12 Math 영상은 수학에 관심없는 사람에 대한 배려가 느껴져서 좋은 것 같음. 일반인은 관심없을 만한 내용에 왜 수학자들이 흥미를 느끼는지, 어떤 점이 재밌는지를 친절히 설명하면서 서서히 일반인을 수학자로 만들어버린다고 해야 되나...? 그런 점이 참 좋다 특히 이번 영상에서는 수학자들이 공리를 어떻게 여기는지 얘기하는 대목이 수학자들이 수학을 어떤 태도로 다루는 지가 마구마구 느껴져서 좋았음
집합론에서 Cardinarlity (농도) 에 관한 개념을 배운다면 두 집합이 대등하다 즉, 두 집합에 대한 전단사 함수가 존재한다고 한다면 두 집합의 크기가 같다고 얘기할 수 있죠. 1학년 1학기 전공과목인 집합론에 대하여 공부할 때 경의롭고 새로웠던 내용이였습니다. 칸토어나 베른슈타인 같은 위대한 수학자 분들을 존경할 수 밖에 없게 됩니다.
예전 이 영상에 난이도에 대한 댓글을 다신 분이 계셨습니다. 비전공자인 저는 혹여 고등 수학을 배울 수 있는 기회가 사라질까봐 대댓글을 달았는데요, 지금 와서 생각해보니 후회가 됩니다. 저도 대부분의 영상에서 많은 생각을 하며 보거나, 이해에 대한 노력이 필요하거나, 정말 좋은 질문을 하는 댓글을 보며 스스로의 부족함을 느낄 때가 많습니다. 저는 이 채널의 구독자중 비전공자의 수도 상당할거라 봅니다. 댓글 다셨던 분도 계속 같이 공부하고 계셨으면 좋겠습니다. 죄송한 마음을 담아 적습니다.
오늘 영상은 무한에 대한 얘기네요! 무한이란 개념은 진짜 신기한 개념인 것 같습니다! 처음에 유리수 집합과 무리수 집합의 원소의 개수가 다르다라는 걸 처음 알게 됐을 때랑 대각선논법 처음 봤을 때 되게 신박했는데 19:42 진짜 다른 입장에서는 수학이란게 하나의 사이비 종교같은 얘기처럼 들릴 수도 있겠네요 ㅋㅋㅋ 오늘 영상도 유익하네요 ㅎㅎ 재밌게 보고 갑니다~~
@@youngone999 기회비용 대비 얻는 결실에 대해 따져봐야죠 게임은 스트레스 해소로 정신건강에 도움이 될수도있고 수학은 사고력을 증진시켜 살아가는데 가장 중요한 지능에 밀접한 도움을 줄수도있습니다. 수학이 손해라고 받아드릴수있는 입장은 이미 충분히 사고력이 증진되어있어 투자시간대비 성장기대치가 낮은사람일거같네요
영상을 보면서 스피노자의 형이상학이 계속 떠올랐어요. 그의 '실체' 개념(필연적으로 존재하는 것)은 곧 절대적으로 무한한 것을 의미하고, 그 실체가 '양태'의 방식으로 변용이 되면서 처음에는 무한하게 변용되다가(무한양태), 어느 단계에서 우리 인간이 감각하고 지각할 만큼 유한하게 변용된다고(유한양태) 말했어요. [실체 -> 무한양태 -> 유한양태] 처음에 말씀해주신 자연수와 정수, 유리수의 무한은 마치 무한양태처럼 무한하기는 하지만, 그보다 더욱 큰 '실수'라는 형언할 수 없는 무한체계에 비하면 작은 일부일 뿐인 것이죠. 또 스피노자는 실체가 존재하는 방식(정확히는 본질을 구성하는 것입니다)을 '속성'이라고 정의하면서 그 작용들 중에 우선 인간에게 알려져 있는 '사유'와 '연장'(이것이 무한양태에서는 각각 '영혼'과 '물질'로, 유한양태에서는 각각 개별적인 '관념'과 '신체 혹은 신체기관'으로 변용)을 밝혔는데요, [실체의 필연성 중 사유 속성 -> 영혼(무한히 많은 영혼들 중 하나가 인간의 정신적 본성) -> 개별 사물에 관한 관념들] [실체의 필연성 중 연장 속성 -> 물질(무한히 많은 물질들 중 하나가 인간의 신체적 본성) -> 지각된 개별 신체(혹은 그 기관)들] 중요한 건 그가 실체는 절대적으로 무한한 것이기 때문에, 사유와 연장은 단지 인간이 그나마 인식하는 것이고, 그 외에 무한한 속성이 실체의 본질을 구성한다고 하였습니다. [실체의 필연성 중 X의 속성 -> X의 무한양태 -> X의 유한양태 / X = {x⎮x는 사유와 연장 등 실체의 속성}, n(X) = ∞] 그러니까 단순히 실수의 존재처럼 더 큰 무한이 존재하기만 하는 것이 아니라, 그와 동시에 인간이 미처 그 존재조차 가늠할 수 없는 어마어마한 속성들이 반드시 존재한다는 것이고, 이는 마지막에 언급하신 와 일맥상통하는 의미를 갖고 있습니다. 실체는 그저 무한히 필연적으로 존재할 뿐이기 때문에 인간의 지식체계에 참된 보증을 해주지만, 반대로 인간의 지식체계로 구성한 내용이 설사 인간이 알고 있는 실체의 본성(무한성)과는 상충된다고 하더라도, 그것이 인간이 아는 것인 한 실체의 진리성에는 아무런 영향이 없고, 따라서 인간의 지식체계(공리) 또한 그 안에서 지식으로서 보증을 받고 있다는 것입니다.
일종의 전제 조건입니다 공리를 따르는 이유는 수학에서의 가장 기초적인 부분을 정의하기란 너무나도 어렵기에 일종의 규칙으로써 공리라는 개념으로 근거로 사용합니다 위의 공리가 없다면 기본적인 부분에서 문제가 생겨 기본적인 전제 조건으로서의 공리가 생겨날수밖에없죠 그래서 공리를 따르는 겁니다
철학에서는 수학을 자신의 주요한 철학적 방법론으로 삼는 사람들이 있는데요. 대표적으로 스피노자(기하학)나 바디우(집합론)가 있습니다. 이들에게 무한은 말 그대로 '한정되지 않음'으로 이해됩니다. 한정되면, 무한이 아닌 것이죠. 이에 따르면 수학에서 말하는 무한은 무한이 공리계에 의해 한계지어진 방식, 즉 무한의 한 유한한 양태(mode)라고 볼 수 있습니다. 수학적 무한에 한정되지 않는 무한에 대한 탐구에서 스피노자는 무한을 신과 동일시하면서 신학으로, 바디우는 무한의 우연성에 주목하면서 윤리학으로 이행하게 됩니다.
@@creator6010 집합의 크기를 비교한다는 것은 원래는 유한에서만 하던 행동이지요. 원소를 일대일로 짝지어 양 집합의 모든 원소가 일대일대응되면 크기가 같다고 합니다. 이 과정을 무한 집합으로도 확장했더니, 무한 집합들이 일대일대응되지 않는 게 있더라. 그래서 아, 무한에도 크기가 있는 거구나 하는 거죠. 사실 이런 오해를 피하기 위해 엄밀하게는 집합의 크기가 아닌 집합의 농도(cardinality)라고 해요.
안녕하세요 영상잘봤습니다. 예전부터 궁금하던 질문하나 드려봅니다. 좀 다른얘기이긴합니다만 이산확률변수의 정의가 유한하거나 셀 수 있는 확률변수라고 알고 있는데 유한하면 모두 셀 수 있는거 아닌가요? 굳이 유한하거나라는 조건을 이산확률변수 정의에 포함시킬 필요가 있나요? 제 생각엔 그냥 이산확률변수의 정의는 셀 수 있는 확률변수 라고 해도 충분할 것 같은데 제가 놓친부분이 있다면 알려주시면 감사하겠습니다
‘셀 수 있는(countable)’이라는 용어가 두 가지 뜻으로 혼용되어 쓰이기 때문에 의문이 생기신 것 같습니다. countable을 유한하거나 자연수와 일대일 대응되는 크기로 정의하기도 하고, 자연수와 일대일 대응이 되는 것만 countable로 정의하기도 합니다. 유한집합은 전자의 정의에서는 countable하지만 후자에서는 countable이 아닌 거죠. 집합론을 메인으로 다루는 책에서는 주로 전자의 정의를 차용하여 유한과 무한을 finite과 countably infinite으로 구분하지만, 더 상위 개념을 다루는 책에서는 countably infinite만 countable이라 하는 경우도 많습니다. Countable에 대한 성질만 증명하면 finite case는 자동으로 따라오는 경우가 많기 때문이에요. 질문하신 분은 아마 후자의 정의를 쓰는 책을 보신 듯 합니다.
수학2에서 무한이라는 개념을 배울 때 막연하게 '그냥 엄청 큰 거구나'라고 생각했는데 무한 안에서도 크기가 있다는 사실이 놀랍습니다. 특히 정수와 유리수의 무한의 크기를 비교하는 과정이 너무 신기하네요. 정수가 두 개 필요하니까 제곱이라니.. 수학자들이 가정하고 정의한 그 내용들을 보다 보면 머리를 한 대 맞은 것처럼 띵하네요. 아직 지식의 깊이가 너무 얕아 수학 영상들의 내용을 이해하는데 힘겹지만 알아가는 재미가 있는 것 같습니다. 그리고 2:45의 내용 너무 공감가네요. '일대일 함수', '일대일 대응' 이름이 너무 비슷하다보니 고1때 처음 배울 때 헷갈렸던 기억이 있네요.. 그래서 'y가 짝을 못찾아도 함수니까 일대일 함수, 모든 것에 일대일로 대응해야하니 일대일 대응' 이렇게 외웠던 기억이 있네요... 항상 좋은 영상 감사합니다.
무한은 제곱 세제곱을 해도 크기가 변화하지 않는다고 하셨는데 고등학교 때 극한을 배울 때 lim->무한(ax/Ax²+Bx) 이런 식으로 하면 0으로 수렴 하지 않나요?? 저 분수가 반대로라면 무한으로 발산되구요 크기가 같으면 이런 정의는 어떻게 한 것일까요... 아니면 이 개념과는 다른 것인가요? 너무 궁금합니다!!
무한이라는게 원래 우리 인간의 직관으로는 이해할 수 없는 개념이고 수학자들이 편리하게 써먹기 위해 도입한 개념이기 떄문에 직관과는 전혀 다른 행동을 보이는 거겠지요. 사실 무리수를 포함한 실수만 해도 피타라고스가 유리수만 존재한다고 믿었듯이 직관에 반하는 개념이죠. 더구나 허수의 개념은 중근세의 수학자들도 거부한 개념이죠. 하지만 수학적으로 유용하니 실수니 복소수니 도입해서 유용하게 써먹고 있지요. 무한의 개념도 마찬가지가 아닐까요? 인간의 직관은 근대 수학의 발전에는 별로 도움이 되지 않는거 같습니다.
5차 교육과정 1세대인데, 정석은 형이 보던거 물려봐서, 4차까지는 한글 용어였습니다. 어차피 학부과정에서 원서는 당연히 영어고, 번역본은 저자 자유기 때문에, 결국 다 알아야 됩니다. 아마 학력고사에서 수능으로 넘어가는 세대 어디쯤에서 바꼈지 싶네요. 옛날 정석은 한문 투성이였으니.
음 생각해보 않았는데 수학은 철학자가 만든거라 생각되네요. 사고의 추상적인것들을 수치화 시키는것 그것을 공간에 옮긴것.. 제 딴이지만 인간중심의 공통언어는 수학이고 개수로 현실을 판단하기엔 모든 물질은 원자집합이고 그걸 측정하는게 질량이고 원자로써나 양자로써 흩어져있으면 되는걸 왜 우리는 뭉쳐서 서로 다투는 걸까요, 수학을 못 하는 저는 어렸을 때부터 정해놓고 사고하거나 외우는 수학이 와닿지 않았으나 공식만 외워도 중학수학까지 1등은 쉽더군요. 전 수학이 이분법적 사고와 관련있다 봅니다. 동양의 수학이 덜 발달했다 보진 않습니다. 실제로 동양인의 수학능력은 뛰어나 보입니다.그러나 동양 사상은 원인을 수많다고 보고 원인중심을 찾는 것이고 서양은 결과를 바꾸려하고 원인을 단순화하려합니다. 환경이 인간의 개발에따라 원인은 단순화 되어보일수 있지만 사라져버린(자연친화적인) 요인이 상쇄시키던 좋은 것들은 찾을 수 없겠죠. 짜여진 게임안에서 결과는 몇가지로 정해져있습니다, 허나 모든 것의 위에서 놀면 결과는 천차만별이겠죠. 지금도 기득권이나 천재 모든게 결과적 수치로 하늘과 땅차이로 나타나고 그 원인을 파악하고 후세에 대한 교육을 개선하기보다 목 밑에 찬 차세대를 꺽어내기를 선택합니다. 학생 친구들이 많이 볼거 같아 하나만 더하면 의심을 하려면 끝까지 해야하고 결론을 내려야 하는건 없습니다. 모르는건 모른다는 상태로 놔두는것이 각자 자신이 가진 백지를 아껴서 진리라고 생각되는것을 나중에 적는데에 유리합니다. 수치적 경쟁에 모든걸 걸지마시고 많이 다양하게 느끼고 움직이고 사고 하시길 바랍니다.
5차 교육과정 1세대인데, 정석은 형이 보던거 물려봐서, 4차까지는 한글 용어였습니다. 어차피 학부과정에서 원서는 당연히 영어고, 번역본은 저자 자유기 때문에, 결국 다 알아야 됩니다. 아마 학력고사에서 수능으로 넘어가는 세대 어디쯤에서 바꼈지 싶네요. 옛날 정석은 한문 투성이였으니.
단사함수 전사 함수도 한자가 대충 어떤 것을 사용할지 짐작이 되는데 저것도 학교에서 한자를 가르쳤으면 배울때 직관적으로 다가왔을 겁니다. 우리나라 교육의 문제죠. 한글전용을 하는 건 상관없는데 국어시간에 한자는 가르치고 최소한 학교 교과서에서는 한자병기를 해야 했습니다.
좋은 영상 감사합니다. 예전 어떤 수학 저널에서, '어떤 영역에서는 증명불가능'하지만 다른 영역에서는 참임을 증멸할 수 있는 정리를 소개한 걸 본 적이 있는데, 혹시 그런 게 있는지 궁금하네요... 가물가물해서 내용설명이 맞는지도 모르겠는데 그런 문제를 알고 계시면 가르쳐주시면 감사하겠습니다 ㅠ
f(1)=0.124526.... f(2)=0.243673.... f(3)=0.321678.... f(4)=0.634734.... .... 이라고 할 때, 새로운 실수 r을 하나 만듭니다. 이때, f(n)의 소수점 n번째 수가 1이면 r의 소수점 n번째 수가 2, f(n)의 소수점 n번째 수가 1이 아니면 r의 소수점 n번째 수가 1이 되도록 만듭니다. 즉, f(1)의 소수점 첫번째 수가 1이므로 r의 소수점 첫번째 수는 2가 됩니다. f(2)의 소수점 두번째 수는 4이므로 1이 아닙니다. 따라서 r의 소수점 둘번째 수는 1입니다. 비슷하게 r의 소수점 세번째와 네번째 수는 각각 2와 1이 될 것입니다. 따라서, r=0.2121..... 가 될 것이고, 당연하게도 f(1)과 r은 소수점 첫번째 수가 다르기 때문에 같지 않습니다. 비슷하게 임의의 f(n)과 r은 소수점 n번째 수가 다르기 때문에 같지 않습니다. 따라서 새로 만든 r이라는 실수는 함수 f의 치역(함수값)이 될 수 없으므로 함수 f는 일대일대응이 아닙니다.
@@obafgkm 엄밀한 증명은 좀 다르지만 이해를 돕기 위해 설명을 드리자면 자연수로 실수의 모든 숫자로 1:1대응을 모두 시켰다고 가정했을 때 그 숫자들을 줄을 세웠다고 생각해 보세요. 그리고 한 임의의 실수 x 를 만드는데 그 실수는 소수점 첫번째자리는 제일 처음에 세운 수의 소수점 첫번째 자리와 다른 수로 적고 그 다음 2번째 숫자의 소수점 두번째 숫자와 다른 숫자를 소수점 두번째 수에 적는 방식으로 쭉 적어나가는 식으로 만든 실수 x는 자연수와 모두 1:1 대응을 시켰다고 생각한 모든 실수 중 어느 하나와도 같을 수 없는 실수가 됩니다. 왜냐면 x 라는 실수는 어느 소수점 자리를 택해도 같은 실수가 없으니까요. 따라서 처음에 가정한 명제인 자연수와 실수는 1:1 대응이 된다는 것이 거짓이 되고 실수는 자연수의 무한보다 큰 무한을 가지는 것을 알 수 있습니다. 칸토르의 정리를 찾아보시면 증명을 찾아보실 수 있습니다.
저도 영상을 멈추고 곰곰히 고민했던 문제인데 반갑군요...ㅋㅋㅋ 제 나름대로 내린 결론은 다음과 같습니다. 1. 크기가 같다는 말은 일대일 대응(bijection)이 성립한다는 말이다. 2. 질문이 발생한 원인: 0을 배제하고서라도, 자연수 1에 정수 1과 -1을 대응시키면 일대일 대응이 성립하지 않는데 어떻게 크기가 같다고 설명할 수 있는가? 3. 힌트: 일대일 대응은 모든 함수에서 성립할 필요가 없으며(ex. 자연수 n에 정수 +n과 -n을 대응시킨 규칙에서도 일대일 대응이 성립할 필요는 없음), 임의의 순서 n번째로 일반화 시켰을 때 모든 자연수를 표현할 수 있고, 그에 해당하는 모든 정수를 표현할 수 있다면 크기는 같다. 4. 따라서 영상에서처럼 (1, 2, 3, 4, ... -> 0,-1, 1, -2, 2, ...) 배열해서 공역에서 모든 자연수를 표현할 수 있고, 치역에서 모든 정수를 표현할 수 있다면, 다른 배열 방법에서 성립하지 않는 것처럼 보인다 한들 두 집합의 크기는 같다.
무한에도 등급이있다고 느끼는 것아닐까요? 집합의 원소를 1:1 대응해서 집합의 크기를 나타내는것을 통해서 무한의 크기를 이야기한다고 합니다. 그런데, 실수의 수가 자연수보다 더 큰 무한한 원소를 가진다는 것은 실수 집합의 원소 중에 자연수 집합의 원소가 대응되는 것이 없다는 것입니다. 그러나 이것은 대응되는 원소가 없어서라고할수도있자만 대응되는 원소를 찾지못해서일가능성은 없나요?
111 같은 수가 포함되지 않기 때문에 잘못된 대응입니다. 그냥 간단하게 모든 대칭수를 나열하고 (1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,...) 앞에서부터 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,... 으로 대응시키면 됩니다. 뒤에 붙이는 방법을 사용하는 방법도 적어드리자면 자연수 집합을 N, 대칭수 집합을 A라 하면 뒤에 붙이는 방법을 사용했을 때 빠뜨리는 대칭수가 존재하기 때문에 N보다 A가 크거나 같고 A의 모든 원소는 자연수이기 때문에 A보다 N이 크거나 같습니다. 따라서 N과 A는 크기가 같습니다.
이해가 안 됩니다. 정수와 실수가 '크기'가 같다고 하는 부분에서 이 '크기'라는 단어가 제가 이해하는 그 단어가 맞다면 두 집합은 크기가 다릅니다. 정규 교육과정에서도 n이 무한으로 발산할 때 n과 2n은 2배만큼 '크기'차이가 난다고 결론내리는 것처럼, 집합의 크기 경우에도 마찬가지로 정수집합이 자연수집합보다 2배+1만큼 더 크다고 해야 납득이 됩니다.
안녕하세요 Inaccessible cardinal 의 설명중에 regular cardinal 이라는 조건이 더 있으면 정확 할 것 같습니다( 집합론 수업이 아니기 때문에 이 영상에서 설명하는건 과할수도 있을것이라 생각합니다). A를 Aleph null 이라고 했을때, A, 2^A, 2^2^A, .... 의 극한은 Inaccessible 이지만 수렴하는 수열의 길이가 countable 이기때문에 cofinality가 countable 이라서 regular cardinal 이라고 할수 없기 때문입니다. 그래서 사실 Inaccessible cardinal 은 저런 방식으로는 도달할수 조차 없기 때문에 우리가 생각하는것보다 엄청나게 큰 cardinal 인것이죠.
![[Live] ศึกมหึมันส์มวยไทยสังเวียนเดือด เวทีมวยชั่วคราวสวนสยาม | จันทร์ 30 กันยายน 2567](http://i.ytimg.com/vi/pM1k6f7JXUc/mqdefault.jpg)
이 영상을 본 연금 관리공단 : 연금으로 월 1원을 드리겠습니다. 무한으로 받을 수 있는 연금이기 때문에 월 1000만원과 같은 금액입니다
ㄱㅅ발 ㅈㄴ 빡치네 갑자기
어차피 똑같으니까 월 100억씩만 주세요. 제가 참고 받아드릴게요
돈은 시간에 따라 가치가 떨어져서 안됩니다
@@김지효-q2b 무한이기 때문에 가치가 떨어져도 같은 금액입니다
@@P1eyades 돈의 가치가 떨어지는 속도는 매년 일정 비율을 곱해서 떨어지는 등비수열과 유사한데, 등비수열의 합은 공비가 1보다 작기만 하면 무한합니다
12 Math 영상은 수학에 관심없는 사람에 대한 배려가 느껴져서 좋은 것 같음. 일반인은 관심없을 만한 내용에 왜 수학자들이 흥미를 느끼는지, 어떤 점이 재밌는지를 친절히 설명하면서 서서히 일반인을 수학자로 만들어버린다고 해야 되나...? 그런 점이 참 좋다
특히 이번 영상에서는 수학자들이 공리를 어떻게 여기는지 얘기하는 대목이 수학자들이 수학을 어떤 태도로 다루는 지가 마구마구 느껴져서 좋았음
공감합니다
옥구슬같은 강의죠
무한을 경험하였습니다.
영상을 틀자,, 굉음이 들리며 1분만에 잠이들었습니다.
어어... 무슨 내용이었지.. 다시 재생하였습니다...
이것이.. 무한?
집합론에서 Cardinarlity (농도) 에 관한 개념을 배운다면 두 집합이 대등하다 즉, 두 집합에 대한 전단사 함수가 존재한다고 한다면 두 집합의 크기가 같다고 얘기할 수 있죠. 1학년 1학기 전공과목인 집합론에 대하여 공부할 때 경의롭고 새로웠던 내용이였습니다. 칸토어나 베른슈타인 같은 위대한 수학자 분들을 존경할 수 밖에 없게 됩니다.
예전 이 영상에 난이도에 대한 댓글을 다신 분이 계셨습니다. 비전공자인 저는 혹여 고등 수학을 배울 수 있는 기회가 사라질까봐 대댓글을 달았는데요, 지금 와서 생각해보니 후회가 됩니다. 저도 대부분의 영상에서 많은 생각을 하며 보거나, 이해에 대한 노력이 필요하거나, 정말 좋은 질문을 하는 댓글을 보며 스스로의 부족함을 느낄 때가 많습니다. 저는 이 채널의 구독자중 비전공자의 수도 상당할거라 봅니다. 댓글 다셨던 분도 계속 같이 공부하고 계셨으면 좋겠습니다. 죄송한 마음을 담아 적습니다.
전공내용이 새록새록 떠오르네요. 선택공리때문에 수학이 종교와 비슷한 지점있다고 말씀하는부분이 들을때마다 항상 재밌고 신비롭습니다
신과 같은 모순적 존재를 몰아내려면 선택공리를 제한해야하지 않을까요?
모든 걸 가질 수는 없으니까요
수학 전공자 입니다. 설명하시는게 남다르다 싶어서 감탄하면서 봤는데, 배경을 보고 바로 머리를 쳤습니다. 수학과에서 배우는 좋은 개념을 철학적인 개념과 더불어 우리 삶과 연결지어 설명하시는게 너무나 좋습니다. 많이 배워갑니다.
공감합니다~~
카이스트 수석졸업에 박사라는거지?
@@박박-j2p 대원외고ㅡ카이스트 수학과(수석졸업) ㅡ 연세대 수학 석사ㅡ 프린스턴대 수학 박사
잘 봤습니다 오랜만에 kfc를 가야겠어요
오늘 영상은 무한에 대한 얘기네요!
무한이란 개념은 진짜 신기한 개념인 것 같습니다!
처음에 유리수 집합과 무리수 집합의 원소의 개수가 다르다라는 걸 처음 알게 됐을 때랑 대각선논법 처음 봤을 때 되게 신박했는데
19:42 진짜 다른 입장에서는 수학이란게 하나의 사이비 종교같은 얘기처럼 들릴 수도 있겠네요 ㅋㅋㅋ
오늘 영상도 유익하네요 ㅎㅎ 재밌게 보고 갑니다~~
감사합니다 :)
이 영상의 킬포는 "수학 배워서 어따 써먹음?" 이라고 끊임없이 질문을 내던지며 수학을 거부하고자 하는 사람들에게 배움이 최소한 손해는 아니다라고 끈덕지게 설득하는게 아닐까?
저는 충분히 손해일 수 있다고 생각합니다 기회비용개념을 생각하면 명백하지요
그럼에도 왜 수학을 하는가?
게임으로 시간을 보내는 건 인생낭비죠, 그럼에도 많은 사람이 게임을 합니다, 왜? 그냥 재밌으니까, 인생낭비를 감수하는 거지요
@@youngone999 기회비용 대비 얻는 결실에 대해 따져봐야죠 게임은 스트레스 해소로 정신건강에 도움이 될수도있고 수학은 사고력을 증진시켜 살아가는데 가장 중요한 지능에 밀접한 도움을 줄수도있습니다. 수학이 손해라고 받아드릴수있는 입장은 이미 충분히 사고력이 증진되어있어 투자시간대비 성장기대치가 낮은사람일거같네요
제가 아래에 적은 명제는 참입니다.
집합론 시험을 하루 앞두고 공부 1도 안했는데 이 영상을 보고 있는 수학과는 존재합니다.
영상을 보면서 스피노자의 형이상학이 계속 떠올랐어요.
그의 '실체' 개념(필연적으로 존재하는 것)은 곧 절대적으로 무한한 것을 의미하고, 그 실체가 '양태'의 방식으로 변용이 되면서 처음에는 무한하게 변용되다가(무한양태), 어느 단계에서 우리 인간이 감각하고 지각할 만큼 유한하게 변용된다고(유한양태) 말했어요.
[실체 -> 무한양태 -> 유한양태]
처음에 말씀해주신 자연수와 정수, 유리수의 무한은 마치 무한양태처럼 무한하기는 하지만, 그보다 더욱 큰 '실수'라는 형언할 수 없는 무한체계에 비하면 작은 일부일 뿐인 것이죠.
또 스피노자는 실체가 존재하는 방식(정확히는 본질을 구성하는 것입니다)을 '속성'이라고 정의하면서 그 작용들 중에 우선 인간에게 알려져 있는 '사유'와 '연장'(이것이 무한양태에서는 각각 '영혼'과 '물질'로, 유한양태에서는 각각 개별적인 '관념'과 '신체 혹은 신체기관'으로 변용)을 밝혔는데요,
[실체의 필연성 중 사유 속성 -> 영혼(무한히 많은 영혼들 중 하나가 인간의 정신적 본성) -> 개별 사물에 관한 관념들]
[실체의 필연성 중 연장 속성 -> 물질(무한히 많은 물질들 중 하나가 인간의 신체적 본성) -> 지각된 개별 신체(혹은 그 기관)들]
중요한 건 그가 실체는 절대적으로 무한한 것이기 때문에, 사유와 연장은 단지 인간이 그나마 인식하는 것이고, 그 외에 무한한 속성이 실체의 본질을 구성한다고 하였습니다.
[실체의 필연성 중 X의 속성 -> X의 무한양태 -> X의 유한양태 / X = {x⎮x는 사유와 연장 등 실체의 속성}, n(X) = ∞]
그러니까 단순히 실수의 존재처럼 더 큰 무한이 존재하기만 하는 것이 아니라, 그와 동시에 인간이 미처 그 존재조차 가늠할 수 없는 어마어마한 속성들이 반드시 존재한다는 것이고, 이는 마지막에 언급하신 와 일맥상통하는 의미를 갖고 있습니다.
실체는 그저 무한히 필연적으로 존재할 뿐이기 때문에 인간의 지식체계에 참된 보증을 해주지만, 반대로 인간의 지식체계로 구성한 내용이 설사 인간이 알고 있는 실체의 본성(무한성)과는 상충된다고 하더라도, 그것이 인간이 아는 것인 한 실체의 진리성에는 아무런 영향이 없고, 따라서 인간의 지식체계(공리) 또한 그 안에서 지식으로서 보증을 받고 있다는 것입니다.
수학과에서 뭐 배우냐고 물어볼때 가장 많이 꺼내는 말이에요 ㅋㅋ
자, 자연수랑 정수랑 크기가 어느게 더 클 거 같아? 정수가 더 큰거 같지? 사실 똑같다?
물론 당연히 이거 말고 많이 배우지만 이게 설명이 어째 편하더라고요 ㅋㅋㅋ
세상에서 제일 이성적인 사람들이라고 생각했던 수학자들이 사용하는 공리들도 종교와 같은 믿음을 근거로 사용한다는게 신기하네요:)
일종의 전제 조건입니다
공리를 따르는 이유는
수학에서의 가장 기초적인 부분을
정의하기란 너무나도 어렵기에
일종의 규칙으로써 공리라는 개념으로
근거로 사용합니다
위의 공리가 없다면 기본적인 부분에서
문제가 생겨 기본적인 전제 조건으로서의
공리가 생겨날수밖에없죠
그래서 공리를 따르는 겁니다
무한을 체험해보고 싶어서 왔는데 영상의 길이가 좀 길어서 7분까지 보고 갑니다~
철학에서는 수학을 자신의 주요한 철학적 방법론으로 삼는 사람들이 있는데요.
대표적으로 스피노자(기하학)나 바디우(집합론)가 있습니다.
이들에게 무한은 말 그대로 '한정되지 않음'으로 이해됩니다.
한정되면, 무한이 아닌 것이죠.
이에 따르면 수학에서 말하는 무한은 무한이 공리계에 의해 한계지어진 방식, 즉 무한의 한 유한한 양태(mode)라고 볼 수 있습니다.
수학적 무한에 한정되지 않는 무한에 대한 탐구에서 스피노자는 무한을 신과 동일시하면서 신학으로, 바디우는 무한의 우연성에 주목하면서 윤리학으로 이행하게 됩니다.
와… 지식공유 감사염
그렇다면 결국 무한의 크기비교가 일반적으로 유한한 집합을 담는 그릇의 크기가 아니라 무한이기에 그릇을 비교하는건 추상적이라 동일한 크기로 잡아서 늘리거나 줄여서 밀도를 비교하는것과 같아보이네요
자연수보다 정수가 무한히 두 배 정도는 많아보이는데 일대일대응 이라는데서 부터 머리가 하얘집니다 흑흑 ㅠ
대각선 논법으로 유리수를 전개하면 정말 자연수가 듬성듬성 나옵니다. 나중에는 보이지도 않습니다. 그래도 전 자연수가 다 펼쳐집니다. 대각선 논법은 자연수가 유리수의 부분집합이라는 또 다른 증명일 뿐입니다. 진정 자연수는 유리수 집합의 점과 같은 존재입니다.
전사, 단사, 전단사를 가르칠려고 했는데
고1 학생이 죽아도 못알아먹어서
포기한 기억이 납니다.
무한을 보면 수학은 꼭 답을 내는 학문은 아니라는 생각이 드네요
'개수가 같다'는 용어는 상당히 위험한 표현이 아닌가 합니다.
정의 그대로
(무한히) 1대1 대응 시킬 수 있다
라는 표현이 그대로 무난할 것 같습니다.
영상에서는
"무한집합의 개수가 같다"
를
"1대1 대응 가능하다"
로 정의한 것 같습니다.
왜 위험한지 설명해주세요
"개수" 라는 단어를 통상 유한한 대상에만 적용해 쓰기 때문에 어색할 수 있을 것 같습니다. 정의를 확장하였다고 하면 무리가 없지 않을까 싶습니다.
농도가 같다고 하면 좋을 듯 합니다.
무한에 어떻게 크기가 존재하지...? 이해가 안댐 무한은 말그대로 끝이없는건데 크기를 정하는건 끝이 있다는 가정하에 정하는거 아닌가...?
유한하게 무한한 우주도 있져
@@갓김치-r2w 그 유한하게 무한하다 라는말이 해석이 안되네요 저는
@@creator6010
집합의 크기를 비교한다는 것은 원래는 유한에서만 하던 행동이지요. 원소를 일대일로 짝지어 양 집합의 모든 원소가 일대일대응되면 크기가 같다고 합니다. 이 과정을 무한 집합으로도 확장했더니, 무한 집합들이 일대일대응되지 않는 게 있더라. 그래서 아, 무한에도 크기가 있는 거구나 하는 거죠.
사실 이런 오해를 피하기 위해 엄밀하게는 집합의 크기가 아닌 집합의 농도(cardinality)라고 해요.
너무 재밌습니다 영상 잘 봤어요. 무엇이 존재한다는 것이 참이어도 모순이 없고 거짓이어도 모순이 없다는 것이 그것의 존재에 어떤 의미를 갖는지 모르겠네요. 존재하거나 존재하지않거나를 확인할 수 없다는 건가요? 우리가 확인할 수 없다면 그것은 없다고 할 수 있는건가요?
설명을 차분히 잘해 주셔서 감사합니다. 여기서 영상보고 재미있어서 더 찾아보면 혼돈이..
안녕하세요 영상잘봤습니다. 예전부터 궁금하던 질문하나 드려봅니다. 좀 다른얘기이긴합니다만 이산확률변수의 정의가 유한하거나 셀 수 있는 확률변수라고 알고 있는데 유한하면 모두 셀 수 있는거 아닌가요? 굳이 유한하거나라는 조건을 이산확률변수 정의에 포함시킬 필요가 있나요? 제 생각엔 그냥 이산확률변수의 정의는 셀 수 있는 확률변수 라고 해도 충분할 것 같은데 제가 놓친부분이 있다면 알려주시면 감사하겠습니다
‘셀 수 있는(countable)’이라는 용어가 두 가지 뜻으로 혼용되어 쓰이기 때문에 의문이 생기신 것 같습니다. countable을 유한하거나 자연수와 일대일 대응되는 크기로 정의하기도 하고, 자연수와 일대일 대응이 되는 것만 countable로 정의하기도 합니다. 유한집합은 전자의 정의에서는 countable하지만 후자에서는 countable이 아닌 거죠.
집합론을 메인으로 다루는 책에서는 주로 전자의 정의를 차용하여 유한과 무한을 finite과 countably infinite으로 구분하지만, 더 상위 개념을 다루는 책에서는 countably infinite만 countable이라 하는 경우도 많습니다. Countable에 대한 성질만 증명하면 finite case는 자동으로 따라오는 경우가 많기 때문이에요. 질문하신 분은 아마 후자의 정의를 쓰는 책을 보신 듯 합니다.
실수 갯수가 10의 알레프제로승과 비슷하다고 하셨는데 2의 알레프제로승으로 계속 쓰신거에 이유가있는건가요?
유링게슝
좋아요를 누르지 않을 수 없네요, 설명이 간결 명확 그 자체.
무한이라는 말이 해상도가 낮다라는 말과 그 뒤에 비유를 보고 크게 얻어갑니다. 감사합니다
얘들아 무한이면 다 똑같은 거 아니야? 자연수의 개수나 실수의 개수나 다 똑같은거야~ (자 이제 한마디씩 해주십시오)
수학2에서 무한이라는 개념을 배울 때 막연하게 '그냥 엄청 큰 거구나'라고 생각했는데 무한 안에서도 크기가 있다는 사실이 놀랍습니다. 특히 정수와 유리수의 무한의 크기를 비교하는 과정이 너무 신기하네요. 정수가 두 개 필요하니까 제곱이라니.. 수학자들이 가정하고 정의한 그 내용들을 보다 보면 머리를 한 대 맞은 것처럼 띵하네요. 아직 지식의 깊이가 너무 얕아 수학 영상들의 내용을 이해하는데 힘겹지만 알아가는 재미가 있는 것 같습니다. 그리고 2:45의 내용 너무 공감가네요. '일대일 함수', '일대일 대응' 이름이 너무 비슷하다보니 고1때 처음 배울 때 헷갈렸던 기억이 있네요.. 그래서 'y가 짝을 못찾아도 함수니까 일대일 함수, 모든 것에 일대일로 대응해야하니 일대일 대응' 이렇게 외웠던 기억이 있네요... 항상 좋은 영상 감사합니다.
비트코인 무한
자연의 DNA 복제와 일맥상통하는 전단사 함수.. 철저한 1/1 함수를 따르는 DNA 복제와 염색체 복제..조금이라도 어긋나면 생명활동에 막대한 지장을 주는..
오 유전학에 대해 좀 아세요?
어렵습니다...비전공분야라 그런지...그래도 잼있네요
예전 수학에 관심이 많았을 때 혼자 생각하며 책도 찾아보고 공부했었는데 이런 영상 올려주셔서 감사합니다
수학을 학교에서도 이렇게 배운다면 좋겠다는 생각이 들어요.. 이렇게 재밌는 과목을😢
무한은 제곱 세제곱을 해도 크기가 변화하지 않는다고 하셨는데 고등학교 때 극한을 배울 때 lim->무한(ax/Ax²+Bx) 이런 식으로 하면 0으로 수렴 하지 않나요?? 저 분수가 반대로라면 무한으로 발산되구요 크기가 같으면 이런 정의는 어떻게 한 것일까요... 아니면 이 개념과는 다른 것인가요? 너무 궁금합니다!!
같은 개념이죠 하지만 저 식이 0으로 수렴한다는 의미는 분모 분자를 각각 x^2으로 나눈 뒤 극한을 보내는 의미입니다. 그렇다면 이해가 되지 않을까 싶네요
@@asavg 어려운 내용을 듣다보니 기본적인 걸 까먹었네요 하하.. 감사합니다
일반인: 완벽히 이해했어
전문인: 완벽히 설명했네
흥미롭네요.. 잘 보고 갑니당 :)
전사함수는 요즘 '위로의 함수'라고 부르는 걸로 알고 있습니다!!
자세하게 공부하고 싶은 사람은 집합론 참고하세영 재밋어요
이 영상 우클릭 누르고 반복재생 누르고 창 안 닫으면 무한이 뭔 지 알 수 있습니다
왜 옛날 함수명칭이 더 받아들이기 쉬운것같지?
무한이라는게 원래 우리 인간의 직관으로는 이해할 수 없는 개념이고 수학자들이 편리하게 써먹기 위해 도입한 개념이기 떄문에 직관과는 전혀 다른 행동을 보이는 거겠지요. 사실 무리수를 포함한 실수만 해도 피타라고스가 유리수만 존재한다고 믿었듯이 직관에 반하는 개념이죠. 더구나 허수의 개념은 중근세의 수학자들도 거부한 개념이죠. 하지만 수학적으로 유용하니 실수니 복소수니 도입해서 유용하게 써먹고 있지요. 무한의 개념도 마찬가지가 아닐까요? 인간의 직관은 근대 수학의 발전에는 별로 도움이 되지 않는거 같습니다.
5차 교육과정 1세대인데, 정석은 형이 보던거 물려봐서, 4차까지는 한글 용어였습니다. 어차피 학부과정에서 원서는 당연히 영어고, 번역본은 저자 자유기 때문에, 결국 다 알아야 됩니다. 아마 학력고사에서 수능으로 넘어가는 세대 어디쯤에서 바꼈지 싶네요. 옛날 정석은 한문 투성이였으니.
음 생각해보 않았는데 수학은 철학자가 만든거라 생각되네요. 사고의 추상적인것들을 수치화 시키는것 그것을 공간에 옮긴것.. 제 딴이지만 인간중심의 공통언어는 수학이고 개수로 현실을 판단하기엔 모든 물질은 원자집합이고 그걸 측정하는게 질량이고 원자로써나 양자로써 흩어져있으면 되는걸 왜 우리는 뭉쳐서 서로 다투는 걸까요,
수학을 못 하는 저는 어렸을 때부터 정해놓고 사고하거나 외우는 수학이 와닿지 않았으나 공식만 외워도 중학수학까지 1등은 쉽더군요. 전 수학이 이분법적 사고와 관련있다 봅니다. 동양의 수학이 덜 발달했다 보진 않습니다. 실제로 동양인의 수학능력은 뛰어나 보입니다.그러나 동양 사상은 원인을 수많다고 보고 원인중심을 찾는 것이고 서양은 결과를 바꾸려하고 원인을 단순화하려합니다.
환경이 인간의 개발에따라 원인은 단순화 되어보일수 있지만 사라져버린(자연친화적인) 요인이 상쇄시키던 좋은 것들은 찾을 수 없겠죠.
짜여진 게임안에서 결과는 몇가지로 정해져있습니다, 허나 모든 것의 위에서 놀면 결과는 천차만별이겠죠. 지금도 기득권이나 천재 모든게 결과적 수치로 하늘과 땅차이로 나타나고 그 원인을 파악하고 후세에 대한 교육을 개선하기보다 목 밑에 찬 차세대를 꺽어내기를 선택합니다.
학생 친구들이 많이 볼거 같아 하나만 더하면 의심을 하려면 끝까지 해야하고 결론을 내려야 하는건 없습니다. 모르는건 모른다는 상태로 놔두는것이 각자 자신이 가진 백지를 아껴서 진리라고 생각되는것을 나중에 적는데에 유리합니다.
수치적 경쟁에 모든걸 걸지마시고 많이 다양하게 느끼고 움직이고 사고 하시길 바랍니다.
어렵지만 이해하지 못했습니다 감사합니다
5차 교육과정 1세대인데, 정석은 형이 보던거 물려봐서, 4차까지는 한글 용어였습니다. 어차피 학부과정에서 원서는 당연히 영어고, 번역본은 저자 자유기 때문에, 결국 다 알아야 됩니다. 아마 학력고사에서 수능으로 넘어가는 세대 어디쯤에서 바꼈지 싶네요. 옛날 정석은 한문 투성이였으니.
믿음은 정말 중요하죠 믿음에 관해 다시 생각해보게 되네요
수학에 대한 흥미를 일깨워 주는 좋은 영상입니다. 앞으로도 좋은 영상 부탁드리겠습니다.
오늘 저녁은 명륜진사갈비
단사함수 전사 함수도 한자가 대충 어떤 것을 사용할지 짐작이 되는데 저것도 학교에서 한자를 가르쳤으면 배울때 직관적으로 다가왔을 겁니다. 우리나라 교육의 문제죠. 한글전용을 하는 건 상관없는데 국어시간에 한자는 가르치고 최소한 학교 교과서에서는 한자병기를 해야 했습니다.
머리 아픈건 잠 안올때 봐야지.
괴델 에셔 바흐를 읽으면서 괴델의 불안정성 정리를 단 하나의 예시로만 맛봤는데 혹시 여기에 대해서 명쾌한 설명을 해주실 수 있는 영상을 만들어주시면 진짜 재밌을거 같아요
초딩때 수학 백점이었죠??
명륜진사갈비 미만잡
좋은 영상 감사합니다. 예전 어떤 수학 저널에서, '어떤 영역에서는 증명불가능'하지만 다른 영역에서는 참임을 증멸할 수 있는 정리를 소개한 걸 본 적이 있는데, 혹시 그런 게 있는지 궁금하네요... 가물가물해서 내용설명이 맞는지도 모르겠는데 그런 문제를 알고 계시면 가르쳐주시면 감사하겠습니다 ㅠ
제가 찾아냈습니다. 굿스타인 정리였네요...ㅎㅎ 순서수를 도입하지 않으면 페아노공리계에서는 증명불가능한 정리라는 모양이군요
오 무한집합인가요.
무한으로 즐겨요~
저 무한이라는 개념은 볼때마다 뭔가 철학적으로 생각하게 만드는 것 같습니다.🤨 오늘도 좋은 영상 잘 보고 갑니다.😊
헷갈려서 질문드립니다
자연수, 정수, 실수의 값의 비교가 아니라
개수를 비교하는 개념이면 무한한 개수로 각각을 판단했을 때는
결국 동일하게 무한한 개수를 갖는거 아닌가요??
거짓말이 아니라 이 영상을 보고 싶은데 버퍼링 현상이 무한으로 발생하고 있습니다.
선생님.. 이게 무한인가요?
무한을 경험하게 해주셔서 감사합니다.
궁금한게 그러면 불완전성의 정리는 ZFC공리계가 참이라면 성립하는 정리인가요 아니면 페아노 공리계가 참이라면 성립하는 공리인가요?
혹시 3:47에서 두 집합 A,B에 절댓값(?)을 씌운 이유가 무엇인지 알 수 있을까요??
집합의 갯수라는 기호입니다
만약 유리수와 실수 사이에 무한집합이 존재 한다면 그 수는 유한한가요? 이런 것에 대한 논문도 있을까요?
연속체 가설을 찾아보세요
가볍게 보려고 들어왔다가 영상 길이를 보고 무한을 체험해 본 것 같습니다
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
복소수의 집합은 실수의 집합보다는 큰가요? 아니면 같은가요?
같습니다. 실수 개수의 제곱과 같다고 이해하시면 될 것 같네요.
@@12math 아, 실수+실수i로 이해하면 되겠군요. 답변 감사합니다.
사실 무한이 기본 아닐까 싶네요.
인류의 수학으로 이해 할 수 있는 영역이 아닌 것 같습니다.
대단하네요. 증명할 수 없다는 것이 증명 되었다라니... 증명할 수 없는데 어떻게 그게 증명 된다는 것인지... 증명할 수 없는 것이 증명할 수 있다는 것이 증명될 수 있는 것인지...
뭐지 왜 내 알고리즘에 나온거야
시험 얼마 안남았다고 공부나 쳐 해라 라는 뜻인가??
알겠다.... 그런데 모르겠다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
이영상을 무한으로 시청하라고 알아보고 들어왔으면 추천..
알레프 널보다 작은 무한이 있는지도 알 수 있을까요?
칸토어-베른슈타인 정리에 의해 아실 수 있습니다
해석학 처음배울때 역했는데
퇴학하고나서 보니 재밌네요
와
서로소!
멱집합 때부터 뇌가 아픈
무한에도 단계가 있다고 했는데
1차원, 2차원, 3차원에 연결되네요
12:16 이 부분이 이해가 안 가는데 혹시 설명해주실 분ㅠㅠ 1이랑 2가 왜 저런 소수들이랑 대응되는지도 모르겠고 0.211어쩌고 소수는 왜 대응이 안되는지 모르겠어요
f(1)=0.124526....
f(2)=0.243673....
f(3)=0.321678....
f(4)=0.634734....
....
이라고 할 때, 새로운 실수 r을 하나 만듭니다.
이때, f(n)의 소수점 n번째 수가 1이면 r의 소수점 n번째 수가 2, f(n)의 소수점 n번째 수가 1이 아니면 r의 소수점 n번째 수가 1이 되도록 만듭니다.
즉, f(1)의 소수점 첫번째 수가 1이므로 r의 소수점 첫번째 수는 2가 됩니다.
f(2)의 소수점 두번째 수는 4이므로 1이 아닙니다. 따라서 r의 소수점 둘번째 수는 1입니다. 비슷하게 r의 소수점 세번째와 네번째 수는 각각 2와 1이 될 것입니다.
따라서, r=0.2121..... 가 될 것이고, 당연하게도 f(1)과 r은 소수점 첫번째 수가 다르기 때문에 같지 않습니다. 비슷하게 임의의 f(n)과 r은 소수점 n번째 수가 다르기 때문에 같지 않습니다.
따라서 새로 만든 r이라는 실수는 함수 f의 치역(함수값)이 될 수 없으므로 함수 f는 일대일대응이 아닙니다.
@xor 우리가 만든 실수가 저 함수에서 안 나오는 실수라는 걸 어떻게 알 수 있나요…??ㅠㅠ 죄송해요 이해가 안돼서…😭😭😭
@@obafgkm 엄밀한 증명은 좀 다르지만 이해를 돕기 위해 설명을 드리자면 자연수로 실수의 모든 숫자로 1:1대응을 모두 시켰다고 가정했을 때 그 숫자들을 줄을 세웠다고 생각해 보세요. 그리고 한 임의의 실수 x 를 만드는데 그 실수는 소수점 첫번째자리는 제일 처음에 세운 수의 소수점 첫번째 자리와 다른 수로 적고 그 다음 2번째 숫자의 소수점 두번째 숫자와 다른 숫자를 소수점 두번째 수에 적는 방식으로 쭉 적어나가는 식으로 만든 실수 x는 자연수와 모두 1:1 대응을 시켰다고 생각한 모든 실수 중 어느 하나와도 같을 수 없는 실수가 됩니다. 왜냐면 x 라는 실수는 어느 소수점 자리를 택해도 같은 실수가 없으니까요. 따라서 처음에 가정한 명제인 자연수와 실수는 1:1 대응이 된다는 것이 거짓이 되고 실수는 자연수의 무한보다 큰 무한을 가지는 것을 알 수 있습니다. 칸토르의 정리를 찾아보시면 증명을 찾아보실 수 있습니다.
@@서소라꾸러기 감사합니다!!
그런데 자연수와 정수의 집합에서
-3 -2 -1 0 1 2 3 4....
1 2 3 4 5....라는 집합이있다고하면 12345...는 일대일 대응이 되지만 나머지 0과 음수들은 대응되지 않을수 있는거 아닌가요?
저도 영상을 멈추고 곰곰히 고민했던 문제인데 반갑군요...ㅋㅋㅋ
제 나름대로 내린 결론은 다음과 같습니다.
1. 크기가 같다는 말은 일대일 대응(bijection)이 성립한다는 말이다.
2. 질문이 발생한 원인: 0을 배제하고서라도, 자연수 1에 정수 1과 -1을 대응시키면 일대일 대응이 성립하지 않는데 어떻게 크기가 같다고 설명할 수 있는가?
3. 힌트: 일대일 대응은 모든 함수에서 성립할 필요가 없으며(ex. 자연수 n에 정수 +n과 -n을 대응시킨 규칙에서도 일대일 대응이 성립할 필요는 없음), 임의의 순서 n번째로 일반화 시켰을 때 모든 자연수를 표현할 수 있고, 그에 해당하는 모든 정수를 표현할 수 있다면 크기는 같다.
4. 따라서 영상에서처럼 (1, 2, 3, 4, ... -> 0,-1, 1, -2, 2, ...) 배열해서 공역에서 모든 자연수를 표현할 수 있고, 치역에서 모든 정수를 표현할 수 있다면, 다른 배열 방법에서 성립하지 않는 것처럼 보인다 한들 두 집합의 크기는 같다.
수와 수의 일대일 대응이 아니라 수와 집합의 일대일 대응이 된다면 어떻게 되나요? 이를 찾아보려면 수학의 어떤 부분을 찾아야 할까요?
수와 집합이 사실 다른 것이 아닙니다. 수도 집합으로 정의됩니다. 예를 들어, 0은 공집합으로 정의되고, 1은 {0}로, 2는 {0,{0}} 과 같은 형태로 정의됩니다. 집합론 (set theory)를 보시면 됩니다.
@@12math 집합의 정의를 잘 살펴봐야겠네요 감사합니다!
무한에도 등급이있다고 느끼는 것아닐까요? 집합의 원소를 1:1 대응해서 집합의 크기를 나타내는것을 통해서 무한의 크기를 이야기한다고 합니다. 그런데, 실수의 수가 자연수보다 더 큰 무한한 원소를 가진다는 것은 실수 집합의 원소 중에 자연수 집합의 원소가 대응되는 것이 없다는 것입니다. 그러나 이것은 대응되는 원소가 없어서라고할수도있자만 대응되는 원소를 찾지못해서일가능성은 없나요?
어떤 대응 관계를 만들어도, 공역에 있는데 치역에는 없는 원소가 항상 존재하므로 일대일대응이 만들어지지 않는다고 이해했습니다
선생님 강의 영상들 따라가며 감탄해가면서 보고 있는데
처음으로 논리학 공부한 가락으로 알고 있는 얘기네요.
이런 주제를 이렇게 깔끔하게 설명해주시니 감사합니다.
제가 제대로 이해한 것이 맞는지 헷갈리는데
그럼 대칭수의 개수는 알레프0인건가요?
자연수의 개수가 알레프0라고 하셨고
자연수를 대칭수로 bijection하는건
1은 11 12는 1221 12345는 1234554321 이런식으로
뒤집은걸 뒤에 하나 붙이면 대칭수가 되니
일대일대응이 되는것일까요
111 같은 수가 포함되지 않기 때문에 잘못된 대응입니다.
그냥 간단하게 모든 대칭수를 나열하고 (1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,...)
앞에서부터 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,... 으로 대응시키면 됩니다.
뒤에 붙이는 방법을 사용하는 방법도 적어드리자면
자연수 집합을 N, 대칭수 집합을 A라 하면
뒤에 붙이는 방법을 사용했을 때 빠뜨리는 대칭수가 존재하기 때문에 N보다 A가 크거나 같고
A의 모든 원소는 자연수이기 때문에 A보다 N이 크거나 같습니다.
따라서 N과 A는 크기가 같습니다.
너무재밌어용 교수님
이해가 안 됩니다. 정수와 실수가 '크기'가 같다고 하는 부분에서 이 '크기'라는 단어가 제가 이해하는 그 단어가 맞다면 두 집합은 크기가 다릅니다. 정규 교육과정에서도 n이 무한으로 발산할 때 n과 2n은 2배만큼 '크기'차이가 난다고 결론내리는 것처럼, 집합의 크기 경우에도 마찬가지로 정수집합이 자연수집합보다 2배+1만큼 더 크다고 해야 납득이 됩니다.
학계에선 무한집합의 농도라는 표현을 씁니다.
농도로 생각해보시면 의문이 해결되실까나요
너무 재밌어요... 감사합니다🙇
선생님 질문 있습니다. 무한이라는 개념에서 이런 질문도 있는데요. 0.9999... =1 이라는 명제는 참이다. 라는 것인데요. 양변에 10의 무한대 승을 각각 곱해줘도 같아야 하는데 이럴 때는 '1' 정도 차이가 나게 되고, 같다고 봐야 하는건지 궁금하네요.
양변에 무한대를 곱한다는건 양변을 0으로 나눈다는 것 만큼 말도 안되는겁니다
좋은 영상 감사합니다
안녕하세요 Inaccessible cardinal 의 설명중에 regular cardinal 이라는 조건이 더 있으면 정확 할 것 같습니다( 집합론 수업이 아니기 때문에 이 영상에서 설명하는건 과할수도 있을것이라 생각합니다). A를 Aleph null 이라고 했을때, A, 2^A, 2^2^A, .... 의 극한은 Inaccessible 이지만 수렴하는 수열의 길이가 countable 이기때문에 cofinality가 countable 이라서 regular cardinal 이라고 할수 없기 때문입니다. 그래서 사실 Inaccessible cardinal 은 저런 방식으로는 도달할수 조차 없기 때문에 우리가 생각하는것보다 엄청나게 큰 cardinal 인것이죠.
지금까지 이런 댓글은 없었다. 이것은 한글인가 영어인가 수학인가. 수원왕갈비통닭입니다.
나에 있어 카운터블한 댓글이 아니네
@@4720818 우즈베키스탄?
@@제갈대중 쭝궈?
형 쩔어여.. 너무 재밌고 철학적으로 생각하게 되네요
감사합니다. 더 이해하지 못하게 되었습니다
캬...대학수학을 여기서 새롭게 배우네 ㅋㅋ
1과 2사이에도 무한히 갈 수 있지 않을까
1.9x무한x무한 2
이거보니까 러셀의 역설 생각나네
무한은 명륜진사갈비입니다
내 수학은 극한에서 멈춰버렸지
나보다 최소 5살은 많은 사람일듯
😢