Certains ensembles sont ni finis, ni infinis ! Infini 23
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- เผยแพร่เมื่อ 29 ก.ย. 2024
- Cette vidéo étudie certains aspects intrigants et surprenants des mathématiques intuitionnistes. #DébattonsMieux
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ERRATUM : L'addition des floats est en fait bel et bien commutative. En revanche, elle n'est pas associative, dans la mesure où, en général (x+y)+z ≠ x+(y+z), (notamment si y=-z et |y|=|z| >> |x|).
Science4All (français) Desolé j'ai mis un commentaire redondant et je ne peux pas le trouver pour l'effacer. Merci youtube sur tablette...
Pour démontrez ce que tu as dit vers 4:49,je peut dire : mon père est chauve,mais (admettons qu'il y est un nombre infinis de pères) ce n'est pas avec un père que tu vas avoir pour tout les pères,il faudrait un super pouvoir pour le savoir.
c'est pire mdr
Ah oui, j'allais poster la remarque 🙂. Et il y a un autre truc bizarroïde, c'est l'égalité des flottants, qui n'est pas réflexive, ce qui est assez fort de café. Tout ça à cause de NaN qui n'est pas égal à lui-même.
salut, dans la vidéo tu cites deux théorèmes de logique intuitionniste concernant les ensembles mesurables et les fonctions continues, as tu des ressources là dessus ? En cherchant sur l'intuitionisme, je ne trouve rien de plus spécifique sur la théorie de la mesure et les fonctions continues. Ca me rappelle l'analyse complexe où toutes les fonctions holomorphes sont continues, c'est puissant comme résultat.
"Toutes les fonctions y sont continues"
Je repense au nombre de fois ou j'ai perdu des points en DS parce que j'ai oublié de justifier qu'une fonction était continue.
Je décide qu'à partir de maintenant je fais des mathématiques intuitionnistes.
Tu pourrais expliquer un peu plus pourquoi toutes les fonctions sont continues en math intuitionniste, sachant que l'on a en tête de très forts contre-exemples en math ZFC...
Encore une video formidable. Merci.
Les mathématiques vont un jour me rendre fou🥶🥶
La fin ressemble vraiment a du "ouvrez votre cœur au constructivisme" :D
Je parlais de guerre Athée, ca commence, on essaye d'atteindre nos cœurs lol
Non je resterais platonicien (début de l’extrémisme athée...?)
Il faut que je deviennent un prédicateur du platonisme le monde va mal :D
Plus sérieusement merci pour votre vidéo j'aime beaucoup le côté "Ouside the scholar box", on a souvent une vision dogmatique dans l'enseignement de la mathématique : "Voici les bons axiomes roulez jeunesse"
Ai-je tant l'air d'un prophète ? Je veux juste vous évangéliser et vous faire voir la lumière...
#PlatonicienFTW sera ma réponse :)
Ô vous homme de peu de foi ouvrez vos coeurs a la pureté et la beauté de sortir de la caverne.
Ô vous homme de peu de foi prenez gare à ces Intuitionnistes qui se complaise dans leur caverne
Ô vous homme de peu de foi ne regardez pas les ombres mais la "réalité abstraite irréelle" quand bien même fut-elle effrayante...
Bon c'est pas tout ça j'ai du code a optimiser :D
Moais. Je trouve que ça part un peu loin.
Un résultat annoncé qui choque au départ mais qui n'est finalement qu'un raisonnement simple sur une hypothèse foutraque. Et au final, ça n'avance pas à grand chose.
Les infinis n’ont pas de taille
Tu fais trop le connaisseur
oai c'est comme l'eau qui est ni chaude ni froide, c'est qu'elle est tiède, et ton blablabla c'est juste de l'enfumage
N. Trieste en apparence moi aussi je pensais que c’était de l’enfumage mais en vrai non. C’est complètement fou
L'ensemble des réels est en bijection avec un sous ensemble de N ; c'est quand même dingue de se rendre compte qu'on appelle ça "intuitionnisme" xD
Ce youtuber mathématique dénonce un scandale touchant le youtube mathématique tout entier !
Les noms qu'il va donner va vous surprendre !
+Arthur Reitz Haha
Une de tes meilleures vidéos, j'espère que tu reviendras à ce genre de sujets un jour sur la chaîne ! Tu as un grand talent pour vulgariser tout ça.
Juste une petite correction/précision. L'arithmétique flottante est, contrairement à ce que tu as dit, commutative, ie: x+y = y+x. Par contre, cette arithmétique n'est pas associative, ie: (x+y)+z != x+(y+z).
C'est pas grand chose, mais comme j'en bouffe à longueur de journée, je voulais rétablir la vérité ;)
Quand c'est ni fini, ni infini, c'est indéfini ? :)
C'est fou, dans ces épisodes, la partie des questions/commentaires est souvent toujours aussi intéressante que l'épisode lui-même !
C'est ce qu'il se passe quand on a la chance d'avoir des questions / commentaires de qualité :)
Le principe du tiers exclus, c'est vrai ou c'est pas vrai ?
Hahaha excellent !
XD
C'est un principe logique et non mathématique, s'il n'est pas respecté alors certaines implications seront fausses ou voire incohérentes.
Les mathématiques sont synthétiques, elles créent des concepts. La logique formelle est analytique, c'est l'ensemble des règles de manipulation de concept qui sont valables pour tout concept. Les logiques appliquées incluent certains principes (de restriction ou d'extension), mais restent analytiques et non synthétiques, et ainsi éternellement hors mathématiques.
"Il est grand temps de quitter le paradis créé par Cantor, et dans lequel Hilbert nous a enfermé" 😱 paye ta phrase choc
Au pire c'est pas grave, on sait tous que c'est pas les tailles qui comptent.
Même moi je me pensais pas capable de sortir une blague de ce genre dans les commentaires d'une de tes vidéos. Comme quoi l'inventivité humaine est sans limite (ou peut-être qu'elle n'est ni infinie ni finie, hmmmmmmm)
Les tailles ? T'en as plusieurs ?
#chanceux
Ça fait parti des choses qui évoluent au fil du temps, donc j'ai une taille mais à des moments différents
#coquin
Comme quoi l'inventivité humaine est sans limite ou peut-être qu'elle n'est ni infinie ni finie, une question à creuser ^^ je m'y colle
Vous avez 4H
j'aime bien tes vidéos. Mais je comprends rien. Du coup ça agit comme un somnifère :) Je pense franchement que tu expliques bien mais que je devrais avoir de plus solides bases avant de les regarder :)
Par contre, pense à bloquer ta balance des blancs ;)
En effet, meme moi qui suis passé par un cursus plutot scientifique (prepa PCSI PC en revanche), je suis globalement largué. On est clairement face a un contenu réservé aux "initiés" (mais quelqu un qui n y comprend rien pourrait developper une curiosité et des interrogations, ce qui est le but recherché, a mon sens ;) )
Pour faciliter votre compréhension, je vous recommande de mettre régulièrement pause à la vidéo, et pourquoi pas de prendre des notes. Personnellement étant issu d'un cursus de philosophie je suis assez largué mais en revissionnant plusieurs fois, la compréhension est tout de même plus limpide.
Sur l'exemple que vous donnez pour un ensemble "indénombrable", la définition de l'ensemble X ne me parait pas constructiviste, car on ne donne pas d'"algorithme" pour le faire, donc le fait que son cardinal soit non défini dans la logique intuitionniste me parait normal car c'est un objet définit dans une autre logique.
Je me trompe peut être mais je n'arrive pas à m'expliquer que X puisse être défini en Logique intuitionniste.
J'ai une question qui est venue en lisant un article sur le superbowl(qui était un super match cette années).
Il a était dit que pendant ce superbowl 27 records ont étaient battu. Or battre 27 records est un records, donc c'est 28 records qui ont étaient battu. Meh, du coup le record du nombre de record est à nouveau battu et le sera à l'infinis ?
Comment un bon matheu se sort de cette situation.
michel lambin Hmmm selon moi (et sans être un bon matheux du coup) le record du nombre de records battus ajoute un point au compteur, alors le nombre de records battus augmente de un mais le précédent record de records battus est toujours battus, donc cela ne change rien.
Pour le dire autrement, à l'instant où le record de records battus a été battu, alors il l'a été de 2 records d'un coup : celui qui a servi à dépasser le nombre de records précédent et celui du nouveau record de records battus.
Après si on sort du cadre du Super Bowl et qu'on voit les choses de manière plus large et plus mathématique, le "paradoxe" que tu soulèves se rapproche d'un raisonnement par récurrence.
Erreur dans ton raisonnement. qui dis que 27 est le plus grand nombre de records battus pendant un superbowl?
Si on trouve un précédent superbowl pendant lequel 28 records auraient été battus alors quand il est dit dans l'article que tu as lu que 27 records étaient battus, c'est bien 27 et pas un de plus.
à mon avis, le problème est mal posé. c'est quoi un record ?
Pierre Stöber À mon avis, c'est encore plus profond que ça: Qu'est ce que l'existence ?
T'as super bien amené la logique intuitionniste dans tes vidéos, merci !
Par contre je trouve que ça porte mal son nom, "intuitionniste" alors que c'est assez contre intuitif (à cause de notre "traditions" comme tu le dis... mais bon ! :p)
Oui, la terminologie est un peu bizarre...
Bonjour,
... je suis modérément convaincu.
Pour retracer mon parcours, il est grosso-modo le même que le votre, modulo le fait que j'ai quitté la recherche il y un moment ; plus précisément, je me suis extasié sur la rigueur de l'analyse epsilon-delta, puis quelques années plus tard je me suis extasié sur les théories plus avancées utilisant des concepts plus abstrait pour éviter de couper les epsilons en 4, sur les structures magnifique que l'on mettait en évidence et les jolis théorèmes d'existence tenant en deux lignes. Puis j'ai fait un master et une thèse en math appli, et là j'ai vu toute la faiblesse d'un théorème d'existence non-constructive. Faiblesse que j'avais déjà entrevu avant ça via des conséquences de l'axiome du choix (qui décide arbitrairement qu'un truc existe, alors même qu'on peut facilement construire des exemples où construire effectivement le truc existant sera totalement impossible).
Jusque là, la même conclusion que vous : je suis le candidat idéal pour faire de la logique intuitionniste (dont je n'avais pas franchement entendu parler avant vos vidéo - enfin j'en avais entendu parlé de façon très lointaine).
... Mais voilà : pour ce que je constate, l'histoire des maths est en grande partie une histoire de complétions d'ensembles (ou plutôt de structures). C'est-à-dire, j'ai une structure avec une propriété du type "ah ben des fois ça marche bien, et d'autres fois non lol" ; de là, je construis une sur-structure plus grande (en un certain sens), minimale (en un certain sens), contenant la structure initiale (en un certain sens), pour laquelle la propriété fonctionne toujours.
Bref, j'ai mon plan euclidien, des fois deux droit s'intersectent et d'autre fois, non ? Je fais une complétion géométrique et je passe au plan projectif, maintenant toute mes droite s'intersectent en un point. J'ai un corps de base, certaines équations polynomiales ont autant de solution que leur degré (comptées avec leur multiplicité) et d'autre non ? Je fais une complétion algébrique, la clôture algébrique. Et l'exemple le plus célèbre, même si historiquement on a mis un temps fou à parvenir à le penser ainsi : on passe de Q à R via une complétion topologique.
Toutes ces complétion vont par nature donner des théorème d'existence non-constructifs. Parce que c'est leur but : parvenir à affirmer "tel type d'équation a toujours exactement le nombre idéal de solution, youpi".
Alors, soit, je suis entièrement d'accord que ces théorèmes d'existence ont un intérêt limité si on ne sait rien en faire.
Seulement, voilà : ces constructions n'ont pas été faites pour le fun (...enfin, pas *uniquement* pour le fun), mais surtout parce qu'il est beaucoup plus simple de séparer les problème. ie, je cherche la solution d'un problème, il est plus simple de d'abord montrer qu'elle existe, et maintenant que je sais que je ne manipule pas du caca mais bel et bien un objet mathématiques, de montrer qu'elle vérifie telle ou telle propriété. Desquelles propriétés je vais déduire, je vous le donne en mille ? Exactement, une procédure de calcul effectif. C'est très souvent comme ça que ça s'est fait/continue à se faire.
De façon générale, il est plus simple de se demander l'espace dans lequel se trouve la solution (qui souvent existe si l'existence d'une solution n'est pas immédiatement incohérente), puis se demander si cette solution se trouve dans l'espace initial, celui qui nous intéressait au départ (si je cherche exclusivement les solutions continues d'une EDP, j'ai pas grand chose à carrer qu'il existe des solutions non-continues - sauf si j'arrive à construire une solution continue grâce à elles), puis enfin trouver des propriétés et des méthodes de calcul.
... Je pourrais aussi parler de ma thèse, si je m'en souvenais suffisamment bien ; mais on était exactement dans un cas où la théorie disait "pour tout savoir du système, il vous suffit de savoir calculer telle fonction - mais je sais pas vraiment comment on passe de cette fonction aux autres propriétés", et dans les faits les physiciens avaient déjà développé une méthode de calcul en cherchant juste à calculer la fonction en question, *puis* en constatant par chance que toutes les propriétés se déduisaient des intermédiaires de calculs, et ma thèse a refait la même en changeant la méthode de calcul - *puis* à nouveau en se rendant compte que les nouveau intermédiaires de calculs permettaient à nouveau de calculer les autres propriétés. En rejetant a priori ce théorème indiquant une bijection non-explicite, personne n'aurait eu de raison de commencer par calculer la fonction en question puis de voir où il en était.
Bref, je suis avec vous de coeur, la logique intuitionniste me semble passionnante à explorer et presque "plus naturelle" ou "plus effective" que la logique classique, et si vous avez besoin d'un assistant de recherche ça pourrait m'intéresser de revenir en faire :p . Mais, pour des raisons pratiques allant au-delà d'un pur platonicisme, je trouve aussi que les théorèmes d'existence non-constructifs ont un grand intérêt potentiel - par le simple fait qu'ils peuvent être la première pierre menant à un théorème constructif.
En gros, tu vois les maths non-constructivistes comme des bonnes heuristiques, c'est ça ? Je ne peux qu'être d'accord avec ça !
En gros oui. Et apparemment, je prend cent ligne à écrire un truc qui se résume en une phrase. :/
Et j'ai oublié de vous féliciter pour vos vidéos. Elles sont passionnantes !
Alors par contre le théorème "Toute fonction réelle est continue" (à 10:00 ), ça, ce théorème spécifiquement, je le rejette (parce que ça paraît bien trop simple de construire à partir de ℝ une fonction discontinue). Or tu dis que dans la logique intuitionniste il est vrai : je ne peux donc que je rejeter la logique intuitionniste...
À moins que ! En fait je sais que l'ensemble des Réels de cette logique, n'est PAS DU TOUT l'ensemble des réels de ZFC : en fait il s'agit des réels 'calculables', qu'on peut voir comme un sous ensemble strict des réels de ZFC. Et peut-être qu'alors, toute fonction y est continue (mais avouez qu'il est TELLEMENT simple de faire une fonction discontinue sur ℝ que c'est un sérieux problème de dire qu'il n'en "existe" pas, dans le sens intuitionniste).
Je crois que, ce qui ressort du commentaire (passionant soit dit en passant) au dessus, et concernant cette logique, qu'il serait bon de dire : une démonstration qui construit une solution, qui est donc 'calculable' en un sens, est toujours bien plus appréciable qu'une démonstration qui ne le serait pas. En revanche, je pense que, dans une théorie intuitionniste, on devrait pouvoir rajouter des axiomes (au moins pour certaines théories, sans 'forcer' tous les intuitionnistes à les tenir pour vrais) qui permettent l'étude d'ensembles qu'on ne peut pas construire. Par exemple si on admet l'existence de ℝ, mais du ℝ de ZFC, y compris de certains nombres incalculables, et qu'ensuite on se force à n'utiliser que des démonstrations intuitionnistes, peut-être qu'on peut arriver à démontrer qu'il existe des fonctions discontinues (et même probablement extrêmement facilement).
Autre chose, mais ça n'est pas une vraie critique, c'est simplement pour dire : c'est amusant qu'on appelle logique 'intuitionniste' une logique dans laquelle certains théorèmes paraissent justement défier l'intuition :)
... Waouh, j'aime. Je retire ce que j'ai dit sous le précédent épisode, mon image ne correspondait pas trop, l'intuitionniste a un très bel univers aussi, et je comprends mieux ce que tu entendais par "Rien n'empêche d'avoir la tête dans les nuages ET les pieds sur terres ;)". Du coup, pour l'image, le platonicien considère la mathématique de manière actuelle dans son intégralité lorsqu'il travaille avec, tandis que l'intuitionniste la considère de manière potentielle dans ce qu'il parvient à visiter ? Je ne sais plus...
En tout cas, merci pour ce super épisode :)
PS : Et merci pour la précision sur le raisonnement par l'absurde, on ne m'avait jamais apporté cette précision sur son rejet, pourtant essentielle.
Merci pr cette vidéo, bcp de choses sont éclairés maintenant, j'ai comme l'impression qu'il faut bien être bon en mathématiques standards avant d'attaquer et étudier tt ça, un peu comme les géométries non euclidiennes pour qlq un qui n'est pas encore arrivé au bout de la géométrie euclidienne pr sentir ses difficultés ?
Et bah c'est pas demain la veille que tu vas me convaincre avec ta logique bizarre ahaha :D N'hésite pas à essayer de nous convaincre encore ;)
Tous dépend des axiomes en fait..
Reason Reason Il ne s'agit même plus d'une dépendance à une Axiomatique là, mais carrément à une Logique, à des règles d'inférence logique différentes!
credos97 Le but n'est pas de convaincre c'est juste de montrer qu'il y a autre chose. Pour un logicien, les deux sont deux théories, à priori non inconsistentes et du coup digne d'intérêt. personne ne pourra dire que l'une autre l'autre est plus vraie. Les deux ont des modèles, donc sont vraies dans certain cas.
Quentin G Là aussi c'est que je disais, ce n'est pas une Axiomatique différente, mais carrément une Logique différente; mais elles traitent touutes deux de toutes les Axiomatiques a priori (modulo les trucs types Axiome du Choix...)
Poincaré : "La géométrie n'est pas vraie, elle est avantageuse."
Il ne s'agit pas de convaincre que la logique intuitionniste est "vraie", juste qu'elle peut être avantageuse pour penser le monde (notamment si la thèse de Church-Turing est vraie).
Tu peux stp nous conseiller quelques bons livres académatiques comme introduction aux mathématiques constructives ( hors les articles que t'as cité à la fin de la video ) ? Merci
Les maths c'est parfois compliqué, mais j'aime ¸ca.
Ca me dérange ce glissement progressif du dénombrement d'items dans un ensemble vers la raison pour laquelle ils sont dans l'ensemble. L'exemple de l'ensemble {1} ou la présence de 1 dépend d'un indécidable et qui du coup rend le cardinal impossible à calculer me semble un tour de passe de passe étrange.
On peut étudier ce qu'on veut, mais en général en science on découple les systèmes pour les étudier. Si j'étude un ensemble je l'étudie comme une "photographie" de ce qu'il est à un instant précis, et son cardinal est possible à calculer. Je peux étudier à part le problème de la raison de la présence des éléments dans l'ensemble, mais faire les deux à la fois pour conclure que l'ensemble n'est pas dénombrable ne m'apparaît pas être acceptable d'un point de vue logique. Car on fait juste que reporter l'inconnue du problème de la présence sur le calcul du cardinal, ce qui est logique, mais ça reste le problème de l'inconnue et ce n'est plus un problème portant sur la cardinalité. on "pollue" ce dernier par des considération externes. Bon c'est pas forcément très clair mais si quelqu'un comprend qu'il me fasse un signe :-)
Alors, c'est très intéressant, MAIS, j'ai strictement RIEN compris 🤣
Le "tiers exclu" est une vue de l'esprit, c'est à dire une décision arbitraire personnelle.
On choisit de considérer l'existence ou tiers exclu, ou pas. C'est là la différence de base entre les classiques et les intuitionistes.
Par exemple, selon le tiers exclu, un être humain est soit mort, soit vivant, mais pas les deux à la fois. Hors, comment considérer une personne dont l'encéphalogramme est plat (mort) mais dont le coeur continue à battre (vivant) ?
Ce n'est pas une question de logique absolue, mais de définition, donc de choix.
J'ai l'impression que ce que vous démontrez, c'est que la logique intuitioniste au pire doit être rejetée, au mieux est sans intérêt.
Désolé d'être en retard et de ne voir ta vidéo que maintenant, mais je me souviens qu'un spécialiste en théorie des topos élémentaires (en France il n'y en a pas des masses, mais je ne peux divulguer son nom, car je n'ai pas eu son autorisation de le citer sur TH-cam), me disait il y a longtemps (il y a 15 ans), que les topos ne seraient acceptés que dans 50 ans ...i.e en 2055...à cause du caractère hautement intuitionniste de la logique qu'ils produisent. Mais vous êtes une génération douée et je vois à quel point les topos pourraient être acceptés plus tôt que prévue ... Parfois il faut attendre de nouveaux mathématiciens pour accepter et apprécier des idées qui paraissaient bizarres pour les générations précédentes. Je me souviens du rejet brutal des topos par un théoricien des ensembles, qui m'avait dit: "les vraies mathématiques font appelles au tiers exclu..." En tous cas la physique moderne semble avoir besoin de ces décors et de ces géométries surprenantes (par exemple des géométries sans points !) que proposent les topos. Je tiens aussi à rappeler que c'est Alexandre Grothendieck qui a découvert les topos. Les topos ont ensuite été généralisés par Lawvere-Tierney, accidentellement, grâce à un exercice dans les SGA (je ne sais plus lequel, mais si ça intéresse certains je regarderai ma correspondance avec Myles Tierney). Le truc incroyable est aussi que c'est l'informatique théorique qui finalement donne le plus de crédit à des niveaux d’abstractions très élevés des mathématiques (car les topos sont une abstraction de la catégorie des ensembles), plus que ceux que font les "mathématiciens classiques": en fait on assiste au fait que des mathématiques appliquées demandent plus d'abstraction que les mathématiques abstraites elle même ... Je suis content que tu cites "Science Etonnante", car ce monsieur est très pédagogue également (et donc très fort), mais pour la physique ! En tous cas mille merci de tes vidéos.
Cette chaîne est nommée "Science4All"...ça devrait plutôt être "Maths4All" ! ;-)
Comment c'est possible que t'aie des pouces rouges
Remarque mineure : je suis quasiment certain que l'addition (et même la multiplication) des flottants (IEEE-754) est commutative. En revanche elle n'est pas associative, l'égalité n'est pas réflexive, etc. Bref, ils restent des objets très contre-intuitifs.
(Je n'ai pas de référence, mais l'explication la moins bancale que j'ai pu trouver est discutée ici : blogs.msdn.microsoft.com/ricom/2014/10/15/non-properties-of-floating-point-numbers/ )
une vidéo sur la notion de dimension est prévue? ou des explications parce que j'ai pas compris grand chose :3
Bonjour somme mous des nombreux ? mais si il y a une logique, c'est pas logique ?
>_< j'allais écrire "Même Numberphile" ? Finalement je dirais "Même toi !!" :D
Super vidéo ! Thx :)
On est tous des gros menteurs :)
À 5:55 tu dis que le théorème de Cantor-Bernstein est faux en logique intuitionniste. Tu veux dire qu'il ne peut pas être prouvé. Mais s'il était faux en logique intuitionniste, il serait faux également en logique classique qui en est juste une extension...
Et dans le même genre tu dis à 8:52, en logique intuitionniste il existe des ensembles qui ne sont ni finis ni infinis, et tu veux dire qu'on ne peut pas prouver être finis et qu'on ne peux pas prouver être infinis... ce n'est encore une fois pas la même chose...
oui, autant pour moi.
Flagrant délit de copinage entre normalien !
Du coup si l'un de vous deux peut m'expliquer pourquoi le corps des réels calculables est algébriquement clos alors je fermerais les yeux sur vos rapports biaisés.
Ben oui ! Depuis quand le nombre algébriques sqrt(-1) appartient aux réelles calculables ? Comment un intuitionniste résout l'équation >
Merci pour votre attention vous pouvez continuer à vous embrasser et à vous supporter mutuellement.
Chère Zimmermann, c'est plutôt la logique intuitionniste qui est une extension modale de la logique classique et non l'inverse. Enfin ça dépend, bien sûr, du #PointDeVue ou pour être plus français du #point_de_vue.
Cher Yax, j'en conviens. Je pensais extension car on rajoute des axiomes, mais soit.
Quant au délit de copinage, je dois dire que j'ignorais que Sciences4All était normalien.
Enfin, je ne comprends pas tes réponses à d'autres commentaires, te serais-tu fait pirater ?
pourquoi tu nous montres ta face aussi longtemps toujours. je n'ai pas besoin de te voir. mais tes videos sont sympa
Salut beau gosse, t'as fait Ulm pour faire le malin comme ça avec l'infini ?
10/10 pour la vidéo ! C'est super autant sur le fond que la forme !
00:12, mais si un podcast est l enregistrement video d une phrase, comment est ce possible?
Conclusion la logique intuitioniste => un bordel meme pas intuitif au final
J'adore tes vidéos, je n'y comprends pas grand chose
Toi seul semble en mesure d' expliquer l'axiome du choix ..😀
En somme, les cardinaux seraient une caricature des ordinaux.
Tu peux nous donner un exemple de problème indécidable en ZF ? +démo si possible ? J'ai personnellement du mal à en trouver un.
fr.wikipedia.org/wiki/Hypoth%C3%A8se_du_continu
J'aime bien ta métaphore !!!
Tu fais trop de mal à ces notions. C'est incompréhensible ce que tu racontes. C'est même ridicule! Je trouve que les gens abusent du mot infini; chacun fait ce qu'il veut avec le mot. Infiniment grand (resp. petit) veut dire aussi grand (resp. petit) que l'on veut. C'est tout, ça veut rien dire d'autre. Infini c'est pas un nombre c'est une propriété que possède certains objets mathématiques.
Tu pourra en parler quand tu aura fait les mêmes etudes, en attendant on préfère faire confiance à celui dont c'est le boulot
pourriez-vous faire une video sur les quaternions stp
Est ce que c'est ce qu'on appelle le non standard ?
02:42 - Attention, ce n'est pas parce que "
Euh... Ah ouaih ?
J'aime bien la dem. "presque" constructiviste de Cantor-Bernstein. J'aurai un peu de mal à la laisser tomber. Mais bon...
J'aurais une question, m'sieur. Est-ce qu'on pourrait prouver que tout problème mathématique (théorème à démontrer) peut être ramené à un problème de factorisation ?
En reprenant le même raisonnement que tu as faits à 7:20 (bijection de l'ensemble des nombres réels avec un sous-ensemble de l'ensemble des nombres naturels en passant par la machine par une "dénombration" des machine de Turing. Soit au final logiquement injection de N dans R (donc N∈R).), ne peut-on pas prouver l'injection de R dans C (en raisonnant aussi cette fois comme le fait un ordinateur (ou même nous) en décomposent tous nombre complexe en 2 parties (idem "association" des réels avec les machines de turing), partie imaginaire et partie réelle (soit intuitivement R est l'ensemble des complexes avec une partie imaginaire égale à 0)). R∈C me paraît tellement intuitif. Pourtant dans une de tes dernières vidéos tu ne parles pas de l'injection de R dans C mais de l'injection CANONIQUE de R dans C. Je ne comprend vraiment pas cette subtilité (j'ai cherché un peu sur internet mais bon ce n'est jamais très simple d'arriver à suivre^^). Tu semblais vraiment dire qu'au final R∉C.
Science4All Cantor-Bernstein se montre sans axiome du choix. Par contre, le fait que deux ensembles sont toujours comparables (par injection) est équivalent à AC sur ZF.
Edit. Ah oui en fait je me suis jeté un peu trop vite sur les comms, autant/au temps pour moi.
Je dirai pluôt que l'ensemble X (8:15) n'est pas bien défini, puisqu'un problème indécidable (en un nb fini de pas) n'est pas bien défini. C'est la position finitiste.
Les géométries non standards ne sont certainement pas recroquevillées sur la géométrie minimaliste comme vous l'êtes sur la logique intuioniste. Encore une fois, je ne suis pas sûr que cet énoncé ait un sens, mais: cela me ferait bien marrer que dans les années à venir, on se rende compte qu'il existe une infinité de "variations" possibles de l'axiome du choix.
Tant qu'à dired'un cardinal qui est soit nul soit fini qu'il n'est ni fini ni infini... je ne suis pas sûr que cela ne soit pas qu'un simple jeux de mots ;-)
l infini existe puisque l on en parle......point.
La logique étant la logique, i.e. analytique et en particulier non synthétique et a fortiori non mathématique, inventer des logiques artificielles ou pire vouloir forcer la logique dans les mathématiques amène systématiquement des paradoxes ou plus souvent des incohérences.
Superbe vidéo, mais je pense qu'au lieu de dire "il faut accepter ces bizarreries", peut-être qu'il faut que vous disiez "notre position sur les mathématiques est fausse, excusez-nous, nous avons fait fausse route" xD
Mon Dieu, je n'ai plus rien compris à partir la 10ème seconde… Et j'étais fier de me souvenir du théorème de Pythagore. Et je vois que 20 000 personnes ont regardé ce sujet. Bonne continuation en tout cas.
On ne peut pas dire dans le cas de l'ensemble qui contient 1 ou pas selon qu'une propriété G indécidable est vrai ou pas qu'il a un cardinal 1/2 ? Ma réaction naïve à cette vidéo par ailleurs passionnante...
N'y aurait il pas une caractéristique cachée entre les ensembles ? Comment peut-on être sur que parce que deux ensembles sont bijectives alors ils ont le même cardinal ??? Ou bien sûrement la bijection entre deux ensembles infinis traduit une autre propriété ???
je sais pas pourquoi mais je sens que la prochaine explication monocausale comparable à "parceque c'est magique" sera "parceque c'est constructiviste" (à ce moment là, les physiciens seront contents de voir que leur discipline ne sera plus utilisée comme un paillasson à coup de "parceque c'est quantique")
Super vidéo! On parle d'ensemble dans la théorie ZFC et qu'il y en a qui sont infinis ou finis (ou pas comme on l'a vu) mais comment définit-on une tribu dans la théorie ZFC et sa structure est-elle si différente d'un ensemble? Merci d'avance
Ouai j'aime bien c'est intéressant 👍🏼
Je suis bon en calcul normal de base, mais ce type de calcul et inconnu pour moi donc je dois... révisé
Sur ton exemple d'ensemble ni fini ni infini, je reste un peu perplexe... J'ai l'impression que la définition ne résiste tout simplement pas aux constructions qui dépendent de conditions comme la tienne. Mais il n'empêche qu'avec une petite distinction des cas, on a bien toujours un ensemble fini non ?
J'ai une question. Il le semble que les règles de dérivations de la logique intuitioniste sont incluses dans celle de la classique. De même on enlève des axiomes on en ajoute pas. Du coup tout arbre de preuve intuitioniste est un arbre de preuve classique. Du coup ce qui est vrai en intuitioniste l'est aussi en classique mais il y a plus de choses non demontrables... Mais jamais on a qqch de prouvé en intuitioniste et de faux en classique. Fais je une erreur ?
Magnifique, toujours aussi cool !
Très bonne vidéo comme d'habitude ! (mais par contre évite les gros plans, c'est pas hyper glamour)
L'addition des nombres flottants est au contraire commutative. Elle n'est en revanche pas associative. Ce n'est pas la même chose.
Si on n’utilise plus π, comment prouvera-t-on que CHEVAL/OISEAU = π ??
Le principe du tiers exclu est-il obligatoire pour dire qu'un ensemble doit soit se contenir, soit ne pas se contenir ?
Merci d'avance
Désolé, mais tu utilises une définition de "fini" et "infini" qui n'ont pas de sens dans la logique du premier ordre, vu qu'on ne peut pas les écrire.
Chez nous, la définition d'un ensemble X infini est :
"il existe Y sous-ensemble de X, différent de X, tel que X et Y sont en bijection".
Ceci est exprimable au premier ordre sans aucun soucis.
Et la définition d'un ensemble fini est simplement la négation de cette formule. Dés lors ton ensemble est fini car il n'est équipotent à aucun de ses sous-ensembles.
Il est possible qu'un ensemble soit fini dans un modèle d'une théorie est infini dans une autre, mais là on est dans les méta-mathématiques en comparant des objets incomparables. Une façon d'en construire un est assez simple via Le théorème de Łoś.
Pour termine sur la même gamme, dans la logique "usuelle" et ZFC, le paradoxe de Skolem est intéressant.
J'ai abordé la plupart de ces points dans les vidéos précédentes.
Désolé alors, pas eu le temps de tout regarder.
Je viens à me demander pourquoi avoir choisi ce nom d'intuitionniste à cette logique : cet ensemble contenant 1 ssi un problème indécidable est vrai semble tout de même d'un cardinal compris entre 0 et 1 donc "dénombrable" d'une certaine manière
Pourquoi ne l'appelle-on pas logique de Turing ? Ou logique mathematico-constructiviste (enfin un adjectif moins sensible au débat en tout cas)?
On l'appelle souvent maths constructives. C'est certainement un meilleur nom. Certains parlent aussi de "computable maths" ou "computational maths".
Science4All (français) Merci :) Effectivement je crois que ce sont des noms qui décrivent mieux le concept et les objectifs de cette logique
De facon bienveillante : .... un vrai repas = un steak ou un burger ? Ha oui test revenu de loin haha
Non mais y a un truc que je comprend pas. Quand, à 8minutes, tu parles d'un sous ensemble du singleton {1}, comment peut-on dire qu'il n'est pas fini? Sa taille est soit 0 soit 1. A la limite, comme sa taille est conséquence d'un problème indécidable, cet objet n'est pas définit, et on s'interdit alors de calculer sa taille?
+Deathekirl tout vient de la définition de "fini". Si l'on en croit Cantor, "fini" signifie "est en bijection avec un ensemble 'clairement' fini". Ce n'est pas le cas de X, car la notion de fonction (et donc de bijection) est différente en maths intuitionnistes
Il serait intéressant de développer cette notion dans un épisode hardcore ;) notamment le théorème "toutes les fonctions sont continues" qui m'intrigue fortement
Mais comment tu peux avoir un ensemble qui est à la fois plus grand et plus petit qu'un autre ?
X^Infini *1 =Infini
Y^Infini *10=Infini
Donc X = Y.
Super vidéo, merci ^_^
Prenons P l'ensemble des nombres premiers de cardinal Card(P). C'est un ensemble dénombrable et donc son cardinal est "égal" à Card(N).
Soit l'ensemble des parties de cet ensemble P(P). Son cardinal est 2^Card(P) et strictement "plus grand" que celui de P.
Or, à chacune des parties de P(P) je peux faire correspondre un entier n unique égal au produit des éléments de cette partie. Le résultat est une partie de N l'ensemble des entiers naturels : tous les nombres dont la décomposition ne contient pas de puissance.
Alors Card(P) = Card(N) ou Card(P) < Card(P(P))=Card(N) ?
+Pierre Frappé l'erreur est dans la phrase "à chacune des parties de P(P) je peux faire correspondre un entier n unique égal au produit des éléments de cette partie." C'est faux si la partie en question est infinie
Quelle différence de nature ou de valeur y a-t-il entre ces produits infinis, 2^infini et 2^Card(P) ?
Le mot "infini" est très mal défini ici, car il y a plusieurs infinis.
Ceci étant dit, en maths classiques, on a Card(N) = Card(P), et donc 2^Card(N) = 2^Card(P), qui sont strictement plus grand que Card(N) et Card(P).
J'avoue être perplexe face à ton sous-ensemble de {1} qui n'est pas fini.
Ne peut-on pas construire tous les ensembles inclus dans {1}, c'est-à-dire {1} lui-même et l'ensemble vide ? Qui sont tous 2 finis non ?
Et au pire ne pourrait on pas faire une discussion selon si G est vrai ou faux ?
La perplexité et le scepticisme me gagnent... ^^
Ne soit pas sceptique mon ami. Tu manques seulement d'informations capitales quant à la sémantique de la logique intuitionniste.
Vois tu, contrairement à la logique classique dont les valeurs de vérités (les modes) ce résume à {VRAI, FAUX}, la logique intuitionniste voit ces modalités contenu dans l'ensemble {PROUVABLE, CONTRADICTOIRE, INDÉCIDABLE}.
Il est donc possible que l'énoncé G, équivalent à l'énoncé X appartient à {1}, soit indécidable.
Eh oui, l'appartenance ensembliste peut être indécidable. Il est donc possible d'avoir en logique intuitionniste des ensembles non vide qui ne contiennent pas d"élément.
#brainfuck
20-sided dice On ne peut pas savoir si G est vrai ou faux.
On ne sait pas juste pas si G est vrai ou faux, il est indécidable.
Donc 1 est indécidablement dans l'ensemble.
Donc ne peut pas faire de bijection avec 0 ou 0 et 1.
Or un ensemble est fini lorsque que l'on peut faire une bijection avec un ensemble d'entier naturel.
Cette bijection est ici impossible donc il n'est pas fini.
D'accord, c'est à cause des booléens de la logique intuitionnistes. Du coup on ne peu pas envisager de cas.
Merci.
la musique à partir 3 min me fait penser à mario sur nintendo 64 :)
Bien expliqué,mais tu ne m'a pas convaincu...
énorme le sous-ensemble de 1 tel que 1€x G!
G (in)décidable, ça me fait penser à "un électron est à telle position".
Est-ce que les mathématiques ZF ont des applications pratiques en méca quantique ?
+lauocsap selon Andrej Bauer, les maths de la physique seraient davantage intuitionniste (notamment via l'utilisation des infinitésimaux dx et dy)
pour résumé l infinie pas de réponse pas de calcul.
a 8:00
Comment, en logique "intuitionniste", peut-on constuire un ensemble a partir d'un probleme indecidable? Comment peut-on dire "1 appartient a X si et seulement si un certain probleme indecidable est vrai" quand justement il est indecidable?
Avant de prouver que 1 appartient a X, il faut construire X .
S'il existe un algorithme capable de construire X, c'est qu'il a ete capable de prouver un probleme indecidable, ou alors j'ai pas compris...
C'est exactement la même construction que dans ZFC. Étant donné une formule P et un ensemble X, on peut construire le sous-ensemble Y = {x∈X|P(x)}. Dans notre cas, P(x) ne dépend pas de x (on peut considérer qu'il prend toujours la même valeur quelque soit x), et P est indécidable.
Toute fonction réelle est continue... Du coup, est-que 1/x n'existe pas, ou bien il existe un moyen de passer continument de +inf à - inf ? Ou alors j'ai utilisé le principe du tiers exclu alors qu'il ne figure plus dans les axiomes ?...
Si j'ai bien compris en 0, 1/x = indécidable. Et donc, elle est continue.
Cette fonction n'est pas réelle car elle n'est pas définie sur tout R.
Hmm d'accord. C'est plutôt les cas comme f(x=0)=1 qui posent question
L'ensemble des réels calculables est un espace topologique discret. Et comme toute application d'un espace discret dans un espace topologique quelconque est continue. On en déduit le résultat voulu.
Bien sûr il est dit dans la vidéo que les réels calculables sont indénombrables. Mais cela ne veut pas dire que cet ensemble à la puissance du continu. Non, cela veut juste dire que on ne peut pas numéroter les réels calculables. Ce qui est une bonne chose, sinon on pourrait leurs appliquer l’argument de la diagonale de Cantor.
L' infini existe t-il ? c'est un paradoxe.
Je ne comprend pas pourquoi est-ce que en logique intuitionniste on peut prouver que toute fonction réelle est continue. Pourtant ça semble parfaitement logique et je ne voit pas en quoi un contre exemple ne vient pas contredire se théorème.
Sinon épisode très intéressant comme d'habitude ! continue comme ça tu es génial ;)
Ah oui et question existentielle : existe-t-il un moyen de lier les maths "classique" et les maths "intuitionniste" pour former un tout cohérent avec les choses qui nous sembles logique ???(genre avec le théorème des valeurs intermédiaires mais sans les trucs bizarres genre théorème de Zermelo )
Petite question (potentiellement triviale) qui me vient comme ça, en logique intuitionniste, est-ce que les irrationnels existent ? Autrement dit, y a-t-il un algorithme qui permette de construire en temps fini un irrationnel tel que pi ou racine de 2 ? Si on se permet de faire ça en temps infini je veux bien, mais sinon pour moi on n'aura qu'une approximation rationnelle de l'irrationnel que l'on cherche à calculer ...
Clément Leloup il a dit dans la vidéo que l'on peut créer une machine de Turing qui à partir de n renvoie la n-ieme décimale d'un nombre. J'imagine qu'on peut dire qu'une machine de turing qui renvoie les décimales de pi "représente" le nombre pi. Après, je ne m'y connais pas trop, et je me base uniquement sur cette vidéo
Certes, mais dans ce cas, on s'autorise à avoir une machine de turing avec une mémoire infinie, ce qui de mon côté, me paraît aller un peu à l'encontre de l'approche "constructiviste". Et, si on se cantonne à des machines finies, il me semble que l'on se restreint à travailler dans l'ensemble des irrationnels (auquel cas, la preuve de l'irrationnalité de racine de deux devient inutile, puisque racine de deux n'existe pas)
il y'a une différence entre les "intuitionnistes" et les "finitistes"
Chez les intuitionnistes, l'algorithme de construction peut éventuellement prendre un temps infini et donc pi existe =c'est son développement limité exécuté à l'infini.
Chez les finitistes les irrationnels n'existent pas, ce qui ne veut pas dire qu'on n'a pas la notion de cercle, simplement la nature de pi n'est pas un nombre, c'est une fonction et donc il n'existe pas de cercle 'infiniment' parfait.
Maintenant poste toi la question : as tu déjà vu un cercle infiniment parfait dans l'univers ?
La position finitiste est encore plus marginale que l'intuitionnisme mais à mon avis on devrait aussi s'y intéresser car on ne sait pas si il y a quelque chose d'infini dans l'univers (en particulier on ne sait pas si l'univers est infini)
Je ne suis pas convaincu par la pensée selon laquelle il faudrait que les objets mathématiques correspondent aux choses qui existent dans l'univers. En tous cas, pas au point où la pensée qu'il n'existe rien d'infini dans l'univers nous pousse à rejeter l'existence d'objets infinis en mathématiques.
D'une part, les mathématiques classiques n'ont pas vocation à représenter directement les choses de l'univers. Il nous semble, par expérience, que les choses de l'univers obéissent aux lois mathématiques, mais pour moi la correspondance s'arrête là.
Une autre façon encore de voir la chose est, je dirais, de faire un parallèle avec la notion de nombre complexe. Oublions un instant le débat intuitionniste ou finitiste et imaginons que l'on considère que tous les nombres réels aient une réalité physique, et que nous soyons en train de nous interroger sur la pertinence de considérer les nombres complexes qui eux, ne représentent rien.
Et bien toujours est-il que l'ensemble des nombres complexes, que l'on peut imaginer autour des nombres réels, exerce une contrainte sur la manière dont se comportent les nombres réels.
Autrement dit, le simple fait que l'on puisse imaginer les nombres complexes autour, avec les règles qui sont les leurs, suffit à forcer les nombres réels à avoir certaines propriétés, qui, elles, se formulent bien en termes de nombres réels.
Et je pense que c'est là la grande idée des mathématiques. On construit de grands objets qui n'ont pas d'existence concrète, mais avec lesquels on accède à des raisonnements puissants qui peuvent avoir des conséquences sur le comportement des objets plus simples et plus concrets.
Comment as-tu appris les mathématiques constructivistes ? As tu eu des cours sur ce sujet, en autodidacte, ou dans le cadre d'un travail de recherche ?
+Serwyn autodidacte / guidé par un ami logicien :p
tu pourrais nous parler de boules ouvertes un jour ^^
Il n'y a qu'un seul infini discret .
Comprends pas. Un ensemble a ou n'a pas d'élément. Dire que l'existence des éléments d'un ensemble dépendant d'une fonction... ca me parait bien suspect. Mais même dans ce cas, l'ensemble est fini. A moins que l'ensemble vide n'est pas considéré comme fini... HELP !
En logique intuitionniste l'appartenance ensembliste n'est pas toujours décidable. Ici fonction veut dire algorithme :
Existe t'il un algorithme qui encode, la preuve ou la réfutation de l'énoncé "a E A" ?
Trois cas :
1) Un algorithme qui prouve que "a E A"
2) Un algorithme qui prouve que "a E A" est contradictoire.
3) Pas d'algorithme.
Hum... Je crois avoir compris. Mais si je reformule 3) est équivalent à dire non décidable. Et non décidable n'est pas équivalent à ni l'un 1), ni l'autre 2). Mais plus à il est possible que 1) ou 2), nous ne pouvons pas le prouver. Mais nous sommes certains que c'est 1) ou 2)
Je me trompe ?
Bonne question.
Pour certains énoncés on peut fournir une preuve indécidabilité.
Par exemple considérons l'énoncé :
"Cet énoncé est FAUX"
Avoir une preuve de l'énoncé serait contradictoire.
Avoir une preuve de la réfutation de l’énonce serait contradictoire
Cette énoncé est donc indécidable.
M’appuyant sur cet argument, j'aurais tendance à penser que la notion d'indécidabilité n'est pas équivalente à, "on trouvera pas de preuve mais c'est peut-être vrai".
Comme toi j'aimerais bien qu'une personne avec plus de science que moi passe par ici et m'éclaire d'avantage sur la notion d'indécidabilité.
Oui. Je pense qu'il manque quelque chose pour aller plus loin. Cette notion d'indécidabilité semble trop restrictif. Et le raisonnement par l'absurde est une preuve en soit qu'il manque quelque chose pour s'en passer.
Un autre axiome ? Une autre mathématique ?
La 3e possibilité me semble logique, entre quelque chose qui existe et quelque chose qu'il n'existe pas, il me semble qu'il y a une différence. #mathnoob
Haaaaaa, j'en étais sûr ! 10:17 L'hôtel de Hilbert est une jolie foutaise ainsi que la démonstration de diagonale de Cantor.
Pour moi, un infini est "plein" et "instantané", on ne peut pas le faire "courir" histoire de faire Infini + 1.
Hahaha ! et que dire de 1 + infini et de infini + 1 ?
C'est égal ou pas ?
J'en sais fichtre rien, suis pas un matheux ! Mais comment voulez-vous ajouter ou soustraire quelque chose d'un infini, si comme pour moi évidemment, il est plein ! (j'ai pas bu hein).
-∞... 5,6,7,8,9....+∞ je peux virer 6 et 9, c'est toujours un infini, je peux ajouter des décimales même une infinité, c'est toujours un infini qui n'a aucune raison d'être plus grand ou plus petit que celui d'avant !
Je ne peux rien mettre au bout, ni devant, mais je m'en fout : (1 + ∞ + ∞ + 1) = (∞ / 2 * 9). On peut bien soustraire ou ajouter ce qu'on veut !
Bon, au final ça ne m'empêche pas de vivre, mais ça m'agace ;+)))
Tout dépend de la manière que vous avez d'ajouter des choses à un infini.
Par exemple, dans le cas de l'argument diagonal de Cantor, on peut l'utiliser pour montrer que l'ensemble des parties de N, c'est à dire l'ensemble des ensembles de nombres entiers naturels est plus grand que l'ensemble des entiers naturels. La démonstration est parfaitement valable dans la théorie ZF (pas besoin de C).
Mais je n'ai pas l'impression que cela contredise tout à fait votre intuition (cela dit attention, il ne faut pas prendre ses intuitions pour des vérités quand on parle de l'infini, sinon on tombe souvent face à un mur) : Certes, si vous prenez l'ensemble des singletons qui contiennent un entier naturel, c'est à peu près exactement la même chose que l'ensemble des nombres naturels. Si maintenant, vous commencez à y ajouter d'autres ensembles de nombres naturels, comme {1;2}, l'ensemble vide, l'ensemble des nombres premiers, l'ensemble des nombres impairs... Vous n'en verrez pas la fin. Vous pourriez répéter l'opération d'y ajouter un élément une infinité de fois que vous n'auriez toujours pas fait grossir votre infini.
C'est en ce sens qu'on peut dire que ∞ + 1 = ∞, que ∞ + ∞ = ∞ etc...
Seulement pour passer de l'ensemble des nombres entiers naturels à l'ensemble des ensembles de nombres entiers naturels, ce n'est pas une opération aussi simple que l'on effectue. On est plutôt en train de regarder 2^∞. Et là, on a une opération qui rajoute beaucoup plus d'éléments à notre ensemble. Suffisamment en fait pour le faire grossir en taille.
Pour finir, j'aimerais vous dire la chose suivante : vous dites que pour vous, un infini est plein. Avez vous réellement donné du sens à cette idée ? Traduit-elle réellement autre chose que le refus de regarder l'infini dans toute sa complexité et dans toute sa richesse ? Êtes-vous réellement en train de parler de mathématiques ? Car moi, je ne suis pas sûr de comprendre ce que vous entendez par "plein" dans cette phrase, et si vous ne pouvez pas me l'expliquer de manière claire et univoque, c'est que vous n'avez pas réellement donné de sens à cette notion et que nous ne pouvons pas raisonner par rapport à cette phrase. Et encore moins espérer en tirer quelque chose qui ait une chance de ressembler à une vérité. Il y a un pas à franchir si l'on veut espérer comprendre ces choses là (y compris si on veut les comprendre dans un paradigme qui n'est pas la théorie mathématique classique et dans lequel, peut-être, l'argument de la diagonale de Cantor serait une jolie foutaise) qui est celui de ne pas se satisfaire d'explications un peu vagues comme "un infini est plein, comment voulez-vous y ajouter ou soustraire quelque chose ?"
Je ne prends jamais mes intuitions pour des vérités ... et n'accepte jamais les vérités des autres sans chercher un peu à les comprendre ;+)
Pour moi 2^∞ n'a pas de taille, c'est la même infinité que les "3" de 10/3 !
Vous avez raison, je ne parle peut-être pas de math en fait, ni d'ensembles, mais simplement de l'infini, et l'infini n'a pas de limites, c'est sa définition. Ce qui me fait penser que "quantifier" un infini, quel qu'il soit, n'a pas de sens. Et Lê a dit qu'il faut quitter le paradis qu'a créé Cantor dans lequel Hilbert nous a enfermés ! Donc comme j'ai du mal avec son hôtel, ça m'arrange, hihihi, mais je vous explique.
1/ J'ai été choqué lorsque j'ai vu exposé l’hôtel de Hilbert : un car plein de touristes arrive alors que l'hôtel est plein (*PLEIN), on demande aux locataires d'investir les chambres impaires pour régler le problème ! C'est inconcevable, tout simplement infaisable (physiquement), mais à priori possible en maths et c'est là que je bloque un peu quand même.
2/ On me fait la démonstration de la diagonale de Cantor pour justifier que R est plus grand que N. Je pige le truc, vais voir aussi du côté de la bibliothèque de Babel (les lettres c'est plus parlant), puis je fouine dans les coms de ElJj, et là il répond à un gars qui avait été pertinent dans son com, qu'il est allé un peu vite (ben oui, 2 minutes !), et qu'en fait il faut juste considérer le n+1 comme inexistant dans la liste de correspondances cardinales.
> Oui mais, si je remets ce "n" "manquant", même plusieurs, (ou nouvel arrivant en car) dans la moulinette magique de l'hôtel, je règle le problème et met tout R dans N (je fais juste comme on m'a expliqué : je fais de la place, je crée la cardinalité dont j'ai besoin (c'est débile ;+)).
Donc pour moi, on ne "pousse" pas un infini, ce n'est pas une construction en allant qui permettrait de faire de la place quand on veut, aux extrémités (y en a pas), comme au milieu (un infini est plein).
Je ne comprends pas qu'on puisse considérer un infini comme un nombre ou une quantité mesurable.
Ex :
- Si je prends une droite de longueur ∞ et que je fais une surface en faisant partir de chaque point une autre droite perpendiculaire de longueur ∞, j'obtiens la même infinité de points alors que j'ai élevé un infini au carré, ∞². Je ne vois pas comment il peut en être autrement ?
- Si j'utilise une unité pour ce modèle, le cm, la droite à la même infinité de cm que l'infinité de cm2 de la surface, mais il y a la une différence de nature (ça c'est important). On ne compare pas des oranges avec des pommes.
- Si sur ce modèle, je trace une droite diagonale à tous les cm², est-ce que celle-ci sera ∞√² plus grande que la droite qui m'a servi de base à ma construction ? NON, elle sera de même nature et de même infinité.
Maintenant ce que j'entends par PLEIN ;+)
- prenez une droite infinie, enlevez 50 cm quelque part, vous avez 2 droites infinies que vous ne pourrez jamais raccorder en tirant dessus !
- par contre la même droite faite d'espace dans lequel on se trouve, vous pouvez en enlever un tronçon de la taille que vous voulez et vous pourrez toujours raccorder les 2 droites obtenues, mais ça c'est une autre histoire...
Voilà, ce que je trouve intéressant dans l'infini, c'est qu'il peut être de différentes natures, et qu'il a des propriétés que le fini n'a pas, mais là aussi c'est une autre histoire... en tout cas je ne prendrai pas pension chez Hilbert.
Merci pour votre commentaire DrMephistophallus !
Je ne suis pas certain d'avoir compris votre problème avec l'argument diagonal de Cantor. Je vous en propose un autre énoncé, avec une autre démonstration qui peut-être vous donnera une meilleur satisfaction.
Supposons que nous ayons un ensemble E. Alors P(E), l'ensemble des ensembles constitués d'éléments de E, est strictement plus grand que E lui même. C'est à dire qu'il n'existe aucun moyen d'associer à chaque élément de E un unique élément de P(E) de sorte que chaque élément de P(E) soit associé à un élément de E. Autrement dit, il est impossible de faire une liste des éléments de P(E) qui soit indexée par les éléments de E.
En voici la preuve :
Prenons une fonction f de E vers P(E). Et considérons l'ensemble A des éléments x de E tels que x n'appartient pas à f(x) (f(x), rappelons-le, est un ensemble constitué d'éléments de E).
Alors A ne peut pas avoir d'antécédent par f : s'il existe x dans E tel que f(x) = A, alors il est impossible que x appartienne à A, parce que cela contredirait la définition de A mais il est également impossible que x n'appartienne pas à A (pour la même raison).
Et donc l'opération que j'ai rapidement résumée par "2^∞" c'est celle là, c'est le fait de prendre l'ensemble des parties d'un ensemble infini donné, et je viens de montrer que cela construit un ensemble de cardinal strictement plus grand.
Les fibres tangentes