Валерий на высоте. Суть метода: - когда нельзя сравнить (или трудно сделать) две величины, нужно их кратно увеличить, чтобы разность была сравнима с единицей измерения. Например: - сравнить толщину двух проволок при помощи линейки.
Умножить обе части на log3(5),то есть log2(3)*log3(5)^log5(8)*log3(5). Используя свойства перемены оснований запишем: log2(5)*log3(3)^log3(8)*log5(5). log2(5)^log3(8).Т.к.log2(5)>2,а log3(8) меньше 2,то левая часть больше правой.
Еще один способ для подобной задачи. Найти решение log(2)3=log(5)x, умножить обе части на log(2)5, решение x=3^(log(2)5) >8. => разность логарифмов log(2)3-log(5)8>0.
Валера -- молодец!!! Интересный подход! Причем универсальный! Я перевёл все логарифмы к основанию 2 и сравнил (весьма успешно!) произведение двух логарифмов с тройкой... Но Ваш подход более технологичный. 👍 Восхищён!
Если log2(3) является показателем степени, то при удвоении показателя получим: 2*log2(3)=log2(3**2)=log2(9). Чтобы вернуться к тем же показателям, разделим выражение на 2. Получим : log2(9)/2 = log4(9). То есть log2(3)=log4(9) по определению логарифма. Далее получим более лёгкое выражение для сравнения: log4(9) \/ log5(8). Заметим, что log5(8)=log5(4*2)=log5(4)+log5(2)=1/log4(5)+log4(2)/log4(5) и итого мы перевели выражение в такое же основание, как слева. Пусть 1/log4(5) = t [Для простоты выражения] и у нас получится: t+log4(2)*t Так как log4(2)=0,5 [4 нужно возвести в корень(или 0.5 степень), чтобы получить 2], то: t-0,5t = 0,5t. Обратная замена: 0,5t = 1/2*t = 1/2*1/log4(5) Итого мы получили выражение 1/[2*log4(5)] равное log5(8). Так как log4(8)>log4(5)>1/log4(5)>1/2*log4(5), то из этого следует что log2(3)>log5(8). PS возможно, что я что-то упустил во время подсчёта, но вроде всё правильно вышло
Можно сначала 2 возвести в степень 1.5. Получится меньше трёх. Но совсем чуть-чуть. Тогда первый логарифм больше 1.5. Потом возвести 5 в степень 1.5. Получится больше 11. Тогда второй логарифм меньше 1.5.
Наверное, это близко к решению, приведенному Валерием, но все же: Log(2)3 v log(5)8 Перейдём к основанию 2 Log(2)3 v log(2)8/log(2)5=3/log(2)5 Т.к log(2)5>0, умножим обе части на него без изменения знака неравенства. Сразу также умножим обе части на 2. 2log(2)3 log(2)5 v 2•3=6; Log(2)9 log(2)5 v 6 Слева log(2)9>log(2)8=3 и log(2)5>log(2)4=2 Т.е. Log(2)9log(2)5>6 => в между исходными логарифмами сохраняемся то же соотношение, Log(2)3>log(5)8
Очень хотелось бы посмотреть сравнение этим универсальным методом log2(3) с log5(13). Придется сделать 17 итераций. Представляю себе оперирование числами порядка 13^17 -)
Идея в том, что при их одинаковом увеличении умножением разность тоже увеличивается и через какое-то время становится очевидной . Хороший способ для трудносравнимых чисел.
log 2 3 is greater than log 5 8 6:30 (the same answer I did it differently) why?' starting with log 5 8 let's consider a log larger such as log 4 8 which can be written as log 2^2 2^3 = 3/2 or 1.5 (since 4=2^2 and 8= 2^3). This implies that log 5 8 is smaller than 1.5 (since if 4 is raised to a number 'n'=8, then when 5 is raised to a number 'x' = 8, x must be smaller than n since 5 is larger than 4) Since log 5 8 is less than 1.5, if log 2 3 is equal to or greater than 1.5 (or 3/2) then log 2 3 is greater than log 5 8 we know log 2 2 =1 and log 2 4 =2 (since 2^1= 2 and 2^2=4) therefore log 2 3 is between 1 and 2 the square root of 2 is less than 1.5 since 1.5 x 1.5 =2.25 and 2 is less than 2.25. It's square or the square of the square root of 2 is obviously 2 and its cube is obviously less than 3 since if 2 x 1.5=3 then 2 x less than 1.5 ( in this case the square root of 2 or 1.4+) must be less than 3 So log 2 3 is greater than log 5 8 PS note 1.5 =3/2 and thus when an exponent means to find the square root, then cube. Note one needs not to know the square root of 2 (around 1.4 +) only that 15 x 15= 225 hence 1.5 x 1.5= 2.25 and hence square root 2 is less than 1.5, since If 1.5 x 1.5 =2.25, then the square root of 2 must be less than 1.5 (since 2 is less than 2.25) and the cube of 1.4+(or any number less than 1.5 must be less than 3 since 1.4 x 2 cannot be 3 or greater since 1.5 x 2 = 3, hence 2^1.5 or 2^3/2 is less than 3 or log 2 3 is greater than 1.5. Here the goal is to prove log 2 3 is greater than or equal to 1.5 since had shown above that log 5 8 is less than 1.5. It was tempting to say log 2 3 = 1.5 since log 2 2=1 and log 2 4= 2 (and 3 is in the middle of 2 and 4), but log 2 3 is greater than 1.5 since the cube of the square root of 2 is less than 3. The key in solving this is realizing that 1.5 x 1.5 =2.25 and hence the square root of 2 must be less than 1.5
Очень полезные видео. Они помогают понять красоту математики на непростых примерах. Огромное вам спасибо за ваш полезный труд! Удачи и успехов в вашей непростой деятельности.
Почему так сложно? Элементарно же - логарифм любой степени это отношение логарифмов иной степени ( например натуральный) от значения и степени. Пользуясь этим и расписывая эти логарифмы как дроби и пользуясь монотонностью - решается мгновенно. Так что не пудрите мозги супер способами )
Ну так приведите пример. Или Вы только теорию знаете? Примените ее на практике к конкретной ЭТОЙ задаче. Было бы интересно посмотреть на запись решения :)
Предполагал что-то новенькое. Однако....Что даст этот "универсальный метод", если нужно сравнить log2(3) и log3(6) ? Замучаешься пыль глотать, как говорят в народе. Здесь даже рационализация мало применима для сравнения логарифмов с разными основаниями и аргументами. Возможно, наиболее универсальный метод - это разложение в ряды. Но тогда теряется смысл "ручной работы".
*Четвёртый способ:* По стандартной формуле замены основания логорифма привёл к основанию 128 и 125 соответственно: 7×log₁₂₈ 3 V 3×log₁₂₅ 8; log₁₂₈ 3⁷ V log₁₂₅ 8³; log₁₂₈ 32187 V log₁₂₅ 516; Вы спросите: как же сравнить два логорифма с разными основаниями? Нетрудно доказать, что изменение основания логорифма ведёт к гораздо меньшему изменению результата логорифмирования. Сравните log₁₀ 1000=3, а log₁₀₀ 1000=2. Основание уменьшилось в 10 раз, а результат только в 1,5. Поэтому с уверенностью можно утверждать что: log₁₂₈ 2187 > log₁₂₅ 516; Отсюда и: log₂ 3 > log₅ 8.
Всё отлично, спасибо!!! Одно не понимаю, зачем каждый раз предлагать попробовать решать самостоятельно???????? Вам кажется, что Вас смотрят только ученики или дети, Вам не приходило в голову, что Вас смотрят ещё и взрослые люди, которые просто любят математику? Мне 50 лет, я уже на пенсии, я военный и как только Вы предлагаете решать самостоятельно, у меня складывается впечатление, что Вам кажется только Вы можете решать, а все остальные тупые идиоты!!!!!!!!!!!! Раз и навсегда забудьте это предложение (для начала попробуйте решить самостоятельно)!!!!!!!
согласен, кому интересно, тот сам догадается решить самостоятельно. Что даст этот "универсальный метод", если нужно сравнить log2(3) и log3(6) ? Замучаешься пыль глотать, как говорят в народе
Валерий на высоте. Суть метода: - когда нельзя сравнить (или трудно сделать) две величины, нужно их кратно увеличить, чтобы разность была сравнима с единицей измерения. Например: - сравнить толщину двух проволок при помощи линейки.
Намотать на круглый карандаш одинаковое число витков
@@transientnoviceИ линейка не понадобится
Спасибо за метод сравнения логарифмов.
Хорошее решение! Жаль, когда был в школе не знал об этом. В универе пригодится
Не пригодится. Там совершенно другие задачи.
Умножить обе части на log3(5),то есть
log2(3)*log3(5)^log5(8)*log3(5).
Используя свойства перемены оснований запишем:
log2(5)*log3(3)^log3(8)*log5(5).
log2(5)^log3(8).Т.к.log2(5)>2,а log3(8) меньше 2,то левая часть больше правой.
СУПЕР! Спасибо Вам, Валерий, за очень простое и понятное решение не такой уж и простой задачи!
ПРОСТО и интересно. БРАВО. Мне нравиться сравнения логарифмов с натуральными числами .
I do enjoy your lessons!
Логика. Замечательно. Спасибо)
Еще один способ для подобной задачи. Найти решение log(2)3=log(5)x, умножить обе части на log(2)5, решение x=3^(log(2)5) >8. => разность логарифмов log(2)3-log(5)8>0.
Спасибо за видео!Всё очень понятно)
Валера -- молодец!!! Интересный подход! Причем универсальный!
Я перевёл все логарифмы к основанию 2 и сравнил (весьма успешно!) произведение двух логарифмов с тройкой... Но Ваш подход более технологичный. 👍 Восхищён!
Как раз подхожу логарифмы. Свойства ещё не изучали, но я уже их знаю и буду применять
Согласен, что продемонстрированное ПОЛЕЗНО и ИНТЕРЕСНО (для меня) !!! Толково !!! Спасибо !
Большое спасибо, сколько лет решаю логи, а такой способ не знала, да ещё и универсальный!
отличный метод. спасибо
Хорошая подача, доступна всем
спаасибо ! Благоадрю- увеличивать численное значение логарифма- четко работает
Интересное решение. Просто и понятно. Спасибо
Классный метод!
Спасибо, очень интересно.
Отличный метод. Спасибо за видеоурок.
большое спасибо вам!
Супер!
Если log2(3) является показателем степени, то при удвоении показателя получим: 2*log2(3)=log2(3**2)=log2(9).
Чтобы вернуться к тем же показателям, разделим выражение на 2. Получим :
log2(9)/2 = log4(9).
То есть log2(3)=log4(9) по определению логарифма.
Далее получим более лёгкое выражение для сравнения: log4(9) \/ log5(8). Заметим, что log5(8)=log5(4*2)=log5(4)+log5(2)=1/log4(5)+log4(2)/log4(5) и итого мы перевели выражение в такое же основание, как слева.
Пусть 1/log4(5) = t [Для простоты выражения] и у нас получится:
t+log4(2)*t
Так как log4(2)=0,5 [4 нужно возвести в корень(или 0.5 степень), чтобы получить 2], то: t-0,5t = 0,5t.
Обратная замена:
0,5t = 1/2*t = 1/2*1/log4(5)
Итого мы получили выражение
1/[2*log4(5)] равное log5(8).
Так как log4(8)>log4(5)>1/log4(5)>1/2*log4(5), то из этого следует что log2(3)>log5(8).
PS возможно, что я что-то упустил во время подсчёта, но вроде всё правильно вышло
Смотрю 2 раз и восхищаюсь методом !!!
Спасибо вам большое !!! Очень полезный метод !!!
Alternative method to prove log3/log2 > log8/log5:
multiply both sides by log5/log2 (which is a positive number so no need to flip the sign)
log3/log2 * log5/log2 > log8/log2
log2(3) * log2(5) > log2(8)
log2(8) = 3 because 2^3 = 8
log2(3) > log2(2rt2) = 1.5 because 3 > 2rt2 = 2^1.5
log2(5) > log2(4) = 2
log2(3) * log2(5) > 1.5 * log2(5) > 1.5 * 2.0 = 3 = log2(8)
😳 НЕ знал что логарифм 5 по основанию 2 можно посчитать??!
Скоро будет 300 000 подписчиков
Можно сначала 2 возвести в степень 1.5. Получится меньше трёх. Но совсем чуть-чуть. Тогда первый логарифм больше 1.5. Потом возвести 5 в степень 1.5. Получится больше 11. Тогда второй логарифм меньше 1.5.
Спасибо!
Теперь все время им буду пользоваться, хм... А если логарифм с логарифмом?
Muito bom. Com legenda fica melhor ainda. Não esqueça das legendas. Obrigadovsky.
Не знал, что тут, оказывается, ещё и субтитры есть. Да как много языков субтитров! Титанический труд!
Метод супер.
Наверное, это близко к решению, приведенному Валерием, но все же:
Log(2)3 v log(5)8
Перейдём к основанию 2
Log(2)3 v log(2)8/log(2)5=3/log(2)5
Т.к log(2)5>0, умножим обе части на него без изменения знака неравенства. Сразу также умножим обе части на 2.
2log(2)3 log(2)5 v 2•3=6;
Log(2)9 log(2)5 v 6
Слева log(2)9>log(2)8=3 и log(2)5>log(2)4=2
Т.е. Log(2)9log(2)5>6 =>
в между исходными логарифмами сохраняемся то же соотношение,
Log(2)3>log(5)8
Почему?
В каком вузе вы преподаёте, если не секрет?
это школьная задачка
@@kosiak10851 И?
С чего ты решил, что он преподаёт в ВУЗе?
Пушка!!! ❤️
Круто
Да, очень простой и убедительный способ..
log2(3)=1,58
log5(8)=1,29
log2(3)>log5(8)
А без калькулятора?
@@ВладимирЛавров-ф9ъ программирование
@@valerakonashevsky9632, я посмотрю как ты с листочком бумаги и ручкой это сделаешь. Программист.
Очень хотелось бы посмотреть сравнение этим универсальным методом log2(3) с log5(13). Придется сделать 17 итераций. Представляю себе оперирование числами порядка 13^17 -)
Зачем столько итераций ,если существуют логарифмы логарифмов? :)
@@MiceRus Мы же обсуждаем "Универсальный метод сравнения логарифмов", не путайте нас неуниверсальными логарифмами логарифмов -)
А у меня задача log11(12) V log12(13) и мне че делать? Оо
@@icelandochka5808 Исследуй функцию y = log по основанию x от x+1. И докажи, что при x>1, она убывает
@@Jamxain Красивое решение. До такого не додумалась.
1.5 is between them. 2sqrt28, so log2(3)> log5(8)
Красиво
Вот спасибо! Как зарядку сделал.
Идея в том, что при их одинаковом увеличении умножением разность тоже увеличивается и через какое-то время становится очевидной . Хороший способ для трудносравнимых чисел.
Графически гораздо быстрее и наглядней.
Через графики
log 2 3 is greater than log 5 8 6:30 (the same answer I did it differently)
why?'
starting with log 5 8
let's consider a log larger such as log 4 8 which can be written as log 2^2 2^3 = 3/2 or 1.5 (since 4=2^2
and 8= 2^3). This implies that log 5 8 is smaller than 1.5 (since if 4 is raised to a number 'n'=8, then when 5 is raised to a number 'x' = 8, x must be smaller than n since 5 is larger than 4)
Since log 5 8 is less than 1.5, if log 2 3 is equal to or greater than 1.5 (or 3/2) then log 2 3 is greater than log 5 8
we know log 2 2 =1 and log 2 4 =2 (since 2^1= 2 and 2^2=4) therefore log 2 3 is between 1 and 2
the square root of 2 is less than 1.5 since 1.5 x 1.5 =2.25 and 2 is less than 2.25. It's square or the square of the square root of 2 is obviously 2 and its cube is obviously less than 3 since if 2 x 1.5=3
then 2 x less than 1.5 ( in this case the square root of 2 or 1.4+) must be less than 3
So log 2 3 is greater than log 5 8
PS
note 1.5 =3/2 and thus when an exponent means to find the square root, then cube.
Note one needs not to know the square root of 2 (around 1.4 +) only that 15 x 15= 225 hence 1.5 x 1.5= 2.25 and hence square root 2 is less than 1.5, since If 1.5 x 1.5 =2.25, then the square root of 2 must be less than 1.5 (since 2 is less than 2.25) and the cube of 1.4+(or any number less than 1.5 must be less than 3 since 1.4 x 2 cannot be 3 or greater since 1.5 x 2 = 3, hence 2^1.5 or 2^3/2 is less than 3
or log 2 3 is greater than 1.5. Here the goal is to prove log 2 3 is greater than or equal to 1.5 since had shown above that log 5 8 is less than 1.5. It was tempting to say log 2 3 = 1.5 since log 2 2=1 and log 2 4= 2 (and 3 is in the middle of 2 and 4), but log 2 3 is greater than 1.5 since the cube of the square root of 2 is less than 3. The key in solving this is realizing that 1.5 x 1.5 =2.25 and hence the square root of 2 must be less than 1.5
Когда то же мне нравилось все это решать … сейчас смотрю на все это как баран на новые ворота
Сравните пожалуйста, log(2)3и log (3)4 посмотрим как будет работать ваш метод
Ээээ... Учебный год только начинается... Можно.,попроще?:)
Отличная идея!
Спасибо.. Квешен из оу. Красиво.
Ничего себе, как логарифм увеличился
Ох,я за лето уже настолько деградировала,что мозги набекрень.Но метод достаточно кропотливый,но действенный👍
Ну сильно очевидно. Нужно было log(2)3 c log(5)14 - 15 сравнивать.
log2(3)=1,59
log5(14)=1,64
log5(15)=1,68
1,59
Простой способ: 2/3=0,666(6) > 5/8=0,625
Pięknie!
0:43 Офигеть я только что это сделал. 1,5 левый больше, правый меньше
Очень полезные видео. Они помогают понять красоту математики на непростых примерах. Огромное вам спасибо за ваш полезный труд! Удачи и успехов в вашей непростой деятельности.
"птичка" =versus
Ползучий эмпиризм )))
Почему так сложно? Элементарно же - логарифм любой степени это отношение логарифмов иной степени ( например натуральный) от значения и степени. Пользуясь этим и расписывая эти логарифмы как дроби и пользуясь монотонностью - решается мгновенно. Так что не пудрите мозги супер способами )
Ну распишем, как дроби, получим сравнение дробей или произведений логарифмов. Там монотонностью не воспользуешься.
Ну так приведите пример. Или Вы только теорию знаете? Примените ее на практике к конкретной ЭТОЙ задаче. Было бы интересно посмотреть на запись решения :)
А я представил в виде "дроби" log2 3 как 2/3, а log5 8 как 5/8 привела к общему знаменателю 16/24 > 15/24. Глупо но работает в этом случае
Предполагал что-то новенькое. Однако....Что даст этот "универсальный метод", если нужно сравнить log2(3) и log3(6) ? Замучаешься пыль глотать, как говорят в народе.
Здесь даже рационализация мало применима для сравнения логарифмов с разными основаниями и аргументами. Возможно, наиболее универсальный метод - это разложение в ряды. Но тогда теряется смысл "ручной работы".
Чем меньше основание, тем больше логарифм. Вот и все.
Другие способы длинные.
в 10 классе нам учитель по математике ввел сокращения. И вот эта "птичка" есть ничто иное как "или".
неичего непонятно это совсем не помогает решать
log(2)20 сравнить log(4)80 - и ваш метод уже не работает)
*Четвёртый способ:*
По стандартной формуле замены основания логорифма привёл к основанию 128 и 125 соответственно:
7×log₁₂₈ 3 V 3×log₁₂₅ 8;
log₁₂₈ 3⁷ V log₁₂₅ 8³;
log₁₂₈ 32187 V log₁₂₅ 516;
Вы спросите: как же сравнить два логорифма с разными основаниями? Нетрудно доказать, что изменение основания логорифма ведёт к гораздо меньшему изменению результата логорифмирования. Сравните log₁₀ 1000=3, а log₁₀₀ 1000=2. Основание уменьшилось в 10 раз, а результат только в 1,5.
Поэтому с уверенностью можно утверждать что:
log₁₂₈ 2187 > log₁₂₅ 516;
Отсюда и:
log₂ 3 > log₅ 8.
Всё отлично, спасибо!!! Одно не понимаю, зачем каждый раз предлагать попробовать решать самостоятельно???????? Вам кажется, что Вас смотрят только ученики или дети, Вам не приходило в голову, что Вас смотрят ещё и взрослые люди, которые просто любят математику? Мне 50 лет, я уже на пенсии, я военный и как только Вы предлагаете решать самостоятельно, у меня складывается впечатление, что Вам кажется только Вы можете решать, а все остальные тупые идиоты!!!!!!!!!!!! Раз и навсегда забудьте это предложение (для начала попробуйте решить самостоятельно)!!!!!!!
согласен, кому интересно, тот сам догадается решить самостоятельно.
Что даст этот "универсальный метод", если нужно сравнить log2(3) и log3(6) ? Замучаешься пыль глотать, как говорят в народе
Спасибо, полезное видео.
Спасибо!