Danke! Hey Susanne, Klasse, da hast Du ein sehr anspruchsvolles Integral präsentiert. Von dir so locker erklärt, als wäre es das kleine Einmaleins. Ich stelle immer wieder fest, dass Du es echt °drauf° hast. Liebe Grüße!
Danke für die Mühe, die du dir immer machst. Es gibt keinen besseren Kanal um das Grundverständnis für ein Thema aufzubauen, du legst immer wieder den Grundstein für das Verständnis das man darauf aufbauen kann, danke! :) Substition mittlerweile Standartrepertoire, aber sowas schaut man sich doch immer gerne noch mal zur Wiederholung an!
Mein Prof konnte das so gar nicht erklären. Mit deiner Schritt für Schritt Anleitung habe ich es aber sofort verstanden. Da merkt man mal wieder was ein guter bzw nicht so guter Lehrer ausmacht.
Danke dir. Ich habs endlich gecheckt. Ich bin im ersten Semester meines E-Technik Studiums und schreibe übermorgen die Mathe A Klausur. Damit bin ich dem Bestehen einen Schritt näher. Danke dir!!!
Oh MANN!! Danke für das unglaublich gute und verständliche Erklären- was bereits zwei Professoren mir nicht vermitteln konnten, binnen eines 10minütigen Videos verstanden. grandios
Du schaffst es echt immer wieder, für mich super schwere Inhalte, die ich auch sonst nirgends verstehe so rüberzubringen, dass man sie direkt versteht und anwenden kann. Du hast eine ganz tolle Art zu erklären. Wirklich vielen Dank
Unser Regelungstechnik Professor sagte immer, ein Ingenieur kann ein Jahr nach dem Studium keine Integralrechnung mehr. Genau so ist es und bei mir ist es schon zig Jahre her. Schaue mir das Video aber gleich an. Kann ja nicht schaden.
Es hat mir wieder Freude gemacht, Dir zuzuschauen! Fast unglaublich, was ich vor Zeiten auch alles mal lernen durfte, um es so ziemlich alles wieder zu vergessen, was aber scheinbar für den weiteren Werdegang nicht so schlimm war. Und doch bleibt das Gefühl, als wären irgendwo im Hirn noch Reste und Spuren davon vorhanden! Hat auch etwas "Magisches", so ein verwurzeltes Integral! Vielen Dank! 😊👍🎶👏
Danke, macht Spass solche Aufgaben mit dir zu wiederholen:)) Die Rätsel sind auch unterhaltsam, aber Integralrechnungen mag ich besonders als Wiederholung, weil ich da einige Lücken habe:(
Danke, alles schön mal gehört, aber nach 40 Jahren keinen blassen Schimmer mehr. Hat aber unheimlich viel Spaß gemacht. Ich glaube, auf dem Boden liegt sogar noch mein Mathehefter.... 😊
Herzlichen Dank für die interessante Frage. Hier habe ich √x als u definiert, also √x=u, (1/2)x^(-1/2)dx=du somit dx=2√xdu = 2udu, dann wäre unser Integral = (e^(u)/u)*2udu = Int (2e^u)= 2*e^(√x) von a=0 bis b=1, somit: 2(e-1) = 2e-2 🙂
Hi, Susanne. wieder ein super Video und sehr verständlich erklärt. Kannst Du mal eine Making-of deiner Mathevideos machen, Von der Themenwahl bis zum End-Schnitt.😉
Ich hätte hier gar nicht substituiert, denn mir als Blitzmerker ist sofort aufgefallen, dass die Ableitung von e ^ sqrt(x) mit der Kettenregel dazu führt, dass es zu der von Dir vorgestellten Aufgabe führt - naja, bis auf die zwei, natürlich. Aber das hier ist ja nur eine leichte Aufgabe und es gibt auch kompliziertere Integrale, wo man mit meiner Try-And-Error Methode nicht so schnell zum Ziel kommt. Deshalb danke für die prima Vorstellung der Substitutionsregel - die hatte ich schon seit Jahrzehnten nicht mehr auf dem Teller! 🙂
Ich muss das mal eben loswerden, weil es mich auch persönlich sehr freut: Heute hatte ich die 5. Schülerin, die mir sagte, dass Sie jetzt seit einiger Zeit lieber der Susanne zuhört, wenn sie zwischendurch Matheprobleme hat, als jenen coolen Jungs vom "einfachen Verein" 🙂 Das muss ja mal gesagt werden!!!
Wieder sehr gut erklärt. Klar strukturiert, und sympathische Präsentation. Inzwischen mein bevorzugter Kanal, um mir für meinen Lehrjob Inspirationen zu holen. Ich empfehle den Kanal auch meinen Schülern. Mach noch viele gute Videos für die Schüler. Das ist sehr hilfreich. Lustig: Mein Lehrer meckerte schon vor 25 Jahren über den unlogischen Begriff Verkettung, da es sich vielmehr um Verschachtelung handele. Trotzdem wird stur daran festgehalten.🙄
Wäre schon wenn du Play list machst. Z.B. für Stammfunktion oder Integral rechnen eine Playlist einordenst dass man ganze Playlist in richtigen Reihenfolge nachschaust.
Müssen die x in den Nennern nie durch u ersetzt werden? Oder nur nicht, wenn man sieht dass es gekürzt werden kann? Danke für die hilfreiche Step by Step erklärung! :)
Ergebnis stimmt natürlich, aber Vorsicht ☝: Der Integrand besitzt eine Polstelle bei x=0. Es gilt nämlich dort lim x->0+ (f(x)) = Unendlich. D.h. der HDI ist nicht direkt anwendbar, da die Funktion auf dem zu integrierenden Intervall nicht beschränkt ist. Es handelt sich demnach um ein uneigentliches Integral. Stattdessen müsste eigentlich die untere Grenze erstmal variabel gehalten (z.B. a) und beim bestimmten Integral stehen gelassen werden, d.h. 2e-2e^a. Und dann kann der Grenzwert für a->0+ berechnet werden. Es kommt dann auch das selbe heraus, am Ergebnis an sich wollte ich wie gesagt auch gar nicht meckern. 😉 Aber trotzdem wichtig darauf hinzuweisen. (Hier funktioniert es, aber wenn man z.B. sowas wie Integral von -1 bis 2 über 1/x^2 dx ohne diesen Hintergedanken berechnet, tappt man schnell in die Falle...^^)
Ja du hast natürlich vollkommen Recht, dass ich darauf hätte hinweisen sollen. In diesem Fall macht es jetzt keinen Unterschied, aber grundsätzlich kann es da natürlich zu Problemen kommen.
@@yoshibar2536 nein, das ist falsch. Das spielt nur eine rolle für den definitionsbereich des integrals, der hat mit den intervallgrenzen erstmal keimen direkten Zusammenhang. Die Null setzt du erst beim integrierten Ausdruck ein und nicht in das was da im integral steht.
Hallo Susanne, einmal mehr lieben Dank für die Aufgabe. Ich wäre (mal wieder) grandios gescheitert. Substitution Wurzel(x) durch u hätte ich noch hinbekommen, jedoch hatte ich nicht (mehr) präsent, dass zum Einen die Integralgrenzen geprüft und ggf. angepasst werden müssen, noch dass ich das dx noch bearbeiten muss. Hier hilft dein "Kochrezept' ungemein weiter. Nur merken sollte man sich das auch, wenn man mal es verstanden hat. Dir, Thomas und allen anderen hier eine tolle Restwoche. LG aus dem Schwabenland.
An der unteren Grenze gibt es einen Pol, da muß man einen Grenzwert betrachten. Es gibt aber noch etwas und das macht nahezu jeder genauso, nur ist es eigentlich fragwürdig: Es betrifft den Punkt 4 nach dx umstellen. du/dx ist nur Notation, damit darf man nicht rechnen. Ich würde auch vehemd wiedersprechen wollen das du/dx die Schreibweise der Mathematiker ist (die rümpfen ehr die Nase), das ist ehr die Sichtweise der Physiker, Ingenieure etc. Eigentlich ist das ganze auch nicht wirklich ein Problem. Die Mathematik befasst sich mit etwas, was es in der realen Welt (sprich der Natur) nicht gibt: etwas unendlich großes oder etwas unendlich kleines. Wenn man das dx oder delta x noch als etwas makroskopisches sieht (das man so klein macht, das es den Genauigkeitsanforderungen genügt) dann darf man damit auch rechnen. Aber das ist nicht die Sichtweise der Mathematik. Mir persönlich ist das d/dx um Grössenordnungen lieber als die "Epsilontik" der Mathematik (die ist formal korrekt, aber ohne jede Anschauung). Nur wenn man so rechnet, dann sollte man sich schon bewußt sein, das man etwas tut, was man eigentlich nicht darf.
Ganz ehrlich? Ich verstehe leider nur Bahnhof... Aber ich hatte mal einen Integralhelm, als ich noch mit dem Motorrad unterwegs war und bin im Gelände bestimmt X-mal über irgendwelche Wurzeln gefahren
Danke für das tolle Video :) Ich verstehe nur noch nicht ganz, wieso sqrt(x) im Nenner nicht auch durch u ersetzt werden muss, da das ja die gleiche Funktion ist. Oder kann man eine substituierte Funktion immer nur einmal "ersetzen", oder geht beides? LG Nico
Da einige noch Verständnisprobleme hatten versuch ichs mal mit meinen Worten: im Endeffekt ersetzt du nur einen Ausdruck der schwierig zu integrieren ist mit einer neuen Variable, in der dieser Ausdruck quasi versteckt ist bis man fertig ist. Da du aber deine alte Variable ersetzt hast, musst du natürlich auch über die neue Variable integrieren, heißt: du ersetzt dx und deine alten Grenzen setzt du in den alten, jetzt substituierten Ausdruck ein. Damit du einen Ausdruck substituieren kannst, muss die Ableitung davon irgendwo als Vorfaktor vorkommen. Das liegt daran, dass das Reziproke (1/...) der inneren Funktion in der integrierten Funktion nicht mehr vorkommt, weil ja so ein u abgeleitet nur den Vorfaktor 1 hätte. Somit verschwindet auch dieser Faktor der Form der Ableitung (Achtung: angenommen x² wird substituiert und es steht nur x als Vorfaktor, kann man diesen zb in 1/2 * 2x umschreiben, das 2x verschwindet und 1/2 bleibt, Umformungen sind also möglich und oft nötig!). Am Ende kannst du, wenn du das möchtest Rücksubstituieren, also aus dem u wieder deinen alten Ausdruck in deine Integrandenfunktion einsetzen. Hoffe das war verständlich :)
Das sieht nach Substitution 1. Art aus (die leichtere). Und zwar ist die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion e^x bekanntlich wiederum e^x, und die Ableitung der Quadratwurzelfunktion sqrt(x) ist 1/(2sqrt(x)). Mit der Kettenregrl folgt, daß die Ableitungsfunktion von e^sqrt(x) lautet: e^sqrt(x) * 1/(2*sqrt(x)) Unser gesuchtes Integral ist also Integral(0, 1, 1/sqrt(x) * e^sqrt(x) dx) = Integral(0, 1, 2 * 1/2 * 1/sqrt(x) * e^sqrt(x) dx) = 2 * Integral(0, 1, 1/(2*sqrt(x)) * e^sqrt(x) dx) = 2 * [e^sqrt(x)] in de Grenzen von 0 bis 1 = 2 * [e^sqrt(1) - e^sqrt(0)] = 2 * [e^1 - e^0] = 2 * [e - 1] = 2(e - 1) = 2e - 2
In solchen Fällen, wenn man die "innere Ableitung" der Kettenregel bereits im Funktionsterm erkennt, also die Substitution 1. Art anwenden kann, benötigt man übrigens nicht wirklich eine Substitution, wie von mir gezeigt. Da kann man beim x bleiben, ohne auf eine neue Variable wie u umzuschreiben. Das hat zudem noch den Vorteil, daß man direkt die Stammfunktion erhält, die ja auch für andere Integrationsgrenzen gilt. In diesem Beispiel ist es F(x) = 2 * e^sqrt(x). Bei der Substitution 2. Art ist es leider viel komplizierter.
Kann man. Ist aber unnötig, wenn nur das Ergebnis des bestimmten Integrals interessiert. Es kommt aufs gleiche heraus und spart etwas Aufwand. Anders natürlich, wenn man nach der Stammfunktion selbst sucht, da kommt man nicht darum herum. ;)
Das kannst du so machen, aber dann musst du die Grenzen beim Integrieren erstmal weglassen. Wenn du sie mitschleppst und beim Substituieren nicht anpasst, ist die Gleichheit zwischen dem dx- und dem du-Integral nicht gegeben, und es gibt Punktabzug. Wenn du also lieber rücksubstituieren anstatt die Grenzen anpassen möchtest, nimm sie erst nach der Rücksubsitution in der Stammfunktion dazu.
Eine Frage : warum ersetzt man, wenn man dx= … hat , und dies wieder in das integral zurückeinsetzt , nicht beide Wurzel X damit , sondern nur das in der e Funktion ? Liebe grüße und tolles Video
so wie ich das sehe, funktioniert diese methode nur bei bestimmten integralen: nach der ersetzung darf kein "x" mehr vorkommen. wenn man jetzt 2 mal das wurzel(x) ersetzt, kommt beim einsetzen von du ja wieder ein x mit rein. ich denke, es muss u' (die ableitung von u) im integral vorkommen. diese idee kann ich aber gerade nicht testen.
Schön, dass das mit der Substitution ausführlich erklärt wird. Ich schaue deine Videos gerne und empfehle sie meinen Schülern. Aber ist eine Substitution als vergleichsweise aufwendige Vorgehensweise in diesem Beispiel notwendig? Nehme ich z.B. f(x)=e^√x, dann ist f'(x)=1/(2√x) e^√x. Von da aus ist es nicht mehr schwer zu sehen, dass geringfügig verändert die Funktion g(x) = 2 e^√x zur Ableitung g'(x) = 1/(√x) e^√x führt, was die fragliche Funktion in dieser Aufgabe ist, und damit habe ich die gesuchte Stammfunktion und kann das Integral berechnen - ganz ohne Substitution. Oder denke ich zu simpel?
Wir haben immer mit z substituiert und u und v für die partielle Integration verwendet. Und wir haben immer nach dz und nicht nach dx umgestellt: z = √x => dz/dx = 1/(2√x) => dz = 1/(2√x) dx => Int(e^√x/√x dx = Int(2e^√x * 1/(2√x) dx) = Int(2e^z dz) = 2e√x Anstatt die Grenzen anzupassen kann man sie auch erstmal weglassen und in der Stammfunktion rücksubstituieren. Allerdings sollte man sie erst dann einsetzen, weil sonst die Gleichheit zwischen dem dx- und dem dz-Integral nicht gegeben wäre.
Bist du grade dabei dein Doktortitel zu machen, oder evtl. eine Professur zu ähm erarbeiten und wie lang wären die Wege bei Schnittpunkten von Lernbegeisterung zu berechnen um eine Zielkurve auszudenken die in der Mengenlehre des Bildungsgrades des Winkelobjektes anzupassen wäre? ☺
wenn man zum beispiel das integral von x * sin(x^2) bilden soll und x^2 für u substituiert und deine schritte ausführt, kürzt sich am ende das x nicht raus, wie es bei dir der fall war. dafür müsste man das nämlich nicht nach dx sondern nach xdx umstellen, weil man dann xdx = 1/2du erhält und somit das x aus dem term kürzen kann. Ich frage mich nur, wie man dann in der prüfung auf die schnelle darauf kommen soll.
Hallo Susanne, ich verstehe nicht, warum Du bei der Substitution nicht auch die "Wurzel X" im Nenner substituieren mußt. Kann ich mir das einfach aussuchen?
Hallihallo! Eigentlich super erklärt, aber ich verstehe nicht, warum ich die Wurzel x im Nenner nicht auch durch u ersetzen muss? Es ist doch der gleiche Term?
Prinzipiell kannst du das auch ersetzen, es zwingt dich aber nichts dazu. Hier hat sich das Wurzel x so schön rausgekürzt, weshalb ein Ersetzen durch u nur mehr Aufwand bedeutet hätte.
Geschmackssache. ;) Wichtig ist v.a., dass sich alles "Störende" rauskürzt und man am Ende ein Integral hat, das nur noch von u abhängt. Aber rein intuitiv würde ich tatsächlich auch erst alles von u abhängig schreiben und dann kürzen. Auch wenn's aufs gleiche herauskommt. 😄
Das kann man machen, funktioniert genauso. Hinten kommt ja dann noch einmal Wurzel(x) vor, wenn man das auch noch mit u ersetzt, kürzt sich das u genauso weg wie die Wurzel(x) hier im Video.
Wäre auch möglich, käme im Endeffekt aufs Gleiche heraus. ;) Wobei deine Bemerkung durchaus ihre Berechtigung hat, denn rein intuitiv finde ich es auch schöner, wenn man mit einer einheitlichen Variable rechnet. Man könnte auch Folgendes machen: Aus u=Wurzel(x) folgt x=u^2 und damit dx/du=2*u, bzw. dx=2*u*du. Das dann für dx im Integral einsetzen (parallel zu u für Wurzel(x)) und man hätte alles schön nur von u abhängig. 😉
Das geht auch, nur darfst du dann nicht vergessen auch das Wurzel(x), das durch das dx ins Integral kommt, auch noch durch u zu ersetzen. Dann kürzt es sich aber auch raus und man erhält dasselbe Ergebnis wie im Video. 😊
Das dv muss ja allein stehe damit ich integrieren kann, ich hab bei meinem Beispiel aber dv/2=dx, weil meine Funktion von u war 2x, wie gehe ich da dann vor weil ich kann ja nicht einfach mal 2 rechnen oder?
Ich hätte mal eine Frage zu den neu zu erstellenden Grenzen. Wenn man jetzt z.B. die Original Grenzen von 2 bis 3 hätte. Wären dann die neuen Grenzen in dem Fall von Wurzel-2 bis Wurzel-3 ????
Den Weg hätte man auch gehen können, aber oft steht das u (also hier jetzt dieses Wurzel(x) ) nicht direkt nochmal im Integral und dann ist es einfacher nur an einer Stelle das u einzusetzen und den Rest einfach zu kürzen. Ist aber natürlich Geschmacksache. 😊
Ich habe dieses Integral in meiner Analyse Klausur , aber das war ein bisschen anders. Das steht keine Wurzel x in dem Nenner . Wie würden Sie dann integrieren
Frage zur Anpassung der Grenzen bei "Wurzel aus 1": Wieso wird nur die PLUS 1, aber nicht die MINUS 1 bei der finalen Berechnung berücksichtigt, -1 x -1 ergibt doch auch 1? Ansonsten super erklärt, selbige hätte vor 35 Jahren einges einfacher gemacht
Die Wurzel aus einer Zahl ist per Definition positiv, sonst wäre sie nicht eindeutig definiert. Alternativ kannst du auch die Grenzen lassen, wie sie sind, und am Ende zurücksubstituieren.
@@clemensmuller2543 Danke, das ist für mich eine neue Erkenntnis. Man lernt doch nie aus🙂 Vielleicht wurde es damals in einer Mathevorlesung erwähnt und ich hatte in dem Moment besseres zu tun😎
*Mein komplettes Equipment*
➤ mathematrick.de/mein-equipment
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Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Danke! Hey Susanne, Klasse, da hast Du ein sehr anspruchsvolles Integral präsentiert. Von dir so locker erklärt, als wäre es das kleine Einmaleins. Ich stelle immer wieder fest, dass Du es echt °drauf° hast. Liebe Grüße!
du rettest mich so! Mathe Modul in der Uni wäre unmöglich ohne deine Videos
Ich habe meine Matura vor 4 Monaten geschafft und bedanke mich im Nachhinein für die tolle Hilfe ☺️
Danke für die Mühe, die du dir immer machst. Es gibt keinen besseren Kanal um das Grundverständnis für ein Thema aufzubauen, du legst immer wieder den Grundstein für das Verständnis das man darauf aufbauen kann, danke! :)
Substition mittlerweile Standartrepertoire, aber sowas schaut man sich doch immer gerne noch mal zur Wiederholung an!
Mein Prof konnte das so gar nicht erklären. Mit deiner Schritt für Schritt Anleitung habe ich es aber sofort verstanden. Da merkt man mal wieder was ein guter bzw nicht so guter Lehrer ausmacht.
Danke dir. Ich habs endlich gecheckt. Ich bin im ersten Semester meines E-Technik Studiums und schreibe übermorgen die Mathe A Klausur. Damit bin ich dem Bestehen einen Schritt näher. Danke dir!!!
Immer wieder schön, diese sehr ästhetische Mathematik wieder mal zu wiederholen, ein Genuß! Und das alles mit einem umwerfenden Lächeln...
Kann ich nur zustimmen
@@wolfgangbalu1253 Ich auch😊!!
Oh MANN!! Danke für das unglaublich gute und verständliche Erklären- was bereits zwei Professoren mir nicht vermitteln konnten, binnen eines 10minütigen Videos verstanden. grandios
Irgendwie hat es beim Zuhören Sinn ergeben, doch im Nachhinein bin ich immer noch so ratlos wie zuvor.
@@nneptunn einfach mal durchrechnen
Wow, tolles Video! Ich hatte das Thema noch nicht, aber ich schaue deine Videos sooo gerne! Danke 🤍
Bin zu blöd, das Integral zu lösen, aber ich gucke gerne Ihre Clips. Danke
du bist ein Kanal, wo sich Werbung schauen wirklich lohnt. Danke, dass es dich und deinen Kanal gibt!
Du schaffst es echt immer wieder, für mich super schwere Inhalte, die ich auch sonst nirgends verstehe so rüberzubringen, dass man sie direkt versteht und anwenden kann. Du hast eine ganz tolle Art zu erklären. Wirklich vielen Dank
Eine wahrlich schöne und elegante Integralaufgabe! Ästhetik pur!
Liebe Susanne,das hast Du super erklärt. 🙋
Dankeschön! 🥰
DANKE!!! Deine Videos sind besser als jedes Tutorium!
Du rettest mir das Semester damit!
Danke für die leichte Vermittlung und die hilfreichen Kommentare der aufmerksamen Viewer. Es rockt.🎉
Danke!
Dankeschööön Ida! 😍
Unser Regelungstechnik Professor sagte immer, ein Ingenieur kann ein Jahr nach dem Studium keine Integralrechnung mehr. Genau so ist es und bei mir ist es schon zig Jahre her. Schaue mir das Video aber gleich an. Kann ja nicht schaden.
du trägst mich jede Woche durch die Mathe Übungen, vielen Dank!
toll! einfach super hilfreich. danke vielmals
Es hat mir wieder Freude gemacht, Dir zuzuschauen! Fast unglaublich, was ich vor Zeiten auch alles mal lernen durfte, um es so ziemlich alles wieder zu vergessen, was aber scheinbar für den weiteren Werdegang nicht so schlimm war. Und doch bleibt das Gefühl, als wären irgendwo im Hirn noch Reste und Spuren davon vorhanden! Hat auch etwas "Magisches", so ein verwurzeltes Integral! Vielen Dank! 😊👍🎶👏
Werter Rollkragen,
Sie sprechen mir aus der Seele. 😉
Du bist die Beste!
Sehr elegant. Danke
Danke, dass du das ganze sonkirz gehalten hast.
@@aaronhuber2006 du must rauchen
Danke. Schreibe in einer Stunde meine Klausur zum x-ten mal und brauche solche kleinen wiederholungen wie das "einfache" funktioniert ❤
Ich drück dir die Daumen! Du schaffst das! 🥰
Danke, macht Spass solche Aufgaben mit dir zu wiederholen:))
Die Rätsel sind auch unterhaltsam, aber Integralrechnungen mag ich besonders als Wiederholung, weil ich da einige Lücken habe:(
Danke für deine Mühe !🙂
Susanne kannst du auch bitte ein Video über den Kreis machen ? 5 Klasse
Danke, alles schön mal gehört, aber nach 40 Jahren keinen blassen Schimmer mehr. Hat aber unheimlich viel Spaß gemacht. Ich glaube, auf dem Boden liegt sogar noch mein Mathehefter.... 😊
Super, freut mich, dass dir das Video gefallen hat!
Danke das du meine Aufgabe so schnell hochgeladen hast 💙💙💙💙 super lieb!
Herzlichen Dank für die interessante Frage. Hier habe ich √x als u definiert, also √x=u, (1/2)x^(-1/2)dx=du somit dx=2√xdu = 2udu, dann wäre unser Integral = (e^(u)/u)*2udu = Int (2e^u)= 2*e^(√x) von a=0 bis b=1, somit: 2(e-1) = 2e-2 🙂
Tolle Erklärung. Vielen Dank!
Vielen dank für die Videos dank dir schaffe ich die HTL noch
Hi, Susanne. wieder ein super Video und sehr verständlich erklärt. Kannst Du mal eine Making-of deiner Mathevideos machen, Von der Themenwahl bis zum End-Schnitt.😉
mega gut erklärt, danke
Danke für deine Videos!!!!!! Du rettest mir das Lebennnnn!!!!!!!! ♥♥♥♥♥♥
Ich hätte hier gar nicht substituiert, denn mir als Blitzmerker ist sofort aufgefallen, dass die Ableitung von e ^ sqrt(x) mit der Kettenregel dazu führt, dass es zu der von Dir vorgestellten Aufgabe führt - naja, bis auf die zwei, natürlich. Aber das hier ist ja nur eine leichte Aufgabe und es gibt auch kompliziertere Integrale, wo man mit meiner Try-And-Error Methode nicht so schnell zum Ziel kommt.
Deshalb danke für die prima Vorstellung der Substitutionsregel - die hatte ich schon seit Jahrzehnten nicht mehr auf dem Teller! 🙂
Ich liebe deinen Kanal. 🙂
Das freut mich
@@MathemaTrick Hast du eigentlich bis zum Master studiert?
Perfektes Timing. Integration durch Substitution kommt am Dienstag in meiner Klausur vor 😅
Na dann wünsche ich dir viel Erfolg dafür, du packst das!! 🥳
@@MathemaTrick vielen Dank😁
Ich muss das mal eben loswerden, weil es mich auch persönlich sehr freut:
Heute hatte ich die 5. Schülerin, die mir sagte, dass Sie jetzt seit einiger Zeit lieber der Susanne zuhört, wenn sie zwischendurch Matheprobleme hat, als jenen coolen Jungs vom "einfachen Verein" 🙂
Das muss ja mal gesagt werden!!!
Leben gerettet 😅 danke
Freut mich! 😜
Du erklärst Mathe immer so einfach 🤩 du hast mir schon ungelogen 50 mal geholfen 🥹😅
Wieder sehr gut erklärt. Klar strukturiert, und sympathische Präsentation. Inzwischen mein bevorzugter Kanal, um mir für meinen Lehrjob Inspirationen zu holen. Ich empfehle den Kanal auch meinen Schülern.
Mach noch viele gute Videos für die Schüler. Das ist sehr hilfreich.
Lustig: Mein Lehrer meckerte schon vor 25 Jahren über den unlogischen Begriff Verkettung, da es sich vielmehr um Verschachtelung handele. Trotzdem wird stur daran festgehalten.🙄
Bitte mehr Videos zum Thema Stochastik!!
abo hast du auf jeden fall verdient girl!
Wäre schon wenn du Play list machst. Z.B. für Stammfunktion oder Integral rechnen eine Playlist einordenst dass man ganze Playlist in richtigen Reihenfolge nachschaust.
Müssen die x in den Nennern nie durch u ersetzt werden? Oder nur nicht, wenn man sieht dass es gekürzt werden kann? Danke für die hilfreiche Step by Step erklärung! :)
gute Frage
Ergebnis stimmt natürlich, aber Vorsicht ☝: Der Integrand besitzt eine Polstelle bei x=0. Es gilt nämlich dort lim x->0+ (f(x)) = Unendlich. D.h. der HDI ist nicht direkt anwendbar, da die Funktion auf dem zu integrierenden Intervall nicht beschränkt ist. Es handelt sich demnach um ein uneigentliches Integral. Stattdessen müsste eigentlich die untere Grenze erstmal variabel gehalten (z.B. a) und beim bestimmten Integral stehen gelassen werden, d.h. 2e-2e^a. Und dann kann der Grenzwert für a->0+ berechnet werden. Es kommt dann auch das selbe heraus, am Ergebnis an sich wollte ich wie gesagt auch gar nicht meckern. 😉 Aber trotzdem wichtig darauf hinzuweisen. (Hier funktioniert es, aber wenn man z.B. sowas wie Integral von -1 bis 2 über 1/x^2 dx ohne diesen Hintergedanken berechnet, tappt man schnell in die Falle...^^)
Ja du hast natürlich vollkommen Recht, dass ich darauf hätte hinweisen sollen. In diesem Fall macht es jetzt keinen Unterschied, aber grundsätzlich kann es da natürlich zu Problemen kommen.
@@MathemaTrick Alles klar, gern geschehen. :) Und danke fürs Pinnen, diese "Ehre" wird mir zum ersten Mal überhaupt auf TH-cam zuteil. 👍😄
was
@@joklbauer7974 Division durch 0 ist nicht definiert. Daher ist diese Aufgabe ein uneigentliches Integral.
@@yoshibar2536 nein, das ist falsch. Das spielt nur eine rolle für den definitionsbereich des integrals, der hat mit den intervallgrenzen erstmal keimen direkten Zusammenhang. Die Null setzt du erst beim integrierten Ausdruck ein und nicht in das was da im integral steht.
Vielen Dank.
Danke❤
Hey Queen, you dropped this 👑
Gute Auffrischung für mich. Danke 😀Vielleicht auch mal was zu DGLen usw? Danke 🙂
klasse Video!
Dankeschön 🥰
Wie immer ein sehr tolles Video :) Ich hätte da aber eine Frage, wieso substituierst du nur das obere wurzel(x)?
Super danke!!
Vielen Dank! :)
Hallo Susanne,
einmal mehr lieben Dank für die Aufgabe.
Ich wäre (mal wieder) grandios gescheitert.
Substitution Wurzel(x) durch u hätte ich noch hinbekommen, jedoch hatte ich nicht (mehr) präsent, dass zum Einen die Integralgrenzen geprüft und ggf. angepasst werden müssen, noch dass ich das dx noch bearbeiten muss.
Hier hilft dein "Kochrezept' ungemein weiter. Nur merken sollte man sich das auch, wenn man mal es verstanden hat.
Dir, Thomas und allen anderen hier eine tolle Restwoche.
LG aus dem Schwabenland.
Besser als mein alter Mathe Lehrer
An der unteren Grenze gibt es einen Pol, da muß man einen Grenzwert betrachten. Es gibt aber noch etwas und das macht nahezu jeder genauso, nur ist es eigentlich fragwürdig: Es betrifft den Punkt 4 nach dx umstellen. du/dx ist nur Notation, damit darf man nicht rechnen. Ich würde auch vehemd wiedersprechen wollen das du/dx die Schreibweise der Mathematiker ist (die rümpfen ehr die Nase), das ist ehr die Sichtweise der Physiker, Ingenieure etc. Eigentlich ist das ganze auch nicht wirklich ein Problem. Die Mathematik befasst sich mit etwas, was es in der realen Welt (sprich der Natur) nicht gibt: etwas unendlich großes oder etwas unendlich kleines. Wenn man das dx oder delta x noch als etwas makroskopisches sieht (das man so klein macht, das es den Genauigkeitsanforderungen genügt) dann darf man damit auch rechnen. Aber das ist nicht die Sichtweise der Mathematik. Mir persönlich ist das d/dx um Grössenordnungen lieber als die "Epsilontik" der Mathematik (die ist formal korrekt, aber ohne jede Anschauung). Nur wenn man so rechnet, dann sollte man sich schon bewußt sein, das man etwas tut, was man eigentlich nicht darf.
Ganz ehrlich? Ich verstehe leider nur Bahnhof...
Aber ich hatte mal einen Integralhelm, als ich noch mit dem Motorrad unterwegs war und bin im Gelände bestimmt X-mal über irgendwelche Wurzeln gefahren
Danke für das tolle Video :) Ich verstehe nur noch nicht ganz, wieso sqrt(x) im Nenner nicht auch durch u ersetzt werden muss, da das ja die gleiche Funktion ist. Oder kann man eine substituierte Funktion immer nur einmal "ersetzen", oder geht beides? LG Nico
Schön.
Wenn u = Wurzel x, warum wird der Nenner nicht ersetzt?
Gut.
Super
Da einige noch Verständnisprobleme hatten versuch ichs mal mit meinen Worten:
im Endeffekt ersetzt du nur einen Ausdruck der schwierig zu integrieren ist mit einer neuen Variable, in der dieser Ausdruck quasi versteckt ist bis man fertig ist. Da du aber deine alte Variable ersetzt hast, musst du natürlich auch über die neue Variable integrieren, heißt: du ersetzt dx und deine alten Grenzen setzt du in den alten, jetzt substituierten Ausdruck ein.
Damit du einen Ausdruck substituieren kannst, muss die Ableitung davon irgendwo als Vorfaktor vorkommen. Das liegt daran, dass das Reziproke (1/...) der inneren Funktion in der integrierten Funktion nicht mehr vorkommt, weil ja so ein u abgeleitet nur den Vorfaktor 1 hätte. Somit verschwindet auch dieser Faktor der Form der Ableitung (Achtung: angenommen x² wird substituiert und es steht nur x als Vorfaktor, kann man diesen zb in 1/2 * 2x umschreiben, das 2x verschwindet und 1/2 bleibt, Umformungen sind also möglich und oft nötig!).
Am Ende kannst du, wenn du das möchtest Rücksubstituieren, also aus dem u wieder deinen alten Ausdruck in deine Integrandenfunktion einsetzen.
Hoffe das war verständlich :)
Warum ersetzt du hier 7:43 eigentlich nicht das wurzel(x) unterm bruchstrich und bei dem 2*wurzel(x) mit u?
Das sieht nach Substitution 1. Art aus (die leichtere). Und zwar ist die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion e^x bekanntlich wiederum e^x, und die Ableitung der Quadratwurzelfunktion sqrt(x) ist 1/(2sqrt(x)). Mit der Kettenregrl folgt, daß die Ableitungsfunktion von e^sqrt(x) lautet:
e^sqrt(x) * 1/(2*sqrt(x))
Unser gesuchtes Integral ist also
Integral(0, 1, 1/sqrt(x) * e^sqrt(x) dx) =
Integral(0, 1, 2 * 1/2 * 1/sqrt(x) * e^sqrt(x) dx) =
2 * Integral(0, 1, 1/(2*sqrt(x)) * e^sqrt(x) dx) =
2 * [e^sqrt(x)] in de Grenzen von 0 bis 1 =
2 * [e^sqrt(1) - e^sqrt(0)] =
2 * [e^1 - e^0] =
2 * [e - 1] =
2(e - 1) =
2e - 2
In solchen Fällen, wenn man die "innere Ableitung" der Kettenregel bereits im Funktionsterm erkennt, also die Substitution 1. Art anwenden kann, benötigt man übrigens nicht wirklich eine Substitution, wie von mir gezeigt. Da kann man beim x bleiben, ohne auf eine neue Variable wie u umzuschreiben. Das hat zudem noch den Vorteil, daß man direkt die Stammfunktion erhält, die ja auch für andere Integrationsgrenzen gilt. In diesem Beispiel ist es F(x) = 2 * e^sqrt(x). Bei der Substitution 2. Art ist es leider viel komplizierter.
Muss man denn unbedingt die Grenzen auf u anpassen?
Man kann nach finden der Stammfunktion doch auch rücksubstituieren und die x Grenzen verwenden.
Kann man. Ist aber unnötig, wenn nur das Ergebnis des bestimmten Integrals interessiert. Es kommt aufs gleiche heraus und spart etwas Aufwand. Anders natürlich, wenn man nach der Stammfunktion selbst sucht, da kommt man nicht darum herum. ;)
@@novidsonmychanneljustcomme5753 Danke
@@hans7831 Gerne. ✌
Das kannst du so machen, aber dann musst du die Grenzen beim Integrieren erstmal weglassen. Wenn du sie mitschleppst und beim Substituieren nicht anpasst, ist die Gleichheit zwischen dem dx- und dem du-Integral nicht gegeben, und es gibt Punktabzug. Wenn du also lieber rücksubstituieren anstatt die Grenzen anpassen möchtest, nimm sie erst nach der Rücksubsitution in der Stammfunktion dazu.
@@teejay7578 klingt logisch. Danke
Eine Frage : warum ersetzt man, wenn man dx= … hat , und dies wieder in das integral zurückeinsetzt , nicht beide Wurzel X damit , sondern nur das in der e Funktion ? Liebe grüße und tolles Video
so wie ich das sehe, funktioniert diese methode nur bei bestimmten integralen: nach der ersetzung darf kein "x" mehr vorkommen. wenn man jetzt 2 mal das wurzel(x) ersetzt, kommt beim einsetzen von du ja wieder ein x mit rein. ich denke, es muss u' (die ableitung von u) im integral vorkommen. diese idee kann ich aber gerade nicht testen.
Schön, dass das mit der Substitution ausführlich erklärt wird. Ich schaue deine Videos gerne und empfehle sie meinen Schülern. Aber ist eine Substitution als vergleichsweise aufwendige Vorgehensweise in diesem Beispiel notwendig? Nehme ich z.B. f(x)=e^√x, dann ist f'(x)=1/(2√x) e^√x. Von da aus ist es nicht mehr schwer zu sehen, dass geringfügig verändert die Funktion g(x) = 2 e^√x zur Ableitung g'(x) = 1/(√x) e^√x führt, was die fragliche Funktion in dieser Aufgabe ist, und damit habe ich die gesuchte Stammfunktion und kann das Integral berechnen - ganz ohne Substitution. Oder denke ich zu simpel?
Wir haben immer mit z substituiert und u und v für die partielle Integration verwendet. Und wir haben immer nach dz und nicht nach dx umgestellt:
z = √x => dz/dx = 1/(2√x) => dz = 1/(2√x) dx
=> Int(e^√x/√x dx = Int(2e^√x * 1/(2√x) dx) = Int(2e^z dz) = 2e√x
Anstatt die Grenzen anzupassen kann man sie auch erstmal weglassen und in der Stammfunktion rücksubstituieren. Allerdings sollte man sie erst dann einsetzen, weil sonst die Gleichheit zwischen dem dx- und dem dz-Integral nicht gegeben wäre.
Bist du grade dabei dein Doktortitel zu machen, oder evtl. eine Professur zu ähm erarbeiten und wie lang wären die Wege bei Schnittpunkten von Lernbegeisterung zu berechnen um eine Zielkurve auszudenken die in der Mengenlehre des Bildungsgrades des Winkelobjektes anzupassen wäre? ☺
EY DANKE
Kennst du mal ein video zu integralen mit der Catalanschen Konstante machen?
Kann man ein Integral wie x^2*√(1+x) auch mit der Substitution lösen oder besser mit der partiellen Integration ?
wenn man zum beispiel das integral von x * sin(x^2) bilden soll und x^2 für u substituiert und deine schritte ausführt, kürzt sich am ende das x nicht raus, wie es bei dir der fall war. dafür müsste man das nämlich nicht nach dx sondern nach xdx umstellen, weil man dann xdx = 1/2du erhält und somit das x aus dem term kürzen kann. Ich frage mich nur, wie man dann in der prüfung auf die schnelle darauf kommen soll.
Hallo Susanne, ich verstehe nicht, warum Du bei der Substitution nicht auch die "Wurzel X" im Nenner substituieren mußt. Kann ich mir das einfach aussuchen?
Hallihallo! Eigentlich super erklärt, aber ich verstehe nicht, warum ich die Wurzel x im Nenner nicht auch durch u ersetzen muss? Es ist doch der gleiche Term?
Prinzipiell kannst du das auch ersetzen, es zwingt dich aber nichts dazu. Hier hat sich das Wurzel x so schön rausgekürzt, weshalb ein Ersetzen durch u nur mehr Aufwand bedeutet hätte.
Wie berechnet man es wenn zusätzlich noch Potenzen auftauchen?
Wieso wird denn Wurzel(x) im Nenner nicht ebenfalls mit u ersetzt?
Geschmackssache. ;) Wichtig ist v.a., dass sich alles "Störende" rauskürzt und man am Ende ein Integral hat, das nur noch von u abhängt. Aber rein intuitiv würde ich tatsächlich auch erst alles von u abhängig schreiben und dann kürzen. Auch wenn's aufs gleiche herauskommt. 😄
Das kann man machen, funktioniert genauso. Hinten kommt ja dann noch einmal Wurzel(x) vor, wenn man das auch noch mit u ersetzt, kürzt sich das u genauso weg wie die Wurzel(x) hier im Video.
Wieso wird der Nenner nicht zu U, obwohl doch die Substitution Bedingungen u=sqrt(x) ist? Dachte man setzt jetzt überall wo sqrt(x) ist, "U" ein?
Wäre auch möglich, käme im Endeffekt aufs Gleiche heraus. ;) Wobei deine Bemerkung durchaus ihre Berechtigung hat, denn rein intuitiv finde ich es auch schöner, wenn man mit einer einheitlichen Variable rechnet. Man könnte auch Folgendes machen: Aus u=Wurzel(x) folgt x=u^2 und damit dx/du=2*u, bzw. dx=2*u*du. Das dann für dx im Integral einsetzen (parallel zu u für Wurzel(x)) und man hätte alles schön nur von u abhängig. 😉
Das hätte ich auch sauberer gefunden; war hier im Endeffekt egal, weil sich das rauskürzte.
Muss für die partielle integration nicht 2 versch. Variablen da sein?
Ich weiß et net, da ich diese Woche eher Kopf, als Köpfchen habe! (👂Aua👂)😉
Eine Frage: wenn man Wurzel x im Exponenten durch u ersetzt, warum nicht auch Wurzel x im Nenner? Also (e^u)/u ?
Das geht auch, nur darfst du dann nicht vergessen auch das Wurzel(x), das durch das dx ins Integral kommt, auch noch durch u zu ersetzen. Dann kürzt es sich aber auch raus und man erhält dasselbe Ergebnis wie im Video. 😊
@@MathemaTrick vielen Dank!
❤️❤️
Das dv muss ja allein stehe damit ich integrieren kann, ich hab bei meinem Beispiel aber dv/2=dx, weil meine Funktion von u war 2x, wie gehe ich da dann vor weil ich kann ja nicht einfach mal 2 rechnen oder?
Das funktioniert nicht, das der Graph bei x = 0 einen y-Wert von y = unendlich
gute Frage
Ich hätte mal eine Frage zu den neu zu erstellenden Grenzen. Wenn man jetzt z.B. die Original Grenzen von 2 bis 3 hätte. Wären dann die neuen Grenzen in dem Fall von Wurzel-2 bis Wurzel-3 ????
Ja genau, die neuen Grenzen wären dann von √2 bis √3. 😊
@@MathemaTrick Danke Schön 👍
wieso muss man wurzel x aus dem zähler nicht = u setzen?
Warum wurde Wurzel x im Nenner und im dx Teil nicht substituiert?
Den Weg hätte man auch gehen können, aber oft steht das u (also hier jetzt dieses Wurzel(x) ) nicht direkt nochmal im Integral und dann ist es einfacher nur an einer Stelle das u einzusetzen und den Rest einfach zu kürzen. Ist aber natürlich Geschmacksache. 😊
@@MathemaTrick Ok danke für die Antwort, dann könnte man es theoretisch auch so machen. Schönen Tag noch!😁
Lösung:
Zunächst das unbestimmte Integral:
∫e^(√x)/√x*dx =
----------------
Ich ersetze: z=√x=x^(1/2) ⟹ dz/dx=1/2*x^(-1/2)=1/[2*√x] ⟹ dx=2*√x*dz
----------------
= ∫e^z/√x*√x*dz = 2*∫e^z*dz = 2*e^z+C1 = 2*e^(√x)+C1
Das bestimmte Integral:
1 1
∫e^(√x)/√x*dx = [2*e^(√x)] = 2*e^(√1)-2*e^(√0) = 2e-2
0 0
Ich habe dieses Integral in meiner Analyse Klausur , aber das war ein bisschen anders. Das steht keine Wurzel x in dem Nenner . Wie würden Sie dann integrieren
Was ist wenn eine grenze (unendlich) ist?
Hi, die Frage hatte ich auch. Hat sie super in einem anderen Video erklärt :)
ich liebe dich
Und wenn sich das Wurzel(x) nicht so perfekt rausgekürzt hätte, müsste man noch mit der partiellen Integration weitermachen, oder?
danke das es dich gibt kann man dich zur privaten nachhilfe buchen 🥹❤️
🥳👍
Frage zur Anpassung der Grenzen bei "Wurzel aus 1": Wieso wird nur die PLUS 1, aber nicht die MINUS 1 bei der finalen Berechnung berücksichtigt, -1 x -1 ergibt doch auch 1? Ansonsten super erklärt, selbige hätte vor 35 Jahren einges einfacher gemacht
Die Wurzel aus einer Zahl ist per Definition positiv, sonst wäre sie nicht eindeutig definiert.
Alternativ kannst du auch die Grenzen lassen, wie sie sind, und am Ende zurücksubstituieren.
@@clemensmuller2543 Danke, das ist für mich eine neue Erkenntnis. Man lernt doch nie aus🙂 Vielleicht wurde es damals in einer Mathevorlesung erwähnt und ich hatte in dem Moment besseres zu tun😎
Ich würde Wurzel von x" als "z" substituieren und dann das Integral nach dz rechnen.
Ich würde sie rot anstreichen und dann trocknen lassen