【信州大2022（改】これはあれを使うと一撃！

[@ジョン永遠]

-πから0の積分を-x=tとおいてやればπから0の積分になってdx=-dtのマイナスを積分区間の上下入替えに使うと0からπの積分にできます．被積分関数は1/(1+exp[-2sin(x)])から1/(1+exp[2sin(t)])になり，分母子exp[2sin(t)]で割ると
exp[-2sin(t)]/(exp[-2sin(t)]+1)　定積分だから積分変数はxに変えても同じ．よって積分区間を[-π, 0]と[0, π]で分けると
どちらも[0, π]になり，被積分関数は exp[-2sin(x)]/(exp[-2sin(x)]+1) + 1/(1+exp[-2sin(x)])=(exp[-2sin(x)]+1)/(1+exp[-2sin(x)])=1
よって定積分=∫_0^π 1dx=π．(終)
式で書くとI=∫_{-π}^π=∫_{-π}^0+∫_0^π=∫_π^0(-dt)/(1+exp[2sin(t)])+∫_0^π dx/(1+exp[-2sin(x)])
=∫_0^π dt/(1+exp[2sin(t)])+∫_0^π dx/(1+exp[-2sin(x)])=∫_0^π exp[-2sin(x)] dx/(exp[-2sin(x)]+1)+∫_0^π dx/(1+exp[-2sin(x)])
=∫_0^π (exp[-2sin(x)+1)dx/(1+exp[-2sin(x)])=∫_0^π 1dx=π．(終)

[@すとろひろ]

普通の解き方が知りたかったので助かりました！
ありがとうございますm(__)m

[@ジョン永遠]

ちょっとだけ一般化してみました．
f(x)は連続な奇関数とします．このとき 1/(1+exp[f(x)])も連続関数だから積分可能で，
∫_{-a}^a dx /(1+exp[f(x)])=a
本問ではa=π, f(x)=-2sin(x)になってます．f(x)が奇関数なら何でもよく，-2sin(x)に特別な意味はないです．

[@すとろひろ]

@@ジョン永遠 素晴らしい一般化ですね！
奇関数ならパッと答えが分かりますが、大事なのはそれを丸暗記ではなく、しっかり過程も理解した上で使いこなすことですねー、、、いやー数学できる人は、一般化考えたり、もしこういう関数だったらどうか？など考えますよね。
すごいです！！

[@すとろひろ]

すごく分かりやすい動画をありがとうございますm(__)m
今後、キングプロパティー使えるときが来たら使ってみようと思います(^^)

[@paromaru]

これ入試時も誘導なくいきなりking property使って求めさせるのかな。
（1）とかでking propertyを証明させてから（2）でこの積分を求めよ、だと簡単すぎるか…？

[@竹光-q5s]

偶関数と奇関数に分解するのもありですね。
被積分関数をf(x)とし、g(x)=(f(x)+f(-x))/2,
h(x)=(f(x)-f(-x))/2とすると、gは偶関数、hは奇関数になっています。対称な区間での奇関数の積分は無視できますから、gだけ考えれば良いですね。実際計算するとg=1/2となり、手も頭もほとんど使わず計算できてしまいます。eの肩が奇関数であれば、どのようなものであっても結果が1/2×(区間幅)になるのも面白いですね

[@fhchannel5718]

すごく勉強になりました。

[@perimetros314]

コレなんでking propertyっていうんでしょうね？
中々言われが出てこない

[@すとろひろ]

僕も調べましたが分かりませんでした。
直訳すると王、財産ですよねー(^_^;)

[@cafe_rumba]

King Propertyはめっちゃ有用だと思いますが、証明なしで使って減点されないでしょうか？

[@junnosukeitiro]

x=-tで置換したって書けばいいと思

[@TV-hr6cz]

キングプロパティーが有用なんじゃなくてそれを使えば解ける問題を恣意的に大学側が作ってるから有用に見えるだけ。これが生存者バイアスか。