Задача о носках и уравнение Пелля
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 30 ก.ย. 2024
- Решаем задачу по теории вероятностей, которая неожиданно оказывается связанной с поиском рациональных приближений для квадратного корня из 2.
Благодарим вас за интерес к нашей работе!
Получить доступ к дополненным материалам и поддержать нас можно нашем телеграм-канале: t.me/getaclass...
Новосибирский Государственный Университет
www.nsu.ru/
Теперь понятно, сколько носков мне надо покупать! Спасибо.
Если все будут одного цвета, то неважно, сколько их будет.
Впрочем, почему бы не надеть носки разных цветов )
Хорошо известна аксиома: " независимо от количества носков, загруженных в стиральную машину, количества вынутых всегда нечетно "
@@gimeron-db у меня папа разные ботинки как-то надел 😉 и понял это когда уже доехал до места . Делать было нечего .Поржал .И пошел дальше по делам .😁
На этом месте нам стоит остановиться, иначе у нас ещё и Пи откуда-нибудь появится :)
Шикарный ролик! Огромное спасибо! Восхитительно! 🙂
Если сразу предположить, что чёрный носок всего один, получается, что с вероятностью 50% он остаётся в ящике, когда мы тянем два носка, это возможно, если 2 это половина всех носков, несложно показать, что это минимально возможное количество
Я тоже так решал. Если черный 1, то 2 красных, мало 1/3, а 3 красных будет 1/2
А почему не может быт 1/3 разве условие не сохраняется?
@@trenger_v_top По условию вероятность 2 красных 1/2
Почему у Вас при любом раскладе 50%? Если чёрный носок один то вероятность что он остаётся в ящике 1-(1-1/S)*(1-1/(S-1)) = (S-2)/S. Т.е. вероятность очень зависит от колличетва всех носков. Второе сомниыельное утверждение: могло оказаться что чёрный носок не один. Например если в задаче могло быть указано, что всего носков больше 10.
@@blunt9845 если в ящике всего один чёрный носок, возможны два события, либо мы его достали, либо нет, вероятность 1/2 для кажого из этих событий будет если достать наугад половину носков. Собственно (S-2)/S = 2/S = 1/2. Предполагаем один носок потому что это частный случай, для 2+ чёрных носков появляется ещё одно событие чёрный+чёрный, и тогда нет принципиального отличия между подсчётом чёрных или красных носков. Для других условий решения с одним чёрным носком может не быть, но решал я конкретную задачу, в которой про 10+ носков ничего не сказано.
Насколько понимаю, весь набор целочисленных вариантов представляет из себя многообразие, в котором соотношение s/x медленно приближается и сходится в бесконечности к корню из двух.
Вообще то существует бесконечное множетво решений для 2*p²=q²±1. Минимальное решение p=1, q=1. Все другие решения получаются рекурентным соотношением: P = p+q, Q = 2*p+q.
1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169... Только половина этих решений может быть использована для задачи с носками 2*х+1=p, 2*S = q. x/S = 3/4, 15/21, 85/120...
О, помню эту задачу из задачника Мостеллера, который вы как-то рекомендовали.
Рубашка шикарная. Зачёт!!!
А как быть любителям физики и физического эксперимента? И почему вытаскивание носков нельзя считать физическим экспериментом?
В приближении к реальности носки должны лежать парами, учитывая это есть решение данной задачи?
Особенно в стиральной машине после стирки 🤣
То есть вероятность вытащить два одинаковых носка при большом их количестве и разнообразии стремится к нулю, а так хотелось поверить в чудо...
Задача поставлена некорректно. Не указано, что за один раз вынимается один носок.
Согласен, лично я из условий задачи понял, что за раз вынимается два носка одновременно, а не по одному один за другим.
а в чем разница? Одновременно или нет не имеет значения
Новая заставка?
После стирки обычно все носки перемешиваются. Сколько надо накупить носков чтобы вероятность вытащить два носка из одной пары ну то есть совпадали по фасону размеру цвету была близка к 1 ну хотя бы 0,9? Очень актуально😂
Ваша задача решается покупкой носков одного цвета и фасона.
Тут вся засада в том, что носки по одному обычно не продаются
Вам спасибо за наше внимание!!
Три носка, два красных. Один красный гарантирован. И 50 на 50 второй носок
Нет, и вот почему.
Пусть событие А - достать чёрный носок.
Его вероятность равна 1/3*1+1*1/3 = 0.666...
Значит, вероятность того, что достанут 2 красных носка равна 1-0.666... = 0.3333, что не равно 0.5
Есть и другое решение:
2/3*1/2 = 0.3333...
Сначала с шансом 2/3 достаётся красный носок, потом с шансом 1/2 достаётся второй носок.
События независимые, поэтому умножаются.
Если изначально достанется чёрный носок, значит вероятность достать красный 50 на 50? Нет...
Прекрасное объяснение
3:50 не совсем понятно, почему взяты числа 15 и 20, а не 20 и 14. Гугл вообще не хочет рассказывать про гетеромектные числа...
Oblong (or promic, pronic, or heteromecic) numbers
Прямоугольные числа
Просто подумав, мне кажется, что должно быть минимум 4 носка - 3 красных и 1 черный. Тогда шанс вытащить два красных подряд будет 3/4 × 2/3 = 2/4 = 1/2. При меньших колличествах не получается, тройка не сократится. Однако, все равно интересно доказательство и формула, так что буду смотреть
Но могло оказаться что чёрный носок не один. Например если в задаче могло быть указано, что всего носков больше 10. Тогда по-Вашему методу надо решать перебором. А это утомительно и недостойно истинному математику.
@@blunt9845 Перебором как раз проще всего и совсем неутомительно. Простой алгоритм записать на любом языке программирования, после запуска ответ в худшем случае через несколько секунд.
Интересно рассмотреть эту же задачу в другой плоскости: есть ящик с носками двух цветов. Как нужно расположить в ящике эти носки, чтобы вероятность выбора одинаковой пары была 1/2 ? (ну или в более общем виде если получится). Понятно, что если мы хотим получить вероятность 1, то должны просто скрепить парные носки. А если 1/2? 🙂 СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 🙂
к/(к+ч) *( к-1)/(к-1+ч)= 1/2
(к^2-к)/(к^2-к+кч+кч-ч+ч^2)=1/2
(к^2-к)/(к^2-к+2кч-ч+ч^2)=1/2
2к^2-2к=к^2-к-ч+2кч+ч^2
к^2-к=2кч-ч+ч^2
к^2-ч^2=к-ч+2кч
(к-ч)*(к+ч)=к-ч+2кч
Нашел ошибку, исправил, теперь написанное ранее не имеет смысла).
Интересная логика - купить 3 красных носка и один черный, чтобы с вероятностью 1/2 вытащить подряд два красных носка...
Пусть a_1 = 7, b_1 = 5; a_(n+1) = (a_n)^2 + 2*(b_n)^2; b_(n+1) = 2*a_n*b_n
Тогда предел последовательности {a_n/b_n} при n->+inf = sqrt(2)
Эээх, на самом интересном месте остановили, про решение уравнения Пелля даже не упомянули(((
про пеля и числа не понял. а решение задачи красивое, спасибо.
Уважаю иатематиков !!!!
Шикарная рубаха
Добрый день! Добавьте пожалуйста в описание ролика реквизиты для перечисления пожертвований на развитие канала.
Добрый день!
Пока нас можно поддержать в Telegram: t.me/getaclass_channel/525
Спасибо!
@@getaclassmath Добрый вечер! Отправил, надеюсь в будущем можно будет поддерживать подпиской на бусти😄
3 носка . 1 чёрный и 2 красных . 2 чёрных взять не можем а два красных вероятность 1/2. Сегодня Карфаген я не построила )
М-да... Ничего не построила...
Неверное решение! Вероятность взять красный носок из трёх возможных, где один черный и два красных равна 2/3. На следующем шаге снова взять красный действительно 1/2, НО! По условию задачи нужно, найти при каких условиях, вероятность возникновения обоих событий равна 1/2. Вероятность возникновения двух событий находится через логическое И, а это умножение. Таким образом: 2/3×1/2=2/6 или 1/3.
@@ВладимирФокс-л4н Вопрос о минимальном количестве носок а значит минимум - 3 , меньше не может быть
6:53 Стоп! Но если в ящике очень много и одинаковое количество красных и чёрных носков, то вероятность вытащить подряд 2 красных носка- 1/4 !
Здравствуйте! я согласен с вами, что предел пероятности - одна четвертая, когда носков много, а красных и черных поровну.
Но у нас обратная задача: вероятность вытянуть два красных носка дана(одна вторая), а всё остальное будет находиться из этого. Т. е. носков окажется не поровну, как вы взяли в своём примере
@@ШкрабоМихаил Не понял. Носков МНОГО. допустим, 100 красных и 100 чёрных. Две попытки. Первая- имее вероятность 50%. если она успешна, то остаётся 99 корасоных и 100 чёрных носков. Вторая попытка даёт коасный носок с вероятность. 99/199. Итгого наша ероятность- (1/2)*(99/199)= 99/398=0.249
Отличиое от 1/4 (0.25) в одну тысячную!
В нашем случае попытка состит в том, что мы вытаскиваем наугад два носка, фиксируем попытку как удачную, если оба они красоные, и как неудачную- в трёх остльных случях, клаём носки назад и повторем. Сделав так много раз,смотрим, каково отношние удачных попыток к общему числу Что не так?
О боже кто-нибудь может пояснить что такое гетеромерность чисел?
n*(n-1)
Ага. Если увеличить количество вдвое (6 и 2), то 30 попыток из 54 будут удачными. То есть, больше, чем 1/2. Не интуитивно.
Так и 6 не вдвое больше 2
@@WantedWhiteTiger Ну так и 3 не вдвое больше 1.
@@Make_it_easy001 ну так и не в количестве носков соотношение 1:2 должно быть
Я не сразу понял, что там вдвое увеличено)
А разве цепная дробь от корня из двух не находит все такие пары чисел?
Оказалось, что почему-то не находит. Вот такая последовательность приближений получается: 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, ...
А вообще-то всё получается. Чтобы перевести дроби выше p/q в носки, нужно их проредить, взяв чётные (нечётные отвечают за верхнюю границу корня из 2, а чётные - за нижнюю, нам нужна нижняя): 7/5, 41/29, 239/169, 1393/985
Пересчитываем в носки вот так: (p+1)/2 и (q+1)/2.
В итоге получим такие пары: (4, 3) ; (21, 15) ; (120, 85) ; (697, 493) ; ...
@@fhtagnfhtagn Половина Ваших решений (через один) соотвтсвует задаче 2*p²=q² - 1, а половина задаче 2*p²=q²+1. Вот они то и променимы к носкам.
Но в задаче не сказано, что носки вынимаются по очереди. Поэтому надо рассмотреть также вариант одновременного вынимания носков.
А какая разница?
@@fhtagnfhtagnохохоххох, ещё какая разница
@@fhtagnfhtagn Если вынимать одновременно два носка, то для вероятности 1/2 в корзине должно быть 2 красных и 1 черный носок. В таком случае будет всего два варианта, как можно достать носки: либо 1 чёрный 1 красный, либо 2 красных. То есть, подходит один вариант из двух возможных, что равно 1/2. И ответ будет, что минимально надо 3 носка
@@friednoodle8572 "1 чёрный 1 красный, либо 2 красных" - а почему 1/2 на 2 красных? Это как вероятность встретить динозавра на улице? Можно встретить, а можно не встретить, 1/2 значит. Если 2 красных и 1 чёрный в корзине, то вероятность достать 2 красных: к1к2 / (к1к2 + к1ч + к2ч) = 1/3.
@@fhtagnfhtagn Ладно, с носками ты прав
Не смотрел видео, наверное 4...
Не 4, стоит посмотреть))
@@ОлегГущин-н1г???
Ответ 4, как и сказано в видео..
@@ОлегГущин-н1г 4 просто носка
Если из ящика вынимаются два красных носка с вероятностью 1/2, то их должно быть 4, но два черных и два красных
Вынимаются не вместе, а по очереди
@@amidlНеважно как вынимаются, но должно быть 3 красных носка и 1 чёрный
Если 2 х 2, то вероятность 2 красных 1/6, 2 чёрных 1/6, и разные 2/3. Т.е даже вытащить два одинаковых маловероятно.
@@blunt9845 Разве не 1/4, 1/4 и 1/2?
@@F_A_F123 а если мы захотим вынуть два черных носка с вероятностью 1/2, то тогда наоборот должно быть три черных и один красный? Что-то тут не бьётся, вероятности вынуть носки одного цвета и вероятность остаться носкам другого цвета равны, но то каких носков будет больше зависит от того, какие мы вынимаем, а какие оставляем, получается какая-то ассиметрия этих вероятностей и это не понятно.
А не три носка? Два красных и один черный. Первый красный носок мы вытащим с вероятностью сто процентов,а у второго красного будет вероятность 1/2.
Нет, первый красный вытащим с вероятностью 2/3.
Неправильно! Видимо, Вы невнимательно читали условия задачи, цитирую: "чернЫЕ носки". Прилагательное "черный" стоит во МНОЖЕСТВЕННОМ числе. А, значит, черных носков должно быть, минимум, два. А у Вас получился один.
С одной стороны да, а вопрос заключается в том, какое минимальное возможное число носков в ящике,т.е. не спрашивают каких именно носков
@@MikhailAgeev527 Но нельзя же игнорировать условия задачи! Спрашивается, сколько носков в соответствии с указанными условиями.
У вас неправильно, подумайте
@@ЛеонРотай Моя ошибка, видимо, в том, что я буквально понимаю условия задачи? :)
Не понял зачем тут уравнения. Ответ - 2 носка. Один черный и один красный.
Нет. В таком случае вероятность вытащить 2 красных носка равна нулю, т.к. в таком случае невозможно выбрать 2 красных носка, т.к. есть всего 1 красный носок