"Bourbaki semblait avoir trouvé une preuve complète de l'hypothèse de Riemann, mais les temps de visite autorisés étaient trop étroits pour les contenir." xD Ca a fait ma soirée. Toujours bien travaillées tes vidéos, merci.
Une "méthode générale" pour prouver l'indécidabilité de certains énoncés (en réponse à une des questions qui étaient posées avant): la théorie des ensembles se base aujourd'hui aussi sur la théorie des modèles, qui en gros représentent des "mondes possibles" (pour ceux qui connaissent un peu de philo c'est l'idée): si on se donne un énoncé, comme par exemple "pour tout x, il existe y tel que y est en relation avec x", ça n'a pas de sens de dire en général s'il est vrai ou faux: il faut l'interpréter dans une structure qu'on appelle modèle. La définition de démonstration est telle que si un énoncé est prouvable dans une théorie, alors il est vrai dans tout modèle de cette théorie (un monde possible où la théorie est vraie) : c'est intuitivement "logique": s'il y avait un monde possible où la théorie est vraie, mais pas l'énoncé, c'est que notre preuve est fausse. Ainsi, si on peut trouver un monde possible où l'énoncé est faux, c'est qu'il n'existe pas de preuve de cet énoncé! De même s'il existe un monde possible où cet énoncé est vrai, il n'existe pas de preuve de la négation de cet énoncé ! Si on est dans les deux cas (il y a un monde où il est vrai, et un monde où il est faux), alors l'énoncé est indécidable : on peut dire qu'il est indépendant de la théorie, cette dernière n'apporte pas assez d'information pour pouvoir décider la valeur de cet énoncé. Ainsi ce qu'un mathématicien dit lorsqu'il dit "on ne peut ni prouver ni réfuter l'axiome du choix", c'est juste "dans certains mondes, l'axiome du choix est vrai, dans d'autres il est faux". Le travail à faire est donc de trouver ces mondes. Pour ceux qui connaissent un peu de maths avancées (à peine), c'est un peu comme demander si "pour tout x, pour tout y, xy =yx" peut être prouvé ou réfuté dans la théorie des groupes. La réponse est non: il y a des groupes (qui sont ici nos mondes possibles) dans lesquels c'est vrai, d'autres dans lesquels c'est faux, donc c'est un énoncé indépendant de la théorie des groupes.
Excellent résumé ! Une petite question : "S'il y avait un monde possible où la théorie est vraie, mais pas l'énoncé, c'est que notre preuve est fausse." Tu veux dire qu'on a enfreint une des règles du système déductif ? Parce que, ce qu'il pourrait se passer aussi, c'est que justement le système déductif soit complètement foireux (par exemple, imaginer un système qui permet de démontrer n'importe quelle formule). Dans ce cas-ci, la preuve est vraie... et non fausse. Maintenant, c'est vrai que l'idée intuitive de preuve est séparée en deux : d'une part, on axiomatise le "raisonnement" via un système déductif, d'une autre part, on définit ce qu'est que démontrer. Du coup, dire qu'une preuve est "fausse" peut être dû à deux choses : soit le raisonnement est mauvais, soit on a mal démontré. Ce qu'on peut imaginer aussi, c'est que le système soit bien trop faible, voire même très grossier, dans ce sens où il ne permet pas de donner de "nouvelles" formules. Mais un tel système ne sera pas intéressant en ce qu'il ne permet pas de vérifier la réciproque du théorème (de sanité) que tu as énoncé ci-dessus : "S'il existe une preuve d'une proposition P à partir d'une théorie T, alors P est vrai dans tous les modèles de T."
MrAmericanDreams L'extrait que tu cites était un résumé du sens facile du théorème de complétude : tu as raison, si le système déductif est mal foutu, alors on peut prouver n'importe quoi. Mais les mathématiciens qui ont créé ça ont défini les démonstrations formelles de sorte qu'elles "conservent la verité", donc en gros de sorte que le système déductif soit pas trop foireux. Donc de ce fait, vu que la système déductif est bon, si ça marche pas, c'est que la preuve est fausse (pour reprendre l'analogie avec les groupes : si je crois prouver un théorème sur les groupes et que j'en trouve un qui est un contrexemple, la première chose que je vais faire c'est penser que ma preuve est fausse, pas que les groupes n'existent pas) Oui tu as parfaitement raison, et à nouveau c'est le théorème de complétude qui nous dit que le système déductif qu'on a mis en place est pas trop mal : la réciproque est vraie, si une proposition est tout le temps vraie dans les modèles de T, elle est prouvable à partir de T
@TheMaxthimax > Très très bien. Sauf que 'Bourbaki' n'existe pas. 'Bourbaki' est un nom inventé de toute pièce par un Collectif de mathématiciens illustres se moquant de notions iconoclastes introduites par de pseudo-mathématiciens' sans talent, mais soucieux de faire 'abstrait' pour faire 'génial'... .. « Nicolas Bourbaki Nicolas Bourbaki est un mathématicien imaginaire, sous le nom duquel un groupe de mathématiciens francophones, formé en 1935 à Besse (aujourd'hui Besse-et-Saint-Anastaise) en Auvergne sous l'impulsion d'André Weil, a commencé à écrire et éditer des textes mathématiques à la fin des années 1930. L'objectif premier était la rédaction d'un traité d'analyse. Le groupe s'est constitué en association, l'Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki, le 30 août 1952. Sa composition a évolué avec un renouvellement constant de générations. Sous le nom N. Bourbaki fut publiée une présentation cohérente des mathématiques, appuyée sur la notion de structure, dans une série d'ouvrages sous le titre Éléments de mathématique. Cette œuvre est à ce jour inachevée. Elle a eu une influence notable sur l'enseignement des mathématiques et sur l'évolution des mathématiques du xxe siècle. Toutefois, elle connaît de nombreuses critiques : incompatibilité entre le formalisme retenu et la théorie des catégories, style trop formel, rejet de la théorie des probabilités, manque d'exemples, incompréhension des étudiants, etc. À ces critiques, on peut opposer l'enthousiasme du grand mathématicien Emil Artin : « Notre époque assiste à la création d'un ouvrage monumental : un exposé de la totalité des mathématiques d'aujourd'hui. De plus, cet exposé est fait de telle manière que les liens entre les diverses branches des mathématiques deviennent clairement visibles. » L'activité du groupe a cependant dépassé la seule rédaction d'ouvrages, par exemple avec l'organisation des séminaires Bourbaki. » Tu parles fort bien de ce que tu ignores parfaitement, TheMathimax.., tu illustres parfaitement ce dont les 'vrais' Mathématiciens se moquent. Je pense que mon doctorat de 7ème cycle me permet de me foutre juste un peu de ton développement prétentieux, illogique et creux... .....
Phi. Borgne Plusieurs choses à répondre à un message si agressif : 1- Pourquoi parles-tu de Bourbaki ? je n'en ai pas parlé, donc encore moins sous-entendu qu'il s'agissait d'une personne... 2- Tu parles de mathématiciens sans talent, dont fait partie André Weil. J'y vois comme une contradiction, mais ceci est un avis personnel (enfin aussi celui de la quasi-totalité de la communauté mathématique, mais il s'agit là d'un détail). 3- Je ne vois pas pourquoi tu insinues que j'ignore ce dont je parle, à moins que tu ne me pointes vers une erreur notable de ce que j'ai écrit, erreur que, si elle existe, je me verrai dans l'obligation d'indiquer à Daniel Lascar, René Cori et Jean-Louis Krivine qui sont essentiellement les mathématiciens dont j'ai tiré mon apprentissage des bases de la théorie des modèles. 4- Où est la prétention et l'illogisme dans ce que je dis ? Je ne ferai pas de remarques sur ta prétention, car tu serais un "vrai" mathématicien, comment pourrais-je te reprocher ta prétention ? J'essaierai de ne pas répondre à tes prochains commentaires s'ils sont aussi agressifs et sans justification que celui-là. Si tu as quelque chose à reprocher à mon commentaire de sérieux, précise ta pensée et alors je pourrai selon la situation modifier mon commentaire, ou me défendre et t'expliquer pourquoi tu te trompes.
L'un des mérites de cette vidéo, et non des moindres, est l'océan des commentaires qu'elle a déclenché. Né en 1968, je suis tombé dans les maths modernes quand j'étais petit, et ce n'est pas grâce à cela que je suis devenu professeur agrégé de mathématique. Oui les éléments de Bourbaki sont le meilleur fondement de toute la mathématique... d'un point de vue logique. Mais du point de vue historique et pédagogique c'est le chemin inverse qui mène à ce paradis des idées : 1 expérience physique, intuition immédiate, utilitarisme de l'outil mathématique comme descriptif du monde 2 fonctionnement interne des maths comme objet d'étude et comme jeu 3 fondement théorique de la mathématique Des esprits exceptionnels peuvent entrer en mathématique par la voie théorique, mais la voie naturelle, bien empruntée, aboutit nécessairement aux fondements théoriques d'une façon qui me semble plus adéquate.
Pour illustrer l'absurdité de la réforme des maths modernes au primaire/collège, il y a toujours la fameuse anecdote du mathématicien russe Vladimir Arnold qui disait : A la question « Combien font 2 +3 ? » un élève d’école français te répond « 3 +2, puisque l’addition est commutative ». Il ne sait même pas à quoi cette somme était égale et ne comprends même pas ce qu'on lui demande.
Cette réforme n'était pas absurde mais elle avait deux défauts importants : - D'abord de ne pas traiter vraiment la géométrie. Il aurait fallu sortir un peu du cadre hilbertien pour faciliter le travail du prof de physique de seconde C qui devait traiter de statique (aujourd'hui on ne fait plus de statique du solide au lycée et encore moins de dynamique du solide donc ce serait moins problématique). - Surtout d'être enseigné à tout le monde à partir de 1975. Cette réforme n'était pas conçue du tout dans la perspective du collège unique. Sinon elle formait très bien à un parcours que j'ai bien connu vers la série C puis Maths sup/Maths spé....Alors qu'aujourd'hui l'enseignement secondaire n'alimente pas suffisamment ni correctement les CPGE scientifiques même après la réforme du lycée.
Ouah ! C'est génial ! Surtout parce que tu as vraiment l'air passionné et ça se sent ! Je suis prof de français maintenant mais j'ai fait bcp de maths avant, à la fac et en école d'ingénieur ! MERCI ET FELICITATIONS :-)
Bonjour Lê, Bonjour à tous, Concernant la consistance et la non-contradiction de ZFC et la confiance qu'on peut porter à l'oeuvre de Bourbaki (dont je suis un fervent admirateur) on peut rappeler le magnifique final de l'introduction de la "théorie des ensembles", qui, en plus d'être rassurant, est écrit dans la belle langue de Molière : "En résumé, nous croyons que la mathématique est destinée à survivre, et qu'on ne verra jamais les parties essentielles de ce majestueux édifice s'écrouler du fait d'une contradiction soudain manifestée; mais nous ne prétendons pas que cette opinion repose sur autre chose que sur l'expérience. C'est peu, dirons certain. Mais voilà vingt-cinq siècles que les mathématiques ont l'habitude de corriger leurs erreurs et d'en voir leur science enrichie, non appauvrie; cela leur donne le droit d'envisager l'avenir avec sérénité" C'est ce que j'appelle être confiant et réaliste en même temps.
Je suis heureux que vous ayez mentionné que la réforme de l'enseignement des mathématique a été un retentissant échec pédagogique. J'étais excellent en mathématiques mais après ma "rencontre" avec cette réforme, je m'en suis détourné. Quel intérêt de prouver que 1+1=2 comme l'a fait Russell dans un ouvrage démentiel, les Principia. Comme l'a si bien observé le mathématicien René Thom qui s'est battu contre les formalisateurs: "Tout ce qui est rigoureux est insignifiant" ou encore " ...l'intérêt ou l'utilité d'une idée mathématique ou physique est rarement synonyme de rigueur formelle".
Petite correction : les éléments de mathématique de Bourbaki n’utilisent pas ZFC mais ZFtau, l’axiome du choix de ZFC est remplacé dans bourbaki par l’opérateur de Hilbert tau qui sert entre autre à définir le quantificateur existentiel et le cardinal d’un ensemble. Et c’est ça justement l’intérêt des éléments ! Une construction nouvelle des mathématiques en remplaçant l’axiome du choix. Le système de bourbaki n’est presque plus utilisé aujourd’hui, les mathématiques qu’on utilise sont celles de la théorie ZFC
Mec ça fait bien longtemps qu'on fait plus de structures algébriques au lycée, ni de théorie des ensembles ! On ne fait presque plus rien au lycée, et au collège n'en parlons pas ... Réforme après réforme, c'est la médiocrité qui s'installe, tous les profs (quelque soit la matière) te le diront. En maths, un très faible pourcentage d'élève sait encore ce qu'est (et comprend vraiment le sens d') une démonstration mathématiques, et la rigueur nécessaire. Je ne sais pas en quelle année les programmes scolaires ont été modifiés comme tu le dis, mais ça doit faire vachement longtemps ! Je te crois sur parole quand tu dis que ça a créé beaucoup d'inégalités en terme de niveau au sein des élèves, mais ça ne peut pas être pire que maintenant ... Jette un oeil à un programme de TS de cette année puis à un programme de TS de y'a 30 ans, ça va te faire drôle je crois ! Ce qu'il faut, c'est faire les choses bien, et dans toutes les matières. Arrêter les maths "recettes de cuisine" et retourner à des vraies maths, c'est à dire à de la compréhension et du raisonnement, pas des formules à rentrer dans la calculette ou apprendre par coeur la démonstration de "si Vn est plus grande que l'infini alors Vn est infinie" ... (ROC RPZ lol). Du coup, peux-tu préciser cette histoire de programmes scolaires ? De nos jours, la rigueur s'est perdue dans les programmes (même si en TS elle survit un peu ...), et le niveau baisse de réforme en réforme. Tous les ministres cherchent à niveler par le bas, au lieu de garder l'excellence des meilleurs et de redoubler d'effort pour permettre à tout le monde de l'atteindre.
credos97 C'est exactement ça le problème, je suis en première année d'études sup en physique, mais le manque de rigueur mathématique se fait durement ressentir. Ces réformes visant le collège et le lycée impactent très largement les études sup aussi...
En 1961, 11,2% d'une génération avait le bac. En 1994, l'année de mon bac 58.6% et en 2016 78,6%. Même avec la meilleure pédagogie du monde et en améliorant l'accès aux études, je ne vois pas comment en 50 ans, les nouvelles générations peuvent avoir 7 fois plus de bacheliers sans baisser le niveau des mêmes épreuves de cet examen. Comparons aussi le ratio de mentions, le pourcentage n’arrête pas d'augmenter. Statistiquement les êtres humains sont de plus en plus intelligents (en terme de QI) mais pas au point de surpasser très largement nos ainés. Soyons honnêtes, le bac S d'aujourd'hui n'a pas le niveau d'un bac Mathématiques de 1960. Pour autant, là ne réside pas le problème. La société évolue, le bac aussi c'est naturel. Le souci est que les mathématiques ne sont enseignées que sous forme de recette de cuisine. La rigueur de raisonnement ne fait plus partie de l'enseignement. Et sans rigueur de penser comment les élèves, futurs citoyens, pourront faire jouer correctement leur libre arbitre? L'éducation nationale a, en cela, failli. Sinon Science4All vous faites des vidéos très instructives et intéressantes. Continuez! Mes sources: www.education.gouv.fr/cid56455/le-baccalaureat-2016-session-de-juin.html cache.media.education.gouv.fr/file/47/9/5479.pdf www.education.gouv.fr/cid110041/mathematiques-et-sciences-resultats-de-l-etude-timss-2015.html QI: fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Flynn Bac 1966: www.apmep.fr/Annee-1966-35-sujets
Youpi Company Les maths de lycée, actuellement, ne sont même pas une recette, c'est même pas une formule magique à appliquer, c'est tout simplement le contenue d'une calculatrice qui est recraché sur papier...
Je ne suis pas Français , je n'ai pas fait mes études secondaires en France (J'ai commencé mes études en France en prépas ). Mais on suivait dans mon pays d'origine le même programme à l'époque que la France. La réforme des maths modernes a été évidemment une catastrophe d'après mes profs de lycée qui ont suivis cet enseignement dans les années 70, à part pour quelques rares élèves très brillants. Ceci dit les réformes successives peuvent également se révéler néfastes , tellement le niveau du contenu et des exigences s'est effondré en 30 ans de réformes, creusant naturellement l'écart entre certains grands lycées et les autres , entres élèves cultivés , bien informés et/ou vivants dans un milieu social bien propice avec encadrement à domiciles et les autres etc.. Bref tout l'inverse du but affirmé de ces réformes qui était, selon les auteurs , de démocratiser l'enseignement et de le rendre plus égalitaire (alors qu'il serait plus bénéfique selon moi d'inciter surtout à la culture de l'effort et de familiariser les élèves avec la démonstration en géométrie dès le collège qui est certes rigoureuse mais très visuelle et peut partir sur des postulats très simples (d'Euclide) que même un élève moyen de sixième peut comprendre sans difficulté et enchainer avec un raisonnement déductif par étapes ). Pour moi le meilleur programme au lycée ( et collège) est celui du début des années 80 qui a suivi la période des maths modernes et qui correspond à celui que j'ai suivi ( Il me semble qu'on a arrêté de s'aligner sur les réformes des programmes français dans mon pays dans les années 80 ). Ce programme élimine l'abstraction folle et inutile des maths modernes (notamment tout ce qui est théorie des ensembles , les définitions absconses même des objets les plus élémentaires ) tout un conservant un contenu complet , un retour de la géométrie euclidienne (pure, vectorielle et affine) qui reprend de nouveau une place prépondérante, un certain niveau d'exigence et SURTOUT une VRAIE SYNERGIE entre les maths et la Physique (Ce qui a totalement disparu il me semble dans les programmes d'Aujourd'hui ) . Je me souviens par exemple qu'on utilisait beaucoup les vecteurs en seconde pour résoudre graphiquement les problèmes d'équilibre de corps soumis à plusieurs forces. Les barycentres pour les problèmes de centre de masse , quantité de mouvement etc..toujours en seconde , le théorème de Thalès pour les problèmes d'optiques en troisième etc. ça permettait de consolider les notions apprises en maths et de voir leur intérêt. via des applications en physique . Idem en premier on a fait un cours de cinématique d'abord en maths (comme une sorte d'application du cours sur la dérivation ) avant de le voir en Physique en terminale . Ce qui facilite évidemment l'assimilation. Idem pour d' autres notions comme le produit vectoriel vu en maths en premier , et appliqué en physique en Terminale pour calculer le moment cinétique , la force de Lorentz , l'orientation de l'espace avec le bonhomme d'Ampère etc. Tout ça pour dire qu'on peut , via une synergie avec les maths, faire au lycée de la physique plus intéressante, plus formelle (mais pas trop non plus ^^) et surtout moins de blabla qui pullule hélas dans les manuels actuels de physique au lycée et qui noie le sujet et qui surtout n'entraine pas les élèves à la résolutions des problèmes. La différence de contenu et le niveau des exercices est absolument abyssale entre les bouquins des années 80 (que j'ai utilisés) et ceux d'aujourd'hui, que ce soit en maths ou Physique. Et je ne parle même pas de la géométrie qui a quasi complètement disparu des programmes de lycée :p Désolé pour ce commentaire long et un peu HS ( ça concerne quand même un peu la réforme des maths modernes et ses effets psychologiques sur les réformes suivantes ^^)
Justement je pense que c'était bien de voir la théorie des ensembles des le plus jeune âge.Quand on baisse le niveau on augmente l'inégalité entre les familles"cultivés" et les "autres"
Les programmes de la filière C des années 1971-1982 sont à mon sens les plus beaux programmes de filière scientifique de tous les temps. 10 fois plus de volume qu'aujourd'hui ... En bossant avec ces livres j'ai des réponses et des éclairages que je n'ai pas eu dans les livres de licence et prépa. Entre autres, la compatibilité de la multiplication sur N² avec la relation d'équivalence qui permet de construire Z (difficulté technique toujours passée sous silence), une présentation de la construction des opérations sur N à l'aide du vocabulaire ensembliste, une réflexion sur les relations binaires plus poussée (ordre strict ...), etc.
Tout à fait d'accord avec vous. Entré en 6ème en 71, bac C en 78. Les complexes définis comme ensemble de matrices (2,2), les sinus comme des classes d'équivalence (en 4ème). Il y avait de la profondeur. Seul pb les prof pataugeaient un peu. Mais les élèves étaient ravis de découvrir de la théorie sans utilité pratique. 40 ans plus tard dans ma vie quotidienne aujourd'hui je pense souvent à la décomposition unique d'une application en une injection composée à une surjection ou encore au nombre de surjections entre 2 ensembles. Le théorème de la base incomplète, les questions de dimensions avec la dim du noyau et la dim de l'image, voilà de quoi élargir l'horizon. En quoi la pédagogie actuelle est-elle meilleure? A voir les exercices du bac de cette année (placer des points sur un cercle trigonométrique) on peut dire que l'ambition des programmes a sérieusement régressé en 40 ans. Quelle responsabilité sur les épaules des hiérarques de l'éducation nationale!
j'ai hâte de voir des théories "alternatives" ! d'ailleurs, pourquoi sont-elles alternatives ? après tout ça reste des maths non ? en passant :j'aime toujours autant la série de vidéos !
HydroxyChloride Il y a la théorie du lambda calcul, qui fonde les maths sur la notion fonction, celle des catégories qui préfère les fonder sur la notion de "structure algèbrique", etc. En général ces théories restent étudiées mais du point de vue ensembliste et leur caractère fondateur est plus une curiosité qu'autre chose.
Prouver l'indécidabilité de certains énoncés !... hum, il me semble qu'il y a les paradoxes pour cela, du genre : "le barbier rase tous les gens de mon village qui ne se rasent pas eux mêmes" question "le barbier se rase t-il lui même ??? "
Oui. C'est la définition la plus optimale, en ce sens qu'elle se transporte à d'autres structures (par exemple sur tout anneau valué). Ce genre de procédé s'appelle "compléter".
MrAmericanDreams Que penses-tu de la définition des réels comme par celle des surréels comme des surréels particuliers? Elle me semble tellement plus simple...
Plus simple ? Tu penses ? C'est que tu n'as pas vraiment compris le sens de la construction de Méray-Cantor... Mais ce n'est que mon avis. Question : comment proposes-tu de construire l'ensemble des surréels ?
MrAmericanDreams Oui je pense! Oulà attends avant de présumer doctement qu'il s'agit nécessairement d'une incompréhension de ma part... :P Comme je les ai découverts: un nombre (sous-entendu surréel) sera défini comme un couple de nombre. À partir de là, en notant 0 le premier que tu obtiens (au «jour» par suite noté 0) soit 0:=(∅,∅) tu as ensuite 1:=(0,∅) et -1:=(∅,0) (au jour 1), puis de la même manière -2,-1/2,1/2 & 2 au jour 2 et ainsi de suite... En ω jours tu obtiens |R. Si ce n'est pas on ne peut plus simple ça !
MrAmericanDreams Je ne vois pas ta réponse mais comme j'en ai été notifié par mél je présume que c'est ça : «Hmm... Un couple de nombres ? Tu supposes que ∅ = 0 ? Tu n'obtiendrais pas plutôt l'ensemble des nombres rationnels dans [0, 1] ?» Oui un couple! Non non j'ai bien écrit: 0:=(∅,∅) ! N'ayant aucun nombre au départ, tu n'as comme ensemble de nombres que ∅. Enfin non tu obtiens bien tout |R, ça ne risque pas tu vois bien que dès le jour 1 tu sors de [0;1] avec -1 ^^...
Bonjour, Il me semble que le dernier membre du groupe Bourbaki était Jean Dieudonné, qui est mort en 1992. Bernard Pivot l'avait invité dans son émission Apostrophe, dans les années 80, où il présentait son livre "Pour l'honneur de l'esprit humain". C'est un des rares livres des promos de Bernard Pivot que j'ai acheté, je l'ai lu à l'époque et il est super, je vous le recommande. Bernard Pivot consacrait régulièrement une émission entière non seulement aux sciences, mais aussi parfois uniquement aux mathématiques, dans lesquelles il n'invitait que des mathématiciens, chose que, malheureusement, François Busnel ne fait pas (même réflexion à propos des gens de religion).
Le portrait est celui du grand général Charles-Denis Bourbaki, général de l'armée de l'Est et ne pas du mathématicien.L'Armée Bourbaki avec 80'000 soldats fut désarmé et intérné en Suisse suivant la Convention de Genève. Guerre Franco-Prusse-Général Bourbaki.
Et si on faisait le concours du théorème qui contient le plus haut niveau d'indécidabilités ? Je veux dire par là : on ne peut pas prouver qu'on ne peut pas prouver qu'on...qu'on ne peut pas prouver le théorème (n fois) je pense qu'il en existe un avec un niveau d'indécidabilité aussi grand que l'on veut ! :D
Bonjour, je n'avais pas vu cette vidéo, je la vois 5 ans plus tard. La constructions des entiers naturels est celle de Von Neumann. Pour Peano, il s'agissait de l'histoire des successeurs. Pour ma part, je pense que le modèle de la réforme remise de manière progressive au goût du jour (notamment, j'essaie de l'insérer d'une certaine façon cela dans mes vidéos par volontariat qui peut fonctionner). Toutefois, je pense que les mathématiques doivent être montrées telles qu'elles sont et pas forcément avec des vulgarisation à outrance et des louvoiements qui nuisent à la véracité des définitions des notions. Tout cela pour dire qu'une réforme moderne des mathématiques plus progressive et sinueuse pour rattraper la chute actuelle notamment pourrait fonctionner (nous voyons bien que ls techniques actuelles sont vouées à l'échec et obsolètes).
J'ai bien peur qu'il y ait confusion. D'après Wikipedia, l'image est celle de Charles-Denis Bourbaki (1816-1897) qui n'a rien à voir avec les mathématiques du moins à ce niveau là. En revanche, Nicolas Bourbaki serait le nom d'un collectif de réformateurs des mathématiques mis en place par André Weil, Dieudonné etc. Mais c'est ce que dit Wikipedia rapporte. Je suppose que l'auteur de la vidéo sait de quoi il parle. Je relève simplement une incohérence... Précisément ce dont les mathématiciens ont horreur.
@@pierreboland8910non ,le nom du groupe de mathématiciens vient justement de ce général ,il n'y a pas d'"incohérences" ,il faut arrêter avec l'arrogance lol
Il me semble qu'il y a une différence entre l'indécidabilité de la convergence des suites de Goddstein (vrai mais indécidable dans Peano) et l'indécidabilité de l'hypothèse du continue (Ni vraie ni fausse, la rajouter (ou sa contraposée) en axiome ne change pas la cohérence de la théorie). Dans le premier cas, on est véritablement dans le cas d'un énoncé type théorème d'incomplétude. Dans le seconde cas, il s'agit simplement d'un énoncé hors d'atteinte des axiomes proposés. Je me trompe ?
Le théorème de Goldstein est très sûrement vrai dans l'arithmétique de Peano, on dit qu'il est indémontrable, pas indécidable. Un théorème indécidable est indémontrable mais un problème peut être indémontrable mais pourtant vrai. :) Comme tu l'as dit, l,'indécidabilité c'est quand un théorème est hors d'atteinte des axiomes.
Pas du tout ! ZF est la théorie qui a permis aux mathématiciens du début du XXè siècle de formaliser la notion d'infini. Je défie quiconque de donner une bonne définition de l'infini qui ne revienne pas à une des définitions donnée dans ZF.
Pour étayer un peu (tout petit peu) la réponse de Lê : Bourbaki décompose ses assemblages (c'est-à-dire, des suites à priori quelconque de symboles ) issus d'une construction formative en termes et relations (certaines relations ayant le droit d'être promues au rang de théorème). L'ensemble des règles qui régissent le droit d'appeler de la sorte ces assemblages est appelée théorie mathématique. Et il s'ensuit que l'on peut poser la définition suivante : "On appelle ensemble tout terme de la théorie des ensembles". donc tout ce qui n'est pas relation est terme donc ensemble.
Oui tout à fait. D'ailleurs une des propriétés des ordinaux (une généralisation des entiers naturels) est qu'un ordinal alpha vérifie la propriété : pour tout beta € alpha, beta est inclus dans alpha. :)
Considère T la théorie (ensemble d'axiomes) constituée uniquement de la proposition suivante : pour tout x, il existe y tel que x est différent de y. Question : puis-je démontrer (syntaxiquement) l'énoncé (symbolique) "(il existe x, il existe y tel que x et différent de y) et (pour tout x, pour tout y, il existe z tel que x est différent de z, et y est différent de z, et x différent de y)" ? La réponse est NON, c'est-à-dire que cette proposition (que l'on va appeler P) est indécidable. Explications. D'abord, il faut remarquer que la théorie T que l'on s'est donnée possède un modèle, c'est-à-dire une structure mathématique vérifiant chaque axiome de la théorie. En effet, si A est modèle de T, l'unique axiome de T (le premier donné) dit que A possède au moins 2 éléments. Tous les modèles de T sont donc exactement tous les ensembles ayant au moins 2 éléments. Comme il existe au moins un ensemble ayant au moins 2 éléments, c'est OK. Ensuite, une structure mathématique vérifiant P sera en fait un ensemble ayant au moins 3 éléments. Maintenant, imaginons un instant qu'il existe une preuve de P à partir de T. Alors tous les modèles de T vérifient P, c'est-à-dire tout ensemble avec au moins 2 éléments ont (en fait) 3 éléments. Ce qui est faux. Contradiction. L'hypothèse "P est démontrable à partir de T" est donc à rejeter. Donc P n'est pas démontrable à partir de T (via le tiers-exclu). Imaginons à présent qu'il existe une preuve de Non P à partir de T. Alors tous les modèles de T vérifient Non P, c'est-à-dire tout ensemble ayant au moins 2 éléments ont (en fait) au plus 2 éléments (on nie P). Ce qui est faux, une nouvelle fois, faux. Contradiction. L'hypothèse "Non P est démontrable à partir de T" est donc à rejeter. Donc Non P n'est pas démontrable à partir de T. Ainsi, la somme de ces résultats nous dit que P est indécidable dans T. En résumé, tu peux très bien avoir des ensembles avec au moins 2 éléments ayant au moins 3 éléments, comme des ensembles avec au moins 2 éléments ayant au plus 2 éléments. L'idée est donc que demander à un ensemble d'avoir au moins 2 éléments ne garantit pas que cet ensemble aura au moins 3 éléments ni qu'il n'en aura que 2. Aucune de ces deux propriétés n'est "atteignable" via la théorie / "vraie" dans la théorie. Par contre, si tu ajoutes P à la théorie T, alors les modèles de T seront les ensembles ayant au moins 3 éléments, et l'unique axiome de T sera prouvé par P. Donc la nouvelle théorie obtenue sera équivalente à celle donnée par P (les modèles sont les mêmes).
MrAmericanDreams Il y a quelque chose que je ne m'explique toujours pas dans mon avancée en amateur dans la logique mathématique : quand tu dis «une structure mathématique» comment est-ce défini? Et «il existe au moins un ensemble ayant au moins 2 éléments» dans quel cadre? Est-ce une assertion simplement philosophique ou est-ce de quelque manière formalisé? Y aurait-il des «méta-axiomes» ou du moins des notions primitives à la Théorie des Modèles elle-même ??
VRB Blazy Pour te répondre, je dois te parler de langage/signature. Une signature est un ensemble de symboles, qui vont représenter des relations (qui ont chacune une certaine arité (un nombre d'argument)), en comprenant notamment la relation binaire particulière d'égalité que l'on note généralement "=". [Remarque : une fonction et une constante peuvent être vues comme des relations.] Pourquoi avoir besoin d'une signature ? Pour pouvoir construire des formules qui exprimeront des liens (via les relations) entre les individus d'un ensemble (c'est l'idée sémantique), mais ici on est dans la syntaxique. Imagine une signature S qui n'est constituée que du symbole = et d'un symbole binaire R. On appelle "S-structure" la donnée d'un ensemble non vide E muni de deux relations binaires : une qui va être interpréter comme l'égalité = que l'on connaît (c'est-à-dire la diagonale de ExE), et une qui va être une relation binaire (un sous-ensemble de ExE) quelconque. Ainsi, on pourra interpréter (sémantique) les formules (syntaxique). Dans mon exemple cité plus haut, la signature peut se résumer à {=}. Une {=}-structure sera alors un ensemble E non vide muni de la diagonale de ExE.
Et oui merci bien à vrai dire je connais tous ça, mais hélas cela ne répond pas à la seconde partie de mes interrogations (à partir de la deuxième citation de tes propos), mais si je me à lire entre tes lignes (et celles de tout ce que j'ai pu lire à ce sujet) ce qu'il en est, je dirais que les ensembles sont bien des notions primitives de la Théorie des Modèles, et il est nécessaire avant même de parler de Modèle ou de S-Structure de disposer de celle-ci. En cela la Théorie des Modèles est un sous-domaine de la Théorie des Ensemble, qui est une Théorie logique qui doit bien nécessiter quelques méta-axiomes (telle l'extentionnalité) avant de permettre la définition de Théories Axiomatiques et de leurs Modèles, dans lesquelles et lesquels on peut ou non utiliser les ensembles déjà nécessairement posés préexistants.
allo juste une suggestion et une question bonjours ma question si il est pas trop tard. voici ma question et surtout une vidéo sur le sujet des angles solide je crois. c est un peu comme un arc de cercle mais sur un sphère. Comment peux ton calculer la surface d'une sphère englober par un cercle de rayon r exemple la propagation de la lumière se fait sphérique et je suis juste curieux de savoir comment calculer la surface dune voile a lumière et la quantité de photon quelle reçoit selon sa distance R de la source et le rayon de sa zone circulaire je sais pas si tu comprend la question??????? tu trace un cercle sur une sphere et comment je calcul l air de la surface englober par ce cerle est ce clair??????? amuse toi et merci pour les vuideo
Je suis le seul à n'avoir rien compris à la solution du défi Lê n°2 ? En quoi diviser le codage d'une preuve par une puissance d'un nombre premier montre qu'un certain caractère apparaît ? Et d'où sortent 12 et 13 ?
Petite question, as tu mis ou quelqu'un connait il la réponse sur "la question a poser à l'ange ou au demon pour ouvrir la bonne porte"?. Je la cherches mais ne la trouve pas. Merci à la personne qui saura répondre.
Certes. Maintenant, le niveau enseigné en maths est médiocre, disons le, par rapport au siècle dernier, et ça n'empêche pas la plupart des élèves de trouver les maths trop abstraites, trop dures, inutiles, a-quoi-ça-sert-monsieur. La filière S sauve un peu les meubles, mais dans les autres (ES, techno, pro...), c'est risible. Et un peu triste aussi
J'ai une question qui a un rapport avec les sommes infinies et les ordinaux. Puisqu'à chaque fois qu'on "prouve" que la somme des n fait -1/12, on omet la partie divergente, on pourrait pas dire (en considérant qu'il existe des ordinaux non entiers) que la somme des n fait oméga - 1/12?
Il n'y a pas "d'inverse" de 1/12 (en tant qu'ordinal) dans la classe des ordinaux. Tu ne peux donc écrire "-1/12" (en tant qu'ordinal). En fait, mathématiquement, mais d'une certaine façon, tu peux définir que la somme des n vaut -1/12. En effet, si tu considères les séries de terme général 1/(n^z) où z est un nombre complexe (on a donc affaire à une fonction définie sur C, l'ensemble des nombres complexes, de domaine a priori inconnu, et possédant une singularité en 0), alors tu as que cette série converge sur tous les complexes de partie réelle strictement positive. Cette partie étant un ensemble ouvert de C, tu peux étendre de manière unique cette fonction (sous des conditions) sur tout C. Tu peux vérifier qu'alors la valeur de -1 vaut -1/12. Tu peux ainsi définir la limite d'une série de cette forme par la valeur que prend cette fonction. (En effet, des notions de convergence, tu peux en créer à ta guise. Cf. Topologie générale - Convergence)
MrAmericanDreams oui c'est la fonction Zeta de Riemann qu'on prolonge "naturellement", mais justement en admettant que w - 1/12 ait un sens (même si ce n'est plus l'opposé de 1/12, enfin si on peut faire des opérations avec les ordinaux on pourrait définir une soustraction non?), est-ce qu'on pourrait prolonger Zeta mais où la partie à gauche de 1 faut w + le prolongement actuel?
On définit dans ZF ce qu'est l'union de deux ensembles. Si on suppose N un ensemble (pour 0, prendre pour N l'ensemble vide (défini dans ZF)), alors {N} sera un ensemble et N union {N} aussi. On dira que celui-ci sera N + 1 (définition).
En plus à l'époque il y avait des maths en fac de biologie... Pleins de potentiels chercheurs en biologie qui ont fini en secrétariat à cause de ça, parce que la réforme les avait largués
Quelle est la réelle différence entre une "preuve" et une "démonstration" ? On utilise souvent les deux dans le même contexte, ce qui agace sérieusement mon prof de français...
En général ils sont synonymes mais je préfère réserver "démonstration" aux démonstrations formelles (suites de formules vérifiant telle et telle condition) et "preuve" aux preuves écrites qu'un mathématicien fait.Je ne sais pas dans quelle mesure c'est l'usage mais ça peut être important
+MrAmericanDreams Je pense en effet qu'il nous corrigeait plutôt sur le terme "prouver"... Mais étant donné que la différence n'est ni évidente ni vraiment utile, je pense utiliser les deux dans le même contexte, en réservant le terme "démonstration" à une idée plus abstraite du raisonnement.
Une proposition indécidable est une proposition vrai mais indémontrable, cela voudrait dire aussi par contraposition que sa négation fausse mais est démontrable.
On définit dans ZF ce qu'est l'union de deux ensembles. Si on suppose N un ensemble (pour 0, prendre pour N l'ensemble vide (défini dans ZF)), alors {N} sera un ensemble et N union {N} aussi. On dira que celui-ci sera N + 1 (définition).
Alors, c'est bien, hein, très bien. Sauf que Le Bourbaki sur l'image est Le général français de La guerre de 1870... D'où le magnifique uniforme... Mais à part c'était parfait!
Pas de bol, mon père a écrit quelque chose sur le général Bourbaki (relation avec la guerre de 70), et depuis le début de la vidéo, je me disais qu'il y avait un truc qui clochait x) . Bien essayé, tu pourras pas leurrer tout le monde, mais en soit c'est une bonne chose
Bonsoir science4all. je suis Gandalf et je suis en train de reforger ma communauté de l'anneau. J'aimerai bien que tu en face parti parce que je t'adore. si ça te dit, dit le moi et je te filerai une énigme et si tu la résoud d'une bonne manière tu sera dans les personnages principaux. biz
40 prof de maths après un cursus pas déshonorant passant par maths sup et maths spé….ben je vois que je ne joue pas dans la même division, mais je m'accroche :-)
attention à tes sources Bourbaki n'est pas une personne mais un groupe de mathématicien français, la photo que tu as pris est celle de nicolas bourbaki un général français.
shikagohan bah nous aux maroc on le fait ^^ on fait les groupes les anneau les ensembles et meme les espaces vecto en terminale et la theorie des ensemble grosso modo et tres approximative on la fait en premiere
J'ai appris ça en première année de prépa personnellement, soit un an après le bac ^^ Les étudiants marocains de mon lycée se tournaient les pouces en math au début de l'année.
shikagohan on fait aussi de l'analyse, moi la je suis en premiere et par exemple les limites on les fait vraiment genre la definition avec des quantificateurs. y'a meme certains tarés qui parlent de topologie et de voisinage dans leurs cours sur les limites
Est ce que tu es sur qu'il existe des théorèmes dont l'indécidabilité est indécidable? J'avais déjà eu cette discussion avec un abo, et ma conclusion personnelle était que c'était en fait impossible, par le raisonnement suivant : Supposons qu'on aie un théorème dont l'indécidabilité est indécidable. Alors il n'existe pas de preuve de ce théorème. En effet, si on en avait une, alors le théorème serait décidable (car démontré vrai) et donc de décidabilité décidable. Mais dire qu'il n'a pas de preuve revient à dire qu'il est indécidable! (puisque qu'on peut faire le même raisonnement à propos d'une certaine preuve de la fausseté de ce théorème) Ainsi, dire qu'un théorème aurait une indécidabilité indécidable reviendrait à dire que ce théorème est indécidable, ce qui est absurde. Donc un tel théorème n'existe pas. Je ne sais pas si c'est valide, je ne maitrise pas bien ce sujet, qu'en penses tu?
N'ayant pas d'exemple d'indécidabilité indécidable, je ne peux pas prouver que ça existe. Cependant, je ne suis pas convaincu par ton raisonnement. Si un théorème a une indécidabilité indécidable, alors, en effet, il est possible que ce théorème soit effectivement indécidable. Cependant, ça ne veut pas dire qu'il existe une preuve que ce théorème est effectivement indécidable (tout comme le fait que le théorème construit par Gödel dans sa preuve d'incomplétude est vrai n'implique pas que ce théorème a une preuve).
Science4All (français) un théorème dont l' indécididabilité indécidable est un théorème dont on ne peut dire ni qu'il a une preuve ni qu'il n'en a pas, mais ce cas de figure est écarté par le principe logique du tiers exclu qu'en pensez vous ?
+Math&Magique +Science4All (français) En fait, on peut montrer que dans une théorie récursivement axiomatisable, cohérente, et compatible avec l’arithmétique standard, la décidabilité d’une proposition A quelconque (notée Dec(A)) et la décidabilité de cette décidabilité (notée Dec(Dec(A))) sont équivalentes ! D’une part : supposons Dec(A), alors il est possible d’exhiber une preuve de A ou il est possible d’exhiber une preuve de non(A). En exhibant une preuve de A ou en exhibant une preuve de non(A), on montre alors qu’il est possible d’exhiber une preuve de Dec(A) ; donc Dec(Dec(A)) est vraie. Ainsi Dec(A) ⇒ Dec(Dec(A)). Et puis d’autre part, pour la réciproque : supposons Dec(Dec(A)), alors il est possible d’exhiber une preuve de Dec(A) ou il est possible d’exhiber une preuve de non(Dec(A)). Or, il n’est pas possible d’exhiber une preuve de non(Dec(A)) dans une théorie cohérente, car sinon cela voudrait dire qu’on prouverait que cette théorie est cohérente dans cette même théorie, ce qui contredit le second théorème d’incomplétude de Gödel. Donc il est nécessairement possible d’exhiber une preuve de Dec(A), et donc Dec(A) est vraie. D’où Dec(Dec(A)) ⇒ Dec(A). QED. Ce raisonnement est disponible sur MathOverflow (mathoverflow.net/questions/185538/decidability-of-decidability) avec plus de formalisme, il remarque également qu’à partir du moment où on a une proposition indécidable dans une théorie cohérente qui satisfait aux hypothèses susmentionnées, cette proposition est ∞-indécidable ;-). Ainsi, il est impossible d’exhiber une proposition A où Dec(A) est fausse mais où Dec(Dec(A)) est vraie dans notre théorie. Autrement dit, il est impossible de démontrer dans une même théorie récursivement axiomatisable, cohérente, et compatible avec l’arithmétique standard qu’une proposition est indécidable.
> Très très bien. Sauf que 'Bourbaki' n'existe pas. 'Bourbaki' est un nom inventé de toute pièce par un Collectif de mathématiciens illustres se moquant de notions iconoclastes introduites par de pseudo-mathématiciens' sans talent, mais soucieux de faire 'abstrait' pour faire 'génial'... .. « Nicolas Bourbaki Nicolas Bourbaki est un mathématicien imaginaire, sous le nom duquel un groupe de mathématiciens francophones, formé en 1935 à Besse (aujourd'hui Besse-et-Saint-Anastaise) en Auvergne sous l'impulsion d'André Weil, a commencé à écrire et éditer des textes mathématiques à la fin des années 1930. L'objectif premier était la rédaction d'un traité d'analyse. Le groupe s'est constitué en association, l'Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki, le 30 août 1952. Sa composition a évolué avec un renouvellement constant de générations. Sous le nom N. Bourbaki fut publiée une présentation cohérente des mathématiques, appuyée sur la notion de structure, dans une série d'ouvrages sous le titre Éléments de mathématique. Cette œuvre est à ce jour inachevée. Elle a eu une influence notable sur l'enseignement des mathématiques et sur l'évolution des mathématiques du xxe siècle. Toutefois, elle connaît de nombreuses critiques : incompatibilité entre le formalisme retenu et la théorie des catégories, style trop formel, rejet de la théorie des probabilités, manque d'exemples, incompréhension des étudiants, etc. À ces critiques, on peut opposer l'enthousiasme du grand mathématicien Emil Artin : « Notre époque assiste à la création d'un ouvrage monumental : un exposé de la totalité des mathématiques d'aujourd'hui. De plus, cet exposé est fait de telle manière que les liens entre les diverses branches des mathématiques deviennent clairement visibles. » L'activité du groupe a cependant dépassé la seule rédaction d'ouvrages, par exemple avec l'organisation des séminaires Bourbaki. » fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki ....
L'idée des mathématiques modernes est exactement la même qui fait qu'un professeur des écoles n'est pas censé donner de devoirs. On constate que des parents issus de couches sociales basses ne peuvent pas aider leurs enfants pour les devoirs. Alors que ceux qui sont issus de couches plus élevées le peuvent. Pour ne pas avantager les uns aux dépends des autres, on supprime les devoirs pour sortir les parents de l'équation. Sauf que c'est complètement débile parce que certains parents vont spontanément mettre des bouquins dans les mains de leurs enfants, les amener au musée, leurs expliquer plein de trucs, et pas les autres parents. L'idée derrière les maths modernes était d'enseigner le raisonnement en partant de maths qu'aucun parents n'avait vu. Et donc ça serait plus égalitaire. Épic fail !
voila depuis, les gens ne se font plus enseigner comment on fait une addition ou comment on resoud un systeme lineaire simple c'est comme gourieroux et monfort, rien de tel pour ecoeurer a jamais les non econometres! ca n'a du sens que sur les gens qui ont deja le niveau
@@مقاطعمضكة Déjà "charlatante" non, il n'y a aucune arnaque derrière ça. Ensuite, ZF est là pour fournir un cadre rigoureux aux mathématiques usuelles. Si l'on s'en passe, soit on part d'une autre théorie dont le but est aussi de fournir un cadre rigoureux, mais vous aurez les mêmes critiques, soit de se passer d'un cadre rigoureux. C'est possible de se passer d'un tel cadre, toujours est-il qu'à un moment, vous serez obligé de sortir certaines propriétés du chapeau. Par exemple, qu'est-ce qu'un nombre ? Pourquoi l'addition est-elle commutative ? Diriez-vous que les postulats d'Euclide sont du charlatanisme ? Quelle vision avez-vous des mathématiques ?
j'ai plusieurs cas qui prouvent que le theoreme fondamental de l'algebre est faux. si deux fnctions ont meme derivee, leur difference n'est pas forcement une constante.
Ce sont les THEORISMES qui gouvernent le monde, mais pas les mathématiques. Sans les THEORISMES (les constructions mentales, les concepts, les idées, les brevets, etc.) tu ne peux pas vivre car tu ne peux tout simplement pas comprendre le monde qui t'entoure. Au quotidien 99,99 % des gens n'utilisent quasiment "jamais" les maths. Les math ça sert à "quantifier les choses" mais ça ne sert pas à vivre au quotidien. Les mathématiques ça ne sert qu'à quantifier les théorismes mais pas à expliquer le monde. Guy Patel ; expansologue, coopérologue, intellectuologue.
salut tt le monde que ce passera t'il si on rajoute la négation d'une proposition vraie mais indécidable, à la liste d'axiomes choisis au départ. je reformule : que ce passera t'il si on rajoute une proposition fausse et indécidable, à la liste d'axiomes choisis au départ ? je pense que là aussi il sera impossible de détecter la moindre incohérence, et donc la théorie restera quand même cohérente je commence a sentir mon cerveau qui surchauffe lol
Non, on ne suppose pas qu'il est faux, on ne fait simplement pas de supposition. Et franchement supposer que l'axiome du choix est faux c'est un peu bizarre. C'est supposer qu'il existe un ensemble X qui n'admet pas de fonction de choix. Très bizarre de supposer qu'il existe un ensemble, on ne sait pas lequel, qui ne vérifie pas une propriété. On pourrait imaginer supposer une version plus forte, par exemple qu'aucun ensemble infini n'admet de fonction de choix.
Science4All (français) est ce qu'on comprend de ce que vous venez de dire que pour augmenter les chances de la cohérence d'une théorie mieux vaut à sa disposition le minimum d'axiomes possible ? et que donc la seul chose dont on est sûr de sa cohérence c'est la non-science ?
Cette présentation est inexacte. Bourbaki n’est nullement le successeur de Cantor et autres promoteurs de la théorie des ensembles. Il n’y a aucun théorème récent, la conjecture de Poincaré par exemple, qui doive quoi que ce soit à la théorie des ensembles. Si la conjecture de Riemann ’est un jour démontré, la démonstration de devra rien à la théorie des ensembles. Comme le disait Poincaré, les mathématiques guériront un jour de cette théorie, j’ajoute n’en gardant que le minimum utile. (Nota: Bourbaki n’a jamais rien démontré, il n’en a d’ailleurs jamais eu l’ambition)
Le mec à résolu le problème le plus difficile de toute l'histoire des mathématiques et ils l'on laissé pourrir en prison? Ce problème est tellement important qu'il conduirait à l’effondrement de l'économie mondiale s'il était résolu par quelqu'un de malhonnête! Et on a laissé le seul homme au monde qui savait le résoudre finir ses jours derrière les barreaux?
"Bourbaki semblait avoir trouvé une preuve complète de l'hypothèse de Riemann, mais les temps de visite autorisés étaient trop étroits pour les contenir." xD Ca a fait ma soirée.
Toujours bien travaillées tes vidéos, merci.
Une "méthode générale" pour prouver l'indécidabilité de certains énoncés (en réponse à une des questions qui étaient posées avant): la théorie des ensembles se base aujourd'hui aussi sur la théorie des modèles, qui en gros représentent des "mondes possibles" (pour ceux qui connaissent un peu de philo c'est l'idée): si on se donne un énoncé, comme par exemple "pour tout x, il existe y tel que y est en relation avec x", ça n'a pas de sens de dire en général s'il est vrai ou faux: il faut l'interpréter dans une structure qu'on appelle modèle. La définition de démonstration est telle que si un énoncé est prouvable dans une théorie, alors il est vrai dans tout modèle de cette théorie (un monde possible où la théorie est vraie) : c'est intuitivement "logique": s'il y avait un monde possible où la théorie est vraie, mais pas l'énoncé, c'est que notre preuve est fausse. Ainsi, si on peut trouver un monde possible où l'énoncé est faux, c'est qu'il n'existe pas de preuve de cet énoncé! De même s'il existe un monde possible où cet énoncé est vrai, il n'existe pas de preuve de la négation de cet énoncé ! Si on est dans les deux cas (il y a un monde où il est vrai, et un monde où il est faux), alors l'énoncé est indécidable : on peut dire qu'il est indépendant de la théorie, cette dernière n'apporte pas assez d'information pour pouvoir décider la valeur de cet énoncé. Ainsi ce qu'un mathématicien dit lorsqu'il dit "on ne peut ni prouver ni réfuter l'axiome du choix", c'est juste "dans certains mondes, l'axiome du choix est vrai, dans d'autres il est faux". Le travail à faire est donc de trouver ces mondes.
Pour ceux qui connaissent un peu de maths avancées (à peine), c'est un peu comme demander si "pour tout x, pour tout y, xy =yx" peut être prouvé ou réfuté dans la théorie des groupes. La réponse est non: il y a des groupes (qui sont ici nos mondes possibles) dans lesquels c'est vrai, d'autres dans lesquels c'est faux, donc c'est un énoncé indépendant de la théorie des groupes.
Excellent résumé !
Une petite question : "S'il y avait un monde possible où la théorie est vraie, mais pas l'énoncé, c'est que notre preuve est fausse." Tu veux dire qu'on a enfreint une des règles du système déductif ? Parce que, ce qu'il pourrait se passer aussi, c'est que justement le système déductif soit complètement foireux (par exemple, imaginer un système qui permet de démontrer n'importe quelle formule). Dans ce cas-ci, la preuve est vraie... et non fausse. Maintenant, c'est vrai que l'idée intuitive de preuve est séparée en deux : d'une part, on axiomatise le "raisonnement" via un système déductif, d'une autre part, on définit ce qu'est que démontrer. Du coup, dire qu'une preuve est "fausse" peut être dû à deux choses : soit le raisonnement est mauvais, soit on a mal démontré.
Ce qu'on peut imaginer aussi, c'est que le système soit bien trop faible, voire même très grossier, dans ce sens où il ne permet pas de donner de "nouvelles" formules. Mais un tel système ne sera pas intéressant en ce qu'il ne permet pas de vérifier la réciproque du théorème (de sanité) que tu as énoncé ci-dessus : "S'il existe une preuve d'une proposition P à partir d'une théorie T, alors P est vrai dans tous les modèles de T."
MrAmericanDreams L'extrait que tu cites était un résumé du sens facile du théorème de complétude : tu as raison, si le système déductif est mal foutu, alors on peut prouver n'importe quoi. Mais les mathématiciens qui ont créé ça ont défini les démonstrations formelles de sorte qu'elles "conservent la verité", donc en gros de sorte que le système déductif soit pas trop foireux. Donc de ce fait, vu que la système déductif est bon, si ça marche pas, c'est que la preuve est fausse (pour reprendre l'analogie avec les groupes : si je crois prouver un théorème sur les groupes et que j'en trouve un qui est un contrexemple, la première chose que je vais faire c'est penser que ma preuve est fausse, pas que les groupes n'existent pas)
Oui tu as parfaitement raison, et à nouveau c'est le théorème de complétude qui nous dit que le système déductif qu'on a mis en place est pas trop mal : la réciproque est vraie, si une proposition est tout le temps vraie dans les modèles de T, elle est prouvable à partir de T
@TheMaxthimax > Très très bien.
Sauf que 'Bourbaki' n'existe pas.
'Bourbaki' est un nom inventé de toute pièce par un Collectif de mathématiciens illustres se moquant de notions iconoclastes introduites par de pseudo-mathématiciens' sans talent, mais soucieux de faire 'abstrait' pour faire 'génial'...
..
« Nicolas Bourbaki
Nicolas Bourbaki est un mathématicien imaginaire, sous le nom duquel un groupe de mathématiciens francophones, formé en 1935 à Besse (aujourd'hui Besse-et-Saint-Anastaise) en Auvergne sous l'impulsion d'André Weil, a commencé à écrire et éditer des textes mathématiques à la fin des années 1930. L'objectif premier était la rédaction d'un traité d'analyse. Le groupe s'est constitué en association, l'Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki, le 30 août 1952. Sa composition a évolué avec un renouvellement constant de générations.
Sous le nom N. Bourbaki fut publiée une présentation cohérente des mathématiques, appuyée sur la notion de structure, dans une série d'ouvrages sous le titre Éléments de mathématique. Cette œuvre est à ce jour inachevée. Elle a eu une influence notable sur l'enseignement des mathématiques et sur l'évolution des mathématiques du xxe siècle. Toutefois, elle connaît de nombreuses critiques : incompatibilité entre le formalisme retenu et la théorie des catégories, style trop formel, rejet de la théorie des probabilités, manque d'exemples, incompréhension des étudiants, etc. À ces critiques, on peut opposer l'enthousiasme du grand mathématicien Emil Artin : « Notre époque assiste à la création d'un ouvrage monumental : un exposé de la totalité des mathématiques d'aujourd'hui. De plus, cet exposé est fait de telle manière que les liens entre les diverses branches des mathématiques deviennent clairement visibles. »
L'activité du groupe a cependant dépassé la seule rédaction d'ouvrages, par exemple avec l'organisation des séminaires Bourbaki. »
Tu parles fort bien de ce que tu ignores parfaitement, TheMathimax.., tu illustres parfaitement ce dont les 'vrais' Mathématiciens se moquent.
Je pense que mon doctorat de 7ème cycle me permet de me foutre juste un peu de ton développement prétentieux, illogique et creux...
.....
Phi. Borgne Plusieurs choses à répondre à un message si agressif : 1- Pourquoi parles-tu de Bourbaki ? je n'en ai pas parlé, donc encore moins sous-entendu qu'il s'agissait d'une personne...
2- Tu parles de mathématiciens sans talent, dont fait partie André Weil. J'y vois comme une contradiction, mais ceci est un avis personnel (enfin aussi celui de la quasi-totalité de la communauté mathématique, mais il s'agit là d'un détail).
3- Je ne vois pas pourquoi tu insinues que j'ignore ce dont je parle, à moins que tu ne me pointes vers une erreur notable de ce que j'ai écrit, erreur que, si elle existe, je me verrai dans l'obligation d'indiquer à Daniel Lascar, René Cori et Jean-Louis Krivine qui sont essentiellement les mathématiciens dont j'ai tiré mon apprentissage des bases de la théorie des modèles.
4- Où est la prétention et l'illogisme dans ce que je dis ? Je ne ferai pas de remarques sur ta prétention, car tu serais un "vrai" mathématicien, comment pourrais-je te reprocher ta prétention ?
J'essaierai de ne pas répondre à tes prochains commentaires s'ils sont aussi agressifs et sans justification que celui-là. Si tu as quelque chose à reprocher à mon commentaire de sérieux, précise ta pensée et alors je pourrai selon la situation modifier mon commentaire, ou me défendre et t'expliquer pourquoi tu te trompes.
....yes
L'un des mérites de cette vidéo, et non des moindres, est l'océan des commentaires qu'elle a déclenché.
Né en 1968, je suis tombé dans les maths modernes quand j'étais petit, et ce n'est pas grâce à cela que je suis devenu professeur agrégé de mathématique.
Oui les éléments de Bourbaki sont le meilleur fondement de toute la mathématique... d'un point de vue logique. Mais du point de vue historique et pédagogique c'est le chemin inverse qui mène à ce paradis des idées :
1 expérience physique, intuition immédiate, utilitarisme de l'outil mathématique comme descriptif du monde
2 fonctionnement interne des maths comme objet d'étude et comme jeu
3 fondement théorique de la mathématique
Des esprits exceptionnels peuvent entrer en mathématique par la voie théorique, mais la voie naturelle, bien empruntée, aboutit nécessairement aux fondements théoriques d'une façon qui me semble plus adéquate.
Pour illustrer l'absurdité de la réforme des maths modernes au primaire/collège, il y a toujours la fameuse anecdote du mathématicien russe Vladimir Arnold qui disait : A la question « Combien font 2 +3 ? » un élève d’école français te répond « 3 +2, puisque l’addition est commutative ». Il ne sait même pas à quoi cette somme était égale et ne comprends même pas ce qu'on lui demande.
Désormais non seulement ils ne savent pas répondre 5, mais en plus ils ignorent ce qu'est la commutativité.
C est exagéré quand même !
Cette réforme n'était pas absurde mais elle avait deux défauts importants :
- D'abord de ne pas traiter vraiment la géométrie. Il aurait fallu sortir un peu du cadre hilbertien pour faciliter le travail du prof de physique de seconde C qui devait traiter de statique (aujourd'hui on ne fait plus de statique du solide au lycée et encore moins de dynamique du solide donc ce serait moins problématique).
- Surtout d'être enseigné à tout le monde à partir de 1975. Cette réforme n'était pas conçue du tout dans la perspective du collège unique.
Sinon elle formait très bien à un parcours que j'ai bien connu vers la série C puis Maths sup/Maths spé....Alors qu'aujourd'hui l'enseignement secondaire n'alimente pas suffisamment ni correctement les CPGE scientifiques même après la réforme du lycée.
Ouah ! C'est génial ! Surtout parce que tu as vraiment l'air passionné et ça se sent ! Je suis prof de français maintenant mais j'ai fait bcp de maths avant, à la fac et en école d'ingénieur ! MERCI ET FELICITATIONS :-)
Non mais Pierre, je ne m'attendais pas du tout, mais PAS du tout à vous trouver ici
bourbaky est un speudonyme d'un groupe de matheux, bourbaky mathématicien n'aurait jamais existé
Bonjour Lê,
Bonjour à tous,
Concernant la consistance et la non-contradiction de ZFC et la confiance qu'on peut porter à l'oeuvre de Bourbaki (dont je suis un fervent admirateur) on peut rappeler le magnifique final de l'introduction de la "théorie des ensembles", qui, en plus d'être rassurant, est écrit dans la belle langue de Molière :
"En résumé, nous croyons que la mathématique est destinée à survivre, et qu'on ne verra jamais les parties essentielles de ce majestueux édifice s'écrouler du fait d'une contradiction soudain manifestée; mais nous ne prétendons pas que cette opinion repose sur autre chose que sur l'expérience. C'est peu, dirons certain.
Mais voilà vingt-cinq siècles que les mathématiques ont l'habitude de corriger leurs erreurs et d'en voir leur science enrichie, non appauvrie; cela leur donne le droit d'envisager l'avenir avec sérénité"
C'est ce que j'appelle être confiant et réaliste en même temps.
Cet épisode m'a donné envie de me refaire tous les épisodes ! Merci de partager ta passion !
depuit 4 episode je suis completement largués . mais ses un plaisir d'essayer de comprendre . MERCI !!
Je suis heureux que vous ayez mentionné que la réforme de l'enseignement des mathématique a été un retentissant échec pédagogique. J'étais excellent en mathématiques mais après ma "rencontre" avec cette réforme, je m'en suis détourné. Quel intérêt de prouver que 1+1=2 comme l'a fait Russell dans un ouvrage démentiel, les Principia. Comme l'a si bien observé le mathématicien René Thom qui s'est battu contre les formalisateurs: "Tout ce qui est rigoureux est insignifiant" ou encore " ...l'intérêt ou l'utilité d'une idée mathématique ou physique est rarement synonyme de rigueur formelle".
Petite correction : les éléments de mathématique de Bourbaki n’utilisent pas ZFC mais ZFtau, l’axiome du choix de ZFC est remplacé dans bourbaki par l’opérateur de Hilbert tau qui sert entre autre à définir le quantificateur existentiel et le cardinal d’un ensemble. Et c’est ça justement l’intérêt des éléments ! Une construction nouvelle des mathématiques en remplaçant l’axiome du choix. Le système de bourbaki n’est presque plus utilisé aujourd’hui, les mathématiques qu’on utilise sont celles de la théorie ZFC
Mec ça fait bien longtemps qu'on fait plus de structures algébriques au lycée, ni de théorie des ensembles ! On ne fait presque plus rien au lycée, et au collège n'en parlons pas ... Réforme après réforme, c'est la médiocrité qui s'installe, tous les profs (quelque soit la matière) te le diront. En maths, un très faible pourcentage d'élève sait encore ce qu'est (et comprend vraiment le sens d') une démonstration mathématiques, et la rigueur nécessaire. Je ne sais pas en quelle année les programmes scolaires ont été modifiés comme tu le dis, mais ça doit faire vachement longtemps ! Je te crois sur parole quand tu dis que ça a créé beaucoup d'inégalités en terme de niveau au sein des élèves, mais ça ne peut pas être pire que maintenant ... Jette un oeil à un programme de TS de cette année puis à un programme de TS de y'a 30 ans, ça va te faire drôle je crois !
Ce qu'il faut, c'est faire les choses bien, et dans toutes les matières. Arrêter les maths "recettes de cuisine" et retourner à des vraies maths, c'est à dire à de la compréhension et du raisonnement, pas des formules à rentrer dans la calculette ou apprendre par coeur la démonstration de "si Vn est plus grande que l'infini alors Vn est infinie" ... (ROC RPZ lol).
Du coup, peux-tu préciser cette histoire de programmes scolaires ?
De nos jours, la rigueur s'est perdue dans les programmes (même si en TS elle survit un peu ...), et le niveau baisse de réforme en réforme. Tous les ministres cherchent à niveler par le bas, au lieu de garder l'excellence des meilleurs et de redoubler d'effort pour permettre à tout le monde de l'atteindre.
credos97 C'est exactement ça le problème, je suis en première année d'études sup en physique, mais le manque de rigueur mathématique se fait durement ressentir. Ces réformes visant le collège et le lycée impactent très largement les études sup aussi...
oui.
Je te rejoins complètement
En 1961, 11,2% d'une génération avait le bac. En 1994, l'année de mon bac 58.6% et en 2016 78,6%. Même avec la meilleure pédagogie du monde et en améliorant l'accès aux études, je ne vois pas comment en 50 ans, les nouvelles générations peuvent avoir 7 fois plus de bacheliers sans baisser le niveau des mêmes épreuves de cet examen. Comparons aussi le ratio de mentions, le pourcentage n’arrête pas d'augmenter. Statistiquement les êtres humains sont de plus en plus intelligents (en terme de QI) mais pas au point de surpasser très largement nos ainés.
Soyons honnêtes, le bac S d'aujourd'hui n'a pas le niveau d'un bac Mathématiques de 1960. Pour autant, là ne réside pas le problème. La société évolue, le bac aussi c'est naturel. Le souci est que les mathématiques ne sont enseignées que sous forme de recette de cuisine. La rigueur de raisonnement ne fait plus partie de l'enseignement. Et sans rigueur de penser comment les élèves, futurs citoyens, pourront faire jouer correctement leur libre arbitre? L'éducation nationale a, en cela, failli.
Sinon Science4All vous faites des vidéos très instructives et intéressantes. Continuez!
Mes sources:
www.education.gouv.fr/cid56455/le-baccalaureat-2016-session-de-juin.html
cache.media.education.gouv.fr/file/47/9/5479.pdf
www.education.gouv.fr/cid110041/mathematiques-et-sciences-resultats-de-l-etude-timss-2015.html
QI: fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Flynn
Bac 1966: www.apmep.fr/Annee-1966-35-sujets
Youpi Company Les maths de lycée, actuellement, ne sont même pas une recette, c'est même pas une formule magique à appliquer, c'est tout simplement le contenue d'une calculatrice qui est recraché sur papier...
Je ne suis pas Français , je n'ai pas fait mes études secondaires en France (J'ai commencé mes études en France en prépas ). Mais on suivait dans mon pays d'origine le même programme à l'époque que la France. La réforme des maths modernes a été évidemment une catastrophe d'après mes profs de lycée qui ont suivis cet enseignement dans les années 70, à part pour quelques rares élèves très brillants.
Ceci dit les réformes successives peuvent également se révéler néfastes , tellement le niveau du contenu et des exigences s'est effondré en 30 ans de réformes, creusant naturellement l'écart entre certains grands lycées et les autres , entres élèves cultivés , bien informés et/ou vivants dans un milieu social bien propice avec encadrement à domiciles et les autres etc.. Bref tout l'inverse du but affirmé de ces réformes qui était, selon les auteurs , de démocratiser l'enseignement et de le rendre plus égalitaire (alors qu'il serait plus bénéfique selon moi d'inciter surtout à la culture de l'effort et de familiariser les élèves avec la démonstration en géométrie dès le collège qui est certes rigoureuse mais très visuelle et peut partir sur des postulats très simples (d'Euclide) que même un élève moyen de sixième peut comprendre sans difficulté et enchainer avec un raisonnement déductif par étapes ).
Pour moi le meilleur programme au lycée ( et collège) est celui du début des années 80 qui a suivi la période des maths modernes et qui correspond à celui que j'ai suivi ( Il me semble qu'on a arrêté de s'aligner sur les réformes des programmes français dans mon pays dans les années 80 ). Ce programme élimine l'abstraction folle et inutile des maths modernes (notamment tout ce qui est théorie des ensembles , les définitions absconses même des objets les plus élémentaires ) tout un conservant un contenu complet , un retour de la géométrie euclidienne (pure, vectorielle et affine) qui reprend de nouveau une place prépondérante, un certain niveau d'exigence et SURTOUT une VRAIE SYNERGIE entre les maths et la Physique (Ce qui a totalement disparu il me semble dans les programmes d'Aujourd'hui ) . Je me souviens par exemple qu'on utilisait beaucoup les vecteurs en seconde pour résoudre graphiquement les problèmes d'équilibre de corps soumis à plusieurs forces. Les barycentres pour les problèmes de centre de masse , quantité de mouvement etc..toujours en seconde , le théorème de Thalès pour les problèmes d'optiques en troisième etc. ça permettait de consolider les notions apprises en maths et de voir leur intérêt. via des applications en physique . Idem en premier on a fait un cours de cinématique d'abord en maths (comme une sorte d'application du cours sur la dérivation ) avant de le voir en Physique en terminale . Ce qui facilite évidemment l'assimilation. Idem pour d' autres notions comme le produit vectoriel vu en maths en premier , et appliqué en physique en Terminale pour calculer le moment cinétique , la force de Lorentz , l'orientation de l'espace avec le bonhomme d'Ampère etc.
Tout ça pour dire qu'on peut , via une synergie avec les maths, faire au lycée de la physique plus intéressante, plus formelle (mais pas trop non plus ^^) et surtout moins de blabla qui pullule hélas dans les manuels actuels de physique au lycée et qui noie le sujet et qui surtout n'entraine pas les élèves à la résolutions des problèmes. La différence de contenu et le niveau des exercices est absolument abyssale entre les bouquins des années 80 (que j'ai utilisés) et ceux d'aujourd'hui, que ce soit en maths ou Physique. Et je ne parle même pas de la géométrie qui a quasi complètement disparu des programmes de lycée :p
Désolé pour ce commentaire long et un peu HS ( ça concerne quand même un peu la réforme des maths modernes et ses effets psychologiques sur les réformes suivantes ^^)
Justement je pense que c'était bien de voir la théorie des ensembles des le plus jeune âge.Quand on baisse le niveau on augmente l'inégalité entre les familles"cultivés" et les "autres"
Excellent ce que vous dites!! surtout le lien avec la physique. merci!
@@tatianaa6342 ce n'est pas en étant concret que vous baissez le niveau. Loin de là! A moins que vous vouliez faire de la littérature des maths...
Les programmes de la filière C des années 1971-1982 sont à mon sens les plus beaux programmes de filière scientifique de tous les temps.
10 fois plus de volume qu'aujourd'hui ...
En bossant avec ces livres j'ai des réponses et des éclairages que je n'ai pas eu dans les livres de licence et prépa. Entre autres, la compatibilité de la multiplication sur N² avec la relation d'équivalence qui permet de construire Z (difficulté technique toujours passée sous silence), une présentation de la construction des opérations sur N à l'aide du vocabulaire ensembliste, une réflexion sur les relations binaires plus poussée (ordre strict ...), etc.
Tout à fait d'accord avec vous. Entré en 6ème en 71, bac C en 78. Les complexes définis comme ensemble de matrices (2,2), les sinus comme des classes d'équivalence (en 4ème). Il y avait de la profondeur. Seul pb les prof pataugeaient un peu. Mais les élèves étaient ravis de découvrir de la théorie sans utilité pratique. 40 ans plus tard dans ma vie quotidienne aujourd'hui je pense souvent à la décomposition unique d'une application en une injection composée à une surjection ou encore au nombre de surjections entre 2 ensembles. Le théorème de la base incomplète, les questions de dimensions avec la dim du noyau et la dim de l'image, voilà de quoi élargir l'horizon. En quoi la pédagogie actuelle est-elle meilleure? A voir les exercices du bac de cette année (placer des points sur un cercle trigonométrique) on peut dire que l'ambition des programmes a sérieusement régressé en 40 ans. Quelle responsabilité sur les épaules des hiérarques de l'éducation nationale!
"J'ai plus confiance en ZFC qu'en n'importe quelle théorie... de physique par exemple". C'est un troll pour David Louapre ?
On va dire que oui ^^
Je suis bien tombé dans le panneau, meme qd il a dit avoir prouvé l'hypothèse de Riehmann lol
j'ai hâte de voir des théories "alternatives" ! d'ailleurs, pourquoi sont-elles alternatives ? après tout ça reste des maths non ?
en passant :j'aime toujours autant la série de vidéos !
HydroxyChloride Il y a la théorie du lambda calcul, qui fonde les maths sur la notion fonction, celle des catégories qui préfère les fonder sur la notion de "structure algèbrique", etc. En général ces théories restent étudiées mais du point de vue ensembliste et leur caractère fondateur est plus une curiosité qu'autre chose.
On attends toujours une video sur le programme de maths en france et si possible une comparaison par rapport a d’autres pays.
On a peut être moins de médailles Fields d'une manière absolue, mais la quantité par habitants est supérieure à celle des Etats Unis il me semble ! ^^
Oui :)
Prouver l'indécidabilité de certains énoncés !... hum, il me semble qu'il y a les paradoxes pour cela, du genre :
"le barbier rase tous les gens de mon village qui ne se rasent pas eux mêmes"
question "le barbier se rase t-il lui même ??? "
Donc selon bourbaki les nombres réels sont des classes d'équivalence de suites de Cauchy de rationnels ?
Oui. C'est la définition la plus optimale, en ce sens qu'elle se transporte à d'autres structures (par exemple sur tout anneau valué). Ce genre de procédé s'appelle "compléter".
MrAmericanDreams Que penses-tu de la définition des réels comme par celle des surréels comme des surréels particuliers? Elle me semble tellement plus simple...
Plus simple ? Tu penses ? C'est que tu n'as pas vraiment compris le sens de la construction de Méray-Cantor... Mais ce n'est que mon avis. Question : comment proposes-tu de construire l'ensemble des surréels ?
MrAmericanDreams Oui je pense! Oulà attends avant de présumer doctement qu'il s'agit nécessairement d'une incompréhension de ma part... :P
Comme je les ai découverts: un nombre (sous-entendu surréel) sera défini comme un couple de nombre. À partir de là, en notant 0 le premier que tu obtiens (au «jour» par suite noté 0) soit 0:=(∅,∅) tu as ensuite 1:=(0,∅) et -1:=(∅,0) (au jour 1), puis de la même manière -2,-1/2,1/2 & 2 au jour 2 et ainsi de suite... En ω jours tu obtiens |R. Si ce n'est pas on ne peut plus simple ça !
MrAmericanDreams Je ne vois pas ta réponse mais comme j'en ai été notifié par mél je présume que c'est ça :
«Hmm... Un couple de nombres ? Tu supposes que ∅ = 0 ? Tu n'obtiendrais pas plutôt l'ensemble des nombres rationnels dans [0, 1] ?»
Oui un couple! Non non j'ai bien écrit: 0:=(∅,∅) ! N'ayant aucun nombre au départ, tu n'as comme ensemble de nombres que ∅. Enfin non tu obtiens bien tout |R, ça ne risque pas tu vois bien que dès le jour 1 tu sors de [0;1] avec -1 ^^...
Bonjour,
Il me semble que le dernier membre du groupe Bourbaki était Jean Dieudonné, qui est mort en 1992. Bernard Pivot l'avait invité dans son émission Apostrophe, dans les années 80, où il présentait son livre "Pour l'honneur de l'esprit humain". C'est un des rares livres des promos de Bernard Pivot que j'ai acheté, je l'ai lu à l'époque et il est super, je vous le recommande.
Bernard Pivot consacrait régulièrement une émission entière non seulement aux sciences, mais aussi parfois uniquement aux mathématiques, dans lesquelles il n'invitait que des mathématiciens, chose que, malheureusement, François Busnel ne fait pas (même réflexion à propos des gens de religion).
Le portrait est celui du grand général Charles-Denis Bourbaki, général de l'armée de l'Est et ne pas du mathématicien.L'Armée Bourbaki avec 80'000 soldats fut désarmé et intérné en Suisse suivant la Convention de Genève. Guerre Franco-Prusse-Général Bourbaki.
Et si on faisait le concours du théorème qui contient le plus haut niveau d'indécidabilités ? Je veux dire par là : on ne peut pas prouver qu'on ne peut pas prouver qu'on...qu'on ne peut pas prouver le théorème (n fois)
je pense qu'il en existe un avec un niveau d'indécidabilité aussi grand que l'on veut ! :D
impatient pour le hardcore !!
Bonjour, je n'avais pas vu cette vidéo, je la vois 5 ans plus tard. La constructions des entiers naturels est celle de Von Neumann. Pour Peano, il s'agissait de l'histoire des successeurs. Pour ma part, je pense que le modèle de la réforme remise de manière progressive au goût du jour (notamment, j'essaie de l'insérer d'une certaine façon cela dans mes vidéos par volontariat qui peut fonctionner). Toutefois, je pense que les mathématiques doivent être montrées telles qu'elles sont et pas forcément avec des vulgarisation à outrance et des louvoiements qui nuisent à la véracité des définitions des notions. Tout cela pour dire qu'une réforme moderne des mathématiques plus progressive et sinueuse pour rattraper la chute actuelle notamment pourrait fonctionner (nous voyons bien que ls techniques actuelles sont vouées à l'échec et obsolètes).
Bonne video :) . LE nom de la musique du début ?
Merci :)
La musique => audionautix.com/Music/Somber.mp3
Il a réussi à donner un visage à Bourbaki. Impressionnant.
J'ai bien peur qu'il y ait confusion. D'après Wikipedia, l'image est celle de Charles-Denis Bourbaki (1816-1897) qui n'a rien à voir avec les mathématiques du moins à ce niveau là. En revanche, Nicolas Bourbaki serait le nom d'un collectif de réformateurs des mathématiques mis en place par André Weil, Dieudonné etc. Mais c'est ce que dit Wikipedia rapporte. Je suppose que l'auteur de la vidéo sait de quoi il parle. Je relève simplement une incohérence... Précisément ce dont les mathématiciens ont horreur.
@@pierreboland8910non ,le nom du groupe de mathématiciens vient justement de ce général ,il n'y a pas d'"incohérences" ,il faut arrêter avec l'arrogance lol
Bonjour,comptez vous faire une FAQ pour en savoir un peu plus plus sur vous et vos intérêts s'il vous plaît ?
Cordialement Kleinatchoum.
On peut trouver ou le livre?
Il me semble qu'il y a une différence entre l'indécidabilité de la convergence des suites de Goddstein (vrai mais indécidable dans Peano) et l'indécidabilité de l'hypothèse du continue (Ni vraie ni fausse, la rajouter (ou sa contraposée) en axiome ne change pas la cohérence de la théorie).
Dans le premier cas, on est véritablement dans le cas d'un énoncé type théorème d'incomplétude. Dans le seconde cas, il s'agit simplement d'un énoncé hors d'atteinte des axiomes proposés.
Je me trompe ?
Le théorème de Goldstein est très sûrement vrai dans l'arithmétique de Peano, on dit qu'il est indémontrable, pas indécidable.
Un théorème indécidable est indémontrable mais un problème peut être indémontrable mais pourtant vrai. :)
Comme tu l'as dit, l,'indécidabilité c'est quand un théorème est hors d'atteinte des axiomes.
Ne s'éloigne-t-on pas du sujet de l'infini ? ;)
Pas du tout ! ZF est la théorie qui a permis aux mathématiciens du début du XXè siècle de formaliser la notion d'infini. Je défie quiconque de donner une bonne définition de l'infini qui ne revienne pas à une des définitions donnée dans ZF.
Peut on voir un nombre complexe comme un ensemble si l on suit la théorie exposer dans la vidéo ?
+Ardois Fartas oui. Tout est ensemble ;)
Pour étayer un peu (tout petit peu) la réponse de Lê :
Bourbaki décompose ses assemblages (c'est-à-dire, des suites à priori quelconque de symboles ) issus d'une construction formative en termes et relations (certaines relations ayant le droit d'être promues au rang de théorème).
L'ensemble des règles qui régissent le droit d'appeler de la sorte ces assemblages est appelée théorie mathématique.
Et il s'ensuit que l'on peut poser la définition suivante :
"On appelle ensemble tout terme de la théorie des ensembles".
donc tout ce qui n'est pas relation est terme donc ensemble.
Si n+1=nU{n}, du coup est-il correct de dire que 2 "est inclu dans" 3 ?
Oui tout à fait. D'ailleurs une des propriétés des ordinaux (une généralisation des entiers naturels) est qu'un ordinal alpha vérifie la propriété :
pour tout beta € alpha, beta est inclus dans alpha. :)
bourbaki est un personne fictif ..
Jolie ton histoire de Bourbaki. Tu tiens peut-être quelque chose qui sait ;)
Tu pourrais donner un exemple relativement simple de démonstration d'une proposition indécidable stp ?
Jonathan Dauwe Regarde la fin du commentaire épinglé ! :)
Considère T la théorie (ensemble d'axiomes) constituée uniquement de la proposition suivante : pour tout x, il existe y tel que x est différent de y. Question : puis-je démontrer (syntaxiquement) l'énoncé (symbolique) "(il existe x, il existe y tel que x et différent de y) et (pour tout x, pour tout y, il existe z tel que x est différent de z, et y est différent de z, et x différent de y)" ? La réponse est NON, c'est-à-dire que cette proposition (que l'on va appeler P) est indécidable. Explications. D'abord, il faut remarquer que la théorie T que l'on s'est donnée possède un modèle, c'est-à-dire une structure mathématique vérifiant chaque axiome de la théorie. En effet, si A est modèle de T, l'unique axiome de T (le premier donné) dit que A possède au moins 2 éléments. Tous les modèles de T sont donc exactement tous les ensembles ayant au moins 2 éléments. Comme il existe au moins un ensemble ayant au moins 2 éléments, c'est OK. Ensuite, une structure mathématique vérifiant P sera en fait un ensemble ayant au moins 3 éléments. Maintenant, imaginons un instant qu'il existe une preuve de P à partir de T. Alors tous les modèles de T vérifient P, c'est-à-dire tout ensemble avec au moins 2 éléments ont (en fait) 3 éléments. Ce qui est faux. Contradiction. L'hypothèse "P est démontrable à partir de T" est donc à rejeter. Donc P n'est pas démontrable à partir de T (via le tiers-exclu). Imaginons à présent qu'il existe une preuve de Non P à partir de T. Alors tous les modèles de T vérifient Non P, c'est-à-dire tout ensemble ayant au moins 2 éléments ont (en fait) au plus 2 éléments (on nie P). Ce qui est faux, une nouvelle fois, faux. Contradiction. L'hypothèse "Non P est démontrable à partir de T" est donc à rejeter. Donc Non P n'est pas démontrable à partir de T. Ainsi, la somme de ces résultats nous dit que P est indécidable dans T. En résumé, tu peux très bien avoir des ensembles avec au moins 2 éléments ayant au moins 3 éléments, comme des ensembles avec au moins 2 éléments ayant au plus 2 éléments. L'idée est donc que demander à un ensemble d'avoir au moins 2 éléments ne garantit pas que cet ensemble aura au moins 3 éléments ni qu'il n'en aura que 2. Aucune de ces deux propriétés n'est "atteignable" via la théorie / "vraie" dans la théorie. Par contre, si tu ajoutes P à la théorie T, alors les modèles de T seront les ensembles ayant au moins 3 éléments, et l'unique axiome de T sera prouvé par P. Donc la nouvelle théorie obtenue sera équivalente à celle donnée par P (les modèles sont les mêmes).
MrAmericanDreams Il y a quelque chose que je ne m'explique toujours pas dans mon avancée en amateur dans la logique mathématique : quand tu dis «une structure mathématique» comment est-ce défini? Et «il existe au moins un ensemble ayant au moins 2 éléments» dans quel cadre? Est-ce une assertion simplement philosophique ou est-ce de quelque manière formalisé? Y aurait-il des «méta-axiomes» ou du moins des notions primitives à la Théorie des Modèles elle-même ??
VRB Blazy Pour te répondre, je dois te parler de langage/signature. Une signature est un ensemble de symboles, qui vont représenter des relations (qui ont chacune une certaine arité (un nombre d'argument)), en comprenant notamment la relation binaire particulière d'égalité que l'on note généralement "=". [Remarque : une fonction et une constante peuvent être vues comme des relations.] Pourquoi avoir besoin d'une signature ? Pour pouvoir construire des formules qui exprimeront des liens (via les relations) entre les individus d'un ensemble (c'est l'idée sémantique), mais ici on est dans la syntaxique. Imagine une signature S qui n'est constituée que du symbole = et d'un symbole binaire R. On appelle "S-structure" la donnée d'un ensemble non vide E muni de deux relations binaires : une qui va être interpréter comme l'égalité = que l'on connaît (c'est-à-dire la diagonale de ExE), et une qui va être une relation binaire (un sous-ensemble de ExE) quelconque. Ainsi, on pourra interpréter (sémantique) les formules (syntaxique). Dans mon exemple cité plus haut, la signature peut se résumer à {=}. Une {=}-structure sera alors un ensemble E non vide muni de la diagonale de ExE.
Et oui merci bien à vrai dire je connais tous ça, mais hélas cela ne répond pas à la seconde partie de mes interrogations (à partir de la deuxième citation de tes propos), mais si je me à lire entre tes lignes (et celles de tout ce que j'ai pu lire à ce sujet) ce qu'il en est, je dirais que les ensembles sont bien des notions primitives de la Théorie des Modèles, et il est nécessaire avant même de parler de Modèle ou de S-Structure de disposer de celle-ci. En cela la Théorie des Modèles est un sous-domaine de la Théorie des Ensemble, qui est une Théorie logique qui doit bien nécessiter quelques méta-axiomes (telle l'extentionnalité) avant de permettre la définition de Théories Axiomatiques et de leurs Modèles, dans lesquelles et lesquels on peut ou non utiliser les ensembles déjà nécessairement posés préexistants.
Tu as déjà parlé des nombres "transfinis" (genre ....9) où quand tu ajoutes 1 ça fait 0 ?
Ce ne sont pas des nombres transfinis mais plutôt des nombres p-adiques, et oui il a traité le sujet ! :)
allo juste une suggestion et une question bonjours ma question si il est pas trop tard. voici ma question et surtout une vidéo sur le sujet des angles solide je crois. c est un peu comme un arc de cercle mais sur un sphère. Comment peux ton calculer la surface d'une sphère englober par un cercle de rayon r exemple la propagation de la lumière se fait sphérique et je suis juste curieux de savoir comment calculer la surface dune voile a lumière et la quantité de photon quelle reçoit selon sa distance R de la source et le rayon de sa zone circulaire je sais pas si tu comprend la question??????? tu trace un cercle sur une sphere et comment je calcul l air de la surface englober par ce cerle est ce clair??????? amuse toi et merci pour les vuideo
Je suis le seul à n'avoir rien compris à la solution du défi Lê n°2 ? En quoi diviser le codage d'une preuve par une puissance d'un nombre premier montre qu'un certain caractère apparaît ? Et d'où sortent 12 et 13 ?
Petite question, as tu mis ou quelqu'un connait il la réponse sur "la question a poser à l'ange ou au demon pour ouvrir la bonne porte"?. Je la cherches mais ne la trouve pas. Merci à la personne qui saura répondre.
Je crois que c'est dans les retours sur les commentaires de l'épisode Infini 18
c'est dommage qu'à cause des réformes les maths sont plus facile au lycée 😭
Certes. Maintenant, le niveau enseigné en maths est médiocre, disons le, par rapport au siècle dernier, et ça n'empêche pas la plupart des élèves de trouver les maths trop abstraites, trop dures, inutiles, a-quoi-ça-sert-monsieur. La filière S sauve un peu les meubles, mais dans les autres (ES, techno, pro...), c'est risible. Et un peu triste aussi
Moi qui m amuser quand les maths était plus dur
j'arrive pas à comprendre le désir de difficulté. . . Vous aviez cas faire le poirier pendant le bac.
Tu m'as tellement fait stresser avec ta vie inventée de Bourbaki... J'ai presque remis en cause tout ce que je savais sur eux...
Stp, tu as dit a un moment que tu etais chercheur aux USA, tu as quel age? Je te croyais tres jeune
J'ai une question qui a un rapport avec les sommes infinies et les ordinaux. Puisqu'à chaque fois qu'on "prouve" que la somme des n fait -1/12, on omet la partie divergente, on pourrait pas dire (en considérant qu'il existe des ordinaux non entiers) que la somme des n fait oméga - 1/12?
Il n'y a pas "d'inverse" de 1/12 (en tant qu'ordinal) dans la classe des ordinaux. Tu ne peux donc écrire "-1/12" (en tant qu'ordinal). En fait, mathématiquement, mais d'une certaine façon, tu peux définir que la somme des n vaut -1/12. En effet, si tu considères les séries de terme général 1/(n^z) où z est un nombre complexe (on a donc affaire à une fonction définie sur C, l'ensemble des nombres complexes, de domaine a priori inconnu, et possédant une singularité en 0), alors tu as que cette série converge sur tous les complexes de partie réelle strictement positive. Cette partie étant un ensemble ouvert de C, tu peux étendre de manière unique cette fonction (sous des conditions) sur tout C. Tu peux vérifier qu'alors la valeur de -1 vaut -1/12. Tu peux ainsi définir la limite d'une série de cette forme par la valeur que prend cette fonction. (En effet, des notions de convergence, tu peux en créer à ta guise. Cf. Topologie générale - Convergence)
+MrAmericanDreams quand tu as dit "inverse" de 1/12, le mot que tu cherchais étais "opposé"
C'est la même chose, en fait. "Inverse" au sens de l'addition.
MrAmericanDreams Ah, j'avais crut que tu cherchais tes mots.
MrAmericanDreams oui c'est la fonction Zeta de Riemann qu'on prolonge "naturellement", mais justement en admettant que w - 1/12 ait un sens (même si ce n'est plus l'opposé de 1/12, enfin si on peut faire des opérations avec les ordinaux on pourrait définir une soustraction non?), est-ce qu'on pourrait prolonger Zeta mais où la partie à gauche de 1 faut w + le prolongement actuel?
Une video sur la vie et l'oeuvre de Grothendieck un jour ?
Spoil
Bourbaki n'existe pas
Chercheur au usa :o t'a quelle age ?
à la minute 17 je suis un peu confus .. Tu définies l'addition alors que tu utilises l'addition dans la définition.
On définit dans ZF ce qu'est l'union de deux ensembles. Si on suppose N un ensemble (pour 0, prendre pour N l'ensemble vide (défini dans ZF)), alors {N} sera un ensemble et N union {N} aussi. On dira que celui-ci sera N + 1 (définition).
En plus à l'époque il y avait des maths en fac de biologie... Pleins de potentiels chercheurs en biologie qui ont fini en secrétariat à cause de ça, parce que la réforme les avait largués
Quelle est la réelle différence entre une "preuve" et une "démonstration" ? On utilise souvent les deux dans le même contexte, ce qui agace sérieusement mon prof de français...
+virgile caudan dans le cadre de mes vidéos, ce sont des synonymes. Je ne fais aucune différence entre ces deux mots
Ah merci. Parce que mon prof de Français ne cesse de corriger mon prof de maths en répétant que "les mathématiques n'ont rien à prouver"...
+virgile caudan Je pense que ton prof de Français fait en fait une "blague", en faisant usage d'une expression comprenant "prouver".
En général ils sont synonymes mais je préfère réserver "démonstration" aux démonstrations formelles (suites de formules vérifiant telle et telle condition) et "preuve" aux preuves écrites qu'un mathématicien fait.Je ne sais pas dans quelle mesure c'est l'usage mais ça peut être important
+MrAmericanDreams Je pense en effet qu'il nous corrigeait plutôt sur le terme "prouver"... Mais étant donné que la différence n'est ni évidente ni vraiment utile, je pense utiliser les deux dans le même contexte, en réservant le terme "démonstration" à une idée plus abstraite du raisonnement.
J'ai adoré la fausse mort de Bourbaki, une vraie perle.
Est ce que la démontrabilité d'un théorème prouve que ce théorème est vrai dans un système d'axiomes ?
Peux-tu être plus clair ? Plus explicite ? Sur base d'un exemple, peut-être ?
Une proposition indécidable est une proposition vrai mais indémontrable, cela voudrait dire aussi par contraposition que sa négation fausse mais est démontrable.
Une proposition indécidable ne peut être vraie (ni fausse).
Merci ! :D
MrAmericanDreams Ben non justement une proposition indécidable peut (selon le modèle) être vraie ou fausse.
on a donné l'enseignement des maths en France à "l"armée de Bourbaki"
Question facétieuse : où est enterré Nicolas Bourbaki ? :-)
Au Panthéon des mathématiques, bien sûr !
Son faire-part de décès indique "au cimetière des fonctions aléatoires " (métro Markov et Gödel) !
Si Bourbaki n'a jamais éxisté alors pourquoi à t'il une date de mort ?
Même les personnages fictifs peuvent mourir.
fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki#La_mort_de_Bourbaki
Mais ils sont aussi tarés qu'a l'OULIPO xD au moins ils vont loin dans leur délire et c'est plutôt fun :D
C'est une grosse bande de geeks ;)
wowwow t'es chercheur mais mdr jcroyais que t'avais 20ans!
Pour les médailles Fields, les Américains sont largués depuis 20 ans... C'est avec les Russes que les Français sont en compétition.
la photo est celle d'un militaire. Bourbaki etait un ensemble de mathematiciens non p
as un,seul
Problème cognitif ?
Et mais comment tu fais pour sortir une vidéo de 20 minutes toutes les semaines? WECH T TROP CHAUD!!!
Y'a pas un problème avec la définition même de l'addition dans ZFC ? ..: elle est elle même définition par une addition d'ensemble je comprends pas 😏
On définit dans ZF ce qu'est l'union de deux ensembles. Si on suppose N un ensemble (pour 0, prendre pour N l'ensemble vide (défini dans ZF)), alors {N} sera un ensemble et N union {N} aussi. On dira que celui-ci sera N + 1 (définition).
Alors, c'est bien, hein, très bien. Sauf que Le Bourbaki sur l'image est Le général français de La guerre de 1870... D'où le magnifique uniforme...
Mais à part c'était parfait!
Ce fut un échec la réforme Lichnerowicz ! Trop abstrait pour même les enseignants du secondaire
Pas de bol, mon père a écrit quelque chose sur le général Bourbaki (relation avec la guerre de 70), et depuis le début de la vidéo, je me disais qu'il y avait un truc qui clochait x) . Bien essayé, tu pourras pas leurrer tout le monde, mais en soit c'est une bonne chose
Bonsoir science4all. je suis Gandalf et je suis en train de reforger ma communauté de l'anneau. J'aimerai bien que tu en face parti parce que je t'adore. si ça te dit, dit le moi et je te filerai une énigme et si tu la résoud d'une bonne manière tu sera dans les personnages principaux. biz
Alors ... Je n'ai rien compris 😂... Bref je pense qu'il va me falloir du temps. C'est fou de penser que certains ont étudiés ça au collège/lycée.
Mon préféré Claude Chevalley .mais ils sont tous bon je pense à l énorme grothendieck serre , Alain connes et bien d autre
40 prof de maths après un cursus pas déshonorant passant par maths sup et maths spé….ben je vois que je ne joue pas dans la même division, mais je m'accroche :-)
attention à tes sources Bourbaki n'est pas une personne mais un groupe de mathématicien français, la photo que tu as pris est celle de nicolas bourbaki un général français.
Ça me paraissait étonnant qu'il ne sache pas ça ; en fait, il fait une blague qu'il n'avoue qu'à 9:06.
Tout est ensemble ! ou pas
Alfred Holley Le plus marrant c'est que c'est uniquement des ensembles vides !
Le monde mathématique moderne est fait de vide et de logique !
Youhou !
Tout est groupe (d'après Poincaré et Felix Klein ) donc tout est symétrie , donc tout est géométrie ^^
Plus les moyens utilisés sont abstraits plus les résultats sont cohérents j'ai l'impression x)
+Arthur Reitz Les ensembles sont construits à partir de l'ensemble vide, mais seul un d'entre eux est vide (via l'axiome d'extensionnalité).
je me disait aussi que nicolas ressemblais beaucoup a napoléon III ^^
sinon toujours aussi bien ^^
C'est en fait une photo du Général Charles-Denis Bourbaki ;)
fr.wikipedia.org/wiki/Charles-Denis_Bourbaki
Zut presque 😁
une coquille: extensionalité ne prend qu'un seul n
C'est sérieux l'apprentissage de la théorie des groupes au lycée la?? xD
shikagohan bah nous aux maroc on le fait ^^ on fait les groupes les anneau les ensembles et meme les espaces vecto en terminale et la theorie des ensemble grosso modo et tres approximative on la fait en premiere
J'ai appris ça en première année de prépa personnellement, soit un an après le bac ^^
Les étudiants marocains de mon lycée se tournaient les pouces en math au début de l'année.
De même en école d'ingénieur :D
Indécis Apatride. je crois qu'en terminal si on avait fait ça plutôt que de l'analyse h24 j'aurais encore plus apprécié les maths xD
shikagohan on fait aussi de l'analyse, moi la je suis en premiere et par exemple les limites on les fait vraiment genre la definition avec des quantificateurs. y'a meme certains tarés qui parlent de topologie et de voisinage dans leurs cours sur les limites
Poldévie?
nice work
www.ina.fr/audio/00341785
une émission diffusée de 1988
Merci !
13:58 haha
en fait, en ZFC, si x=y, alors pour tout a appartenant à x, a appartient à y (bon je peux pas mettre des formules dans les commentaires)
Non ça c'est x inclus dans y. :)
et vice versa
Est ce que tu es sur qu'il existe des théorèmes dont l'indécidabilité est indécidable? J'avais déjà eu cette discussion avec un abo, et ma conclusion personnelle était que c'était en fait impossible, par le raisonnement suivant :
Supposons qu'on aie un théorème dont l'indécidabilité est indécidable.
Alors il n'existe pas de preuve de ce théorème. En effet, si on en avait une, alors le théorème serait décidable (car démontré vrai) et donc de décidabilité décidable.
Mais dire qu'il n'a pas de preuve revient à dire qu'il est indécidable! (puisque qu'on peut faire le même raisonnement à propos d'une certaine preuve de la fausseté de ce théorème)
Ainsi, dire qu'un théorème aurait une indécidabilité indécidable reviendrait à dire que ce théorème est indécidable, ce qui est absurde.
Donc un tel théorème n'existe pas.
Je ne sais pas si c'est valide, je ne maitrise pas bien ce sujet, qu'en penses tu?
N'ayant pas d'exemple d'indécidabilité indécidable, je ne peux pas prouver que ça existe.
Cependant, je ne suis pas convaincu par ton raisonnement. Si un théorème a une indécidabilité indécidable, alors, en effet, il est possible que ce théorème soit effectivement indécidable. Cependant, ça ne veut pas dire qu'il existe une preuve que ce théorème est effectivement indécidable (tout comme le fait que le théorème construit par Gödel dans sa preuve d'incomplétude est vrai n'implique pas que ce théorème a une preuve).
Science4All (français) un théorème dont l' indécididabilité indécidable est un théorème dont on ne peut dire ni qu'il a une preuve ni qu'il n'en a pas, mais ce cas de figure est écarté par le principe logique du tiers exclu
qu'en pensez vous ?
+Math&Magique +Science4All (français)
En fait, on peut montrer que dans une théorie récursivement axiomatisable, cohérente, et compatible avec l’arithmétique standard, la décidabilité d’une proposition A quelconque (notée Dec(A)) et la décidabilité de cette décidabilité (notée Dec(Dec(A))) sont équivalentes !
D’une part : supposons Dec(A), alors il est possible d’exhiber une preuve de A ou il est possible d’exhiber une preuve de non(A). En exhibant une preuve de A ou en exhibant une preuve de non(A), on montre alors qu’il est possible d’exhiber une preuve de Dec(A) ; donc Dec(Dec(A)) est vraie. Ainsi Dec(A) ⇒ Dec(Dec(A)).
Et puis d’autre part, pour la réciproque : supposons Dec(Dec(A)), alors il est possible d’exhiber une preuve de Dec(A) ou il est possible d’exhiber une preuve de non(Dec(A)). Or, il n’est pas possible d’exhiber une preuve de non(Dec(A)) dans une théorie cohérente, car sinon cela voudrait dire qu’on prouverait que cette théorie est cohérente dans cette même théorie, ce qui contredit le second théorème d’incomplétude de Gödel. Donc il est nécessairement possible d’exhiber une preuve de Dec(A), et donc Dec(A) est vraie. D’où Dec(Dec(A)) ⇒ Dec(A). QED.
Ce raisonnement est disponible sur MathOverflow (mathoverflow.net/questions/185538/decidability-of-decidability) avec plus de formalisme, il remarque également qu’à partir du moment où on a une proposition indécidable dans une théorie cohérente qui satisfait aux hypothèses susmentionnées, cette proposition est ∞-indécidable ;-).
Ainsi, il est impossible d’exhiber une proposition A où Dec(A) est fausse mais où Dec(Dec(A)) est vraie dans notre théorie. Autrement dit, il est impossible de démontrer dans une même théorie récursivement axiomatisable, cohérente, et compatible avec l’arithmétique standard qu’une proposition est indécidable.
Léonard Benedetti merci infiniment de cette réponse
> Très très bien.
Sauf que 'Bourbaki' n'existe pas.
'Bourbaki' est un nom inventé de toute pièce par un Collectif de mathématiciens illustres se moquant de notions iconoclastes introduites par de pseudo-mathématiciens' sans talent, mais soucieux de faire 'abstrait' pour faire 'génial'...
..
« Nicolas Bourbaki
Nicolas Bourbaki est un mathématicien imaginaire, sous le nom duquel un groupe de mathématiciens francophones, formé en 1935 à Besse (aujourd'hui Besse-et-Saint-Anastaise) en Auvergne sous l'impulsion d'André Weil, a commencé à écrire et éditer des textes mathématiques à la fin des années 1930. L'objectif premier était la rédaction d'un traité d'analyse. Le groupe s'est constitué en association, l'Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki, le 30 août 1952. Sa composition a évolué avec un renouvellement constant de générations.
Sous le nom N. Bourbaki fut publiée une présentation cohérente des mathématiques, appuyée sur la notion de structure, dans une série d'ouvrages sous le titre Éléments de mathématique. Cette œuvre est à ce jour inachevée. Elle a eu une influence notable sur l'enseignement des mathématiques et sur l'évolution des mathématiques du xxe siècle. Toutefois, elle connaît de nombreuses critiques : incompatibilité entre le formalisme retenu et la théorie des catégories, style trop formel, rejet de la théorie des probabilités, manque d'exemples, incompréhension des étudiants, etc. À ces critiques, on peut opposer l'enthousiasme du grand mathématicien Emil Artin : « Notre époque assiste à la création d'un ouvrage monumental : un exposé de la totalité des mathématiques d'aujourd'hui. De plus, cet exposé est fait de telle manière que les liens entre les diverses branches des mathématiques deviennent clairement visibles. »
L'activité du groupe a cependant dépassé la seule rédaction d'ouvrages, par exemple avec l'organisation des séminaires Bourbaki. »
fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki
....
Qu'est ce qui est vrai et qu'est ce qui est faux dans cette vidéo?
Toute la biographie de Bourbaki est fausse (sauf le groupe à la fin). Le reste est vrai.
L'idée des mathématiques modernes est exactement la même qui fait qu'un professeur des écoles n'est pas censé donner de devoirs. On constate que des parents issus de couches sociales basses ne peuvent pas aider leurs enfants pour les devoirs. Alors que ceux qui sont issus de couches plus élevées le peuvent. Pour ne pas avantager les uns aux dépends des autres, on supprime les devoirs pour sortir les parents de l'équation. Sauf que c'est complètement débile parce que certains parents vont spontanément mettre des bouquins dans les mains de leurs enfants, les amener au musée, leurs expliquer plein de trucs, et pas les autres parents.
L'idée derrière les maths modernes était d'enseigner le raisonnement en partant de maths qu'aucun parents n'avait vu. Et donc ça serait plus égalitaire. Épic fail !
voila
depuis, les gens ne se font plus enseigner comment on fait une addition ou comment on resoud un systeme lineaire simple
c'est comme gourieroux et monfort, rien de tel pour ecoeurer a jamais les non econometres!
ca n'a du sens que sur les gens qui ont deja le niveau
Le probleme des math ce n est pas labstration ou la theorisation mais le manque de resultat tirės de ses construction tres abstrais
D'où sortez-vous cette idée fausse ? Les mathématiques abstraites sont extrêmement prolifiques.
Donnez moi un resultats utile tiré de la theorie de zermelo hhhhhh
C une perte de temps
@@مقاطعمضكة N'importe quel résultat des mathématiques classiques. Au hasard, le théorème de Bézout.
@@DanielBWilliams le teoreme de bezout est deja demontré . Sans recours a cette charlatante abstraction unitule.
@@مقاطعمضكة Déjà "charlatante" non, il n'y a aucune arnaque derrière ça.
Ensuite, ZF est là pour fournir un cadre rigoureux aux mathématiques usuelles. Si l'on s'en passe, soit on part d'une autre théorie dont le but est aussi de fournir un cadre rigoureux, mais vous aurez les mêmes critiques, soit de se passer d'un cadre rigoureux.
C'est possible de se passer d'un tel cadre, toujours est-il qu'à un moment, vous serez obligé de sortir certaines propriétés du chapeau.
Par exemple, qu'est-ce qu'un nombre ? Pourquoi l'addition est-elle commutative ?
Diriez-vous que les postulats d'Euclide sont du charlatanisme ? Quelle vision avez-vous des mathématiques ?
Il paraît que Bourbaki n'est une groupe de personnes
Trovarsi nel 1980 all’età di 10 anni alle scuole elementari con la matematica moderna. Come iniziare MALE lo studio della matematica.
Mais Bourbaki n est qu un pseudonyme .il s agit d un groupe d excellents mathematiciens
L'auteur de la vidéo le sait, il le dit justement à 9:06.
j'ai plusieurs cas qui prouvent que le theoreme fondamental de l'algebre est faux. si deux fnctions ont meme derivee, leur difference n'est pas forcement une constante.
Mais bien sûr, théorème fondamental de l'ALGEBRE et fonctions DERIVÉES (analyse)....
Pas touche aux Physiciens stp 😂😂😂
🌚🖤🖤🖤🤸🧘
Bourbaki aussi était étrange en fait.
Bourbaki c est un pseudonyme collectif et ne réfère pas à une personne.
L'auteur de la vidéo le sait, il le dit justement à 9:06.
Ce sont les THEORISMES qui gouvernent le monde, mais pas les mathématiques.
Sans les THEORISMES (les constructions mentales, les concepts, les idées, les brevets, etc.) tu ne peux pas vivre car tu ne peux tout simplement pas comprendre le monde qui t'entoure.
Au quotidien 99,99 % des gens n'utilisent quasiment "jamais" les maths.
Les math ça sert à "quantifier les choses" mais ça ne sert pas à vivre au quotidien.
Les mathématiques ça ne sert qu'à quantifier les théorismes mais pas à expliquer le monde.
Guy Patel ; expansologue, coopérologue, intellectuologue.
Je ne comprends pas où vous voulez en venir.
salut tt le monde
que ce passera t'il si on rajoute la négation d'une proposition vraie mais indécidable, à la liste d'axiomes choisis au départ. je reformule : que ce passera t'il si on rajoute une proposition fausse et indécidable, à la liste d'axiomes choisis au départ ?
je pense que là aussi il sera impossible de détecter la moindre incohérence, et donc la théorie restera quand même cohérente
je commence a sentir mon cerveau qui surchauffe lol
donc si on suppose que l'axiome du choix est faux par exemple, estce que les maths resteront tjrs aussi fascinantes ?
oui ! Je dirais même que je préfère les maths sans l'axiome du choix :P
On y viendra ;)
Non, on ne suppose pas qu'il est faux, on ne fait simplement pas de supposition.
Et franchement supposer que l'axiome du choix est faux c'est un peu bizarre. C'est supposer qu'il existe un ensemble X qui n'admet pas de fonction de choix. Très bizarre de supposer qu'il existe un ensemble, on ne sait pas lequel, qui ne vérifie pas une propriété.
On pourrait imaginer supposer une version plus forte, par exemple qu'aucun ensemble infini n'admet de fonction de choix.
Science4All (français) est ce qu'on comprend de ce que vous venez de dire que pour augmenter les chances de la cohérence d'une théorie mieux vaut à sa disposition le minimum d'axiomes possible ? et que donc la seul chose dont on est sûr de sa cohérence c'est la non-science ?
En reprenant cet exemple là, est-ce qu'on peut donner une valeur de vérité à un proposition indécidable dans une théorie ?
Cette présentation est inexacte. Bourbaki n’est nullement le successeur de Cantor et autres promoteurs de la théorie des ensembles. Il n’y a aucun théorème récent, la conjecture de Poincaré par exemple, qui doive quoi que ce soit à la théorie des ensembles. Si la conjecture de Riemann ’est un jour démontré, la démonstration de devra rien à la théorie des ensembles. Comme le disait Poincaré, les mathématiques guériront un jour de cette théorie, j’ajoute n’en gardant que le minimum utile. (Nota: Bourbaki n’a jamais rien démontré, il n’en a d’ailleurs jamais eu l’ambition)
La France veut pas de mathématicien, elle veut des bon petits moutons bien docile acro a la télé réalité et tpmp ^^
Le mec à résolu le problème le plus difficile de toute l'histoire des mathématiques et ils l'on laissé pourrir en prison?
Ce problème est tellement important qu'il conduirait à l’effondrement de l'économie mondiale s'il était résolu par quelqu'un de malhonnête!
Et on a laissé le seul homme au monde qui savait le résoudre finir ses jours derrière les barreaux?
yes !!!
Salut
heu...le légendaire et imaginaire Nicolas Bourbaki . Ce n'est pas une personne physique , il me semble .
Problème cognitif ?