11:50 Actually in that equality, easier proof without fourier series is known as "Herglotz trick" in "Proofs from THE BOOK". It only requires proving the continuity, periodity and simple functional identity of both expression. With continuity and property of odd function, we can prove (LHS) - (RHS) is always zero in its period (thus for all possible x). Thanks for always providing great videos with cute zundamon!!!!
im genuinely impressed. this is so goofy, but the fact that jrs actually educational too is unfathomable to me. i cant stop laughing. incredible stuff! i love math so much
We can also show that sin(x) = 0 has no complex solutions, confirming that its solutions are all real and thus being equal to the infinite product. Take sin(a + bi) = 0 for some real numbers an and b. This expands to sin(a) cos(bi) + cos(a) sin(bi) = 0. Recall that sin(z) = (e^iz - e^-iz)/2i and cos(z) = (e^iz + e^-iz)/2, giving sin(iz) = (e^-z - e^z)/2i = -i sinh(-z) = i sinh(z) and cos(iz) = (e^-z + e^z)/2 = cosh(-z) = cosh(z), respectively. We can say sin(a) cosh(b) - i cos(a) sinh(b) = 0. The solution is non-real if b ≠ 0. For contradiction, suppose that b ≠ 0. This implies that sinh(b) ≠ 0 since sinh(b) = 0 implies b = 0. This must mean cos(a) = 0 since the imaginary part of 0 is 0. cos(a) = 0 implies a = π/2 + πn for some integer n. This solution set is disjoint from that of sin(a) = 0 solving for a, meaning that sin(a) ≠ 0. However, sin(a) = 0 since the real part of 0 is 0, resulting in a contradiction.
Geometrical approach for this problem is explained in 3Blue1Brown channel, which you may find helpful for intuitive understandings. Maybe you can find JP subtitle on his main channel.
Thank you for your comment. The reason we take the integral from "0" when anti-logarithmic-differentiating is that both sides become 1 when x=0 (or x→0): LHS: (sin πx) / πx → 1 (x→0) RHS: 1*1*1*... = 1 If this explanation isn't clear enough, actually performing the calculation will make it clearer.
![[Eng Sub] Mysterious Sums](http://i.ytimg.com/vi/3K_iE7tb3Yo/mqdefault.jpg)
フーリエ展開やマクローリン展開は「工学的」な印象があるからか、「数学的」な証明に使うとなんとなく後ろめたさを感じてしまう。
数学系チャンネルの中で群を抜いてわかりやすいし見やすい
大好き愛してる❤
このチャンネル、今一番推せる
厳密性とかそういう話はそんなにわからないですが、数学の面白さに引きずり込まれるのにはちょうどよく、わかりやすい説明でした
本当にわかりやすいです、ありがとうございます
11:50 Actually in that equality, easier proof without fourier series is known as "Herglotz trick" in "Proofs from THE BOOK". It only requires proving the continuity, periodity and simple functional identity of both expression. With continuity and property of odd function, we can prove (LHS) - (RHS) is always zero in its period (thus for all possible x).
Thanks for always providing great videos with cute zundamon!!!!
Thank you for your comment! I have added information about that to the description box :)
途中うぐ・・・となって理解しきれてない箇所もあるけど、面白かった。
高校数学までは理解できてるずんだもんを見られるのはこのチャンネルだけ！
theres a japanese 3b1b channel what
i love this channel
大まかな流れを掴む動画なんですね
先日バーゼル問題のもっと初等的な方法を思いついたのですが、いかがでしょう。
I(a)=∫arctan(ax)dx(積分範囲は0〜∞)とすると、ファインマンの手法、あるいはライプニッツの積分則を用いて、aで偏微分すると、積分の中をaで微分すればよいので、計算していくとI'(a)=-ln(a)/1-a^2となります。
一方で、I(1),I(0)は置換積分などで簡単に計算できて、それぞれπ^2/8,0になります。
ここで、0
im genuinely impressed. this is so goofy, but the fact that jrs actually educational too is unfathomable to me. i cant stop laughing. incredible stuff! i love math so much
the purple one doesn't trust the green one's intelligence :(
=を証明したいのに、証明する前に=で結んで式変形していくの、すごくモヤモヤする…
等式が成り立っている2つの式の係数比較しているから最初から=で結べる、っことかな。
バーゼル問題じゃなくて、動画の後半の話ですね。
sin関数を無限積で表せる事を証明しようとしてるのに、最初から=で結んでるのは矛盾してるように感じます。
示したい式を同値変形して、それを真だと示す、という手法ですね
A=Bを示したい時
A=Bを1式と置いて、それに同値変形をしたA’=B’を真だと示して、よって1式も真であるって論法は割とよく使う気がする
考え方としてはそれであってるけど、最初から=で結んでたら、論法として間違ってるでしょ、といってます
結果的に=なんで何も矛盾起きてないですけど、左辺と右辺が違うものを=で結んだ状態から議論を始めたら、全部間違った結果になりますよ
Sinの因数分解がモヤモヤはマジでそう。
因数分解だとx(x+π)(x-π)(x+2π)(x-2π)….としたくなる。
冒頭のずんだもんの証明だとx(x-a)(x+a)(x-b)(x+b)...をx(x^2-a^2)(x^2-b^2)...と潰してから3次の係数を比較してるのもモヤモヤ源だなあ
元の式からはx, (x-a), (x-b)のxを選ぶ…みたいな形でもxの3次の項を作れること、それらが正負でキレイに対消滅することに言及してくれないと「無限項からの選び方の検討不十分じゃない？」の疑念でモヤるモヤった
まあどのみち直感的理解の域は出てない不十分な説明には違いないんですけど
ワイエルシュトラスの因数分解定理…懐かしいなぁ…（証明難しくてわからず終わった記憶）
可能ならこの話につづくHadamrdの因数分解定理につなげたいですね。
なんかほっこりする
どこかで謎解きを作っていた人と雰囲気が似ている気がする…
なぞときらぼですか
どっかのニワトリとヒヨコ…
a_nという表記はlatexのソースでお世話になるけれど、それと全く関係無いクラスタの人も同じ表記を使っているのかちょっと気になった。
最初の頃と比べて結構ずんだもんも賢くなったなぁ...
マクローリンてかテイラーは
入試問題の元ネタになってます
よね。試験場で知らないと
「何じゃこれ？」となりますが(笑
モヤモヤするけど面白かった😮
実際に計算してみたけど、収束の速さはあまり良くなさそうだね
結局フーリエ級数展開なのか
因数定理を無限積に拡張できる証明みたいなのあるっけ
省略した計算のとこもやろうと思えばできる計算で、全部わかると達成感あるなー収束の議論してないから厳密じゃないが
excellent video
πが特別な値であることは判ります
AIに証明問題を解かせたらどうなりますかね？
有名な証明問題ならできるけど、まだ人類が到達していない証明問題はできないんじゃないかな？
でも、AIとは少し違うけど、総当たりの問題とかはとけるかもね。
いいですね、かっこいい。
2:26
もやもやするのは、sinxのxは高校までは角度の180℃をπとして、sinπ=0とし
y=sinxのグラフではx軸は角度と想定していた。
しかし、この式でのπは3.14の実数で
sin(3,14)=0のように、sinの中に実数を入れて、展開後に実数が求められるって事だから非常に混乱する
コメ主の論理なら、『x+sinx』のような演算も、成立しないことになるよ。
xは角度だけど、sinxは角度じゃないから、異なる数量の和は計算できない。
this is just fucking awesome.
We can also show that sin(x) = 0 has no complex solutions, confirming that its solutions are all real and thus being equal to the infinite product.
Take sin(a + bi) = 0 for some real numbers an and b. This expands to sin(a) cos(bi) + cos(a) sin(bi) = 0. Recall that sin(z) = (e^iz - e^-iz)/2i and cos(z) = (e^iz + e^-iz)/2, giving sin(iz) = (e^-z - e^z)/2i = -i sinh(-z) = i sinh(z) and cos(iz) = (e^-z + e^z)/2 = cosh(-z) = cosh(z), respectively.
We can say sin(a) cosh(b) - i cos(a) sinh(b) = 0. The solution is non-real if b ≠ 0. For contradiction, suppose that b ≠ 0. This implies that sinh(b) ≠ 0 since sinh(b) = 0 implies b = 0. This must mean cos(a) = 0 since the imaginary part of 0 is 0. cos(a) = 0 implies a = π/2 + πn for some integer n. This solution set is disjoint from that of sin(a) = 0 solving for a, meaning that sin(a) ≠ 0. However, sin(a) = 0 since the real part of 0 is 0, resulting in a contradiction.
まあぶっちゃけ教養の解析を死ぬほど極めてるならスラスラわかるだろね
自分は可だったからふわっとしか無理
This one's a doozy!
サムネがナゾトキラボ
平方数の逆数の和に円周率が出てくる理由の感覚的な説明って難しいのかな？
Geometrical approach for this problem is explained in 3Blue1Brown channel, which you may find helpful for intuitive understandings. Maybe you can find JP subtitle on his main channel.
Why when you anti-logarithmic-differentiate you take the integral from "0" to x and not from other number?
Thank you for your comment.
The reason we take the integral from "0" when anti-logarithmic-differentiating is that both sides become 1 when x=0 (or x→0):
LHS: (sin πx) / πx → 1 (x→0)
RHS: 1*1*1*... = 1
If this explanation isn't clear enough, actually performing the calculation will make it clearer.
そもそもマクローリン展開についての説明が欲しいですね。いきなりこれですと言われても。。。
単位円による定義よりも、マクローリン展開による定義を採用するほうが便利だから、逆に単位円のy座標を『定理』とすることがあるみたい。
証明は至って簡単で、すべての実数xに対して(sinxの級数)²+(cosxの級数)²＝1となることを示すだけ。
a²+b²＝1⇔点(a, b)が単位円上にある。
テイラー展開の証明ならネットにあると思うが…
PEAAAAK (this channel is cool)