Seit vielen Jahren nach dem Studium nicht mehr gehÃķrt, sehr interessant und erfrischend so anschaulich mit geschichtlichen Bezug mathematische Grundoperationen wieder zu sehen âšïļ
Obwohl ich Ingenieurwissenschaften studiert habe und auch viele Jahre in der Entwicklung gearbeitet habe, muss ich sagen, dass Du diese hÃķheren mathematischen Grundlagen sehr verstÃĪndlich und gut rÞberbringst. So wurde uns das in meiner Schulzeit nicht vermittelt. Weiter so!!!
Hallo zusammen, Frage bzgl der Stammfunktion. Warum ist die stammfunktion so definiert wie sie ist? Also int( x^2)=1/3x^3? Ist es âZufallâ , dass die stammfunktion immer den FlÃĪcheninhalt wiedergibt?
Du: was hat man denn von der berechnung einer Steigung einer Funktion oder dem Graphenverlauf... und was hat man von der FlÃĪchenberechnung unter der Linie??? also was macht man damit praktisch gesehen... was ist der nÃĪchste schritt und was ist auÃerhalb der dargestellten graphischen funktion der eigentlich berechnete Umpfzzz? ChatGPT: ChatGPT Die Berechnung der Steigung einer Funktion und die FlÃĪchenberechnung unter dem Graphen (Integrale) haben praktische Anwendungen in vielen Bereichen der Mathematik, Physik, Technik und Wirtschaft. Beide Konzepte sind zentral fÞr das VerstÃĪndnis des Verhaltens von Funktionen und helfen dabei, reale Probleme zu lÃķsen. Steigung einer Funktion (Ableitung) Die Steigung einer Funktion beschreibt die Ãnderungsrate einer GrÃķÃe in Bezug auf eine andere. Die Ableitung einer Funktion gibt an, wie schnell sich eine Funktion verÃĪndert. Praktisch gesehen hilft das in vielen Bereichen: Physik: Wenn man die Position eines Objekts als Funktion der Zeit kennt, beschreibt die Ableitung dieser Funktion die Geschwindigkeit. Eine weitere Ableitung wÞrde die Beschleunigung geben. Beispiel: Die Steigung eines Geschwindigkeit-Zeit-Graphen gibt die Beschleunigung an. Wirtschaft: Die Steigung der Umsatzkurve gibt an, wie schnell der Umsatz steigt oder fÃĪllt. Das kann helfen, Wendepunkte oder Maximierungen zu erkennen, um z. B. die beste Preisstrategie zu finden. Optimierung: Mithilfe der Ableitung lassen sich Extrempunkte (Minima und Maxima) von Funktionen bestimmen. Dies ist praktisch, um z. B. den optimalen Gewinn oder die minimalen Kosten in der Wirtschaft zu berechnen. FlÃĪchenberechnung unter dem Graphen (Integral) Die FlÃĪche unter dem Graphen (Integral) einer Funktion gibt den gesamten Wert einer GrÃķÃe Þber einen bestimmten Zeitraum oder Bereich an. Das Integral beschreibt, wie sich eine Menge im Laufe der Zeit akkumuliert: Physik: Das Integral der Geschwindigkeit Þber die Zeit gibt die zurÞckgelegte Strecke an. Wenn man weiÃ, wie sich die Geschwindigkeit eines Autos ÃĪndert, kann man durch Integration die gesamte Strecke berechnen. Wirtschaft: In der Finanzwelt kann das Integral helfen, den Gesamtwert einer variablen GrÃķÃe zu berechnen. Zum Beispiel kÃķnnte man die gesamte Akkumulation eines Kapitals oder die Summe von Einnahmen Þber einen bestimmten Zeitraum berechnen. Statistik: Das Integral der Dichtefunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable innerhalb eines bestimmten Bereichs liegt. Was macht man damit praktisch? Die Steigung und das Integral helfen dabei, VerÃĪnderungen zu verstehen und vorherzusagen: Steigung: Hilft, die momentane Ãnderungsgeschwindigkeit zu erkennen. Integral: Zeigt den Gesamtwert Þber einen Zeitraum oder eine Distanz. AuÃerhalb der grafischen Darstellung - Der eigentliche Zweck Die grafische Darstellung ist oft eine Visualisierung eines Problems. Der "eigentlich berechnete Umpfzzz" liegt in der Anwendung der gewonnenen Daten: Geschwindigkeit aus der Steigung, Entfernung oder Akkumulation durch Integration, Optimierung durch Ableitungen. Diese mathematischen Werkzeuge helfen uns also, nicht nur Funktionen auf einem Papier zu zeichnen, sondern reale PhÃĪnomene wie Bewegung, Wirtschaftsprozesse, Optimierungen und vieles mehr zu verstehen und zu berechnen. Quintessenz Die Steigung zeigt, wie schnell sich etwas verÃĪndert, und das Integral misst die Gesamtmenge einer VerÃĪnderung - beide sind praktische Werkzeuge in der realen Welt. Resilienztipp Selbst komplexe Probleme lassen sich Schritt fÞr Schritt angehen. Ein klares Ziel und systematische Herangehensweise bringen dich weiter, auch in schwierigen Situationen!
Verstehe ich nicht. Zumindest die GrundzÞge (Stammfunktionen zu Polynomfunktionen und FlÃĪchenberechnungen damit) sind doch wirklich einfach. Meine Klassen machen bei dem Thema meist die besten Mathe-Noten des ganzen Schuljahres. Ok, wenn man tiefer einsteigt in Methoden wie Partialbruchzerlegung, partielle Integration und Substitution, dann wird's natÞrlich fast beliebig kompliziert. Aber das wird doch meines Wissens sowieso kaum an Schulen unterrichtet, oder?
@@bjornfeuerbacher5514 Klar, Stammfunktionen von Polynomen zu bilden ist einfach. In Bayern, dessen LehrplÃĪne ich kenne, gibt es immer noch drei spezielle Integrationsregeln, die Bestandteil des Lehrplans sind. Partialbruchzerlegung, partielle Integration und Substitution in allgemeiner Form gehÃķren aber nicht dazu.
@@berndkru Du meinst wahrscheinlich die bayerischen Gymnasien? An der FOS/BOS im technischen Zweig werden Partialbruchzerlegung, partielle Integration und Substitution unterrichtet.
@@bjornfeuerbacher5514 Ja, ich habe vom Gymnasium gesprochen. Ich habe zwar auch gelegentlich NachhilfeschÞler an der FOS und da kam es im nichttechnischen Zweig nicht vor, am technischen Zweig mag es sein.
endlich mal eine halbwegs brauchbare herleitung wieso zur berechnung die stammfunktion benutzt wird. dafÞr groÃes lob! der rest ist leider etwas verwaschen, eine scharfe trennung zwischen beschreibung und berechnung des integrals wÃĪre schÃķn gewesen. bei der beschreibung fehlen infinitesimale strecken und damit die erklÃĪrung des dx (Þbergang von Îx zu dx). das beispiel erscheint rechnerisch auch komplizierter als wenn du es abstrakt beschrieben hÃĪttest. Þber die geschichtlichen abrisse wurde sich ja schon genug geÃĪuÃert - scheinbar war hier der zeitdruck zu hoch. du kannst ja noch den titel ÃĪndern ...
Ok, in 13 min bringt man nicht wirklich viel unter - aber trotzdem Þberspringst du in der historischen Entwicklung hier wirklich sehr viel. Es gab in den Jahrzehnten vor Newton und Leibniz viele Mathematiker, die bereits FlÃĪchen unter Kurven berechneten: Cavalieri, Kepler, Fermat, Descartes, Torricelli, Pascal, Roberval, Saint-Vincent, Barrow, Gregory (und sicher noch mehr) Die wesentliche Leistung von Newton und Leibniz war ja gerade, dass sie eben _nicht_ mehr nur mit diesen unendlichen Summen von unendlich schmalen Rechtecken gearbeitet haben, sondern eben das Konzept der Stammfunktionen als Umkehrung des Ableitens eingefÞhrt haben und bewiesen haben, dass man mit diesen FlÃĪchen berechnen kann. (Auch da gab es zwar gewisse Vorarbeiten, aber sie waren eben die ersten, die das wirklich klar herausgearbeitet und dann auch fÞr viele Rechnungen verwendet haben.)
4:23 Mach mal ein Video, wie die Formel fÞr diese Summe der Quadratzahlen hergeleitet wird. Als ich das zum ersten Mal gesehen habe, war ich total fasziniert mit welcher KreativitÃĪt Mathematik manchmal verbunden ist.
@@bjornfeuerbacher5514 DAS kannte ich bisher noch nicht :) Danke fÞr diesen Hinweis. Aber viele wissen auch nicht, dass die aufsteigende Summe von ungeraden Zahlen immer eine Quadratzahl ergibt. Also dass man mit Summe n*2-1 immer die Quadratzahl von n erhÃĪlt (beginnend bei n=1). Also: also fÞr n=5 erhÃĪlt man die Quadratzahl von 5. 5 hoch 2 ist also 1+3+5+7+9=25. Ergibt sich direkt aus der 1. binomischen Formel. Hatte das als Kind entdeckt als wir Quadratzahlen durchgenommen hatten, aber mein damaliger Mathelehrer hatte mich nur groà angeguckt, als ich es ihm meine "Entdeckung" erzÃĪhlt hatte. Erst ein paar Jahre spÃĪter wurde mir klar, dass die binomischen Formeln und der Induktionsbeweis meine "Entdeckung" bestÃĪtigen :D
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Seit vielen Jahren nach dem Studium nicht mehr gehÃķrt, sehr interessant und erfrischend so anschaulich mit geschichtlichen Bezug mathematische Grundoperationen wieder zu sehen âšïļ
Ich find deine Videos echt geil ðĨðĨðĨðĨmir macht Mathe hobbymÃĪÃig sehr spaÃ
Obwohl ich Ingenieurwissenschaften studiert habe und auch viele Jahre in der Entwicklung gearbeitet habe, muss ich sagen, dass Du diese hÃķheren mathematischen Grundlagen sehr verstÃĪndlich und gut rÞberbringst. So wurde uns das in meiner Schulzeit nicht vermittelt.
Weiter so!!!
Die Darstellung und ErklÃĪrung sind wirklich anschaulich und leicht verstÃĪndlich ððððð
So ein Format hab es bisher nur auf englisch. Nach weiter, lohnt sich bestimmt!
GefÃĪllt mir ð
Da passt der Inhalt wohl nicht zum Titel
sehr schÃķne Hintergrundmusik. Und Þberhaupt nicht stÃķrend!
Wenn jemand nicht zur Habituation von AuÃenreizen fÃĪhig ist (typisch fÞr MigrÃĪniker), dann stÃķrt die Hintergrundmusik immens!
doch
Hallo zusammen, Frage bzgl der Stammfunktion.
Warum ist die stammfunktion so definiert wie sie ist?
Also int( x^2)=1/3x^3?
Ist es âZufallâ , dass die stammfunktion immer den FlÃĪcheninhalt wiedergibt?
Du:
was hat man denn von der berechnung einer Steigung einer Funktion oder dem Graphenverlauf... und was hat man von der FlÃĪchenberechnung unter der Linie??? also was macht man damit praktisch gesehen... was ist der nÃĪchste schritt und was ist auÃerhalb der dargestellten graphischen funktion der eigentlich berechnete Umpfzzz?
ChatGPT:
ChatGPT
Die Berechnung der Steigung einer Funktion und die FlÃĪchenberechnung unter dem Graphen (Integrale) haben praktische Anwendungen in vielen Bereichen der Mathematik, Physik, Technik und Wirtschaft. Beide Konzepte sind zentral fÞr das VerstÃĪndnis des Verhaltens von Funktionen und helfen dabei, reale Probleme zu lÃķsen.
Steigung einer Funktion (Ableitung)
Die Steigung einer Funktion beschreibt die Ãnderungsrate einer GrÃķÃe in Bezug auf eine andere. Die Ableitung einer Funktion gibt an, wie schnell sich eine Funktion verÃĪndert. Praktisch gesehen hilft das in vielen Bereichen:
Physik: Wenn man die Position eines Objekts als Funktion der Zeit kennt, beschreibt die Ableitung dieser Funktion die Geschwindigkeit. Eine weitere Ableitung wÞrde die Beschleunigung geben.
Beispiel: Die Steigung eines Geschwindigkeit-Zeit-Graphen gibt die Beschleunigung an.
Wirtschaft: Die Steigung der Umsatzkurve gibt an, wie schnell der Umsatz steigt oder fÃĪllt. Das kann helfen, Wendepunkte oder Maximierungen zu erkennen, um z. B. die beste Preisstrategie zu finden.
Optimierung: Mithilfe der Ableitung lassen sich Extrempunkte (Minima und Maxima) von Funktionen bestimmen. Dies ist praktisch, um z. B. den optimalen Gewinn oder die minimalen Kosten in der Wirtschaft zu berechnen.
FlÃĪchenberechnung unter dem Graphen (Integral)
Die FlÃĪche unter dem Graphen (Integral) einer Funktion gibt den gesamten Wert einer GrÃķÃe Þber einen bestimmten Zeitraum oder Bereich an. Das Integral beschreibt, wie sich eine Menge im Laufe der Zeit akkumuliert:
Physik: Das Integral der Geschwindigkeit Þber die Zeit gibt die zurÞckgelegte Strecke an. Wenn man weiÃ, wie sich die Geschwindigkeit eines Autos ÃĪndert, kann man durch Integration die gesamte Strecke berechnen.
Wirtschaft: In der Finanzwelt kann das Integral helfen, den Gesamtwert einer variablen GrÃķÃe zu berechnen. Zum Beispiel kÃķnnte man die gesamte Akkumulation eines Kapitals oder die Summe von Einnahmen Þber einen bestimmten Zeitraum berechnen.
Statistik: Das Integral der Dichtefunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable innerhalb eines bestimmten Bereichs liegt.
Was macht man damit praktisch?
Die Steigung und das Integral helfen dabei, VerÃĪnderungen zu verstehen und vorherzusagen:
Steigung: Hilft, die momentane Ãnderungsgeschwindigkeit zu erkennen.
Integral: Zeigt den Gesamtwert Þber einen Zeitraum oder eine Distanz.
AuÃerhalb der grafischen Darstellung - Der eigentliche Zweck
Die grafische Darstellung ist oft eine Visualisierung eines Problems. Der "eigentlich berechnete Umpfzzz" liegt in der Anwendung der gewonnenen Daten:
Geschwindigkeit aus der Steigung,
Entfernung oder Akkumulation durch Integration,
Optimierung durch Ableitungen.
Diese mathematischen Werkzeuge helfen uns also, nicht nur Funktionen auf einem Papier zu zeichnen, sondern reale PhÃĪnomene wie Bewegung, Wirtschaftsprozesse, Optimierungen und vieles mehr zu verstehen und zu berechnen.
Quintessenz
Die Steigung zeigt, wie schnell sich etwas verÃĪndert, und das Integral misst die Gesamtmenge einer VerÃĪnderung - beide sind praktische Werkzeuge in der realen Welt.
Resilienztipp
Selbst komplexe Probleme lassen sich Schritt fÞr Schritt angehen. Ein klares Ziel und systematische Herangehensweise bringen dich weiter, auch in schwierigen Situationen!
An der Integralrechnung ist damals unsere gesamte Klasse gescheitert.
Verstehe ich nicht. Zumindest die GrundzÞge (Stammfunktionen zu Polynomfunktionen und FlÃĪchenberechnungen damit) sind doch wirklich einfach. Meine Klassen machen bei dem Thema meist die besten Mathe-Noten des ganzen Schuljahres.
Ok, wenn man tiefer einsteigt in Methoden wie Partialbruchzerlegung, partielle Integration und Substitution, dann wird's natÞrlich fast beliebig kompliziert. Aber das wird doch meines Wissens sowieso kaum an Schulen unterrichtet, oder?
@@bjornfeuerbacher5514 Klar, Stammfunktionen von Polynomen zu bilden ist einfach. In Bayern, dessen LehrplÃĪne ich kenne, gibt es immer noch drei spezielle Integrationsregeln, die Bestandteil des Lehrplans sind. Partialbruchzerlegung, partielle Integration und Substitution in allgemeiner Form gehÃķren aber nicht dazu.
Eine ganze Klasse scheiterte an der Integralrechnung? Entweder ist das maÃlos Þbertrieben oder es war ein unfÃĪhiger Lehrer am Werk.
@@berndkru Du meinst wahrscheinlich die bayerischen Gymnasien? An der FOS/BOS im technischen Zweig werden Partialbruchzerlegung, partielle Integration und Substitution unterrichtet.
@@bjornfeuerbacher5514 Ja, ich habe vom Gymnasium gesprochen. Ich habe zwar auch gelegentlich NachhilfeschÞler an der FOS und da kam es im nichttechnischen Zweig nicht vor, am technischen Zweig mag es sein.
was soll das laute Gedudel
âïļ
endlich mal eine halbwegs brauchbare herleitung wieso zur berechnung die stammfunktion benutzt wird. dafÞr groÃes lob! der rest ist leider etwas verwaschen, eine scharfe trennung zwischen beschreibung und berechnung des integrals wÃĪre schÃķn gewesen. bei der beschreibung fehlen infinitesimale strecken und damit die erklÃĪrung des dx (Þbergang von Îx zu dx). das beispiel erscheint rechnerisch auch komplizierter als wenn du es abstrakt beschrieben hÃĪttest. Þber die geschichtlichen abrisse wurde sich ja schon genug geÃĪuÃert - scheinbar war hier der zeitdruck zu hoch. du kannst ja noch den titel ÃĪndern ...
Die i erklÃĪrung verstehe ich nicht
Ok, in 13 min bringt man nicht wirklich viel unter - aber trotzdem Þberspringst du in der historischen Entwicklung hier wirklich sehr viel. Es gab in den Jahrzehnten vor Newton und Leibniz viele Mathematiker, die bereits FlÃĪchen unter Kurven berechneten: Cavalieri, Kepler, Fermat, Descartes, Torricelli, Pascal, Roberval, Saint-Vincent, Barrow, Gregory (und sicher noch mehr)
Die wesentliche Leistung von Newton und Leibniz war ja gerade, dass sie eben _nicht_ mehr nur mit diesen unendlichen Summen von unendlich schmalen Rechtecken gearbeitet haben, sondern eben das Konzept der Stammfunktionen als Umkehrung des Ableitens eingefÞhrt haben und bewiesen haben, dass man mit diesen FlÃĪchen berechnen kann. (Auch da gab es zwar gewisse Vorarbeiten, aber sie waren eben die ersten, die das wirklich klar herausgearbeitet und dann auch fÞr viele Rechnungen verwendet haben.)
Ich hÃĪtte gerne noch mehr davon thematisiert, aber das hat die Zeit leider nicht hergegeben. Danke trotzdem fÞr die ErgÃĪnzung ð
Aber die Geschichte der Mathematik ist eben wichtig fÞr einen guten Mathematik -Unterricht.
Das hier ist viiieeel zu flach
Nicht zu vergessen: Archimedes
@@robertgumpi7235 Archimedes _hatte_ er doch im Video erwÃĪhnt!?
Also, meine SchÞler wÞrden abfÃĪllig grinsen, wenn sie dieses oberflÃĪchliche Video ansehen mÞssten
4:23 Mach mal ein Video, wie die Formel fÞr diese Summe der Quadratzahlen hergeleitet wird. Als ich das zum ersten Mal gesehen habe, war ich total fasziniert mit welcher KreativitÃĪt Mathematik manchmal verbunden ist.
Gerne!
Und dann am besten auch noch gleich Þber den schÃķnen Zusammenhang (1 + 2 + 3 + ...)Âē = 1Âģ + 2Âģ + 3Âģ + ... reden. :)
@@bjornfeuerbacher5514 DAS kannte ich bisher noch nicht :) Danke fÞr diesen Hinweis.
Aber viele wissen auch nicht, dass die aufsteigende Summe von ungeraden Zahlen immer eine Quadratzahl ergibt. Also dass man mit Summe n*2-1 immer die Quadratzahl von n erhÃĪlt (beginnend bei n=1). Also: also fÞr n=5 erhÃĪlt man die Quadratzahl von 5. 5 hoch 2 ist also 1+3+5+7+9=25. Ergibt sich direkt aus der 1. binomischen Formel.
Hatte das als Kind entdeckt als wir Quadratzahlen durchgenommen hatten, aber mein damaliger Mathelehrer hatte mich nur groà angeguckt, als ich es ihm meine "Entdeckung" erzÃĪhlt hatte. Erst ein paar Jahre spÃĪter wurde mir klar, dass die binomischen Formeln und der Induktionsbeweis meine "Entdeckung" bestÃĪtigen :D
@4:37 Dieser Sprung ist absolut schlecht erklÃĪrt
Bitte nicht sprechen von "der" Stammfunktion. Falls es eine gibt, gibt es unendlich viele.
Richtig, das ist alles sowas von oberflÃĪchlich!