2. Lösungsvorschlag: Die Hypotenuse nach dem Satz von Phytagoras: 15²+30²= c² 225+900= c² c= √1125 c= 225*5 c= 15√5 m Rechts der Winkel von dem Dreieck, α tanα= 15/30 α= arctan(1/2) α= 26,565° Der andere Winkel, von dem kleinen Dreieck mit der roten Seite, β β= 180°-30°-26,565° β= 123,435° Wenn man von dem Punkt, wo der 90° Winkel ist (B) eine Gerade (Höhe) auf die Hypotenuse zieht, kann man diese Länge berechen, h Fläche= (15*30)/2= 15√5 *h/2 h= 30/√5 = 6√5 m Die Winkeln von diesem kleinen Dreieck: δ= 90° θ= 180°-123,435° θ= 56,565° η= 180-( δ+θ) η= 33,425° cos(η)= 6√5 /x x= 6√5 / cos(η) x= 6√5 / cos(33,425°) = 6√5 / 0,8346 x ≅ 16, 08 m ist die Antwort !
Viel einfacher: Spiegele das rechteinklige Dreieck nach unten und erhalte dadurch ein rotes gleichseitiges Dreieck mit Seiten x. Sei h die Höhe dieses roten Dreiecks. Wegen Strahlensatz gilt 30-h÷(x/2)=30/15=2 h=30-x Für h gilt auch nach Pythagoras: h=sqrt(x²-x²/4)=(sqrt(3)/2)*x Also: 30-x=(sqrt(3)/2)x x=60*(2-sqrt(3))≈16,08
Sehr elegante Lösung, Hut ab.👍 Man merkt, dass du den Kennerblick hast, nicht zuletzt wegen der Idee mit der Spiegelung der gesamten Konstruktion. Daher hoffe ich, du magst mir die Anmerkung eines kleines Fehlers nachsehen, der mich beim Nachvollziehen zunächst sehr irritiert hat: Es fehlt das Klammerpaar um 30−h bei der Gleichung, die sich aus der Anwendung des Strahlensatzes ergibt: (30−h)/(x/2) = 30/15 = 2 Jedenfalls bin ich heilfroh, das gleiche Endergebnis erzielt zu haben, wenn auch deutlich weniger stilvoll.
Sehr schön! 😍 *Auch über den Flächen-Sinussatz geht das:* Gesamte Fläche A = (1/2)·30·15 = 225 Obere linke Fläche A₁ = (1/2)·15·x·sin(60) Untere rechte Fläche A₂ = (1/2)·30·x·sin(30) Wenn man jetzt noch weiß, dass sin(30)=0.5 und sin(60)=sqrt(3)/2 ist, erhält man A = A₁ + A₂ 225 = (1/2)·15·x·sqrt(3)/2 + (1/2)·30·x·(1/2) 225 = (1/4)·15·x·sqrt(3) + (1/4)·30·x |·4 900 = 15·x·sqrt(3) + 30·x 900 = x·[15·sqrt(3) + 30] x = 900 / [15·sqrt(3) + 30] ≈ 16.0769...
@hcgreier Das ist, finde ich, eine sogar noch schönere Lösung als die von Susanne! Erstens, weil kürzer. Zweitens, erfordert es nicht die Kenntnisse des Sinussatzes. Und drittens bringt sie mit einem kurzen Ausdruck den exakten Wert von x hervor, ohne zwischendurch mit gerundeten Werten rechnen zu müssen. Wenn man den letzten Ausdruck durch Kürzen des Bruchs und anschließendes Rationalmachen des Nenners noch etwas aufhübschen möchte, erhielte man schließlich: x = 60·(2-√3) ≈ 16.0769
Schöner ja, schneller aber nicht. Auch das Argument " Man muss den Sinus Satz nicht kennen" ist schon übertrieben, wenn man dafür diesen Flächensatz kennen muss.
@@hans7831Das Argument ist ganz und garnicht übertrieben, nein. Die Flächenformel ist trivialer herzuleiten als die Winkelfunktionssätze. Auch auszurechnen ging das Ganze wesentlich schneller, da nur bekannte Sinuswerte erfordert wurden, die auch jeder auswendig kennen sollte (falls nicht, in Sekunden herleitbar). So könnte man die Aufgabe auch ganz entspannt mit bloßem Stift und Zettel bewältigen, ohne Hilfsmittel zu bemühen.
Hallo Susanne, guten Morgen, zunächst hoffe ich, dass Di gut in die neue Woche gekommen bist. Hier meine Lösungsidee: zunächst beschrifte ich das schwarze Dreieck wie folgt: Der gegebene rechte Winkel sei Gamma, der Eckpunkt an dem der rechte Winkel sich befindet sei C Die Hypotenuse sei c. Der Eckpunkt rechts sei A. Die Strecke AC sei b. Der Eckpunkt oben sei B. Die Strecke BC sei a Der Schnittpunkt der roten Linie mit der Hypotenuse sei D. Die gesuchte rote Strecke CD sei d. Die Strecke AD sei e. Die Strecke BD sei f. Der gegebene zusätzliche Winkel, der von den Seiten d und b eingeschlossen wird, sei Alpha1 Der Winkel bei A sei Alpha Der Winkel bei B sei Beta Der Winkel ADC sei Gamma1. Weil a - f jeweils Strecken repräsentieren, gilt: a, b, c, d, e, f €N\{0}, a...f ist größer Null Mit dieser Beschriftung ist gegeben: AC = b = 30m, BC = a = 15m, Gamma = 90° und Alpha1 = 30° Gesucht: Strecke CD = d ich lasse zunächst die Einheiten weg. Statt Quadratwurzel schreibe ich Wurzel. Bechnung der Hypothenuse c mit Pythagoras: a^2 + b^2 = c^2 15^2 + 30^2 = c^2 225 + 900 = c^2 1125 = c^2 |Wurzel ziehen Wurzel (1125) = +/- c. --> Da c eine Strecke repräsentiert ist nur die positive Lösung der Wurzel relevant. c = 15 * Wurzel(5) mit TR berechnet. (Alternative: Primfaktorenzerlegung und anschließend teilweise Wurzel ziehen, wobei nur die positive Lösung relevant ist. NR Primfaktorenzerlegung 1125 = 11 * 100 + 25 = 11 * 4 * 25 + 25 = 44 * 25 + 25 = 25 (44 + 1) = 25 * 45 = 25 * 5 * 9 = 5^2 * 3^2 * 5 Daraus teilweise die Wurzel ziehen: Wurzel (5^2 * 3^2 * 5) = 3*5 * Wurzel (5) = 15 * Wurzel (5) ) Jetzt mit Hilfe des Sinus den Winkel Beta berechnen. Sinus(Beta) = b/c = 30/(15 * Wurzel(5)) = 2/Wurzel(5) Beta = gerundet 63,43° ... Schade🙂 hatte gehofft, dass 60° raus kommt 🙂 Alpha = (180-90-Beta)° = gerundet 26,57° Damit lässt sich der Winkel ADC = Gamma1 bestimmen. Gamma1 = (180-30-Alpha) = 150-26,57)° = 123,43° Nach Sinus-Satz gilt: 30/sin(Gamma1) = d/sin(Alpha) |*sin(Alpha) (30 * sin(Alpha)) / sin(Gamma1) = d = gerundet 16,08 Die gesuchte Länge der roten Strecke d ist gerundet 16,08m Mal sehen, ob meine Lösung stimmt. LG aus dem Schwabenland.
Mein Vorschlag (hatte den Sinussatz gerade nicht mehr parat). Geradengleichungen für die Hypotenuse und die gesuchte Strecke erstellen. Schnittpunkt ermitteln (x-Wert oder y-Wert). Mit diesem Wert und dem Winkel (30°) bekommt man dann die Streckenlänge l. Hypotenuse: g(x) = -1/2*x + 15 gesuchte Strecke: h(x) = tan(30°)*x Schnittpunkt - x-Wert: xs = 15 / (tan30° + 1,2) = 13,923 gesuchte Länge l: l = xs / cos30° = 16,08
Durch die Konstruktion allein erhält man die Länge 16m. Das Ergebnis bestätigt sich über die Ermittlung von hc über den Strahlensatz (8m) und die rote Linie wird dadurch zur Hypothenuse, die man dann über den Cosinus berechnen kann: x= 8/cos 60°=16m
Würde man den Sinussatz nicht kennen, könnte man z.B. die beiden schräg verlaufenden Linien als lineare Funktionen behandeln. Man bezeichnet folgenden Punkt: s = Stelle des senkrechten Schnittpunkt-Lots auf der X-Achse Die große Linie geht bei y = 15 los und endet 30 Einheiten weiter rechts bei 0 , also: -0,5 s + 15 = y Die kleine Linie steigt mit 30 Grad, beginnend bei Null, also: Der Tangens ist die Anstiegs-Winkelfunktion. Allgemein im Koordinatensystem gilt: tan(alpha) = y/x ---> also: tan(alpha) * x = y --> also: tan(30) * s = y --> also: 0,577 * s = y Wenn man die beiden Funktionen gleichsetzt, fällt das Lot des Schnittpunkts bei s auf die x-Achse. -0,5 s + 15 = 0,577 s s = 15 / 1,077 s = 13,923 Die gesuchte Seite steigt mit 30 Grad an. Der Kosinus von 30 Grad entspricht dem Verhältnis s/x. s/x = cos(30) x/s = 1/cos(30) x = 1/cos(30) * s x = 1/0,866 * 13,923 x = 16,07 ------------------
Mittlerweile bin ich im Ruhestand. Habe so einige Stationen im Lehramt (Berufsschule = Metall, Elektro und Informatik) hinter mich gebracht. In unserem Betrieb mehr als 60 Auszubildende durch die Prüfung gelehrt. Als ich in die Ausbildung kam, so mit knapp 15, war ich noch weit weg von dem was ich einst mal werden sollte. Im Nachgang der Jahrzehnte blieb die Essenz, das alles doch lernbar sei, sofern man mag, nichts im Verborgegen bleibt und bereit ist sein Licht im Kopfe einzuschalten. Heute haben wir Internet, eine Fülle an Informationen. Hatten wir alles früher nicht. Ich habe noch in der technischen Mathematik mit dem Rechenschieber arbeiten gelernt. Heute kein Thema mehr, aber was ist wenn der Rechner streikt oder der Akku im Taschenrechner leer ist!? Daher habe ich meinen Sohn im Gebracuh eines Rechenschiebers unterrichtet, den er dann auch im Unterricht und Klausuren benutzen darf. Geht halt schneller als das tipsen... Ansonsten von Susanne wieder einmal ein tolles Video mit einfachen Anleitungen (denn darauf kommt es ja an), für die mathematsich eher unbedarften User. Das es mehrere Lösungen für das Problem gibt, wissen wir. Aber warum macht ihr dann keinen eigenen Kanal auf?
Erstmal alle Hochachtung! Ich habe ziemlichen Respekt vor Menschen wie Ihnen. Zur Zeit befinde ich mich in einer Umschulung zum Zerspanungsmechaniker und die Ausbilder sind bis auf wenige Ausnahmen unglaublich tolle Lehrer. Ich habe 25 Gesellenjahre als Dachdecker hinter mir und fange komplett neu an zu lernen. Ich schätze diesen Kanal mit Susanne und bin dankbar für jede weitere Hilfe die ich bekommen kann.
3. Lösungsvorschlag (sehr leicht): Die Fläche von einem Dreieck, die Multiplikation von beiden Seiten, sowie der Sinuswert des Winkels zwischen diesen Seiten und die Hälfte des gesamten Wertes. Die gesamte Fläche basiert auf diesen 2 kleinen Dreiecken, wo der eine Winkel α= 30° und der andere β=90-30 = 60° ist. Agesamt= (15*30)/2 = 225 m² A₁= (1/2)*15*x*sin(60°) A₂= (1/2)*x*30*sin(30°) 225= (1/2)*15*x*sin(60°) + (1/2)*x*30*sin(30°) 450= 12,99x+ 15x 450= 27,99x x= 16,077 m x ≅ 16,08 m
Hallo, ich habe das Dreieck in ein x/y Koordinatensystem gelegt und dann jeweils eine Geradengleichung für die Hypothenuse (y=15-0.5*x) und für die gesuchte Strecke (y=tan(30°)*x) aufgestellt jetzt den Schnittpunkt berechnen und mit dessen x-Koordinate die gesuchte Strecke als Xs/cos(30)° berechnen. Wenn man für sin(30°)=0.5 und cos(30°)=sqrt(3)/2 nimmt, wird tan(30°)=1/sqrt(3). Damit lässt sich das alles einfach berechnen und es kommt auch das richtige Ergebnis von 16.077 heraus. Danke für die nette Aufgabe.
Lösung mit analytischer Geometrie: Ich lege den rechten Winkel in den Ursprung, die rechte Spitze des Dreiecks auf die x-Achse und die obere Spitze des Dreiecks auf die y-Achse. Dann hat der rechte Winkel die Koordinaten A = (0;0), die rechte Spitze die Koordinaten B = (30;0) und die obere Spitze die Koordinaten C = (0;15). Die Gleichung der Geraden durch C und B lautet dann: (1) y = -15/30*x+15 = -1/2*x+15. Die Strecke X liegt auf einer Geraden durch den Ursprung, die folgende Gleichung hat: (2) y = tan(30°)*x Durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen (1) und (2) erhalte ich den Schnittpunkt D der beiden Geraden: -1/2*x+15 = tan(30°)*x |+x/2 ⟹ 15 = tan(30°)*x+x/2 = (tan(30°)+1/2)*x |/(tan(30°)+1/2) ⟹ x = 15/(tan(30°)+1/2) | in Gleichung (2) eingesetzt, ergibt die y-Koordinate des Punktes D: ⟹ y = tan(30°)*15/(tan(30°)+1/2) Damit hat der Schnittpunkt D die Koordinaten: D = (15/(tan(30°)+1/2);tan(30°)*15/(tan(30°)+1/2)). Die Strecke X hat dann nach Pythagoras die Länge: X = √{[15/(tan(30°)+1/2)]²+[tan(30°)*15/(tan(30°)+1/2))]²} = 15/(tan(30°)+1/2)*√{1²+tan²(30°)} ≈ 16,0770
War nicht? Upps. Sin(30) ist 0,5 aber der Tangens der zu... Stimmt kann nicht sein. Hatte im Kopf eine andere aber ebenso falsche Lösung. Es liegt aber auch an der nicht maßstabgerechten Zeichnung die irritiert. Welchen Winkel benötigt man für Tan(Winkel)=0,5? ....
Liebe Frau Susanne ! Diesmal stehe ich echt an. Ich habe die gesuchte Strecke als halbe Diagonale des Rechtecks 30x15 aufgefasst und den pytagoräischen angewandt komme aber auf 16,75. Na, ja ist zwar in der Nähe aber .... Liebe Grüße aus Wien!
Aber die Diagonale müsste ja genau die Hälfte des Viereck ergeben. Dafür müsste der Winkel doch bei 45° liegen. Vielleicht ist das der Grund weshalb die Zahl nicht ganz die gleiche ist . aber ist ja sehr nah dran.
Ich hätte da ein Koordinatensystem eingezeichnet und die beiden Geradengleichungen bestimmt. Dann der Schnittpunkt und dann der Abstand von dem Schnittpunkt und dem Ursprung.
Habe es etwas anders gemacht: Habe das stumpfwinklige Dreieck (aus Basis =30, gesuchter Seite, 30° Winkel und alpha) zerlegt in zwei rechtwinklige Dreiecke mittels einer Senkrechten. Diese Senkrechte teilt die Basis in zwei Abschnitte, die zusammen 30 lang sind. Nebenbei ist mir dann aufgefallen, daß dieser rechte Abschnitt genau so lang ist wie die gesuchte Seite. ❤liche Grüße
Mein Lösungsvorschlag lautet: Rechts der Winkel von dem Dreieck, α tanα= 15/30 α= arctan(1/2) α= 26,565° Der andere Winkel, von dem kleinen Dreieck mit der roten Seite, β β= 180°-30°-26,565° β= 123,435° Nach dem Sinussatz: c/sin(30°)= x/sin(26,565°)= a/sin(123,435°) a= 30 m sin(30°)= 0,50 sin(26,565°)= 0,4472 sin(123,435°)= 0,8345 c/0,50= x/0,4472= 30/0,8345 c= (30*0,50)/0,8345 c= 17,975 m x= (30*0,4472)/0,8345 x≅ 16,08 m ist die Lösung !
@@timurkodzov718 Danke für Deinen Lösungsvorschlag ich schaue es mir an 👍 Ich versuche gerade den Kosinussatz anzuwenden, für eine 2. Möglichkeit, habe das Dreieck unten genommen und das kleine obere, da die x² Werte gleich sind, dachte ich über die anderen Längen etwas zu finden, aber es kommt 0=0 heraus.......Magst Du mal rein schauen: Rechts der Winkel von dem Dreieck, α tanα= 15/30α= arctan(1/2)α= 26,565° β= 180°-90°-26,565° β= 63,435° Die Hypotenuse nach dem Satz von Phytagoras: 15²+30²= c² 225+900= c² c= √1125 c= 225*5 c= 15√5 m Der obere Teil der roten Linie soll y, der untere Teil der Hypotenuse soll (15√5 -y) m lang sein. Für das obere kleine Dreieck: cos(63,435°)= 0,4472 x²= 15²+y²-2*15*y*cos(63,435°) x²= 225+y²-30*y*0,44472 x²= 225+y²-13,4164y Für den unteren Dreieck: cos(26,565°)= 0,8944 x²= 30²+(15√5 -y)²-2*30*(15√5 -y)*cos(26,565°) x²=30²+(15√5 -y)²-2*30*(15√5 -y)*0,8944 x²= 900+ 1125 - 30√5y + y² - 53,665*(15√5 -y) x²= 2025 - 30√5y + y² - 53,665*(15√5 -y) x²= 2025- 67,082y+y²- 1799,97882+ 53,665y x²= 225,021+y²-13,417y da beide x² Werte gleich sind: 225+y²-13,4164y = 225,021+y²-13,417y 0 = 0 Komisch, eigentlich den y Wert hätte man finden können, als Idee halt........🤔
@@Birol731 Das liegt daran, weil du bei beiden Anwendungen des Kosinussatzes ein und dieselbe Parameter verwendest. Z.B. verwendest du dieselbe Kathete. Auf den ersten Blick sieht es nicht so aus, da du bei der zweiten Anwendung eine andere Kathete und einen Abschnitt eine Hypotenuse verwendest. Aber wie hast du die Hypotenuse berechnet? Du hast Pythagoras verwendet und somit BEIDE Katheten. Also verwendest du bei beiden Anwendungen ein und dieselbe Kathete. Du hast folgendes getechnet: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a und b, sowie Winkeln alpha und beta. Hypotenuse c=sqrt(a²+b²), cos(alpha)=b/c, cos(beta)=a/c. Seien x und y so gewählt, wie in deinem Lösungsweg: I) x²=a²+y²-2ay*cos(beta) =a²+y²-2ay*(a/(sqrt(a²+b²))) II) x²+(sqrt(a²+b²)-y)²-2b(sqrt(a²+b²)-y)cos(alpha)=b²+(sqrt(a²+b²)-y)²-2b(sqrt(a²+b²)-y)*(b/sqrt(a²+b²))=b²+a²+b²-2sqrt(a²+b²)y+y²-(2b*sqrt(a²+b²)-2by)*(b/sqrt(a²+b²))=a²+y²+2b²-2sqrt(a²+b²)y-2b²+(2b²y)/(sqrt(a²+b²))=a²+y²-2ay*(a/sqrt(a²+b²)) Also I) = II).
@@timurkodzov718 Danke für Deine ausführliche Erklärung, so ist es, auch wenn es auf den ersten Blick nicht so aussah.......Freue mich auf die weiteren mathematischen Unterhaltungen 🙏
Mal sehen, ob auch dieser Lösungsweg angeboten wird: . .. ... .... ..... Wenn man den unteren linken Eckpunkt des Dreiecks als Ursprung des Koordinatensystems festlegt und die beiden Katheten auf die x- bzw. y-Achse legt, so kann man den Verlauf der Hypotenuse durch folgende Gleichung beschreiben: (y/m) = 15 − (1/2)*(x/m) Für den Verlauf der roten Linie ergibt sich folgende Gleichung: (y/m) = tan(30°)*(x/m) Wegen tan(30°) = sin(30°)/cos(30°) = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 heißt das: (y/m) = (1/√3)*(x/m) Durch Gleichsetzen beider Gleichungen ergibt sich der Schnittpunkt von Hypotenuse und roter Linie: 15 − (1/2)*(x/m) = (1/√3)*(x/m) 15 − (1/2)*(x/m) = (√3/3)*(x/m) 15 − (3/6)*(x/m) = (2√3/6)*(x/m) 15 = [(3 + 2√3)/6]*(x/m) (x/m) = 15 / [(3 + 2√3)/6] (x/m) = 90 / (3 + 2√3) (x/m) = 90(3 − 2√3) / [(3 + 2√3)(3 − 2√3)] (x/m) = 90(3 − 2√3) / (9 − 12) (x/m) = 90(3 − 2√3) / (−3) (x/m) = 30(2√3 − 3) (y/m) = (1/√3)*(x/m) Die Länge der roten Linie ergibt sich aus dem Abstand der beiden Endpunkte: (L/m)² = ((x/m) − 0)² + ((y/m) − 0)² (L/m)² = (x/m)² + (y/m)² (L/m)² = (x/m)² + (1/3)*(x/m)² (L/m)² = (4/3)*(x/m)² (L/m) = (2/√3)*(x/m) (L/m) = (2/√3)*30(2√3 − 3) (L/m) = 60(2 − √3)
Hi Omar Ich denke, dass du ausversehen in Gon gerechnet hast bzw war dein Taschenrechner auf GRD (Neugrad) eingestellt statt auf DEG (Degrees/Altgrad) 26.56° *100gon/90° = 29.51 gon Aber wenn du mit dieser Einstellung weiterrechnest kommst du genauso aufs richtige Ergebnis
@@tobiaskreuzer3091Das ist mir vorhin in meiner Taschenrechner-App auch passiert. Kann man natürlich mit weiterrechnen, dann sollte aber auch statt 180 Grad 200 Gon nehmen.
Oder: - rote Strecke mit x als Hypothenuse ansehen und 30/60/90° Dreieck konstruieren - 2. Strahlensatz anwenden x/2 : 15 = (30 - x/2*Wurzel3) : 30 - Auflösen nach x x = 30 / (1+Wurzel3/2)
Ich kann leider die Anwendung des 2. Strahlensatzes nicht nachvollziehen. Es sind 2 Seiten gegeben. Für den Strahlensatz bräuchte ich 3 bekannte Werte, um den 4. zu errechnen. Kannst du bitte deine Gleichung noch einmal etwas ausführlicher herleiten? Danke!
@@JoeAverageGER Im 30/60/90° Dreieck ist die Hypothenuse x (rote Strecke), dann ist die kurze Kathete x/2 und die lange Kathete x/2*Wurzel3. Diese lange Kathete liegt auf der langen Kathete des gegebenen Dreiecks mit der Länge 30. Diese lange Kathete unterteilt sich somit in die Teilstrecken x/2*Wurzel3 und (30 - x/2*Wurzel3). Somit hast du für den 2. Strahlensatz 4 Strecken mit 1 Unbekannten. Siehe Gleichung oben. LG Daniel
Wäre es nicht gut für die Verständlichkeit, auch immer die gegebenen Einheiten mitzunehmen, als auch das ganze mit Äquivalenzumformungen zu kennzeichnen?
Meine Frage: Woran unterscheide ich den Sinussatz vom Kosinussatz an diesem Beispiel? Woran erkenne ich, wann ich welchen dieser beiden Sätze anwende. Tolles Video!
In beiden Fällen benötigt man Winkel, die aber keine Schwierigkeit mehr sind, wenn man einmal den Tangens 15/30 gefunden hat. Im Kosinussatz c²=a² + b² - 2 * a * b * cos (gamma) sind immer aller drei Längen vorhanden, man kann also nicht einfach a aus c berechnen. Dagegen kann man den Sinussatz zwei Längen reduzieren, z.B. a/sin (alpha) = c/sin(gamma), und a aus c unmittelbar berechnen.
Erkennt man, je nachdem was man gegeben hat. Der Kosinussatz a²=b²+c²-2bc*cos(alpha) verwendet 2 Seiten und den Winkel der gesuchten Seite Der Sinussatz a/sin(alpha)=b/sin(beta) verwendet nur 1 Seite und den Winkel der gesuchten Seite, aber dafür eben auch den Winkel der verwendeten Seite. Du kommst also nicht drum herum den Winkel zur gesuchten Seite, sowie eine Seite zu kennen und dann kommt es darauf an, was kennst du noch? Die andere Seite --> Cosinus Den Winkel der verwendeten Seite --> Sinus Den Winkel der nicht verwendeten Seite --> Daraus den richtigen Winkel berechnen, dann Sinus Edit (zum Verständnis): Wenn ich schreibe, die Formel verwendet 2 Seiten und einen Winkel, oder 1 Seite und 2 Winkel, dann meine ich damit, dass das bekannt sein muss um eine unbekannte Seite zu berechnen Mit "Winkel der gesuchten Seite" meine ich natürlich den Winkel der der Seite gegenüber liegt, also a--> alpha, b--> beta und c--> gamma
Ganz einfach: Cos-Satz immer bei 2 Seiten + eingeschossener Winkel (SWS) *oder* alle *3* Seiten (SSS) . Sin-Satz bei allen anderen Konstellationen. Schau mal bei mir rein ich habe Videos dazu....
Interessant, wie man das ausrechnen kann. Ich wußte das nicht, das sagt mir das meine Zensur die ich jedes Mal in einen Schuljahr bekommen habe nämlich eine 3 bzw 2 volkommen berechtigt ist. Hatte zwar in der 10 Klasse eine 2, aber ich finde eine 3 wäre gerechter. Lieber eine 3 bzw. 2 als eine geschwindelte 1.
Ja hallo, wollte nur mal sagen, das ich die Videoauflösung mit add-ons höher gestellt habe, da ich vorher das Problem hatte, das, wenn dein Gesicht verkleinert wurde, das Gesicht verwaschener wurde. Auf diesem Rechner ist sogar 2K möglich, sodas ich jetzt auch das Leuchten in deinen Augen sehe. Ansonsten tolle Videos.
Lösung: Zuerst berechnen wir mal den Winkel unten rechts: Im rechtwinkligen Dreieck haben wir die beiden Katheten gegeben und können daher für den Winkel sagen: tan(β) = 15/30 = 1/2 β = tan⁻¹(1/2) ≅ 26,565° Durch die 2 Winkel und die Winkelsumme von 180° haben wir auch den dritten Winkel im unteren Dreieck: γ = 180° - α - β γ ≅ 180° - 30° - 26,565° γ ≅ 123,435° Über den Sinussatz [a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)] können wir jetzt sagen: b/sin(β) = c/sin(γ) b/sin(26,565°) = 30/sin(123,435°) |*sin(26,565°) b = 30 * sin(26,565°)/sin(123,435°) b = 30 * 0,539 b = 16,077 [m]
15m - kopfrechnen - mal sehen ob ich richtig gerechnet habe! Ouch! Falsch gelegen - neu denken! Das obere Dreieck ist schließlich nicht gleichschenklig! Man muss es tatsächlich richtig ausarbeiten! Wie Homer Simpson sagt "Doh!"
Eine Frage stellt sich mir hier aber noch, liebe Susanne. 😇 Worin liegt der Unterschied, wann wendet man den sin-Satz an, wann wendet man den cos-Satz an? Habe ich wahrscheinlich mal gewusst, ist mir aber in der Zwischenzeit wohl abgegangen. Deswegen richte ich diese Frage mal an dich, die Expertin. 🙃
Den Kosinussatz wendet man an, wenn man 2 Seiten (a und b) hat und den Winkel (gamma) dazwischen. Dann kann man die dritte Seite ausrechnen: c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cos(gamma) Das ist eine Verallgemeinerung des Pythagoras-Satzes auf die Situation, wo gamma eben nicht 90° ist. Den Sinussatz wendet man an, wenn man einen Winkel (alpha) hat und die gegenüberliegende Seite (a). Dann kann man aus einem weiteren Winkel (beta) die gegenüberliegende Seite (b) ausrechnen oder andersrum: a/sin(alpha) = b/sin(beta).
Ich hab das ganze mit einer koordinatischen Herangehensweise berechnet, Schnittpunkt der Geraden und dann Satz vom Pythagoras. Mathematisch soweit ich sehe alles korrekt, aber bin dann am Ende auf ca 16,46 gekommen🤷🏻♂️
Mit ein bisschen mathematisch-geometrischem Verständnis erhält man folgende einfache Formel mit den 3 gegebenen bekannten Größen: x=(A³/G²)*(1-cos@) mit A=30m G=15m @=30° folgt x=120m*(1-√3/2) x=16,077 m Stimmt. Du erkennst: den unteren rechten Winkel brauchst du gar nicht explizit zu berechnen. Der ist vollkommen uninteressant. Damit ist der Arkustangens raus. In der Folge ist natürlich auch der Sinus raus. Der obere stumpfe Winkel ist sowieso obsolet. Der Kosinus von 30 Grad wird nur noch gebraucht. Ich habe ihn durch √3/2 ersetzt. Uns wurde eingebläut symbolisch bis zum Schluss zu rechnen und die Zahlenwerte erst in die fertige Formel einzusetzen. Versetze dich mal 50 Jahre zurück und versuche mal, die Aufgabe ohne Taschenrechner zu lösen. Allenfalls mit Rechenschieber, nur der kann nicht addieren und subtrahieren. Aber es gibt nicht Einfaches, was nicht noch einfacher zu machen geht. Denn es ist auch: x=A/(1+cos@) x=30m/(1+√3/2) x=16,077 m WIll heißen: die Gegenkathete brauchst du noch nicht mal zu Berechnung. (Daniel hatte zwar dieselbe Formel gepostet, aber ich bin auf anderem Weg dahin gelangt.) Fährst du eigentlich immer von deinem schönen Kaiserslautern aus über Hamburg, wenn du nach München willst???
Ich hab’s genauso gerechnet, außer, dass ich erst die Hypotenuse berechnet und den Sinus genommen hab. Ich hab irgendwie eine Abneigung gegen tangens, seltsam 😳
Erst dachte ich das wäre die Seitenhalbierende mit ≈ 16.77, aber die hätte keine 30 Grad, sondern ≈ 26,565 Grad und dann wäre es ein Gleichschenkliges Dreieck, aber bei 30 Grad komme ich dann auf ≈16,077.
Wenn du das Dreieck nach unten spiegelst, erhälst du ein großes gleichschenkliges Dreieck mit Grundseite 30 cm (senkrecht) und Höhe 30 cm (waagerecht). Da das Dreieck gleichschenklig ist und Höhe=Grundseite, so erkennt man daran, dass Schenkel > Grundseite und daher der Winkel oben links größer als 60° sein muss. Das ist der Grund, warum deine Annahme mit 60° nicht stimmen kann.
Bei meinem Taschenrechner muss ich für jede Operation 10 Cent einwerfen; deswegen überlege ich mir genau, ob ich Sachen berechne, die ich am Ende gar nicht brauche.
Viel zu kompliziert und viel zu umständlich. Nach 1 Minute hatte ich bereits die gesuchte Länge. Natürlich ohne sin, cos und tan. Habe ein passendes Dreieck gezeichnet und Linie mit 30° eingezeichnet. Einfach die Länge gemessen und fertig.
Ist aber falsch. Der Denkfehler besteht darin, zu glauben, dass die gesuchte Strecke die Hypothenuse halbiert oder - gleichbedeutend - dass die gesuchte Strecke ein Radius des Thales-Kreises ist. Dass dem nicht so ist, sieht man daran, dass das "rechte untere" Teildreieck kein gleichseitiges ist: von den spitzen Winkeln beträgt der eine 30°, aber der andere nicht, denn sein Tangens ist 1/2 und sein Sinus deswegen nicht. (Wie groß der genau ist, braucht man gar nicht zu wissen, zumal es so eine krumme Kommazahl ist.)
Fehlerberechtigung tan30= 0,577 und nicht 0,866! 15- 0,5x= 0,577x x = 15÷ 1,077 x= 13,92 L= x÷ cos 30 = L=13,92: 0,866= 16,08 m X ist Koordinate des Schnittpunktes der Hypotenuse und der rot markierten Linie.
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2. Lösungsvorschlag:
Die Hypotenuse nach dem Satz von Phytagoras:
15²+30²= c²
225+900= c²
c= √1125
c= 225*5
c= 15√5 m
Rechts der Winkel von dem Dreieck, α
tanα= 15/30
α= arctan(1/2)
α= 26,565°
Der andere Winkel, von dem kleinen Dreieck mit der roten Seite, β
β= 180°-30°-26,565°
β= 123,435°
Wenn man von dem Punkt, wo der 90° Winkel ist (B) eine Gerade (Höhe) auf die Hypotenuse zieht, kann man diese Länge berechen, h
Fläche= (15*30)/2= 15√5 *h/2
h= 30/√5
= 6√5 m
Die Winkeln von diesem kleinen Dreieck: δ= 90°
θ= 180°-123,435°
θ= 56,565°
η= 180-( δ+θ)
η= 33,425°
cos(η)= 6√5 /x
x= 6√5 / cos(η)
x= 6√5 / cos(33,425°)
= 6√5 / 0,8346
x ≅ 16, 08 m ist die Antwort !
Viel einfacher:
Spiegele das rechteinklige Dreieck nach unten und erhalte dadurch ein rotes gleichseitiges Dreieck mit Seiten x. Sei h die Höhe dieses roten Dreiecks. Wegen Strahlensatz gilt 30-h÷(x/2)=30/15=2 h=30-x
Für h gilt auch nach Pythagoras:
h=sqrt(x²-x²/4)=(sqrt(3)/2)*x
Also: 30-x=(sqrt(3)/2)x
x=60*(2-sqrt(3))≈16,08
Sehr elegante Lösung, Hut ab.👍 Man merkt, dass du den Kennerblick hast, nicht zuletzt wegen der Idee mit der Spiegelung der gesamten Konstruktion. Daher hoffe ich, du magst mir die Anmerkung eines kleines Fehlers nachsehen, der mich beim Nachvollziehen zunächst sehr irritiert hat: Es fehlt das Klammerpaar um 30−h bei der Gleichung, die sich aus der Anwendung des Strahlensatzes ergibt:
(30−h)/(x/2) = 30/15 = 2
Jedenfalls bin ich heilfroh, das gleiche Endergebnis erzielt zu haben, wenn auch deutlich weniger stilvoll.
@@unknownidentity2846 Ja richtig, ich habe mich vertippt und somit die Klammern vergessen. Vielen Dank für deine Korrektur.
Genial!
Ich HASSE Winkelfunktionen. Wurzeln sind VIEL einfacher.
Geht aber leider nur, wenn der Winkel links unten 30° ist.
Elegant gelöst, sehr gut 👍👌
Mit dem Kosinussatz bin ich zwar nicht weiter gekommen, aber über die Höhe (h) konnte ich dennoch eine neue Lösungsmöglichkeit vorschlagen.......
Sehr schön! 😍
*Auch über den Flächen-Sinussatz geht das:*
Gesamte Fläche A = (1/2)·30·15 = 225
Obere linke Fläche A₁ = (1/2)·15·x·sin(60)
Untere rechte Fläche A₂ = (1/2)·30·x·sin(30)
Wenn man jetzt noch weiß, dass sin(30)=0.5 und sin(60)=sqrt(3)/2 ist, erhält man
A = A₁ + A₂
225 = (1/2)·15·x·sqrt(3)/2 + (1/2)·30·x·(1/2)
225 = (1/4)·15·x·sqrt(3) + (1/4)·30·x |·4
900 = 15·x·sqrt(3) + 30·x
900 = x·[15·sqrt(3) + 30]
x = 900 / [15·sqrt(3) + 30] ≈ 16.0769...
@hcgreier Das ist, finde ich, eine sogar noch schönere Lösung als die von Susanne! Erstens, weil kürzer. Zweitens, erfordert es nicht die Kenntnisse des Sinussatzes. Und drittens bringt sie mit einem kurzen Ausdruck den exakten Wert von x hervor, ohne zwischendurch mit gerundeten Werten rechnen zu müssen. Wenn man den letzten Ausdruck durch Kürzen des Bruchs und anschließendes Rationalmachen des Nenners noch etwas aufhübschen möchte, erhielte man schließlich:
x = 60·(2-√3) ≈ 16.0769
@@martinmonath9541 Ja stimmt, da kann man ja noch 15 herausziehen, oops😎. Und rationalisieren, klar. 👍
Schöner ja, schneller aber nicht. Auch das Argument " Man muss den Sinus Satz nicht kennen" ist schon übertrieben, wenn man dafür diesen Flächensatz kennen muss.
@@hans7831Das Argument ist ganz und garnicht übertrieben, nein. Die Flächenformel ist trivialer herzuleiten als die Winkelfunktionssätze. Auch auszurechnen ging das Ganze wesentlich schneller, da nur bekannte Sinuswerte erfordert wurden, die auch jeder auswendig kennen sollte (falls nicht, in Sekunden herleitbar). So könnte man die Aufgabe auch ganz entspannt mit bloßem Stift und Zettel bewältigen, ohne Hilfsmittel zu bemühen.
Umständlich geht es auch!
Hallo Susanne, guten Morgen,
zunächst hoffe ich, dass Di gut in die neue Woche gekommen bist.
Hier meine Lösungsidee:
zunächst beschrifte ich das schwarze Dreieck wie folgt:
Der gegebene rechte Winkel sei Gamma, der Eckpunkt an dem der rechte Winkel sich befindet sei C
Die Hypotenuse sei c.
Der Eckpunkt rechts sei A.
Die Strecke AC sei b.
Der Eckpunkt oben sei B.
Die Strecke BC sei a
Der Schnittpunkt der roten Linie mit der Hypotenuse sei D.
Die gesuchte rote Strecke CD sei d.
Die Strecke AD sei e.
Die Strecke BD sei f.
Der gegebene zusätzliche Winkel, der von den Seiten d und b eingeschlossen wird, sei Alpha1
Der Winkel bei A sei Alpha
Der Winkel bei B sei Beta
Der Winkel ADC sei Gamma1.
Weil a - f jeweils Strecken repräsentieren, gilt:
a, b, c, d, e, f €N\{0}, a...f ist größer Null
Mit dieser Beschriftung ist gegeben:
AC = b = 30m, BC = a = 15m, Gamma = 90° und Alpha1 = 30°
Gesucht:
Strecke CD = d
ich lasse zunächst die Einheiten weg.
Statt Quadratwurzel schreibe ich Wurzel.
Bechnung der Hypothenuse c mit Pythagoras:
a^2 + b^2 = c^2
15^2 + 30^2 = c^2
225 + 900 = c^2
1125 = c^2 |Wurzel ziehen
Wurzel (1125) = +/- c. --> Da c eine Strecke repräsentiert ist nur die positive Lösung der Wurzel relevant.
c = 15 * Wurzel(5) mit TR berechnet.
(Alternative: Primfaktorenzerlegung und anschließend teilweise Wurzel ziehen, wobei nur die positive Lösung relevant ist.
NR Primfaktorenzerlegung
1125 = 11 * 100 + 25 = 11 * 4 * 25 + 25 = 44 * 25 + 25 = 25 (44 + 1) = 25 * 45 = 25 * 5 * 9 = 5^2 * 3^2 * 5
Daraus teilweise die Wurzel ziehen:
Wurzel (5^2 * 3^2 * 5) = 3*5 * Wurzel (5) = 15 * Wurzel (5) )
Jetzt mit Hilfe des Sinus den Winkel Beta berechnen.
Sinus(Beta) = b/c = 30/(15 * Wurzel(5)) = 2/Wurzel(5)
Beta = gerundet 63,43° ... Schade🙂 hatte gehofft, dass 60° raus kommt 🙂
Alpha = (180-90-Beta)° = gerundet 26,57°
Damit lässt sich der Winkel ADC = Gamma1 bestimmen.
Gamma1 = (180-30-Alpha) = 150-26,57)° = 123,43°
Nach Sinus-Satz gilt:
30/sin(Gamma1) = d/sin(Alpha) |*sin(Alpha)
(30 * sin(Alpha)) / sin(Gamma1) = d = gerundet 16,08
Die gesuchte Länge der roten Strecke d ist gerundet 16,08m
Mal sehen, ob meine Lösung stimmt.
LG aus dem Schwabenland.
Mein Vorschlag (hatte den Sinussatz gerade nicht mehr parat).
Geradengleichungen für die Hypotenuse und die gesuchte Strecke erstellen.
Schnittpunkt ermitteln (x-Wert oder y-Wert).
Mit diesem Wert und dem Winkel (30°) bekommt man dann die Streckenlänge l.
Hypotenuse: g(x) = -1/2*x + 15
gesuchte Strecke: h(x) = tan(30°)*x
Schnittpunkt - x-Wert: xs = 15 / (tan30° + 1,2) = 13,923
gesuchte Länge l: l = xs / cos30° = 16,08
Sehr elegant. Gratuliere
Durch die Konstruktion allein erhält man die Länge 16m. Das Ergebnis bestätigt sich über die Ermittlung von hc über den Strahlensatz (8m) und die rote Linie wird dadurch zur Hypothenuse, die man dann über den Cosinus berechnen kann: x= 8/cos 60°=16m
Würde man den Sinussatz nicht kennen, könnte man z.B. die beiden schräg verlaufenden Linien als lineare Funktionen behandeln.
Man bezeichnet folgenden Punkt:
s = Stelle des senkrechten Schnittpunkt-Lots auf der X-Achse
Die große Linie geht bei y = 15 los und endet 30 Einheiten weiter rechts bei 0 , also:
-0,5 s + 15 = y
Die kleine Linie steigt mit 30 Grad, beginnend bei Null, also:
Der Tangens ist die Anstiegs-Winkelfunktion. Allgemein im Koordinatensystem gilt:
tan(alpha) = y/x ---> also:
tan(alpha) * x = y --> also:
tan(30) * s = y --> also:
0,577 * s = y
Wenn man die beiden Funktionen gleichsetzt, fällt das Lot des Schnittpunkts bei s auf die x-Achse.
-0,5 s + 15 = 0,577 s
s = 15 / 1,077
s = 13,923
Die gesuchte Seite steigt mit 30 Grad an.
Der Kosinus von 30 Grad entspricht dem Verhältnis s/x.
s/x = cos(30)
x/s = 1/cos(30)
x = 1/cos(30) * s
x = 1/0,866 * 13,923
x = 16,07
------------------
Vielen Dank. Die Erklärungen von dir sind mega hilfreich.
Mittlerweile bin ich im Ruhestand. Habe so einige Stationen im Lehramt (Berufsschule = Metall, Elektro und Informatik) hinter mich gebracht. In unserem Betrieb mehr als 60 Auszubildende durch die Prüfung gelehrt. Als ich in die Ausbildung kam, so mit knapp 15, war ich noch weit weg von dem was ich einst mal werden sollte. Im Nachgang der Jahrzehnte blieb die Essenz, das alles doch lernbar sei, sofern man mag, nichts im Verborgegen bleibt und bereit ist sein Licht im Kopfe einzuschalten. Heute haben wir Internet, eine Fülle an Informationen. Hatten wir alles früher nicht. Ich habe noch in der technischen Mathematik mit dem Rechenschieber arbeiten gelernt. Heute kein Thema mehr, aber was ist wenn der Rechner streikt oder der Akku im Taschenrechner leer ist!? Daher habe ich meinen Sohn im Gebracuh eines Rechenschiebers unterrichtet, den er dann auch im Unterricht und Klausuren benutzen darf. Geht halt schneller als das tipsen... Ansonsten von Susanne wieder einmal ein tolles Video mit einfachen Anleitungen (denn darauf kommt es ja an), für die mathematsich eher unbedarften User. Das es mehrere Lösungen für das Problem gibt, wissen wir. Aber warum macht ihr dann keinen eigenen Kanal auf?
Erstmal alle Hochachtung! Ich habe ziemlichen Respekt vor Menschen wie Ihnen. Zur Zeit befinde ich mich in einer Umschulung zum Zerspanungsmechaniker und die Ausbilder sind bis auf wenige Ausnahmen unglaublich tolle Lehrer. Ich habe 25 Gesellenjahre als Dachdecker hinter mir und fange komplett neu an zu lernen. Ich schätze diesen Kanal mit Susanne und bin dankbar für jede weitere Hilfe die ich bekommen kann.
3. Lösungsvorschlag (sehr leicht):
Die Fläche von einem Dreieck, die Multiplikation von beiden Seiten, sowie der Sinuswert des Winkels zwischen diesen Seiten und die Hälfte des gesamten Wertes.
Die gesamte Fläche basiert auf diesen 2 kleinen Dreiecken, wo der eine Winkel α= 30° und der andere β=90-30 = 60° ist.
Agesamt= (15*30)/2
= 225 m²
A₁= (1/2)*15*x*sin(60°)
A₂= (1/2)*x*30*sin(30°)
225= (1/2)*15*x*sin(60°) + (1/2)*x*30*sin(30°)
450= 12,99x+ 15x
450= 27,99x
x= 16,077 m
x ≅ 16,08 m
am Abend doch noch was neues gelernt. Echt praktisch solche Videos ganz besonders vorm anstehenden MINT Studium
Hallo, ich habe das Dreieck in ein x/y Koordinatensystem gelegt und dann jeweils eine Geradengleichung für die Hypothenuse (y=15-0.5*x) und für die gesuchte Strecke (y=tan(30°)*x) aufgestellt jetzt den Schnittpunkt berechnen und mit dessen x-Koordinate die gesuchte Strecke als Xs/cos(30)° berechnen. Wenn man für sin(30°)=0.5 und cos(30°)=sqrt(3)/2 nimmt, wird tan(30°)=1/sqrt(3). Damit lässt sich das alles einfach berechnen und es kommt auch das richtige Ergebnis von 16.077 heraus. Danke für die nette Aufgabe.
Lösung mit analytischer Geometrie:
Ich lege den rechten Winkel in den Ursprung, die rechte Spitze des Dreiecks auf die x-Achse und die obere Spitze des Dreiecks auf die y-Achse. Dann hat der rechte Winkel die Koordinaten A = (0;0), die rechte Spitze die Koordinaten
B = (30;0) und die obere Spitze die Koordinaten C = (0;15). Die Gleichung der Geraden durch C und B lautet dann: (1) y = -15/30*x+15 = -1/2*x+15.
Die Strecke X liegt auf einer Geraden durch den Ursprung, die folgende Gleichung hat:
(2) y = tan(30°)*x
Durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen (1) und (2) erhalte ich den Schnittpunkt D der beiden Geraden:
-1/2*x+15 = tan(30°)*x |+x/2 ⟹
15 = tan(30°)*x+x/2 = (tan(30°)+1/2)*x |/(tan(30°)+1/2) ⟹
x = 15/(tan(30°)+1/2) | in Gleichung (2) eingesetzt, ergibt die y-Koordinate des Punktes D: ⟹
y = tan(30°)*15/(tan(30°)+1/2)
Damit hat der Schnittpunkt D die Koordinaten:
D = (15/(tan(30°)+1/2);tan(30°)*15/(tan(30°)+1/2)).
Die Strecke X hat dann nach Pythagoras die Länge:
X = √{[15/(tan(30°)+1/2)]²+[tan(30°)*15/(tan(30°)+1/2))]²}
= 15/(tan(30°)+1/2)*√{1²+tan²(30°)} ≈ 16,0770
Danke😘Mal wieder live?Vermisse ich sehr!!!!!!!!!!!🤩
Hmm ich hätte auch auf 15m getippt weil das obere Dreieck gleichseitig aussieht und noch dazu den 60 Grad Winkel hat. Aber war wohl nicht 😅
Hätte ich auch🥸
War nicht?
Upps.
Sin(30) ist 0,5 aber der Tangens der zu... Stimmt kann nicht sein.
Hatte im Kopf eine andere aber ebenso falsche Lösung.
Es liegt aber auch an der nicht maßstabgerechten Zeichnung die irritiert.
Welchen Winkel benötigt man für Tan(Winkel)=0,5? ....
Und ich dachte auch so!
Das war ein wunderschönes Glatteis … denn DANN wäre es so schön einfach gewesen. Zu einfach.
(bin genauso ausgerutscht wie ihr auch.)
Liebe Frau Susanne !
Diesmal stehe ich echt an. Ich habe die gesuchte Strecke als halbe Diagonale des Rechtecks 30x15 aufgefasst und den pytagoräischen angewandt komme aber auf 16,75. Na, ja ist zwar in der Nähe aber ....
Liebe Grüße aus Wien!
Aber die Diagonale müsste ja genau die Hälfte des Viereck ergeben. Dafür müsste der Winkel doch bei 45° liegen. Vielleicht ist das der Grund weshalb die Zahl nicht ganz die gleiche ist . aber ist ja sehr nah dran.
Ich hätte da ein Koordinatensystem eingezeichnet und die beiden Geradengleichungen bestimmt. Dann der Schnittpunkt und dann der Abstand von dem Schnittpunkt und dem Ursprung.
Habe es etwas anders gemacht:
Habe das stumpfwinklige Dreieck (aus Basis =30, gesuchter Seite, 30° Winkel und alpha) zerlegt in zwei rechtwinklige Dreiecke mittels einer Senkrechten.
Diese Senkrechte teilt die Basis in zwei Abschnitte, die zusammen 30 lang sind.
Nebenbei ist mir dann aufgefallen, daß dieser rechte Abschnitt genau so lang ist wie die gesuchte Seite.
❤liche Grüße
Mein Lösungsvorschlag lautet:
Rechts der Winkel von dem Dreieck, α
tanα= 15/30
α= arctan(1/2)
α= 26,565°
Der andere Winkel, von dem kleinen Dreieck mit der roten Seite, β
β= 180°-30°-26,565°
β= 123,435°
Nach dem Sinussatz:
c/sin(30°)= x/sin(26,565°)= a/sin(123,435°)
a= 30 m
sin(30°)= 0,50
sin(26,565°)= 0,4472
sin(123,435°)= 0,8345
c/0,50= x/0,4472= 30/0,8345
c= (30*0,50)/0,8345
c= 17,975 m
x= (30*0,4472)/0,8345
x≅ 16,08 m ist die Lösung !
Sehr gut gelöst. Man kann auch ohne Trigonometrie. Kleiner Tipp: Spiegele das rechtwinklige Dreieck nach unten.
@@timurkodzov718 Danke für Deinen Lösungsvorschlag ich schaue es mir an 👍
Ich versuche gerade den Kosinussatz anzuwenden, für eine 2. Möglichkeit, habe das Dreieck unten genommen und das kleine obere, da die x² Werte gleich sind, dachte ich über die anderen Längen etwas zu finden, aber es kommt 0=0 heraus.......Magst Du mal rein schauen:
Rechts der Winkel von dem Dreieck, α
tanα= 15/30α= arctan(1/2)α= 26,565°
β= 180°-90°-26,565°
β= 63,435°
Die Hypotenuse nach dem Satz von Phytagoras:
15²+30²= c²
225+900= c²
c= √1125
c= 225*5
c= 15√5 m
Der obere Teil der roten Linie soll y, der untere Teil der Hypotenuse soll (15√5 -y) m lang sein.
Für das obere kleine Dreieck:
cos(63,435°)= 0,4472
x²= 15²+y²-2*15*y*cos(63,435°)
x²= 225+y²-30*y*0,44472
x²= 225+y²-13,4164y
Für den unteren Dreieck:
cos(26,565°)= 0,8944
x²= 30²+(15√5 -y)²-2*30*(15√5 -y)*cos(26,565°)
x²=30²+(15√5 -y)²-2*30*(15√5 -y)*0,8944
x²= 900+ 1125 - 30√5y + y² - 53,665*(15√5 -y)
x²= 2025 - 30√5y + y² - 53,665*(15√5 -y)
x²= 2025- 67,082y+y²- 1799,97882+ 53,665y
x²= 225,021+y²-13,417y
da beide x² Werte gleich sind:
225+y²-13,4164y = 225,021+y²-13,417y
0 = 0
Komisch, eigentlich den y Wert hätte man finden können, als Idee halt........🤔
@@Birol731 Das liegt daran, weil du bei beiden Anwendungen des Kosinussatzes ein und dieselbe Parameter verwendest. Z.B. verwendest du dieselbe Kathete. Auf den ersten Blick sieht es nicht so aus, da du bei der zweiten Anwendung eine andere Kathete und einen Abschnitt eine Hypotenuse verwendest. Aber wie hast du die Hypotenuse berechnet? Du hast Pythagoras verwendet und somit BEIDE Katheten. Also verwendest du bei beiden Anwendungen ein und dieselbe Kathete.
Du hast folgendes getechnet: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a und b, sowie Winkeln alpha und beta.
Hypotenuse c=sqrt(a²+b²),
cos(alpha)=b/c, cos(beta)=a/c.
Seien x und y so gewählt, wie in deinem Lösungsweg:
I) x²=a²+y²-2ay*cos(beta)
=a²+y²-2ay*(a/(sqrt(a²+b²)))
II) x²+(sqrt(a²+b²)-y)²-2b(sqrt(a²+b²)-y)cos(alpha)=b²+(sqrt(a²+b²)-y)²-2b(sqrt(a²+b²)-y)*(b/sqrt(a²+b²))=b²+a²+b²-2sqrt(a²+b²)y+y²-(2b*sqrt(a²+b²)-2by)*(b/sqrt(a²+b²))=a²+y²+2b²-2sqrt(a²+b²)y-2b²+(2b²y)/(sqrt(a²+b²))=a²+y²-2ay*(a/sqrt(a²+b²))
Also I) = II).
@@timurkodzov718 Danke für Deine ausführliche Erklärung, so ist es, auch wenn es auf den ersten Blick nicht so aussah.......Freue mich auf die weiteren mathematischen Unterhaltungen 🙏
Mal sehen, ob auch dieser Lösungsweg angeboten wird:
.
..
...
....
.....
Wenn man den unteren linken Eckpunkt des Dreiecks als Ursprung des Koordinatensystems festlegt und die beiden Katheten auf die x- bzw. y-Achse legt, so kann man den Verlauf der Hypotenuse durch folgende Gleichung beschreiben:
(y/m) = 15 − (1/2)*(x/m)
Für den Verlauf der roten Linie ergibt sich folgende Gleichung:
(y/m) = tan(30°)*(x/m)
Wegen tan(30°) = sin(30°)/cos(30°) = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 heißt das:
(y/m) = (1/√3)*(x/m)
Durch Gleichsetzen beider Gleichungen ergibt sich der Schnittpunkt von Hypotenuse und roter Linie:
15 − (1/2)*(x/m) = (1/√3)*(x/m)
15 − (1/2)*(x/m) = (√3/3)*(x/m)
15 − (3/6)*(x/m) = (2√3/6)*(x/m)
15 = [(3 + 2√3)/6]*(x/m)
(x/m) = 15 / [(3 + 2√3)/6]
(x/m) = 90 / (3 + 2√3)
(x/m) = 90(3 − 2√3) / [(3 + 2√3)(3 − 2√3)]
(x/m) = 90(3 − 2√3) / (9 − 12)
(x/m) = 90(3 − 2√3) / (−3)
(x/m) = 30(2√3 − 3)
(y/m) = (1/√3)*(x/m)
Die Länge der roten Linie ergibt sich aus dem Abstand der beiden Endpunkte:
(L/m)² = ((x/m) − 0)² + ((y/m) − 0)²
(L/m)² = (x/m)² + (y/m)²
(L/m)² = (x/m)² + (1/3)*(x/m)²
(L/m)² = (4/3)*(x/m)²
(L/m) = (2/√3)*(x/m)
(L/m) = (2/√3)*30(2√3 − 3)
(L/m) = 60(2 − √3)
Ja, so kann man auch rechnen.
Vielen Dank für all Deine tollen Videos, echt Klasse!
Allerdings komme ich beim ersten Winkel auf 29.5` Entspricht dem Arc tsn von 0.5 (15/30)
Also der arctan(0.5) = 26.565051177078.... an meinem TR
Hi Omar
Ich denke, dass du ausversehen in Gon gerechnet hast bzw war dein Taschenrechner auf GRD (Neugrad) eingestellt statt auf DEG (Degrees/Altgrad)
26.56° *100gon/90° = 29.51 gon
Aber wenn du mit dieser Einstellung weiterrechnest kommst du genauso aufs richtige Ergebnis
@@tobiaskreuzer3091Das ist mir vorhin in meiner Taschenrechner-App auch passiert.
Kann man natürlich mit weiterrechnen, dann sollte aber auch statt 180 Grad 200 Gon nehmen.
Inenwinkelsumme ist 3x60°. In dem Fall sind auch die Seiten gleich.
Mein verstorbener Mathelehrer wäre begeistert!
x/(30-x) = √3/2 und x = 60⋅(2-√3) ≈ 16.08
Danke👍
Gerne ☺️
Oder:
- rote Strecke mit x als Hypothenuse ansehen und 30/60/90° Dreieck konstruieren
- 2. Strahlensatz anwenden
x/2 : 15 = (30 - x/2*Wurzel3) : 30
- Auflösen nach x
x = 30 / (1+Wurzel3/2)
Ich kann leider die Anwendung des 2. Strahlensatzes nicht nachvollziehen. Es sind 2 Seiten gegeben. Für den Strahlensatz bräuchte ich 3 bekannte Werte, um den 4. zu errechnen. Kannst du bitte deine Gleichung noch einmal etwas ausführlicher herleiten? Danke!
@@JoeAverageGER Im 30/60/90° Dreieck ist die Hypothenuse x (rote Strecke), dann ist die kurze Kathete x/2 und die lange Kathete x/2*Wurzel3. Diese lange Kathete liegt auf der langen Kathete des gegebenen Dreiecks mit der Länge 30. Diese lange Kathete unterteilt sich somit in die Teilstrecken x/2*Wurzel3 und
(30 - x/2*Wurzel3). Somit hast du für den 2. Strahlensatz 4 Strecken mit 1
Unbekannten. Siehe Gleichung oben. LG Daniel
Danke für deine Videos ! Deine Videos haben mir für mein Fachabi sehr geholfen..mit 36.. XD Danke
Wäre es nicht gut für die Verständlichkeit, auch immer die gegebenen Einheiten mitzunehmen, als auch das ganze mit Äquivalenzumformungen zu kennzeichnen?
Meine Frage:
Woran unterscheide ich den Sinussatz vom Kosinussatz an diesem Beispiel? Woran erkenne ich, wann ich welchen dieser beiden Sätze anwende.
Tolles Video!
In beiden Fällen benötigt man Winkel, die aber keine Schwierigkeit mehr sind, wenn man einmal den Tangens 15/30 gefunden hat.
Im Kosinussatz c²=a² + b² - 2 * a * b * cos (gamma) sind immer aller drei Längen vorhanden, man kann also nicht einfach a aus c berechnen.
Dagegen kann man den Sinussatz zwei Längen reduzieren, z.B. a/sin (alpha) = c/sin(gamma), und a aus c unmittelbar berechnen.
Erkennt man, je nachdem was man gegeben hat.
Der Kosinussatz a²=b²+c²-2bc*cos(alpha) verwendet 2 Seiten und den Winkel der gesuchten Seite
Der Sinussatz
a/sin(alpha)=b/sin(beta)
verwendet nur 1 Seite und den Winkel der gesuchten Seite, aber dafür eben auch den Winkel der verwendeten Seite.
Du kommst also nicht drum herum den Winkel zur gesuchten Seite, sowie eine Seite zu kennen und dann kommt es darauf an, was kennst du noch?
Die andere Seite --> Cosinus
Den Winkel der verwendeten Seite --> Sinus
Den Winkel der nicht verwendeten Seite --> Daraus den richtigen Winkel berechnen, dann Sinus
Edit (zum Verständnis): Wenn ich schreibe, die Formel verwendet 2 Seiten und einen Winkel, oder 1 Seite und 2 Winkel, dann meine ich damit, dass das bekannt sein muss um eine unbekannte Seite zu berechnen
Mit "Winkel der gesuchten Seite" meine ich natürlich den Winkel der der Seite gegenüber liegt, also a--> alpha, b--> beta und c--> gamma
Ganz einfach: Cos-Satz immer bei 2 Seiten + eingeschossener Winkel (SWS) *oder* alle *3* Seiten (SSS) . Sin-Satz bei allen anderen Konstellationen. Schau mal bei mir rein ich habe Videos dazu....
Hier mien lösungsweg:
I:m+k=12
II: m+h=20
III: h+k=30
II-I: h-k=8
+III: 2h=38
der Rest ist Trivial:
h=19
m=1
k=11
danke
Gerne ☺️
Interessant, wie man das ausrechnen kann. Ich wußte das nicht, das sagt mir das meine Zensur die ich jedes Mal in einen Schuljahr bekommen habe nämlich eine 3 bzw 2 volkommen berechtigt ist. Hatte zwar in der 10 Klasse eine 2, aber ich finde eine 3 wäre gerechter. Lieber eine 3 bzw. 2 als eine geschwindelte 1.
Hi, Ein kuerzer Weg ist mir auch nicht gelungen. Danke fuer des Video und tolles Beispiel.
👍
Ja hallo, wollte nur mal sagen, das ich die Videoauflösung mit add-ons höher gestellt habe, da ich vorher das Problem hatte, das, wenn dein Gesicht verkleinert wurde, das Gesicht verwaschener wurde. Auf diesem Rechner ist sogar 2K möglich, sodas ich jetzt auch das Leuchten in deinen Augen sehe. Ansonsten tolle Videos.
Lösung:
Zuerst berechnen wir mal den Winkel unten rechts:
Im rechtwinkligen Dreieck haben wir die beiden Katheten gegeben und können daher für den Winkel sagen:
tan(β) = 15/30 = 1/2
β = tan⁻¹(1/2) ≅ 26,565°
Durch die 2 Winkel und die Winkelsumme von 180° haben wir auch den dritten Winkel im unteren Dreieck:
γ = 180° - α - β
γ ≅ 180° - 30° - 26,565°
γ ≅ 123,435°
Über den Sinussatz [a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)] können wir jetzt sagen:
b/sin(β) = c/sin(γ)
b/sin(26,565°) = 30/sin(123,435°) |*sin(26,565°)
b = 30 * sin(26,565°)/sin(123,435°)
b = 30 * 0,539
b = 16,077 [m]
Genau so habe ich es auch gemacht 🤭😃👍👌
15m - kopfrechnen - mal sehen ob ich richtig gerechnet habe!
Ouch! Falsch gelegen - neu denken! Das obere Dreieck ist schließlich nicht gleichschenklig! Man muss es tatsächlich richtig ausarbeiten! Wie Homer Simpson sagt "Doh!"
Eine Frage stellt sich mir hier aber noch, liebe Susanne. 😇 Worin liegt der Unterschied, wann wendet man den sin-Satz an, wann wendet man den cos-Satz an? Habe ich wahrscheinlich mal gewusst, ist mir aber in der Zwischenzeit wohl abgegangen. Deswegen richte ich diese Frage mal an dich, die Expertin. 🙃
Den Kosinussatz wendet man an, wenn man 2 Seiten (a und b) hat und den Winkel (gamma) dazwischen. Dann kann man die dritte Seite ausrechnen:
c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cos(gamma)
Das ist eine Verallgemeinerung des Pythagoras-Satzes auf die Situation, wo gamma eben nicht 90° ist.
Den Sinussatz wendet man an, wenn man einen Winkel (alpha) hat und die gegenüberliegende Seite (a). Dann kann man aus einem weiteren Winkel (beta) die gegenüberliegende Seite (b) ausrechnen oder andersrum: a/sin(alpha) = b/sin(beta).
Sinussatz mit rechenschieber - prima
Die beiden Katheden sind ja gegeben. Mit dem Satz des Pythagoras hätte man die Länge der Hypotenuse ausrechnen können.
❤❤❤❤❤
Weiter so
ich tippe auf: 0,5*sqrt(15^2+30^2)≈16,77 - und jetzt schaue ich mir das Video an!
Erstaunlich, wie viele Lösungswege in den Kommentaren beschrieben wurden.
Ich hab das ganze mit einer koordinatischen Herangehensweise berechnet, Schnittpunkt der Geraden und dann Satz vom Pythagoras. Mathematisch soweit ich sehe alles korrekt, aber bin dann am Ende auf ca 16,46 gekommen🤷🏻♂️
Mit ein bisschen mathematisch-geometrischem Verständnis erhält man folgende einfache Formel mit den 3 gegebenen bekannten Größen:
x=(A³/G²)*(1-cos@)
mit
A=30m
G=15m
@=30°
folgt
x=120m*(1-√3/2)
x=16,077 m
Stimmt.
Du erkennst: den unteren rechten Winkel brauchst du gar nicht explizit zu berechnen. Der ist vollkommen uninteressant. Damit ist der Arkustangens raus. In der Folge ist natürlich auch der Sinus raus. Der obere stumpfe Winkel ist sowieso obsolet. Der Kosinus von 30 Grad wird nur noch gebraucht. Ich habe ihn durch √3/2 ersetzt.
Uns wurde eingebläut symbolisch bis zum Schluss zu rechnen und die Zahlenwerte erst in die fertige Formel einzusetzen. Versetze dich mal 50 Jahre zurück und versuche mal, die Aufgabe ohne Taschenrechner zu lösen. Allenfalls mit Rechenschieber, nur der kann nicht addieren und subtrahieren.
Aber es gibt nicht Einfaches, was nicht noch einfacher zu machen geht. Denn es ist auch:
x=A/(1+cos@)
x=30m/(1+√3/2)
x=16,077 m
WIll heißen: die Gegenkathete brauchst du noch nicht mal zu Berechnung.
(Daniel hatte zwar dieselbe Formel gepostet, aber ich bin auf anderem Weg dahin gelangt.)
Fährst du eigentlich immer von deinem schönen Kaiserslautern aus über Hamburg, wenn du nach München willst???
Ich hab’s genauso gerechnet, außer, dass ich erst die Hypotenuse berechnet und den Sinus genommen hab. Ich hab irgendwie eine Abneigung gegen tangens, seltsam 😳
Erst dachte ich das wäre die Seitenhalbierende mit ≈ 16.77, aber die hätte keine 30 Grad, sondern ≈ 26,565 Grad und dann wäre es ein Gleichschenkliges Dreieck, aber bei 30 Grad komme ich dann auf ≈16,077.
Meine Frage: Ist es erlaubt den ALPHA dort zu platzieren wo der BETA liegt!? 🤔
Warum nicht sqrt(15**2 + 7.5**2)?
Und warum sollte das das Ergebnis sein? Ohne Begründung kann man auch fragen "Warum nicht 42?"
Mit Pythagoras schneller erledigt und einfacher. √(15^(2)+30^(2))÷2
Stimmt. Ist schneller. Aber dafür auch falsch. Aber irgendwas ist ja immer.
Ich bin raus... 😪
Aber mein Rechner hatte das gleiche Ergebnis... 😅
cos(30)=x/30
cos(30)*30=x
90 Grad minus 30 Grad gleich 60 Grad. Winkelsumme 180 Grad - gleichseitiges Dreieck. Rote Strecke ist also 15cm lang.
Stimmt leider nicht. Der Winkel oben links ist 63,43°. (ArcTan von 2). Bin ich auch drauf reingefallen...
Das würde nur für ein gleichschenkliges Dreieck mit je 60° in allen Winkeln gelten. Das weiß man aber nicht.
Wenn du das Dreieck nach unten spiegelst, erhälst du ein großes gleichschenkliges Dreieck mit Grundseite 30 cm (senkrecht) und Höhe 30 cm (waagerecht). Da das Dreieck gleichschenklig ist und Höhe=Grundseite, so erkennt man daran, dass Schenkel > Grundseite und daher der Winkel oben links größer als 60° sein muss. Das ist der Grund, warum deine Annahme mit 60° nicht stimmen kann.
Hallo du liebe...!
X könnte die Seitenhalbierende sein,tippe ich..
Btw, i❤u
...stur alle Seiten (Pytagoras) berechnen, danach die Winkel. Dann im kleinen Dreieck...
Nicht so elegant wie bei dir aber auch zielführend.
Bei meinem Taschenrechner muss ich für jede Operation 10 Cent einwerfen; deswegen überlege ich mir genau, ob ich Sachen berechne, die ich am Ende gar nicht brauche.
@@WK-5775 Dann solltest du vielleicht auf einen gebührenfreien Rechenschieber (z.B. Aristo Scholar) umsteigen. :-)
Viel zu kompliziert und viel zu umständlich. Nach 1 Minute hatte ich bereits die gesuchte Länge. Natürlich ohne sin, cos und tan.
Habe ein passendes Dreieck gezeichnet und Linie mit 30° eingezeichnet. Einfach die Länge gemessen und fertig.
Geht auch viel einfacher. Nach dem Satz des Thales ist x halb so lang wie die Hypotenuse. Deren Länge bekommt man leicht über den Satz des Pythagoras.
Ist aber falsch.
Der Denkfehler besteht darin, zu glauben, dass die gesuchte Strecke die Hypothenuse halbiert oder - gleichbedeutend - dass die gesuchte Strecke ein Radius des Thales-Kreises ist. Dass dem nicht so ist, sieht man daran, dass das "rechte untere" Teildreieck kein gleichseitiges ist: von den spitzen Winkeln beträgt der eine 30°, aber der andere nicht, denn sein Tangens ist 1/2 und sein Sinus deswegen nicht. (Wie groß der genau ist, braucht man gar nicht zu wissen, zumal es so eine krumme Kommazahl ist.)
x=17.31
y=15-0,5x
y=x*tan30
Schnittpunkt
15-0,5x= tan30=0,866 (Fehler! s.unten)
1,366x=15
x=11,28
L=x÷cos30= 13 m
Fehlerberechtigung
tan30= 0,577 und nicht 0,866!
15- 0,5x= 0,577x
x = 15÷ 1,077
x= 13,92
L= x÷ cos 30 =
L=13,92: 0,866= 16,08 m
X ist Koordinate des Schnittpunktes der Hypotenuse und der rot markierten Linie.
Warum einfach wenn`s auch kompliziert geht?
L=√{ [ 15 / ( tan(30)+0,5 ) ]² + [ 15*tan(30) / ( tan(30)+0,5 ) ]² }
L= 16,0769515458674 m
Sehe gerade @gelbkehlchen hatte die gleiche Idee.
P.S. Ich mag Lösungen OHNE Rundungsfehler.