Déterminer un PGCD en fonction de n - arithmétique (d'après bac S Centres étrangers 2012)

Un bon exercice d'entraînement en arithmétique, niveau Terminale (maths expertes)
Tiré du sujet de baccalauréat scientifique Centres étrangers, 2012
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[@tuti94140]

Merci pour votre vidéo, j'avais un professeur de maths expertes l'année dernière qui nous en avait déjà donné beaucoup comme ça alors c'est limite devenu un automatisme de poser la combinaison linéaire ect... Et superbes explications comme toujours !!

[@ayoubetlesmaths]

Hahaha, avec plaisir ! Merci pour ce commentaire, chimiste matheux :)

[@flight7218]

Une bonne video ! on peut aussi faire comme suit plus rapidement en utilisant la règle pgc(a,b) = pgcd(a-b,b) , ainsi pgcd(3n+1,2n+3)=pgcd(2n+3,n-2)=pgcd(n+5,n-2)=pgcd(7,n-2)=d
donc ici d divise 7 et d divise n-2 , forcement d aura comme valeurs possibles 1 ou 7 , si d=7 , comme 7/n-2 , alors cela revient à dire que n doit est congru à 2 modulo 7 , sinon d= 1

[@ayoubetlesmaths]

Merci !
Bien vu, cela rejoint un autre commentaire

[@shinkuroi789]

J'avoue que j'ai pas mal de lacune en arithmétique comme ça, je l'ai pas vraiment vu au lycée, mais ça fait du bien d'avoir un exo sympa comme ça, quand même sur les bases

[@ayoubetlesmaths]

C'est vrai qu'on passe parfois trop vite dessus en Terminale, surtout ces dernières années

[@shinkuroi789]

@@ayoubetlesmaths Oui, et c'est bien dommage, j'essaye d'apprendre la théorie des groupes, ya quand même pas mal de propriétés en rapport avec les pgcd que j'avais jamais vu (comme le théorème de Bachet-Bezout, qui sert quand même pas mal de fois pour des démonstrations, qui pour moi était inconnu au bataillon)

[@michelbernard9092]

Si ça vous intéresse, j'ai fait ainsi en utilisant que gcd(a ; b)= gcd(a+b ; b) = gcd( a ; b+a)
d'ou gcd(3n+1 ; 2n+3) = gcd(n-2 ; 2n+3) = gcd(n-2 ;7) or 7 étant premier gcd=1 si n-2 n'est pas congru à 7 et gcd =7 si n-2 congru à 0 (mod7)

[@ayoubetlesmaths]

Bien vu, ça marche bien aussi !