Умножение на 1.01 все равно что добавить 1%, и так сто раз. Первое добавление будет 0.0101. К примеру 1.5 мы достигнем гораздо раньше чем на 50-ом умножении, а дальше добавки будут 0.015 и больше с каждым умножением. Мы явно вылезем за пределы 2-ки.
добавлю, что несложно доказать(например по индукции), что увеличить на n% это меньше, чем n раз увеличить на 1% при n >= 2, применяя этот факт к этой задаче получаем 1 увеличить на 100% меньше нашего числа, а 1 ув на 100% это как раз 2
Умножение - это почти как сложение, значит 1,01 х 1.01= 1.01 + Х сразу видим что Х больше 0,01, а мы повторяем сложение с Х-ом 100 раз. Мы знаем, что Х растёт, но и без этого факта получается, что 1,01 в степени 100 больше, чем 2,01, а значит больше двух. Ничего сложного!
@@F_A_F123 это доказывается так: (n>=2) (1+1/n)^n > (1+1/(n-1))^(n-1) (n+1)^n/n^n > n^(n-1)/(n-1)^(n-1) (n^2-1)^(n-1)/(n^2)^(n-1) > n/(n+1). Но в левой части (1-1/n^2)^(n-1) > 1-((n-1)/n^2) по неравенству Бернулли. А 1-((n-1)/n^2)=(n^2-n+1)/n^2>n/(n+1) (n^2-n+1)(n+1)>n^3 n^3+1>n^3 - верно. Значит, (1+1/n)^n > (1+1/(n-1))^(n-1)
@@Kirill-medvedev168 Представьте, что есть гипотетический банк, дающий 100% дохода к исходной сумме через 100 дней. Кладёте 1 рубль, через 100 дней получаете 2 рубля на счету. Теперь представьте, что вы получаете 1% на остаток на счету ежедневно, то есть не 1+0,01+0,01... 100 раз, а 1,01*1,01 100 раз, естественно, вы получите большую сумму, чем 2, ведь 1% вычисляется не от 1, а уже от большей суммы, начиная со 2 дня. По сути, это один из замечательных пределов, определяющий число Эйлера при количестве начислений процентов, стремящемся к бесконечности. Разумеется, за период, за который при простых процентах накопится 100% дохода. То есть, чем чаще рассчитывается процент, тем ближе полученный результат на счету к числу Эйлера.
Оно реализует свой потенциал в полной мере, когда из него строят теорию степени вещественного показателя. После этого не имеет смысла наяривать это неравенство Бернулли. На смену приходят экспонента и натуральный логарифм. Вот у этих функций по-настоящему большой потенциал для решения задач. И для них существуют эффективные и современные способы вычисления с очень большой точностью
Сразу видно, что больше, 1.01 это "+1%", 100раз по 1% это уже два, а с учётом того, что процент начисляется поверх ранее начисленного процента, то получается не просто больше а сильно больше. Это в футураме было в одной из серий, где он в криокамере провел 4000 лет и за это время его 30центов оставшихся на счету превратились в миллиарды долларов
я во втором примере немного не понял объяснения. Вы сначала объясняете что "мы берем в 99 скобках цифру 1, а в одной скобке цифру 0,01" тогда получается 99 перемножений числа 1х0,01. НО в примере вы записываете 100х0,01 - хотя этому должно было быть объяснение "мы берем с КАЖДОЙ скобки число 0,01 - т.е. 100 штук по 0,01). условно в вашем объяснении третье слагаемое должно было быть 98 перемножений числа 1 умножить на 0,01 и 0,01 и только сто первое слагаемое в ваших рассуждениях будет 100х0,01. В общем претензия моя в том что вы объясняли про одно слагаемое, а записали совсем другое))) Или я что-то не так понял?)
Он сказал всё верно. Мы берём сначала из всех 99 1(единицу), а из 100-го берём 0.01, потом берём из 99-го, 98-го... 30-го... 20-го... 10-го... 1-го. Итого получаем 100.
@Роман Дворников В видеоразборе всё верно, если мы берём в первых 99 скобках единицу, в в последней скобке 0,01, то в результате произведения мы получаем 0,01, потом мы берём в предпоследней скобке 0,01, а в остальных 99 скобках берем 1, то есть снова в результате их произведения получаем 0,01, и так мы получим 100 слагаемых равных 0,01, а эта сумма будет равна 100*0,01.
@@ValeryVolkov я всё ещё немного в замешательстве, объясню почему. когда для первого слагаемого вы решили взять с каждой скобки 1 и у вас получилось 100 перемножений единицы, у меня в голове тут же появилась идея взять из каждой скобки 0,01 а так как этих перемножений 100, то записать всё это 100х0,01. НО пока я писал этот ответ я вдруг осознал что так нельзя делать))) Я прослушал ещё раз и понял что вы имели ввиду. Извините))
1,01^100 можно посчитать в уме,если заметить что при каждом умножении на 1,01 число увеличивается больше чем на 0,01 , поскольку каждый раз единица при умножении на 0,01 переносится на два разряда вправо, так 1,01^2=1,0201 ; 1,01^3=1,030301 и т д ,после девяноста девяти таких операций число увеличиться больше чем 0.99 и будет больше двух
Не понял почему во втором множителе получилось 100*0.01, а не просто 0.01, ведь там единицы перемножались а не складывались. Но в начале видео по интуиции предположил правильный ответ :)
Просто 100 это количество комбинаций, которыми можно разместить 99 скобок с "1" и одну скобку с "0.1". Комбинация с 99 скобками подряд с "1" и последней скобкой "0.1" и комбинация где мы берём первую скобку с "0.1" и остальные 99 с "1"- это разные комбинации. Поэтому мы их складываем
Большое спасибо Вы очень хорошо преподносите самый сложный материал Вас приятно слушать и все записи доступны и понятны даже тем кто далек от математики
Вот поэтому у меня и 4 по математике, а не 5, я почему-то думал, что 1,01*1,01=1,0001, а на калькуляторе посчитал и получил 1,0201) Перемножив 1,01 само на себя 4 раза получил уже 1,04060401, ну и тут уже понятно, что 3е число 4ка и перемножив 1,01 само на себя 100 раз оно превзойдет 2)
На фразе "посчитаем двумя способами", сразу посчитал двумя способами: 1. По биному Ньютона - очень похож на второй способ автора видео, только более "научно") 2. Необычных подход: математическая индукция! С предположением, что (1.01)^n > 1 + 0.01*n, для n > 1.
Правильным ли решением будет провести анализ, взяв 1,01^1; 1,01^2; и 1,01^3 и заметить, что с каждым увеличением показателя степени на 1 число увеличивается чуть больше, чем на 0,01? Что в случае с показателем степени 100 будет давать число больше 2.
Я тоже эту задачу решил аналитически в уме, как и большинство комментаторов. В известной закономерности, где возведение в степень числа (1,..01) даст нам приближенное его значение 1 + (0,..01 умноженное на степень), где 1,01 возведенное в квадрат приближенно равно 1,02, а 1,001 возведенное в куб, дает нам 1,003, а в четвертой степени 1,004, и т.д.. Это удобно при инженерных расчетах, без калькулятора. Однако, это приближенное значение, а точное решение при этом будет не 1,02, а 1,0201, и т.д., и при этом оно заведомо больше, чем решение (1 + 0,..01 х степень). Точно так же 11 в квадрате дает нам решение 121 (а не 120). Отсюда, из всего вышесказанного следует, что (1,01)^100 больше, чем 1 + 0,01*100, значит больше чем 2. Но, справедливости ради, этот способ в общем-то близок по идеологии ко второму решению автора.
3:05 не верно второй коэффициент объяснил) 99 раз по единице и 1 раз 0,01, это же 99*0,01, а не 100*0,01 а вот если все 0,01 взять сто раз - тогда вторая единица получится)
Вот вы ребята вроде умные, объясните, если я 100 раз умножаю 0,01 само на себя почему это равно 100*0,01, а не 0,01^100? И почему 100 единиц умножить друг на друга и один раз на 0,01 это 100*0,01, а не 0,01*1^100? Пока отбросим нюансы про 99
@Rosh Для второго слагаемого мы сначала берём в первых 99 скобках единицу, в в последней скобке 0,01, то в результате произведения мы получаем 0,01, потом мы берём в предпоследней скобке 0,01, а в остальных 99 скобках берем 1, то есть снова в результате их произведения получаем 0,01, и так мы получим 100 слагаемых равных 0,01, а эта сумма будет равна 100*0,01.
@@ДмитрийХабаров-о7о у нас сотня множителей. мы сто раз: перемножаем 99 единиц и 1 сотую (беря из разных 99 множителей 1 и из оставшегося 0.01, пока не переберем все комбинации, а таких всего 100) получаем сумму из ста членов (1*1*...*1 * 0.01) т.е. 100 * (1*1*...*1 * 0.01) = 100*0.01 = 1 это что-то типа выведения бинома ньютона
@@LineBlob, 9,23е12 расшифровывается как "9,23 умножить на 10 в 12 степени", т.е. это 9 триллионов с копейками в виде миллиардов :) Это особенность устройства калькулятора, к математике отношения не имеет. Здесь число е - знаменитое число Эйлера (также число Непера или экспонента единицы). Если бесконечно большое число раз перемножить число, которое чуть-чуть больше одного (1,0000000...01), то мы получим число е, приблизительно равное 2,71. Это же и основание натурального логарифма. Это же и сумма обратных факториалов всех неотрицательных целых чисел. Число Эйлера присутствует и в знаменитом тождестве Эйлера. Собственно, она присутствует чуть ли не везде. Но к 9,23е12 отношения никакого не имеет.
есть ещё способ, 2 представим как 200/100 200/100 = (200/199)*(199/198)*(198/197)*...*(101/100) и т.к. все числа кроме 200 и 100 сокращаются равенство верно. представим каждый множитель как сумма целого числа и дроби (1+1/199)*(1+1/198)*(1+1/197)*...(100 множителей)...*(1+1/100) теперь представим наш 1.01^100 в виде множителей (1+1/100)*(1+1/100)*(1+1/100)*...(100 множителей)...*(1+1/100) в итоге, можно сравнить эти два произведения. в первом произведении все множители кроме последнего меньше 1/100 поэтому, число в котором множители больше чем в другом будет больше. ответ: 1.01^100
1.01 в степени 100 это сто циклов по одному проценту в геометрической прогрессии (процент на процент). Это будет в несколько раз больше 2. Даже считать не буду.
Элементарно же считается в уме. 1.01 умножая на себя, дает себя + одну сотую от себя, то есть 1.01 + 0.0101. Значит, что каждое умножение на себя даст более чем 0.01. И даже очень приблизительно считая, очевидно, что будет больше двойки.
Сразу же после взгляда на заголовок внутренний голос подсказал мне, что первое из сравниваемых чисел должно стремиться к числу Эйлера... Которое, в свою очередь, больше двух.
Да это же изи понять без всяких формул и биномов. 1.01*1.01 = 1.0201 > 1.02. Соответственно 1.01^100 > 1.02^50. Теперь продолжим хитрее, 1.02^5 > 1.04^2 * 1.02 > 1.08*1.02 > 1.1, так как 1.02*1.02=1.0404 > 1.04. В свою очередь 1.04*1.04 = 1.0816 > 1.08. В итоге 1.08*1.02 = 1.1016 > 1.1. То есть 1.01^100>1.02^50>1.1^10. Откуда легко посчитать 1.1^5 = 1.21*1.21*1.1 > 1.2^2*1.1 = 1.44 *1.1 = 1.584 > 1.5. То есть 1.1^10 > 1.5^2 = 2.25 > 2. То есть ответ: 1.01^100 > 1.02^50 > 1.1^10 > 1.5^2 > 2. Ч.Т.Д. (EZ)
Пока не смотрел видос. Вот мой метод. Зададим а=0.01 Рассуждаем (1+a)^2 = 1+2а+а^2. То есть (1+а)^2 > 1+2a. Причем СТРОГО больше Далее (1+a)^4=((1+a)^2)*((1+a)^2) и это больше, чем (1+2а)^2=1+4а+(2а)^2 и значит тем более больше,чем (1+4а). Опять же строго бiлше Ну и для любой степени N с теми же рассуждениями выйдет (1+a)^N > 1+Na Подставляем N=100 и а=0.01 и выйдет, что (1+0.01)^100 > 1+100*0.01=2 То есть (1+0.01)^100 > 2. Проще простого.
Посмотрел видос. Про неравенство Бернулли я как-то забыл (если вообще когда-то знал), но вижу, вышло так, что я сам его только что доказал... Невовремя я родился ))))
как только взглянул увидел схожесть с числом е , которое равно (1 =1/x)^x - при x стремящимся к бесконечности =2,718...., 1,01^100=(1+1/100)^100 а значит число ближе к e , чем к 2 , а e>2, значит 1.01^100>2
Ну для ответа конкретно на этот вопрос достаточно 0,01 умножить на 100, затем получившееся число прибавить к 1 - получится 2, потом заметить, что 100 - это степень и сделать соответствующий вывод
Есть еще проще способ. 1,01^2=1,0201, т.е. один шаг дал прирост больше, чем 0,01, следовательно за 100 таких действий добавка, очевидно, составит больше 1,00, т.е. выйдет больше двух.
Всё верно(!) : если даже (1+1/2)^2 уже равно 2.25 , то есть больше , чем 2 , а число е примерно равно : (1+1/10^9)^10^9 , то ясно , что (1+1/100)^100 больше даже , чем 2.25 (а не всего лишь 2)...
Меня учили такой формуле: 1,02^11=(1+0,02)^11 И это нужно/можно написать как:1+11х0,02 а это ровно на: 1+0,22=1,22 То есть 1,02^11=1,22 Но если использовать эту формулу на это, то получится: 1,01^100=(1+0,01)^100; 1+100х0,01=1+1=2 То есть: 1,01^100=2 Где здесь ошибка? Я хотел бы узнать.
Этот переход, где ты вместо возведения в степень умножаешь на неё второе число - это использование неравенства Бернулли (1+x)^n >=1+nx. Это неравенство, а не равенство
1,01 в квадрате это 1,0201 1,01 в кубе это 1,030301 То есть при увеличении степени у нас увеличивается сотый, а затеи десятичный разряд + получаем небольшой запас (,..01 при квадрате, ,..0301 при кубе). При 100 таких итерациях получится число, точно большее 2.
1) Без доп. исследования нет никакой гарантии, что данная функция возрастает. А следовательно из того, что: 1,01 в квадрате это 1,0201 1,01 в кубе это 1,030301 не следует, что далее это не будет нарушаться (не найдётся минимум, например). 2) И даже если она возрастает, нужно ещё показать, что она не ограничена сверху ниже 2. Так исходя из Ваших рассуждений можно сделать "вывод", что когда нибудь (например, 1,0001^10000) она превысит и 3 и 4 и т.д., нужно только подождать накопление "запаса". А меж тем она не превысит e, т.е. будет всегда меньше 3.
слишком просто, в первом же приближении 1,01 в степени 100 строго больше 2, это получается вы 100 раз умножаете 1 на 1,01, каждый раз прибавляется чуть больше 1/100 (ну кроме 1 раза, там прибавляется ровно 1/100), если 100 раз прибавить к 1 больше чем 1/100, то получите больше 2
Возможно, это будет не очень грамотно с моей стороны (математикой занимался в школе больше 20 лет назад), но! Если показатель степени больше, то и число больше. То есть 100 в левой части неравенства больше единицы в правой. Значит и 1,01^100>2^1. Или я не прав?
А в чем проблема? Мы сто раз умножаем на 1.01, тоесть грубо говоря прибавляем каждый раз по 1 сотой с копейками, сто раз по одной сотой уже 2 получается, а ещё тысячные учесть и готов ответ за 5 секунд в уме
@@andreylapshov5716 Не понял тебя, но число уже больше единицы и значит квадрат не будет давать само себя и число будет увеличиваться, да и сам можешь на калькуляторе проверить 😅
ну 1,01^100 можно представить как (1+1/100)^100, а мы знаем, что последовательность (1+1/n)^n при n стремящемся к бесконечности во-первых возрастающая, во-вторых имеет предел равный приблизительно 2,7. (1+1/1)^1 уже равно двум, значит (1+1/100)^100 точно больше двух
1,01*1,01=1,01(1+0,1)=1,01+0,1*1,01>1,01+0,01 1,01³=1,01²*1,01>1,01+0,01+0,01 Так как вообще 1,01x-x=x(1,01-1)=0,01x>0,01 при x>1 Откуда 1,01x>x+0,01 Значит по индукции можно доказать, что 1,01ⁿ>1,01+0,01(n-1) Откуда, как эмпиризм: 1,01¹⁰⁰>1,01+0,01×99=2 Q.E.D. U. P. D. А, лол. Я получается и решил де-факто неравенством Бернулли, только не в общем виде его представил, а доказал эмпиризм при x=0,01 хд
Понял, нашел в обсуждениях ранее.. как то не понятно было пояснено. Мы просто берем из каждой скобки 0,01 и умножаем на единицы из остальных скобок. Это придется делать сто раз, вот и получилась сумма из 0,01 сто раз, что тоже самое как произведение 100*0,01
А про булбон от яиц забыли? Это элементарно, Ватсон! преобразуем 1,01*100 в (1,01*3)*33 или 1,030301*33. Видим, что даже на 3 умножении результат дополнительно вырос на 0,03%. Это незначительное возрастание в *33 степени даст нереальный результат. В своё время я пьяной компании задавал задачу: вы решили отказаться от социального страхования и пенсионные деньги откладываете на отдельный счёт. По 100 рублей в месяц. В конце года банк начистяет дополнительно 3% годовых. Что будет на счету спустя 30 лет? Могу сказать, что ответ поверг в шок многихю
Второй способ, не верно показан. Во первых. Перемножение единиц даст единицу а не 100. Во вторых - Будет 99 единиц х0.01. Вторая скобка 98 единиц х0.01х0.01и тд. До 1 единицы и 99ти 0.01. Но все эти слагаемые будут дважды встречаться. По одному слагаемому 1 в степени 100 и 0.01 в степени 100.
Я так решал: 1,01^100 = (1,01^2)^50 = (1,0101)^50 = (1,010201)^25 У нас в числе появилась двойка, которая будет умножена сама на себя 25 раз. 2 в 14 степени превышает 10 000. То есть число (1,010201)^25 > 1 + (0,0002)^14 => 1,01^100 > 1 + 1 => 1,01^100 > 2
во внут. ощущениям до просмотра КАЖЕТСЯ, что число со степенью больше, тк ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО МНЕ КАЖЕТСЯ достаточно близким приближением к *e* , чтобы перевалить за двойку в сотой итерации НР ЭТО НЕ ТОЧНО ЛОЛ
1й способ - воспользоваться формулой бернулли 2й способ - вывести формулу бернулли 2 принципиально разных способа ))) мне понравился способ, предложенный челом "смешарики". он показал, что каждое умножение на 1.01 добавляет даже к 1.01 больше одной сотой, поэтому 100 таких перемножений дадут число заметно большее двух
Что-то непонятно по 2-му способу. По той же логике, если оооооооооооочень сильно заморочиться и пересчитать хотя бы половину всех множителе-множителей, то получится ответ больше 50. В то же время калькулятор: 2,70.....
А как же третий способ - посчитать в уме?
4 способ - калькулятор
Ага. 1,01^70 > 2. Всего лишь 69 умножений.
@@rosalyrdw 5 способ - угадать.
Шанс 50% что выберешь правильный знак.
@@milkyway7825 не 50. 33,3 - существует вероятность что они равны
Третьего варианта нет, корень 100 степени из 2 это иррациональное число а 1.01 уже рациональное.
Умножение на 1.01 все равно что добавить 1%, и так сто раз. Первое добавление будет 0.0101. К примеру 1.5 мы достигнем гораздо раньше чем на 50-ом умножении, а дальше добавки будут 0.015 и больше с каждым умножением. Мы явно вылезем за пределы 2-ки.
добавлю, что несложно доказать(например по индукции), что увеличить на n% это меньше, чем n раз увеличить на 1% при n >= 2, применяя этот факт к этой задаче получаем 1 увеличить на 100% меньше нашего числа, а 1 ув на 100% это как раз 2
не совсем верно. Ты от второго будешь добавлять получившуюся сумму, а не процент от первого числа, что ровно на "в 100 раз меньше" больше
Умножение - это почти как сложение, значит 1,01 х 1.01= 1.01 + Х
сразу видим что Х больше 0,01, а мы повторяем сложение с Х-ом 100 раз.
Мы знаем, что Х растёт, но и без этого факта получается, что 1,01 в степени 100 больше, чем 2,01, а значит больше двух. Ничего сложного!
Вот красиво и школьно
По мотивам числа e.
тоже самое хотел написать, что будет близко к числу е
Да 1.0000001^10000000 ещё ближе к е
@@Dimon__1976 Значение (1+1/x)^x, при x ->бесконечности, будет стремиться к "e".
@@Rashadrus Об чём и речь...
@@Rashadrus на самом деле это считается через предел и получается число Эйлера.
1,01^100~e~2.7, а последовательность (1+1/n)^n моноотонно возрастает и при n=2>2
(1+1/n)^n возрастает, а (1+1/n)^n > 2 при n = 2 (2,25 > 2). Но только нужно док-ть, что это возрастает
@@F_A_F123 это доказывается так:
(n>=2) (1+1/n)^n > (1+1/(n-1))^(n-1) (n+1)^n/n^n > n^(n-1)/(n-1)^(n-1) (n^2-1)^(n-1)/(n^2)^(n-1) > n/(n+1). Но в левой части (1-1/n^2)^(n-1) > 1-((n-1)/n^2) по неравенству Бернулли. А 1-((n-1)/n^2)=(n^2-n+1)/n^2>n/(n+1) (n^2-n+1)(n+1)>n^3 n^3+1>n^3 - верно. Значит, (1+1/n)^n > (1+1/(n-1))^(n-1)
@@F_A_F123 возрастание этой последовательности доказывается в курсе математики
Я решал это с помощью процентов : если умножать на 1.01 сотую то это уже +1 процент . Значит 1,01^100 это как минимум больше 2.
Самый простой способ!
:-) )))
Вот это нормальный способ! А тот второй который у автора в видео - он вообще неочевидный
Любой, кто знаком со сложным процентом, догадается что первое число больше
Что это?
@@Kirill-medvedev168 Представьте, что есть гипотетический банк, дающий 100% дохода к исходной сумме через 100 дней. Кладёте 1 рубль, через 100 дней получаете 2 рубля на счету. Теперь представьте, что вы получаете 1% на остаток на счету ежедневно, то есть не 1+0,01+0,01... 100 раз, а 1,01*1,01 100 раз, естественно, вы получите большую сумму, чем 2, ведь 1% вычисляется не от 1, а уже от большей суммы, начиная со 2 дня. По сути, это один из замечательных пределов, определяющий число Эйлера при количестве начислений процентов, стремящемся к бесконечности. Разумеется, за период, за который при простых процентах накопится 100% дохода. То есть, чем чаще рассчитывается процент, тем ближе полученный результат на счету к числу Эйлера.
А если 2,9???
@@vladimirzadiran5609 то меньше. (1+1/x)^x=е при х->∞. е
Я просто в столбик 100 раз посчитала 😉
Ну, минимальное значение (1+1/n)^n = 2, максимальное - число е. Минимальное достигается при n = 1, у нас n не равно 1, так что число будет больше 2.
Неравенство Бернулли очень интересное) У формулы явно большой потенциал для решения разных задач.
Оно реализует свой потенциал в полной мере, когда из него строят теорию степени вещественного показателя. После этого не имеет смысла наяривать это неравенство Бернулли. На смену приходят экспонента и натуральный логарифм. Вот у этих функций по-настоящему большой потенциал для решения задач. И для них существуют эффективные и современные способы вычисления с очень большой точностью
@@pqv29 уважаю математиков! жаль, что я не один из них)
@@pqv29 я это не осилю.
меня больше удивлять результат деления 2057 на 8.
Сразу видно, что больше, 1.01 это "+1%", 100раз по 1% это уже два, а с учётом того, что процент начисляется поверх ранее начисленного процента, то получается не просто больше а сильно больше. Это в футураме было в одной из серий, где он в криокамере провел 4000 лет и за это время его 30центов оставшихся на счету превратились в миллиарды долларов
1000 лет...
сильно больше, это 2,7 ?? 🤣🤣🤣
я во втором примере немного не понял объяснения. Вы сначала объясняете что "мы берем в 99 скобках цифру 1, а в одной скобке цифру 0,01" тогда получается 99 перемножений числа 1х0,01. НО в примере вы записываете 100х0,01 - хотя этому должно было быть объяснение "мы берем с КАЖДОЙ скобки число 0,01 - т.е. 100 штук по 0,01). условно в вашем объяснении третье слагаемое должно было быть 98 перемножений числа 1 умножить на 0,01 и 0,01 и только сто первое слагаемое в ваших рассуждениях будет 100х0,01.
В общем претензия моя в том что вы объясняли про одно слагаемое, а записали совсем другое)))
Или я что-то не так понял?)
Оговорился человек))
Вот я тоже этот момент не прнял
Он сказал всё верно. Мы берём сначала из всех 99 1(единицу), а из 100-го берём 0.01, потом берём из 99-го, 98-го... 30-го... 20-го... 10-го... 1-го.
Итого получаем 100.
@Роман Дворников В видеоразборе всё верно, если мы берём в первых 99 скобках единицу, в в последней скобке 0,01, то в результате произведения мы получаем 0,01, потом мы берём в предпоследней скобке 0,01, а в остальных 99 скобках берем 1, то есть снова в результате их произведения получаем 0,01, и так мы получим 100 слагаемых равных 0,01, а эта сумма будет равна 100*0,01.
@@ValeryVolkov я всё ещё немного в замешательстве, объясню почему. когда для первого слагаемого вы решили взять с каждой скобки 1 и у вас получилось 100 перемножений единицы, у меня в голове тут же появилась идея взять из каждой скобки 0,01 а так как этих перемножений 100, то записать всё это 100х0,01.
НО пока я писал этот ответ я вдруг осознал что так нельзя делать)))
Я прослушал ещё раз и понял что вы имели ввиду. Извините))
Спасибо за два способа решения.
1,01 ^ 100 явно больше 2. мой прогноз. смотрим видос....
updated - предчувствия меня не обманули.....
1,01^100 можно посчитать в уме,если заметить что при каждом умножении на 1,01 число увеличивается больше чем на 0,01 , поскольку каждый раз единица при умножении на 0,01 переносится на два разряда вправо, так 1,01^2=1,0201 ; 1,01^3=1,030301 и т д ,после девяноста девяти таких операций число увеличиться больше чем 0.99 и будет больше двух
также в каждой степени 1,01 написаны коэффициенты бинома ньютона соответствующей степени
Не "заметить", а понять. Всё дело в том, что 1.01x = x + 0.01x, а 0.01x > 0.01 при x > 1 (просто обе части неравенства домножаем на 100). Итак, 1.01^1 = 1.01, ..^2 = 1.01(>1) * 1.01 > 1.01 + 0.01 = 1 + 2*0.01, ..^3 = 1.01^2(>1) * 1.01 > 1.01^2 + 0.01 > 1 + 3*0.01 ....... 1.01^n = 1.01^(n-1)(>1) * 1.01 > 1.01^(n - 1) + 0.01 > 1 + n*1.01 ...... 1.01 ^100 = .... > ..... > 1 + 100*1.01 = 2
Интуитивно 2 больше, но второе решение с такой огромной оптимизацией вычислений - впечатляет!
Число 2 всегда будед больше чем 1,01 на любой сьепень
@@svetlannahayrapetyan3976 на видео же доказали, что 2 меньше чем 1.01^100
@@svetlannahayrapetyan3976 ахаха! Не.
@@svetlannahayrapetyan3976 смотри
(1+1/х)^х>2 при х>1
Ох, дорогой, везёт же дуракам... Угадал. Хотя вероятность попадания была весьма велика. Спасибо. Получил удовольствие.
по неравенству коши также можно. (2+ 1 + ... + 1)/100 > sqrt100(2) . единиц 99 раз
Предлагаю теперь разобрать задачку 1,01^100 V 2,7
Без проблем, первое больше
@@fantom_000 да ответ-то очевиден, хочу аналитическое решение
@@Requial простой способ тут не будет, в таких неочевидных сравнениях нужно уже полагаться на более точные вычисления с допустимой погрешностью
Не понял почему во втором множителе получилось 100*0.01, а не просто 0.01, ведь там единицы перемножались а не складывались. Но в начале видео по интуиции предположил правильный ответ :)
Тож не понял этот момент
Просто 100 это количество комбинаций, которыми можно разместить 99 скобок с "1" и одну скобку с "0.1".
Комбинация с 99 скобками подряд с "1" и последней скобкой "0.1" и комбинация где мы берём первую скобку с "0.1" и остальные 99 с "1"- это разные комбинации. Поэтому мы их складываем
@@musicismylife6172 кажись дошло. Спс
Тут ещё можно провести аналогию с вторым замечательным пределом, т.к. показатель степени довольно далек от 0
Большое спасибо Вы очень хорошо преподносите самый сложный материал Вас приятно слушать и все записи доступны и понятны даже тем кто далек от математики
Сразу подумал о неравенстве Бернулли.. Жаль, из головы выпало, как оно выглядит
Вот поэтому у меня и 4 по математике, а не 5, я почему-то думал, что 1,01*1,01=1,0001, а на калькуляторе посчитал и получил 1,0201) Перемножив 1,01 само на себя 4 раза получил уже 1,04060401, ну и тут уже понятно, что 3е число 4ка и перемножив 1,01 само на себя 100 раз оно превзойдет 2)
у вас очень добрый учитель, если за такие знания ставил вам 4)
А вот была бы степень 50 - была бы интрига...))
Не было бы)
Ибо равенство достигается со степенью 69,660716895
На фразе "посчитаем двумя способами", сразу посчитал двумя способами:
1. По биному Ньютона - очень похож на второй способ автора видео, только более "научно")
2. Необычных подход: математическая индукция! С предположением, что (1.01)^n > 1 + 0.01*n, для n > 1.
тут проще всего вспомнить определение числа Эйлера. Уже на первом n=1 оно равно 2, а при n>1 он и подавно больше и примерно 2.7 < (1.01)^100 < e
Правильным ли решением будет провести анализ, взяв 1,01^1; 1,01^2; и 1,01^3 и заметить, что с каждым увеличением показателя степени на 1 число увеличивается чуть больше, чем на 0,01? Что в случае с показателем степени 100 будет давать число больше 2.
- А не пора ли, друзья мои, нам замахнуться на Исаака нашего Ньютона?
Я тоже эту задачу решил аналитически в уме, как и большинство комментаторов.
В известной закономерности, где возведение в степень числа (1,..01) даст нам приближенное его значение 1 + (0,..01 умноженное на степень), где 1,01 возведенное в квадрат приближенно равно 1,02, а 1,001 возведенное в куб, дает нам 1,003, а в четвертой степени 1,004, и т.д.. Это удобно при инженерных расчетах, без калькулятора.
Однако, это приближенное значение, а точное решение при этом будет не 1,02, а 1,0201, и т.д., и при этом оно заведомо больше, чем решение (1 + 0,..01 х степень).
Точно так же 11 в квадрате дает нам решение 121 (а не 120).
Отсюда, из всего вышесказанного следует, что (1,01)^100 больше, чем 1 + 0,01*100, значит больше чем 2.
Но, справедливости ради, этот способ в общем-то близок по идеологии ко второму решению автора.
Смотрю это видео и чувствую, как мозг плавится😄😄😄
Я не знал только, что это называется неравенством Бернулли.
Чисто интуитивно, если число a больше единицы, то его функция a в степени x будет возрастающей. Значит, при высокой степени явно больше 2 будет)
3:05
не верно второй коэффициент объяснил)
99 раз по единице и 1 раз 0,01, это же 99*0,01, а не 100*0,01
а вот если все 0,01 взять сто раз - тогда вторая единица получится)
множителей всего 99+1, а не 99
тот же бином ньютона подтверждает, что коэффициент будет 100
Вот вы ребята вроде умные, объясните, если я 100 раз умножаю 0,01 само на себя почему это равно 100*0,01, а не 0,01^100? И почему 100 единиц умножить друг на друга и один раз на 0,01 это 100*0,01, а не 0,01*1^100? Пока отбросим нюансы про 99
@@ДмитрийХабаров-о7о кстати, меня тоже это смутило. Будем ждать ответа
@Rosh Для второго слагаемого мы сначала берём в первых 99 скобках единицу, в в последней скобке 0,01, то в результате произведения мы получаем 0,01, потом мы берём в предпоследней скобке 0,01, а в остальных 99 скобках берем 1, то есть снова в результате их произведения получаем 0,01, и так мы получим 100 слагаемых равных 0,01, а эта сумма будет равна 100*0,01.
@@ДмитрийХабаров-о7о у нас сотня множителей.
мы сто раз: перемножаем 99 единиц и 1 сотую (беря из разных 99 множителей 1 и из оставшегося 0.01, пока не переберем все комбинации, а таких всего 100)
получаем сумму из ста членов (1*1*...*1 * 0.01)
т.е. 100 * (1*1*...*1 * 0.01) = 100*0.01 = 1
это что-то типа выведения бинома ньютона
Следующее видео: «Что больше: (1 + x)^∞ при x→0 или число e?»
Что такое е?
Это такое число
@@ЕнотЗадрот-ь6ч типо 9,23е12?
@@LineBlob, 9,23е12 расшифровывается как "9,23 умножить на 10 в 12 степени", т.е. это 9 триллионов с копейками в виде миллиардов :) Это особенность устройства калькулятора, к математике отношения не имеет. Здесь число е - знаменитое число Эйлера (также число Непера или экспонента единицы). Если бесконечно большое число раз перемножить число, которое чуть-чуть больше одного (1,0000000...01), то мы получим число е, приблизительно равное 2,71. Это же и основание натурального логарифма. Это же и сумма обратных факториалов всех неотрицательных целых чисел. Число Эйлера присутствует и в знаменитом тождестве Эйлера. Собственно, она присутствует чуть ли не везде. Но к 9,23е12 отношения никакого не имеет.
Черт... Тут даже неравенство Бернулли не поможет :(
Поссорился со своим внутренним голосом и больше не разговариваю. Он сказал 2.
(1+1/n)^n=е, при n=бесконечности. причем, если n положительное, то стремится снизу, если n отрицательное, то стремится сверху к числу e
На 3:05 произведение 99-ти единиц и 0,01 (одной сотой) разве равно единице?
Уже несколько раз отвечал в других комментариях, посмотрите там.
есть ещё способ,
2 представим как 200/100
200/100 = (200/199)*(199/198)*(198/197)*...*(101/100) и т.к. все числа кроме 200 и 100 сокращаются равенство верно.
представим каждый множитель как сумма целого числа и дроби
(1+1/199)*(1+1/198)*(1+1/197)*...(100 множителей)...*(1+1/100)
теперь представим наш 1.01^100 в виде множителей
(1+1/100)*(1+1/100)*(1+1/100)*...(100 множителей)...*(1+1/100)
в итоге, можно сравнить эти два произведения.
в первом произведении все множители кроме последнего меньше 1/100
поэтому, число в котором множители больше чем в другом будет больше.
ответ: 1.01^100
1.01 в степени 100 это сто циклов по одному проценту в геометрической прогрессии (процент на процент). Это будет в несколько раз больше 2. Даже считать не буду.
это будет меньше e так как (1+1/n)^n = e
Элементарно же считается в уме.
1.01 умножая на себя, дает себя + одну сотую от себя, то есть 1.01 + 0.0101.
Значит, что каждое умножение на себя даст более чем 0.01. И даже очень приблизительно считая, очевидно, что будет больше двойки.
Вот это браво 👏👏👏👏👏👏
Сразу же после взгляда на заголовок внутренний голос подсказал мне, что первое из сравниваемых чисел должно стремиться к числу Эйлера... Которое, в свою очередь, больше двух.
Вы путаете, это не число Эйлера
@@fantom_000 Вы о чём?
@@АлексейФролов-щ2в про ваши слова - что конкретно вам непонятно?
@@fantom_000 Про какие?
@@fantom_000 Абсолютно не понятно, что вы имеете в виду.
Да это же изи понять без всяких формул и биномов. 1.01*1.01 = 1.0201 > 1.02. Соответственно 1.01^100 > 1.02^50. Теперь продолжим хитрее, 1.02^5 > 1.04^2 * 1.02 > 1.08*1.02 > 1.1, так как 1.02*1.02=1.0404 > 1.04. В свою очередь 1.04*1.04 = 1.0816 > 1.08. В итоге 1.08*1.02 = 1.1016 > 1.1. То есть 1.01^100>1.02^50>1.1^10. Откуда легко посчитать 1.1^5 = 1.21*1.21*1.1 > 1.2^2*1.1 = 1.44 *1.1 = 1.584 > 1.5. То есть 1.1^10 > 1.5^2 = 2.25 > 2. То есть ответ: 1.01^100 > 1.02^50 > 1.1^10 > 1.5^2 > 2. Ч.Т.Д. (EZ)
Пока не смотрел видос. Вот мой метод. Зададим а=0.01
Рассуждаем
(1+a)^2 = 1+2а+а^2. То есть (1+а)^2 > 1+2a. Причем СТРОГО больше
Далее
(1+a)^4=((1+a)^2)*((1+a)^2) и это больше, чем (1+2а)^2=1+4а+(2а)^2 и значит тем более больше,чем (1+4а). Опять же строго бiлше
Ну и для любой степени N с теми же рассуждениями выйдет
(1+a)^N > 1+Na
Подставляем N=100 и а=0.01 и выйдет, что (1+0.01)^100 > 1+100*0.01=2
То есть (1+0.01)^100 > 2. Проще простого.
Посмотрел видос. Про неравенство Бернулли я как-то забыл (если вообще когда-то знал), но вижу, вышло так, что я сам его только что доказал... Невовремя я родился ))))
Спасибо, уважаемый Валерочка. Ставлю на первое...
А как на счет 99 степени от 1,01?
как только взглянул увидел схожесть с числом е , которое равно (1 =1/x)^x - при x стремящимся к бесконечности =2,718...., 1,01^100=(1+1/100)^100 а значит число ближе к e , чем к 2 , а e>2, значит 1.01^100>2
было бы интересно если 1,01^70 и 2 сравнить;)
Продолжить второй способ
1,01^69
1,01^69
1,01^69
Ну для ответа конкретно на этот вопрос достаточно 0,01 умножить на 100, затем получившееся число прибавить к 1 - получится 2, потом заметить, что 100 - это степень и сделать соответствующий вывод
А есть ли видео с формулой Феррари и её доказательством? А то из-за Бернулли вспомнил)))
Класс!
можно просто вспомить что (1+1/x)^x -> e при x->inf
а можно прикинуть что 1.01*1.01 > 1.02 и дальше каждая степень делает шаг больше чем 0.01
Так же детсадовцев у которого закончился мультик и он попал на этот ролик
Есть еще проще способ. 1,01^2=1,0201, т.е. один шаг дал прирост больше, чем 0,01, следовательно за 100 таких действий добавка, очевидно, составит больше 1,00, т.е. выйдет больше двух.
Тоже красиво, но ведь в математике редко, когда можно что-то _доказывать_ словом "очевидно" ;-)
Всё верно(!) : если даже (1+1/2)^2 уже равно 2.25 , то есть больше , чем 2 , а число е примерно равно :
(1+1/10^9)^10^9 , то ясно , что (1+1/100)^100 больше даже , чем 2.25 (а не всего лишь 2)...
Есть более интересная задача: 1.01 в степени 70 или 2
1.01^69.660717
Меня учили такой формуле: 1,02^11=(1+0,02)^11
И это нужно/можно написать как:1+11х0,02
а это ровно на: 1+0,22=1,22
То есть 1,02^11=1,22
Но если использовать эту формулу на это, то получится: 1,01^100=(1+0,01)^100; 1+100х0,01=1+1=2
То есть: 1,01^100=2
Где здесь ошибка? Я хотел бы узнать.
Или это округленный вид?
Этот переход, где ты вместо возведения в степень умножаешь на неё второе число - это использование неравенства Бернулли (1+x)^n >=1+nx. Это неравенство, а не равенство
1,01 в квадрате это 1,0201
1,01 в кубе это 1,030301
То есть при увеличении степени у нас увеличивается сотый, а затеи десятичный разряд + получаем небольшой запас (,..01 при квадрате, ,..0301 при кубе). При 100 таких итерациях получится число, точно большее 2.
1) Без доп. исследования нет никакой гарантии, что данная функция возрастает. А следовательно из того, что:
1,01 в квадрате это 1,0201
1,01 в кубе это 1,030301
не следует, что далее это не будет нарушаться (не найдётся минимум, например).
2) И даже если она возрастает, нужно ещё показать, что она не ограничена сверху ниже 2.
Так исходя из Ваших рассуждений можно сделать "вывод", что когда нибудь (например, 1,0001^10000) она превысит и 3 и 4 и т.д., нужно только подождать накопление "запаса". А меж тем она не превысит e, т.е. будет всегда меньше 3.
@@ВикторИванов-ю7ю ".... (не найдётся минимум, например)..." -- не минимум, а предел...
@@nobodyisperfect4937 Я написал ровно то что хотел.
@@ВикторИванов-ю7ю ну ерунду и написал... какой "минимум" ?
@@nobodyisperfect4937 У функции y = (1 + 1/x)^x, без исследования на глазок, нельзя утверждать, что не будет минимума.
Третий способ - калькулятор)
1,01^69 < 2 < 1,01^70
А можно ещё вспомнить про треугольник, кажется, Паскаля...
слишком просто, в первом же приближении 1,01 в степени 100 строго больше 2, это получается вы 100 раз умножаете 1 на 1,01, каждый раз прибавляется чуть больше 1/100 (ну кроме 1 раза, там прибавляется ровно 1/100), если 100 раз прибавить к 1 больше чем 1/100, то получите больше 2
Возможно, это будет не очень грамотно с моей стороны (математикой занимался в школе больше 20 лет назад), но! Если показатель степени больше, то и число больше. То есть 100 в левой части неравенства больше единицы в правой. Значит и 1,01^100>2^1.
Или я не прав?
Не правы. Нету такого определения. 1.01^69 < 2 < 1.01^70
А в чем проблема? Мы сто раз умножаем на 1.01, тоесть грубо говоря прибавляем каждый раз по 1 сотой с копейками, сто раз по одной сотой уже 2 получается, а ещё тысячные учесть и готов ответ за 5 секунд в уме
А ты давай докажи что 1.01^70 > 2. С степенью 100 любой может через Бернулли
1,0007^1000 больше или меньше двух?
Я не смог усидеть на месте и проверил, сколько это 1.01 в сотой и это приблизительно 2.7
Это не может быть более 1.01
@@andreylapshov5716 Не понял тебя, но число уже больше единицы и значит квадрат не будет давать само себя и число будет увеличиваться, да и сам можешь на калькуляторе проверить 😅
ну 1,01^100 можно представить как (1+1/100)^100, а мы знаем, что последовательность (1+1/n)^n при n стремящемся к бесконечности во-первых возрастающая, во-вторых имеет предел равный приблизительно 2,7. (1+1/1)^1 уже равно двум, значит (1+1/100)^100 точно больше двух
1,01*1,01=1,01(1+0,1)=1,01+0,1*1,01>1,01+0,01
1,01³=1,01²*1,01>1,01+0,01+0,01
Так как вообще 1,01x-x=x(1,01-1)=0,01x>0,01 при x>1
Откуда 1,01x>x+0,01
Значит по индукции можно доказать, что 1,01ⁿ>1,01+0,01(n-1)
Откуда, как эмпиризм:
1,01¹⁰⁰>1,01+0,01×99=2
Q.E.D.
U. P. D. А, лол. Я получается и решил де-факто неравенством Бернулли, только не в общем виде его представил, а доказал эмпиризм при x=0,01 хд
Краткое и красивое решение методом индукции
^3(50+19^7)
Вычеслит лёгкий способ 3 степень корен
А 1.01^70 и 2 получится так сравнить?
1.01^70 слишком близко к 2, думаю будет сложно сравнить
А я вот что то не понял в рассуждениях. Почему если взять произведение 99 единиц и одной 0,01 То получается 100*0,01???
Понял, нашел в обсуждениях ранее.. как то не понятно было пояснено. Мы просто берем из каждой скобки 0,01 и умножаем на единицы из остальных скобок. Это придется делать сто раз, вот и получилась сумма из 0,01 сто раз, что тоже самое как произведение 100*0,01
А про булбон от яиц забыли?
Это элементарно, Ватсон!
преобразуем 1,01*100 в (1,01*3)*33 или 1,030301*33.
Видим, что даже на 3 умножении результат дополнительно вырос на 0,03%. Это незначительное возрастание в *33 степени даст нереальный результат.
В своё время я пьяной компании задавал задачу:
вы решили отказаться от социального страхования и пенсионные деньги откладываете на отдельный счёт. По 100 рублей в месяц. В конце года банк начистяет дополнительно 3% годовых.
Что будет на счету спустя 30 лет?
Могу сказать, что ответ поверг в шок многихю
Банк схлопнется ?
А ещё функция y=(1+1/x)^x при x к бесконечности приближается к e=2.71828183 оставаясь меньше её
Решал с помощью бинома Ньютона. (1+1/100)^100= 1^100+100*1^99*1/100+..., Т.е. два первых слагаемых уже составляют двойку...
1,01^100=2.70 больше, чем 2
Второй способ, не верно показан. Во первых. Перемножение единиц даст единицу а не 100. Во вторых - Будет 99 единиц х0.01. Вторая скобка 98 единиц х0.01х0.01и тд. До 1 единицы и 99ти 0.01. Но все эти слагаемые будут дважды встречаться. По одному слагаемому 1 в степени 100 и 0.01 в степени 100.
Ржать где? Число больше единицы в сотой степени....
берем 1,001 в степени 100. Можно ржать.
@@MiceRus Я предпочитаю 1,(9) - тоже прикольно, но не верно.
Если 1,01 возвести в эту степень: 69.66071689357487, то получится 2,14нолей1. Это максимально близкое значение степени к 2 от числа 1,01
1.01 в степени 69,660716893575 ровно 2
А почему нельзя было сделать это через производную?
1. пoсчитать в кaлькуляторе
2. пoсчитать вручную
вce 2 способа
Могу ошибаться, если представлю это число как 101 делённое на 100, и за скобками в степени 100. Тогда кажись, это больше 2х
САМЫЙ ПРОСТОЙ СПОСОБ :
заходишь в калькулятор печатаешь 1.01^(100) даёт ответ 2.70 и ВСЕ
как в калькуляторе написать степень? или это другой калькулятор нужен?
@@mistmasterplay8593 прям так и пишешь 1.01^(100)
Я так решал:
1,01^100 = (1,01^2)^50 =
(1,0101)^50 =
(1,010201)^25
У нас в числе появилась двойка, которая будет умножена сама на себя 25 раз. 2 в 14 степени превышает 10 000.
То есть число (1,010201)^25 > 1 + (0,0002)^14 =>
1,01^100 > 1 + 1 =>
1,01^100 > 2
@ВАНО не совсем понял, что вы пытались сказать
@ВАНО а, всё понял. Спасибо за замечание
1.01^100 интуитивно кажется больше
Если вы посмотрели сравнение и думаете 100% это больше то наверное оно меньше! Всегда работает
а мне калькулятор посчитал, что 2 больше :)
2,71 приблизительно вроде. (1+1/х)^х, где х стремится к бесконечности
два меньше, большая степень очень резко увеличит число спустя уже несколько итераций
только число (1+1/n)^n ни когда не превысит число e или 2.71...
Число 2 будет всегда больше. чем число 1,01. Поднятое на любое степень.
На калькуляторе посчитай
в 1 случае почему не больше или равно?
а если взять степень не 100, а 70 например. как тогда-то решать
во внут. ощущениям до просмотра КАЖЕТСЯ, что число со степенью больше, тк ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО МНЕ КАЖЕТСЯ достаточно близким приближением к *e* , чтобы перевалить за двойку в сотой итерации НР ЭТО НЕ ТОЧНО ЛОЛ
оно на первой итерации равно 2 = (1+1)^1. Чуток больше степень скажем 1.0000000001 то уже больше 2 будет
Пишу до просмотра видео: 1,01^100 > 2, ибо так гласит неравенство Бернулли (которое, в свою очередь, выводится через бином Ньютона). Я угадал?
Первая мысль - конечно первое больше. Причём сильно больше
Прочла 201 комент ,что бы за 200 перевалило и могу сказать ,только ,-" Даааааа......" . Красавицы и Красавчики Вы хороши !!!
Второй замечательный предел при n=100
1й способ - воспользоваться формулой бернулли
2й способ - вывести формулу бернулли
2 принципиально разных способа )))
мне понравился способ, предложенный челом "смешарики". он показал, что каждое умножение на 1.01 добавляет даже к 1.01 больше одной сотой, поэтому 100 таких перемножений дадут число заметно большее двух
чиста жизненная философия - лучше делать малейшие действия 100 дней подряд и быть единицей нежели быть 2 и делать нечего эти 100 дней
А как же бином Ньютона для сотой степени?
Перешёл к неравенству 1.01^50 >< √2. Дальше расписал Бином Ньютона , взял первые два члена - 1 и 0.5, а это заведомо больше √2
1.01^100=2.704>2
Задал log1.01 2,посчитал, получилось 69 с копейками и смело поставил знак больше к первому числу
Что-то непонятно по 2-му способу. По той же логике, если оооооооооооочень сильно заморочиться и пересчитать хотя бы половину всех множителе-множителей, то получится ответ больше 50.
В то же время калькулятор: 2,70.....