Выражаем половину диагонали через теорему Пифагора, а также через подобие 2х треугольников. Получаем биквадратное уравнение, имеющее решением корень из 3.
Можно продлить МО до пересечения со стороной ВС (точка P) и провести вертикали из М и Р. Прямоугольник с диагональю MP = 2 подобен исходному. Из подобия получаем, что 3/x = sqrt(3^2 + x^2)/2. Решая биквадратное уравнение, получаем x=sqrt(3).
Вроде можно решить и так. Продлить MO до пересечения с ВС, скажем, в точке E. Треугольники BOE и MOD равны по всем признакам, а значит MD и ВE равны, но главное, что равны и AM с EC. Затем опустить из точки E перпендикуляр на AD с пересечением в точке N. Рассмотреть подобие прямоугольных треугольников MEN и MOD, из которого следует, что МD вдвое длиннее MN, т.е AD поделен на 3 равные части да и угол 30 градусов.
Рассмотрим треугольники BCD и DOM. Очевидно, что они подобны по 2 углам (DOM = BCD = pi/2, CBD = MDO как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей BD). Сторону BD обозначим как 2y, сторону MD как z. Запишем подобие сторон у вышеупомянутых треугольников: OM/CD = OD/BC = MD/BD. Подставляем наши обозначения и числа: 1/x = y/3 = z/2y. Из равенства y/3 = z/2y следует, что y = sqrt(3z/2), тогда 2y = sqrt(6z), а из равенства 1/x = y/3 следует, что x = sqrt(6/z). Теперь распишем теорему Пифагора для треугольника BCD: BC^2 + CD^2 = BD^2. Подставляя числа, получим уравнение: 9 + 6/z = 6z. Решая относительно z получим лишь один положительный корень: z = 2. Подставим его в тождество x = sqrt(6/z) и получим x = sqrt(3). Ответ: sqrt(3)
Продолжим MO до пересечения с BC. Получим К.Тогда BKDM ромб. Диагональ MK равна стороне. Но тогда углы ромба 60 и 120.Угол KDC -30. В KCD KC=1. Вот и все x=CD=3**1/2
Заметил подобие маленького треугольника с треугольником являющийся половиной прямоугольника, взял пропорции, и в пропорции вывел икс в одну сторону, в другой стороне в знаменателе была половина диагонали, нашел саму диагональ по теорема пифагора относительно большого трегольника (повловины прямоугольника), подставил значения, получил квадратное уравнение, решил дискриминантом и получил ответ √3. Получит ли такое решение баллы?
не понятно про 30 градусов, но можно решить ещё опустив перпендикуляр вниз( он равен половине х) тогда придётся решить уравнение х⁴+9х²-36=0, где единственное, что подойдёт- это ✓3
Обозначим 1) углы прямоугольника - A, В, С, D (слева направо от нижнего левого угла по часовой стрелке😂) 2) центр диагонали BD - K 3) точку пересечения перпендикуляра из точки К с AD - F 4) BK=KD=a 5)продлим вниз сторону АВ и перпендикуляр FK. Точку их пересечения назовем А1 ------ ∆-к ВА1D равнобедренный, т.к. А1К - его высота и медиана. Опустим из угла В перпендикуляр на А1D. Точку пересечения с А1D назовем М. ВМ - высота ∆-ка ВА1D. Поскольку ∆-к BA1D равнобедренный и ВА1=А1D, а АD высота на ВА1, то и BM=АD=3 ∆-ки ВМD и ВDC равны (^BMD=^BCD=90°, BD - общая гипотинуза, BM=BC=3), поэтому МD=CD=x ∆-ки ВМD и BFK подобные (^BMD=^BKF=90°, угол ^В - общий, ➡️ и ^BDM=^BFK, учитывая, что сумма углов ∆-ка равна 180°). Поэтому мы сможем записать MD/KF=BM/BK или х/1=3/а ➡️ а=3/х По теореме Пифагора для ∆-ка BMD BM^2+MD^2=BD^2 или 3^2+х^2=(2а) ^2 Ранее из соотношения для подобных ∆-ков мы выяснили, что а=3/х, поэтому уравнение 3^2+х^2=(2а) ^2 запишем в виде 9+х^2=4×9/х^2 или х^4+9х^2-36=0 Решая это уравнение и отбрасывая отрицательные корни, получим х=√3 💐
Точка М равноудалена от концов отрезка D, B. MB=DМ=3-X - гипотенуза равных прямоугольных треугольников BAM, BOM по первому признаку. Х=1 меньшие катеты. По т. Пифагора: АВ=✓[(3-2)^2-1]=✓3.
@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2уОткуда известно, что BM - биссектриса? Если бы это было известно, то и никакая окружность не нужна, и так понятно(было бы), что треугольники равны.
@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2уОткуда известно, что BM - биссектриса? Если бы это было известно, то и никакая окружность была бы не нужна, и так понятно (было бы), что треугольники равны.
@@ncrean66 Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°( 90 + 90), то около него можно описать окружность. Радиус этой окружности лежит на биссектрисе угла АВО. ВМ=МС=3-Х, Х=МО=1,
CD=x, OD=y. Треугольники BCD и MOD подобны по 2 углам, поэтому BC/CD=OD/OM => y=3/x. По т. Пифагора 3^2+x^2=4y^2. Пусть x^2=t, получаем квадратное уравнение t^2+9t-36=0. По обратной т. Виета t=3, второй корень отрицательный (-12). x^2=3; x=sqrt(3)
Не нужно здесь никакого Виета, достаточно Пифагора, просто нужно продлить отрезок равный 1, до пересечения с верхним основанием прямоугольника, и из точки пересечения, опустить перпендикуляр на нижнее основание. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 2, и катетами, равными х и х/2, так как площадь этого треугольника равна 1/6 площади прямоугольника. Для этого не нужно никакого Фалеса!
Олимпиадную идею пока не нашел. Пока мысль такая: смыкаем АВ и ОМ в точке К. Получаем три подобных с двумя неизвестными -- боковушка и половина диагонали. Опыт подсказывает, что это решается. upd. Достаточно двух треугольников. ВСД и ВОК. Пусть ОВ=у. В тр ВСД катет =х, гипотенуза =2*у. В тр ВОК катет=у, а гипотенуза =2*х. Имеем х=у и ВД=2*х. Угол СВД=30° Ответ:√3
Не могла девочка , решившая все задачи на олимпиаде , предположить ( угадывать ) угол в 30 . По крайней мере она бы из двух подобных тр-ков определила бы ( что наиболее очевидно и не для олимпиадника ) половинку диагонали и из тр-ка АВД вышла бы на биквадратное уравнение , из которого определила , что Х*2=3 , а Х=\/3 .
MDO is similar to BCD. Then BC/OD = 3/OD = x/1 Put 2×OD in Pytagorean eq. in BCD (2OD)^2 = 3^2 + x^2, (2×3/x)^2 = 9 + x^2 This biquadratic eq. is easily solved to x = sqrt(3)
Теорема Пифагора и тут же из подобия треугольников находится "х". А показанное решение наводит на мысль, что на олимпиаде надо решать посложнее, попутно показав, что и про какого-нибудь Фалеса слыхал. Это так?
Спасибо. Нормальное алгебраическое решение через биквадртаное. Правда, никак не "тут же", а с решением иррационального (а это 10 кл). (Справка: Олимпиада. Город, 8 кл. Сложность 6 баллов. Подобие еще не пройдено.)
![Демократия математически невозможна (но есть нюансы) [Veritasium]](http://i.ytimg.com/vi/Mf0XJMySTDI/mqdefault.jpg)
Выражаем половину диагонали через теорему Пифагора, а также через подобие 2х треугольников. Получаем биквадратное уравнение, имеющее решением корень из 3.
Можно продлить МО до пересечения со стороной ВС (точка P) и провести вертикали из М и Р. Прямоугольник с диагональю MP = 2 подобен исходному. Из подобия получаем, что 3/x = sqrt(3^2 + x^2)/2. Решая биквадратное уравнение, получаем x=sqrt(3).
Подобие треугольников BAD & MOD. Отсюда диагональ получается 6/х, ну и потом по Пифагору биквадратное уравнение для х, откуда х=sqrt(3)
Вроде можно решить и так. Продлить MO до пересечения с ВС, скажем, в
точке E. Треугольники BOE и MOD равны по всем признакам, а значит
MD и ВE равны, но главное, что равны и AM с EC. Затем опустить из точки
E перпендикуляр на AD с пересечением в точке N. Рассмотреть подобие
прямоугольных треугольников MEN и MOD, из которого следует, что МD
вдвое длиннее MN, т.е AD поделен на 3 равные части да и угол 30 градусов.
А еще можно из О опустить перпендикуляр к AD до точки P и рассматривать подобие BAD и MOP
Спасибо!
Рассмотрим треугольники BCD и DOM. Очевидно, что они подобны по 2 углам (DOM = BCD = pi/2, CBD = MDO как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей BD). Сторону BD обозначим как 2y, сторону MD как z. Запишем подобие сторон у вышеупомянутых треугольников: OM/CD = OD/BC = MD/BD. Подставляем наши обозначения и числа: 1/x = y/3 = z/2y. Из равенства y/3 = z/2y следует, что y = sqrt(3z/2), тогда 2y = sqrt(6z), а из равенства 1/x = y/3 следует, что x = sqrt(6/z). Теперь распишем теорему Пифагора для треугольника BCD: BC^2 + CD^2 = BD^2. Подставляя числа, получим уравнение: 9 + 6/z = 6z. Решая относительно z получим лишь один положительный корень: z = 2. Подставим его в тождество x = sqrt(6/z) и получим x = sqrt(3). Ответ: sqrt(3)
Продолжим MO до пересечения с BC. Получим К.Тогда BKDM ромб. Диагональ MK равна стороне. Но тогда углы ромба 60 и 120.Угол KDC -30. В KCD KC=1. Вот и все x=CD=3**1/2
Заметил подобие маленького треугольника с треугольником являющийся половиной прямоугольника, взял пропорции, и в пропорции вывел икс в одну сторону, в другой стороне в знаменателе была половина диагонали, нашел саму диагональ по теорема пифагора относительно большого трегольника (повловины прямоугольника), подставил значения, получил квадратное уравнение, решил дискриминантом и получил ответ √3. Получит ли такое решение баллы?
1. Пропорция из подобия катетов:
x/3=1/(✓(3²+x²))/2
2. Возводим в квадрат:
x²/9=4/(9+x²)
x²(x²+9)=36
3. Пусть x²=t
t²+9t-36=0
D=81+144=225; ✓D=15
t=(-9+15)/2=3
4. x=✓t=✓3
Ответ; ✓3
Спасибо, что привели полное алгебраическое решение через подобие.
Решил через подобие треугольников и теорему Пифагора.
не понятно про 30 градусов, но можно решить ещё опустив перпендикуляр вниз( он равен половине х) тогда придётся решить уравнение х⁴+9х²-36=0, где единственное, что подойдёт- это ✓3
Обозначим
1) углы прямоугольника - A, В, С, D (слева направо от нижнего левого угла по часовой стрелке😂)
2) центр диагонали BD - K
3) точку пересечения перпендикуляра из точки К с AD - F
4) BK=KD=a
5)продлим вниз
сторону АВ и перпендикуляр FK. Точку их пересечения назовем А1
------
∆-к ВА1D равнобедренный, т.к. А1К - его высота и медиана.
Опустим из угла В перпендикуляр на А1D. Точку пересечения с А1D назовем М. ВМ - высота ∆-ка ВА1D.
Поскольку ∆-к BA1D равнобедренный и ВА1=А1D, а АD высота на ВА1, то и BM=АD=3
∆-ки ВМD и ВDC равны (^BMD=^BCD=90°, BD - общая гипотинуза, BM=BC=3), поэтому МD=CD=x
∆-ки ВМD и BFK подобные (^BMD=^BKF=90°, угол ^В - общий, ➡️ и ^BDM=^BFK, учитывая, что сумма углов ∆-ка равна 180°). Поэтому мы сможем записать
MD/KF=BM/BK или
х/1=3/а ➡️ а=3/х
По теореме Пифагора для ∆-ка BMD
BM^2+MD^2=BD^2 или
3^2+х^2=(2а) ^2
Ранее из соотношения для подобных ∆-ков мы выяснили, что а=3/х, поэтому уравнение 3^2+х^2=(2а) ^2 запишем в виде
9+х^2=4×9/х^2 или
х^4+9х^2-36=0
Решая это уравнение и отбрасывая отрицательные корни, получим х=√3 💐
Спасибо за подробное решение.
Продолжим МО до пересечения с ВС (М1), получаем ромб МВМ1D; AM=y, тогда сторона ромба 3-y; из тр-ка ABM:
AB^2=(3-y)^2 - y^2 (1) Из вершины ромба М1 опустим перпендикуляр M1H=AB; из тр-ка MM1H M1H^2= M1M^2-HD^2,
/MM1=2; MH=3-2y/ т.е. AB^2= 2^2-(3-2y)^2 (2), приравнивая (1) и (2), получаем y=1, AB=sqrt(3)
Из подобия треугольников BCD и MOD можно решать. Х=sqrt(3)
Точка М равноудалена от концов отрезка D, B. MB=DМ=3-X - гипотенуза равных прямоугольных треугольников BAM, BOM по первому признаку. Х=1 меньшие катеты. По т. Пифагора: АВ=✓[(3-2)^2-1]=✓3.
Осталось всё же доказать равенство треугольников BAM и BOM, а так 0 баллов тоже.
@ncrean66 Спасибо за вопрос. Так как
@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2уОткуда известно, что BM - биссектриса? Если бы это было известно, то и никакая окружность не нужна, и так понятно(было бы), что треугольники равны.
@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2уОткуда известно, что BM - биссектриса? Если бы это было известно, то и никакая окружность была бы не нужна, и так понятно (было бы), что треугольники равны.
@@ncrean66 Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°( 90 + 90), то около него можно описать окружность. Радиус этой окружности лежит на биссектрисе угла АВО. ВМ=МС=3-Х, Х=МО=1,
CD=x, OD=y. Треугольники BCD и MOD подобны по 2 углам, поэтому BC/CD=OD/OM => y=3/x. По т. Пифагора 3^2+x^2=4y^2. Пусть x^2=t, получаем квадратное уравнение t^2+9t-36=0. По обратной т. Виета t=3, второй корень отрицательный (-12). x^2=3; x=sqrt(3)
I did the same and made comment because had not seen yours.
Не нужно здесь никакого Виета, достаточно Пифагора, просто нужно продлить отрезок равный 1, до пересечения с верхним основанием прямоугольника, и из точки пересечения, опустить перпендикуляр на нижнее основание. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 2, и катетами, равными х и х/2, так как площадь этого треугольника равна 1/6 площади прямоугольника. Для этого не нужно никакого Фалеса!
@КонстантинВинников-р6б
1. Why x/2
2. Why 1/6
3. from 2, x and x/2 you obtain x = 4/sqrt5 not x = sqrt3
@@КонстантинВинников-р6б Я просто решал без дополнительных построений
Олимпиадную идею пока не нашел. Пока мысль такая: смыкаем АВ и ОМ в точке К. Получаем три подобных с двумя неизвестными -- боковушка и половина диагонали. Опыт подсказывает, что это решается.
upd. Достаточно двух треугольников. ВСД и ВОК. Пусть ОВ=у. В тр ВСД катет =х, гипотенуза =2*у. В тр ВОК катет=у, а гипотенуза =2*х. Имеем х=у и ВД=2*х. Угол СВД=30°
Ответ:√3
Не могла девочка , решившая все задачи на олимпиаде , предположить ( угадывать ) угол в 30 . По крайней мере она бы из двух подобных тр-ков определила бы ( что наиболее очевидно и не для олимпиадника ) половинку диагонали и из тр-ка АВД вышла бы на биквадратное уравнение , из которого определила , что Х*2=3 , а Х=\/3 .
Зуб даю!
сбои в мышлении бывают очень забавные
MDO is similar to BCD. Then BC/OD = 3/OD = x/1
Put 2×OD in Pytagorean eq. in BCD
(2OD)^2 = 3^2 + x^2,
(2×3/x)^2 = 9 + x^2
This biquadratic eq. is easily solved to x = sqrt(3)
super!
Теорема Пифагора и тут же из подобия треугольников находится "х". А показанное решение наводит на мысль, что на олимпиаде надо решать посложнее, попутно показав, что и про какого-нибудь Фалеса слыхал. Это так?
Спасибо. Нормальное алгебраическое решение через биквадртаное. Правда, никак не "тут же", а с решением иррационального (а это 10 кл). (Справка: Олимпиада. Город, 8 кл. Сложность 6 баллов. Подобие еще не пройдено.)
AB=CD=x; BC=AD=3;
B ⊿ ABD, BD²=AB²+AD²; BD=√(x²+9);
BO=DO (по условию); DO=(1/2)*BD; DO=(√(x²+9))/2.
⊿ ABD∾⊿ DMO (∠BAD=90◦, ∠DOM=90◦, ∠ADB--общий угол);
AB/MO=AD/DO; x/1=3/(√(x²+9))/2); x*√(x²+9)=6;
x⁴+9x²-36-0; x²=(-9+_√(81+4*36))/2=(-9+_√225)/2=(-9+_15)/2;
x²=(15-9)/2; x²=3; x=√3. AB=CD=√3.
Ответ: СD=√3.
Люди !!!!!
Кто-нибудь знает приложения для смартфона по геометрии для детей 6-8 лет?
Очень нужно!
Был раньше какой-то Пифагор Сейчас не знаю.
Посмотрите кубокот математика.
Только что набрала: кубокот геометрия. Получилось.
@@pojuellavid Вы нашли кубокот геометрия?
@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у спасибо, нашел, но он платный
И геометрии нету
Этого не может быть. Задача простенькая и решается устно. х=√3.
8 кл, город, подобия нет, иррациональных нет. Напишите свое решение, мы разберем.
Вундеркинд
А Лена ещё эти темы не изучала в 8 классе.
Да, но я ей рассказал на кружке.
@GeometriaValeriyKazakov Добрый день. Почему мое решение без сердечка. Что - то неверно?
@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у У меня ваше решение не высветилось.
@@GeometriaValeriyKazakov Мое решение в другом комментарии. Спасибо.
Спасибо.
И поделом
Согласен.
3:х=х:1
х=√3
Спасибо. Но откуда такая пропоция? = х:1
AM = 1
Спасибо. К нас тоже так. А как вы нашли?
2-2x^2 = 3x => x = 1/2 => cos a = 1/2 => a = 60 =>
@@GeometriaValeriyKazakov