dem Lehrer musstest du widerholen. Genau !!!
Irgendein anderer muss es ja schuld sein. Oder?
Grüß Dich du Wunderbare!
Deine Arbeit ist sehr wertvoll und gleichzeitig wirklich unterhaltsam und super sympatisch!
Es ist sehr spannend, wie Du Kindern und auch Erwachsenen die Möglichkeit bietest, strukturiert und sehr gut nachvollziehbar schwierige mathematische Zusammenhänge zu erkennen und gemeinsam mit Dir zu lösen. Was ich mir wünschen würde, wären Anwendungsbeispiele für die mathematischen Akrobatiken. Ich glaube, es würde vielen helfen eine emotionale Bindung zu den Thematiken zu entwickeln, sodass der Wunsch entsteht, solche komplexen Zusammenhänge zu verstehen und dann auch selber anwenden zu können.
Ein GROSSES Dankeschön an deine Videos. Sie sind super! Immer wenn ich denke scheisse das verstehe ich nicht und ich werde es nie können schau ich ein Video von dir und dann kann ich es nach etwas üben
Wieso kann man dir so gut zuhören? xD Ich brauche das Thema Grade nicht... Aber gucke mir aus Jucks und Tollerei einfach 19 Min n Video zur Partialbruchzerlegung ?!?! xD
Danke das es dich, deine Mathe-/ und Didaktischen - Fähigkeiten gibt!
Wow, freut mich riesig, dass ich dich fesseln konnte und du deine Freizeit mit meinen Videos verbringst! 😅 Wünsche dir 'nen schönen Sonntag und weiterhin viel Spaß mit meinen Videos! 🤗
@@MathemaTrick jetzt ehrlich, hab sowas nie in der Schule gehabt... müsste einiges aufholen gerade mal begonnen mit dem ganzen Brüche ausklammern, ich denke das ist erst mal die wichtigste Baustelle.... was so ein integral macht interresiert mich da erst mal 2te rangig...
Wenn das jemand so gut behrrscht wie du kann man da nur verzaubert zuschauen, dabei kann ich eher entspannen als bei irgendwelchem mainstreamTV, weil man doch versucht selbst den Bruch zu lösen und dann die Backpfeiffe direkt erhält weil man es falsch machen würde .
So macht Mathe Spaß ☺️
Dankeschön, mich freut es wirklich extrem wie gut meine Videos ankommen. Damit hätte ich noch vor einem Jahr nieeeemals gerechnet!! 😍 Ich bin dir und generell euch allen so unendlich dankbar, dass ihr mich so tatkräftig supportet! Einfach nur Danke!! ❤️
Hätte ich damals, zu meiner Schulzeit, so eine schöne Mathe- Lehrerin, dann hätte ich auch besser im Unterricht aufgepasst.
Danke für die Videos, es ist alles so gut erklärt, hab die Partialbruchzerlegung endlich richtig verstanden. Über Videos zu Differentialgleichungen würde ich mich sehr freuen!
Schön zu hören
wie immer ganz wunderbar erklärt. danke
danke, danke, danke. Deine Videos helfen mi so sehr und retten mich jedes mal. Du rettest echt mein Matheabi !!!!
superschöne Erklärung. Mathematik am Advent 🙂
Morgen Mathe Klausur über Integralrechnung 😩 deine Videos helfen mir mega! Danke
Dann wünsche ich dir ganz viel Erfolg für morgen, du schaffst das!! 🥳
Oh, ist das lange her, das ich das in der Schule gelernt habe. Und auch wenn ich lange nicht mehr integrieren mußte und vielleicht auch nie mehr muß, es ist immer gut, etwas zu wissen. Deshalb, danke, daß Du das wieder aus dem tiefsten Keller meiner Erinnerung herausgeholt hast.
Und auf jeden Fall werde ich NIEMALS so schwachsinnige Kommentare schreiben, wie ich sie eben gelesen habe (Stefan Schmitz, Pupan Ozdrljic).
hatten das Integral zwar noch nicht aber quadratische Funktionen, daher fällt mir die Berechnung der Nullstellen im Nenner leicht. Letztendlich ist das im Nenner ja nur die Nullstellenform einer quadratischen Funktion. Sehr gutes VIdeo!
die Partialbruchzerlegung: hatte ich tatsächlich nicht mehr auf dem Schirm, kann ich jetzt für Nachhilfe gut verwenden, super!
Sehr verständlich, vielen Dank!
Sehr gerne 🙂
Absolut richtig!!!
Es ist immer wie Magie, danke.
KP warum diese Video mir vorgeschlagen wurde :) trotzdem 10min hängen geblieben machst das echt gut und wirst damit vielen helfen die es noch brauchen. Ich habe alles vom ABI vergessen nur PQ Formel wußte ich noch XD
einfach großartig, weiter so.
so wird der mathe-muffel bestimmt auch aktiviert und es
gilt nicht mehr " in mathe war ich immer schlecht"
danke
Deine Videos sind toll bitte höre nicht auf damit weil sie sehr hilfreich sind
Dankeschön! :)
Danke!!!
Jetzt weiß ich nur leider nicht, wie man das im Endeffekt im Taschenrechner eingibt.
Tolles Video! Habs verstanden, danke. 😚
Super erklärt, Vielen Dank !
Freut mich, dass ich helfen konnte! :)
Super Video^^ ich finde es ein wenig eleganter, wenn man nach dem durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner einfach nacheinander die beiden Nennernullstellen einsetzt, da bekommt man A und B fast geschenkt, so dass man sich den Koeffizientenvergleich sparen kann :)
Der Koeffizientenvergleich ist so unnötig und kostet zu viel Zeit, die man nicht hat bei einer Klausur. Einfach Nullstellen einsetzen und fertig.
Deine Videos sind sehr gut und du bist sehr Hübsch 😁
Danke für das tolle Video. Könntest du eins zur Partialbruchzerlegung machen, wo es doppelte Nullstellen gibt und welchen Ansatz bzw. Weg man dort geht?
Lieben Dank :)
Du musst den bruch so oft schreiben wie es die nullstelle gibt, also bei doppelter nullstelle 2 mal und das in der form(ich nehme jetzt eine beispielfunktion): deine doppelte nullste ist (x-1)^2, dann schreibst du A/(x-1) + B/(x-1)^2
Du hast ein didaktisches Talent. Toll.
Dankeschön! 🥰
danke !!! wirklich danke du bist die beste
Hallo Susanne, jemanden wie dich hätte ich zu meiner Schulzeit echt gebraucht! Du bist und machst das einfach toll.
Könntest du auch das Thema Trigonometrie erklären.... also diesen Sinuskram .... bin damals bei diesem Thema "ausgestiegen" und seitdem habe ich das Gefühl dass mir etwas fehlt (mathetechnisch) 😩😂
super video !
man hätte nachdem man bei dem ansatz die brüche aufgelöst hat, also bei 8:22, in die gleichung auch einfach jeweils die zuvor berechneten nullstellen des nenners einsetzen können.
Liefert direkt die ergebnisse für A und B und spart deutlich zeit und arbeit
danke für dieses video war sehr hilfreich
We love you ❤️❤️❤️
Super Video!
Ach, wie schön, mal wieder von der Mitternachtsformel zu hören 🙂
Gut erklärt. Hat mich an Signale und Systeme aus dem Studium erinnert.
Deinen Weg, die PBZ zu lösen, empfinde ich als eher umständlich, ich meine es nicht böse.
Bei dem -2x-2 = A(x+4)+B(x+3) habe ich zuerst die Klammer für A 'genullt' -> x = -4, überall eingesetzt und kam da direkt auf das B = -6 und selbiges habe ich dann auch gemacht, um A zu berechnen. Aber trotzdem fand ich deinen Weg interessant, da konnte man gut die Zusammenhänge sehen. Vielen Dank dafür!
Klasse Videos, danke dafür. Du verstehst es, uns die Angst vor Mathe zu nehmen.
Freut mich sehr! 🥰
Noch einen herzlichen Musikantengruß an die Musikerin von mir als einem der Schlagzeuger der Bosch-Big-Band, Stuttgart.
Super ❤️
Einfach Mario Müller für Mathe
Tolles Video, welches Aufnahmeprogramm nutzt du ?
Schau mal in die Videobeschreibung, da habe ich alles verlinkt, was ich benutze! 🤗
Ich schreibe am Donnerstag eine Mathearbeit, zwar nicht über dieses Thema aber ich werde mir deine Videos nochmal angucken :D
Na dann wünsche ich dir schon mal ganz viel Erfolg! 🥳
Viel Erfolg in deiner Mathearbeit!
Super erklär!
Danke! 🥰
Absolut richtig
Hey Danke für das tolle Video :-)
Kurze Frage, im Schritt " Koeffizenten Vergleich" hast Du für "+4A+3B" im Anschluss drunter "4A+3B=..." stehen....
Wenn jetzt aber oben in der Gleichung "-4A+3B" stehen würde, hättest Du dann unten auch "-4A+3B =..." stehen... oder würdest du quasi das Vorzeichen der oberen Gleichung in dem Fall ignorieren und wieder "4A+3B=..." hinschreiben?
Muss ich den Vorfaktor der größten Potenz bei den Nullstellen auch hinzufügen wenn ich die Mitternachtsformel verwendet habe oder ist das spezifisch der pq-Formel?
Herzlichen Dank für diese Frage aus der Analysis 2. Ich habe die Lösung bei dem Ergebnis ln(5^(4)*5^(6))-ln(4^(4)*6^(6)) = 16,0944 - 16,2957 = -0,2013 gelassen.
Muito bom.
Hab seit ich Mathematrick zum einschlafen gucke meine Mathenote um 2 Notenpunkte verbessert
Es wäre so lieb wenn du diese Aufgabe löst 🥹
Integral 3x-1/x^2+x
Das Wetter ist scheiße, TV-Programm auch . .
egal, dann halt nochmal Linearfaktoren . . . ich liebe es!!!!
du bist echt super! würdest du ein Beispiel von der Aufgabe noch berechnen: Integral von ((2*x)/(7*x^2+6))dx
Cool!!!
Absolut richtig!
Bei 8:10 bekommt man sehr viel schneller A und B, wenn man einmal für x Minus 4 und einmal für x Minus 3 einsetzt. Dann wird jeweils auf der rechten Seite eine Klammer 0 und man bekommt sehr leicht A und B.
Wenn da im nenner 3*x^2 stehen würde müsste man dann bei der pq formel alles durch 3 teilen? Und dann im nachhinein wieder mal 3
Können Sie ein komplettes Video machen wo es um Anwendungsaufgaben bei linearen Funktionen geht?
Eine ziemlich harte Nuss, super erklärt. Stellst du auch Kochrezepte zur Verfügung? Viele Grüße 🙌🏼
Hallo, ich hab eine Frage und zwar was muss ich machen, wenn ich einen längeren Gleichung habe z.B x hoch 3 + 4x hoch 2 - 3x? Diesen Schritt benötige um mein A und B herauszufinden
Hi Susanne, danke für deine tolle Videos. Da ist ist so viel zu begreifen. Bitte könntest du das folgende uneigentliche Integral lösen? Das ist das Integral von Minus Undendlich nach null von x^2/(1-x^3)^2 dx. Vielen Dank im Voraus. LG Justine
I hope you can understand English, I am i Canada. We have ∫ x^2/(1-x^3)^2 dx = ∫ x^2(1-x^3)^-2 dx . ... Let u = 1 - x^3, then du = -3x^2 dx , and dx = du/(-3x^2).
So ∫ x^2(1-x^3)^-2 dx = ∫ x^2(u^-2)∙du/(-3x^2) = ∫ u^-2/-3 du = (-1/3)u^-1 + c ..... ∫ x^2/(1-x^3)^2 dx = (-1/3)/(1 - x^3) + c . Hoffe du kannst weitermachen.
Darf ich fragen was du beruflich machst ?
Ich bin Sängerin der Band MoonSun und mache Mathe-Videos. 😊
Cooles Video!!!
Danke! :)
Stark !
Danke! :)
4:22 falls da was gestanden hätte, hätte ich doch mit der Mitternachtsformel den Faktor wegbekommen oder?
Super erklärt aber ganz ehrlich ich bin nun fast 40 Jahre alt habe 3 Facharbeiterbriefe und bis auf Schule und Berufsschule nie Integralrechnungen gebraucht schon traurig.
Absolute Empfehlung an alle die Mathe doof finden und es trotzdem brauchen (also auch alle😃). Empfehlung auch an alle die Mathe lehren. Unbedingt anschauen und lernen wie man lehrt!
Wie sehr ich deine Videos suchte.😬
Find ich super! 😜
Um die Nullstellen am Anfang rauszufinden, kann man den Term faktorisieren, was meiner Ansicht hier sehr leicht funktioniert, geht viel schneller.
Ohne deine Erklärung hätte ich diese Nuß vermutlich nicht geknackt.
Zur Nullstellenbestimmung des Nennerpolynoms kann man den Satz von Vieta anwenden: p + q = 7 und p*q = 12. Nullstellen sind also 3 und 4. Der Tipp ist aber wahrscheinlich nur für echte Rechenfreaks geeignet 😞
Ich habe nicht ganz verstanden warum ich nicht diese Funktion zu F(x)= (-1xquadrat - 2x)/(1/3x hoch 3 +7/2x Quadrat + 12x) aufleiten kann?
weil man beim Ableiten die Quotientenregel beachten muss. Mach mal den Test und leite ab, dann merkst du dass das nicht so einfach geht :-)
Wäre bei 4:23, wo Du gesagt hast, dass wenn man x^2+7x+12 zu (x+3)(x+4) schreibt und falls da noch ein Faktor vor der höchsten Potenz steht den man einfach anhängen soll, in dem Fall die 3, nicht 3x^2+21x+36 rausgekommen? (wegen 3(x+3)(x+4))
Vielleicht lieg ich ja auch falsch 🙂
Lieben Gruß
4:26 wenn die 3 nur vor dem x^2 stünde, wären p=7/3 und q=4. Somit hätte ich andere Nullstellen. Odee verstehe ich da was falsch? Weil die Linearfaktoren lassen sich ja auch berechnen wenn ich die Nullstellen habe egal ob ich den ganzen Nenner durch 3 teile oder nicht.
Ja genau, dann bekommt man auch andere Nullstellen. Ich wollte nur grundsätzlich sagen, dass man diesen Faktor dann nicht vergessen darf in der Linearfaktorzerlegung. 😊
@@MathemaTrick man kann die pq-formel ja nur Anwenden, wenn nichts vor dem x^2 steht. Also muss man den schon vor der Linearfaktorzerlegung beachten. Du erklärst es so, als ib man die 3 im Nachhinein einfach als Faktor mit vor die Linearfaktoren schreiben kann. Das geht natürlich nicht.
hey gutes Video. Darf man auch Aufgaben Wünsche äußern?
Klaro! 😊
@@MathemaTrick Jetzt habe ich derzeit keine Aufgabe, aber ich würde mir auf deinem Kanal Mengenlehre, Aussagen und Prädikatenlogik, Relationen wünschen :)
Hübsche Frisur.
Richtig gut erklärt aber in welchem Jahr lernt man sowas? Das ist ja mal absolut komplex🤯
Das kommt normalerweise erst an der Uni dran 😊
Das mit dem LGS geht noch eeeetwas leichter meiner Meinung nach:
A+B = -2
4A + 3B = -2
Beide Gleichungen ergeben -2, also A+B = 4A + 3B
Durch Umstellen nach jeweils nur einer Variablen pro Seite ergibt: -2B = 3A
=> B = -1.5A
Jetzt setzt man (weil es die "siimplere" Gleichung ist) A+B = -2 und setzt dort den ermittelten Wert für B, nämlich -1.5A, in B ein und erhält A + -1.5A = -2 => -0.5A = -2 => A = 4
Nochmal A+B nehmen (weil "simplere" Gleichung :-D ) und setzt den gefundenen Wert für A ein.
4+B = -2 => B = -2 - 4 = -6
A = 4
B = -6
Bei 1:34 wird also legitim durch 0 geteilt?!
Warum darf man Brüche nicht einfach normal "aufleiten"?
Was würde ich ohne dich nur machen...
ich liebe dich
4:21 3 als Faktor hinzufügen.
Ist das richtig? 3•(x+3)•(x+4) ist doch 3x^2 + 21x + 36 und nicht 3x^2 + 7x + 12.
Nee, so kann man das nicht direkt aufschreiben, weil du ja auch andere Nullstellen rausbekommen hättest, wenn da 3x^2+7x+12 gestanden hätte. Also wenn man von z.b. 4x^2+16x-20 die Nullstellen berechnet, kommt man auf -5 und 1. Dann wäre die Linearfaktorzerlegung eben 4•(x+5)•(x-1). Da darf man die 4 nicht vergessen. Hilft dir das? 😊
@@MathemaTrick ja, das klingt logisch!
Kleine Ergänzung: Der Grad des Polynoms ist die höchstmögliche Anzahl von Nullstellen. Das heißt ein Polynom 5. Gerades beispielsweise kann HÖCHSTENS 5 Nullstellen haben.
Du erklärst sehr gut mach weiter so!
Im komplexen Raum ist dann aber der höchste Grad des Polynoms gleich der Anzahl der komplexen Nullstellen
@@larochejaquelein3680 Ja das ist richtig. Um beim Beispiel zu bleiben: Falls das Polynom 5. Grades komplex ist, so hat dieses auf jeden Fall 5 Nullstellen. Ist das Polynom 5. Grades reell, dann ist das nicht zwangsläufig der Fall. Das heißt, es kann auch ledeglich 3 Nullstellen besitzen. Auf gar keinen Fall kann die Anzahl der Nullstellen den Grad des Polynoms übersteigen. Dies wäre ein Widerspruch zum Fundamentalsatz der Algebra. Liebe Grüße und frohe Festtage.
Ich bin 9. Klasse, machen gerade quadratische Ergänzung, was schau ich mir an: Intergrale berechnen von easy zu Abi
HALLO IHR LIEBEN
🤓😂❤️
Du erklärst deine Videos wirklich sehr Verständlich. Aber wo im Leben braucht man sowas??? In welchen Beruf ist sowas von nöten? Bei welcher tätigkeit brauch ich das? Lg Stefan
Als Ing. brauchst Du das immer wieder, glaub mir. Susanne ist Mathematikerin und stellt deswegen anhand eines techn. Problems nicht die Gleichungen auf, sondern nimmt diese an (wie von Gott gegeben) und zeigt deren Lösung. Das macht sie wirklich gut und das ist auch ihre Aufgabe hier. Nimm z. B. die Elektrotechnik, Maschinenbau oder die Statik von Bauwerken. Da bist Du ruck zuck bei solchen Gleichungen ...
@@guntherlohmann1613 Danke für die Info
Minus und Minus gibt plus. Wäre es nicht plus vier?
In welcher Minute denn? 😊
@@MathemaTrick Sorry, Ich habe mein Fehler entdeckt.
wollte nur sagen dass ich jz abi hab und kein mathe mehr brauche danke
Wie heißt euer Programm
Schau mal in die Videobeschreibung, da steht alles genau drin was ich nutze. 😊
Entschuldigung ich habe nichts gefunden über dem Programm
@@menogameplay9667 Steht ganz unten bei dem Equipment:
Mein Schreibblock: GoodNotes (App Store / Google Play Store) :)
Danke ich hab es gefunden funktioniert es auf lenovo laptops
Klar, das funktioniert überall. :)
Liebe Susanne,
überprüfe bitte mal in diesem deinem Video von 4:14 - 4:47 (Integration Partialbruchzerlegung) deine Aussage zu dem möglichen Koeffizienten im Nenner vor dem Term.
Wenn ein Koeffizient - in diesem Beispiel die Zahl 3 - vor x^2 steht, muss nach meinem Kenntnisstand VOR der Ermittlung der Nullstellen und anschließende Anwendung der p,q-Formel der Term im Nenner durch diesen Koeffizienten geteilt werden, damit x^2 alleine steht. Im Nachhinein den Koeffizienten 3 multiplikativ vor den
Term (x+3)(x+4) als 3(x+3)(x+4) zu schreiben ist nicht korrekt. Ich würde dann 3x^2 + 21x + 36 erhalten und dies ist nicht das gleiche wie 3 (x+3)(x+4). 😏
Im übrigen erklärst du die mathematischen Sachverhalte in deinen Videos echt super - alle Achtung 👍🏽
Ciao Roland
2
∫(-2x-2)/(x²+7x+12)*dx
1
Lösung:
Zunächst der Nachweis der Integrierbarkeit dieser Funktion
f(x)=(-2x-2)/(x²+7x+12):
Ist diese zu integrierende Funktion f(x)=(-2x-2)/(x²+7x+12) differenzierbar?
f’(x)=[(-2)*(x²+7x+12)-(-2x-2)*(2x+7)]/(x²+7x+12)²
=[2x²-14x-24-(-4x²-14x-4x-14)]/(x²+7x+12)²
=[2x²-14x-24+4x²+14x+4x+14]/(x²+7x+12)²
=[6x²+4x-10]/(x²+7x+12)² = 2*(3x²+2x-5)/(x²+7x+12)²
Die Funktion ist differenzierbar, also ist sie auch stetig. Und wenn sie stetig ist, ist sie auch integrierbar.
Zuerst Lösung des unbestimmten Integral ∫(-2x-2)/(x²+7x+12)*dx:
Partialbruchzerlegung:
Mit Partialbruchzerlegung ist gemeint, dass man den Bruch (-2x-2)/(x²+7x+12) auf eine einfachere Form bringt, so dass man integrieren kann. Dazu zerlegt man die ganzrationale Funktion des Nenners (x²+7x+12) in seine Faktoren
(x-x1)*(x-x2). x1 und x2 sind hierbei die Nullstellen des Nenners.
Nullstellen des Nenners:
x²+7x+12 = 0 | p-q-Formel ⟹
x1/2 = -7/2±√(49/4-12) = -7/2±√(49/4-48/4) = -7/2±√(1/4) = -7/2±1/2 ⟹
x1=-7/2+1/2=-6/2=-3 und x2=-7/2-1/=-8/2=-4
Nun findet die eigentliche Partialbruchzerlegung statt:
(-2x-2)/(x²+7x+12) = (-2x-2)/[(x+3)*(x+4)] = A/(x+3)+B/(x+4) mit noch zu bestimmenden A und B. Es muss also sein:
A/(x+3)+B/(x+4) = [A*(x+4)+B*(x+3)]/[(x+3)*(x+4)]
= [A*(x+4)+B*(x+3)]/[x²+4x+3x+12] = (-2x-2)/(x²+7x+12) |*(x+3)*(x+4) ⟹
A*(x+4)+B*(x+3) = -2x-2 | diese Gleichung muss für alle x gelten, also auch für x=-4, -4 für x eingesetzt, ergibt dann:
A*(-4+4)+B*(-4+3) = (-2*(-4)-2) ⟹
B*(-1) = 6 |*(-1) ⟹
B=-6
A*(x+4)+B*(x+3) = -2x-2 | diese Gleichung muss für alle x gelten, also auch für x=-3, -3 für x eingesetzt, ergibt dann:
A*(-3+4)+B*(-3+3) = (-2*(-3)-2) ⟹
A=4
Andere Methode (Koeffizientenvergleich):
A*(x+4)+B*(x+3) = -2x-2 ⟹
A*x+A*4+B*x+B*3 = -2x-2 ⟹
A*x+B*x+A*4+B*3 = -2x-2 ⟹
(A+B)*x+A*4+B*3 = -2x-2 | Koeffizientenvergleich: die Gleichung kann nur gelten, wenn A+B die Anzahl der x ergibt und wenn A*4+B*3 die absolute Zahl -2 ergibt. Daraus folgen die 2 Bestimmungsgleichungen:
(1) A+B = -2 |*4 ⟹
(2) 4A+3B = -2
(1a)4A+4B = -8
(2) 4A+3B = -2 | -
------------------
(3) B = -6 |eingesetzt in (1), ergibt:
(1b) A-6 = -2 |+6 ⟹
(1c) A = 4
A=4 und B=-6 in die Partialbruchzerlegung eingesetzt, ergibt:
4/(x+3)-6/(x+4) = (-2x-2)/(x²+7x+12)
Somit lautet das unbestimmte Integral:
∫(-2x-2)/(x²+7x+12)*dx = ∫[4/(x+3)-6/(x+4)]*dx = 4*∫1/(x+3)*dx-6*∫1/(x+4)*dx =
--------------------------------------------------
Nebenrechnung:
Substitution für das 1. Integral: u=x+3 du/dx=1 du=dx
Substitution für das 2. Integral: v=x+4 dv/dx=1 dv=dx
--------------------------------------------------
= 4*∫1/u*du-6*∫1/v*dv = 4*ln|u|-6*ln|v|+C = 4*ln|x+3|-6*ln|x+4|+C
Das bestimmte Integral lautet nun:
2 2
∫(-2x-2)/(x²+7x+12)*dx = [4*ln|x+3|-6*ln|x+4|] =
1 1
= [4*ln|2+3|-6*ln|2+4|]-[4*ln|1+3|-6*ln|1+4|]
= 4*ln(5)-6*ln(6)-4*ln(4)+6*ln(5) = 10*ln(5)-6*ln(6)-4*ln(4)
= ln(5^10)-ln(6^6)-ln(4^4) = ln[(5^10)/(6^6*4^4)] = -0.2013551355068887
Ich hätte deine Videos gerne vor meinem abi gesehen dann hätte ich mehr als 4 Punkte lol
Im nächsten Leben klappt’s dann vielleicht! 😜
Warum ist der Bruch nicht integrierbar - dieses probieren und scheitern ist doch gerade interessant 🤨 um sich dann zur Partial Bruchzerlegung hinzuhangeln 🙋🏻♂️
8:12 am einfachsten einfach für x=-3 für Fall A und -4 für Fall B einsetzen und schon hat man A und B
(x+3)*(x+4) im Nenner bedeutet doch, daß wir eine Division durch 0 hätten - das verstehe ich nicht!
Nur an den Stellen x=-3 und x=-4. Was auch das gleiche bei der ursprünglichen Darstellung (x²+7x+12) ist. Da der Integrationsbereich nur zwischen 1 und 2 ist, bereitet uns das hier keine Probleme.
Ich habe dazu leider noch keine praktische Anwendung in der Wirtschaft oder im Maschinenbau gefunden.!