PGCD de 4^(n+1)-1 et 4^n-1 Arithmétique - spé maths - terminale S - ★★★★☆ - BAC

Objectifs:
Connaitre et savoir utiliser les propriétés du PGCD
Savoir montrer que 2 entiers sont premiers entre eux
Faire le lien entre suite géométrique et PGCD
www.jaicompris.com/lycee/math/...
arithmétique - spé maths - terminale S - mathématiques

[@peace..3219]

Excellent.

[@diegotoac]

Super cet exercice !

[@bouchetamustapha6857]

3) on peut calculer le PGCD (4^(n+1)-1,4^n) par la méthode de la division de 4^(n+1)-1 /4^n est on trouve le reste 3 ( 4^(n+1)-1 = 4*4^(n) +3) donc PGCD( 4^(n+1)-1,4^n)=3

[@bouchetamustapha6857]

3) on peut calculer le PGCD (4^(n+1)-1,4^n-1) par la méthode de la division de 4^(n+1)-1 /(4^(n)-1) est on trouve le reste 3 ( 4^(n+1)-1 = (4*4^(n)-1) +3) donc PGCD( 4^(n+1)-1,4^n-1)=3

[@jaicomprisMaths]

Attention, on a par exemple 11 = 2 x 4 + 3 mais PGCD(11 ; 4) n'est pas égal à 3. Par contre , on sait que PGCD(11 ; 4) divise 3. Tu as montré que le PGCD cherché divisait 3. Cela peut donc être 3 ou 1. En regardant modulo 3, on pourrait montrer que 4^n - 1 est toujours divisible par 3 ( 4 est congru à 1 modulo 3) ce qui compléterait ta démonstration.

[@TheHassanmiej]

Merci pour votre travail exceptionnel
J'ai une démonstration sans utiliser les suites que j'espère que vous la corrigez et savoir s'il y a des remarques...
On sait que:pgcd(a,b)=(a-b,b) (*)
Et en posant a=4^(n+1)-1 et
b=4^n-1 et en remarquant que:
4^(n+1)=4.4^n et en répétant (*) plusieurs fois on arrive à montrer
que:pgcd(4^(n+1)-1,4^n-1)=
pgcd (3,4^n-1).Or 4=\ 1 (3) alors 4^n=\ 1 mod(3) donc: 4^n-1=\ 0 (3)
D'où: pgcd (3,4^n-1)=3...

[@johnnysuave8543]

Pour la question 2) du 1. ça marche si on utilise la propriété PGCD(a;b) = PGCD(b;a-kb) en prenant au départ a=U(n+1) et b=Un , à la fin on trouve PGCD(Un+1;Un)=1 donc ils sont premiers entre eux

[@jaicomprisMaths]

Bonjour. Ta méthode fonctionne parfaitement. Précise quand même que k = 4.
Bonne journée.

[@jaouadabi8797]

Excellent

[@niamorromain2076]

Bonjour, concernant la question 1.b, pouvez vous me confirmer ou non mon raisonnement ?
J'utilise l'algorithme d'Euclide en indiquant que Un+1= q Un + r. Or Un+1 = 4 Un + 1. Selon l'unicité de b et r, b=4 et r =1. Donc pgcd(Un+1;Un)=pgcd(Un;1)=1. Donc Un+1 et Un sont premiers entre eux. Dans l'attente de votre retour, Bonne soirée.

[@ghalibouayad8121]

Bonjour, vous pouvez m'expliquer comment démontrer que Un et UN+1 sont premiers entre eux à l'aide du théorème de Bézout? Merci

[@jaicomprisMaths]

regarde sur cette page l'exo 3:
www.jaicompris.com/lycee/math/arithmetique/theoreme-bezout.php

[@rachid8475]

si on nous demande de répondre à la 3ème question seule on peut la traiter facilement sans passer par les suites contrairement à ce que vous avez dit . c'est intéressant d'utiliser plusieurs notions mais dire qu'elles sont nécessaires ??? voir à la 10ème minute et 30sec . mais votre travail est intéressant quand même