Les théorèmes d'incomplétude de Gödel | Infini 18
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- เผยแพร่เมื่อ 29 ก.ย. 2024
- Parlons des théorèmes les plus fous des mathématiques ! L'incomplétude de Gödel a fait faire des cauchemars à des générations de logiciens et de mathématiciens ! Et on en voit les grandes lignes de la démonstration.
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4 paradoxes sur la logique mathématique | Infini 17
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Les pages wikipédia sont très complètes sur l'incomplétude (lol)
fr.wikipedia.o...
Je crois que le plus incroyable dans tes vidéos, c'est le pied que tu prends à chaque fois à parler de ton sujet! ^^
C'est pas faux.
Le théorème de goedel d’incompréhension
T'as tout compris .
Bonjour Sc4All !
Supposons que j'associe une certaine quantité d'information à un système d'axiomes. Cette quantité d'information étant relatif à tout les théorèmes qui sont vrai (avec ou sans preuve ..) Puis je considère comme nouveaux axiomes de ma théorie tout les théorèmes vrai sans preuve. J'ai le sentiment que du coup la quantité d'information de mon système d'axiome n'a pas du varier, mais le théorème de Godel me dit que je viens de créer au moins un théorème qui est vrai sans preuve. Il n'y aurait pas une contradication ? Ou alors la quantité d'information a varié ? Ou alors c'est stupide d'associer une quantité d'info à un système d'axiomes ? ou il faudrait plutot parler d'expressibilité du langage dans lequel les axiomes sont les briques de base ? Sorry je suis un peu perdu mais j'adore tes vidéos ! (si un jour tu pouvais parler de la preuve des "variables cachées" qui est sensée "prouver" que le hasard existe en MQ ce serait Géniale ! )
Dans une théorie, un théorème "vrai" aura toujours une preuve ("vrai" à prendre comme vérifié dans tous les modèles de la théorie). Si ta théorie est consistante et complète, alors ajouter à la théorie un énoncé qui ne peut être prouvé la rendrait inconsistante. Si la théorie est consistante et incomplète, alors ajouter à la théorie un énoncé qui ne peut être prouvé peut la rendre inconsistante ou la garder consistante mais en faisant grossir l'ensemble des énoncés prouvables (et donc éventuellement restreindre le nombre de modèles). L'énoncé que Gödel a écrit ne fait en fait pas partie de l'ensemble des énoncés prouvables, même en ajoutant d'autres axiomes (quand bien même la théorie reste consistante). Ajouter l'énoncé de Gödel en axiome ne réglera rien : l'énoncé va être modifié, puisqu'il se base sur l'ensemble des axiomes).
*Comment considérer un théorème vrai s'il n'a pas de démonstration, puisque je peux sans dommage en ce cas le considérer faux sans perturber le reste de l'édifice correspondant ?*
Bon j'ai essayé
cool ta vidéo ;) bon boulot héhé
ultra badass
mince vous ne pouviez pas vous mettre d'accord avec david pour pas sortir ça quasi en même temps?
Je me rend compte que tu te film sur un fond vert pour pouvoir après, en postprod, remettre un fond vert derrière toi. C'est fou !
C'est tellement avant-gardiste comme concept ! Il ira loin ce gars-là :)
Je parle de Gödel. Je suis obligé de faire quelques mises en abîme ^^
Science4All et puis c'est un tableau avec des équations effacées pas un fond vert)))
Fond vert pour coller un tableau d'école qui se trouve être vert aussi mais avec des irrégularités typique d'un tableau d'école. Rien d’anormal donc.
Tu vois pas les traces de craie ?
Mini défi-Lê 1 : mod(n,p) = r ≡(∃k, (p×k)+r=n)∧(∃l, r+Sl=p)
La première partie c'est la division euclidienne, la deuxième c'est pour s'assurer que r est bien strictement plus petit que p et que p n'est pas 0.
*Remarquons que si l'on remplace le mot MATHÉMATIQUES par le mot ÉTAGÈRE, non non-seulement l'incomplétude n'apparaît pas comme un défaut, mais au contraire comme une caractéristique très rassurante montrant qu'on pourra toujours l'étendre au fur et à mesure de nos besoins à venir :-)*
J'espère
J'vais prendre un rail de Coke moi !
Pas de souci pour la prononciation.
Je ne saurais même pas le dire moi même.
J'attendais cette vidéo avec impatience !
Et je suis pas déçu, t'as réussi à faire comprendre les idées de la preuve sans nous tuer de détails de logicien fou, bravo à toi ;)
Continuez sans moi, je sens que je vous retarde. Laissez moi au bord du chemin, vous irez plus loin si vous m'abonnez ici. Bon courage et bonne chance pour les survivants.
Woah on est pas loin d'un épisode Hardcore la xD moi qui a des lacunes en math et qui a déjà eu un peu de mal avec la vidéo de ScienceEtonnante la j'avoue je vais devoir la regarder encore 1 ou 2 fois x)
Godel et Russel les plus grands logiciens de tous les temps ?
Mettez un peu le nez dans les 6 livres de l'Organon, c'est resté indépassable pendant 2300 ans. Ca traite de la proposition, de l'énonciation, du syllogisme, de la démonstration scientifique, de la dialectique et de la sophistique.
Et encore on peut se demander s'il n'y a pas équivoque entre la logique philosophique aristotélicienne et la logique mathématique, sujet intéressant à traiter.
A condition de BIEN maîtriser Aristote ...
Ton intro m'a SURTOUT donné envie de lire Logicomix ! 😀😀
Le, soit facile et démontre nous la vérité suivante:
(C'est très difficile, c'est ...) ==> ( aller voir les vidéos CE3 )OR P(vous ne comprenez rien)~1
Alors cher Le, vous vulgariser ou vous donner des cours?
STP, Le, cessez d'imiter les anciens Bourbaki, Dieudonné & Co en entretenant l'ambiance des classes des années 70.
L'histoire de l'humanité est pleine de réalisations extraordinaires, et ce depuis au moins les sumériens. Alors Gödel est le DERNIER.
Merci Le, pour les efforts.
Un grand MERCI pour toutes ces vidéos ! C'est clair, drôle et j'apprends plein de trucs. Bon, j'avoue que certains sujets me font plus mal au crâne que d'autres mais cette transe intellectuelle est quand même agréable :) Ah si seulement ces chaines avaient existé quand j'étais en prépa... Bonne continuation !
@Science4All
Pour le defi lê :
mod(n,p) = r :
∃y p*y+r = n
Deuxième partie :
si p est le code d'une formule P(x) et q le code d'une formule Q(y)
P≡Q[x/y] si :
∀a premier(a) → [
[mod(p, a^code(y)) = 0 ∧ ¬ mod(p, a^(code(y)+1)) = 0]
↔
[mod(q, a^code(x)) = 0 ∧ ¬ mod(q, a^(code(x)+1)) = 0]
]
bien sûr, en remplaçant les fonctions par leur écriture formelle, ce serait long, mais on a vu qu'elle peuvent l'être.
4:30 Si je suis choqué...
10^10^10 = 10^100 bits de donnés; 8 bits = 1 octet; et 10^15 Octets = 1 Pétaoctet
Donc ça fait donc une vidéo de 1.25*10^84 Pétaoctets ?
à l'instar != à l'inverse
à l'instar == comme
J'aime beaucoup la forme de narration que tu utilises (cf le début de la vidéo).
Par contre je crois qu'on atteint un point où ma non-familiarité avec les notions se fait durement sentir... je vais pas tarder à reprendre toutes les vidéos pour voir si ça aide !
Il y a un aspect du théorème de Gödel qui reste souvent mal compris: si l'énoncé G est indémontrable, comment sait-on néamoins qu'il est vrai ? Se trouve-t-il démontré dans un cadre plus large ? En fait c'est tout simplement ceci: comme il se trouve finalement que G est équivalent à l'énoncé de consistance de la théorie en question, lorsqu'on dit "de deux choses l'une; soit la théorie est contradictoire... soit elle est consistante... auquel cas G est vrai", c'est alors tout simplement le fait de se placer sous l'hypothèse (non démontrée) que la théorie est consistante, qu'on finit par traduire cette hypothèse en celle de la vérité de G.
En effet on démontre Consistance de la théorie implique G.
Je pense qu'il n'y a pas « UNE » vraie logique mathématique. On a des logiques classique, intuitionniste, linéaire, modales… Chacune d'elle est vraiment intéressante.
J'ai rien compris du tout aujourd'hui, c'est vraiment hardcore la logique quand t'es pas habitué...
Lemme( code Lemme) oki c'est un paradoxe mathématiques qui dit que c'est vrai et faux, aa j'adore ;)
Salut Lê, excellente vidéo (comme d'habitude) !
Une question me taraude toutefois. A 13:33 tu nous dis "on sait que le théorème est vrai, mais qu'il n'existe pas de preuve à ce théorème". Or, tu viens de prouver qu'il était vrai (car si il était faux, tu l'as dis, ça implique qu'il est vrai, donc contradiction), donc tu viens de trouver une démonstration que ce théorème est vrai...
Merci d'éclairer ma lanterne sur ce point !
Il faut faire attention entre le théorème méta-mathématique et le théorème écrit dans le langage de la théorie. On peut "coder" le méta-théorème dans le langage, c'est l'idée, mais les théorèmes sont de nature différente. "Si le méta-théorème est vrai, alors il n'existe pas de preuve au théorème codé". "Si le méta-théorème est faux, alors le théorème codé est vrai DANS LA THÉORIE".
Heu, j'ai noté l'instant qui répond à la question que je me pose depuis longtemps mais je ne capte pas la réponse, trop rapide. Je comprends que Gödel en arrive à dire qu'il existe au moins une proposition vraie dont il démontre qu'elle est indécidable. Bon, mais cette véracité, comment on la démontre si elle indécidable !? (ou tout en étant indécidable).
Est-ce possible d'expliquer ça avec la proposition indécidable souvent évoquée :
P : "moi, proposition P, vous ne pourrez pas me démontrer"
J'ai compris en quoi elle est indécidable, mais est-ce le bon exemple pour dire qu'on sait qu'elle est vraie antérieurement ?
Je pensais que la véracité était issue d'une axiomatique propre à un ensemble plus large que N mais je pense avoir compris que ce n'est pas la bonne explication
"Vous voyez pourquoi c'est fou ?" Euh non... xD
pour un exemple intuitif : L’Analogie de la Bibliothèque
Imaginez une immense bibliothèque qui prétend contenir tous les livres vrais sur les maths. Chaque livre contient des énoncés mathématiques, et tous sont censés être vrais.
1. Premier théorème d’incomplétude : Certains énoncés sont comme des livres mystérieux qui disent: “Cet énoncé ne peut être prouvé vrai avec les autres livres de cette bibliothèque”. Si cet énoncé est vrai, alors il a raison: il n’est pas prouvable en utilisant les autres livres, donc la bibliothèque est incomplète. Si cet énoncé est faux, alors c’est un problème, car il affirme qu’il est vrai. C’est un paradoxe, similaire au paradoxe du menteur (“cette déclaration est fausse”).
Interprétation intuitive : Peu importe combien de livres “vrais” vous avez dans votre bibliothèque, il y aura toujours des énoncés mathématiques (ou des “livres”) qui sont vrais mais que vous ne pouvez pas prouver en utilisant seulement votre collection.
2. Deuxième théorème d’incomplétude : Un autre livre spécial dit: “La bibliothèque est cohérente” (c’est-à-dire qu’il n’y a pas de contradictions dans les livres). Le deuxième théorème d’incomplétude dit que si la bibliothèque est réellement cohérente, alors vous ne pouvez pas utiliser les livres de la bibliothèque pour prouver cette cohérence.
Interprétation intuitive : Vous ne pouvez pas prouver que votre immense collection de livres mathématiques est sans contradictions en utilisant uniquement les livres de cette collection. Vous avez besoin d’un point de vue extérieur ou d’une base de connaissances plus large.
En résumé, les théorèmes d’incomplétude de Gödel nous disent que pour toute collection suffisamment riche d’énoncés mathématiques (ou de “livres”), il y aura toujours des vérités qui ne peuvent pas être prouvées à l’intérieur de cette collection, et que la collection elle-même ne peut pas prouver sa propre cohérence. C’est un peu comme si, peu importe combien de livres vous avez, il y aura toujours des énigmes et des questions que la bibliothèque ne peut pas résoudre elle-même.
Naïf je suis.... Mais la différence entre 1,...2....et douze, 12....est conceptuelle, il n'y a aucun lien entre les trois nombres... Mais douze est écrit avec 1et 2....donc vous parlez d'infini, mais par exemple, on peut dire il y a un nombre infini de mots mais certain mots n'ont pas de sens, mmmmaugs.... Locuutrfl.... Par contre il y a un nombre limité de mots compréhensibles, quels sont les nombres.... Qui ne veulent rien dire différent de ceux qui signifie une importance,... Les nombres premiers peut être, mais malgré tout avec... Une série limitée 1,2,3,....,9,0....après... Tout sera incomplet ? Onze...., trente quatre sont différents de1,1.... 3,4...bon courage et démontez les fake... Un satelite, ça flotte ?... Ça tourne, ça freine...? La radioactivité, la chaleur dans le vide,... Ça se calcul... Bonnes fêtes 202...respirons...
En logique intuitionniste on n'admet pas l'axiome du tiers exclu et cela résout pas mal de problèmes de conceptualisation en mathématiques je trouve. Outre les axiomes qui sont vrais et indémontrables par définition, il y a alors des théorèmes vrais et d'autres faux qui sont tous démontrables comme tels, des théorèmes non contradictoires qui ne sont pas décidables dans le système d'axiomes utilisé, et une quatrième catégorie de théorèmes qui ne sont ni vrais ni faux : ils n'ont tout simplement aucun sens (et il ne faut pas essayer de leur en chercher). C'est dans cette dernière catégorie que rentre le théorème construit pour prouver l'incomplétude de Gödel.
Cela signifie-t-il que les théorèmes d'incomplétude de Gödel ne sont valables que pour la logique classique, ou bien en existe-t-il des démonstrations ne faisant pas appel au tiers exclu ? Une approche rigoriste des mathématiques comme l'intuitionnisme et le constructivisme (qui rejette l'axiome du choix également) est-elle complètement prémunie contre ce genre de problèmes ?
Personnellement, ayant cherché à prouver et prouvé le théorème de complétude de Gödel, je n'ai pas vu de preuve mathématique qui ne nécessitait pas l'axiome du choix. Il faudrait alors prouver que le théorème de complétude Gödel implique l'axiome du choix (dénombrable).
N'oublions pas que logique vient de logos, Langage, et tout langage à ses limites; la preuve quand Ramanujan dis que 1+2+3+4......sans fin=-1/12, tout le monde tombe dans le panneau ou presque car 1>2>3 donc 1+2+3+4.....sans fin >1. cqfd
Je pose la question : "si je te demandais' etc" mais comme je ne l'ai pas demandé, on se trouve dans le cas d'une hypothèse fausse. Or on sais que Faux implique Faux est une implication vraie et donc l'ange peut répondre Faux sans mentir, ce qui nous empêche de connaître la bonne porte.
Bien écoute je viens de voir une vidéo sur les anges et je peux te dire qu'ils ont de drôles de gueule........... Et je suis pas très chaud pour simplement leur poser une question !!
Alors est-ce qu'on a le droit de jeter deux bâtons de dynamique sur les deux portes ça fait boom et on voit ce qu'il y a derrière ça va être beaucoup plus simple !!
Bonsoir, continues comme ça, tu fais un travail merveilleux et toutes tes vidéos sont un plaisir à regarder, écouter, assimiler et comprendre
Tu fais découvrir chaque semaines de nouvelles choses, toutes plus intéressantes les unes que les autres.
Je parle de comprendre un peu plus haut, et là dessus tu fais fort, dans le sens où tu prends des sujets qui te tiennent à cœur, et que tu les explique d'une façon claire et précise, en donnant à la fois des détails et une facilité d'apprentissage. Ce n'est pas donné à tout le monde, et rien que le fait que tu aimes ce que tu fais est agréable, et se voit clairement
Merci infiniment pour ton travail et ces connaissances que tu partages, du fond du cœur
Ce n'est ni facile ni difficile ni uniquement reservé aux masters ou doctorants en math. La logique de la vie est encore plus complexe et pourtant on s'y accoutume assez simplement. Je prend un exemple simple : Quel logique il y a dans le fait de tomber amoureux ?
Excellente vidéo d'approfondissement , qui a pour indispensable préalable celle de ScienceEtonnante sur le même sujet. Vous vous concertez ou quoi? ;-)
Tu reviens à la base de la base du fondement... rien à rajouter. Tu serais pas un peu Bourbaki dans l'âme? :>
Le demon ne parlera pas car il ne peu pas choisir.
Mais on sait qu’il a repondue donc il n’y a pas de négociations de la négociations.
Tu sais la logique n'existerait pas si des "paradoxes" n'existaient pas. En plus, je vois ce "monde" comme un jeu. Donc, c'est logique.
D'après Godel, on ne peut pas montrer qu'un ensemble d'axiomes est cohérent si j'ai bien compris
Or, pour démontrer le théorème de Godel, Godel a utilisé les axiomes de l'arithmétique de Peano
Du coup, la démonstration de Godel n'est pas vraiment une démonstration non? parce-qu'elle se mord la queue en disant "Ce sur quoi je me base est peut-être faux"
Je trouve que c'est un théorème qui montre la non validité de sa démonstration elle-même mais peut-être que je me trompe...
Flutterwondershy Yay Pas n'importe quel ensemble d'axiomes, seulement ceux au moins aussi puisant que l'arithmétique.
En tous cas il utilise un ensemble d'axiomes en particulier: un pour lequel on ne pourra pas prouver la cohérence d'après ses propres dire :/
Flutterwondershy Yay Exactement, ce système d'axiomes prouve que s'il est cohérent, il est incomplet.
Tu peux montrer si un ensemble d'axiomes est cohérent. Par exemple : pour tout x, il existe y tel que x est différent de y. Cet énoncé se vérifie dans n'importe quel ensemble ayant au moins deux élément (il en existe au moins). Donc c'est une théorie consistante (il s'agit en fait de la "théorie des ensembles ayant au moins deux éléments"). Ce qui va se passer, c'est qu'une fois que tu as une théorie T, tu peux faire des démonstrations (suivant des règles logiques bien établies), et ce par le biais d'une liste d'énoncés issus de la théorie. Le théorème final (celui démontré, celui à la fin de la liste) sera écrit dans les symboles de la théorie. Ce que Gödel a fait, c'est qu'il a réussi à écrire un énoncé dans les symboles de la théorie expriment le fait que la théorie était consistante. Après, il a démontré qu'il n'existait aucune démonstration (aucune "liste" d'énoncés s'enchaînant selon les règles logiques) parvenant à cet énoncé.
Est-ce qu'on a prouvé que d'autres théorèmes sont vrais mais n'ont pas de preuve ? Non parce que si ça se trouve c'est le seul :p
Comment la vidéo youtube peut avoir un nombre plus grand que le nombre de particule dans l’univers?
si on change de logique mathématique peut on échappé des theoréme d'incompletude de godel?
si on change de logique mathématique peut on échappé des theoréme d'incompletude de godel?
Pourquoi le gars il parle comme dans un reportage de zone interdite alors que le sujet est passionnant. Je zappe merci
Quand on arrive pas à donner une idée rapide de quelque chose c'est sûrement que cette chose n'a aucun sens.
Cette vidéo est un parfait exemple d'incomplètude !
13:28 Tu dis que si THEOREME a une preuve c'est qu'il est vrai. Mais là tu supposes que l'arithmétique est cohérente... *tousse* Ce que montre vraiment ta vidéo, c'est qu'au moins l'un des deux est vrai entre 1) L'arithmétique n'est pas cohérente, et 2) L'arithmétique n'est pas complète. Ou j'ai mal compris ?
Si l'arithmétique n'est pas cohérente alors le théorème est vrai. L'ennui c'est qu'il est faux aussi.
Mais sinon c'est bien ça, soit l'arithmétique est incohérente, soit il manque des trucs. Or l'arithmétique est incapable de montrer elle-même sa propre cohérence (deuxième théorème d'incomplétude de Gödel).
Nice
Est ce que tu pourras mettre un lien vers "prouve" en arithmétique de peano, juste pour voir a quoi ca ressemble
Je doute qui quiconque l'est vraiment écrite en entier...
Même pas Gödel lui-même ?
@@LePandu Surement pas Gödel lui-même. Peut-etre quelqu'un quelque part s'est amuse a ecrire un programme qui la calcule explicitement?
Attention!
Information numerique et non dogitale :-)
Très bien ! SAUF QUE la logique est hors des mathématiques, en l'occurrence ces derniers la suppose. Logiques mathématiques, c'est comme physique culinaire, évidemment que la cuisine est décrite par des lois physiques, mais on voit bien que la physique ne fait pas partie de la cuisine.. de même, les mathématiques sont adossées à la logique, mais la logique n'en fait de toute façon pas partie. L'épistémologie est très souvent ce qui manque aux meilleurs mathématiciens. Et même quand Gödel écrit un truc juste, personne (pas même lui) pour se rendre compte que la solution était déjà dans l'épistémologie (car dans la définition des mathématiques), et que Gödel n'a jamais que modéliser (i.e. mathématiquement, dirais-je par pléonasme) un petit bout d'épistémologie des sciences synthétiques. Je dis modéliser, car l'épistémologie, évidemment est une science analytique, tout comme la logique. Et c'est bien dommage de s'ingénier à prouver des lois déjà connues, quand bien même c'est du génie mathématique.
Euh je ne suis pas d'accord avec les solutions :-) ! Parque le démon n'est pas obliger d'obéir , il est démoniaque! Que pensez vous de cette solution ???? On désigne une porte et on pose la question : si tu étais un démon, dirais tu que cette porte va au paradis ? cas 1 : si ange alors il devient démon >>>> 2 réponses = si porte paradis alors (ange/démon) dit non . si porte enfer alors c'est oui donc on choisit l'inverse . cas 2 : si démon >>> le démon est dans le cas du paradoxe du menteur (boucle infini) et il ne peut pas dire la vérité sur les portes (menteur). Il ne peut être que lui même d'où : 2 réponses = si porte paradis alors (démon/démon) dit non et BLA BLA .... oui même idée il faut choisir l'inverse de la réponse. :-)
Essayons d'ecrire modulo en peano, pour cela, je vais proceder par etape, chaque etape est plus "rudimentaire"que la precedente, esperons qu'on arrive a du Peano à la fin.
Mod(n,p)=r
p*kn
r= n-(k*p)
(k*p +r = n) et Va ,faux( (k+1)*p+a=n)
(k*p)+r=n ^ \-/a ,-(Sk*p)+a =n)
J'ai trouvé la réponse dans le document hebfree quand on tape "premier théorème d'incomplétude" dans Google.
L' auteur considère l'énoncé : "je suis vrai mais non
prouvable"
Il considère alors 4 possibilités relatives à cet énoncé
1 - Vrai et prouvable
2 - Vrai et non prouvable
3 - Faux et prouvable
4 - Faux et non prouvable
Il montre facilement que les cas 1 ; 3 ; 4 sont contradictoires
Puis que seul le cas 2 est ok
Démonstration faite, imparable et (enfin) clair comme de l'eau de source (j'ai cherché pas pourtant)
j'ai quelques question même si j'ai peu d'espoir de réponse vu l'ancienneté de la vidéo : quand tu dis que le théorème de Gödel ou plutôt celui dont il est question dans la preuve du théorème de Gödel comment peut-on affirmer qu'il est vrai mais qu'il n'a pas de preuve tout ce qu'on a montrer c'est que il est contradictoire de dire qu'il est faux et qu'il n'admet pas de démonstration mais cela veut-il dire qu'il est vrai ? sans utiliser le tiers exclu je veux dire, comment définir vrai dans ce cas si ce n'est admettre une preuve ? et puis je me dis c'est peut-être vrai sémantiquement mais je n'arrive pas à m'en convaincre car ici ce qu'on a montré c'est que sémantiquement il ne peut être faux. de la à dire qu'il est vrai ? (toujours sans tiers exclu ) si quelqu'un d'éclairé pouvait m'éclairer je lui en serait reconnaissant.
Lis le billet de blog de science étonnante partie modèle.
Voilà ce que je comprends:
Pour résumé, la valeur vrai n'a rien d'absolu:
- On se donne au début un alphabet: ici ce sera l'arithmétique de Peano
- On se donne une fonction f définit sur toutes les phrases de cet alphabet qui à une phrase associe vrai ou faux (deux valeurs) et tel que pour tout axiome a de l'arithmétique de Peano p(a) = vrai et qui vérifie les lois de la logique: p(a et b) = p(a) et p(b) etc...
(dans la vidéo, les phrases sont appelées théorèmes).
- le théorème d'incomplétude dit seulement, on trouve une phrase c tel que p(c) = vrai mais c n'est pas démontrable par les axiomes.
Donc en fait sans changer les axiomes, on aurait pu prendre une autre fonction g, tel que g(c) = faux, mais g(a) reste vrai pour tout axiome a et g respecte les règles de la logique. On a alors changé les valeurs prises par lemme x (parce que même si la fonction démontre n'a pas changé, le "quelque soit démo" fait que lemme x peut être indécidable, donc les valeurs lemme x ont changé. donc la fonction lemme, donc son code donc le théorème "lemme (code lemme)" n'est plus le même théorème que avec f.
Bref on peut bien ajouter le théorème non T qui est pourtant faux dans f à la liste de nos axiomes, ils seront toujours cohérent cependant il ne marchent plus avec la fonction f.
Donc pour résumé, le théorème d'incomplétude dit seulement que pour tout système d'axiomes cohérent (récursifs) on trouve une proposition P (une phrase écrite avec des symboles de Pearno par exemple) qui ne soit pas démontrable donc si on essaye de donner des valeurs à toutes les propositions avec un modèle f, si f(P) = vrai, alors on a le théorème donné dans la vidéo, si f(P) = faux, alors f(non P) = vrai (car f respecte les lois de la logique), et Godel montre aussi que si P est indémontrable, alors non P est indémontrable aussi (ça paraît logique), donc (non P) est la proposition vraie (par f) indémontrable que l'on cherchait.
Je voudrais te poser 3 questions:
Si tous les axiomes en mathématiques sont incertains en mathématiques, en quoi cela nous pose problème du moins que nos démonstrations à un moment puissent être transposables dans notre système d'axiomes physiques (lois régissant notre univers)?
Tout comme des matrices de transitions existe pour passer d'un système de vecteurs (ou autre matrice) à un autre. N'existerait-il pas une équivalence entre les différents systèmes d'axiomes écrit en langage de Gödel avec que sais-je, des matrices de Gödel de transition pour en faire de même?
Peut-on faire confiance au théorème d'incomplétude lui-même car du coup, il prouve que lui même n'est pas certain n'est-ce pas? ^^
Si un théorème n'a pas de preuve c'est qu il n'en est pas un : mais je suis d'accord avec le principe, puisqu'il y a une infinitie de combinaisons mathématiques c'est qu'il y a une infinitie de théorèmes. L'existence de vérités sans théorèmes c'est une normalité cela pousse à s'améliorer et se pefectionner par exemple x^2=-1 a poussé à créer l'ensemble des nombres complexes pour pouvoir résoudre cette équation et d'autres semblables.
Pour soigner la migraine y a pas mieux.ou l attraper
Petite tentative de réponse de quelqu'un formé en philo et en logique, justement pour le point de vu philosophique sur "la vraie logique": en fait je pense pas qu'on puisse parler de "vraie" logique, la logique elle est efficace, valide, cohérente, mais vraie... On peut très bien considérer que la logique est juste dans la tête des êtres humains, à l'inverse il paraît même étrange de dire que la logique est dans le monde, dans les choses, les objets. Dans ce cas il n'y a pas de logique objectivement vraie, et la logique ne peut même pas prétendre au titre de connaissance, si l'on appelle connaissance quelque chose qui peut être en adéquation avec le réel (dans ce cas c'est une connaissance vraie). Attention cela dit, cela n'empêche pas que la logique soit un excellent (le meilleur ?) outils à disposition de l'homme pour produire des connaissances !
Comme par hasard c un chinois qui raconte ça
Rhum+citron vert + sucre de canne = Ti ' punch
"vous le voyez venir ?"
euh... non
Est ce qu'il y a un rapport entre le théorème d’incomplétude et des propositions comme "Tous les hommes sont mortels" ? Cette proposition est (sûrement) vraie, tant qu'on n'a pas vu un homme immortel. Et quand bien même un tel homme existerai, on ne pourrait jamais être sûr qu'il est immortel (pour ce qu'on en sait, il peut mourir demain).
Il y a quand même un paradoxe logique à tous ces paradoxes logiques mathématiques c'est qu'à chaque fois l'objet mathématique qui possède des termes infinis est vu comme un objet fini, alors que si l'on possède un caractère infini en toute logique on devrait pouvoir admettre une perpétuelle évolution qui empêche les paradoxes. Et ce n'est pas non plus nécessaire de faire une formule mathématique pour prouver qu'un ensemble infini ne peut pas être mis en relation avec un autre ensemble infini, c'est que ces ensembles sont absolus et si deux ensembles absolus (par exemple un "univers") ((sont mis en relation)) alors ils forme un nouveau "absolu" qui a des formes identiques, donc celles ci s'annulent (ou alors on admet qu'il y a une infinité d'espace-temps dans un même espace-temps, ce qui peut être vrai mais ne sert strictement à rien, c'est d'ajouter du noir au noir. Donc au final, plus que de ne rien servir ça s'annule, ça ne se contredit pas d'ailleurs, ça ne fait que dire que "ce qui est est est est avec une infinité de "est"") Et si l'on se pose la question de savoir pourquoi la notion d'infini est une notion absolue ou qu'est-ce qu'une notion absolue, la réponse est simplement en soi: une notion absolue intègre la notion d'infini dans sa définition en affirmant qu'une infinité de possibilité peut potentiellement intégrer une notion absolue (donc la notion d'infini est peut être même la notion la plus absolue car elle ne pense que la quantité et non la qualité, ce qui n'est pas le cas pour la liberté par exemple ou dans une situation prise au hasard on peut penser la liberté de manière positive ou négative ou nulle, et là tout dépend de la situation et de la définition de la liberté, qui est sans doute une notion subjective, donc qu'on ne peut pas vraiment définir qu'en étant mise en relation avec un objet, donc on peut affirmer que dans l'intérieur de cette notion il y a des notions subjectives mais que la notion de liberté en soi est objective car absolue et si l'on peut prouver par la logique que cette notion est absolu c'est justement qu'elle peut être considérer dans n'importe quelle situation et cela tout dépend de nos critères subjectifs et relativistes par exemple un prisonnier n'a pas de liberté mais seulement en considérant que l'humanité a une liberté relativement à l'ensemble de l'humanité et à la particularité du prisonnier. Je me rappelle encore de mon grand père qui avant de mourir m'a dit avec justesse que la liberté n'existe pas pour l'homme car l'homme est prisonnier sur terre, il ne peut s'en échapper (sans parler de modernité) et si on pousse un peu le raisonnement on est prisonnier de notre enveloppe charnelle et c'est peut-être en considérant cela que notre esprit peut concevoir la véritable liberté qui n'est pas sujet au monde réel mais à la théorie des idées. Enfin en tous cas en faisant preuve d'abstraction.
J'ai lâché à 7min 30
Ça fait longtemps qu'on cherche à comprendre l'univers et les mathématiques en font partie et on voit bien que on est en pleine échec évidemment ça se voit plus en physique qu'en mathématiques qui sont pendues en l air toute seules.
Juste une petite clarification, le second théorème d'incomplétude ne dit pas qu'"il est impossible de prouver la cohérence de l'arithmétique de Peano" mais qu'il est impossible de le faire *dans l'arithmétique de Peano*.
Mais il est tout à fait possible de prouver la cohérence de PA (l'arithmétique de Peano) en se plaçant dans une théorie plus puissante. En fait, Gentzen à démontrer qu'il suffisait de rajouter un principe d'induction transfini jusqu'à
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}}
. En gros, pour pouvoir prouver la cohérence de PA, il faut savoir compter jusqu'à
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}}
, et PA ne sait pas le faire.
Ce que nous apprennent vraiment les théorèmes de Gödel, c'est qu'une théorie ne sait pas très bien parler d'elle-même. C'est pourquoi lorsque l'on veut démontrer certaines propriétés d'une théorie (en particulier sa propre cohérence), on se place en général dans une métathéorie suffisamment puissante (e.g. un modèle monstre, ou un univers).
C'est le même type de phénomène qui se produit dans le paradoxe de Skolem. Si on considère un modèle dénombrable de ZF, disons M, alors il doit contenir des ensembles non dénombrables (*dans M*). Ce qu'il faut comprendre c'est qu'un ensemble est dénombrable s'il existe une bijection entre lui et ω (ou IN). Dire qu'il existe un ensemble non dénombrable dans M, revient à dire que M ne connaît pas de bijection entre cet ensemble et ω.
En gros, un tel ensemble est bien dénombrable (dans la métathéorie), c'est juste que M ne le sait pas. En particulier, on peut construire les "réels" dans M mais il n'y en aura qu'un nombre dénombrable. Il manquera donc beaucoup de "vrais" réels mais M ne le sait pas.
Oui, j'ai parlé du théorème de Gentzen dans l'épisode 8 : th-cam.com/video/kl34kGutU1A/w-d-xo.html
Les énoncés que j'ai donnés sont très approximatifs (mais je pense que c'est mieux ainsi...)
Paradoxe : deux chemins logiques , vrais tous les deux , aboutissent à une contradiction . Existe-t-il des paradoxes de second ordre ? C'est à dire deux paradoxes sur le même sujet , mais antinomiques ?
Ce commentaire est vrai et il n'a pas de preuve.
Il y a un petit problème quand même dans le deuxième solution que tu énonces (celle avant at préférée), puisque si lange se fait passer pour le démon il devrait lui aussi mentir ... Par contre si la question est: "Indique moi la porte de ta maison si c'était celle de l'autre" ça ne pose pas de problème (autrement dit, il faut se référer uniquement à la porte et non pas à la personne puisqu'il serait légitime que l'ange lui associe le mensonge ...)
C'est comme le paradoxe du dictionnaire . Tous les mots ont une définition dans le dictionnaire , la définition d'un mot n'employant pas le mot en question ( sinon ce serait comme dire 1=1 ) . Chaque mot est défini par d'autres mots , eux mêmes dans le dictionnaire , et ont aussi une définition par d'autres mots du dictionnaire , et ....... ainsi de suite . À la finale , les mots ne veulent rien dire ...
autre proposition "si je demande à l'autre gardien qu'elle est la porte..." et on prend l'autre parce que f * v = f et v * f = f plus de problème d'ange ou de démon :) juste de logique
oui je trouve ta solution plus élégante
pendant ma recherche de la solution j'avais penser à la proposition "si je te demandais ..." qui est proposé dans la vidéo comme étant la meilleur réponse, sauf que ca ne marche pas, parce que qu'est ce que ca veut dire "mentir" sur une condition ? parce que si le démon répond non à la condition 'si je te demandais", ca voudrais dire que tu lui demanderais pas, donc il ne répond pas... et t'as pas d'information sur la porte.
alors qu'avec ta condition à toi, s'il répond non à la condition : "si je demandais à l'autre gardien" alors il considère que tu lui demande à lui, donc il donne une réponse.
en fait, ça fonctionne un peu comme la solution proposée dans la vidéo mais avec ce principe simple, on est sûr de faire marcher les filtres dans les deux sens
- si on parle à celui qui dit vrai, il va dire le mensonge que dirait l'autre
- si on a affaire à celui qui ment, il dira le contraire de ce que dirait celui qui dit la vérité
du coup, on sait avoir toujours la mauvaise réponse, plus qu'à prendre l'autre porte :)
mais les solutions proposées fonctionnent aussi, je les trouve juste demander de plus se casser la tête :)
salut Lê, je me demandais si le theoreme d'incomplétude ne pouvait pas avoir une analogie avec les nombres premiers. En effet, pour tout ensemble fini E de nombres entiers dont le max est n, il existera toujours des nombres (les nombres premiers) plus grands que n, qui ne pourront pas trouver de décomposition en facteurs de nombre de l'ensemble E. Les élements de l'ensemble E représenteraient les axiomes de la théorie, et les nombres premiers plus grand que n, dont on sait qu'ils sont infinis, représenteraient les propositions indémontrables. Les décompositions en facteurs de E représenteraient les démonstrations. L'analogie est-elle pertinente pour mieux comprendre le truc?
Mais ce qui prouve que le théorème est vrai c'est qu'il n'a pas de preuve ... Bah si on a prouvé qu'il est vrai donc il a une preuve donc ce théorème se contredit ... il n'a donc pas de consistance, non ?
parfois y'a des mathématiciens qu'on prend de génie mais au fond,ils ne font que des foutaises.kkkkk,pauvre Godel
J'avoue que cette vidéo me laisse sur ma faim car je pensais que tu allais notamment creusé le sujet du deuxième théorème d'incomplétude. Les travaux de Leonid Levin à ce sujet qui montrent qu'on ne peut pas compléter une théorie même en utilisant le hasard sont intéressants.
Tu peux être naturel. T un bon mathématicien mais t pas obligé de faire l’acteur . Soit toi même
Merci pour tes vidéo
Etant donné un énoncé d'un théorème, est-il possible de prouver le fait qu'il n'admet aucune démonstration ?
Le lê d'aujourd'hui dirait qu'il est plus probable que la vraie logique soit la logique Bayésienne :P
mod(n,p) = r :
Ea(n = p x a + r)
Edit : forcément j'ai complètement oublié le cas r>p
je ne saisis toujours pas ce qu'on veut dire par P vrai indépendamment du système axiomatique, est ce que dire que quelque chose est vrai ne dépends pas-t-il du système axiomatique?
De plus ce qu'affirme le théorème de godel est que tant qu'on admet les axiomes de piano notre système axiomatique est incomplet, est ce qu'on ne pourrait donc pas faire de l’arithmétique autrement par exemple en utilisant la théorie des ensemble ZFC ou on pourra définir nos 'opérations' sur des ensembles ou bien est que dans la démonstration godel n'utilise que des 'propriétés vrais' et donc démontrable dans n'importe quel théorie permettant de faire correctement de l’arithmétique...
C'est une preuve de la théorie des modèles sans utilisation de ZF.
euh j ai pas bien compris ce que vous voulez dire
Je me pose une dernière question.
Si à chaque fois qu'on tombe sur un théorème vrai mais indémontrable, on ajoute ce théorème comme axiome.
A la fin, on arrivera à tout démontrer ?
Encore faut-il démontrer que le théorème est indémontrable...
C'est vrai mais imagine, je sors par magie de mon chapeau tout les théorèmes vrai et non démontrables.
Je les ajoutes en tant qu'axiomes.
J'obtiens alors un système consistant et pouvant tout démontrer
Donc ça fait un paradoxe avec le théorème de Godel
Elle est où mon erreur ?
fred fred Y'a une imprécision dans la vidéo, le théorème est vrai pour les théories capable de formaliser l'arithmétique, consistante et récursivement axiomatisable, ta théorie ne respecterait pas le dernier point.
@@fred9297 il y en a sûrement une infinité! Comment tous les rajouter aux axiomes... 😉
Est-ce que le théorème de goedel peut etre étendu au cas où on interdit l'autoreferencement ?
C'est difficile à comprendre ces théorème d'incomplétude de Gödel.
Intéressant, d'aller un peu plus loin que leurs définitions. (une autre vidéo qui irait un peu plus dans les détails de la construction ça déjà à été fait ?)
En tout cas, savoir qu'il existe (au moins) un théorème vrai mais indécidable c'est cool, mais en vrai, si c'est le seul, est-ce que c'est vraiment un problème. Moi si on me dit "avec cette théorie tu peux tout prouver sauf un truc" ça me va, j'achète direct. Est-ce qu'il est possible de construire une infinité de théorèmes vrai mais indécidables quelle que soit la théorie, ou est-ce que la construction ne permet de créer qu'un seul théorème ?
En tout cas d'un point de vue philosophique c'est très intéressant, ça prouve que la rationalité a ses limites. Même si au final j'ai quand même le sentiment que l'immense majorité des preuves reposent sur leurs validations en tant "qu'argument raisonnable" plutôt que comme "argument irréfutable".
Pour chaque théorème x vrai acceptant une démo tu peux en construire un qui n'admet pas de démo : (lemme code lemme) et x
Pareil pour les théorème démontrable faux en remplaçant x par non x
bravo pour cette chaine!.. j'ai une question: vous dites que le théoreme de Gödel montre qu'il existe au moins un théorème qui est vrai mais qu'il n'a pas de preuve... n'est-ce pas une preuve de dire cela?... si on écarte cette question philosophique, est-ce que la conjecture sur les zéro de la fonction zêta de Riemann pourrait être la (ou une) conjecture qui n'a pas de démonstration ? (désolé si je fait un amalgame entre théorème et conjecture alors qu'il ne faudrait peut-être pas...) ! bonne suite pour les prochaines vidéo. merci
Il reviendra dessus mais il l'a prouvé en se mettant un cran au dessus. Pour la théorie c'est indécidable mais pour une autre pas forcement. Notamment si tu as une théorie T avec une un théorème T1 indécidable, alors la théorie T' = T\cup {T1} (ajoute T1 en axiome), T1 n'aboutira pas a de contradiction, cette théorie T' n'est pas plus inconsistante que T. Pourtant T' prouve trivialement le théorème T1 puisqu'elle l'a en axiome. Donc oui le théorème est prouvé mais pas par la théorie T sur laquelle on raisonne. La chose importante c'est qu'on ne peut pas se placer dans une théorie T pour raisonner sur T elle même.
Comment savoir que les théorèmes que nous manipulons aujourd'hui sont vrais ?
Par leur démonstration bien sur... et en admettant que les axiomes soient vrais... Mais ce n'est pas le sujet de la vidéo.
Pourtant d'après Godel la démontrabilité d'un théorème ne garanti pas qu'il soit vrai.
bravo ,le quantique devient plus sympatique
Mais du coup, vue que ta "démonstration" est basée sur l'arithmétique de Peano cela ne peut remettre en cause que la validité de ce système. Il pourrait juste être incomplet. Or si je comprends bien le théorème d'incomplétude de Gödel aussi remet en cause tout "système d'axiomatisation" que l'on pourrait construire (ZFC ....).
Julien B Le théorème c'est "l'arithmétique de Peano, si elle est consistante est incomplète". La validité de ce système n'est ni remis en cause, ni quoi que ce soit, on sait pas si le système est cohérent ou non, et si jamais il l'est le deuxième théorème d'incomplétude nous dit qu'on ne le saura jamais.
Oui je vois (dsl à ne pas avoir vu le msg avant), cependant ça sonne comme un cercle vicieux. Si ce théorème est fondée sur l'arithmétique de Peano alors il ne peut concerner que ce système (l'arithmétique de Peano). En particulier le fait de coder toute démonstration comme étant une séquence de caractères propres à un système donné, ici l'arithmétique de Peano, et de prouver qu'il est impossible de démontrer la validité de celui-ci. Ne remet du coup en cause que l'arithmétique de Peano.
Mon raisonnement est que dans un autre système avec d'autres concept et outil, il se pourrait que la démonstration de Gödel ne soit plus valable, et nous pourrions donc démontrer la validité de ce système-ci
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Question au passage y a t'il un outil/concept mathématique qui n'est pas constituable dans l'arithmétique de Peano ? Le modulo dont tu a parler (qui lui est donc constituable), concept de nombre complexe et même de nombre réal car l'arithmétique de Peano semble limité aux naturel positif (vu que 0 est le 1er nombre) ou autre.
Et cela ne pose t'il pas de limite? (même si il faut que le système soit le plus "bas niveau"/axiomatique possible)
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L'arithmétique de Peano est prouvée incomplète (ou indécidablement complète) par une démonstration dans le langage de Peano.
Un autre système pourrait être prouvé valable par une démonstration dans son propre langage.
Au final je ne comprends pas ce qui permet d'élargir la démonstration a toutes les théories constructibles. Il faudrait que sa démonstration de soi baser sur aucune théorie/système en particulier (une grande théorie des théories, les grands axiomes qui forment nos axiomes (oui c'est incohérent) ou une théorie que nous savons à coups sur comme cohérente (ce qui à pas l'air gagné). Il faudrait en quelque sorte prolonger cette démonstration.
La démonstration n'a pas été faite dans l'arithmétique de Peano, elle est méta-mathématiques. On a une formule qui affirme d'elle même qu'elle est indémontrable dans un système axiomatique, c'est un proposition méta-mathématiques. Et avec assez d'axiomes pour constituer les bases de l'arithmétique (nombres premiers, successeur, tout un tas de plus de 40 définitions), on peut montrer que cette proposition métamathématique se code comme une proposition dans cette théorie. Et là on a une proposition soit fausse, et dans ce cas elle est démontrable, ce qui est absurde si notre système est cohérent, soit elle est vraie et dans ce cas elle est aussi indémontrable. Dans les théories mathématiques qu'on utilise, et qui sont intéressante aux mathématiques, on utilise souvent les nombres entier. Et souvent on a l'arithmétique des nombres entiers et toutes les 47 ou 48 définitions nécessaire à la construction de la preuve.
Après il existe des théories qui échappent à ce théorème, il faut 3 choses pour qu'il marche : que la théorie en question soit "récursivement axiomatisable", cohérente et qu'elle formalise "assez" l'arithmétique, on peut demander qu'on puisse écrire un analogue à l'arithmétique de Peano (donc en gros juste avoir les entiers, avec leur principales propriétés).
Et sinon l'arithmétique de Peano ne formalise pas énormément de chose, il n'y a pas tout un tas de concept présent dans pleins, pleins de théories. Elle n'est plus vraiment utilisée aujourd'hui, on a des choses beaucoup plus complète comme la théorie des ensembles (qui permet de presque tout faire en mathématique).
La démonstration se fait en supposant qu'on a les outils de la logique classique (LC), ce sont les bases de la logique, on n'a pas vraiment de choses plus puissante à cette heure. Mais c'est vrai que rien ne nous dit que si on "trouve" une autre règle qui marche bien, certaines théories comme Peano pourraient être complète. Sinon la "grande théorie qui forment nos théories", c'est les méta-maths, elle n'est pas parfaite, on pourrait essayer de la formaliser, mais on aurait d'autres problèmes, on ne peut jamais être sûr de rien, il faut admettre des choses en logique comme dans toute autre discipline des mathématiques. Et le théorème d'incomplétude fait un raisonnement dedans, donc soit notre système ne marche pas (Peano est incohérente en particulier), soit il marche, et dans ce cas, on ne peut être sûr de rien. On peut se dire que le raisonnement que je viens de faire est fallacieux, parce qu'il n'a pas été fait dans un système démontré cohérent, mais on peut se rendre compte qu'on va tourner en boucle toujours et (peut-être, très certainement en fait) arriver au mêmes conclusions (soit c'est faux, soit c'est vrai et on ne saura jamais que c'est vrai).
Alors là c'est vraiment fantastique ^^, je m'attendais pas à une réponse aussi complète, vraiment merci. Donc si j'ai bien compris là où j'ai faux c'est sur le fait qu'effectivement le théorème n'est pas base sur l'arithmétique de Peano (ou tout autre théorie classique style ZFC, NBG ...) mais sur une théorie "infiniment bas niveau" (je reprends les mêmes mots qu'en informatique mais si quelqu'un a mieux je suis preneur), les métamathématiques. Et enfaîte, les métamathématiques sont bien la grande théorie des théories que "j'avais" imaginé. Ainsi effectivement je peux admettre que les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont effectivement applicables à l'ensemble de la logique. Je dois avoir raté quelque chose dans les vidéos ou vous nous avez peut être épargner d'en parler. En tout cas avec wiki et le document retraduisent et adapté de Gödel, ben je ne comprends pas mieux comment il a élargi aux métamathématiques 😂, mais je comprends qu'il la fait (www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf la "2.4 Expressing metamathematical concepts" mais je n'ai pas vraiment le niveau). Bref sa vaudrait bien un hors-série sur les métamathématiques tous sa.
PS: Du coup sans avoir compris comment il a fais pour prouver quelque chose dans les métamathématiques ce que je vais dire sera surement stupide: Mais a partir du moment où Gödel a démontrer quelque chose avec les métamathématiques (ou a ensuite prolonger sa démonstration jusqu'aux métamathématiques). Bin cela n'en fais t'il que l'on travailler dans ce système la (comme la fais Gödel) qui est donc cohérent ou construire des système dérivée forcement cohérent (mais pas démontrablement cohérent, oui sa devient très bizarre).
En bref, Gödel a démontrer que tous système pouvez être complet ou incomplet mais, qu'il est impossible de démontrer qu'il l'est. Et si Gödel a pu démontrer cela (et que c'est maintenant apparemment admis) c'est qu'il la démontrer dans un système qu'il savais complet. Hors il ne peut donc plus le prouver ??? Et on pourrais si on avais besoin d'un système cohérent faire la même démarche que Gödel.
3 jours après une autre vidéo sur science étonnante... j'adore
Je n'est pas tout compris.
En gros dans le meilleur des cas (quelques soit l'arithmétique utilisé) on peux faire des théorèmes qui prouve la validité ou non d'une affirmation, mais le théorème appliqué a lui même ne peux pas se prouver.
Donc pour prouver le théorème il faudrait alors un autre théorème utilisant une arithmétique plus puissante. Mais que ce passe t'il si grace a une arithmétique on fabrique des théorèmes pour démontrer tout ce qui est possible dans notre univers ?
Plus besoin de démontrer la validité des théorèmes appliqués a eux même car on englobe déjà toutes les affirmations possibles sauf la validité des théorèmes eux même.
On a alors plus besoin de prouver les théorèmes, ils sont forcement vrai et l'arithmétique utilisé est capable de démontrer tout les phénomènes possible de notre univers, il faudrait sortir des possibilités de notre univers pour prouver les théorèmes eux même, cette arithmétique est donc complète dans le champs des possibilités de notre univers.
Il exist au moins une affirmation indémontrable qui n'a pas besoin d'être démontré pour validé l'arithmétique utilisée.
Au risque de totalement me tromper, je n'est peut être rien compris. ^^
En fait, si une théorie est assez puissante pour faire de arithmétique, alors la théorie est inconsistante ou incomplète.
J'ai beau me repasser la vidéo encore et encore, c'est totalement incompréhensible, il explique qu'il existe au moins 1 théorème ou quand la démonstration est appliqué au codage de ce même théorème alors la démonstration de ne prouve pas le codage du théorème, donc : demo ne prouve pas code (théorème) mais il ne dit pas : demo ne prouve pas théorème.
Quelle intérêt de prouver que la démonstration ne prouve pas le codage du théorème tant qu'elle prouve le théorème lui même.
théorème != code (théorème), c'est juste une représentation ...
On veut exhiber un énoncé qui ne peut être prouvé dans la théorie (ni sa négation), de sorte à montrer que la théorie n'est pas complète. Pour ce faire, Gödel choisit l'énoncé de ce théorème codé. Et ça marche !
Merci MrAmericanDreams c'est bon j'ai eu le déclic, omg !
encore tu cartonnes, merci pour la vidéo, je ne sais pas pourquoi le théorème d'incompletude ne m'étonne plus, peut être parce qu'on ne peut pas par exemple, démontrer qu'il existe une suite de 100 chiffres 8 dans le développement décimal de racines de nombres premiers, de pi, de e, Et on peut s'amuser en enchaînant les exemples.
Si un nombre réel possède 100 chiffres 8 dans sa partie décimale, alors il est possible de le démontrer.
Le théorème de Gödel voulait avant tout répondre au programme de Hilbert quant à la recherche d'une axiomatisation totale des mathématiques.
j'adore l'encodage des prédicats mathématiques :)
Il existe des conséquences plus constructives à ce théorème ? Les preuves d'existence c'est bien mais généralement c'est un peu stérile...
La preuve est parfaitement constructive.
Je comprend pas en quoi la réponse d'Antoine Delègue sur la porte du paradis peut donner une certitude sur le choix? On pose que une question, le si n'est pas une question mais une condition...non?
C'est pas mieux? : Pour allez chez toi c'est qu'elle porte?
L'ange donne de toute façon la bonne réponse, et le démon donne de toute façon la bonne réponse pour le paradis aussi. Vu que la réponse pour lui est l'enfer mais qu'il doit mentir.
En une question on s'assure de la bonne porte sans même devoir l'interpréter plus que ça^^
Bon après faut supposer que l'ange vient du paradis et le démon de l'enfer...ce qui est pas prouver là^^
Avoue au final tu veux nous vendre de l'opium.