[Eng Sub] Proof: Infinitely Many Infinities Greater than Infinity Exist
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- เผยแพร่เมื่อ 4 ต.ค. 2024
- English subtitles available!
Zundamon takes on the challenge of infinity. The task is to construct a sequence of infinities greater than infinity that continues infinitely. In this video, we use the diagonal argument, often employed to show that the cardinality of real numbers is greater than that of natural numbers, to demonstrate that the power set of any given set is truly "greater" than the original set. And beyond that... well, you already know.
[BGM]
ほのぼのワルツ【リコーダー】(commons.nicovi...)
Caravan
[Materials]
VOICEVOX:ずんだもん (立ち絵:坂本アヒル様)
VOICEVOX:四国めたん (立ち絵:坂本アヒル様)
効果音ラボ
pixabay
#math
![[Eng Sub] Basel Problem: What is Behind the Famous Proof](http://i.ytimg.com/vi/jmtiWGnj5os/mqdefault.jpg)
![[Eng Sub] Another World of Infinite Sums](http://i.ytimg.com/vi/cwEpq8SW79g/mqdefault.jpg)
![Which is Bigger: Fukasetsu Fukasetsuten or Graham's Number? [English Subtitles]](/img/n.gif)
this is a new era for online education
My favourite part of this series is learning the words for technical math concepts in Japanese, I've always been interested in learning how technical concepts get translated to other languages. Apparently "shugo" means set
It's the same for me but from Spanish to English. I'm a native spanish speaker, so with this series I'm learning how some technical concepts get translated to English like set (that in Spanish is "conjunto")
数学科一年生のお手本みたいなことずっと言ってるずんだもん可愛すぎる
I'm a math student from Canada, thanks for the English sub, enjoyed this video.
無限を超える無限よりこの動画に英語コメがあるのが不思議
なぜ外国人が日本語の数学動画にいるんだ…
Because of English subtitles
濃度の部分に、いい感じの定義を持ってきているところが、すごい！
we definitely need real analysis lectures from them!
10:51
この論理は有限の場合対角線上に取っているがその対角線上に入らない集合がありその部分で全部取れているため
一対一関係を作れる
カーディナルを「濃度」って訳す事に、いまだに違和感を覚える。
有限集合の場合、集合に含まれる要素の個数なのだから、ぽつぽつと点があるイメージなのに、
無限集合になると何か雲の中の水滴の様に、ふんわりと元が広がってる様に感じてる。
もともとは「個数」なのに。
どう転んでも濃度に辿り着く気がしない
物理の｢密度｣みたいな理解でいいんじゃないの？
I wish one of these videos could be a submission for 3b1b's Summer of Maths Expositions in the future.
Granted I've not thought of it that much, but this is the first time I've seen the diagonal argument used to prove that _any_ power set of a set has greater cardinality than the set itself. It's pretty obvious in hindsight.
Good video!
「|A|≦|B| かつ |A|≧|B| →|A| = |B|」は、たしか選択公理が必要だったと思うけど、動画ではそのあたりは巧みに避けていた。
それは通常のベルンシュタインの定理なので選択公理は必要ありません．
ただし，選択公理を「使っても」証明できます．実際，カントールの初期の証明は選択公理の前提の元で証明したものだったとされています．
後に選択公理のないZやZFで証明可能なことが確かめられ，その後は証明のあとに「選択公理を使っていないことに注意」というただし書きが添えられることが多くなりました．
よく似たもの（ヴァリアント）で，「全射 f : A → B , 全射 g : B → A が存在するなら, AとBに全単射が存在する（つまり|A| = |B|）」という，ベルンシュタインの定理の前提部分の「単射」を「全射」に置き換えた定理がありますが，こちらは証明に選択公理が必要です．しかも可算選択公理や従属選択公理では足りず，Z(F)ではフルの選択公理がないと証明できない事がわかっています．
ただし，従属選択公理から選択公理の間にその中間的強さの類似定理（公理）が存在するのか，真に選択公理とベルンシュタインの定理のヴァリアントとが同値なのかは，未解決問題です．（例えば，後者でないなら，ベルンシュタインの定理のヴァリアント自体が，従属選択公理と選択公理の中間の強さの選択公理の類似物の候補になります．）
@@saundersN 独立選択公理って何？従属なら知ってるけど
@@jalmar40298 ほんとだ指摘ありがとう。
修正しとく。
I'm a math student in France, i just love this so much, this made me want to continue studying japanese
今回のは一回見ただけではついていけなかったので何度も見返します。
数値の大きさに対しての無限と、個数に対しての無限が有る って事だな。
グロタンディーク宇宙までやってほしいな
What a great channel to motivate one to learn japanese! Thank you very much for the subtitles, and your work. One new subscriber for you!
加算無限より大きい無限が加算無限個存在する。
「大きい」ことは何を持って、照明されるんだろうと、小学生レベルのツッコミを入れてみる
idk why these videos capture the wonder and magic of first studying math so well, but i'm loving it
I think I found the favorite of your series. And I haven't even went through the entire rabbit hole. Good job.
Hey would like to genuinely thank you for these videos, been struggling a bit with math classes and you've been helping a lot by making the ideas simple and fun to learn haha. Keep up the good work!
連続体仮説はまだ仮説なんですよね
実際には仮説というより公理の一種ですね
ZFCと連続体仮説(CH)は独立していて、ZFC+CHもZFC+not CHも無矛盾であることが知られています
クッソわかりやすい！
Ah yes, Cantor’s Theorem is my favorite theorem, shocking and beautiful and the proof is surprisingly short.
I think the most surprising thing about diagonal arguments is how different from each other they can look before you see the similarities.
ありがとうございます！
ご支援ありがとうございます。
今後の動画制作のため大切に使わせていただきます！
@@zunda-theorem 対角線論法と引き続く写像の話のところが理解できませんでした・・・私の理解力不足の問題と思います。
@@molecular_science-vx7qh カンターの対角化の議論に関するビデオをもっと見てください。役に立つでしょう!
@@molecular_science-vx7qh
今回の動画は集合論の初学者の方に配慮できていなかったかもしれませんね😵
コメントありがとうございます。今後の動画制作の参考にさせていただきます👍
@@proximitygaming8253 たしかに、対角線論法について他のチャンネルの動画も見てみると理解が進みそうですね👍
The explanations in every video are so well detailed, I love it! I’ve never seen anything like this, this is awesome
Ahora mismo estoy estudiando la carrera de matemáticas; y áreas como la teoría de conjuntos me han apasionado enormemente y hasta el dia de hoy, tanto que cuando estaba en la secundaria demostré a mi clase que los naturales tienen el mismo cardinal.
Cuando mire el video por el tema y por las bromas en el me hicieron recordar cuando mis compañeros escucharon por primera vez esas ideas tan locas para alguien que es primerizo; pero sobre todo cuando lo experimente por primera vez escuchar esas ideas sobre los conjuntos infinitos, en su momento realmente fue algo indescriptible para mi y esta lleno de recuerdos muy especiales, te agradezco por haberme hecho recordar esos momentos tan importantes.
Algo que realmente me encanto del video es que es muy reciente, este es el segundo que descubro tuyo y estaré esperando ansioso por el siguiente. Sigue así 😃.
Espero haberme explicado bien, y ojala poder ponerlo en ingles pero aun no soy tan bueno. 😅
im blessed to live in a time where anime girls teach math
I really like seeing your videos. I'm learning a lot and having fun and the same time!
サムネのアイデアにやられた。素晴らしい。
both your math and art is impeccable. thank you so much
べきこそパワー！
検索したが言ってる者居らんかった
濃度の定義は難しい
どんどん冪集合を作ればいいことは予想できたけど、ムズカシス
何故彼は当時のアカデミー界から認められなかったのか
何故自殺したのか
よく分かるよな
無限集合において、ある集合とそのべき集合の中間の濃度を持つ集合は存在しない。というのが連続体仮説で、これは証明不能でしたね。ところで、[0,1)に含まれる実数全体の集合が自然数全体の集合のべき集合といえる理由は、自然数nが実数の小数第n位(進法は任意)と対応させられるからですね。(それぞれのnに対しN進法の場合、N通りの場合が存在するため。)
証明不能ではあるが、「正しい訳でも間違ってる訳でもないタイプだな」
this was really cool!!!
I love this channel. I can take both Liberal Arts
that Japanese and mathmatics from this video.
ദ്ദി◍•ᴗ•◍)
数列を構成するって言うなら
写像f:n↦X_nを作ってくださいよぉ()
n→אn
we have anime girls teaching math before GTA6 😦
I really like your videos, you really deserved a subscribe! (I subscribe you because I love math things)
I have a question for you:
what’s 1^(-i)+2^(-i)+3^(-i)+… or ζ(i) equals to?
the green one got destroyed at first :O
X1とX2の間の濃度を取る集合は存在しますか
I'm nowhere near the level of math to understand this, but I'll study hard...
set theory is pretty much it's own thing, it's taught with discrete math at uni but to my understanding doesn't have anything to do with any surface level math aside from combinatorics
how can i understand things more with anime girls communicating...
Finally an English comment haha. Actually those aren’t anime girls but vocaloid figures instead.
@@Luka_D_Snots ahh i see!
これって自然数の集合から濃度の大きい集合を作れるけど、連続体仮説の話に引っかからないだろうか
今更ですが良い質問ですね
もう解決してたら済みません
これが実数濃度になるんですよ
連続体仮説の疑問が沸き起こった切っ掛けなんですよね
@@天才の証明
なるほど、可算集合のべき集合は実数濃度になるから、この仮説には一応無問題なんですね
しかも、カントールパラドックスも考えられた興味深いテーマだったんですね
べっきべきにしてやんよ
ネギの代わりにアレフ棒を振るミクを想像してしまった
今回紹介されたべき集合の濃度は「アレフ*」で表せるんでしょうか？？
この濃度の列は「ベート数」ですねアレフの次のヘブライ文字です アレフ数の部分列になっています
写像に関しての説明がもう少し欲しかった
10:53あたりの対角線論法について質問があります。有限の場合は理解できるのですが、これは無限にも適用できるんでしょうか。αの要素が確定するとαはNに含まれているはずなので、αの要素を抽出するという操作（？）が永遠に完結しないと直感的には思います。
ずんだもんが1:27あたりでおかした間違いと状況的には似ているように思えるのですが、何が違うのでしょうか。無限集合に新しい要素を一つ加える、という操作を無限に行ったあとの集合は元の集合より大きいのですか？
この議論では写像aを最初に固定しているので、αに応じてaが変化するということは起こりません
>αはNに含まれているはず
αはNに含まれません
仮定：αをNの中のm番目に置ける（α=a_m）とします。
また、元々αはNのうち、n∉a_nとなっている（=自分の番号を要素として持っていない）集合の番号から構成していることに注意してください。
ここでαが自分自身の番号"m"を要素に持つかどうか考えると、
①：αがmを要素に持っている場合
→α=a_mは「自分の番号を要素として持っている」ので、mはαに含まれない=矛盾
②：αがmを要素に持っていない場合
→α=a_mは「自分の番号を要素として持っていない」ので、mはαに含まれる=矛盾
よって、αをNの中に置こうとすると何番目に置いたとしても矛盾が発生するため、αはNに含まれません。
ずんだもんとの違いは、新しい要素を増やしたとしても1対1対応が取れるなら濃度としては変わらない一方で、今回構成した"α"はNとの1 対1対応をさせることができないということです、。
>>永遠に完結しないと直感的には思います。
αは「一つ一つ自然数をa(n)にnが入っているかどうか検証しながら無限の時間をかけて作っている」わけではありません。
単に「aという写像が存在しているとき、このような性質を満たすα⊂N も存在している」と言っているのです。αは有限の長さの論理式で定義できる対象であって、数学の議論で扱える正当なオブジェクトなのです。実際、12:09の式でαは有限的な手法で定義されているわけです。αの要素を列挙する必要はありません。
ちなみに、無限の時間をかけてオブジェクトを構成しているように「見える」手法として超限帰納法などもありますが、それも実際は有限な長さの論理式でオブジェクトを定義しているに過ぎないので正当なものなのです。そもそも、普通の数学で「無限の時間を掛ける手作業」は正当化されていないのです。
可算無限より大きい無限が可算無限個あるのはわかりました。その中で実数の濃度はどこらへんなんですか？
連続体仮説...
@@anythinglab 連続体仮説は可算濃度と実数濃度の間に濃度があるかどうかがわからないというだけで、実数の集合が自然数の集合の冪集合であることだけは確かなんですよねぇ
可算無限より大きい無限は可算無限個どころじゃなくてそれこそ無限に大きい無限個あります。（そういう話をするには真クラスという概念が必要になります）
実数の濃度には「いくつかの制限」がありますが強制法を用いることで、「その制限を満たすならどれだけ大きくても矛盾しない」ということが証明されています。
実数は複雑怪奇
@@あうら-g2j [0,1)に含まれる実数全体の集合が自然数全体の集合のべき集合といえる理由は、自然数nが2進数で表現したときの実数の小数第n位と対応させたうえで、anが存在する場合を1、存在しない場合を0と対応させられるからです。
Can we get an English dub?🥺
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