저의 부족한 영상을 시청해 주신 여러분께 진심으로 감사드립니다. 😍정말 다양한 의견들을 접할 수가 있어서 좋네요~~. 하지만, 이 채널은 저의 제자들도 함께 하는 곳이며 제 채널을 찾아주시는 다른 분들을 위해서라도 비속어를 사용하시는 경우에는 부득이 삭제하도록 하겠습니다. 양해부탁드립니다. 그럼 또 찾아 뵙겠습니다. 감사합니다~!!
수학에서 사용하는 '존재한다'라는 용어에 대해 정말 많은 의견들이 있네요~ 저도 이 쯤에서 제 생각을 한번 말씀드려볼까 합니다. 수학에서 존재한다는건 수학이란 시스템안에서 존재한다는 뜻이예요. 이 우주에 완벽한 원이 없고, 완벽한 길이 파이가 없어도 수학안에서는 여전히 존재하지요. 수학은 추상적이고 관념적인 학문입니다. 하지만 이러한 수학이 사회,과학,의학등에 널리 사용되어 우리의 삶을 윤택하게 하고 있는 점을 생각해 주시어, 실제로 없는 것임에도 수학에선 '존재한다'라는 표현을 쓰는 것에 대해 너그러이 이해해주시기 바랍니다😅
0.999...=1를 접할 때면 매번 지구평평설을 주장하는 사람이 된 기분이었습니다. 수포자를 넘어 공포자라 어디가서 질문도 함부로 할 수 없을 처지였는데, 집합과 실무한의 개념으로 설명하는 것을 이제야 처음 보았네요. ㅎ 중학생 때 모자른 0.000...1은 어디 있냐고 선생님께 물어보니 그런 소수는 정의하지 않는다는 대답에, 유불리에 따라 억지로 정의하지 않는 수학자들이 비겁하다는 생각을 했던 기억이 납니다. ㅋㅋ 재밌게 봤습니다. ㅎ
댓글을 보니까 무한이 존재하냐 안하냐 철학적으로 따지시는 분이 있는데, 무한이 개념으로 정립이 되지 않았을 뿐, 무한이 있기에 수학이라는 사유 학문도 존재하는 겁니다. 원이 있으니까 파이라는 무한 소수가 있는거고요. 무한이 느껴지니까 수학이라는 사유 방식도 있는 겁니다. 하지만 무한이 순환과 같은가?라는 논제 속 무한이 없다고 보는 견해에서는 신중 할 필요가 있다고 봅니다. 저 또한 무한과 순환이 다른 개념이라고 보긴 힘들 것 같다고 생각은 하지만 초야수학님의 이론대로 라면 이미 박혀버린 무한은 해당 방향으로 이미 정보값이 수렴을 하기에 우리가 사는 우주의 엔트로피가 과거로 돌아 올 수 없음을 시사한다고 봅니다.
1. 집합S에 포함되지않으면서 2. 임의의 (1보다 작은 + 집합S의 원소인) 수 a보다 항상 크다. -> 으아아ㅏ 이게 왜 ”1보다 작을 수 없다“ 가 되는건지 이해가 안되네요 빠가사리인가바여 흑흑 그냥 0.999~ 를 표현하는 그이상/그이하도 아닌 풀어쓴 말 같은데 1보다 작을수없다는 새로운진리가 어떤 논리로 나올수있는건지으으ㅏ으아ㅏ아아아ㅏ
0.999… 밑에 9를 무한하게 늘릴 수 있지만(가능하지만) 그 원소의 값을 특정 지으면 9의 갯수는 유한하게되는 집합 S --- 이해됨 의 원소 중 임의의 원소 a 보다 --- 이해됨 0.999~ 는 항상 크다. --- 이해됨 그러므로 0.999~ 는 1보다 작을 수 없다. --- 네?
정성껏 질문 주셨네요. 저도 다시 한번 0.999~가 1보다 작을 수 없는 이유에 대해 설명 도전해보겠습니다. 만일 0.999~ < 1 이라 가정해 봅시다. 그러면 2)에서 등장하는 1보다 작은 a중에 0.999~도 있습니다. 그러면 결론 2)에서 집합S에는 0.999~보다 큰 원소가 존재합니다. 이는 결론1) 0.999~ > s 에 모순이 됩니다. 이렇게 모순이 발생하면, 두번째 줄에서 가정한게 틀린 것이 됩니다. 이러한 증명방법을 귀류법이라고 해요~
@@chickenchaser6558 어떤 a에 대하여, a보다크다와 a이다는 양립불가입니다 여기서 a에 '1보다 작은 수'라는 문장 대입하면 1보다 작은수보다 크다와 1보다 작은수이다는 양립불가. 이건은 실수의 문제가 아니라 기호논리의 영역입니다 이렇게 밝혀진 모순을 모순이 아니라 하면 더이상논리전개는 어렵습니다.
영상에서 0.999~가 집합 S에 포함되지 못하는 것에 대한 추가 설명을 드려보겠습니다. 사고 실험입니다. 무한히 많은 사람이 일렬로 늘어서 있습니다. 첫번째 사람은 100원. 두번째 사람은 200원. 이렇게 모든 사람은 앞사람보다 100원이 많고 뒷사람보다는 100원이 적은 돈을 가지고 있습니다. 그러면 전체 돈은 무한이겠지요. 하지만, 여기서 돈을 무한히 많이 가진 어떤 한 사람이 있을까요? (살짝 부럽...^^) 있으면 우리가 그 사람을 선택할 수 있어야 합니다. 그러나 누구를 선택해서, 돈을 확인해 보더라도 돈은 유한개입니다. 자신의 뒤에 있는 사람보다 100원이 적죠.. 이것은 자연수집합은 무한개의 원소를 가지지만, 모든 원소는 자연수로서 유한한(고정된) 값을 가지는 것과 같습니다. 무한대는 자연수가 아니기 때문입니다. 따라서 집합 S는 원소가 무한히 많지만, 실제로 어떤 원소를 선택해보면 9는 유한개일 수 밖에 없고 0.999~가 S의 원소가 될 수 없는 것입니다.
"S는 무한 개의 원소를 가지지만 특정 원소를 선택하는 순간 원소가 될 수 없다."라는 논지인데, 그건 논리가 아니지 않나요? 이거 꼭... 양자 역학 하고 있는 초야수학님께, 뉴턱 역학으로 제가 이야기하고있는 꼴인 것 같아요.ㅠ 정의가 집합 S의 원소 개수가 '무한하다'라고 해놓고... 무한이 유한함을 못 품는 상황? 그것이...무한인가;;
"특정 원소를 선택하는 순간 원소가 될 수 없다." 여기서 어떤 오해가 있으신거 같네요. 흠.... 자연수 전체집합={1,2,3,...}을 봅시다 이 집합의 원소 중에 ∞가 있나요? ∞는 자연수가 아니기 때문에 없습니다. 이게 이해 되셨다면, 사실 끝난 것이예요. 저 집합의 숫자가 집합 S에서 9의 개수라고 생각해 보세요. 모든 자연수가 제 아무리 크더라도, 어차피 특정한 값을 가집니다. 이것이 원소의 개수가 무한이지만, 모든 원소는 유한한 값을 가진다는 뜻이예요.
@@jh_math 선생님께서 작성하신 댓글의 마지막 문단의 요지가 '특정 원소를 선택하는 순간 9가 유한개 일 수 밖에 없기에 0.999...가 원소가 될 수 없다.'라고 하고 계시는데... 집합에서 어떤 원소가 유한한 값을 가진다고 해서 원소의 개수가 무한 개인 집합의 원소가 될 수 없는 것은 아니지 않아요? 저는 선생님 영상을 통해 '가무한', '실무한'의 개념을 처음 접했는데요, '무한'이라는 것 자체를 '이용'하기 위해서... 수학적으로 무한을 '유한하게' 정의내려버려서 생기는 현상이 아닐까... 까지 이르렀습니다.ㅠ 수학은 '정의'의 학문이니까요. /// 싸우자는 거 절대 아닌거, 선생님 아시죠?^^;;,, 그리고 자연수 집합에 무한대라는 원소가 있냐는 질문에... 마치, 1/0이 정의될 수 없는 것처럼... '알 수 없다' 혹은 '정의되지 않는다'가 정답이 아닐지요?;;
아하~! 이제 질문자님께서 무엇을 어려워 하시는지 이해한것 같네요.^^ 수학은 정의의 학문이다. 좋은 말씀입니다. 지금 생각해 보니, 칸토어는 '무한집합의 정의'라는 그 어려운걸 해냈네요.^^ 일단 팩트를 말씀드리면, 고등학교에서 배우고 또 대학교 수학과에서 배우는 칸토어의 집합론에서는 자연수 전체집합에 무한대는 없습니다. 하지만 실수에 무한대까지 포함시키는 새로운 체계를 만드는 것도 수학의 또 다른 분야로 연구되고 있습니다.
@@highmusi933 부연으로 정정해보자면 '어떤 원소가 유한한 값을 가진다고해서'가 아니라 '어떤 원소라도 유한한 값을 가지므로' 무한한 값인 0.999...가 원소가 될 수 없다. 입니다. 이를 다시 좀 더 쉬운 자연수의 예로 들자면, ∞가 자연수 집합 {1, 2, 3, ...}의 원소인지 따져볼 때, 1도 유한하고 2도 유한하고 3도 유한하지요? 즉 {유한, 유한, 유한, ...} 입니다. 이렇게 유한한 수가 나오다가 어느 시점에 갑자기 무한 수가 나오지는 않을테니, 결국 자연수 집합의 모든 원소는 '유한'한 수라는 것을 알 수 있습니다. 원소의 개수가 무한한 거지 원소 각각은 언제나 유한한 수여야 한다는 말입니다. 그런데 ∞는 유한한 수가 아니라 무한한 수죠. 그러니 ∞는 자연수 집합에 속할 수 없다는 뜻입니다. 최대한 설명을 드리긴 했는데 어떨까 모르겠네요..
실무한, 가무한에 대해 알게 되었습니다. 감사합니다. 근데 저는 수학은 어려워서 잘 모르지만 과학에는 늘 관심이 있고 생각도 해보는데요. 어떤 물체가 이동하는 선은 '무한한 점의 연속'으로 되어있다는게 사실 불가능한 부분이라고 생각됩니다. 물리학에서 정의하는 '플랑크 길이'라는게 존재할거라는것이죠. 결국 공간을 무한히 나눌수 없고 최소한의 나눌수 없는 길이가 있을거라는 가정을 하면 완벽한 원이나 곡선이 사실 자연계에선 허상이고 수학적으로도 극한으로만 표현할수 있는 이유도 그게 아닐까 싶습니다.
네^^ 과학이 현실을 보는 학문이라면, 수학은 추상적인 세계의 학문입니다. 때문에 제논의 역설과 같은 것들을 현실세계의 예를 통해 설명하긴 하지만, 본질은 사실 논리로서만 설명되죠. 수학하는 사람들은 진짜 원을 찾기 위해 노력하지 않습니다. 우리의 머리속에 있으니까요. 과학과 수학은 상호보완적이나, 추구하는 바는 많이 다른 학문입니다. 영상 시청해주셔서 감사합니다 🙂
각 원소를 개별적으로 보면 언제나 유한하니까요. 쉽게 말해서 {0.9, 0.99, 0.999, ....} 집합에서 각각의 원소에 들어있는 9의 개수가 무한수인지 유한수인지만 따져보면 {유한수, 유한수, 유한수, ...}이죠. 즉 모든 원소는 9의 개수가 유한한데, 다만 그 유한한 원소의 개수가 무한할 뿐이라는 거죠. 따라서 0.999...는 무한수이므로 위의 집합에 속할 수가 없는 것이죠.
결국은 어떻게 인식하느냐, 정의의 문제 뭐 그런건가? 근데 실무한의 증명 과정에서 10x=9.999... -x= 0.999... 9x=9 X=1을 들었는데 소수가 아니고 X=무한 10x= 10 x 무한이면 결국 10x나 x나 실무한으로서 똑같은거 아닌가요? 그러니까 소수점 이하로 무한히 같은 수가 늘어나는 무한이 아니라 무한대의 의미로 개념을 적용하면요. 실무한에 뭘 곱해도 실무한 그 자체니까
강의 잘 보았습니다. 정말 잘 만드셨군요! 대단합니다 하지만 전 무한이란 실재로는 존재하지 않는다고 확신합니다. 수학적으로는 그럴듯하게 존재하지만 이 우주 어디에도 무한은 존재하지 않으며 오직 인간이 수학문제를 풀 때만 존재하죠! 즉 수학이라는 것 자체가 관념에 불과하며 이 우주 어디에도 완전한 원 완전한 구 완전한 직선 하물며 완전한 파이 루트2 같은 건 더더욱 존재하지 않습니다. 태양이 자동차 바퀴가 어디 완전한 원을 상징합니까 수평선이 KTX 철길이 완전히 직선이 아니듯이 이 우주 어디에도 저 우주 저편에도 미적분과 극한 개념은 완전히 존재하지 않는 다고 확신합니다 똑같이 생긴 사물들이 있더라도 인력과 척력이 서로 복잡하게 영향을 주게 되므로 같은 것의 나열이라는 수라는 개념 자체도 성립하지 않는 것이 우주의 본질입니다. 수학은 인간의 상상의 산물이며 모든 수학적인 값들은 물리량에 의해 오차를 가지게 되어 있다고 봅니다. 모든 것이 인간의 관찰자효과에 불과하다고 적어도 나는 그렇게 생각합니다 믿거나 말거나
관념은 실재가 아니고 또한 우주의 일부도 아니라고 보면 그럴수도 있겠네요~ 하지만 관찰됨이 있기에 관찰되지 않음이 있고, 관찰됨으로 무한의 가능성을 가진 파동이 붕괴하여 사물의 형상을 취한다면, 사물 또한 관찰되지 않음으로 다시 파동으로 회귀할 수 있지 않을까요? 이미 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 측정할 수 없다는 하이젠베르그의 불확정성 원리 속에 무한이 있는 것 같네요!
이 무한이라는게 저같이 수학을 모르는 사람들이 일상에서 무한리필 과 같은 의미로 받아들이는 그 무한이 아닌가봐요. 무한을 한계가 없다는걸로 생각하자면 화살실험에서 과녁자체가 한계점이 되는것 아닌지... 화살이 한계점인 과녁을 향해서 무한히 움직이려면 실험자가 화살을 쏘는게 아니라 손으로 잡고서 계속 직전이동거리의 1/2로 움직여주면 되는것 아닌가요? 10cm움직이고 다음에 5cm 움직이고 이렇게 영원히 직전거리의 절반만 움직이면 되는것 아닌가?? 저같이 수학을 모르는 사람들은 무한에 대해서 이렇게 생각을 하는데 수학자들은 진짜 두뇌 너무 많이 좋은것 같아요 그 격차가 상상을 초월할 정도일것 같아요
예를 들어, 0.8999~ 와 같은 것은 9가 늘어남에 따라 1에 계속 가까워지긴 합니다. 하지만, 이것은 1과 0.1이상의 간격이 유지 되죠. 이 경우는 1이 아닙니다. 하지만, 그 둘의 간격이 0에 가까워 지려면 '수'로서는 1밖에 없습니다. 또한 수학에서는 극한(limit)란 개념을 이용하여 '계속해서 움직이며 1에 가까워진다' 라는 개념을 배웁니다. 정리하면 그런 '수'는 없습니다. 하지만 그런 '개념'은 있습니다.
@@jh_math 그러니까 수학이라는게 자연의 모든 경우를 수적 표현 할 수 있어야 하는데 개념이 있으면 정의도 있어야 하는데 그런 표현법이 없고 수는 정지해있다는 말은 와닿지 않아요 물리적으로도 끝없이 가까워지지만 접촉하지 않는 특수한 상황을 수적 표현으로 어떻게 하냐 이겁니다.
아 네! S는 가부번집합(셀수있는집합)이죠. 그러면 말씀하신것처럼 집합의 입장에서 모든 원소가 자연수와 일대일대응이된다는 것. 이것은 무한집합의 크기에 관한 개념이예요 하지만 막상, 무한히 많은 원소중 아무거나 하나를 꺼내어 보면, 9는 유한개가 있습니다 영상에서 조건제시법으로 표현한부분을 잘 봐주세요 감사합니다!
@@jh_math 아. 제 질문은, 집합 S의 원소 a_k 의 9의 갯수는 k과 동일하며, 자연수가 무한하고 따라서 a_k도 무한하니까. 원소 a_k 중에서 9의 갯수가 무한대인 원소가 존재해야 하는 것이 아닌가하는 겁니다. 즉, 9의 갯수가 무한한 원소 a_k가 존재 해야 한다는거죠. 원소의 갯수(k)가 무한하다면 k와 일치하는 9의 갯수도 무한한 원소가 존재하지 않는 다는것은 모순아닌가요? 물론 S의 임의의 원소 a_k를 선택했을때 그 원소의 9의 갯수가 유한할 것이라는 건 이해합니다. 그리고 무한이라는 개념이 countable number가 아니라는 것도 압니다. 알레프제로와 가부번 집합, 무한집합의 밀도개념도 기초적으로 이해하고는 있습니다. 하지만 S의 원소가 무한한 만큼 그 중에 무한의 9를 가진 무한원소 a_∞ 이 존재하지 않는다는 건 이해가 안되네요. 힐베르트의 호텔 패러독스에서도 이런 문제를 다루지 않은 것 갈습니다.
아 쉽지 않죠? ^^ 말씀하신 것중에 "S의 임의의 원소 a_k를 선택했을때 그 원소의 9의 갯수가 유한할 것이라는 건 이해합니다." 와 "그 중에 무한의 9를 가진 무한원소 a_∞ 이 존재하지 않는다는 건 이해가 안되네요. " 이 둘은 양립할 수 없습니다. 이 부분 잘 생각해 보세요~!
무한집합은 그 실체가 존재한다고 보고 이를 유한집합과 같이 집합론에서 다루고 있죠. 실무한입니다. 입실론델타법은 처음 코시가 아이디어를 생각할때는 그의 머릿속에 가무한적 사고가 있었을 것이고 그것이 도움이 되었을것으로 생각합니다. 그러나 실제로 입델법엔 무한의 개념이나 표현은 들어있지 않습니다. 그래서 당시 철학적이고 애매한 개념이었던 '무한'이란 것 없이 극한을 정의 해낸 것이라 엄밀한 수학으로 인정하고 있습니다.
그들만의 세상..~~ 그들만의 리그.~~~ 이해를 했는 사람은.. 이해를 정말 한건지.. 이해를 하는 척 하는건지... 보다가 잠시 멈추고 글을 쓰는거기는 한데... 일단 끝까지 보겠음.. 끝까지 보고 그래도 이해가 안되면... 역시.. 그들만의 세상.. 그들만의 리그~!
가독성이슈로 재업이요/답글로 단 글 다시 한번 올립니다. 이건 시청자들에게 하는 말입니다. 의심하는 사람이 1/3=0.3333.... 2/3=0.6666.... 몰라서 의심하는 게 아닙니다. 본영상에 고등이상 수학이 나오는데 그걸 보는 사람이 그걸 모를까요 보는 사람 대부분 그냥 학교시험점수 올리려고 보는 게 아니라 수학에 진심으로 관심 있는 사람들 비율이 높을테죠.//이제 업로드분에게 말씀드립니다. 1초과의 수는 제곱하면 계속 커지지만 1은 아무리 제곱해도 커지지 않죠 팩토리얼도 3부터 커지죠 따라서 1/3과 2/3의 앞의 결론만 보고 3/3=0.9999.... 이라는 것에 의심이 생길 수 있죠 또 이미 11은 소수로 내려갈 때 0.1111....로 그냥 쓰면 되긴한데 십진법도 임의로 약속한 것중 하나일뿐 만약 12진법으로 하여 12=b로 하고 '11=a라고 칭할 때 0.aaaa....=b가 성립할까요?' 아니면 16진법 등등 으로 했을 때 말이죠 이 부분 한번 파보면 재밌을 것 같습니다. 본영상도 사고법을 더 나아가서 본영상의 S가 0.9999....보다 작음을 말했는데 0.9999....도 어쩌면 1보다 아래일 수도요. 그리고 레알 수학자가 신은 아니기에 완벽할 순 없지만 임의로 편의로 막 정의내리면 안되는 거니 어쩌면 비겁자일 수도요. 수학이 그래도 논리학으로 봐도 세상에서 가장 체계적이고 객관적인 분야인데
네. 일단 실무한을 인정하지 않고, 계속 커지는 개념으로는 1이 될 수 없겠죠. 철학적인 관점으로는 정답은 없을 수 있겠습니다. 하지만 수학이라는 시스템안에서는 정답은 있습니다. 0.999...=1 임을 수학에서는 대수적으로 보이지 않고 0.9, 0.99, 0.999, ... 의 수열이 한없이 가까워지는 값으로 무한소수 0.999..를 정의하는 방법으로 이해할 수 있습니다. 진리가 아닐지는 모르나, 수학은 적어도 현재까지 인간이 생각할 수 있는 한 매우 엄밀하게 정의되어 있습니다. 말씀하신 진법변환은 결과에 영향을 주지 않는다고 생각합니다. 0.999...=1이라는 말과 위의 표현으로 2진법 0.111...은 1이라는 것은 완전히 같은 접근 방식일 것입니다.
@@jh_math 수학으로 답이 나온 거면 철학적으로도 답이 나온 거겠죠. 마지막에 말했다시피 전 수학이 세상에서 가장 논리적이라고 생각합니다. 또 수학으로 모든 걸 표현할 수 있다고 생각하고요. 수학이 사회이기도 하고 자연과학이기도 하면서 철학이기도 하고 논리학이기도 하고 그중에서 가장 순수한 학문이니라고 봅니다. 전제안에서는 수학이 내린 결론이 다 맞다고 생각해왔는데 무한영역은 사실 도달해보지 못한 부분이라서 좀 의문이 많이 드는 영역이긴해요. 실무한, 가무한은 첨듣는 개념인데 일단 잘 배우고 갑니다. 0.8888.... 0.9999.... 만약 19진법에서 19가 m이고 18이 n일 때 과연 0.nnnn....==m 이 성립할 것인가 0.8888....≒0.9, 0.8999....=0.9라고 표현될텐데 이부분에 대한 의문도 업로드해주시면 좋겠다 싶네요 하트 후 생각을 좀 해주셨나보네요 답글 감사합니다
초딩 샘 : 원의 넓이 공식이 뭐였죠? A학생 : 샘.. 원은 존재하지 않아요. 중딩 샘 : 이렇게 0.999...는 1이 돼요. A학생 : 샘..0.999....는 존재하지 않아요. 고딩 샘 : 이렇게 x가 무한대로 가면~ A학생 : 샘..무한대는 존재하지 않아요. 피부과 의사샘 : 이번에 저희 병원에서 점 빼는 시술 할인합니다. 몇 개 빼드릴까요? A성인 : 저기욧! 점은 존재하지 않아욧~!!
네, 실무한의 예로 무한소수,무한집합등이 있습니다. 그 중 무한소수는 소수자리가 무한인 수가 실수로서 존재한다는 개념이지만, 값 자체는 유한이죠. 여기서 실무한의 대상은 유한한 값을 가집니다. 그러나 무한집합의 경우는 원소의 개수가 무한이며, 숫자도 아닙니다. 이 것을 두고, 말씀하신 "실무한은 유한한 것"이라고 일반화하기는 어려워집니다
0.9999999... = 1 인 것이 현실에서는 플랭크길이와 시간으로 구현되지 않을까요? 만약 길이와 시간의 최소 제한이 없다면 현실에서는 결코 0.999999... 가 1이 될 수 없겠죠. '빈틈'이 발생할테니까. 하지만 0.9999.... 가 1 바로 직전의 플랭크길이로 들어가게 되면 그 틈이 없이 0.99999... = 1이라고 할 수 있잖아요. 물론 그렇게 되니까 현실에서는 무한이 아니더라도 0.999999.....9 = 1 인 상태겠죠. 1-플랭크길이 < a
저도 0.999같은 무한은 당연히 실현가능하다 생각합니다 그런데 재미있네요. 플랑크 길이가 양자역학에 나오는 것인가요? 물리에선 가장 작은 수란것이 존재하는군요. 전 수학전공이라 과학쪽은 잘..^^ 수학에서는 플랑크 단위로 세상을 이해하지 않겠지요. 그것도 다시 무한히 쪼갤수있는 양의 실수로 볼 뿐인데..흠. 현실과 이상의 차이 같은게 느껴지네요. '현실'을 탐구하는 과학. 멋있네요
@@bokkumbob 수학&컴공을 공부하는 학부생인데 수학이 과학의 언어가 된 것은 수학 자체의 독립성이기 때문입니다. 수학은 연역적인 논리의 전개이고, 활용성 그 자체에는 목적을 두지 않습니다. 오히려 목적은 수학자들의 상상력과 호기심이며 가장 중요한 가치는 '엄밀성'입니다. 그걸 활용하는 것이 응용 수학, 공학, 과학이구요. 수학에서는 미분 불가능하면 애초에 미분을 하지 못하지만 물리에서는 미분 합니다. 일반 상대성 이론 또한 리만의 곡면 기하학을 기반으로 증명합니다만 리만이 비유클리드 기하학을 정립하게 된 것은 우주를 설명하기 위함이 아닌 수학자로서의 호기심입니다. 유클리드의 다섯 번째 공리를 부정한 것이죠.
@@jh_math 영상의 내용처럼 0.999... = 1입니다. 다만 유한 소수도 순환 소수로 표현 가능한 것 뿐입니다. 2 = 1.999... 그래서 0.999...의 소숫점 첫째 자리수는 9가 아닌 0입니다. 비슷한 예로 유리수를 무리수꼴로 나타낼 수 있죠. 2 = sqrt(4)
조언 감사합니다. 원래 자막을 계획하지 않고 영상을 만들었습니다. 자막요청이 있어서 업로드 후에 자동자막에 오타 수정해 넣었더니 화면을 가릴 때가 있네요. 말씀 참고해서 일부 자막 삭제하고 타이밍도 조정했습니다. 다음 영상도 자체자막 계획은 없지만, 자동자막을 고려해서 제작하고 있습니다. 감사합니다
? 0.999가 되는 자연수 n이 왜 존재하지 않지?;;; 그냥 존재하지 않는다...라고 정의내려놓고 그걸 설명이라고 하는게 맞는 건가;;; S의 원소의 개수가 무한개로 가는 것은 그 9의 개수도 무한하게 있게 되는 것을, 무한을 그 갯수가 무한한 무한과, 결국의 값이 정해지는 유한한 무한으로 나눈 것 자체가 비논리다. 무한이 유한해?.ㅎㅎ 무한, 끝이 없음이 유한하다. 성립하는가? 너무... 과학적인 무한에 대한 접근인건가 내가;ㅠㅠ // 더하여, 이상적인 상황에서... 물이 100도에서 끓는다면, 99.9999999...도에는 물 안끓음. 그렇다면 "100=99.999999...."가 아님. 그저,,, 무한, 끝 없음을 인간이 이해할 수는 없고, 그러나 그걸 다뤄내고는 싶으니 '정의'내린 것일 뿐인 것 같음.
영상에서 말씀 드린 것처럼 무한을 이해하는 데에 이 부분이 제일 중요하고도 어려운 것 같습니다 지금 고정 댓글로 추가 설명 드렸으니 한번 잘 생각해 보세요... 이해하는 것이 절대 쉬운 것은 아닙니다. 앞서 비슷한 질문하신 분들께 설명 드린 것도 있으니 참고해 주시구요 영상 시청해주셔서 감사합니다
화살 예시는 잘못된게 현실은 무한한 점이 존재 하지않음. 플랑크 길이라는 물리학적 최소 길이의 단위가 있고 그 이하는 의미가 없음. 그러므로 화살이 무한한점을 지나는 현실이 실무한의 존재를 보증한다는식의 논리는 잘못 된거임. 애초에 실무한은 현실에 존재하지 않음. 어떠한 형태의 것이든 무한한 것이 있다 > 열역학 보존 법칙에 위배됨. 무한의 존재는 수학적으로만 존재하는것임. 실무한의 정의는 증명될수 없는거임. 증명될수 없는것을 진짜로 현실에 있는것처럼 말하려 하니까 이상해지는거.
저의 부족한 영상을 시청해 주신 여러분께 진심으로 감사드립니다. 😍정말 다양한 의견들을 접할 수가 있어서 좋네요~~. 하지만, 이 채널은 저의 제자들도 함께 하는 곳이며 제 채널을 찾아주시는 다른 분들을 위해서라도 비속어를 사용하시는 경우에는 부득이 삭제하도록 하겠습니다. 양해부탁드립니다.
그럼 또 찾아 뵙겠습니다. 감사합니다~!!
예의도 모르는 것들 때문에 고생 많으십니다...
수가 움직인다는 잘못된 표현때문에 헷갈리는 사람들이 있다고 생각합니다, 수는 절대 움직이지 않습니다
상수는 안움직이지만, 변수는 움직임을 표현할 수 있음
제자들이 너무 부렵네요
받아라~! 무한 츠쿠요미!
너무 재미있게 잘 봤습니다! 매님 실력이 엄청 좋으세요 선생님!
와 과학쿠키님 저희 학생들이 많이 아시는 분이시네요! 😂 감사합니다!
?왜여깄어
아니 뭐야 ㄷㄷ
와! 과학 채널은 많은데 수학채널은 수능공부하는 채널들이거나 중간중간 외국사람이 영어로 말하는 경우가 많아서 듣기 힘들었는데 딱 좋은 채널 발견
이야 찐이다. 와, 선생님 덕분에 최근에 했던 고민이 해결이 됐습니다.
이렇게 자기 주관적인 생각을 잘 정리를 해서 올리는 예술 수학을 오랜만에 맛 보네요.
틀리든 말든 저는 그 고생과 순수한 호기심에 무한한 경의를 표합니다!
네. 보람있네요!
공감해 주셔서 감사합니다.^^
수학에서 사용하는 '존재한다'라는 용어에 대해 정말 많은 의견들이 있네요~ 저도 이 쯤에서 제 생각을 한번 말씀드려볼까 합니다.
수학에서 존재한다는건 수학이란 시스템안에서 존재한다는 뜻이예요.
이 우주에 완벽한 원이 없고, 완벽한 길이 파이가 없어도 수학안에서는 여전히 존재하지요.
수학은 추상적이고 관념적인 학문입니다.
하지만 이러한 수학이 사회,과학,의학등에 널리 사용되어 우리의 삶을 윤택하게 하고 있는 점을 생각해 주시어, 실제로 없는 것임에도 수학에선 '존재한다'라는 표현을 쓰는 것에 대해 너그러이 이해해주시기 바랍니다😅
직관적으로 완전히 위배 되는 내용이 100% 논리만 사용하여 받아들여진다는 점이 수학의 매력이자 짜증나는 점이라고 생각합니다...ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
맞습니다. 진짜 매력적인 건 100% 논리만 사용하여 충분히 익숙해질 때까지 받아들이다보면 그게 진짜로 와닿게 하는 직관도 조금씩 자라나게 된다는 것 같습니다.
와우 상당한 인사이트를 가지고 계시네요. 기존에 보던 무한에 대한 유투브 영상과 다른 뭔가가 느껴집니다.
EBS 다큐 급 고퀄리티 영상이네요.
0.999...=1를 접할 때면 매번 지구평평설을 주장하는 사람이 된 기분이었습니다. 수포자를 넘어 공포자라 어디가서 질문도 함부로 할 수 없을 처지였는데, 집합과 실무한의 개념으로 설명하는 것을 이제야 처음 보았네요. ㅎ 중학생 때 모자른 0.000...1은 어디 있냐고 선생님께 물어보니 그런 소수는 정의하지 않는다는 대답에, 유불리에 따라 억지로 정의하지 않는 수학자들이 비겁하다는 생각을 했던 기억이 납니다. ㅋㅋ 재밌게 봤습니다. ㅎ
0.000...1과 같은 것은 '무한소'라는 개념으로 쓰이고 있어요.
영상에서 계속 10으로 나누면 아무리 작은수보다 더 작아질 수 있다는..
이게 오늘날 미적분개념의 시작이예요
0.33333... = 1/3 이 당연하다고 여겨지신다면 0.9999... = 1 이 되는 것은 당연한 것입니다.
수학을 포기한 이유를 대단하게 적어놨네요 ㅋㅋㅋ
난 이분 맘 충분히 이해됨..
@@jh_math
무한소는 수가 아닙니다.
(정확히는 실수집합의 원소로 표현할 수 없거나 굳이 표현해야한다면 0이다)
마치 무한은 다른 차원의 존재같네요. 무한히 긴 1차원의 선이 있어도 그 위에서는 무한에 다다를 수 없고, 그 선의 끝 너머에 무한이 있는, 이제서야 무한이 눈에 보이는 것 같습니다. 좋은 영상 감사합니다!
보람있네요^^ 감사합니다.
댓글을 보니까 무한이 존재하냐 안하냐 철학적으로 따지시는 분이 있는데, 무한이 개념으로 정립이 되지 않았을 뿐, 무한이 있기에 수학이라는 사유 학문도 존재하는 겁니다.
원이 있으니까 파이라는 무한 소수가 있는거고요. 무한이 느껴지니까 수학이라는 사유 방식도 있는 겁니다.
하지만 무한이 순환과 같은가?라는
논제 속 무한이 없다고 보는 견해에서는 신중 할 필요가 있다고 봅니다.
저 또한 무한과 순환이 다른 개념이라고 보긴 힘들 것 같다고 생각은 하지만 초야수학님의 이론대로 라면 이미 박혀버린 무한은 해당 방향으로 이미 정보값이 수렴을 하기에
우리가 사는 우주의 엔트로피가 과거로 돌아 올 수 없음을 시사한다고 봅니다.
가장 중요한건 무한은 가고있는 상태가 아니라는것 이미 무한히 커져버린 상태라는것
12:05
1) 0.999~ 가 s 보다 크다
2) s는 1보다 작은 a보다 크다
-> ”0.999~ 는 1보다 작은 a보다 크다“
일 것 같은데,,,
여기서 갑자기 어떻게
“0.999~ 는 1보다 작을 수 없다“
로 이어지나요?
1. 집합S에 포함되지않으면서
2. 임의의 (1보다 작은 + 집합S의 원소인) 수 a보다 항상 크다.
->
으아아ㅏ
이게 왜 ”1보다 작을 수 없다“ 가 되는건지 이해가 안되네요 빠가사리인가바여 흑흑
그냥 0.999~ 를 표현하는 그이상/그이하도 아닌 풀어쓴 말 같은데
1보다 작을수없다는 새로운진리가 어떤 논리로 나올수있는건지으으ㅏ으아ㅏ아아아ㅏ
0.999… 밑에 9를 무한하게 늘릴 수 있지만(가능하지만) 그 원소의 값을 특정 지으면 9의 갯수는 유한하게되는 집합 S
--- 이해됨
의 원소 중 임의의 원소 a 보다
--- 이해됨
0.999~ 는 항상 크다.
--- 이해됨
그러므로 0.999~ 는 1보다 작을 수 없다.
--- 네?
정성껏 질문 주셨네요. 저도 다시 한번 0.999~가 1보다 작을 수 없는 이유에 대해 설명 도전해보겠습니다.
만일 0.999~ < 1 이라 가정해 봅시다.
그러면 2)에서 등장하는 1보다 작은 a중에 0.999~도 있습니다.
그러면 결론 2)에서 집합S에는 0.999~보다 큰 원소가 존재합니다.
이는 결론1) 0.999~ > s 에 모순이 됩니다.
이렇게 모순이 발생하면, 두번째 줄에서 가정한게 틀린 것이 됩니다.
이러한 증명방법을 귀류법이라고 해요~
잘 봤습니다. 만양 11:40에 나온 두번째 결론이 false라면, 즉 0.9999,,, 이 그 어떤 1보다작은 수보다 크지만, 1보다는 작다라로 가정하면, 어떻게되나요? 그리고 위 가정이 틀렸음도 증명가능합니까?
1보다 작은수보다 크지만, 1보다는 작다
말씀하신 이 문장 다시 읽어보세요
1보다 작은 수를 a라 하면
a보다 크지만 a이다 라고 하는 것이 되어 모순입니다.
이 부분 전에 어떤분이 질문주셔서 여러번 댓글 달아드린 기억이 있네요.
그 글도 한번 참고해주세요.
@@jh_math 모순이 아니라고 가정하는 경우를 말씀드리는겁니다. 일반적인 실수라면야 당연히 모순이죠. 그런수를 가정한다면 어떤 식으로 논리전개가 가능한지가 궁금하네요
@@chickenchaser6558
어떤 a에 대하여, a보다크다와 a이다는 양립불가입니다
여기서 a에 '1보다 작은 수'라는 문장 대입하면
1보다 작은수보다 크다와 1보다 작은수이다는 양립불가.
이건은 실수의 문제가 아니라 기호논리의 영역입니다
이렇게 밝혀진 모순을 모순이 아니라 하면 더이상논리전개는 어렵습니다.
@@jh_math 그럼 a를 1보다 작지만, a를 제외한 1보다 작은 수보다는 큰 수라고하면요?
@chickenchaser6558 말씀하신 수가 존재하려면 1보다 작은 수중에 1에 제일 가까운 a가 있어야 합니다
하지만 1과a사이에 (1+a)/2와 같은 수가 더 가까운 수로서 또 존재하죠.
따라서 그런 수는 애초에 존재하지 않아요
집합론과 해석학 수업이 새록새록 떠오르네요 상계와 극한의 관계... 등등
영상 정말 재밌게 잘 봤습니다!
네 저도 만들면서 옛날 생각도 나더라구요. 감사합니다 😊
@@jh_math 영상 만드시느라 고생 많이 하신게 보입니다! manim 도 잘 다루시는 것 같으셔요 ㅎㄷㄷ
과찬이십니다. 지난 몇달간 여가시간마다 재미있어서 계속 공부했는데, 그래도 어느정도 결과물이 나오긴 하네요 ^^
영상에서 0.999~가 집합 S에 포함되지 못하는 것에 대한 추가 설명을 드려보겠습니다.
사고 실험입니다.
무한히 많은 사람이 일렬로 늘어서 있습니다.
첫번째 사람은 100원.
두번째 사람은 200원.
이렇게 모든 사람은 앞사람보다 100원이 많고 뒷사람보다는 100원이 적은 돈을 가지고 있습니다.
그러면 전체 돈은 무한이겠지요.
하지만, 여기서 돈을 무한히 많이 가진 어떤 한 사람이 있을까요? (살짝 부럽...^^)
있으면 우리가 그 사람을 선택할 수 있어야 합니다.
그러나 누구를 선택해서, 돈을 확인해 보더라도 돈은 유한개입니다.
자신의 뒤에 있는 사람보다 100원이 적죠..
이것은 자연수집합은 무한개의 원소를 가지지만,
모든 원소는 자연수로서 유한한(고정된) 값을 가지는 것과 같습니다.
무한대는 자연수가 아니기 때문입니다.
따라서 집합 S는 원소가 무한히 많지만, 실제로 어떤 원소를 선택해보면 9는 유한개일 수 밖에 없고
0.999~가 S의 원소가 될 수 없는 것입니다.
"S는 무한 개의 원소를 가지지만 특정 원소를 선택하는 순간 원소가 될 수 없다."라는 논지인데, 그건 논리가 아니지 않나요? 이거 꼭... 양자 역학 하고 있는 초야수학님께, 뉴턱 역학으로 제가 이야기하고있는 꼴인 것 같아요.ㅠ 정의가 집합 S의 원소 개수가 '무한하다'라고 해놓고... 무한이 유한함을 못 품는 상황? 그것이...무한인가;;
"특정 원소를 선택하는 순간 원소가 될 수 없다."
여기서 어떤 오해가 있으신거 같네요.
흠....
자연수 전체집합={1,2,3,...}을 봅시다
이 집합의 원소 중에 ∞가 있나요?
∞는 자연수가 아니기 때문에 없습니다.
이게 이해 되셨다면, 사실 끝난 것이예요.
저 집합의 숫자가 집합 S에서 9의 개수라고 생각해 보세요.
모든 자연수가 제 아무리 크더라도, 어차피 특정한 값을 가집니다.
이것이 원소의 개수가 무한이지만, 모든 원소는 유한한 값을 가진다는 뜻이예요.
@@jh_math 선생님께서 작성하신 댓글의 마지막 문단의 요지가 '특정 원소를 선택하는 순간 9가 유한개 일 수 밖에 없기에 0.999...가 원소가 될 수 없다.'라고 하고 계시는데... 집합에서 어떤 원소가 유한한 값을 가진다고 해서 원소의 개수가 무한 개인 집합의 원소가 될 수 없는 것은 아니지 않아요? 저는 선생님 영상을 통해 '가무한', '실무한'의 개념을 처음 접했는데요, '무한'이라는 것 자체를 '이용'하기 위해서... 수학적으로 무한을 '유한하게' 정의내려버려서 생기는 현상이 아닐까... 까지 이르렀습니다.ㅠ 수학은 '정의'의 학문이니까요. /// 싸우자는 거 절대 아닌거, 선생님 아시죠?^^;;,, 그리고 자연수 집합에 무한대라는 원소가 있냐는 질문에... 마치, 1/0이 정의될 수 없는 것처럼... '알 수 없다' 혹은 '정의되지 않는다'가 정답이 아닐지요?;;
아하~! 이제 질문자님께서 무엇을 어려워 하시는지 이해한것 같네요.^^
수학은 정의의 학문이다. 좋은 말씀입니다.
지금 생각해 보니, 칸토어는 '무한집합의 정의'라는 그 어려운걸 해냈네요.^^
일단 팩트를 말씀드리면, 고등학교에서 배우고 또 대학교 수학과에서 배우는
칸토어의 집합론에서는 자연수 전체집합에 무한대는 없습니다.
하지만 실수에 무한대까지 포함시키는 새로운 체계를 만드는 것도
수학의 또 다른 분야로 연구되고 있습니다.
@@highmusi933 부연으로 정정해보자면 '어떤 원소가 유한한 값을 가진다고해서'가 아니라 '어떤 원소라도 유한한 값을 가지므로' 무한한 값인 0.999...가 원소가 될 수 없다. 입니다. 이를 다시 좀 더 쉬운 자연수의 예로 들자면, ∞가 자연수 집합 {1, 2, 3, ...}의 원소인지 따져볼 때, 1도 유한하고 2도 유한하고 3도 유한하지요? 즉 {유한, 유한, 유한, ...} 입니다. 이렇게 유한한 수가 나오다가 어느 시점에 갑자기 무한 수가 나오지는 않을테니, 결국 자연수 집합의 모든 원소는 '유한'한 수라는 것을 알 수 있습니다. 원소의 개수가 무한한 거지 원소 각각은 언제나 유한한 수여야 한다는 말입니다. 그런데 ∞는 유한한 수가 아니라 무한한 수죠. 그러니 ∞는 자연수 집합에 속할 수 없다는 뜻입니다. 최대한 설명을 드리긴 했는데 어떨까 모르겠네요..
현대에 와서 정의된 무한은 더이상 철학적이고 형이상학적인 개념이 아니지요. 제가 이해한 무한도 사실 칸토어, 코시, 폰 노이만의 철학을 배우고 받아들인 것일 뿐, 제가 무한에 대해 철학을 해본적은 없는 것 같습니다. 한 번 고민할 기회가 됐습니다.
아 네 감사합니다. 영상 속의 증명이 그동안 살면서 문득문득 무한에 대해 고민하며 찾아낸 작은 결과물입니다. 누군가와 같이 얘기해보고 싶어 만든 영상인데
이렇게 무한에 관심있어 하는 분들이 많다는 것에 놀라고 있네요.
무한은 숫자로 정의 될수 없다 그래서 숫자 1과 비교할수는 없다 마치 뇌와 생각, 심장과 마음을 비교하는것처럼...
이대로만 가면 무조건 뜬다 구독누릅니다
퀄리티가 너무 좋은데? 곧 뜨겠네
무한에 대해 이해하기 쉽게 설명을 해주셔서 감사합니다. 나중에 우리 아이에게도 이렇게 설명해줘야겠어요.
그리고 무한소수 0.99999.... 가 나타내는 목표값은 1이다 라고 표현해도 될까요?
네. 영상 시청해주시고 댓글도 많이 달아주셨네요 ^^ 감사합니다.
목푝값이 1이라는 설명은 현재 수학체계를 잘 반영하고 있고, 가장 직관적이고 쉽게 설명하는 방법이라고 생각합니다.
@@jh_math 좋은 영상도 감사한데 답변까지 바로 주셔서 감사합니다
실무한, 가무한에 대해 알게 되었습니다. 감사합니다. 근데 저는 수학은 어려워서 잘 모르지만 과학에는 늘 관심이 있고 생각도 해보는데요. 어떤 물체가 이동하는 선은 '무한한 점의 연속'으로 되어있다는게 사실 불가능한 부분이라고 생각됩니다. 물리학에서 정의하는 '플랑크 길이'라는게 존재할거라는것이죠. 결국 공간을 무한히 나눌수 없고 최소한의 나눌수 없는 길이가 있을거라는 가정을 하면 완벽한 원이나 곡선이 사실 자연계에선 허상이고 수학적으로도 극한으로만 표현할수 있는 이유도 그게 아닐까 싶습니다.
네^^ 과학이 현실을 보는 학문이라면, 수학은 추상적인 세계의 학문입니다. 때문에 제논의 역설과 같은 것들을 현실세계의 예를 통해 설명하긴 하지만, 본질은 사실 논리로서만 설명되죠.
수학하는 사람들은 진짜 원을 찾기 위해 노력하지 않습니다. 우리의 머리속에 있으니까요.
과학과 수학은 상호보완적이나, 추구하는 바는 많이 다른 학문입니다. 영상 시청해주셔서 감사합니다 🙂
원소의 갯수가 곧 9의 갯수인데, 어떻게 원소의 갯수는 무한이고 원소의 9는 유한이라고 할수 있는 건가요....? 큰 무한 작은 무한 이런 개념이 들어가지 않으면 불가능한 설명 같아요.
각 원소를 개별적으로 보면 언제나 유한하니까요. 쉽게 말해서 {0.9, 0.99, 0.999, ....} 집합에서 각각의 원소에 들어있는 9의 개수가 무한수인지 유한수인지만 따져보면 {유한수, 유한수, 유한수, ...}이죠. 즉 모든 원소는 9의 개수가 유한한데, 다만 그 유한한 원소의 개수가 무한할 뿐이라는 거죠. 따라서 0.999...는 무한수이므로 위의 집합에 속할 수가 없는 것이죠.
0.9999....라는 실무한이 실제로 존재하는 실체이고
1은 인류가 그걸 인지하여 만든 개념이라고 봅니다
1이 만들어진 후에 1보다 작은 무한히 작은 가무한이
새롭게 인지되어 나타난거라고 봅니다
실무한(실제수)->1(개념수)->가무한(개념수대비수)
댓글 중 가장 센세이션하네요^^
저도 한번 생각해 보도록 하겠습니다.
감사합니다
물리채널은 많은데. 수학채널 기대되네요.
결국은 어떻게 인식하느냐, 정의의 문제 뭐 그런건가?
근데 실무한의 증명 과정에서
10x=9.999...
-x= 0.999...
9x=9
X=1을 들었는데
소수가 아니고
X=무한
10x= 10 x 무한이면
결국 10x나 x나 실무한으로서 똑같은거 아닌가요? 그러니까 소수점 이하로 무한히 같은 수가 늘어나는 무한이 아니라 무한대의 의미로 개념을 적용하면요.
실무한에 뭘 곱해도 실무한 그 자체니까
무한대는 실무한으로 보지 않습니다.
하지만, 철학의 영역으로 확장하면 다양한 시각이 있을 수 있겠죠.
그리고 수학에서 무한대x10과 무한대는 둘 다 무한대로서 같습니다.
@@jh_math 0~1까지의 실수 중 0.5가 뽑힐 확률을 x라고 할 때 실수 체계에서는 x=0이지만 초실수 체계에서는 x는 무한소이고 1/x는 무한대가 된다고 알고 있습니다. 이때의 무한대는 움직이는 값이 아닌 정해져있는 값이므로 실무한이라고 볼 수 있지 않을까요?
@@renosaer2823 네 실수체에는 무한이 없어요. 그러다보니 말씀하신것처럼 어떤 두사람이 같은 자연수를 생각할 확률이 0이 되는 문제가 있습니다.
그래서 초실수체는 결국 무한을 실무한으로
본다는 입장이라 생각합니다.
훌륭한 영상 재밌게 잘봤습니다. 수고하셨습니다. 감사합니다. ^^
즐겁게 봐주셔서 감사합니다.
강의 잘 보았습니다. 정말 잘 만드셨군요! 대단합니다 하지만 전 무한이란 실재로는 존재하지 않는다고 확신합니다. 수학적으로는 그럴듯하게 존재하지만 이 우주 어디에도 무한은 존재하지 않으며 오직 인간이 수학문제를 풀 때만 존재하죠! 즉 수학이라는 것 자체가 관념에 불과하며 이 우주 어디에도 완전한 원 완전한 구 완전한 직선 하물며 완전한 파이 루트2 같은 건 더더욱 존재하지 않습니다. 태양이 자동차 바퀴가 어디 완전한 원을 상징합니까 수평선이 KTX 철길이 완전히 직선이 아니듯이 이 우주 어디에도 저 우주 저편에도 미적분과 극한 개념은 완전히 존재하지 않는 다고 확신합니다 똑같이 생긴 사물들이 있더라도 인력과 척력이 서로 복잡하게 영향을 주게 되므로 같은 것의 나열이라는 수라는 개념 자체도 성립하지 않는 것이 우주의 본질입니다. 수학은 인간의 상상의 산물이며 모든 수학적인 값들은 물리량에 의해 오차를 가지게 되어 있다고 봅니다. 모든 것이 인간의 관찰자효과에 불과하다고 적어도 나는 그렇게 생각합니다 믿거나 말거나
네~ 생각보다 수학과 과학은 관점이 많이 다르네요.😅 서로에게 도움을 주며 발전해온 만큼, 저는 각자의 영역이 다 의미가 있다고 생각합니다. 감사합니다
관념은 실재가 아니고 또한 우주의 일부도 아니라고 보면 그럴수도 있겠네요~ 하지만 관찰됨이 있기에 관찰되지 않음이 있고, 관찰됨으로 무한의 가능성을 가진 파동이 붕괴하여 사물의 형상을 취한다면, 사물 또한 관찰되지 않음으로 다시 파동으로 회귀할 수 있지 않을까요? 이미 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 측정할 수 없다는 하이젠베르그의 불확정성 원리 속에 무한이 있는 것 같네요!
재밌습니다. 수학을 이해하기 쉽고 EBS 지식체널 같아서 재밌습니다. 곧 뜰 것같습니다.
이 무한이라는게 저같이 수학을 모르는 사람들이 일상에서 무한리필 과 같은 의미로 받아들이는 그 무한이 아닌가봐요. 무한을 한계가 없다는걸로 생각하자면 화살실험에서 과녁자체가 한계점이 되는것 아닌지... 화살이 한계점인 과녁을 향해서 무한히 움직이려면 실험자가 화살을 쏘는게 아니라 손으로 잡고서 계속 직전이동거리의 1/2로 움직여주면 되는것 아닌가요? 10cm움직이고 다음에 5cm 움직이고 이렇게 영원히 직전거리의 절반만 움직이면 되는것 아닌가??
저같이 수학을 모르는 사람들은 무한에 대해서 이렇게 생각을 하는데 수학자들은 진짜 두뇌 너무 많이 좋은것 같아요 그 격차가 상상을 초월할 정도일것 같아요
제가 헷갈려서 추가질문 드려요
그럼 1에 끝없이 가까워지지만 1이 아닌 수의 표현이 있나요 없나요
예를 들어, 0.8999~ 와 같은 것은 9가 늘어남에 따라 1에 계속 가까워지긴 합니다. 하지만, 이것은 1과 0.1이상의 간격이 유지 되죠. 이 경우는 1이 아닙니다. 하지만, 그 둘의 간격이 0에 가까워 지려면 '수'로서는 1밖에 없습니다. 또한 수학에서는 극한(limit)란 개념을 이용하여 '계속해서 움직이며 1에 가까워진다' 라는 개념을 배웁니다.
정리하면 그런 '수'는 없습니다.
하지만 그런 '개념'은 있습니다.
수는 고정된 값이에요. "수가 다가간다"는 건 틀린 표현이죠. 다만 "수열이 다가간다" 혹은 "함숫값이 다가간다"는 가능합니다.
@@jh_math 그러니까 수학이라는게 자연의 모든 경우를 수적 표현 할 수 있어야 하는데 개념이 있으면 정의도 있어야 하는데
그런 표현법이 없고 수는 정지해있다는 말은 와닿지 않아요
물리적으로도 끝없이 가까워지지만 접촉하지 않는 특수한 상황을 수적 표현으로 어떻게 하냐 이겁니다.
@@순에너지 1에 계속 가까워지는 수는 없습니다. 하지만, 수적표현이라 하시면.. "x-->1" 이런 것이 있습니다. 이것은 x가 1의 옆에서 1에 계속 가까워지는 것을 나타냅니다. 이것이 "리미트"라는 개념이예요.
@@jh_math 예 그럼 그런 수를 약속하고 만들어보죠.
편집 조금 깔끔해지면 더 좋겠네요.
내용은 완전 굳
10만의 축복이 있길 바랍니다🍀
감사합니다 더 노력하겠습니다 ^^
이렇게 저 아이는 아빠를 영영 볼수없게 되었군요 무한이란 정말 못된 개념이네요...
캬 바로 구독 눌렀습니다 선생님
집합 S는 가부번집합이므로 각 원소는 자연수에 대응합니다. 따라서 각원소의 9의 갯수가 유한하다는 건 모순 아닌가요? 궁금해서 질문합니다.
아 네! S는 가부번집합(셀수있는집합)이죠. 그러면 말씀하신것처럼 집합의 입장에서 모든 원소가 자연수와 일대일대응이된다는 것. 이것은 무한집합의 크기에 관한 개념이예요
하지만 막상, 무한히 많은 원소중 아무거나 하나를 꺼내어 보면, 9는 유한개가 있습니다 영상에서 조건제시법으로 표현한부분을 잘 봐주세요
감사합니다!
무한대라는 숫자(표현이 참 애매하지만)는 자연수가 아니죠.
@@jh_math 아. 제 질문은, 집합 S의 원소 a_k 의 9의 갯수는 k과 동일하며, 자연수가 무한하고 따라서 a_k도 무한하니까. 원소 a_k 중에서 9의 갯수가 무한대인 원소가 존재해야 하는 것이 아닌가하는 겁니다. 즉, 9의 갯수가 무한한 원소 a_k가 존재 해야 한다는거죠. 원소의 갯수(k)가 무한하다면 k와 일치하는 9의 갯수도 무한한 원소가 존재하지 않는 다는것은 모순아닌가요?
물론 S의 임의의 원소 a_k를 선택했을때 그 원소의 9의 갯수가 유한할 것이라는 건 이해합니다. 그리고 무한이라는 개념이 countable number가 아니라는 것도 압니다. 알레프제로와 가부번 집합, 무한집합의 밀도개념도 기초적으로 이해하고는 있습니다. 하지만 S의 원소가 무한한 만큼 그 중에 무한의 9를 가진 무한원소 a_∞ 이 존재하지 않는다는 건 이해가 안되네요. 힐베르트의 호텔 패러독스에서도 이런 문제를 다루지 않은 것 갈습니다.
아 쉽지 않죠? ^^
말씀하신 것중에
"S의 임의의 원소 a_k를 선택했을때 그 원소의 9의 갯수가 유한할 것이라는 건 이해합니다."
와
"그 중에 무한의 9를 가진 무한원소 a_∞ 이 존재하지 않는다는 건 이해가 안되네요. "
이 둘은 양립할 수 없습니다. 이 부분 잘 생각해 보세요~!
명제로 말씀드려보면 "S의 임의의 원소 a_k를 선택했을때 그 원소의 9의 갯수가 유한할 것" 이것은 "x가 S의 원소이면 x에서 9의 개수는 유한하다" 이고 이것의 대우명제는 "x에서 9가 무한하면 S의 원소가 아니다" 입니다
무한, 영의 개념은 인간 인식의 한계..
인간이 만든 수학으로 우주를 이해하려는 한계인듯...
-선생님이 보라고 독촉해서 보는데-
잘 만드셨네요:)
ㅋㅋ
좋은 영상입니다!
다만 요즘 시청자들이 따라가기에는 영상의 템포가 약간 느린감이 있는 것도 같아요,,ㅎㅎ
앞으로 발전하시는 모습 기대할게요!
아 네~ 제가 말이 좀 느린 탓도 있는거 같아요.^^ 참고하겠습니다.
@@jh_math괜찮습니다. 느리다고 느껴지면 배속으로 보면 되요.
분명 들어올 때 채널명은 초등수학이었는데...
현실에서 무한을 보여드리겠습니다
tv카메라를 tv 화면에 들이댑니다
카메라 앵글은 tv디스플레이의 전체화면을 잡습니다
다른 tv를 통해 화면을 시청합니다
무한히 작아지는 화면의 끝이 보입니다
아하. 거울 마주 보게 한 거 같은거죠?
@@jh_math네네
너무 재밌습니다
우와 퀄리티가...ebs다큐인줄 알았어요...
아흑 감사해요! 😭
저도 놀라웠어요.
집합 S={0.9, 0.99, 0.999, ... } 무한집합이면 집합 S는 가무한인가요? 실무한인가요?
0.999999... = 1 이고 실무한이라는 개념같은데 가무한이라고 해도 문제없고 오히려 가무한이 더 타당해 보이는데요~
입실론-델타 논법도 가무한이고 그걸로 증명을 하니까요.
무한집합은 그 실체가 존재한다고 보고 이를 유한집합과 같이 집합론에서 다루고 있죠. 실무한입니다.
입실론델타법은 처음 코시가 아이디어를 생각할때는 그의 머릿속에 가무한적 사고가 있었을 것이고 그것이 도움이 되었을것으로 생각합니다.
그러나 실제로 입델법엔 무한의 개념이나 표현은 들어있지 않습니다.
그래서 당시 철학적이고 애매한 개념이었던 '무한'이란 것 없이 극한을 정의 해낸 것이라 엄밀한 수학으로 인정하고 있습니다.
덕분에잘잤습니다
화살에 대해선 문득문득 궁금했는데 오늘 알게됐네요!! 와…
도움이 되셨다니 다행입니다.
항상 댓글 감사해요!
순환무한소수에만 적용이 되나요?
순환하지 않아도 파이처럼 결국 무리수이므로 실수이고, 실무한입니다
구독눌렀어요 ^^ 무슨말인지는 모르겠으나 멋지네요 이모 ㅋ
앗 이모 ㅎㅎ 감사합니다
알쏭달쏭하네요ㅎ
1:30
내가 연필로 그리는 거보다 보트로 그리는게 더 예쁘네 ㅡ,.ㅡ ㅎ
ㅋㅋㅋ 공감
유익하군요
9, 90, 90, 다 읽을수 있음
0.999... 죽을때까지 못 읽음. 최소 본인이 다 읽을수 있는 사람은 0.999..는 1이 아니라 주장가능
소수중 가장큰 숫자와 가장 큰 숫자 바로 전 소수의 차이는 얼마일까요?
모든 서로 다른 두 실수는 그 사이에 무수히 많은 수들이 존재합니다.
따라서 1보다 작은 소수는 그 수와 1 사이에 항상 다른 수가 있게 되어
수학에서 1보다 작지만 가장 큰 수라는 것은 없습니다.
소수 라는게 prime number를 말한거에요
@@2나경아빠 아 네 prime number는 무한하다는 것을 유클리드가 증명했습니다. 이것도 가장 큰 수는 없네요
@@jh_math 가장 큰수는 없어도 가장 큰수와 2번째로 큰 수의 차이는 알수 없을까요? 제타함수 라던지
@@2나경아빠 아 단순한 질문이 아니시군요. ^^
소수정리에 의해 소수의 간격은 점점 멀어진다고 알려져 있습니다.
가무한적 관점이죠
"무량공처"
역이 멘토 출신이라 다르군요
^^
그들만의 세상..~~
그들만의 리그.~~~
이해를 했는 사람은..
이해를 정말 한건지..
이해를 하는 척 하는건지...
보다가 잠시 멈추고 글을 쓰는거기는 한데...
일단 끝까지 보겠음..
끝까지 보고 그래도 이해가 안되면...
역시..
그들만의 세상..
그들만의 리그~!
어쩌면, 그래서 재미있는 세상이겠지요.
결국 가무한은 허상이고 무한은 결국 유한이 될 수 밖에 없지않나요? 실제로 무한한게 있어요?
사람의 기준에서 끝을 알 수 없으면 그냥 다 무한으로 정의하는건가요?
예를들면 시간은 무한대로 흐른다? 시간 또한 사람이 만든 허상이고 실제 하지는 않잖아요
애초에 무한이라는게 실존해야 0.999는 1이 될 수 있는거 아닌가여?
실제라는 말씀이 우주에 존재하냐고 물으시는 것이라면, 그건 사실 과학의 영역입니다.
하지만 수학에는 존재해요. '자연수 개수'는 무한입니다.
망치로 뒤통수를 한대 얻어맞고갑니다 ㅋㅋㅋㅋ 와우...
영상 퀄리티는 너무 좋은데 말씀하시는 거에 대한 자막이 있었으면 좋겠네요
제가 아직 초보라 영상 자체를 만드는거에 너무 많은 에너지를 쏟다보니 그만 ^^;
그래도 어느 시점부터는 자막을 만들어 올리도록 할려구요. 감사합니다 😄
@@jh_math 난 자막 없는게 오히려 좋음. 수학은 화면에서 설명하는데 굳이...
유튜브 자막 기능을 사용하면 적절할 것 같네요
자동자막 수정해서 넣었습니다. 조언 감사드립니다😅
무한이라는 개념 자체가 인간의 생각일뿐인데 ...현실에서 무한이 존재하나?? 정답은 없다
잘보고 갑니다
가독성이슈로 재업이요/답글로 단 글 다시 한번 올립니다. 이건 시청자들에게 하는 말입니다. 의심하는 사람이 1/3=0.3333.... 2/3=0.6666.... 몰라서 의심하는 게 아닙니다. 본영상에 고등이상 수학이 나오는데 그걸 보는 사람이 그걸 모를까요 보는 사람 대부분 그냥 학교시험점수 올리려고 보는 게 아니라 수학에 진심으로 관심 있는 사람들 비율이 높을테죠.//이제 업로드분에게 말씀드립니다. 1초과의 수는 제곱하면 계속 커지지만 1은 아무리 제곱해도 커지지 않죠 팩토리얼도 3부터 커지죠 따라서 1/3과 2/3의 앞의 결론만 보고 3/3=0.9999.... 이라는 것에 의심이 생길 수 있죠 또 이미 11은 소수로 내려갈 때 0.1111....로 그냥 쓰면 되긴한데 십진법도 임의로 약속한 것중 하나일뿐 만약 12진법으로 하여 12=b로 하고 '11=a라고 칭할 때 0.aaaa....=b가 성립할까요?' 아니면 16진법 등등 으로 했을 때 말이죠 이 부분 한번 파보면 재밌을 것 같습니다. 본영상도 사고법을 더 나아가서 본영상의 S가 0.9999....보다 작음을 말했는데 0.9999....도 어쩌면 1보다 아래일 수도요. 그리고 레알 수학자가 신은 아니기에 완벽할 순 없지만 임의로 편의로 막 정의내리면 안되는 거니 어쩌면 비겁자일 수도요. 수학이 그래도 논리학으로 봐도 세상에서 가장 체계적이고 객관적인 분야인데
0.8888....=0.9가 아니듯이 9란 것도 약속된 수 일뿐 진법이 달라지면? 0.89999....=0.9라고 할텐데 앞서 말한대로 12진법에서 12=b라고 하고 11=a라고 할 때 0.aaaa....=b가 과연?
네. 일단 실무한을 인정하지 않고, 계속 커지는 개념으로는 1이 될 수 없겠죠.
철학적인 관점으로는 정답은 없을 수 있겠습니다.
하지만 수학이라는 시스템안에서는 정답은 있습니다.
0.999...=1 임을 수학에서는 대수적으로 보이지 않고
0.9, 0.99, 0.999, ... 의 수열이 한없이 가까워지는 값으로 무한소수 0.999..를 정의하는 방법으로 이해할 수 있습니다.
진리가 아닐지는 모르나, 수학은 적어도 현재까지 인간이 생각할 수 있는 한 매우 엄밀하게 정의되어 있습니다.
말씀하신 진법변환은 결과에 영향을 주지 않는다고 생각합니다.
0.999...=1이라는 말과 위의 표현으로 2진법 0.111...은 1이라는 것은 완전히 같은 접근 방식일 것입니다.
@@jh_math 수학으로 답이 나온 거면 철학적으로도 답이 나온 거겠죠. 마지막에 말했다시피 전 수학이 세상에서 가장 논리적이라고 생각합니다. 또 수학으로 모든 걸 표현할 수 있다고 생각하고요. 수학이 사회이기도 하고 자연과학이기도 하면서 철학이기도 하고 논리학이기도 하고 그중에서 가장 순수한 학문이니라고 봅니다. 전제안에서는 수학이 내린 결론이 다 맞다고 생각해왔는데 무한영역은 사실 도달해보지 못한 부분이라서 좀 의문이 많이 드는 영역이긴해요. 실무한, 가무한은 첨듣는 개념인데 일단 잘 배우고 갑니다. 0.8888.... 0.9999.... 만약 19진법에서 19가 m이고 18이 n일 때 과연 0.nnnn....==m 이 성립할 것인가 0.8888....≒0.9, 0.8999....=0.9라고 표현될텐데 이부분에 대한 의문도 업로드해주시면 좋겠다 싶네요 하트 후 생각을 좀 해주셨나보네요 답글 감사합니다
초딩 샘 : 원의 넓이 공식이 뭐였죠? A학생 : 샘.. 원은 존재하지 않아요.
중딩 샘 : 이렇게 0.999...는 1이 돼요. A학생 : 샘..0.999....는 존재하지 않아요.
고딩 샘 : 이렇게 x가 무한대로 가면~ A학생 : 샘..무한대는 존재하지 않아요.
피부과 의사샘 : 이번에 저희 병원에서 점 빼는 시술 할인합니다. 몇 개 빼드릴까요? A성인 : 저기욧! 점은 존재하지 않아욧~!!
무한은 영원한거대 어케 알겠소! 신만이 아실 것....
유한의 시간을 살아가는 인간이 이해하긴 버거워요 😢
이 세상자체가 유한하기에 무한이란 없는 개념임
👍👍👍
무한은 멈춰있고 그 끝을 향한 여정은 움직인다
자 이제 슬슬 괴델을 꺼내주세용 😮
그래서 실무한은 유한인거 아닌가요...?
무한은 말그대로
수(數), 양(量), 공간, 시간 따위에 제한이나 한계가 없음.
인데.. 1이라고 정의되면 유한한거아닌가..
네, 실무한의 예로 무한소수,무한집합등이 있습니다.
그 중 무한소수는 소수자리가 무한인 수가 실수로서 존재한다는 개념이지만, 값 자체는 유한이죠. 여기서 실무한의 대상은 유한한 값을 가집니다.
그러나 무한집합의 경우는 원소의 개수가 무한이며, 숫자도 아닙니다.
이 것을 두고, 말씀하신 "실무한은 유한한 것"이라고 일반화하기는 어려워집니다
플랭크길이와 시간이 있다는것은 현실은 무한의 수는 없고. 무한의 개념은 이상적으로만 존재한다고 봄.
하지만 바꿔서 생각해보면 오히려 무한은 실존하며 현재 우리가 사는 세상이 실존의 그림자인 허구의 세계일 수 있다고 생각됨.
인상적인 말씀이십니다.
무한대에 물리적 시간을 적용하면 모순이 발생하는듯 합니다.
제 지인분은 그래서 시간이 0일때만 무한을 생각할 수 있다 하시더군요
0.9999999... = 1 인 것이 현실에서는 플랭크길이와 시간으로 구현되지 않을까요? 만약 길이와 시간의 최소 제한이 없다면 현실에서는 결코 0.999999... 가 1이 될 수 없겠죠. '빈틈'이 발생할테니까. 하지만 0.9999.... 가 1 바로 직전의 플랭크길이로 들어가게 되면 그 틈이 없이 0.99999... = 1이라고 할 수 있잖아요. 물론 그렇게 되니까 현실에서는 무한이 아니더라도 0.999999.....9 = 1 인 상태겠죠. 1-플랭크길이 < a
저도 0.999같은 무한은 당연히 실현가능하다 생각합니다
그런데 재미있네요. 플랑크 길이가 양자역학에 나오는 것인가요? 물리에선 가장 작은 수란것이 존재하는군요.
전 수학전공이라 과학쪽은 잘..^^
수학에서는 플랑크 단위로 세상을 이해하지 않겠지요. 그것도 다시 무한히 쪼갤수있는 양의 실수로 볼 뿐인데..흠. 현실과 이상의 차이 같은게 느껴지네요. '현실'을 탐구하는 과학. 멋있네요
신박하다...
아이고 감사합니다!
무한이라는 것은 존재하지 않음...우주에서는 가장 작은 단위가 있고,그것 이하는 존재하지 않기때문...
속도 역시 제한이 있고,빛은 그 속도 이상 움직일 수 없슴...
ㅋㅋ
그것은 현재의 지식이요, 과학은 항상 반증가능성이 있기에. 완벽한 진리란 없는 법. 하지만 무한의 관념은 우리 머릿속에 완전히 있을 수 있지
수학은 우주와 무관합니다. 수학 자체로 독립적인 학문이에요.
@@Zeddy27182 문제는 수학이 광범위하게 사용된다는 거죠.우주와도 무관하지 않습니다.우주를 설명하는데 수학이 쓰이고 있으니까요.
유명한 아인슈타인의 상대성이론이라던지...수학은 이제 뇌내망상이 아닌 현실을 반영해야 하는 학문이 되어야 한다고 봅니다.
@@bokkumbob 수학&컴공을 공부하는 학부생인데 수학이 과학의 언어가 된 것은 수학 자체의 독립성이기 때문입니다.
수학은 연역적인 논리의 전개이고, 활용성 그 자체에는 목적을 두지 않습니다. 오히려 목적은 수학자들의 상상력과 호기심이며 가장 중요한 가치는 '엄밀성'입니다.
그걸 활용하는 것이 응용 수학, 공학, 과학이구요.
수학에서는 미분 불가능하면 애초에 미분을 하지 못하지만 물리에서는 미분 합니다.
일반 상대성 이론 또한 리만의 곡면 기하학을 기반으로 증명합니다만 리만이 비유클리드 기하학을 정립하게 된 것은 우주를 설명하기 위함이 아닌 수학자로서의 호기심입니다. 유클리드의 다섯 번째 공리를 부정한 것이죠.
절대적으로 수렴이라고 본다. 그렇게따지면 9.999999…도 10이고 199.99999999…은 200임?
ㅇㅇ 10이랑 200이 맞음
@@홀릴롤 수학자들이 계산하기 귀찮아서 단순화 시키는거죠?
0.9999...8=0.9999...인가요?
네 그렇습니다
잘잤다 수면제 굿
다른 수면제들도 준비되어 있으니, 한번 둘러보세요 ^^
"여보야 영점구구구구구구구구구구...는
1이야 아니야?"
"비둘기야"
아니 이런급의영상을 이제보네요
4일전 올린거라 늦으신거 아니예요!^^ 감사합니다 😂
무한에도 가무한, 실무한이 있었군요
오늘 처음 본 영상인 줄 알았는데 두 달 전에 이미 봤군요... 근데, 왜 기억이 ...
어우야 군대 다시간것마냥 아찔하네...
0.999구구구구구구 구구 구구 구구구
영상 너무 잘 봤습니다. 그런데 0.999...는 무한 소수가 아닌 유한 소수입니다. 말 그대로 1이니까요.🙂
무한소수와 유한소수는 수를 분류하는 개념이 아닙니다.
유리수는 분수이외에 유한소수 또는 순환소수로 표현할 수 있지요.
0.999...같은 것은 무한소수의 한 종류인 순환소수입니다.(저는 이렇게 알고 있습니다😂)
@@jh_math 영상의 내용처럼 0.999... = 1입니다. 다만 유한 소수도 순환 소수로 표현 가능한 것 뿐입니다.
2 = 1.999...
그래서 0.999...의 소숫점 첫째 자리수는 9가 아닌 0입니다.
비슷한 예로 유리수를 무리수꼴로 나타낼 수 있죠.
2 = sqrt(4)
0.999...가 유한소수라구요?
허허.. 네이버에 소수의 종류라고만 쳐봐도 무한소수라고 나올텐데
@@Btworld77 무한소수꼴로 표기된 것 뿐.
0.999...는 초항이 0.9, 공비가 0.1인 무한등비급수의 극한값이며 극한값 자체가 1입니다.
9/9가 정수가 아닌 유리수인가요? 그냥 정수인가요?
@@Zeddy27182 아 그러면 0.333...도 유한소수인가요?
순환소수는 다 유한소수인가요?
very gooooooood 💕💕💕💕
이젠 0.9999....가 왜 s에 포함 안돼는지 모르겠다
1=관측가능한곳 그곳이 1
다큐스러운 분위기는 따라하려고 하는게 보이는데
자막 퀄리티가 그 분위기를 못따라가는 느낌이라 순간순간 분위기가 확 깨지네요...
조언 감사합니다. 원래 자막을 계획하지 않고 영상을 만들었습니다. 자막요청이 있어서 업로드 후에 자동자막에 오타 수정해 넣었더니 화면을 가릴 때가 있네요. 말씀 참고해서 일부 자막 삭제하고 타이밍도 조정했습니다. 다음 영상도 자체자막 계획은 없지만, 자동자막을 고려해서 제작하고 있습니다. 감사합니다
영역전개 무량공처
뜨겠는데?
여긴 아직 영세한 채널이라....^^ 감사합니다!!!!
1/3=0.333...
3/3=0.999...=1
증명 끝
0.999가 1보다 작다고 생각하는 사람은 0.333도 1/3보다 작다고 생각할 수도 있음.
이건 증명이 아니라 직관적으로 이해하는 방법 정도..
아니야, 그냥 말 장난이야. 가무한, 실무한 그런 분류는 그냥 생각을 피력하기 위하여 만든 용어들이지. 무한은 지금도 움직이고 있어 가무한만 있는 거지. 왜냐면 시간은 공간의 다른 이름이니까...
무한이 계속 움직이는 것밖에 없다면 0.999는 1이라는 개념에 위배되지 않을까요?
무한은 항상 외롭다니… F세요? 🤣
부끄럽군요.. ㅎㅎ
보통 주변에선 극 T라고 하는 편인데, 저는 그렇게 생각하지 않습니다.
안...보입니다...!
오물풍선처럼 달려왔다ㅋㅋㅋㅋㅋ
노래소리가 너무큼
그렇죠 ㅜ 저도 그런 느낌이 있더라구요 조언 감사합니다
퀄모야...구덕
기분좋아지는 댓글이네요!! 구독 감사합니다~^^. 앞으로도 시간될때마다 하나씩 만들어 볼께요
머야 어쩌구 저쩌구 무한은 무한이 아니야 라고 우기는 거구만 처음 그얘기 한게 아니잖아요 더이상 쪼개질수없는 마지막이 어딘데요
수학에선 계속 쪼개는 것을 '무한소'라고 합니다. 이건 정해진 수가 아니라 끝없이 0에 가까워지며 움직이는 상태를 나타내는 개념입니다
다른 댓글 보닝까 프랭크 어쩌구 저쩌구가 쪼갤 수 없는 마지막이라고 하네욤.
@@jh_math 색즉시공 이네 우주도 움직이고 마음도 움직이고 중도 정해지지 않은 상태 이런말인가요
@@dnfkxpddl일리가있기도하고없기도하고. 색즉시공보다는 언어도단.
@@dnfkxpddl무한을 무한이라 명명하는순간 무한이 아니죠
? 0.999가 되는 자연수 n이 왜 존재하지 않지?;;; 그냥 존재하지 않는다...라고 정의내려놓고 그걸 설명이라고 하는게 맞는 건가;;; S의 원소의 개수가 무한개로 가는 것은 그 9의 개수도 무한하게 있게 되는 것을, 무한을 그 갯수가 무한한 무한과, 결국의 값이 정해지는 유한한 무한으로 나눈 것 자체가 비논리다. 무한이 유한해?.ㅎㅎ 무한, 끝이 없음이 유한하다. 성립하는가? 너무... 과학적인 무한에 대한 접근인건가 내가;ㅠㅠ // 더하여, 이상적인 상황에서... 물이 100도에서 끓는다면, 99.9999999...도에는 물 안끓음. 그렇다면 "100=99.999999...."가 아님. 그저,,, 무한, 끝 없음을 인간이 이해할 수는 없고, 그러나 그걸 다뤄내고는 싶으니 '정의'내린 것일 뿐인 것 같음.
영상에서 말씀 드린 것처럼
무한을 이해하는 데에 이 부분이 제일 중요하고도 어려운 것 같습니다
지금 고정 댓글로 추가 설명 드렸으니 한번 잘 생각해 보세요...
이해하는 것이 절대 쉬운 것은 아닙니다.
앞서 비슷한 질문하신 분들께 설명 드린 것도 있으니 참고해 주시구요
영상 시청해주셔서 감사합니다
0.999...가 1인건 중학교 교과서에도 증명이 나와있어요!
영상에 나와 있는 네줄짜리 증명방법으로요
@@Btworld77 ^^ 그걸 몰라서 이 영상아래 댓글이 많은 것이 아닙니다.
화살 예시는 잘못된게 현실은 무한한 점이 존재 하지않음. 플랑크 길이라는 물리학적 최소 길이의 단위가 있고 그 이하는 의미가 없음. 그러므로 화살이 무한한점을 지나는 현실이 실무한의 존재를 보증한다는식의 논리는 잘못 된거임. 애초에 실무한은 현실에 존재하지 않음. 어떠한 형태의 것이든 무한한 것이 있다 > 열역학 보존 법칙에 위배됨. 무한의 존재는 수학적으로만 존재하는것임. 실무한의 정의는 증명될수 없는거임. 증명될수 없는것을 진짜로 현실에 있는것처럼 말하려 하니까 이상해지는거.
네 현실의 예시는 한계가 있어보이네요.😂
실무한이란게 수학적으론 증명되나 과학적으론 존재하지 않는것인가 보네요. 👍
수학의 본질은 자유로움에 있다. 플랑크 길이도 무한히 쪼개는 학문임