Kannst du die rote Fläche berechnen? - Mathe Rätsel Geometrie
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- เผยแพร่เมื่อ 12 ก.ค. 2024
- Mathe Rätsel Geometrie
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne)
wie man die Fläche des Halbkreises mit dem Sinus berechnen kann. Wir nutzen den Sinus des Winkels in dem rechtwinkligen Dreieck, um den Flächeninhalt zu bestimmen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Mathe Rätsel
0:49 Fläche berechnen
4:09 Sinus am Dreieck
6:20 Bis zum nächsten Video :)
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Hallo Susanne!
Kannst Du sagen, ob es für die folgende Aufgabe einen mathematischen(!) Lösungsweg gibt, also nicht durch Tüfteln und Ausprobieren? Wenn ja, wie? Wenn nein, wieso nicht?
Aufgabe: Auf einer Geraden befinden sich die Punkte A, B, C und D. Der Abstand zwischen A und B beträgt 7 cm, der Abstand zwischen B und C beträgt 5 cm, die Punkte C und D sind 8 cm voneinander entfernt, und D und A sind 6 cm voneinander entfernt. Welche der vier Punkte A, B, C und D sind am weitesten voneinander entfernt?
Lösung: Die Punkte liegen in der Reihenfolge B-C-A-D (oder umgekehrt) auf der Geraden, und der Abstand zwischen B und D beträgt 13 cm.
Info: GPT3.5/4, Claude2, Llama2 und Google-PaLM schaffen es alle nicht und liefern, ungeachtet der Inkonsistenz mit den gegebenen Werten, falsche Lösungen.
lg - Guido
p hu😊
Hallo,
es geht auch ohne Sinus. Wenn man das rechtwinklige Dreieck (bei ca. 4 Minuten) an r spiegelt, erhält man ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 3m. Damit ist die zweite Kathete im rechtwinkligen Dreieck 1,5m lang.
Mit Pythagoras bekommt man r²+1,5²=3², also r²=3²-1,5²=6,75.
A=½πr²=½π•6,75=3,375π≈10,6.
🤓
Clever !!
Sehr schön. Mir hat in dem Video der zusätzliche Rechenschritt gefehlt, dass sin(60°) = 1/2 √3 ist, so dass das Ergebnis exakt 27/8 π ist. Das gerundete "etwa 10,6" erachte ich als nicht vollständig gelöst, das hätte Punktabzug gegeben.
@@RolandIllig Danke. Du meinst vermutlich ½√3. 😊
EINE TOLLE IDEE , ICH MUSS MIR MAL EINEN SPIEGEL ZULEGEN WUNDERBAR ❤❤😂😂
Brilliant 🧠
Klarer Lösungsweg, jedes Detail genau erklärt -und dazu das Lächeln. Da werden sogar manche Mathe-Blockaden weich. Danke!
Ein Like für diesen Kommentar ohne dass ich das Video gesehen habe.
Erfahrungsgemäß sind diese Videos sehr gut.
Bin mir nur noch nicht sicher ob ich mir dieses Video ansehen soll.
Die Lösung ist doch zu nahe liegend.
Optionaler Schritt 1. Papier auf den Kopf drehen. Oft fällt es leichter zu denken wenn die Basis unten ist.
Schritt 2. Relevante Punkte markieren.
Mittelpunkt des Kreises ist die Mitte der einen Seite des gleichseitigen Dreiecks (nur 60 Grad Winkel).
Und den Punkt markieren in dem der Halbkreis eine der anderen Seiten markiert.
3.)
Die Linie zw. diesen Punkten hat die länge vom Radius des Halbkreises.
Und bildet mit der halben Seite und dem Abschnitt der anderen Seite ein rechtwinkliges Dreieck dessen andere Winkel 60(zw. den Seiten) und 30 Grad (beim Kreismittelpunkt) sind. Die 90 natürlich dort wo der Radius die Tangente (Seite) trifft.
Der Rest müsste 2r*r/4*pi also pi*r*r/2
Wobei ich eigentlich die Formel noch einmal prüfen sollte.
Flüchtigkeitsfehler sind schnell gemacht.
@@alexanderweigand6758
Es ist noch viel „schlimmer“: Es sollte bekannt sein, dass ein Quadrat den kleinsten Umfang aller flächengleichen Rechtecke hat. Folglich teile ich die 100 m durch 4 und erhalte die Kantenlänge von 25 m. - Im Video zeigt uns Susanne den rechnerischen Beweis.
@@Axel_W.OK, jetzt muss ich das Video ansehen.
Hallo Susanne
Meine Lösung ohne Trigo:
das kleine Dreieck (r, 3, 60°) ist ein halbes gleichseitiges Dreieck, damit ist die kleine Kathete 6/2 = 3
r^2 = 3^2 - 1.5^2 =6.75
F = 6.75 * pi / 2 ≅ 10.6028...
Ja, gratuliere! 😀 Das ist *genial einfach*.
Im Prinzip in einem (Rechen-)Schritt.
Ich bin zwar auch hingekommen ohne Winkelfunktionen, aber in zwei Schritten:
1. durch Halbierung des großen gleichseitigen Dreiecks, und
2. dann bestimmen der Höhe eines dieser rechtwinkligen Dreiecke, welche ja identisch mit dem gesuchten Radius des Halbkreises ist. 🤓
Wenn man das andere rechtwinklige Dreieck verwendet (Kreismittelpunkt, untere Ecke, 90°), wird eigentlich sofort klar, dass der Halbkreisdurchmesser der Höhe des gleichseitigen Dreiecks entspricht. Die Höhe ist Wurzel(27), damit kommt man auf eine Fläche von 27/8*Pi.
Finde das Dreieck, wie so oft... Schöne Übung für zwischendurch im Büro, Danke dafür und die gute Laune!
So geht's natürlich auch. Bin mit Phytagoras über die Höhe des gleichseitigen Dreiecks gegangen. Doch schön nach 23 Jahren mit erfolgreichem Ostabi noch in der Lage zu sein solche Aufgaben zu lösen:)
Keine Chance da nie gelernt, doch es war toll Dir beim Lösungsweg über die Schulter schauen zu können 😃❤
Interessante geometrische Aufgabe sehr schön erklärt! Auch einige alternative Lösungen in den Kommentaren - super 😊!
Mir gefällt als Ergebnis die genaue Lösung Pi*27/8 oder 3.375 Pi besser als das gerundete, nur ungefähre Taschenrechner Ergebnis von ca. 10.6 - aber das ist Geschmackssache 👻
Herzlichen Dank für diese Frage liebe Susanne 🙏
Meine Antwort ist:
Wenn man vom Zentrum des Kreises den Radius an die rechte (oder linke) Seite zeichnet (wo der Kreisbogen die beiden Seiten berührt), hat man einen Dreieck:
Die Basis wäre 3 m, die hälfte von 6 m, und gleich der Hypotenuse, somit einen 30°-60°-90° Dreieck, demnach:
sin(60)= √3/2 = (R/3) (oder cos(30°))
R = 3(√3/2) m
die rote Fläche, Arot
Arot= π*R²/2
= π*[3(√3/2)]²/2
= (27/8) π
Arot ≅ 10,60 m²
Das Ergebnis ist FALSCH! FANG MAL AN ZU ZEICHNEN UND DANN TEILE DIER DIE 6 DURCH 3 = 2. DIE 2 TEILE DURCH 2 = 1. SO JETZT DIE 1 DURCH 3 = O,3333. SO JETZT 0,3333 × 2 = 0,6666. JETZT 6 - 0,6666 = 5,336m = Durmesser ÷ 2 = 2,6666! Somit kommt bei mir und auch auf dem Papier auf eine Fläche von 11,14m zum Qudrat. Jetzt bist du an der Reihe....
Man hat euch in der Schule nur Scheisse beigebracht, umso umständlicher um so besser!
Sehr gute Auflösung und Erklärungen und wie immer mit dem schönen Lächeln weiter so 👍
Vielen Dank. Wie immer super erklärt 👍
Top erklärt, wie immer 👍
Wieder super (bes. "Sin-Ausdruck stehen lassen und quadrieren").
"m" hättest Du in der letzten Gleichung ruhig erwähnen dürfen, dann muss man sich nicht fragen, wo plötzlich das "m²" herkommt.
Eine tolle Aufgabe 👍✨️
Super erklärt.
Ich hoffe mal du lehrst - oder hast beruflich gelehrt. Es braucht fähige Lehrer wie dich.
Sie lehrt.
Seit Jahren über TH-cam,
eine ganze Generation Matheschüler, die durch sie dem Thema näher kommen, und die Generation davor ( wie mich ), die längst Verschüttetes Wissen wieder auffrischt.
Eine gute Antwort. Bleibt zu hoffen das die Beamtete Seite mit solchen Leuten besetzt wird.@@xonigin
Menschen wie Susanne in der Schule als Lehrerin *träum.
Schön und gut dass du hier bist und tust was du tust. Weiter so und danke
Nein offensichtlich braucht es die nicht. Aufgrund von Lehrermangel darf ja jetzt quasi jeder "Lehrer" werden. Leider. Susanne ist hier eine absolute Seltenheit, es gibt wenige die so cool drauf sind und wo Mathe auch mal Spaß machen kann. Sie macht das wirklich großartig.
Öhm. Du hast den Kern der Aussage wohl nicht ganz verstanden. Fähig. Und beauftragt. (Deswegen die Ergänzung : Beamten)
Und jetzt wo ich deinen Kommentar vollständig gelesen habe, verstehe ich ihn um so weniger denn der Rest widerspricht deiner Einleitung. Aber Gut das wir am Ende doch das selbe Bild haben.
@@Loewenherz6183
Ein gutes Video mach weiter so 👍
Ich liebe deine Videos 😊
Ich liebe diese Videos :D
Danke für das coole Video! Ich hab mir das Dreieck inkl. Halbkreis aufgezeichnet und den Radius durch die Zirkelprobe (Zeichnung gemacht). A=π*r^2/2=10,6185m2😊
Dein Wert ist etwas zu gross 8was aber auch an der genauigkeit liegen kann. mmimt dder du pi in die Berechnung einbezogen hast). Nimmmt man pi auf 11 Stellen genau und setzt fuer sin(60°) 1/2*sqrt(3), komt man fuer die Flaeche mit (27/8)*pi auf ca. 10.6028752056975 (pi auf 11 Stellen genau ist 3.14159265354).
Gemäß Pythagoras kommst Du auf r² = (6/2)²-(6/4)² = 9 - 2,25 = 6,75. (Kleines Dreieck Halbe Oberkante, Radius zum Berührpunkt)
Dann kannst Du r² einsetzen und direkt π * 6,75/2 rechnen.
Danke für diese schicke Aufgabe!
Ich habe im Kopf „gesehen“, dass der Durchmesser des Innenhalbkreises gleich der Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist, damit den Pythagoras zu 6^2-3^2=27 und den Durchmesser des Halbkreises zu Wurzel aus 27 berechnet und den Radius zu dessen Hälfte. Nun hinein in die Flächenformel des Halbkreises, ((sqrt 27/2)^2/2) * pi = (27/8) * pi. Eigentlich fertig in ca. dreißig Sekunden, Taschenrechner sagt 10,6028752. - Der eigentliche Clou dafür wäre, zu beweisen, dass der Durchmesser des einbeschriebenen Halbkreises gleich der Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist. Und damit quäle ich mich morgen. Früher habe ich auch nix bewiesen bekommen… Danke für das tolle Video!
Es geht auch ohne Trigonometrie.Wir können die "Höhe" des Dreiecks berechnen, welche sqrt(27) ist ( einfach sqrt(6²-3²)). Wir können die rechte Seite am Berührpunkt in die Länge "a" und "b" unterteilen, a+b = 6
"a" ist dabei das kleinere Stück, also vom Berührpunkt zur oberen rechten Ecke und "b" das längere Stück zum unteren Punkt.
Jetzt haben wir 2 rechtwinklige Dreiecke und bekommen diese 2 Formeln dank der Höhe:
27 = b² + r²
9 = a² + r²
Wir ziehen die zweite von der ersten ab und bekommen
27-9 = b² - a² oder 18 = b²-a²
Wir können a durch "6-b" ersetzen und erhalten 18 = b² - (6-b)² ==> 18 = -36 +12b ==> 54 = 12b ==> b = 4.5
Dadurch haben wir auch a = 1.5 denn a+b=6
Jetzt einfach nochmal pythagoras 9 = 1.5² + r² ==> r² = 6.75
Die gesuchte Fläche war ja A = 0.5 * r² * PI ==> 3.375*PI ==> ~10.6
Also kann man alles im Kopf rechnen, selbst die Annäherung am Ende, wobei 3.375 * 3.14159 schon eine nervige Rechnung ist, aber machbar
3*PI = ~9.42477
0.3*PI = ~0.942477
0.07*PI = ~0.2199113
0.005*PI = ~0.01570795
9.42477
+0.942477
+0.2199113
+0.01570795
-------------------
10.60186625
Sehr sehr schön.
Toll gelöst.
LG Gerald
Gut so. Aber mit der Formel verkürzt du das ganze enorm. (1/4)*✓3*Seite a.
Dann hast Du Radius.
Damit hat Susanne erreicht, was Lehrer wollen. Die Schüler sollen Erkenntnisse gewinnen: Einige Sätze muss man hinnehmen, einige Sätze gehen aus anderen hervor. Du bekommst schon in diesem Stadium eine kleine Idee vom axiomatischen Aufbau der Mathematik.
Gut gemacht. Schöner Aufbau. 🎉
👍!
Das war auch mein Weg!
Yay, hatte es richtig. Bin aber umständlicher vorgegangen. Hab erst mit dem Sinussatz die Außenseite des Dreiecks bestimmt a=sin 30 * 3/ sin 90 =1,5 und dann über den Satz des Pythagoras r berechnet.
Ein Genuss!
Ich hatte das Dreieck in 2 gleichschenklige Dreiecke geteilt, weil danach a² + b² = c²;
da a² = 9 und c² = 36 m² -> b² = 25; b = 5m; hatte damit zumindes alle Seiten und Winkel (90°+ 60°+ 30°=180°) der beiden rechtschenkligen Dreiecke.
Wobei mir danach zwar sin, cos & tang einfiel, aber nicht mehr die weitere Regel im Detail mit Kathete, Gegenkathete; was wie anzuwenden war.
Am Ende blieb mir nur die Halbkreisfläche auf ca. 10 m² zu schätzen.
- Aber vielen Dank für den Unterricht
Nice! cos(φ) = √3/2 = r/3 → red area = 27π/8
Immer wieder cool, wenn man sich die Aufgabenstellung anschaut, eine Lösung errechnet und dann zum Ende des Videos scrollt, um zu sehen, ob man das korrekte Ergebnis hat, nur um dann festzustellen:
10,6 stimmt, aber warum steht da sin60°? 😂
Einfach toll, dass man sowas auf x verschiedene Arten lösen kann. Ich hab einfach zwei mal den Pythagoras bemüht, um auf den Radius zu kommen. ✌️
Mehr Geometrie-Zeugs, bitte, Susanne! Die „Vereinfache diese Potenzrechnung soweit wie möglich“, oder alles, wo „Logarithmus“ dran steht, macht deutlich weniger Spaß. 😁
Hier eine weitere Geometrieaufgabe, wenn du Lust und Laune hast.
Gerade frisch für dich gemacht.
Link zur aktuellen Aufgabe: th-cam.com/video/cHpOHc9yxgA/w-d-xo.html
LG Gerald
Sehr schön! Süß - sogar! Danke!
Schönes Rätsel 😊
geo- und trigonomische Aufgaben finde ich am Interessantesten! 👍
Hallo! Eine schöne Aufgabe. Das "Dreieckchen" ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 3. r ist dessen Höhe. Also r=3•sqr (3)/2.
Keine Wurzel ziehen. Wir brauchen ja r² und nicht r, da A=pi*r²/2 Bei mir kam pi*27/8 m²(≈10,6 m²) raus.
Genau eine der Lösungen aus den Dreiecksätzen. Konkret a,b,c gleich lang, ist gleichseitig.
Formel zum Halbkreis im *gleichseitigen Dreieck*
Lösungsweg h Dreieck = r Kreis.
*Folgende Formel*
(1/4)*✓3*a
*Next*
Kreisfläche= 2 r²*π
*Last*
Ergebnis 1/2 (halbieren)
a = 6m
*Ergebnis* ~ 10,6
Die Sätze zum Dreieck sind Essenzen der Geometrie.
Nachtrag: überarbeitet zur besseren Darstellung
Habe es genauso gemacht
Sehr nett!
Ich mag solche Aufgaben . Ich habe den gleichen Lösungsweg gewählt . Man könnte statt sin ( 60° ) = r / 3 auch den cos (30°) = r /3
berechnen , was aber keine neue tiefgreifende Erkenntnis ist . Wie gesagt hat Spass gemacht .
Danke. Ja, als ich rechtwinkliges Dreieck gesehen habe ich gewusst: Jetzt kommt Tan, Sin oder Cos zum Rechnen. 🤔 Uff, ein wenig kenn ich mich schon aus, habe ich gemerkt. 😂
Die GaGa HühnerHaus AG habe ich vermisst. 🙂
Winkelfunktionen sind nicht zwingend erforderlich.
Ich habe eine andere Lösungsform gewählt.
A=27*π/8
Ganz ohne Taschenrechner geht es also auch.
Du bist nicht nur klug, sondern auch noch hübsch! Habe mir schon viele Aufgaben angesehen und gerechnet! Sehr schön deine Vorgehensweise!👍Liebe Grüße Wolfgang
Super Video. Danke dir vielmals. Ich hatte immer eine Eselsbrücke:
sin cos tan cot
G A G A
H H A G
Die GAGA Hummel-Hummel-AG
Ich habe die Inkreisformel der Raute benutzt, die sich ergibt, wenn wir die am Durchmesser gespiegelte Figur ergänzen. Ergibt den Radius und damit die Fläche des Ganzkreises, muss man nur noch halbieren.
Using Cos 30 as half Sq.rt of 3, it resolves to Pi * 27/8.
Geht auch mit kongruenten Dreiecken. Halbiere das große dreieck in ein rechtwinkliges und ermittle die Kathete (sqrt27). Daraufhin ein kleines Dreieck konstruieren, welches eine Kathete mit der Länge des Halbkreisradius besitzt und mit Hypotenuse gleich 3 zeigt, dass das Seitenverhältnis zwischen dem großen und kleinen gleich 1/2 ist. Daraus folgt dass der Radius gleich (sqrt27)/2 ist und daraus folgt dass die Fläche gleich 27*pi/8 = 10.6.
Sehr schön. Bin auch auf die Lösung A=27*π/8 gekommen.
LG Gerald
Sehe ich auch als einfachste Lösung. Nach dem Kongruenzsatz ist der Radius die halbe Höhe der Dreieckshöhe also 1/2*(a/2*Wurzel3) und schon hat man das Ergebnis.
Lösung:
Das Dreieck ist gleichseitig und in jeder Ecke sind 60°. Vom Mittelpunkt des Halbkreisbogens zum Berührpunkt ist der Radius des Halbkreises, der ein rechtwinkliges Dreieck bildet mit den Winkeln 90°, 60° und dann bleibt noch übrig 30°. Das ist das berühmte rechtwinklige Dreieck, dessen kurze Kathete halb so lang ist wie die Hypotenuse, die in diesem Fall die halbe Dreieckseite ist. Somit kann ich mit dem Pythagoras den Radius r des Halbkreises berechnen:
r²+(6/4)² = (6/2)² ⟹
r²+(3/2)² = 3² |-(3/2)² ⟹
r² = 9-9/4 = 27/4 ⟹
Fläche des roten Halbkreises = π*r²/2 = π*27/8 ≈ 10,6029
genau meine Vorgehensweise!
Toll erklärt, an sich ist diese so schwierig aussehende Aufgabe ganz leicht
Es ist zum verzweifeln ! Zum Glück aber gibt es Susanne.
I solved it completely different
x=distance between the angle on the right and the point where the radius and the tangent has an angle of 90°
H=height of the triangle
r=radius
3²+H²=6² --> H²=6²-3² --> H²=27=3*sqrt(3)
Draw a line from the circle's centre to the lowest point of the triangle
The right part of the triangle is divided by the radius
Use the Pythagorean theorem for the upper part, also for the other part
x²+r²=3² --> r²=9-x²
(6-x)²+r²=3*sqrt(3) --> 36-12x+x²+r²=3*sqrt(3) --> r²=27-36+12x-x² --> r²=12x-x²-9
r²=9-x² and r²=12x-x²-9 --> 9-x²=12x-x²-9 --> x=18/12=3/2
x²+r²=3² --> r²=9-x² --> r²=27/4
area of the semi-circle=pi*r²/2=pi*27/8=10.60
Excellent! 👍🙂
Die Höhe des Dreiecks ist h = sqrt(27). Der kleine Dreieck (mit r) ist ähnlich der Hälfte des großen. Also r/h = 3/6. Darüber hinaus r = sqrt(27)/2. Die Fläche dann 0,5 pi*r^2
Ich habe mir das Dreieck in 4 kleinere mit den Seitenlängen 3 zerlegt. Der Radius ist dann die Höhe eines der Dreiecke. Und da landet man viel verdaulicher beim Pythagoras. 3^2 = r^2 + 1,5^2 :)
👍
🙏👍
Erst Mall hä und dann oh irgendwann mal im Mathe Unterricht gehabt
Cool
Ich habs mit Pythagoras gelöst. Hypotenuse ist 3, die kürzere Kathete halb so lang wegen 30/60/90 Dreieck und der Radius die längere Kathete, also quadriert 6.75.
6.75 * pi durch 2 ergibt 10.6.
Pythagoras: r^2 + 1,5^2 = 3^2
r^2 = 6,75
0,5*pi*r^2 = 10,6
Hallo @MathemaTrick, ist es möglich herauszufinden wie die Lönge und wie die Breite ist, wenn eine Diagonale bei einem Rechteck 49“ beträgt und die Länge in einem Verhältnis zur Höhe 32/9 beträgt?
Die Länge, Breite und Diagonale des Rechtecks bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Angenommen, die Länge und Breite wären 32" und 9"; damit ist das Seitenverhältnis erfüllt. In dem Fall wäre die Diagonale:
d = √((32")²+(9")²) ≈ 33,24"
Da die Diagonale aber tatsächlich 49" lang ist, muss das berechnete Rechteck gestreckt werden. Der Streckungsfaktor beträgt:
s = 49"÷√((32")²+(9")²) ≈ 1,47
Nun muss man nur noch die angenommene Länge und Breite ebenfalls mit diesem Faktor multiplizieren und erhält:
l = 32"×49"÷√((32")²+(9")²) ≈ 47,17"
b = 9"×49"÷√((32")²+(9")²) ≈ 13,27"
Hallo Susanne, guten Abend,
hier meine Lösung:
M sei der Mittelpunkt des Kreises.
Da alle Seiten des Dreiecks gleich lang sind,
sind alle Winkel im Dreieck gleich groß,
deshalb zwingend auch die Basiswinkel der Seite, auf der M liegt.
M ist deshalb nicht nur Mittelpunkt des Kreises,
sondern er halbiert auch die Basis-Seite.
Der Eckpunkt gegenüber der Basis-Seite sei C
A sei ein bliebiger weiterer Eckpunkt des Dreiecks.
T sei der Berührpunkt des Kreises mit der Dreieckseite AC
r sei der Radius des Kreises = Strecke MT
Strecke AT sei x
Strecke CT ist 6-x
h sei die Höhe des Dreiecks auf der Basis-Seite = Strecke MC
Unter diesen Rahmenbedingungen ist MAT ein rechtwinkliges Dreick
mit dem rechten Winkel bei T.
Strecke MA = 6/2 = 3 ist die Hypotenuse,
MT = r und AT = x sind die Katheten.
Somit gilt lt. Pythagoras
3^2 - r^2 = x^2 |
1) 9 - r^2 = x^2 |+r^2, -x^2
1.1) 9 - x^2 = r^2
Das Dreieck MTC ist ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck
mit dem Rechten Winkel bei T.
Strecke MC = h ist Hypotenuse,
MT = r und TC = 6-x sind die Katheten.
Somit gilt lt. Pythagoras
r^2 + (6-x)^2 = h^2 |
2) r^2 + 36 - 12x + x^2 = h^2
Das Dreieck MAC ist ebenfalls rechtwinklig,
mit dem rechten Winkel bei M
Strecke AC = 6 ist Hypotenuse,
MA = 6/2 = 3 und MC = h sind die katheten
Somit gilt lt. Pythagoras
6^2 - 3^2 = h^2 |
3) 36 - 9 = h^2 = 27
3) in 2)
3.1) r^2 + 36 - 12x +x^2 = 27
1.1) in 3.1)
3.2) 9 - x^2 + 36 -12x + x^2 = 27 |-27
3.3) 18 - 12x = 0 |:6
3.4) 3 - 2x = 0 |+2x
3.5) 3 = 2x |:2 und Seiten tauschen
3.6) x = 3/2 = 1,5
3.6) in 1.1)
3.7) 9 - (3/2)^2 = r^2 |
3.8) 9 - 9/4 = r^2 |
3.9) 36/4 - 9/4 = r^2 |Seiten tauschen und zusammenfassen.
3.10) r^2 =27/4
gesucht ist die Fläche des roten Halbkreises, also
pi/2 * r^2 = pi * 27/4 * 1/2 = 27/8 * pi
Hoffentlich habe ich mich jetzt nicht verrechnet.
Dir, Thomas und allen anderen hier ein schönes Wochenende.
LG auch an Thomas, Sabine und Roger aus dem Schwabenland.
So hab ich es auch gerechnet
1 Punkt Abzug, der Radius ist gleich r=3m*sin60°. Wenn man mit dimensionsbehafteten Zahlen rechnet, sollte man die Dimensionen auch immer mit in die Gleichung übernehmen, da man so schnell Fehler erkennt.
Braucht man den Taschenrechner? Mit sin60° = 0,5*sqrt(3) kommt man doch sogar zu einem exakten Wert.
Spontane Antwort: die Fläche ist kleiner als 4,5 mal Pi .... aber so ungenau wollen wir nichts sein.... sehr gute Aufgabe und sehr gut erklärt
Der Durchmesser des roten Halbkreises entspricht der Höhe des gleichseitigen Dreiecks. Durch die Konstruktion mit den angegebenen Maßen und Einsatz der Flächenformel bestätigt sich das Ergebnis von 6,56φ FE, oder 10,618 FE
das ist mein lieblingskanal❤️
sag mal, kann man dir auch eine aufgabe schreiben und du machst (wenn es genügend anspruchsvoll ist) ein video? 🙏
man kann auch ohne Winkelfunktionen rechnen, zumindest bei einen gleichschenkligen Dreieck (soweit ich weiß).
Zuerst mache ich mir ein rechtwinkliges Dreieck, in dem ich es halbiere (einen Schnitt oben durch die Mitte runter). Nun habe ich die Seite a = 3m und die Seite mit 6m wird zur Hypotenuse c (c=6m)
Nun errechne ich die neue Seite (die gleichzeitig auch die Höhe des ursprünglichen Dreiecks ist) b² = 6² * 3² = 27. Die Einheit lasse ich erst einmal weg, würde sie Normal immer mit schreiben. Nun wie im Video erwähnt lassen wir es so stehen und stellen die Formel für A auf :
A= ((die Wurzel aus 27) : 2)² * π : 2 = 10,6028 - -> 10,6
Die Doppelklammer habe ich gesetzt, damit man nicht die Wurzel aus 27 : 2 im Taschenrechner stehen hat) . Nun kann man das auch mit der Einheit berechnen und kommt wieder auf m², somit ist die Lösung 10,6m². Testet es mal aus
Hallo, es wäre mal gut wenn jemand Erklären würde, wann mann tan, sin oder cos benutzt. Wir kommen da immer durchernander. Danke
Erst ein paar Begriffsbestimmungen:
- Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks Werden als Katheten und Hypotenuse bezeichnet.
- Die beiden Katheten schließen den rechten Winkel ein. Ihnen gegenüber liegt die Hypotenuse.
- Als Ankathete bezeichnet man die Kathete, die zur Hypotenuse den (gegebenen) Winkel α hat.
- die Gegenkathete ist die andere Kathete.
Jetzt die Definitionen:
sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse
cos(α) = Ankathete / Hypotenuse
tan(α) = Gegenkathete / Ankathete
D.h. wenn Du einmal „drin“ hast, was Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse sind, ist der Rest stures Formelwissen.
Imponieren tust du mich 😂😊
r^2 = 3^2-(3/2)^2 = 27/4,
S = π/2 x r^2 = π/2 x 27/4 = 27π/8 oder (3/2)^3 x π oder ca. 10,6
ohne cosinus...
Noch etwas einfacher geht es, wenn man nicht mit dem 60-Grad-Winkel, sondern mit dem 30-Grad-Winkel rechnet, da der Sinus dann 0.5 ist.
Die kurze Seite ist dann 0.5 lang . Also ist nach Pythagoras 3² = (1,5)² + r². Nach r aufgelöst: r = Wurzel aus (9 -2,25) = ( Wurzel aus 6,75)
Der Halbkreis ist somit ( Wurzel aus 6,75) * ( Wurzel aus 6,75) * PI / 2 = 6,75 * PI / 2 = 10,60
5:00 Man kann das Ergebnis auch schöner, ohne Winkelfunktionen und Wurzeln, darstellen, da
sin(60°) = sqrt(3)/2 ist,
und damit
r = 3 * sqrt(3)/2
und
A
= 1/2 * pi * r^2
= 1/2 * pi * 9 * 3/4
= 27/8 * pi
= 10,6 (gerundet).
Hey, eine Geometrieaufgabe. Supi. Lösung: A=27*π/8 FE
Es liegt ein gleichseitiges Dreieck vor, also alle Winkel 60 Grad.
Nach einzeichnen der Radien erhält man ein halbes gleichseitiges Dreieck.
Hypotenuse = 3 und die kurze Kathete = 1,5
Radius r kann ich mir mit dem Pythagoras ausrechnen.
r²=3²-1,5²
r²=9-2,25
r²=6,75
Jetzt der Halbkreis A=r²*π/2
A=6,75*π/2 /erweitern mit 2
A=13,5*π/4 /erweitern mit 2
A=27*π/8 (diese Darstellung gefällt mir)
A=10,6028752...FE (wer es genau wissen möchte)
LG Gerald
Den Radius r hätte man auch mit der Höhenformel eines gleichseitigen Dreiecks berechnen können. Weil h=r
h=a*√3/2 mit a=3 und h=r
r=3*√3/2 /²
r²=9*3/4
r²=27/4
Jetzt der Halbkreis A=r²*π/2
A=27/4 * π/2
A=27*π/8
A=10,6028752...FE
LG Gerald
Wieso rechnest du nicht mit der gegebenen Einheit? Also m. Und Einheiten immer mitschleppen! Dann gibt sich automatisch m² und nicht FE!
@@walter_kunz Ich bin das vom Känguru Wettbewerb gewöhnt. Da geht es auch nur um das Ergebnis bzw. um das Rechnen (den Rechenweg). Und Einheiten sind bei so einfachen Beispielen eh klar bzw. nicht so interessant.
Und die Faulheit des Mathematikers kommt einfach durch.
Physik bzw. Chemie Aufgaben sind da schon gefährlicher oder Mechanik bzw. Elektrotechnik Aufgaben.
LG Gerald
@@GetMatheFit Wenn man es als Kind nicht lernt, dann lernt man es nie! Einer meiner Lehrer im Gymnasium (Biologie damals 1. Klasse) hat nach einer Antwort, wo man nur eine Zahl ohne Einheit geantwortet hat, gefragt: "Was Zwetschkenknödel?"
@@walter_kunz Als Naturwissenschaftler kann ich deinen Kommentar nachvollziehen. Leider scheinen sowohl Mathematiker*innen als auch Mediziner*innen es mit Einheiten nicht so zu haben. Auf dem Kanal von PreMath, so schön die Aufgaben dort auch sind, kommt es gelegentlich sogar vor, dass bestimmte Größen mit und andere ohne Einheiten angegeben werden, was natürlich totaler Murks ist. Vermutlich wäre es einfacher, bei diesen Aufgaben, wo es ja wirklich nur um das Mathematische geht, die Einheiten einfach wegzulassen.
Ich habe in einem weiteren Kommentar im Hauptstrang einen zusätzliches Lösungsweg beschrieben, bei dem ich die Kreisgleichung verwendet habe. Unter anderem dir zuliebe habe ich diesmal konsequent mit Einheiten gerechnet.
PS: Bei uns waren es keine Zwetschkenknödel, sondern Ostereier.🙂
Hey Susanne, kennst du eigentlich die Ente GAGA, die zur Hamburg AG watschelt?
sin - cos - tan - cot
G - A - G - A
H - H - A - G
sin (x) = G(egenkathete)/ H(ypothenuse)
tan (x) = G(egenkathete)/ A(nkathete) ... usw.
Diese Eselsbrücke war bei mir oft am Rand wiederzufinden.
Grüße!
p.s. Eine spannende Variation der Aufgabe wäre das Errechnen der grauen Fläche gewesen. Kannst ja die Aufgabe in 2 Monaten noch mal rauskramen und nach den grauen Flächen fragen. ;o)
Da es ein gleich Schenkliges Dreieck ist, geht es auch so
r=(wurzel(6^2-3^3))/2
Trotzdem sehr gut erklärt top
Wenn es nur ein gleichschenkliges, aber kein gleichseitiges Dreieck wäre, dann müsste man in der Rechnung noch die dritte ungleiche Seite berücksichtigen.
Wenn die beiden gleichen Schenkel "a" wären und die ungleiche obere Seite "b" ...
Dann wäre die Formel
r = Wurzel( a² - (b/2)² ) / ( b/(a*2) ).
Beim gleichseitigen Dreieck kürzen sich natürlich "rechts" b/a = 1 weg, und die Wurzel muss nur durch die 2 geteilt werden.
Interessant wäre noch, wenn man es für ein beliebiges Dreieck berechnet.
Dann wäre der Halbkreis "unsymmetrisch" eingefügt.
Die Tang-Ente wollte irgendwann nicht mehr immer nur Tang, deshalb versuchte sie auch mal eine Si-Nuß und eine Cosi-Nuß und dachte sich: "Hmmm, auch lecker 😋, zur Abwechslung!"😉😊
Eine Frage:
Wenn in der Prüfung gefragt wird "Kannst du die rote Fläche berechnen" und man als Antwort gibt "Nein" und man es wirklich nicht kann, hat man dann technisch gesehen die richtige Antwort gegeben und bekommt volle Punktzahl?
Schöwäja. XD
Schönes Video. Allerdings eine Anmerkung: Bitte auch bei den einzelnen Rechenschritten immer die Einheiten mitnehmen, nicht erst am Ende wieder die Einheit dazu schreiben. Jeder kann sich mal vertun - und der Einheitencheck ist eine wichtige Probe, bei der ein Teil möglicher Fehler zu Tage tritt. Ich hatte es tatsächlich mehrfach, dass Studenten in einer Klausur die Einheiten während der Berechnungen weggelassen hatten und dadurch einen wesentlichen Fehler übersahen - mit den Einheiten wäre ihnen aufgefallen, dass ein Ergebnis in €² nicht wirklich sinnvoll sein kann...
Ja, es gibt tatsächlich noch einen anderen Weg. Die trigonometrischen Funktionen kann man wieder rausschmeißen.
Das Dreieck hat eine Länge der langen Seite c (wird Hypotenuse genannt) von 3m. Die zweite Seite hat die Länge r, und die dritte können wir mit a bezeichnen.
c = 3m
Und die Winkel? Nicht nur 60 Grad, sondern auch 30 Grad. Und da ist der Sinus bekannt.
sin 30 Grad = 1/2
Eingesetzt:
a = sin 30 * c = 1/2 c
Nun erst mal etwas anderes:
Die gesuchte Fläche A ist
A = Pi * r^2 / 2
Nach Satz des Pythagoras gilt (c war die Hypotenuse, a und r die Katheten, also die kurzen Seiten des rechtwinkligen Dreiecks)
c^2 = r^2 + a^2
r^2 = c^2 - a^2 = c^2 - 1/4 c^2 = 3/4 c^2
A = Pi * 3/8 * c^2
A = 10,6028752059 m^2
(und glücklicherweise habe ich das selbe Ergebnis, was die Wahrscheinlichkeit stark reduziert, dass ich Blödsinn erzählt habe 🙂)
Puh, was ich nicht alles vergessen habe. Nicht zu fassen... 🤔🙄🥴
Wenn man das gleichseitige Dreieck horizontal spiegelt entsteht eine Raute und man sieht, dass der Durchmesser die Höhe der Raute und des Dreiecks ist. . . . 6² - 3² = 27 die Wurzel ziehen = 5,196² x 3,14 : 4 = 21,2 : 2 (Halbkreis) = 10,6
Hurra, ich war mit meinem Weg nicht allein. Genau so
Vielen Dank für dir Videos. Für mich ist es als Rentnerin Gehirnjogging😅 Sabine
Ich haette sin(60°) noch mit sqrt(3)/2 ersetzt (kann man wahlweise irgendwo nachschlagen oder anhand eines gleichseitigen Dreiecks mit eingezeichneter Hoehe schnell berechnen mittels Pythagoras) Damit erhaelt an das Ergebnis moeglicherweise noch etwas genauer ... A=1/2*pi*(3*sqrt(3)/2)^2=27/8*pi, obwohl bis zur ersten Dezimalstelle gibt es noch keinen Unterschied. Nimmt man pi auf 11 Nachkkomastellen genau, erhaelt man fuer die Flaeche den Wert:
a=27/8*3.14159265354=10.6028752056975. Dieser Wert enthaelt *keinen* Rundungsfehler fuer den sin (den wir bei Berechnung mit dem Taschenrechner mit hineinbekommen haetten), der einzige Rundungsfehler liegt bei dem Ergebnis in dem gerundeten Wert von pi und ist daher kleiner als 1.6875*10^ -11 (da ich fuer pi einen auf 11 Stellen genauen Wert verwendet habe, liegt der Fehler beim Wert von pi kleiner alls 1/2*10^-11, der Gesamtfehler liegt also kleiner als 27/16*10^-11). Ich haette allerdings dazu geneigt, den Ausdruck (27/8)*pi stehhen zu lassen statt ihn auszurechnen.
Die guten alten Formelbücher der 70er
Halbkreis im gleichseitigen Dreieck. Zum Radius = (1/4)*✓3 * Seite a
0,25*✓3 * 6 = gerundet 2,6
Jetzt noch Kreisfläche berechnen halbieren. Erledigt. Nix gewusst, aber gelöst. Ergebis 10,61 m2
Die alten Griechen.
😅😅😅😅😅
Liebe Grüße. Formelbücher.
Wieder mal ein sehr gutes Video, aber kann es sein, dass bei der Skizze etwas nicht stimmt? 😉
Skizze stimmen immer! Sind ja ja keine maßstabsgerechten Zeichnungen.
Ich fand die Aufgabe ziemlich einfach und habe pi*27/8 m²≈10,6 m² rausbekommen. Trigonometrie habe ich nicht angewendet, sondern mit Pythagoras gerechnet (man kann ja das 90°-Dreieck zu einem gleichseitigen Dreieck spiegeln), aber das ist ja egal.
Erster Gedanke Dreieck halbieren und mit Pythagoras die dritte Seite finden, wie es dann weitergeht ist mir aber unklar weil der Radius des Kreises schlecht die Hälfte sein kann 1:53, Aha Winkelfunktion 5:58
Es ändert zwar nichts am Ergebnis, aber wieso nimmst du für (sin60)² nicht 0,75 und löst es ein wenig mehr auf?
Meine Lösung wäre 3,375π, ohne Rundung.
Geht das nicht viel einfacher mit Pythagoras. Radius = wurzel aus (3quadrat-1,5quadrat)
Hallo! Keine Winkelfunktionen braucht man zur Lösung dieser Aufgabe. Ich nenne die Seiten des Dreiecks mal "a" nenne, und zeichne die Höhe "h" von oben nach unten ein, die das Dreieck in zwei gespiegelte rechtwinklige Dreiecke teilt. "h" errechnet sich leicht aus "a" und "a/2" mit dem Satz des Pythagoras. Um die Fläche des Halbkreises zu bestimmen brauche ich den Radius "r". Der Radius "r" ist auch die Höhe der erhaltenen rechtwinkligen Dreiecke auf deren Hypothenuse (die die Länge "a" hat) als Basis. Weshalb ist "r" die Höhe? Weil diese schrägen Seiten mit der Länge "a" ja die Tangenten des Halbkreises sind.
Mit ein bisschen geometrischer Algebra (Dreiecksfläche = Dreiecksfläche, und nach "r" umgestellt) ergibt sich:
r = h/2
Die Fläche des Halbkreises ist:
F = r² * Pi / 2
Mit h ...
F = h² * Pi / 8
h² errechnet sich durch Pythagoras:
h² = a² - (a/2)² = 3/4 * a²
Also ist...
F = 3/4 * a² * Pi/8
F = 3/32 * Pi *a²
Eingesetzt a = 6 ergibt sich...
F = 10,608 als Fläche des Halbkreises.
⚠️PS: Aber @hanspeterfaessli2776
hat das hier auch ohne Winkelfunktionen in einer *genial einfachen* 1-Schritt-Lösung geschafft. 😀
da sin(60°)=(√3)/2 ist, hätte man das Ergebnis noch bis auf (27/8)π vereinfachen und dann erst nach ~10,6 ausrechnen können
Für alle, die sich, so wie ich damals, nicht merken können, wie die Korrelation zw. sin, cos, Ankathete und Gegenkathete aussieht: das "A" von Ankathete kommt in alphabetischer Reihenfolge vor dem "G" von Gegenkathete, ebenso kommt das "c" von cos im Alphabet vor dem "s" von sin vor, also lautet der Zshg: cos=Ak/Hy bzw. sin=Gk/Hy. Und ist der tan=sin/cos oder gilt tan=cos/sin? Nun der "co"t="co"s/sin, also muß der tan=sin/cos richtig sein…
So habe ich mir das gemerkt. Muß man selbstmurmelnd nicht machen.
Unsere Eselsbrücke war die "GAGA Hühnerhof AG" ;-):
G A G A
--- --- --- ---
H H A G
= = = =
sin cos tan cot
Eigentlich so einfach! 😅
Ohne das Video gesehen zu haben: Ich mache aus dem gleichseitigem Dreieck mal ein gleichmäßiges Hexagon. Der Außenkreis dieses Hexagons ist somit 6m und der Innenradius (gleich der Durchmesser des Kreises der gesuchten Fläche - ein Umstand, den man sich merken kann) Wurzel(3)*6m/2 also etwa 0,866*6m. Da dieser Wert für die Flächenformel des Kreises zum Quardrat benötigt wird, wird daraus 3*36m²/4=3*9m²=27m². Von dem Kreis braucht man nur die halbe Fläche also folgt die Flächenformel 27m²*PI/(2*4) und das wären in etwa 10,6m². Ich denke, wer das schon mal gesehen hat und somit auf Anhieb weiß, wie groß der Durchmesser des gesuchten Kreises ist, macht es in Zukunft nur noch so.
Und jetzt bin ich gespannt, wie Susanne das macht (Okay... Susanne kannte das wohl nicht).
So richtig komme ich nicht dahinter, was Du da tust?
@@tanjahartmann2670 Über das Hexagon (gleichmäßiges 6-Eck) kommt man drauf, dass besagter Innenradius einerseits die Höhe des gegebenen Dreiecks ist und andererseits der Durchmesser des Kreises, dessen Fläche gesucht wird, weil sich mit dieser Strecke ein weiteres um 60° gedrehtes Hexagon auf dem Innenkreis konstruieren lässt, dessen Kanten stets durch die Berührungspunkte des Halbkreisbogens mit den Seiten des Dreieks gehen.
Okay, die Beschreibung ist schwierig und mit Erklärungen hab' ich es eh nicht so. Bllt. können wir Susanne ja dazu überreden, ein Video zu dieser Konstruktion zu machen (sofern sie es verstanden hat).
Am wichtigsten jedenfalls ist, dass man so auf die Beziehung Außenkreisradius zu Innenkreisradius von 6-Ecken kommt, die ri=wurzel(3)*ra/2 lautet. Deswegen klappt das auch, wie in einigen Beiträgen hier zu lesen, mit der Unterteilung in 4 einzelne Dreiecke mit halber Seitenlänge, aber das ist mMn weniger intuitiv.
immer diese Taschenrechner-Abkürzungen am Ende 😞
sin(60°) = ½ · √3, damit ist A = ½ · π · (½ · √3 · 3 )² = ½ · π · ¼ · 3 · 9 = 27/8 · π
Und *das* wäre zu meiner Schulzeit die einzig korrekte Angabe gewesen, da *nicht* "ungefähr" oder "gerundet" in der Aufgabenstellung stand. Und zudem ohne Taschenrechner lösbar..
Hier ging es doch darum, den Weg zu finden (=Geometrie) und nicht darum, Algebra bis zum Erbrechen zu zelebrieren.
System nicht verstanden... 🤷🏻♂️
Schade, wieso wurde das nicht zu 27/8 * Pi vereinfacht??? Sin(60) ist ein zu wissender Standardwert von 1/2* sqrt(3), was sich beim Quadrieren auch noch völlig in Luft auflöst...
ich hätte noch für sin 60° = (wurzel 3)/2 eingesetzt.
Ich habe es mit GeoGebra gemacht bin auf einen Kreis Radius von 2.6 gekommen. Geht sogar am Handy GeoGebra.
Eleganter wäre gewesen über Pythagoras auf 3,375 pi zu kommen, was ganz gut auch im Kopf zu bewerkstelligen ist.
(Die verkorkste Zeichnung ist dabei ganz schön irritierend.)
Ich mag Mathematik, und erst recht Geometrie, sehr! Aber als ich die Aufgabenstellung sah, fragte ich mich spontan, wozu die Lösung der Aufgabe eigentlich gut sein soll? Ja, es gibt sog. Optimierungsaufgaben (vorwiegend mit Hilfe Diff.- und Integralrechnung), und vielleicht auch Tischler im praktischen Leben, die hier so etwas aussägen müssen.
Aber wozu - zum Teufel - soll das hier gut zu gebrauchen sein?
Also in der Praxis. Ich kann mir nicht mal NASA-Ingenieure in der Weltraumtechnik vorstellen, die wissen wollen, wie groß dieser Flächeninhalt ist. Es ist also eine Nonsens-Berechnung.
Da finde ich ja sogar das Finden der "Einsteinkachel" vor kurzem besser. Das hat 1. die Geometrie (und das Verständnis dafür) ein wenig revolutioniert und 2. kann der Fliesenleger immer sagen, dieses Muster findet ihr bei all den tausenden Fliesen, die ich verlegte, nie wieder ein zweites Mal.
Hier gab es eine verpasste Chance: wenn man weiß, dass sin(60°) = sqrt(3)/2 ist, dann vereinfacht sich der Schluss zu A=27/8 * pi, das ist viel schöner als die 10,6 aus dem Taschenrechner.
(Das exakte Ergebnis lautet (27/8)*pi 😅
Der Radius entspricht der Höhe des halbierten Dreiecks. die Fläche des großen Dreiecks ins Verhältnis zum halbierten Dreieck ergibt 0,5 * g * h = g * r mit h als Höhe des großen Dreiecks. Umgestellt nach r ergibt das r= 0,5 * h
Die Fläche des Halbkreises ist A = r² * π * 0,5
umgestellt auf h ergibt das A = (0,5 * h) ² * π * 0,5
h lässt sich durch Satz des Pythagoras als √ [g² - (0,5*g)²] darstellen das durch einsetzen in die formel ergibt das als Gleichung
A = ( 0,5 * √ [g² - (0,5*g)²] )² * π * 0,5 =
A = ( 0,5 * √ [6² - (0,5*6)²] )² * π * 0,5 =
A = ( 0,5 * √ [36 -9] )² * π * 0,5 =
A = ( 0,5 * √27 )² * π * 0,5 =
A = ( 0,5 * 5,2 )² * π * 0,5 =
A = 6,76 * π * 0,5 = 10,6
Du willst ja die Fläche haben - Pi * r^2 (*1/2) . Da geht es auch ohne Wurzel ;-)
Der Ursprung des Koordiantensystems sei der Mittelpunkt des Halbkreises und die obere Dreiecksseite liege auf der x-Achse.
Kreisgleichung:
x² + y² = r²
Gerade von der unteren zur rechten Ecke des Dreiecks:
y = √3x − 3√3m = √3(x − 3m)
Da die Gerade eine Tangente an den Kreis ist, darf das Einsetzen der Geradengleichung in die Kreisgleichung nur eine Lösung für x ergeben:
x² + 3(x − 3m)² = r²
x² + 3(x² − (6m)x + 9m²) − r² = 0
x² + 3x² − (18m)x + 27m² − r² = 0
4x² − (18m)x + (27m² − r²) = 0
x = [(18m) ± √((18m)² − 4*4(27m² − r²))] / (2*4)
Damit es exakt eine Lösung für x gibt, muss die Diskriminante 0 ergeben:
(18m)² − 4*4(27m² − r²) = 0
324m² − 16(27m² − r²) = 0
324m² = 16(27m² − r²)
(81/4)m² = 27m² − r²
r² = (27 − 81/4)m²
r² = (108/4 − 81/4)m²
r² = (27/4)m²
A = πr²/2 = (27π/8)m²
Da fehlt der Beweis, das die Verbindung vom Mittelpunkt des Halbkreises zum Berührpunkt in einem rechten Winkel endet.
Super erklärt, sogar immer die dazugesagt, aber leider nicht dazugeschrieben. Also das nächste Mal auch die Einheiten immer dazuschreiben (und nicht nur dazusagen), dann ist es perfekt! 👍
Könnte ich vielleicht berechnen, wenn ich wollen würde.... ich will aber nicht 😅