Io ho trovato la soluzione facendo uso del teorema della corda. Il lato QM del quadrato può essere visto come la corda di un cerchio minore di centro O e raggio (x) non noto. Poichè l'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza, il lato del quadrato QM = 2x sin(alpha/2). Poi ho costruito l'identità pitagorica suggerita dal triangolo rettangolo ONH, intendendo con H l'intersezione della bisettrice di alpha con il lato PN, essendo r l'ipotenusa, x sin(alpha/2) il cateto minore e infine ponendo in cateto maggiore pari alla somma del lato del quadrato (2x sin(alpha/2) e OI (l'intersezione della bisettrice di alpha con QM), misura quest'ultima che si ricava sempre con il teorema di Pitagora. Una volta ottenuto x^2 lo sostituiamo in Area = 4 X^2 sin(alpha/2). Se alpha è noto direi che non c'è bisogno di altro, ma se si vuole si possono usare le formule di bisezione per convertire aplha/2 in alpha
Per dimostrare che il triangolo OMQ è isoscele si poteva anche dal fatto che la bisettrice è anche altezza visto che per ipotesi OI è la bisettrice dell'angolo MOQ, ma anche altezza del triangolo MOQ relativa alla base MQ in quanto per ipotesi la bisettrice è perpendicolare al lato MQ
Ovviamente si potrebbero sfruttare anche i teoremi sui triangoli rettangoli: SOHCAHTOA in quanto in un triangolo isoscele altezza, mediana e bisettrice relativa al lato disuguale chiamata base coincidono.
E quindi essendo altezza è perpendicolare e quindi forma angoli retti e quindi il triangolo è rettangolo; essendo mediana divide passa per il punto medio da cui lo divide a metà e basta dividere per due; essendo bisettrice divide l'angolo al vertice a metà e quindi basta dividere per due.
Negli ultimi due casi si può anche razionalizzare 3/(4-√3) e (2-√3)/(4-√3) In entrambi i casi basta moltiplicare numeratore e denominatore per 4+√3 Otteniamo Nel primo caso dopo vari passaggi 3/13(4+√3) Nel secondo caso dopo vari passaggi (5-2√3)/13
Sempre molto bello!!!!
Sempre gentilissimo
come sempre una spiegazione esemplare
Grazie mille
Io ho trovato la soluzione facendo uso del teorema della corda. Il lato QM del quadrato può essere visto come la corda di un cerchio minore di centro O e raggio (x) non noto. Poichè l'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza, il lato del quadrato QM = 2x sin(alpha/2). Poi ho costruito l'identità pitagorica suggerita dal triangolo rettangolo ONH, intendendo con H l'intersezione della bisettrice di alpha con il lato PN, essendo r l'ipotenusa, x sin(alpha/2) il cateto minore e infine ponendo in cateto maggiore pari alla somma del lato del quadrato (2x sin(alpha/2) e OI (l'intersezione della bisettrice di alpha con QM), misura quest'ultima che si ricava sempre con il teorema di Pitagora. Una volta ottenuto x^2 lo sostituiamo in Area = 4 X^2 sin(alpha/2). Se alpha è noto direi che non c'è bisogno di altro, ma se si vuole si possono usare le formule di bisezione per convertire aplha/2 in alpha
Le strade che portano alla soluzione di un problema non sono mai uniche. Grazie di aver postato anche questa interesssante soluzione
Per dimostrare che il triangolo OMQ è isoscele si poteva anche dal fatto che la bisettrice è anche altezza visto che per ipotesi OI è la bisettrice dell'angolo MOQ, ma anche altezza del triangolo MOQ relativa alla base MQ in quanto per ipotesi la bisettrice è perpendicolare al lato MQ
Si
Ovviamente si potrebbero sfruttare anche i teoremi sui triangoli rettangoli: SOHCAHTOA in quanto in un triangolo isoscele altezza, mediana e bisettrice relativa al lato disuguale chiamata base coincidono.
E quindi essendo altezza è perpendicolare e quindi forma angoli retti e quindi il triangolo è rettangolo; essendo mediana divide passa per il punto medio da cui lo divide a metà e basta dividere per due; essendo bisettrice divide l'angolo al vertice a metà e quindi basta dividere per due.
Da cui i teoremi dei triangoli rettangoli sono applicabili anche nei triangoli isosceli
Bravo
Empeun ellarisokuzio
É che ti dico qui?
Negli ultimi due casi si può anche razionalizzare
3/(4-√3) e (2-√3)/(4-√3)
In entrambi i casi basta moltiplicare numeratore e denominatore per 4+√3
Otteniamo
Nel primo caso dopo vari passaggi
3/13(4+√3)
Nel secondo caso dopo vari passaggi
(5-2√3)/13
Si
Si