Es ist perfekt, dass du alle Möglichkeiten in einer Aufgabe aufzeigst, um alle Fälle abzudecken. Die meisten Videos zeigen eben nur die häufigsten und einfachsten Fälle. Und dann auch noch so sympathisch und auf Augenhöhe kommunizieren und erklären. Wenn man mal etwas verzweifelt ist und nicht weiterkommt, stoßt man auf dein Video und durch deine gute Laune und Faszination fühlt man sich so erleichtert. Bin so ein Fan von dir!
Hey Peter ich find‘s echt krass, dass du so viel Zeit, Leidenschaft und vor allem auch Mühe in deine Videos reinsteckst. Das merkt man. Und ich finds super dass du ALLE Fallbeispiele ausführlich auflistest und schrittweise erläuterst. Ich bin vor ein paar Tagen auf dein Kanal aufmerksam geworden und hab locker in der kurzen Zeit mehr als die hälfte deiner Videos angeschaut. Sie sind sehr nützlich. Danke man 💯👍🏼
Vorlesung angeguckt, einen Teil nicht verstanden...Internet durchforstet...videos angeguckt...beispiele angeguckt... problem noch nicht behoben. Video von dir angeguckt -> Problem behoben. Danke!
Verständlich. Ich hab den Koeffizientenvergleich mittlerweile auch ganz lieb gewonnen, vor allem bei Differential- und Differenzengleichungen mit Störfunktionen, die Summen verschiedener Störfunktionen sind.
richtig gut erklärt. ich dachte auch ich hätte alles verstanden aber ich habe leider immer noch ein problem. wir müssen in elektrotechnik elektrische netzwerke mit hilfe von laplace analysieren. dafür müssen die gleichungen aber oft durch partialbruchzerlegung in das richtige format gebracht werden. mit deiner art das zu berechnen, besonders die komplexen nullstellen, ist es sehr viel einfacher als es mein prof macht. allerdings kommen andere ergebnisse raus. (in deinem beispiel) aus dem letzten polynom im nenner x^2 + 2^2 macht mein prof (x - 2i)(x + 2i). die bekommen dann bei der zerlegung natürlich jeweils einen bruch und als konstanten kommen oben A und A* (also konjugiert komplex) drauf. wenn er dann die werte für die konstanten berechnet kommen komplexe zahlen dafür raus. mit deinem weg immer nur reelle. bei der rücktransformation in den zeitbereich kommen dann auch wieder andere ergebnisse raus. bei seinen ergebnissen gibt es im sin und cos eine phasenverschiebung. ich hoffe das war halbwegs verständlich und du kannst mir eventuell weiterhelfen
Du kannst gern im reellen bleiben, denn die Rücktransformation von a/(s^2+a^2) in den Zeitbereich lautet sin(a*t). Und die Rücktransformation von s/(s^2+a^2) lautet cos(a*t). Du kannst natürlich das ganze auch in die komplexen Nullstellen zerlegen und dann im Zeitbereich mit der Eulerformel die komplexen Lösungen wieder zum reellen sin und cos zusammenfassen. Was ich sagen will: Scheiß auf den Weg von deinem Prof, macht doch gar keinen Sinn. Wenn er es ordentlich zusammenfasst, kommt am Ende das gleiche raus, als hättest du die ganze Zeit im Reellen gearbeitet. Dauert nur länger, weil er es erst zerlegt und später wieder zusammensetzt.
@@MathePeter vielen dank für deine schnelle antwort. super nett. ich glaube ich habe ein zu einfaches beispiel genommen. ich habe mal zwei fotos hochgeladen mit den rechenwegen. einmal deine variante und einmal die von meinem prof. die von meinem prof hat ein anderes ergebnis als deine. eventuell kann man das ja noch in die form von meinem prof umwandeln aber ich seh es einfach nicht. eventuell habe ich ja auch einen fehler bei der rücktransformation gemacht www.bilder-upload.eu/bild-fe3fba-1614006613.jpg.html www.bilder-upload.eu/bild-6b7f15-1614006658.jpg.html
Vielen Dank, das geht weit über das hinaus, was auf anderen YT-Kanälen zu dem Thema gebracht wird. Super, dass alle möglichen "Hindernisse" aufgebaut und gelöst wurden! 🙂
Einfach wieder Spitze. Du hast mir jetzt schon mehrfach in Situationen weitergeholfen die ich in der VL nicht verstanden habe. Danke p.s. Planst du oder hast du ein Video zu Fourier-Entwicklung?
Hi MathePeter! Ich hatte vorhin Klausur und in einer Aufgabe sollte man ne Partialbruchzerlegung von f(x) = 1/((x^2+1)*(1-x)^2)) durchführen. Die 1 im Zähler kam mir schon seltsam vor, aber gut: Mein Ansatz war dann: f(x) = (A*X+B)/(x^2+1) + C/(1-x)^2 + D/(1-x) Dann hab ich mit den 3 Nennern durchmultipliziert und kam auf den Term 1 = (AX+B)(1-x)^3 + C(x^2+1)(1-x) + D(x^2+1)*(1-x)^2 Nun hab ich die einzige reelle Nullstelle nämlich x = 1 eingesetzt, und kam auf die grandiose Aussage 1 = 0, und ich kam leider nicht weiter mit der Aufgabe. Ich weiß nicht ob ich komplett aufm Schlauch stehe, oder handelt es sich hier um einen weirden Sonderfall? :D Eventuell hast du, oder ein Anderer Zuschauer, mal Zeit und Lust diesen Fall anzusehen :) Viele Grüße, dein größter Fan
Update: Mir ist nun aufgefallen, dass ich nicht richtig mit den Nennern durchmultipliziert habe. Linke Seite muss (1 - x) heißen. Nun bin ich aber mit der Methode für x Werte einsetzen trotzdem nicht weitergekommen. Hab ein paar Zahlen ausprobiert, und habe viele seltsame Gleichungen rausbekommen. Dann hab ichs mit dem schlimmen Koeffizientenvergleich probiert, dann das riesige 5 x 4 Gleichungsystem gelöst, nur um dann festzustellen, dass meine Lösung nicht mit der aus Wolfram Alpha übereinstimmt
Update 2: Lol, habe es jetzt hinbekommen. Arithmetik ist nicht meine Stärke, vor allem nicht in Prüfungssituationen :D Der korrekte Ansatz ist 1 = (AX+B)(1-x)^2 + C(x^2+1)(1-x) +D(x^2+1) Allerdings kam ich im Folgenden leider nicht ohne Koeffizientenvergleich aus
Sehr schön! Du kannst statt dem Koeffizientenvergleich auch einfach verschiedene x-Werte einsetzen. Zum Beispiel liefert dir x=1 direkt dem Wert D=1/2.
Wie ist das, wenn das Nennerpolynom sich nicht weiter faktorisieren lässt, weil es keine Nullstellen des noch zu faktorisierenden Teils gibt? Soweit bin ich im Nenner gekommen: (x-1)*(x^4+4x^2+4) Bin etwas verzweifelt.. Kann man dann die Partialbruchzerlegung nicht machen? PS. Wir hatten im Studium die komplexen Zahlen noch nicht, also glaube ich nicht, dass unser Dozent eine Antwort mit diesen erwartet. Bin erst im 1. Semester :D Danke schon mal :) Und echt tolle Videos, vielen Dank :) Die helfen mir sonst immer sehr :)
Du kannst x⁴ + 4x² + 4 noch mit Hilfe der Quadratischen Ergänzung umschreiben zu (x²+2)². Damit hast du 2 komplexe Nullstellen im Nenner, x=±sqrt(2)i, und die sind auch jeweils noch doppelte Nullstellen wegen dem hoch 2. Und die Idee ist jetzt, dass du, genau wie im Video, trotz der komplexen Nullstellen, einfach im Reellen bleibst. Das macht die Sache viel einfacher. Kannst allerdings trotzdem gern komplexe Zahlen am Ende einsetzen, kannst aber auch bei reellen Zahlen bleiben, was dir besser gefällt. Kannst auch den Koeffizientenvergleich machen. Der Ansatz sollte in auf jeden Fall so hier aussehen: p(x) A Bx+C Dx+E --------------------- = ---------- + --------------- + ------------------- (x-1)*(x²+2)² x-1 x²+2 (x²+2)²
@@MathePeter Vielen Dank für die schnelle Antwort :) Haben es heute nachgerechnet und es war genau wie du gesagt hast :D Ich bin ein Dulli. An die quadratische Ergänzung habe ich überhaupt nicht gedacht und da wäre ich leider von alleine auch nie drauf gekommen. Ich hoffe, ich entwickle irgendwann einen Blick für solche Dinge. Dankeschön :)
Ja das wird schon :) Alternativ kannst du auch von z²+4z+4 die Nullstellen mit der pq-Formel bestimmen, das ist hier die doppelte Nullstelle z=-2, also z+2=0 bzw, zweimal der Faktor x²+2 als Nullstelle des Nenners.
Ich habe mal dein Beispiel vom Anfang des Vidoes 2x²-5/x^4 -x³-5x²-x-6 probiert. Den Nenner habe ich zu (x-3)(x+2)(x²+1) faktorisiert. Ich habe eine Frage zur komplexen Nullstelle und zum Koeffizientenvergleich.. Durch Umstellen von x²+1 erhält man ja x = +-i . Wenn man das in den Zähler einsetzt 2*i²-5 = -7 . Man hat hier keinen Anteil mit i . Steht das dann für 0i beim Koeffizientenvergleich? Auf der anderen Seite stehen Werte mit und ohne i . (-7 = -7Ci +C -7D +Di)
Ja hab ich auch noch vor. Bin grad dabei die Playlist von Linearer Algebra etwas zu füllen, dann kommen bald Fourier Reihen und dann mal schauen wie es weiter geht im Sommer :)
Zwei Ergänzungen (ich habe das Video nur kurz ohne Ton durchgeschaut, vielleicht hast du ja also beides schon mündlich erwähnt): 1) Bei der doppelten Polstelle kann man stattdessen auch, wie bei den komplexen Polstellen, einen Ansatz mit einem linearen Nenner verwenden, also (Bx + C)/(x - 1)². 2) Um die Koeffizienten in der Gleichung ab 11:00 zu bestimmen, könnte man auch verwenden, dass die Gleichung nicht nur für die Funktionen links und rechts selbst, sondern auch für alle ihre Ableitungen gelten muss.
Das erste hab ich nicht erwähnt, weil ich meist daran interessiert bin den Term komplett zu zerlegen. Und (2) find ich interessant. Kannst du das genauer ausführen?
@@MathePeter Was soll ich da genauer ausführen? Man kann halt links und rechts ableiten und nach dem Ableiten erst Werte einsetzen. Ist meist zwar recht umständlich, aber prinzipiell auch möglich und kann in manchen Fällen dazu führen, dass die Rechnung einfacher wird. Hier z. B. habe ich konkrete Beispiele dafür: www.feuerbachers-matheseite.de/PBZ_mehrfach_quadratisch.pdf
Eine Begründung, warum die Methode funktioniert, wäre noch schön gewesen. Kann es mir aber mittlerweile denken. In dem Videobeispiel fänd ich aber das Ableiten etwas umständlicher wegen der wiederholten Produktregeln mit 3 Faktoren.
@@MathePeter Die Begründung hatte ich doch im ursprünglichen Kommentar schon gegeben? Weil die Funktionen auf beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen müssen, müssen natürlich auch alle ihre Ableitungen übereinstimmen. (Ja, ok, nachdem ich meinen ursprünglichen Kommentar nochmal durchgelesen habe: So wirklich explizit hatte ich die Begründung da nicht gesagt, sorry. :( ).
Hi Ich habe mal ne Frage : Sollte die Bedingung nicht erfüllt sein, da mein Nenner größer als mein Zähler ist, soll ich die Polynomdivision nur am Nenner durchführen oder auch am Zähler?
Die Polynomdivision führst du mit Zähler und Nenner gemeinsam durch. Der Zähler wird durch den Nenner geteilt. Dafür muss der Zähler aber einen mindestens so großen Grad haben wie der Nenner. Erst wenn du damit fertig bist, also der Zähler einen echt kleineren Grad hat als der Nenner, dann kannst du mit diesem Video hier starten.
Kann man auch im Komplexen eine Partialbruchzerlegung durchführen. Also wenn h(x)= 1/(x^2+1) = 1/((x+i)(x-i)) = A/(x+i) + B/(x-i) Worauf sollte man nun hier achten ? Aber es kann auch gut sein dass es keine gibt, da meine Berechnung für das Beispiel ergibt, dass B-A = i^3 & A+B = 0 sein muss und ich habe keine Ahnung ob das möglich ist ??
Ja, das klappt durchaus. Du machst dir das Leben allerdings ein wenig schwer... i^3 ist doch einfach dasselbe wie -i. Und dann musst du einfach das lineare Gleichungssystem lösen; du kommst da schnell auf B = -i/2 und A = i/2.
Ja, das klappt durchaus. Du machst dir das Leben allerdings ein wenig schwer... i^3 ist doch einfach dasselbe wie -i. Und dann musst du einfach das lineare Gleichungssystem lösen; du kommst da schnell auf B = -i/2 und A = i/2.
Hallo, Wie teile ich das auf, wenn ich noch einen Vorfaktor vor der Klammer stehen habe ? Also in meinem Fall wäre das jetzt 3(x-1)*2... wäre es dann A/3(x-1)*1 und B/3(x-1)*2 ? oder wie muss man den Vorfaktor behandeln ?
Eine Aufgabe von mir wo ich nicht weiterkomme: Im Nenner der Gleichung steht x^4 + 4 Es müssen also vier komplexe Nullstellen existieren. +/- Vierte wurzel aus (i^2 * 4) und weiter? Wie lauten die Nullstellen
Die Lösungen von x^4+4=0 lauten x=±√(±2i). Schau dir mal mein Video an, wie du die Quadratwurzel aus komplexen Zahlen ziehen kannst auch ohne eine trigonometrische Form.
@@MathePeter heißt das, dass das noch kommt?😁 schreibe dazu am Donnerstag mitunter eine Klausur und tu mir echt schwer damit weil jedes integral gefühlt ne andere integrationsbedingung hat 😂
@@MathePeter Hallo Peter, ich muss den leider zerlegen, da ich die Originalfunktion der Laplacetransformierten berechnen soll. Wenn ich den Zerlege habe ich im Nenner ((x+2)^2)+1 stehen und weiß leider nicht, was mit der +1 passieren muss. Vielen Dank vorab Gruß Christian
Du kannst auch gern in komplexe Nullstellen zerlegen, eine Laplacetransformation durchführen und dann die komplexen Zahlen wieder zusammen fassen. Oder du kommst in einem Bruchteil der Zeit direkt zur Lösung. An deiner Stelle würde ich einfach schreiben (x-1)/(x²+4x+5) = (x-1)/((x+2)²+1) = (x+2)/((x+2)²+1) - 3*1/((x+2)²+1). Jetzt einfach direkt beide Summanden zurück transformieren. f(t)=cos(t)*e^(-2t)-3*sin(t)*e^(-2t). Die Laplacetransformierten von sin und cos stehen mit Sicherheit in der Tabelle, die euch eurer Prof gegeben hat.
Auch eine Möglichkeit aber wenn ich bei 1/(z^2+1)^2 die Laurent-Reihe entwickeln und schauen möchte, wie die geometrische Reihe da drin steckt, wäre eine Partialbruchzerlegung erwünscht. Kommen eigentlich bei dir auch mal Videos zur Funktionentheorie? :D
Du kannst auch einfach in die komplexen Nullstellen zerlegen, also A/(z-i) + B/(z-i)^2 + C/(z+i) + D/(z+i)^2, weil ja i und -i jeweils doppelte Nullstellen sind.
Maaaan, ich hab natürlich wieder irgendeinen super Sonderfall mit "x^5-7x^4+26x^3-62x^2+85x-75" im Nenner xD (x-3)*(x^2-2x+5)^2 --> Hab ich dann beim letzten Bruch vier Unbekannte im Nenner? Wo muss ich dann das x in den Nenner schreiben? Aber trotzdem danke für das Video, ist sehr gut erklärt ^^
Der Nenner ist ein Polynom 5. Grades, also gibts insgesamt 5 Unbekannte: P(x) A B*x+C D*x+E ------------------------------ = -------------- + -------------------- + --------------------------- (x-3)*(x^2-2x+5)^2 x-3 x^2-2x+5 (x^2-2x+5)^2
@@MathePeter Woah, danke für die schnelle Antwort! Bin aufs gleiche gekommen mit dem Video, war mir nur nicht ganz sicher, ob es so richtig ist... Jetzt weiß ichs, danke!!
Müsste man nicht noch einmal die Partialbruchzerlegung am Ende anwenden bevor man dann die Stammfunktion bilden kann. Da wir ja wieder eine rationale Funktion mit dabei haben?
Im reellen lässt sich die Funktion nicht noch weiter in partielle Brüche zerlegen. Wenn du am Ende die Stammfunktion bilden willst, kannst du das mit der Substitutionsregel machen.
![เปิดใจ พี่ญา คนรุม หลังทัวร์ลง หนักสุดในชีวิต!! l [Nickynachat]](http://i.ytimg.com/vi/2-OJZRtclro/mqdefault.jpg)
Ich hoffe du bist genauso glücklich im Leben, wie du Mathematik machst
Es ist perfekt, dass du alle Möglichkeiten in einer Aufgabe aufzeigst, um alle Fälle abzudecken. Die meisten Videos zeigen eben nur die häufigsten und einfachsten Fälle. Und dann auch noch so sympathisch und auf Augenhöhe kommunizieren und erklären. Wenn man mal etwas verzweifelt ist und nicht weiterkommt, stoßt man auf dein Video und durch deine gute Laune und Faszination fühlt man sich so erleichtert. Bin so ein Fan von dir!
Vielen Dank, macht mich sehr glücklich zu erfahren 😊
perfekte erklärung, vielen dank, du rettest uns Studenten das Leben ^^
Das beste, deutschsprachige Video zu diesem Thema auf TH-cam!!
Hey Peter ich find‘s echt krass, dass du so viel Zeit, Leidenschaft und vor allem auch Mühe in deine Videos reinsteckst. Das merkt man. Und ich finds super dass du ALLE Fallbeispiele ausführlich auflistest und schrittweise erläuterst. Ich bin vor ein paar Tagen auf dein Kanal aufmerksam geworden und hab locker in der kurzen Zeit mehr als die hälfte deiner Videos angeschaut. Sie sind sehr nützlich. Danke man 💯👍🏼
Vorlesung angeguckt, einen Teil nicht verstanden...Internet durchforstet...videos angeguckt...beispiele angeguckt... problem noch nicht behoben. Video von dir angeguckt -> Problem behoben. Danke!
Um Welten besser erklärt als der Prof. !
genau mein Stil. Jede mögliche Spezialfälle in einer einzigen Aufgabe !!!! perfekt
Geil, vielen Dank! Brauch ich aktuell in meinem Ingenieursstudium wieder und ging ausreichend in die Tiefe, nicht nur auf Schulniveau.
Unglaublich gut erklärt! wirklich so viel besser als es in den Büchern steht!
Mega gut erklärt und dann noch mit so krass viel Motivation, sodass es schon fast Spaß gemacht hat dir beim rechnen zuzusehen!
Echt mega das Video.
Extremst gut, vielen Dank, das hilft mir gerade echt weiter. Fands auch gut, dass du den kompliziertesten Fall noch reingebaut hast so als Leitline
Hallo Peter, perfekte Aufgabe. Ich bevorzuge allerdings die Lösung mit dem Koeffizientenvergleich. Vielen Dank für deinen Einsatz. Klasse.
Verständlich. Ich hab den Koeffizientenvergleich mittlerweile auch ganz lieb gewonnen, vor allem bei Differential- und Differenzengleichungen mit Störfunktionen, die Summen verschiedener Störfunktionen sind.
Wie immer sehr gutes Video! Und passt auch wieder perfekt zum Stoff in der Uni! (wie schaffst du das mit jedem Video)? 👍 Keep up the good work!
Vielen Dank für deine tolle ausführliche Erklärung. Ich bin so froh, dass es so gute Mathe Erklärvideos gibt. Ohne diese wäre ich aufgeflogen.
Für alle, die MathePeter nach der Abschaffung des Dislike-Buttons entdeckt haben;
Peter hat nie Dislikes bekommen
Ich wollte nur mal kurz reingucken... Joah, ist dann doch das ganze Video geworden. Machst du sehr gut Peter, Danke!
Hammer Video! Wieso können unsere Professoren nicht so erklären wie du!
Bester Mensch Deutschlands
Sehr geiles Video, gucke seit einer Woche deine Videos und fast 6 Wochen Vorlesung aufgeholt.. Danke dir!
Nice, das freut mich! :)
richtig gut erklärt. ich dachte auch ich hätte alles verstanden aber ich habe leider immer noch ein problem. wir müssen in elektrotechnik elektrische netzwerke mit hilfe von laplace analysieren. dafür müssen die gleichungen aber oft durch partialbruchzerlegung in das richtige format gebracht werden. mit deiner art das zu berechnen, besonders die komplexen nullstellen, ist es sehr viel einfacher als es mein prof macht. allerdings kommen andere ergebnisse raus. (in deinem beispiel) aus dem letzten polynom im nenner x^2 + 2^2 macht mein prof (x - 2i)(x + 2i). die bekommen dann bei der zerlegung natürlich jeweils einen bruch und als konstanten kommen oben A und A* (also konjugiert komplex) drauf. wenn er dann die werte für die konstanten berechnet kommen komplexe zahlen dafür raus. mit deinem weg immer nur reelle. bei der rücktransformation in den zeitbereich kommen dann auch wieder andere ergebnisse raus. bei seinen ergebnissen gibt es im sin und cos eine phasenverschiebung. ich hoffe das war halbwegs verständlich und du kannst mir eventuell weiterhelfen
Du kannst gern im reellen bleiben, denn die Rücktransformation von a/(s^2+a^2) in den Zeitbereich lautet sin(a*t). Und die Rücktransformation von s/(s^2+a^2) lautet cos(a*t). Du kannst natürlich das ganze auch in die komplexen Nullstellen zerlegen und dann im Zeitbereich mit der Eulerformel die komplexen Lösungen wieder zum reellen sin und cos zusammenfassen. Was ich sagen will: Scheiß auf den Weg von deinem Prof, macht doch gar keinen Sinn. Wenn er es ordentlich zusammenfasst, kommt am Ende das gleiche raus, als hättest du die ganze Zeit im Reellen gearbeitet. Dauert nur länger, weil er es erst zerlegt und später wieder zusammensetzt.
@@MathePeter vielen dank für deine schnelle antwort. super nett. ich glaube ich habe ein zu einfaches beispiel genommen. ich habe mal zwei fotos hochgeladen mit den rechenwegen. einmal deine variante und einmal die von meinem prof. die von meinem prof hat ein anderes ergebnis als deine. eventuell kann man das ja noch in die form von meinem prof umwandeln aber ich seh es einfach nicht. eventuell habe ich ja auch einen fehler bei der rücktransformation gemacht
www.bilder-upload.eu/bild-fe3fba-1614006613.jpg.html
www.bilder-upload.eu/bild-6b7f15-1614006658.jpg.html
Aiii Mensch du erklärst sooo geil und bist so gut bei der Materie dabei… besten Dank
Dankeschön, dieses Video hat mir sehr geholfen :) Wunderbar erklärt
Ich bin dir so dankbar 🫶🏻
Ich Küsse dein Herz ♥️
Durch dich fühle ich mich nicht mehr dumm ❤❤
Ich wünsche dir ein liebevolles Leben
Das ist richtig lieb, vielen Dank!! Wünsche dir auch alle Gute weiterhin 🥰
Mein Mathe-Prof. hat es nicht geschafft es gut zu erklären. Danke dir, konntest mir sehr helfen! :)
Vielen Dank, das geht weit über das hinaus, was auf anderen YT-Kanälen zu dem Thema gebracht wird. Super, dass alle möglichen "Hindernisse" aufgebaut und gelöst wurden! 🙂
Unglaublich gut erklärt danke dir peter
Super erzählt 🎉
Wow ich konnte sooooo viel aus diesem Video mitnehmen vielen Dank 🫶
Das freut mich! :)
heftiges Video, Dankeschön
Bester Kanal auf TH-cam
Ein Gott im erklären
sehr gut! Danke!
Absolut geniales Video, vielen Dank!
Hast mir grade massiv Weitergeholfen!
Sehr gut erklärt. Danke
Peter ich liebe dich .. Du bringst mich durch mein Studium! Mein Mathe Prof ist die größte Flöte der Welt und kann/mag nicht dir etwas aneignen.
Im deutschsprachigen Raum definitiv der beste
Vielen Dank! 🥰
Danke man!
Für mein Verständnis: ausgezeichnet!
Danke.
Einfach SUPER
Einfach wieder Spitze. Du hast mir jetzt schon mehrfach in Situationen weitergeholfen die ich in der VL nicht verstanden habe. Danke
p.s.
Planst du oder hast du ein Video zu Fourier-Entwicklung?
Ja, das gehe Thema gehe ich in 2-3 Wochen an, wird dann Mitte Juli veröffentlicht ;)
Hi MathePeter! Ich hatte vorhin Klausur und in einer Aufgabe sollte man ne Partialbruchzerlegung von f(x) = 1/((x^2+1)*(1-x)^2)) durchführen. Die 1 im Zähler kam mir schon seltsam vor, aber gut: Mein Ansatz war dann: f(x) = (A*X+B)/(x^2+1) + C/(1-x)^2 + D/(1-x) Dann hab ich mit den 3 Nennern durchmultipliziert und kam auf den Term 1 = (AX+B)(1-x)^3 + C(x^2+1)(1-x) + D(x^2+1)*(1-x)^2 Nun hab ich die einzige reelle Nullstelle nämlich x = 1 eingesetzt, und kam auf die grandiose Aussage 1 = 0, und ich kam leider nicht weiter mit der Aufgabe. Ich weiß nicht ob ich komplett aufm Schlauch stehe, oder handelt es sich hier um einen weirden Sonderfall? :D Eventuell hast du, oder ein Anderer Zuschauer, mal Zeit und Lust diesen Fall anzusehen :) Viele Grüße, dein größter Fan
Update: Mir ist nun aufgefallen, dass ich nicht richtig mit den Nennern durchmultipliziert habe. Linke Seite muss (1 - x) heißen. Nun bin ich aber mit der Methode für x Werte einsetzen trotzdem nicht weitergekommen. Hab ein paar Zahlen ausprobiert, und habe viele seltsame Gleichungen rausbekommen. Dann hab ichs mit dem schlimmen Koeffizientenvergleich probiert, dann das riesige 5 x 4 Gleichungsystem gelöst, nur um dann festzustellen, dass meine Lösung nicht mit der aus Wolfram Alpha übereinstimmt
Update 2: Lol, habe es jetzt hinbekommen. Arithmetik ist nicht meine Stärke, vor allem nicht in Prüfungssituationen :D Der korrekte Ansatz ist 1 = (AX+B)(1-x)^2 + C(x^2+1)(1-x) +D(x^2+1) Allerdings kam ich im Folgenden leider nicht ohne Koeffizientenvergleich aus
Sehr schön! Du kannst statt dem Koeffizientenvergleich auch einfach verschiedene x-Werte einsetzen. Zum Beispiel liefert dir x=1 direkt dem Wert D=1/2.
@@MathePeter Danke dir! jau ich versuche es nochmal über einsetzen :)
Danke sehr :D
Dankeeee!
Danke für diese fiese Aufgabe :)!! Die ausführliche Erklärung hat sehr geholfen!
du bist bester mann wo gibts
geiles Video ! NUR LEIDER NERVT DIE übertrieben oft auftretende WERBUNG sooo doll das man immer wieder aus der Materie kommt -,-
peter sei dank, ich muss hier kein cramescher regel anwenden . Das dauert immer so lange XD
Bitte mehr Uni mathe !
Definitiv! Jeden Sonntag ;)
Wie ist das, wenn das Nennerpolynom sich nicht weiter faktorisieren lässt, weil es keine Nullstellen des noch zu faktorisierenden Teils gibt? Soweit bin ich im Nenner gekommen: (x-1)*(x^4+4x^2+4) Bin etwas verzweifelt.. Kann man dann die Partialbruchzerlegung nicht machen? PS. Wir hatten im Studium die komplexen Zahlen noch nicht, also glaube ich nicht, dass unser Dozent eine Antwort mit diesen erwartet. Bin erst im 1. Semester :D
Danke schon mal :) Und echt tolle Videos, vielen Dank :) Die helfen mir sonst immer sehr :)
Du kannst x⁴ + 4x² + 4 noch mit Hilfe der Quadratischen Ergänzung umschreiben zu (x²+2)². Damit hast du 2 komplexe Nullstellen im Nenner, x=±sqrt(2)i, und die sind auch jeweils noch doppelte Nullstellen wegen dem hoch 2. Und die Idee ist jetzt, dass du, genau wie im Video, trotz der komplexen Nullstellen, einfach im Reellen bleibst. Das macht die Sache viel einfacher. Kannst allerdings trotzdem gern komplexe Zahlen am Ende einsetzen, kannst aber auch bei reellen Zahlen bleiben, was dir besser gefällt. Kannst auch den Koeffizientenvergleich machen. Der Ansatz sollte in auf jeden Fall so hier aussehen:
p(x) A Bx+C Dx+E
--------------------- = ---------- + --------------- + -------------------
(x-1)*(x²+2)² x-1 x²+2 (x²+2)²
@@MathePeter Vielen Dank für die schnelle Antwort :) Haben es heute nachgerechnet und es war genau wie du gesagt hast :D Ich bin ein Dulli. An die quadratische Ergänzung habe ich überhaupt nicht gedacht und da wäre ich leider von alleine auch nie drauf gekommen. Ich hoffe, ich entwickle irgendwann einen Blick für solche Dinge. Dankeschön :)
Ja das wird schon :)
Alternativ kannst du auch von z²+4z+4 die Nullstellen mit der pq-Formel bestimmen, das ist hier die doppelte Nullstelle z=-2, also z+2=0 bzw, zweimal der Faktor x²+2 als Nullstelle des Nenners.
Da braucht man doch noch nicht mal quadratische Ergänzung, das ist einfach nur direkt die 1. binomische Formel verwenden?
Ich habe mal dein Beispiel vom Anfang des Vidoes 2x²-5/x^4 -x³-5x²-x-6 probiert. Den Nenner habe ich zu (x-3)(x+2)(x²+1) faktorisiert. Ich habe eine Frage zur komplexen Nullstelle und zum Koeffizientenvergleich.. Durch Umstellen von x²+1 erhält man ja x = +-i . Wenn man das in den Zähler einsetzt 2*i²-5 = -7 . Man hat hier keinen Anteil mit i . Steht das dann für 0i beim Koeffizientenvergleich? Auf der anderen Seite stehen Werte mit und ohne i . (-7 = -7Ci +C -7D +Di)
Genau, wenn kein i vorhanden ist, kannst du einfach 0*i ergänzen für den Koeffizientenvergleich.
@@MathePeter Vielen Dank! Einmal für deine lehrreichen Videos und das du dir für Fragen auch noch die Zeit nimmst! Bleib Gesund und mach weiter so.
Nice interesting to learning
danke
Klasse video!!!
Danke♥
Hammer Typ
Sehr gutes Video! Hast du evtl. Pläne Videos zum numerischen Lösen von DGLs zu machen? Also z.B. das Runge-Kutta Verfahren und andere...
Lustiger name
Ja hab ich auch noch vor. Bin grad dabei die Playlist von Linearer Algebra etwas zu füllen, dann kommen bald Fourier Reihen und dann mal schauen wie es weiter geht im Sommer :)
Was ist das integral der komplexen nullstelle
Sehr gutes Video aber ist die 3 binomische formel falsch angewendet oder übersehe ich etwas
Vielen Dank! Welche Stelle im Video meinst du?
Geiles Video, wilde Frise
Zwei Ergänzungen (ich habe das Video nur kurz ohne Ton durchgeschaut, vielleicht hast du ja also beides schon mündlich erwähnt):
1) Bei der doppelten Polstelle kann man stattdessen auch, wie bei den komplexen Polstellen, einen Ansatz mit einem linearen Nenner verwenden, also (Bx + C)/(x - 1)².
2) Um die Koeffizienten in der Gleichung ab 11:00 zu bestimmen, könnte man auch verwenden, dass die Gleichung nicht nur für die Funktionen links und rechts selbst, sondern auch für alle ihre Ableitungen gelten muss.
Das erste hab ich nicht erwähnt, weil ich meist daran interessiert bin den Term komplett zu zerlegen. Und (2) find ich interessant. Kannst du das genauer ausführen?
@@MathePeter Was soll ich da genauer ausführen? Man kann halt links und rechts ableiten und nach dem Ableiten erst Werte einsetzen. Ist meist zwar recht umständlich, aber prinzipiell auch möglich und kann in manchen Fällen dazu führen, dass die Rechnung einfacher wird.
Hier z. B. habe ich konkrete Beispiele dafür: www.feuerbachers-matheseite.de/PBZ_mehrfach_quadratisch.pdf
Eine Begründung, warum die Methode funktioniert, wäre noch schön gewesen. Kann es mir aber mittlerweile denken. In dem Videobeispiel fänd ich aber das Ableiten etwas umständlicher wegen der wiederholten Produktregeln mit 3 Faktoren.
@@MathePeter Die Begründung hatte ich doch im ursprünglichen Kommentar schon gegeben? Weil die Funktionen auf beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen müssen, müssen natürlich auch alle ihre Ableitungen übereinstimmen. (Ja, ok, nachdem ich meinen ursprünglichen Kommentar nochmal durchgelesen habe: So wirklich explizit hatte ich die Begründung da nicht gesagt, sorry. :( ).
Alles gut, ist auf jeden Fall eine Überlegung wert. Hatte ich so noch gar nicht auf dem Schirm, danke dafür! 😊
Ehrenmann
Hi
Ich habe mal ne Frage :
Sollte die Bedingung nicht erfüllt sein, da mein Nenner größer als mein Zähler ist, soll ich die Polynomdivision nur am Nenner durchführen oder auch am Zähler?
Die Polynomdivision führst du mit Zähler und Nenner gemeinsam durch. Der Zähler wird durch den Nenner geteilt. Dafür muss der Zähler aber einen mindestens so großen Grad haben wie der Nenner. Erst wenn du damit fertig bist, also der Zähler einen echt kleineren Grad hat als der Nenner, dann kannst du mit diesem Video hier starten.
Kann man auch im Komplexen eine Partialbruchzerlegung durchführen. Also wenn h(x)= 1/(x^2+1) = 1/((x+i)(x-i)) = A/(x+i) + B/(x-i)
Worauf sollte man nun hier achten ?
Aber es kann auch gut sein dass es keine gibt, da meine Berechnung für das Beispiel ergibt, dass B-A = i^3 & A+B = 0 sein muss und ich habe keine Ahnung ob das möglich ist ??
Ja, das klappt durchaus. Du machst dir das Leben allerdings ein wenig schwer... i^3 ist doch einfach dasselbe wie -i. Und dann musst du einfach das lineare Gleichungssystem lösen; du kommst da schnell auf B = -i/2 und A = i/2.
Ja, das klappt durchaus. Du machst dir das Leben allerdings ein wenig schwer... i^3 ist doch einfach dasselbe wie -i. Und dann musst du einfach das lineare Gleichungssystem lösen; du kommst da schnell auf B = -i/2 und A = i/2.
tolles video, wirklich! eine rage: wäre es falsch, wenn man den Letzen Termin zerlegt hätte in komplexe NST, sodass i im Nenner vorkommt?
Das ist erlaubt, aber nicht notwendig. Weder für das Integrieren, noch die Laplacetransformation.
Goated🐐
Deine Videos sind einfach echt super!
Hallo,
Wie teile ich das auf, wenn ich noch einen Vorfaktor vor der Klammer stehen habe ?
Also in meinem Fall wäre das jetzt 3(x-1)*2... wäre es dann A/3(x-1)*1 und B/3(x-1)*2 ? oder wie muss man den Vorfaktor behandeln ?
Den Vorfaktor kannst du entweder rausziehen oder einfach in die Konstante A, B, ... mit aufnehmen.
mega video danke dir
Was ist aber wenn wir im Nenner (x^3+2) haben? Würde dann der Zähler so aussehen Dx^2+Ex+F
Bei ungeraden Potenzen gibts immer eine reelle Lösung. Die musst du erst mal rausfinden und abspalten.
Eine Aufgabe von mir wo ich nicht weiterkomme: Im Nenner der Gleichung steht x^4 + 4 Es müssen also vier komplexe Nullstellen existieren. +/- Vierte wurzel aus (i^2 * 4) und weiter? Wie lauten die Nullstellen
Die Lösungen von x^4+4=0 lauten x=±√(±2i). Schau dir mal mein Video an, wie du die Quadratwurzel aus komplexen Zahlen ziehen kannst auch ohne eine trigonometrische Form.
Hast du irgendwo ein Video zur komplexen Integration?😁
Leider noch nicht
@@MathePeter heißt das, dass das noch kommt?😁 schreibe dazu am Donnerstag mitunter eine Klausur und tu mir echt schwer damit weil jedes integral gefühlt ne andere integrationsbedingung hat 😂
Ja, in einigen Jahren auf jeden Fall!
Hallo, wie zerlegt man folgenden Bruch? x-1/x^2+4x+5 Vielen Dank vorab
Ich nehme an der Bruch heißt (x-1)/(x^2+4x+5)? In dem Fall würde ich den Bruch so lassen, weil der Nenner nur komplexe Nullstellen hat.
@@MathePeter Hallo Peter, ich muss den leider zerlegen, da ich die Originalfunktion der Laplacetransformierten berechnen soll. Wenn ich den Zerlege habe ich im Nenner ((x+2)^2)+1 stehen und weiß leider nicht, was mit der +1 passieren muss. Vielen Dank vorab
Gruß Christian
Du kannst auch gern in komplexe Nullstellen zerlegen, eine Laplacetransformation durchführen und dann die komplexen Zahlen wieder zusammen fassen. Oder du kommst in einem Bruchteil der Zeit direkt zur Lösung. An deiner Stelle würde ich einfach schreiben (x-1)/(x²+4x+5) = (x-1)/((x+2)²+1) = (x+2)/((x+2)²+1) - 3*1/((x+2)²+1). Jetzt einfach direkt beide Summanden zurück transformieren. f(t)=cos(t)*e^(-2t)-3*sin(t)*e^(-2t). Die Laplacetransformierten von sin und cos stehen mit Sicherheit in der Tabelle, die euch eurer Prof gegeben hat.
@@MathePeter Vielen Dank.
In welchen Teilbruch zerlege ich (z^2+1)^2 ? Das wäre ja wieder was mit komplexen Nullstellen, aber zweiter Ordnung.
Ich würde es nicht weiter zerlegen, sondern so lassen.
Auch eine Möglichkeit aber wenn ich bei 1/(z^2+1)^2 die Laurent-Reihe entwickeln und schauen möchte, wie die geometrische Reihe da drin steckt, wäre eine Partialbruchzerlegung erwünscht. Kommen eigentlich bei dir auch mal Videos zur Funktionentheorie? :D
Du kannst auch einfach in die komplexen Nullstellen zerlegen, also A/(z-i) + B/(z-i)^2 + C/(z+i) + D/(z+i)^2, weil ja i und -i jeweils doppelte Nullstellen sind.
soll ich mich nun auf den Stoff oder dich konzentrieren 😭
Du schaffst beides!! 😉
Müsste man Ax+B auch schreiben, wenn der Nenner x^2 - 4 zum Beispiel wäre?.
Könnte man, nur einfacher wäre es x^2-4=(x-2)*(x+2) zu zerlegen und dann A und B auf getrennte Brüche zu schreiben.
@@MathePeter Vielen Dank!
Maaaan, ich hab natürlich wieder irgendeinen super Sonderfall mit "x^5-7x^4+26x^3-62x^2+85x-75" im Nenner xD
(x-3)*(x^2-2x+5)^2 --> Hab ich dann beim letzten Bruch vier Unbekannte im Nenner? Wo muss ich dann das x in den Nenner schreiben?
Aber trotzdem danke für das Video, ist sehr gut erklärt ^^
Der Nenner ist ein Polynom 5. Grades, also gibts insgesamt 5 Unbekannte:
P(x) A B*x+C D*x+E
------------------------------ = -------------- + -------------------- + ---------------------------
(x-3)*(x^2-2x+5)^2 x-3 x^2-2x+5 (x^2-2x+5)^2
@@MathePeter Woah, danke für die schnelle Antwort! Bin aufs gleiche gekommen mit dem Video, war mir nur nicht ganz sicher, ob es so richtig ist... Jetzt weiß ichs, danke!!
Müsste man nicht noch einmal die Partialbruchzerlegung am Ende anwenden bevor man dann die Stammfunktion bilden kann. Da wir ja wieder eine rationale Funktion mit dabei haben?
Im reellen lässt sich die Funktion nicht noch weiter in partielle Brüche zerlegen. Wenn du am Ende die Stammfunktion bilden willst, kannst du das mit der Substitutionsregel machen.
@Mathepeter
rip Stift
was denkst du wieviele stifte schon verbraucht wurden?
-7= -7Ci +C -7D -Di sorry verschrieben
Fehler -3=-4*B-E ist richtig
Wo soll das Minus vom E herkommen?
Linkshänder!!! Igittigittigit!