5 mathématiques alternatives | Infini 20
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- เผยแพร่เมื่อ 29 ก.ย. 2024
- Bourbaki voulait écrire la mathématique. Et s'il y en avait en fait plusieurs ? Cette vidéo étudie 5 mathématiques dites "non-standard".
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J'y donne la conf "Faire intervenir les chercheurs" et j'interviens à la table ronde "L'engouement autour des vidéos scientifiques". J'espère vous y voir ;)
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Tarski et hutch
Quand c'est le seul truc que tu retiens de la vidéo :(
Désolé mais je ne pouvais pas me l'enlever de la tète
Des nouveaux chevaliers au grand coeur
Mais qui n'ont jamais peeeeeeur de rien ;)
J'ai pensé à ça aussi :)
Moi aussi :)
Encore très intéressant, mais à force je dois quand même l'avouer : consistent se traduit par cohérent, en français ...
Bien le bonjour, pour revenir sur cette histoire modèle et le fait qu'on puisse créer un modèle (un cas concret en quelque sorte ?) d'une théorie axiomatique, j'aimerais savoir s'il existe de tels modèles pour l'arithmétique de Peano ou ZFC qui ont l'air d'être leurs "propres modèles" tellement ils sont déjà concrets :)
Peano et ZFC ne sont en fait vraiment pas concrets, dans le sens où ils admettent tout deux de nombres modèles distincts (non-isomorphes)... Pour Peano, on en avait parlé dans l'épisode 14 : th-cam.com/video/6WF6IMN8m3A/w-d-xo.html
Gregoire Chalony
roger poulain
Ar Gi ??
T'es trop fort Grégoire 😍😍😍😍
18:00 Je ne comprends pas l'utilité du deuxième axiome pour la théorie des groupes, à moins que «=» signifie une certaine relation mais pas forcément d'équivalence?
Ca n a pas de rapport avec l'episode, mais dans les épisodes précédents, tu as parlé de somme infinies auxquelles on peut associer des valeurs et tu as aussi beaucoup insister avec Peano pour dire qu'on ne pouvais pas exclure des "branches parallèles. Ce pourrait-il que les -1/12 et co associés aux sommes infinies, fassent partie d'une de ces branches // , atteignable en allant "au dela de l'infini".
Je pense que ca pourrait être une bonne manière de mieux accepter ces résultats.
Philosophiquement parlant, l'idée d'un au-delà de l'infini est très séduisante. Par ailleurs cette idée de branches parallèles ne l'est pas moins. Ca fait longtemps que je me demande ce qui se cache derrière l'interdiction de la division par 0, par exemple.
Disons que l'égalité 1+2+4+8+16+... = -1 se déduit d'une théorie axiomatique consistante (qui inclut notamment la linéarité, la régularité et la stabilité).
Quant au -1/12, on cherche encore la "bonne" théorie axiomatique de laquelle il émergerait naturellement.
Salut !
En parlant de mathématiques alternatives qu'est-ce que tu penses de la chaine th-cam.com/users/njwildbergerfeatured où il tente de produire des mathématiques sans nombre réels ?
Je trouve qu'il va un peu trop loin dans son refus des nombres réels. Ces nombres réels sont quand même vachement utiles...
J'essaierai d'aborder la manière constructive de parler de ces nombres réels.
La vraie raison (je pense) pour laquelle les mathématiciens pensent que l'arithmétique est cohérente malgré ce que tu expliques, c'est qu'un n qui prouverait 0=1 serait (sûrement) un 'entier infini', i.e. un entier qui ne s'écrit pas SSSS....S0 où les "...." sont explicitables dans un univers parfait, en fait ce n'est pas 'une vraie preuve': on ne pourra jamais l'écrire.
Oui ! Je suis tout à fait d'accord. J'ai écrit une longue réponse à Paul Fraux et j'y reviendrai dans le prochain épisode ;)
Science4All (français) Ah, vu !
On pourra alors avoir une discussion sur l'intuitionnisme ;)
Du point de vue épistémologique, une Théorie Formelle n'a pas besoin d'être "vraie", elle a seulement besoin d'être SUFFISAMMENT COHÉRENTE pour celui qui l'utilise.
*
VRAI (philosophie), qui est conforme à la réalité.
VRAI (logique), qui est déductible, et donc démontrable, d'une proposition considérée pour vraie, arbitrairement ou en se basant sur la réalité.
RÉALITÉ (absolue, universelle), par définition, ce qui est démontrable comme comme étant l'objet observé et ce sans déformation venant du système de perception, y compris le mode d'interprétation.
RÉALITÉ (relative, subjective), par définition, ce qui est perçu par l'être, la conscience et donc, pas nécessairement mais possiblement tout de même, l'objet lui-même.
DÉMONTRABLE, ce qui peut être déduit à l'aide d'une logique prédéfinie.
COHÉRENT, dont on ne peut déduire deux propositions contraires.
PROPOSITIONS CONTRAIRES,
- En logique binaire : toute paire de propositions P1 et P2 dont les tables de vérité montrent que P1 non-P2.
- En logique ternaire (avec une valeur "ni faux ni vraie" : où la propriété du "noyau" de logique binaire précédent est vérifiée.
- En logique floue bornée (valeurs continues de -1 à +1 où -1 correspond à "l'absolument faux" et +1 à l'absolument vrai"et "0" à la valeur absolument "ni vraie ni fausse" de la logique ternaire : valeur de vérité de P1 = - (valeur de vérité de P2)
INDÉCIDABLE, devrait seulement vouloir dire d'une théorie que l'on peut en déduire ni P, ni NON P.
INCONSISTANT, ne devrait seulement vouloir dire d'une théorie que l'on peut en déduire P et son contraire [c'est-à-dire, comme l'a très bien fait remarqué VRB Blazy, "INCONSISTANT" est un anglicisme et veux juste dire "INCOHÉRENT" en français ;-) )
*
... à vos critiques ! (constructives, je ne répondrai pas aux attaques personnelles ! ;-) )
mind ≔ blown (3fois)
Le théorème de Gödel (G) est chelou!!!
Si G est faux, alors il a une preuve, donc il est vrai! Mais je viens là de prouver G, donc de démontrer qu'il est faux! Et retour à la case départ...
Tu as donc montré que la théorie est inconsistante en supposant que G est faux. Si on avait une preuve de sa consistance, alors il y aurait contradiction (à la fois consistance et inconsistance alors que la théorie est consistante) donc G est vrai. A par ce petit passage qu'il a sauté, le reste de la démonstration a été mieux expliqué. Je l'adore !
Merci, je n'avais jamais entendu parlé des théories oméga-inconsistantes. Trop cool.
Très belle intervention sur les programmes scolaires en seconde partie. L'école fait son travail lorsqu'elle "apprend à apprendre", puis lorsqu'elle "apprend à découvrir", du moins en ce qui concerne les sciences au sens large (y compris l"Histoire, l'Économie...) Tout le reste, comme vous le dites n'est que de l'ingurgitation mécanique. L'école anglo-saxonne par exemple - aujourd'hui suivie par la nôtre - fut la première à prétendre que l'Histoire est "nothing but facts", c'est à dire interdit en classe toute théorisation, au sens d'analyses et de synthèses (par exemple en abandonnant jusqu'à la notion de chronologie). L'approche que vous prônez permet de rendre indispensable l'approche analytique/synthétique du savoir, parce-qu'elle dote justement à l'individu de la capacité à prendre de la distance : la manière d'opérer analyse et synthèse est toujours multiple, plurielle, et donc chaque théorie est toujours limitée. Mais ceci permet à chaque esprit d'organiser sa façon de savoir et de faire ainsi vivre sa mémoire. Au final la construction de l'esprit scientifique repose sur le doute, c'est à dire en la certitude que tout savoir est révocable - au contraire d'une croyance. L'apprentissage déstructuré que vous décriez ne construit pas l'esprit, qui empile les faits dits scientifiques comme autant de croyances, ce qui le conduit ensuite à la défiance envers toute information nouvelle : c'est l'attitude du scepticisme, c'est à dire du rejet non révocable de tout fait nouveau. J'aime beaucoup ce que vous faites.
Yeeeeeeeeeessssssss ! Les vidéos que j'attend le plus dans mes abonnements !
Plus je regarde tes vidéos et plus je me sens inconsistant en maths ^^
Ah ! Tu vas nous parler de la logique intuitionniste ? Super, j'ai hâte ! :)
très intéressant la 'theorie' de l'w inconsistance et l'ambiguïté du ''il existe'' et pas si wtf que ça, c'est même intéressant en restant or du formalisme, avec une approche intuitive du problème.. et vraiment d'accord avec ton analyse sur l'école, pourvu que cette opinion grandisse..
Quand Lê dit "tous les théorèmes sont vrais ou faux" il veut plutôt dire: "toutes les propositions sont décidables", c'est-à-dire démontrables ou de négation démontrable.
VRB Blazy tout à fait . c est à dire qu 'il existe une procédure de decidion (un algo quoi) qui permette de déterminer à coup sûr si une assertion de la theorie est un théorème ou pas
Nathanaël Giard
Pas tout à fait, ça c'est une théorie décidable. Une proposition décidable est comme je l'ai dit simplement démontrable ou de négation démontrable.
Il me semble qu'en maths, on ne devrait pas parler de "Vrai" ou de "Faux" sauf au sens définit par la logique utilisée, car "Vrai" veut dire "conformité au faits", sémantiquement parlant, or ce que veut dire "Vrai" en logique, et son contraire, c'est seulement que c'est "LOGIQUEMENT COHÉRENT" à partir de prémisses (Axiomes, théorèmes déjà démontrés) POSÉES ARBITRAIREMENT (ou non) COMME VRAIES mais c'est n'est qu'une CONSIDÉRATION DE DÉPART.
Un théorème est "vrai" seulement parce qu'il est déductible d'une Théorie Formelle et IL N'EST "VRAI" QUE// dans le cadre de cette Théorie.
Du point de vue sémantique, "INDÉCIDABILITÉ devrait seulement vouloir dire que l'on ne peut déduire NI P, NI NON-P, et "INCONSISTANCE" ne devrait vouloir dire que le peut déduire de la Théorie P et NON-P.
En fait, en maths, la logique mathématique définit la notion de Valeur de Vérité dans une Structure pour une logique donnée. Une Structure dans laquelle tous les Axiomes d'une Théorie Axiomatique T sont vrais est appelée un Modèle de T.
Ainsi tu as raison en disant que les Axiomes et autres Théorèmes de T sont vrais... Et il faut pour être exact préciser ici: *dans tout Modèle de T*; et ce sont mêmes les seuls énoncés dans ce cas dès que l'on peut faire dans T au moins l'Arithmétique de Peano PA (c'est le Théorème de Complétude de Gödel). En revanche dans un Modèle fixé de T, par exemple |N pour PA (c'est ce que l'on en appelle son modèle standard), des énoncés peuvent pertinemment être vrais sans pour autant être démontables (c'est la notion à laquelle tu assimiles la Vérité) dans T (ou à l'inverse faux sans pour autant que leur négation soir démontrable); on les dira alors Indécidables dans T.
Ainsi, la Démontrabilité (plus pertinemment la Décidabilité) et en effet dépendante de la Théorie Axiomatique T, et la Vérité (plus pertinemment la Valeur de Vérité) de la Structure (donc du Modèle de T).
Enfin Indécidabilité et Inconsistance (qui est un anglicisme, on dit plutôt Incohérence) ont exactement les définitions que tu en donnes (je ne saisis pas pourquoi tu emploies le conditionnel?). :)
Merci Beaucoup, VRB Blazy, pour avoir pris le temps de rédiger ce commentaire.
Le conditionnel ? probablement parce que ça ne me semble pas autant reconnu ou compris que ça ;-)
Je suis en passant sur une page web sur la Théorie des Modèles qui a été recommandée je crois dans les commentaires de cette vidéo de Lê : math.univ-angers.fr/~darniere/ThMod.html Seulement l'auteur n'est plus joignable au mail qu'il indique.
Me ferais-tu l'immense faveur de m'offrir ton temps pour objecter à mes propres objections et questions concernant ce texte ? Je pense qu'ici ce serait peut-être irrespectueux pour Lê de le faire d'un bout à l'autre mais par mail... ;-)
À 6:31 cette référence subtile au groupe monstre !
5:36 ne voulais-tu pas plutôt écrire ∀A∀B∀C AB≡CC⇒A=B ???
Bonjour,
Merci pour ces vidéos passionnantes que je découvre avec quelques années de retard !
Je ne comprends pas l'argument donné au timing 10:35.
De ma compréhension, l'expression donnée :
¬(∀n ¬(n prouve 1=0)) se traduit plutôt par : "il est faux que TOUTES les preuves possibles dans la théorie soient des preuves de consistance"
Mais ce n'est pas ce qui était impliqué par la contraposée, et c'est très différent de l'absence d'UNE preuve de consistance !
L'expression de "il n'existe pas de preuve de consistance" ne s'écrirait-elle pas plutôt :
¬(∃n (n prouve (∀m ¬(m prouve 1=0))))
Or, cette dernière expression n'implique pas non plus l'existence d'une preuve d'inconsistance ...?
Ben on est pas sortis de l'auberge, donc. Problème : on est humains, fuck :P
Je ne comprends pas en quoi l'existence de théorie oméga-inconsistante est un paradoxe. L'incohérence d'une théorie, c'est le fait de pouvoir y démontrer tout et son contraire. Si la théorie que je considère est consistante, et qu'elle peut démontrer son inconsistance mais pas sa consistance, alors la théorie reste consistante par définition (?)
En fait, je déteste entendre le mot "vrai", utilisé à plusieurs reprise alors qu'il n'a été défini nulle part ; qu'est-ce qu'un énoncé vrai, si ce n'est un énoncé démontrable dans la théorie considérée ? Comment donner un sens "général" (et surtout indépendant de la théorie sous jacente) à la sémantique d'une proposition si elle est elle même construite au sein de la théorie
en quoi le fait qu' "il existe" puisse désigner quelque chose d’inconstructible ou même qu'on ne puisses pas en parler autrement te perturbe? Çà me fait penser au théorème de Löwenheim-Skolem qui n'est pas un paradoxe car on ne peut pas voir ce qui l'implique depuis l'intérieur.
De toute façon il est interdit de s'en prendre au principe du tiers exclus.
Et la théorie des catégories alors ?C'est quand même (via ETCS) une des plus sérieuses alternatives aux théories classiques des ensembles comme fondement des mathématiques.Peut-être te rattrapperas-tu dans ta prochaine vidéo sur les isomorphismes ? ;)
Malheureusement, j'ai choisi de ne pas m'attarder sur la théorie des catégories. À mon sens, il s'agit d'une merveilleuse façon de penser et de parler des mathématiques, mais pas forcément de la meilleur façon de fonder les mathématiques... (même si je conçois que ce ne soit que le fruit de mon ignorance).
196 883 ?
Le Monstre est passé par là !
Appelez Conway !
# 196884 = 196 883 + 1
Brillant cette réflexion sur le symbole "Il existe" !
dat spoiler de ouf xDDDD! je me suis tjr demandé pk d'une théorie a l'autre on gardais la même logique, vivement la prochaine vidéo!!
bonjours,
je sais que ça n'a pas grand rapport avec la vidéo , mais c'est une question que je me pose. on parle souvent de "l'aléatoire " en mécanique quantique mais imaginer plutôt une "superposition " d'état et que cela ne soit qu'une histoire de referenciellle . nous , sur terre , en restant dans notre lit on n'est pas en mouvement . pourtant la terre tourne le système solaire et même la galaxie sont en mouvement . alors pourquoi cela ne serait pas de même pour les particules ? cette "aléatoire " ne peux pas venir du fait que nos mesures choisissent elles même qu'elle referenciellle utilisé ? (c'est assez dur à expliquer à l'écrit , désolé des fautes )
L'aléatoire en mecanique quantique est le suivant: tout objet physique peut prendre un certain nombre d'etats distincts, mais peut aussi etre dans un etat qui est une superposition de ces etats.
Par exemple, brian peut etre dans sa chambre, ou dans sa cuisine, ou dans un etat où si tu lui demandes où il se trouve, il va se retrouver dans l'une ou dans l'autre avec une certaine proba (50-50 ou 70-30, ou autre)
Pour le reste, je ne vois pas le rapport avec une histoire de referentiel
On a perdu Lê ! il est passé du côté Brouwerien de la force x)
Pour moi tout probleme auquel il existe un indecidable est periodique de longueur n.
196883 ? Monstrous moonshine, une nouvelle video ?
Moi aussi j'ai tilté la dessus.
Je connait l’existence du groupe monstre mais ma prof de prépa n'a pas voulu nous dire ce que c'est et a quoi il sert, nous rétorquant que l'on ne comprendrait pas :'(
Ouais j'aimerais bien comprendre la conjecture avec le 196883+1 je demanderais à mon prof de prépa demain
C'est un truc qui me dépasse complètement pour l'instant... Donc ce ne sera pour bientôt ^^
Science4All j’attends toujours
Bonjour,
J'ai suivi un cours de logique récement, et mon professeur m'a presenté une autre explication, totalement satisfaisante à mon sens pour le paradoxe des théories w-inconsistante : Lors du codage, on a une formule (n prouve théorème), mais celle-ci n'a de sens que si n peut s'ecrire SS....S0 (Avec S present n fois au sens des entiers naturels tels qu'on les connait : on parle alors d'entiers standart), et sinon ne represente rien.
Vous me voyez venir avec mon "et sinon" ?
Le problème est que l'arithmétique de Péano (celle dans laquelle on a formalisé tout cela, et en particulier l'existance de preuve) n'est pas capable de montrer que l'univers est celui des entiers classiques : il existe des modèles non-standarts (Imaginez N avec plein de copies de Z en dessous, les copies de Z contenant les éléments non standarts).
Quel est le rapport ? Et bien la formule "il existe n tel que n prouve 0=1" n'exclu pas que n soit un entier non standart !!! Et alors on n'a rien prouvé du tout, puisque notre codage de "démontre 0=1" n'est pas construit pour des entiers non standarts. (on obtient un théorème qui n'explique rien : résolution du paradoxe)
D'ailleurs, on utilise de tels entiers non standart pour montrer que l'arithmétique de Péano ne démontre pas le principe de Paris Hamilton...
As-tu déja entendu parlé de cette interpretation ? Si oui tu en pense quoi ?
Personnellement je trouve ça plus satisfaisant que de remettre en question toute la logique formelle, mais peut être il y a il d'autres refutations à celle çi (comme la construction qui boucle en supposant ZFC pour construire ZFC par la théorie des modèles) et que j'écouterai avec plaisir dans ton prochain épisode
Je suis tout à fait d'accord avec cette interprétation, qui est bien meilleure que celle que j'ai présentée dans la vidéo !
Cependant, je voulais surtout insister sur la bizarrerie de la notion "d'existence", pour gentiment paver la route vers la logique intuitionniste. Ainsi, l'intuitionniste en moi a envie de dire que l'échec de la logique classique consiste justement à ne pas "bien" caractériser N.
Par opposition, si on voit les axiomes comme des règles de construction, et si l'on se moque des modèles et des objets non-constructibles, alors les entiers non-standards ne sont plus un problèmes puisqu'on ne peut pas les construire. N est alors l'ensemble des entiers que l'on peut construire.
Ceci étant dit, cette position intuitionniste pose d'autres problèmes métaphysiques... On y viendra ;)
Paul Fraux Une idée probablement stupide vient de me traverser l'esprit, ce que je comprend c'est que tu dis "∃ (∃ (des éléments non standard qui font que le théorème n'explique rien))".
Donc ça veut dire que la proposition/théorème "∃ (des éléments non standard qui font que le théorème n'explique rien)", on ne peut pas forcément la/le construire.
Donc ça ne fonctionnerais pas.
Je suis conscient que ça ne veut pas dire grand chose.
Ce que je dis est plus complexe : la consistance du théorème '∃x prouve(x,0=1)' avec les axiomes de Péano veut dire qu'il existe un modèle, un univers possible suivant les lois des axiomes vérifiant l'affirmation 'il y a un élément du modèle X tel que dans l'univers, la démonstration codée par X aboutit à la conclusion 0=1'
Le problème est que le codage des démonstration est tel qu'on s'est arrangé pour qu'une démonstration soit valide (respecte les lois de la logique du premier ordre, et donc prouve réellement quelque chose) seulement pour un codage standart, avec des nombres de la forme SSS...SSS0.
Donc ce que montre le théorème de métathéorie 'Péano consistant avec '∃x prouve(x,0=1)' 'est juste qu'il existe un modèle de l'arithmétique de Péano non standart, avec des entiers bizarre qui ont des propriété étranges...
Bien sur, le problème de tels entiers comme tu le dis est qu'on ne peut pas les exprimer en fonction des constantes (ici 0) est des fonctions du langage (ici le successeur S et +). Mais ce n'est pas parce qu'un élément n'est pas calculable qu'il n'existe pas en théorie des modèle, c'est juste qu'il ne sera pas présent dans tout les modèles de notre théorie, dans tous les univers respectant les lois de la théorie.
Je ne sais pas si j'ai été plus clair, n'hesite pas si ce n'est pas le cas à demander des precisions, s'il le faut point par point :)
Merci beacoup pour cette explication (la deuxième explication était également très claire). Je trouve fascinant les pièges dans lesquels on tombe dés qu'on commence à mélanger théorie et métathéorie (même si honnêtement tout ça me dépasse un peu, je suis physicien quoi :P)
Mais (dites moi si je me trompe) j'ai l'impression que votre résolution du paradoxe est en fait équivalente à celle de Lê. Lorsque vous dites qu'il existe des entiers bizarres dans l'arithmétiques de Péano, consistants avec les axiomes mais inaccessibles par l'utilisation des axiomes (de nouveau c'est ce que j'ai cru comprendre: différents modèles équivalents de la théorie de Péano existent, mais les théorèmes seront les mêmes partout) ça revient à dire que l'expression "∃x" ne veut pas forcément dire qu'il existe une preuve de l'existence de x, en tout cas pour le profane que je suis.
Qui a eu la référence sur la dimension 193883?
Super épisode, vraiment très intéressant ! Ça donne envie d'étudier tout ça en profondeur !
quelles sont les défauts des théories de Tarski ? tu dis qu'elles décidables contrairement à ZFC tout en gardant la multiplication et l'addition (si j'ai bien compris) or si elles sont non-standard, elles doivent avoir des défauts. Pourrais-tu expliciter cela un peu plus ?
Pierro Magnus Elle est non standard dans le sens où elle n'est pas la Théorie axiomatique la plus utilisée, qui est ZF±C de très loin. En outre elle ne permet pas de faire toutes la variété des mathématiques que l'on fait dans cette dernière.
On ne peut pas faire d'analyse en théorie de Tarski, car on ne peut pas définir des fonctions non-polynomiales. Pour étudier les équations différentielles, c'est un peu problématique...
j adore la référence pour 39 pas premier ^^
merci pour cette vidéo encore une fois superbe !
Héhé !
Concernant les programmes scolaires : est ce qu'il existe des classes d'école expérimentales ou l'on teste des programmes en mathématiques élaborés par des gens qui reprochent ce que tu reproches au programme actuel ? Ce serait super interressant de comparer pour voir quel modèle développe un plus grand intérêt pour les maths et / ou un meilleur niveau !
Oui il y a pas mal de vidéos TedX sur ce genre d'initiative. Notamment le système de classe inversé, où les élèves apprennent chez eux et se posent des questions en cours... Il me semble que c'est globalement un succès relatif.
Cependant, il faut faire attention, puisque les profs qui donnent ce genre de cours sont souvent des profs plus motivés, plus intéressés... bref. Ce sont souvent les meilleurs profs qui tentent ce genre de choses. Ils auraient sans doute été pas trop mauvais pour enseigner de manière "classique"...
Quelques liens en vrac :
th-cam.com/video/NWUFjb8w9Ps/w-d-xo.html
th-cam.com/video/66y4W5HervQ/w-d-xo.html
th-cam.com/video/ytVneQUA5-c/w-d-xo.html
Je pense que la difficulté, c'est de réussir à améliorer l'enseignement, tout en prenant en compte les contraintes budgétaires, administratives et structurelles, et l'inertie de l'Éducation Nationale. Pas facile...
Lê c'est pour quand le défi Lê 3
A 10:24 , je comprend pas. Ce que tu écris à gauche de l'implication, ce serait pas plutôt l'écriture logique de la consistance et non pas de l'existence d'une preuve de la consistance?
Oui, tu as raison ! Pour être rigoureux, il faudrait distinguer la consistance telle qu'exprimée à l'intérieur de la théorie axiomatique, et la consistance "dans l'absolu" vue de puis l'extérieur de la théorie axiomatique. C'est super subtile, et j'ai choisi une présentation erronée mais qui passe peut-être mieux...
Perso je trouve ça un peu subtil mais pas tant que ça. Je n'ai pas pu mettre le doigt sur cet abus à la première écoute, mais sa conséquence m'a choqué, et après examen attentif je pouvais pas ne pas le voir (classiquement, j'étais forcé de le voir ;-) ).
Plus explicitement, si on avait
"pourtout n, non (n prouve 1=0) => Inconsistance",
on pourrait classiquement en déduire
"Consistance => existe n, n prouve 1=0",
comme tu le fais, et c'est ça qui m'a choqué.
Mais le second théorème de Gödel nous permet seulement d'écrire
"existe m, m prouve (pourtout n, non (n prouve 1=0)) => Inconsistance",
ce dont, même classiquement, on ne peut déduire rien d'autre que les implications
"Consistance => non (existe m, m prouve (pourtout n, non (n prouve 1=0)))"
"Consistance => pourtout m, non (m prouve (pourtout n, non (n prouve 1=0)))".
Ainsi, la consistance d'une telle théorie n'implique pas l'existence d'une preuve de 1=0, comme tu l'écris, mais seulement la possibilité de l'existence d'une telle preuve, comme tu le dis juste après avoir effacé le tableau (10:47). C'est bien pour ça que l'arithmétique omega-inconsistante est consistante mais alternative et pas standard !
Après mûre réflexion, ça reste une bon argument en faveur de la logique intuitionniste, mais ça reste moins choquant que l'affirmation initiale, et je me sens floué par ta démonstration erronée, ce qui m'a d'abord donné le sentiment que tu "forçais" la logique intuitionniste. Ça peut donc être contre-productif !
Pour la fin je ne suis pas d'accord avec vous sur les programmes scolaires.
Vous confondez hélas comme beaucoup de personnes brillantes, un chercheur en maths, un universitaire, et un enfant qui fait ses gammes.
Avez vous jeté un oeil dans les anciens manuels de maths des années 60, notamment les Lebossé-Hémery ? Le niveau était stratosphérique comparé à aujourd'hui, mais il y avait aussi énormément de contenu et de technique.
Le problème n'est pas le volume des programmes actuels (cours essentiellement vides) mais leur manque total de cohérence. Répétition de recettes sans compréhension, exercices délirants ...
Ouah ! Comme je suis Heureux de ton point de vue sur l'Enseignement Des Mathématiques ! :) Je crois que cela ferait TRÈS Plaisir à mon mentor en Pédagogie Des Mathématiques : Stella Baruk, car ça a été Exactement son Cheval De Bataille : lutter contre la production "d'automatHs ..." (élèves et étudiants capables de reproduire les algorithmes de calculs sans même savoir vraiment ce qu'ils font et donc se planteront dès que les problèmes rencontrés s'éloignent un peu trop du cas d'école ^_^
Je voudrais te signaler une période de la fin des années 70 et début des années 80 où les notions de Théorie Des Ensembles et de Logique Classique, étaient abordées dès la troisième avec Énormément De Sens Et De Profondeur et cela nous a donné une Médaille Field en France (Alain Connes).
Cela dit, la Grosse Erreur qui avait été faite c'est de demander à des prof qui n'étaient pas formés à raisonner ainsi et à en Comprendre eux-mêmes Le Sens et L'Intérêt de la démarche ; si bien que bien sûr il n'ont pas pu transmettre, sauf exception, ces "Dimensions" aux élèves. Or pour ceux par contre qui avaient accès un tant soit peu au soutien d'une personne En Phase avec ce type de programme, ouah ! là ça pouvait "Décoiffer" ! :P
Enfin, je voudrais à nouveau te Remercier pour ces vidéos que tu Crées et Partages si GÉNÉREUSEMENT et que je trouve SI BIEN Faites et Structurées dans leur Agencements et Progressions, ... et en particulier pour celle-ci où j'ai appris cette fois-ci vraiment beaucoup de Nouvelles Informations.
Merci Encore pour ton Humilité et ta Légèreté, cette dernière ne pouvant QUE Faciliter L'Acquisition Des Connaissances.
Du Fond Du Coeur,
Didier.
Si le problème réside dans le symbole "il existe" en ce qui concerne l'axiome d'inconsistance, en ce sens que nous ne pouvons pas accéder à tout ce qui existe, n'est-ce pas là une nouvelle appréciation du théorème d'incomplétude de Gödel ?
Par rapport à l'évaluation du niveau en mathématiques, je pense qu'il faudrait créer des épreuves comme Cambridge, mais pour les mathématiques. Même si la notation reste difficile il y aura bien moins d'élèves à évaluer et seuls ceux qui voudront prouver leur niveau pour leur dossier ou CV pourront passer des épreuves.
New Foundations ?
C'est une théorie des types minimaliste particulièrement charmante. On peut rebâtir toutes les maths dedans, et il y a des variantes (NFU) qui sont décidables :)
Salut! Super vidéo encore une fois!
Il y a un truc qui m'a étonné c'est quand tu passes de "il existe une preuve de consistance" à "la théorie est consistante" (à 10min) sur ce point l'implication est vérifiée, mais quand tu passes à la contraposée et que tu dis "Consistance" --> "Inconsistance" ne devrait-on pas avoir plutôt "Consistance" --> "Il n'existe pas de preuve de consistance" ce qui n'implique pas pour autant que la théorie est inconsistante. En effet avec la machine de Goodstein qu'il existe des théorèmes vrais mais que l'on ne peut pas prouver (dans l'arithmétique de Peano ici). Donc en soit il n'y aurait pas de paradoxe. :-/
Sinon je me demandais s'il était possible de prouver la consistance d'une théorie à partir d'une autre théorie indépendante de cette première (consistante si possible ^^) ...
Bref continue comme ça j'adore ce que tu fais. ;)
il est possible que je n'ai pas compris le raisonnement car parfois ça va un petit peu vite pour mon niveau, pour pourquoi le paradoxe dinconsistence n'est pas simplement la preuve d'une non viabilité, du moins d'un point de vu formel de cet arithmetique ?
encore une fois je m'excuse si je suis passé à côté de l'explication si elle a été fourni dans la vidéo.
merci d'avance
Logique intuitionniste ?
Oui, le choix des mots n'est pas toujours le point fort des mathématiciens...
Étudiant en thèse (info), je base une grosse partie de mon implémentation sur l'arithmétique de presburger :) une bibliothèque géniale existe pour manipuler ces objets : integer set library (développé par Inria #france)
Le problème avec le symbole "il existe" ne viendrait pas de l'axiome du choix ? C'est ce qu'on essaie de résoudre avec les mathématiques constructives n'est-ce pas ?
Mais l'anneau nul n'est il pas une preuve locale du 0=1 ?? ou alors j'ai loupé un truc
L'anneau nul est le seul cas où 0=1, il n'en est pas une preuve pour autant.
Salut,
Est-ce qu'il existe une arithmétique qui consistante et complète (ou les un des 2) qui permettrais de prouver qu'un nombre et premier ?
Sinon peut-on prouver qu'un nombre est premier sans la division ?
Merci
Pour le truc omega-incohérent, le truc, c'est que "il existe" une preuve de l'incohérence de la théorie, mais que cette preuve n'est pas constructible ? Ou alors on ne sait pas la construire?
Si la théorie est cohérente, la preuve n'est pas constructible. Mais on sait qu'on ne saura jamais si la théorie est vraiment cohérente...
Tu devrais distinguer "théorème" et "énoncé". Un théorème est un énoncé qui a une démonstration.
Cela dit, j'aime beaucoup tes vidéos :)
Un épisode un jour sur le pourquoi certaines conjectures qui paraissent si simples en apparence sont si dur à prouver (Riemann) ? Qu'est ce qui rend certaines conjecture si difficile à prouver pour des générations de mathématiciens de génie ?
vous avez peur de dire qu'il s'est trompé dans la définition de la consistance de son arithmétique??
njn
Super intéressant !
Presburger: si on peut faire des exponentielles et des logarithmes, on PEUT multiplier
Sinon, pour la baisse du niveau, je crois que vous n'imaginez pas où on est descendu.
paradoxe ? si il y a. ajustements, inscrit sur la ligne des événements. à mon avis.
Joli travail
Continue 💪
Peut-on considérer la géométrie tropicale comme une mathématique alternative ?
Oui et non. Oui, parce qu'il s'agit d'objets mathématiques relativement peu étudiés, comparés à la géométrie classique ou à l'arithmétique.
Mais non, parce que la géométrie tropicale (en tout cas ce que j'en ai lu) se place traditionnellement à l'intérieur de ZFC.
Trop cool. C'était quand-même plus fun que l'IA.
6:31 monstrueux
Merci pour ton travail. c'est bien réalisé. très bon esprit de synthèse
Oulà. Donc étant donné une propriété G(x). Si je peux prouver dans l'arithmétique de Peano "Pour tout x, il existe y>x tel que G(y)", ça ne veut pas spécialement dire qu'il y a moyen de trouver un seul naturel qui a cette propriété G(y) ? Et donc que l'expression "il existe" n'a en fait pas du tout la signification qu'on voudrait lui donner ? J'ai bon là ? (En effet ça donne le tournis).
Comme j'en parle dans un commentaire plus haut, l'interpretation plus commune est que tu peut trouver un élément y dans ton modèle qui verifie G(y). Le problème est que si ton modèle n'est pas standart, cet élément n'est pas nécessairement si naturel que ça... On parle d'entiers non standart pour décrire ces bizarreries.
Mais si tu peux le prouver dans l'arithmétique de Péano, comme N l'ensemble des entiers "naturels" tels qu'on le comprend et imagine (ensemble des itérés de 0) est un modèle de Péano, alors si, tu trouvera un entier naturel dans N verifians la propriété G(y). (Sous quelques réserves de logique du style G doit être du premier ordre, c'est à dire sans quantificateur sur des propriété)
Est ce que je suis assez clair ? :)
Merci c'est clair :-) (le format TH-cam n'encourage malheureusement pas à lire tous les commentaires quand on regarde une vidéo, ce que je ferai dorénavant avant de poster sur cette chaîne, vu la qualité de ces commentaires et la complémentarité qu'ils offrent par rapport à la vidéo).
Salut Lê / +Science4All , je me demandais pourquoi tu dis que ton raisonnement signifie que "l'on peut rajouter" la proposition P="∃n..." à la théorie; en effet P est une assertion d'existence de ce n dans la théorie même, donc la démonstration codée par ce n existe déjà dans la théorie, ce qui veut dire que ladite théorie consistante démontre son inconsistance, sans utilité du rajout d'un axiome supplémentaire!? À mon avis c'est parce que P n'est pas la proposition: "T ne démontre pas T consistante" mais seulement "T est inconsistante"!
Merci d'avance.
C'est un point subtile et je ne suis pas sûr de complètement le saisir. Mais voilà ce que j'en comprends.
Le truc, c'est que la "consistance intrinsèque" de la théorie n'est pas à l'intérieur de la théorie. Donc on ne peut rien prouver dans la théorie sans faire appel à cette "consistance intrinsèque". Du coup, l'implication que j'ai écrite en bas à 10:43 n'est pas valable à l'ntérieur de la théorie. Cependant, elle l'est en dehors de la théorie. Elle affirme donc que l'axiome d'omega-inconsistance est consistante avec la consistance. En particulier, on ne crée pas de paradoxe en rajoutant cet axiome dans la théorie.
Science4All (français)
D'accord... Ok tout d'abord ce que tu appelles "consistance intrinsèque", c'est la consistance de la théorie T dans T? Je veux dire, l'existence d'un modèle de T dans T même? Ensuite je ne vois pas ce que tu veux dire par: "n'est pas dans la théorie". Elle se code dans le langage de T, c'est d'ailleurs pour cela que l'on peut parler de son indécidabilité par rapport à T, et par suite l'implication à 10:43 est codable dans la théorie... Ainsi pourquoi n'y serait-elle pas valable?
Enfin pour moi elle affirme que la consistance de T implique ce que j'ai noté P et qui est ce que tu appelles l'axiome d'ω-inconsistance (si je ne m'abuse), ce qui est plus fort que la simple consistance de l'un avec l'autre; le rajouter me paraît encore redondant!... En fait je ne vois pas comment on pourrait enrichir T de ¬P sans contradiction si T est consistante.
Au sujet des problèmes de l'enseignement des sciences, voici un lien plutôt intéressant que m'a partagé un ancien prof de prépa : prepas.org/ups.php?article=592 (n'hésitez pas à allez regarder dans la section 'Dans la même rubrique')
Le tl;dr fait peur ! Je cite : « [Les] conclusions [des doyens scientifiques et profs de prépa] sont alarmantes. Ils estiment après enquêtes et consultations nationales et internationales que les formations qui se sont mises en place depuis quelques années dans les collèges et lycées représentent un danger pour la formation des futurs scientifiques de France. »
Oui c'est vrai que c'est un peu alarmiste Mais comme aurait dit mon prof, un littéraire mal formé, tant pis pour lui ; mais un scientifique mal formé c'est un pont qui s'écroule haha.
J'aime beaucoup la réflexion qui est menée sur la signification de "il existe" mais du coup ça me pose un problème de rigueur.
Autant je trouve le symbole "pour tout" assez clair dans sa définition : si pour tout x A(x) alors le prédicat A est en fait vrai pour tout les objets de la théorie et on peut considérer que c'est maintenant une propriété inhérente à ces objets au même titre que les axiomes.
Autant je trouve que l'existence ce n'est pas clair. On peut rétorquer que par dèf il existe x tel que A(x) signifie que pour tout x non A(x) est fausse. Il est facile de vérifier que si on se donne un x' tel que A(x') et si la théorie est cohérente alors on prouve que "pour tout x non A(x)" est fausse mais la réciproque ne me semble plus évidente : si j'ai prouvé que il existe x tel que A(x) rien ne m'autorise a priori à considérer un x' pour lequel c'est le cas !
Avec le quantificateur universel, on ne se pose pas la question de considérer un objet de la théorie particulier car la propriété évoquée a une valeur quasi axiomatique, dire que tous les objets vérifient celle-ci n'impose pas à ces objets d'exister. En revanche quand on dit "il existe" on considère qu'on peut considérer un objet particulier avec cette propriété or la définition logique du quantificateur existentiel ne l'indique pas, il indique seulement que si on en a un on a véracité de la proposition.
- Utiliser une proposition avec le quantificateur universel est clair car celle-ci affirme simplement que tous les objets ont une propriété, on est proche d'une axiomatique de ces objets. L'intérêt du quantificateur est d'avoir des variables libres pour énoncer des faits sur les objets dont on parle et utiliser des logiques de prédicat et donc faire des preuves.
- Prouver une proposition avec le quantificateur existentiel est clair (sans être forcément simple) car on a vu qu'il suffit d'exhiber un objet qui vérifie la propriété. Cependant l'utilisation qui est faite de ces propositions semble abusive, la définition logique de ce quantificateur n'indique pas qu'on puisse considérer un objet aillant la propriété en question (notamment pour prouver ... des propositions avec quantificateur existentiel).
En gros il ne faut pas dire "il existe un objet tel que", il faut dire que "il est faux que tous les objets ne vérifient pas que ...". Mais alors vient la partie ou je ne m'en sors plus (car au fond jusque là tout va bien, on peut ré-appliquer les méthodes du quantificateur universel en parlant de ce qui est faux) c'est quand on écrit "il existe un objet de la théorie" (sans proposition accompagnant, on postule juste qu'il y a existence d'un objet de la théorie). En fait on ne peut pas considérer un objet de la théorie car il n'y a aucun moyen d'axiomatiser l'existence d'un objet car l'existence est une notion qui ne peut pas être définie.
C'est comme si on avait besoin de définir une genre de théorie secondaire de tout ce qui est faux pour pouvoir réutiliser les propositions avec des quantificateurs universels. On a presque la une obligation de la logique que pour démontrer l'existence d'un objet, on prouve la négation que tout objet vérifie le contraire et utilisant les négations de propositions existentielles qui seront donc universelles et on pourra commencer à raisonner avec des propriétés pour finalement arriver au résultat sans exhiber l'objet.
Tu connais la logique intuitionniste ? Si la réponse est non, tu es en train de la réinventer. Et ça, c'est la classe ! ;)
Ok ok ! et bien j ai hâte que tu nous sortes une vidéo la dessus alors ;)
Tu as fait quoi comme études? Comment tu connais tout ça?
11:40 Quand la logique cesse d'être "logique" ^^
Third !! Oui fllait que je le dire au moins une fois
Trop bien je crois avoir compris mais je suis pas sûr XD
Je me demande sur quoi est construite la logique standard. Pour moi c'est une axiomatique, et comme telle elle est conventionelle... Mais bon, c'est peut-être une question idiote.
C'est loin d'être idiot... Certains diraient même que la logique standard est un fardeau de l'Histoire et qu'il faut lui préférer une autre logique (intuitionniste).
Oui, mais bon. Prenons simplement l'axiomatique de Peano. Pour moi les axiomes de la logique qui a servi à triturer les axiomes de peano sont à inclure avec ces axiomes, pour en faire un tout indissociable (et même ce que je viens de dire est à inclure... ça boucle !) Que peut-il en résulter pour les théorèmes de Gödel par exemple ? Ou même 1+1=2 ?
Tu as dit "6 théories" en début de video ;P
Je suis mathématicien, pas comptable ^^
Excellente réponse xD
Bonjour, super épisode. Il y a néanmoins une chose qui m'échappe, à la toute fin de la vidéo tu parles du fait, si j'ai bien compris, que l'on démontre l'indécidabilité de la commutativité dans l'axiomatique de la théorie des groupes en mettant en évidence un modèle pour lequel c'est vrai et un pour lequel c'est faux.
Ce que je ne comprend pas dans le raisonnement c'est que dans ce cas j'aurais envie de dire que dans l'arithmétique classique, la proposition 3x = 6 est indécidable car c'est vrai pour x = 2 mais faux pour x = 3 par exemple.
Évidemment je me doute que ce n'est pas si simple et qu'une nuance m'échappe, si quelqu'un pouvait m'éclairer ça serait sympa :)
Merci d'avance, sachez que malgré mes dizaines d'abonnements à des chaînes depuis plusieurs années, ceci est mon premier commentaire :)
La proposition 3x=6 n'est pas une formule close, car elle dépend de la variable libre x.
Par opposition la commutativité s'écrit ∀x∀y (xy=yx). Il n'y a pas de variable libre car toutes les variables sont quantifiées.
Je trouve dommage que vous n'ayez pas parlé de logique intuitionniste, de maths constructivistes et, pour parler d'une truc un peu à la mode mais je pense vraiment important, de théorie homotopique des types.
Ceci dit, il est possible que cela fasse l'objet d'une vidéo à par entière car cela le mériterait amplement.
On y vient ;) Et il n'y aura pas qu'une vidéo à ce sujet :P
J'ai beaucoup de mal avec cette série mathématique sur l'infini, je préférerais tes épisodes sur la physique quantique ou sur des mathématiques un peu plus abordable.
Encore beaucoup d'épisode avant de changer de sujet?
Encore 5 ou 6 épisodes et on changera de sujet. J'aimerais aborder des sujets plus abordables, notamment en maths appliquées.
Mais ce sera un vote du public qui décidera...
On arrive un peu dans la philosophie !
Carrément !
l'algorithme qui permet de démontrer n'importe quel propriété dans certaines systèmes d'axiomes est connu ou on sait seulement qu'il existe ?
super vidéo
oui, il est connu. Il s'agit d'un jeu de manipulation de symboles, qui repose sur l'élimination des quantificateurs : fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89limination_des_quantificateurs
Hop abonné !!
Salut, je ne comprends pas cette implication : ¬(∀n¬(n prouve 1=0)) ⇒ ∃n (n prouve 1=0)
Il n'y a pas forcément existence, il doit être possible, pour cet exemple, qu'il n'y ait aucun n tel que n prouve 1=0, non ?
La négation d'une proposition "pour tout n, P(n) est vraie" s'écrit en logique "il existe n, P(n) est fausse". En l'appliquant à P(n)="n ne prouve pas 1=0" (qui est la négation de "n prouve 1=0"), on trouve bien ce qu'il faut. De manière plus "intuitive", dire qu'il existe une preuve de 1=0 est la négation de dire qu'il n'existe aucune preuve de 1=0.
Joris Verstraten Effectivement, merci beaucoup !
Les mathématiciens classiques pensent que cette implication est "clairement vraie".
Mais tous les mathématiciens ne sont pas d'accord...
En fait en réponse au premier commentaire tu demandes des cours de logique (chose totalement absente du programme de math, peut-être que des cours d'info/programmation feraient du bien ?) au lycée ?
Je crois que l'idée de rajouter des cours de programmation au lycée est sérieusement envisagée par nos dirigeants
J'approuve totalement l'idée de faire des cours de logique ! Je suis en première année de licence SI, et la majorité de ma promo est complètement larguée en Informatique (juste de l'algorithmique pour l'instant) parce que les gens ne saisissent pas bien la logique de base. Et ça ne fait pas de mal pour les cours de maths, et dans la vie de tous les jours non plus ^^
Je suis pour l'enseignement de l'informatique... au dépens des mathématiques ! Je pense que savoir coder une boucle "for", ou nommer adéquatement des variables et des fonctions, est beaucoup plus important et utile que de savoir manipuler les sinus...
Cependant, je serais plutôt contre l'enseignement de la logique formelle au lycée (mais mon avis n'est pas tranché). Je crains que les "∀" et "∃" fassent fuir les élèves.
Concrètement, sinus est une fonction qu'on peut manipuler comme n'importe quelle autre fonction en informatique. Les maths et l'info ne sont pas très différentes (et c'est important de se servir des deux). Enfin mon jugement est surement biaisé parce que les ∀ et les ∃ m'ont toujours plus attiré que fait fuir :B
Peut-être une introduction sans symboles effrayants serait un bon début ?
On peut commencer par de simples 'et', 'ou' et 'ou exclusif', puis le 'non', peut-être passer sur les implication (et les différencier de la causalité, on ne peut pas dire que 'A=>B' est toujours un rapport de causalité, plutôt de corrélation) et ce sera déjà bien pour le programme d'une année (digérer que 'A=>B' équivaut à 'non A ou B' pose problème à des prépas, ça ne posera jamais de problème sur 1 chapitre au lycée...?).
Sur une deuxième année faire les contraposée, les réciproques, le 'ⱻ' et '∀' sur un même chapitre en voyant surtout comment prouver ou réfuter une proposition, une partie ou on revient sur implication/équivalence/causalité parce que c'est là où les gens se font le plus avoir et enfin une partie sur les utilisations faites en français, les déformations et les gros pièges à éviter.
A mon avis ce sera suffisant pour survivre dans la vie quotidienne même si je me demandes si un petit lapsus sur la Théière de Russel n'est pas primordial (ou le pastafarisme si on veut rester récent).
Cette vidéo etait vraiment vraiment vraiment vraiment vraiment super interessantes va falloir que je resiste a l'envie de devenir Mathématicien au lieu de Physicien mdr
Merci de faire un contenu aussi propre continu !
Et l'analyse non standard ? Vous en avez parlé dans une autre vidéo ?
Ah oui. Infini 7. Mais vous ne parlez pas de la présentation à partir de l'adjonction d'un quantificateur et de qq axiomes à ZFC (IST ?). Cette présentation est très cool et assez abordable, je trouve.
Peut-être que ça n'a pas un grand avenir, mais je crois me souvenir que ça permet des démonstrations très simples de théorèmes de convergence.
Les axiomatiques dont tu parles (à l'exception de la dernière), peuvent toutes être vu comme des restriction de l'axiomatique ZF, non ?
J'aurai aimé que tu nous présentes également des axiomatiques plus puissantes.
A ce propos, tu parles de théorie des modèles, sujet qui me tient à cœur, mais sur lequel je ne parviens à m'informer rigoureusement (tout ce que je lis se concentre sur l'intuition, certes essentielle, mais qui me laisse sur ma faim).
Tu en parleras/as des liens intéressants ?
Sinon, super vidéo, comme d'habitude !
Antoine de Scorraille Oui elles sont toutes plus faibles que ZF. NBG par exemple est plus forte.
Par ailleurs je suis également en plein développement de mes connaissances en théorie des modèles, et j'ai si tu le souhaites plusieurs papiers que je peux t'envoyer (au passage si tu as des questions... Et vice-versa bien sûr)
Oui bien sûr, si tu peux m'envoyer tes papiers je suis preneur !
Après on pourra en discuter pour améliorer notre compréhension du sujet, évidemment...
Antoine de Scorraille D'accord, tu as raison, autant que tu recherches tes réponses dans la littérature avant tout! ;)
Tu as une adresse mél pour cela?
antoine.de.scorraille@gmail.com
Je peux me joindre à vous?
Au passage VRB Blazy, il ne manquerait pas un morceau de ton message?
J'imagine que dans la géométrie de Tarski, il y a possibilité de définir des angles, non ?
Ça m'étonnerait un peut, généralement les angles peuvent être vu comme des ratios et il parait improbable que la division puisse être définit dans la géométrie de Tarski.
Après je ne suis pas spécialiste alors dit peut-être une (ou plusieurs) bêtises.
+mathieu aurousseau Avec l'«égalité» des triangles (par l'égalité des (longueurs des) côtés et l'alignement, ça devrait se faire. Deux triplets de points définissent des angles égaux si l'on peut «coincer» dans les secteurs qu'ils déterminent des triangles «égaux».
Je dirais.
La géométrie de Tarski permet de faire ce que Euclidea (www.euclidea.xyz/) permet de faire. En particulier, on peut y définir des angles de 90°, de 60° et même faire des bisections des angles.
Cependant, la trisection d'un angle est impossible. De même, il est impossible de construire un angle d'un 7ème de tour.
+Science4All (français) Merci de votre réponse. Et félicitations pour vos excellentes vidéos.
Je me permets d'exprimer mon désaccord : la géométrie de Tarski permet la trisection de l'angle et la construction d'un angle d'un 7ème de tour, n'étant pas exactement une géométrie à la règle et au compas.
En effet, elle ne permet pas seulement d'intersecter des droites et des cercles, mais aussi de résoudre toute coupure de Dedekind définie au premier ordre, ce à quoi tu fais référence à 4:44. Or il est possible d'exprimer tout problème de trisection d'angle comme une coupure de Dedekind du premier ordre, et donc de trisecter tout angle. Le même raisonnement vaut pour toute n-section d'angle, notamment la 7-section. Ainsi, étant donné un angle alpha déjà construit, on peut construire n'importe quel angle de la forme alpha*p/q (où p et q sont des naturels). Cela dit on ne peut pas définir n'importe quel angle, par exemple ln(2)° est me semble-t-il inconstructible.
À noter que si on remplace le schéma d'axiomes de continuité par l'axiome de continuité permettant de résoudre toute coupure de Dedekind quel que soit l'ordre, on peut définir n'importe quoi, mais on perd la complétude de la théorie (ce qui est ironique vu qu'on gagne la complétude de l'espace). Et si au contraire on supprime tous les axiomes de continuité, on perd aussi la complétude de la théorie, car il existe des cercles dont l'intersection devient indécidable.
A quoi servent les maths de ce genre ? A pars se poser des problèmes je ne vois rien.
Elles ont nourri les réflexions qui ont abouti à l'invention de l'ordinateur. Et l'ordinateur a complètement changé le monde...
Je vois, merci
C'est avant tout hyper stylé
Ouais j’avoue c'est la classe
Je suis en CP et j'ai tout compris easy ! Kappa
Tu sais drôlement bien écrire pour un CP ;)
Parce qu'il doit être "Cours Préparatoire", ... pour les Grandes Écoles ;-)
Un terminale ici :p
Par curiosité, j'ai téléchargé mon épreuve du BAC C de 1982, à l'époque j'avais 4 heures, j'ai sorti mon stylo, mes feuilles et j'ai replanché dessus presque 40 ans après.
Des espaces vectoriels sur le corps C , des endomorphismes, des séries en veux-tu en voilà, j'ai torché ça en presque 3h00, mais au brouillon, pourtant je fais des maths depuis longtemps.
En résumé, le sujet super intéressant, avec un énorme sujet d'étude.
je constate tristement que les sujets de BAC d'aujourd'hui n'ont plus de sujet d'étude, ne font plus appel à l'intelligence, mais à la mémoire et au bachotage.
c'est l'exact opposé. on attend de moins en moins de par coeur depuis l'approche par compétences
@noemiesvi
Concernant la spécialité mathématique au lycée (et attention je ne parle pas de maths expertes)
Je ne pense pas qu'il parle d'apprendre par coeur les cours, mais des "exercices types" dont on pourrait se contenter d'apprendre la résolution par coeur pour triompher sur beaucoup de sujets de bac d'aujourd'hui, des sujets qui font malheureusement de moins en moins prendre à l'élève des initiatives pour résoudre le problème, le pousse moins en moins à construire son propre raisonnement sur une question générale, beaucoup moins d'intuition demandée, moins d'ingeniosité, d'inventivité, de créativité ! Car tout bon mathématicien est créatif
Le sujet est bien trop guidé, pour généralement un exercice qui n'est même pas si excitant à résoudre au final, dont on questionne l'utilité, ressemblant de plus bien trop à tous les autres, un manque crutial d'originalité mais je me répète, le problème est que les exigences d'intuition mathématique, de raisonnement mathématique, de legique ne sont plus du tout aussi élevées, c'est beaucoup d'application, alors pas que quand même, mais beaucoup
En tout cas je parle bien du bac, en maths expertes c'est heureusement différent, le niveau d'exigence constitue lui cette fois ci bien un moyen de se démarquer mathématiquement, bien que le programme ne soit pas si lourd comparé à l'illustre bac C
Je te conseille vivement de regarder la vidéo du youtuber axel arno sur le sujet du bac Français