На самом деле без преобразований гораздо легче прикидывать. Т.к степени все разные, то похрен складываются они или вычитаются, это на порядок числа никак не вллияет. При 01 пренебрежительно малы маленькие степени, оставляем x^18>0,. Ну и с x
На мой взгляд с одной переменной решение тут очевидно без преобразований и можно ссылаться на правило возведения в степень и арифметику. -1 опять минимум 3 члена со знаком "+" при наибольшем - х^18. Хороший пример для преобразований и в целом Ваш контент прекрасен для моего оболтуса, но тут уж очень очевидно решение.
А что здесь сложного? При x0: если x>1, то группируем члены левой части по два, начиная слева (х^18-x^13>0 и т.д.), неравенство выполняется; если 00 и т.д.), неравенство выполняется; для х=1 и х=0 - тоже выполняется, т.е. оно справедливо для любого действительного х.
Звісно, що так. Але звернув увагу, що Вам за це смайлик не поставлений. Зате Волков поставив сердечка всім тим, хто бездумно похвалив його безтолкове розв'язання.
Обычно, восхищаюсь Валерием, чтобы совсем нет, таки - нет, но меньше обычного. Для х меньше нуля нет необходимости группировки, сие является усложнением. Для отрицательных х, слагаемые в чётной степени положительны, а слагаемые со знаком минус становятся положительными, т.к. отрицательные числа в нечётной степени отрицальны, а взятые со знаком минус становятся положительными. Далее рассматриваем х равный единице, "ноль" мы как бы рассмотрели. С единицей всё - ок. Далее расматриваем по парно при х >1, х в 18-ой и х^13 и далее, всё -ок. Затем на интервале (0,1), но выбираем другие пары: - (-х^13 + х^10). И прихлдим к окончательному результату.
@@kartezist Правописание, как догма, устарела. Ты тоже не пишешь с большой буквы после точки и не ставишь точку в конце предложения. И на мой взгляд это нормально. Главное донести информацию.
Можно проще. Если |x| >= 1, то (x^18 - x^13) + (x^10 - x^7) + (x^2 - x) +1 > 0, каждая скобка при |x| >= 1 неотрицательна, т.к. в каждой скобке первое слагаемое положительное, т.к. степень четная, и в большей степени, и при |x| >= 1 не меньше модулю, например (x^18 > =|x|^13), значит, каждая из скобок неотрицательна. А еще +1 дает строгое неравенство. Если |x| < 1, то x^18 + (x^10 - x^13) + (x^2 - x^7) + (1-x) > 0, т.к. в каждой скобке первое слагаемое положительное, т.к. степень четная, и в меньшей степени, и при |x| < 1 больше по модулю, значит каждая из скобок положительна. Поэтому неравенство верно при любом x.
А если мы просто перенесём все нечетные степени в правую часть и почленно сравним? 1) при х больше 1 или меньше нуля получаем х в восемнадцатой всегда больше чем х в тринадцатой, х в десятой всегда больше, чем х в седьмой и т.д. а при х от 0 до 1 сравниваем суммы с единицей, которая осталась в левой части
@@DivineDemonLord в левой части- типа парабола, а в правой - нечетная степень, а с единицей не буджет проблемы, если оставить ее в левой части с четными степенями- наоборот, все очевидно!
@@ВераНовикова-ш1б как знаешь ответ, конечно "очевидно", только математика это не "очевидно же, что это так", а чеикие доказательства, каких я не увидел
На первый взгляд конечно круто,но у меня простой,как тумбочка,вопрос-из какого рукава вы достали ноль и единицу?И самое главное-как до этого догадаться среднему абитуриенту?
0, потому что число не имеет знака проверили ( его бы в любом случае проверили). 1, потому что все скобки дают ноль, если было бы написано в одной из скобок х-2, то ещё бы и двойку подставили бы
Да ответ очевиден чисто логически: при любом x левая часть неравенства будет положительной, а с прибавлением 1 во всех возможных случаях будет превышать значение 1.
Очень много ненужных движений при х>1. Достаточно было обратиться к исходному уравнению. Мы увидим, что х с большей степенью всегда положителен. 18>13, 10>7, 2>1
Тут проще можно рассуждать. Если я подставлю любое отрицательное число то левая часть будет всегда положительна ( все минусу исчезнут). Затем очевидно что сумма иксов с четными степенями куда больше чем нечетных. Отсюда следует что любое положительное число является решением. Таким образом х € R
на самом деле, достаточно было рассматривать просто x^18+1 > 0 безо всей остальной шелухи с младшими степенями... ))) и сразу ответ очевиден -- вся числовая ось, включая даже 0. икс в восемнадцатой -- серьёзный пацан !!.... а на нулевых оборотах -- дело спасает единица )))
Вопрос, почему вы проверяете рандомные промежутки чисел, разве нельзя взять производные левой части и узнать как ведёт себя график, а далее в критических точках делать проверки
Если x отрицательно, то -x в нечётной степени положительно, поэтому все, что с иксом в левой части - положительно, да ещё плюс 1- положительно. Если x>=1, то, очевидно, x^18>x^13, x^10>x^7 и x^2>x, поэтому левая часть положительна. Если x от 0 до 1, то можно 1 заменить на x, при этом x^2>x^7, x^10>x^13, x^18>0, т.е. опять левая часть положительна, неравенство верно, значит и исходное неравенство выполняется для всех x
Не обязательно заниматься группировкой слагаем как Вы предлагаете,можно решить это проще.Можно заметить следующие ,при х меньше или равно 0 ,очевидно,так как все слагаемые,с учетом знаков между ними,положительны.При х больше 0, но меньше или равно 1, группируем слагаемые в неравенстве так: х-1+х^2-x^7+x^10-x^13+x^18,очевидно ,что для такого х,неравенство выполняется,так как все слагаемые,если брать их парами(первое слагаемое-первая пара,второе слагаемое-вторая пара и т.д.) положительны.При х больше 1 в нашем неравенстве также группируем слагаемые парами(х^18-x^13+ пара х^10-x^7+ пара х^2-x и +1)все слагаемые положительны,очевидно неравенство выполняется.Таким образом,неравенство верно для любого х!
Спасибо за хороший и поучительный пример и объяснение! А я хотел решать графически, построив график функции y=f(x)=x^18-x^13+... Думаю, там ( по чертежу ) получил бы тот самый ответ. Жду новых встреч с царицей всех наук!
Есть решение проще. Задача вообще в уме решается, если сгруппировать попарно все слагаемые и рассмотреть для них неравенство по отдельности, не прибегая ни к каким вынесениям за скобки.
Тут разве не нужно было решать, т.к. вы сдесь нашли только ОДЗ- т.е. область допустимых значений в которой должны быть интересующие нас корни и ещё почему решение неравенств с переменной делается без числовой прямой.
Замечательно. Только непонятно, почему это неравенство называется "рациональным" ? Рациональным можно назвать, если есть деление числителя на знаменатель. А здесь - где дробь ?
Виктор Нефедов рациональные неравенства и уравнения составлены из рациональных выражений. А рациональные выражения, в свою очередь, такие выражения, для записи которых применяются действия сложения, вычитания, деления, умножения и возведения в степень с рациональным показателем. Те неравенства, когда есть деление на знаменатель с переменной, тоже относятся к рациональным, но более точно их называют дробно-рациональными. То есть дробно-рациональные уравнения и неравенства относятся к классу рациональных.
@@ofmoonsbirdsandmonsters , сколько Вы текста написали методом ctrl+C. *За многословием Вы потеряли суть* А суть - рациональное выражение - это альтернатива иррационального выражения, где есть радикалы. Значит, коротко: рациональное выражение то, где нет радикалов.
Смотрю ночью, без звука, пояснения не знаю. Но левая функция даже на 1й взгляд только в диапазоне 0...1 опускается ниже 1, где и последняя +1 не даст уйти в минус.
1) если x > 1 2) если x = 1 3) если x < 0 4) если x = 0 5) если 0 < x < 1 В 1 случае группируем: (x^18 - x^13) + (x^10 - x^7) + (x^2 -x) + (1) - каждая группа > 0, значит и все неравенство >0 Во 2 случае группируем, как в 1м, получаем 1 > 0 - тоже все неравенство > 0 В 3 случае у нас каждое слагаемое > 0, следовательно, все неравенство > 0 В 4 случае все 0, кроме 1 И в 5: группируем x^18 + (- x^13 + x^10) + ( - x^7 + x^2) + ( -x + 1). если 0 < x < 1, то x^10 > x^13, x^2 > x^7, 1 > x, значит, каждая группа > 0, следовательно, все неравенство > 0
Что-то оччччень сложно вы всё доказывали. Зачем все эти преобразования!? Очевидно, что перед всеми четными степенями выражения стоит плюс, перед нечетными минус. Поэтому для чисел меньше 0: все четные степени дают положительное, все нечетные положительное, да ещё плюс 1 - значит удовлетворяет Для нуля: 1 больше 0 - значит удовлетворяет. 0 < x < 1: самый неочевидный вариант, но остальные доказываются без всяких преобразований!!! просто лень искать объяснение. Для 1 и больше - суммируются всегда бо`льшие степени, а вычитаются всегда меньшие, а x в степени n+1 всегда больше, чем x в степени n (при х больше 1 естественно), значит все пары степеней, типа х18 - х13 всегда больше 0 - значит удовлетворяет.
Конечно можно поковыряться схемой Горнера и методом интервалов....или теорему Безу подключить поделив на х+1 или х-1....А вот если бы было в конце не +1 а допустим какое то число вычиталось и коэффициенты при всех одночленах были бы не единичными то решение было бы не столь однозначным!) Поэтому это неравенство скорее частный случай чем канонический способ решения. Ну представим что в коэффициентах одночленов и корни и рациональные дроби и десятичные и даже π или е константы....там уже будет весело...Конечно в каждом одночлене можно было бы добавить в степень по миллиону и ничего бы не изменилось) . Подозреваю что большинство школьников может быть ошарашено такими неравенствами. В любом случае их может согревать лишь мысль о том что " Такого на ЕГЭ не будет! ")
Я решительно против подобных задач. Идея аффтаров подобных "шедевров" всегда простая - завалить на вступительных экзаменах тех кто у них не брал репетиторские уроки и соотв. не думает с ними на "одной волне". Загадка из разряда: "угадай, что у меня кармане".
@@bannikovn8814 Если внимательно присмотреться к неравенству, можно понять, что скорее всего, оно выполняется при любых x. Дальше нужно просто придумать, как это строго доказать. Что плохого в том, чтобы давать неравенство, где нужно подумать, а не просто стандартное на метод интервалов?
Как-то нудно автор все делает. x^18+x^10+x^2+1 > x^13+x^7+x. 1. x=1: x^18>=x^13, x^10>=x^7,x^2>=x, 1>0, т.е. каждое слагаемое слева превосходит соответствующее справа, а значит и в целом вся сумма слева больше, чем справа. 3. 0x^7, x^10>x^13, кроме того слева еще остается неотрицательное x^18 - таким образом значение левой суммы заведомо превосходит значение правой. (Можно по другому: Если взять f(x)=x^18+x^10+x^2+1, g(x)=x^13+x^7+x, то f(0)>g(0) и f(1)>g(1). Кроме того на рассматриваемом промежутке f и g возрастают и выпуклы (легко увидеть, вычислив первую и вторую производные обеих функций). Очевидно что если одна возрастающая выпуклая функция больше другой на краях отрезка, то она больше и на самом отрезке.)
x≤0--- неравенство очевидно выполняется 00 x^2-x^7>0 1-x>0 Неравенство выполняется x>1: x^18-x^13>0 x^10-x^7>0 x^2-x+1>0 Неравенство выполняется Вот и вышло,что неравенство выполняется для любого значения x Ответ:x€R.
Отличное разжовывание примера! Это как раз для тех, кто не сразу видит решение, а тут все просто, и степени вообще не напрягают, то есть группировать попарно 1и2, 3 и 4, 5 и 6 слагаемые и все становится очевидно в устной форме
Интересно, что можно еще логически додумать. В неравенстве всегда из большей степени отнимается меньшая одного и того же числа значит все числа подходят, кроме 1 и 0 а так как в конце +1 то и при них все верно.
Можно предложить следующее решение. Пусть f(x)=x^18 - x^13 + x^10 - x^7 + x^2 - x + 1, f1(x) = 1 - x. Докажем, что f(x) > 0 при x = 0. Т.е. при x = f1(x) >= 0. Равенство достигается только при x = 0, f(0)= f1(0)=1>0. При х >= 1 легко доказывается, что f(x) > 0 .
Зачем так сложно? Просто складываем все x,. получаем x в 10 степени минус x + 1 больше 0. Даже если в x отрицательное число изначально, то станет положительным в связи с четностью степени. Поправьте, если ошибаюсь.
@@DARKmine28 Имелось ввиду складывать степени, как это делается при умножении степеней с одинаковыми основаниями. Вы могли сделать вывод из результата, если бы не зафиксировали внимание на процедуре)
И зачем такая порнография? групируем их слева по 2 шт и видим что если х больше или равно 1 по модулю то каждая пара положительна и 1 в довесок, если модуль х меньше 1 то групируем аналогично справа налево и видим что ситуация та же. ВСЕ)
Так и понятно что старшая степень четная и при отрицательных значениях эта степень больше чем все остальные члены ряда. А при положительных тем более))
Вот это степени я испугался но когда увидел простое решение Мне полегчало .Молодец Валерий .Очень круто ,логично ,и гениально.
Спасибо что радуете новым контентом летом
Шикарная группировка, до которой я не додумался. Только она очень нужна для случая, когда 0
Спасибо Валерий. Вы замечательно объясняете. Четко и понятно.
У Вас прямо скороговорка получилась, когда пример зачитывали😉
Большое спасибо за информацию!
На самом деле без преобразований гораздо легче прикидывать. Т.к степени все разные, то похрен складываются они или вычитаются, это на порядок числа никак не вллияет. При 01 пренебрежительно малы маленькие степени, оставляем x^18>0,. Ну и с x
Ага. Молодец.
Спасибо мужику за отличный контент. :)))
Я захлёбываюсь в количестве контента! Большое спасибо :)
Всегда страшно такие большие степени. А оказывается все проще если подойти с умом
Первый раз вижу подобный метод в решении неравенств. Очень здорово!
а как еще их решают?
Если бы мне попалось такое задание, то я бы даже не преобразовывал. Для х
На мой взгляд с одной переменной решение тут очевидно без преобразований и можно ссылаться на правило возведения в степень и арифметику.
-1 опять минимум 3 члена со знаком "+" при наибольшем - х^18.
Хороший пример для преобразований и в целом Ваш контент прекрасен для моего оболтуса, но тут уж очень очевидно решение.
Супер. Нет слов.все четко, ясно. Спасибо.
Можно проверить только x1. Спасибо за оригинальное решение.
А что здесь сложного? При x0: если x>1, то группируем члены левой части по два, начиная слева (х^18-x^13>0 и т.д.), неравенство выполняется; если 00 и т.д.), неравенство выполняется; для х=1 и х=0 - тоже выполняется, т.е. оно справедливо для любого действительного х.
Звісно, що так. Але звернув увагу, що Вам за це смайлик не поставлений. Зате Волков поставив сердечка всім тим, хто бездумно похвалив його безтолкове розв'язання.
Людмила, да вы читаете мои мысли. Добавлю, что x=1 нам так же подходит.
не доказывает полноту решения
См. мое решение: более подробно.
Зачем преобразовывать, если разбор всех случаев легко проверяется без преобразований?
Обычно, восхищаюсь Валерием, чтобы совсем нет, таки - нет, но меньше обычного. Для х меньше нуля нет необходимости группировки, сие является усложнением. Для отрицательных х, слагаемые в чётной степени положительны, а слагаемые со знаком минус становятся положительными, т.к. отрицательные числа в нечётной степени отрицальны, а взятые со знаком минус становятся положительными. Далее рассматриваем х равный единице, "ноль" мы как бы рассмотрели. С единицей всё - ок. Далее расматриваем по парно при х >1, х в 18-ой и х^13 и далее, всё -ок. Затем на интервале (0,1), но выбираем другие пары: - (-х^13 + х^10). И прихлдим к окончательному результату.
При х>1 нер-во очевидно, т.к. X^18>X^13, X^10>X^7 and X^2> X, т.е полином положителен.
@@animaaad Те же пишется раздельно.
@@aleksaleks684 "те же" не "пишется раздельно" а нужно писать раздельно. А это совершенно разные вещи. Не надо обманывать людей.
@@ghgfgh8911 очевидно, что это нужно не всем. так же как и ты не считаешь нужным расставлять корректно все знаки пунктуации
@@kartezist Правописание, как догма, устарела. Ты тоже не пишешь с большой буквы после точки и не ставишь точку в конце предложения. И на мой взгляд это нормально. Главное донести информацию.
@@ghgfgh8911 ты же написал, "те же" не "пишется раздельно" а нужно писать раздельно. а получается что не нужно
Было всё понятно. Даже из уравнения видно, что оно имеет множество решений, например x^18 - больше всех степеней.
Можно проще.
Если |x| >= 1, то (x^18 - x^13) + (x^10 - x^7) + (x^2 - x) +1 > 0, каждая скобка при |x| >= 1 неотрицательна, т.к. в каждой скобке первое слагаемое положительное, т.к. степень четная, и в большей степени, и при |x| >= 1 не меньше модулю, например (x^18 > =|x|^13), значит, каждая из скобок неотрицательна. А еще +1 дает строгое неравенство.
Если |x| < 1, то x^18 + (x^10 - x^13) + (x^2 - x^7) + (1-x) > 0, т.к. в каждой скобке первое слагаемое положительное, т.к. степень четная, и в меньшей степени, и при |x| < 1 больше по модулю, значит каждая из скобок положительна.
Поэтому неравенство верно при любом x.
А если мы просто перенесём все нечетные степени в правую часть и почленно сравним? 1) при х больше 1 или меньше нуля получаем х в восемнадцатой всегда больше чем х в тринадцатой, х в десятой всегда больше, чем х в седьмой и т.д. а при х от 0 до 1 сравниваем суммы с единицей, которая осталась в левой части
Так вот проблема в этих суммах с единицей. Ты не можешь точно знать, будет ли всегда выполняться неравенство
@@DivineDemonLord в левой части- типа парабола, а в правой - нечетная степень, а с единицей не буджет проблемы, если оставить ее в левой части с четными степенями- наоборот, все очевидно!
@@ВераНовикова-ш1б как знаешь ответ, конечно "очевидно", только математика это не "очевидно же, что это так", а чеикие доказательства, каких я не увидел
@@DivineDemonLordтак сравни как в видео
На первый взгляд конечно круто,но у меня простой,как тумбочка,вопрос-из какого рукава вы достали ноль и единицу?И самое главное-как до этого догадаться среднему абитуриенту?
0, потому что число не имеет знака проверили ( его бы в любом случае проверили). 1, потому что все скобки дают ноль, если было бы написано в одной из скобок х-2, то ещё бы и двойку подставили бы
Спасибо! Надеюсь вы не будете продолжать побольше делать видео на разбор таких интересных задач.
очень интересный анализ,спасибо!
В отличие от остальных, очень коротко, понятно, и интересно,
Лайк - ✅ done,
Комент - ✅ done.
Благодарю за урок!
а это математически корректная запись решения? или так "для себя"
kartezist корректная
это можно сказать грамотная запись решения, потому что там есть доказательство
конечно, рассмотрены абсолютно все случаи
Отлично, спасибо!
Хотелось бы услышать, почему выбрали 0 и 1. Интуитивно понятно, но хочется объяснения, пусть и неформального.
Потому что на этих участках изменяется поведение степенной функции
в любой непонятной ситуации проверяй x=0
Даже без преобразований сразу видно, что неравенство справедливо и для отрицательных и для положительных и для нулевого х.
Да ответ очевиден чисто логически: при любом x левая часть неравенства будет положительной, а с прибавлением 1 во всех возможных случаях будет превышать значение 1.
В любом случае, спасибо за ваши видео)
У меня прям чутьё, сразу промежуток этот увидел хах)
Очень много ненужных движений при х>1. Достаточно было обратиться к исходному уравнению. Мы увидим, что х с большей степенью всегда положителен. 18>13, 10>7, 2>1
Спасибо большое! Очень полезно!
4:57-5:03. Вот что бывает когда снимаешь видео почти каждый день :)
Тут решение очевидно. Хотя такой замудрённый способ решения очень интересен
Тут проще можно рассуждать. Если я подставлю любое отрицательное число то левая часть будет всегда положительна ( все минусу исчезнут). Затем очевидно что сумма иксов с четными степенями куда больше чем нечетных. Отсюда следует что любое положительное число является решением. Таким образом х € R
зачем усложняете ? Вообще ввнесение за скобок не надо. если xx^2>x^7>x^10>x^13, если x>1 то x^18>x^13>x^10 и.т.д
на самом деле, достаточно было рассматривать просто x^18+1 > 0 безо всей остальной шелухи с младшими степенями... )))
и сразу ответ очевиден -- вся числовая ось, включая даже 0.
икс в восемнадцатой -- серьёзный пацан !!.... а на нулевых оборотах -- дело спасает единица )))
Вопрос, почему вы проверяете рандомные промежутки чисел, разве нельзя взять производные левой части и узнать как ведёт себя график, а далее в критических точках делать проверки
Решать уравнение 17-й степени чтобы найти критические точки? Ну такое себе...
Thank you Valery , very good solution and explanation!!!
Если x отрицательно, то -x в нечётной степени положительно, поэтому все, что с иксом в левой части - положительно, да ещё плюс 1- положительно. Если x>=1, то, очевидно, x^18>x^13, x^10>x^7 и x^2>x, поэтому левая часть положительна. Если x от 0 до 1, то можно 1 заменить на x, при этом x^2>x^7, x^10>x^13, x^18>0, т.е. опять левая часть положительна, неравенство верно, значит и исходное неравенство выполняется для всех x
Не обязательно заниматься группировкой слагаем как Вы предлагаете,можно решить это проще.Можно заметить следующие ,при х меньше или равно 0 ,очевидно,так как все слагаемые,с учетом знаков между ними,положительны.При х больше 0, но меньше или равно 1, группируем слагаемые в неравенстве так: х-1+х^2-x^7+x^10-x^13+x^18,очевидно ,что для такого х,неравенство выполняется,так как все слагаемые,если брать их парами(первое слагаемое-первая пара,второе слагаемое-вторая пара и т.д.) положительны.При х больше 1 в нашем неравенстве также группируем слагаемые парами(х^18-x^13+ пара х^10-x^7+ пара х^2-x и +1)все слагаемые положительны,очевидно неравенство выполняется.Таким образом,неравенство верно для любого х!
Интересное неравенство.
х1 тоже легко проверяется по изначальному неравенству
Это везде помагает
что за задачник подскажите пожалуйста.
Спасибо за хороший и поучительный пример и объяснение! А я хотел решать графически, построив график функции y=f(x)=x^18-x^13+... Думаю, там ( по чертежу ) получил бы тот самый ответ. Жду новых встреч с царицей всех наук!
Скажите, ПОЖАЛУЙСТА, в какой программе вы пишите это все ? На какой платформе ? Спасибо за ваши видео !
Паинт.
Спасибо,интересно!
Эти же все выводы можно сделать с исходным уравнением.
Есть решение проще. Задача вообще в уме решается, если сгруппировать попарно все слагаемые и рассмотреть для них неравенство по отдельности, не прибегая ни к каким вынесениям за скобки.
LOVE YOU!!!! Thank You!!! Val
Тут разве не нужно было решать, т.к. вы сдесь нашли только ОДЗ- т.е. область допустимых значений в которой должны быть интересующие нас корни и ещё почему решение неравенств с переменной делается без числовой прямой.
При любых Х неравенство верно. Тоесть корни неравенства это все рац числа
Красота
Замечательно. Только непонятно, почему это неравенство называется "рациональным" ? Рациональным можно назвать, если есть деление числителя на знаменатель. А здесь - где дробь ?
Виктор Нефедов рациональные неравенства и уравнения составлены из рациональных выражений. А рациональные выражения, в свою очередь, такие выражения, для записи которых применяются действия сложения, вычитания, деления, умножения и возведения в степень с рациональным показателем. Те неравенства, когда есть деление на знаменатель с переменной, тоже относятся к рациональным, но более точно их называют дробно-рациональными. То есть дробно-рациональные уравнения и неравенства относятся к классу рациональных.
@@ofmoonsbirdsandmonsters , сколько Вы текста написали методом ctrl+C. *За многословием Вы потеряли суть* А суть - рациональное выражение - это альтернатива иррационального выражения, где есть радикалы. Значит, коротко: рациональное выражение то, где нет радикалов.
Смотрю ночью, без звука, пояснения не знаю. Но левая функция даже на 1й взгляд только в диапазоне 0...1 опускается ниже 1, где и последняя +1 не даст уйти в минус.
А если через предел решить?
В 5-м пункте, если старшеклассник дружит с пределами, предел целой функции на бесконечности зависит от старшей степени переменной. Явно оо>1 и >0
1) если x > 1
2) если x = 1
3) если x < 0
4) если x = 0
5) если 0 < x < 1
В 1 случае группируем: (x^18 - x^13) + (x^10 - x^7) + (x^2 -x) + (1) - каждая группа > 0, значит и все неравенство >0
Во 2 случае группируем, как в 1м, получаем 1 > 0 - тоже все неравенство > 0
В 3 случае у нас каждое слагаемое > 0, следовательно, все неравенство > 0
В 4 случае все 0, кроме 1
И в 5: группируем x^18 + (- x^13 + x^10) + ( - x^7 + x^2) + ( -x + 1). если 0 < x < 1, то x^10 > x^13, x^2 > x^7, 1 > x, значит, каждая группа > 0, следовательно, все неравенство > 0
Что-то оччччень сложно вы всё доказывали. Зачем все эти преобразования!?
Очевидно, что перед всеми четными степенями выражения стоит плюс, перед нечетными минус.
Поэтому для чисел меньше 0: все четные степени дают положительное, все нечетные положительное, да ещё плюс 1 - значит удовлетворяет
Для нуля: 1 больше 0 - значит удовлетворяет.
0 < x < 1: самый неочевидный вариант, но остальные доказываются без всяких преобразований!!! просто лень искать объяснение.
Для 1 и больше - суммируются всегда бо`льшие степени, а вычитаются всегда меньшие, а x в степени n+1 всегда больше, чем x в степени n (при х больше 1 естественно), значит все пары степеней, типа х18 - х13 всегда больше 0 - значит удовлетворяет.
Спасибо!
Конечно можно поковыряться схемой Горнера и методом интервалов....или теорему Безу подключить поделив на х+1 или х-1....А вот если бы было в конце не +1 а допустим какое то число вычиталось и коэффициенты при всех одночленах были бы не единичными то решение было бы не столь однозначным!) Поэтому это неравенство скорее частный случай чем канонический способ решения. Ну представим что в коэффициентах одночленов и корни и рациональные дроби и десятичные и даже π или е константы....там уже будет весело...Конечно в каждом одночлене можно было бы добавить в степень по миллиону и ничего бы не изменилось) . Подозреваю что большинство школьников может быть ошарашено такими неравенствами. В любом случае их может согревать лишь мысль о том что " Такого на ЕГЭ не будет! ")
очень круто
Отличное решение
Как то просто, я думал будет сложнее
Спасибо
Как обычно, всё по полочкам
Я решительно против подобных задач.
Идея аффтаров подобных "шедевров" всегда простая - завалить на вступительных экзаменах тех кто у них не брал репетиторские уроки и соотв. не думает с ними на "одной волне".
Загадка из разряда: "угадай, что у меня кармане".
С чего вы это решили? Это же элементарное неравенство. Тут даже параметров нету
Оно решается только перебором значений которые может принимать переменная. Не зная «ключика» не решить.
@@bannikovn8814 Если внимательно присмотреться к неравенству, можно понять, что скорее всего, оно выполняется при любых x. Дальше нужно просто придумать, как это строго доказать. Что плохого в том, чтобы давать неравенство, где нужно подумать, а не просто стандартное на метод интервалов?
@@Артем-с1у9ю плохо я уже выше написал что... в качестве там олимпиады, нормально, и совершенно добровольной гимнастики для ума
Как-то нудно автор все делает.
x^18+x^10+x^2+1 > x^13+x^7+x.
1. x=1: x^18>=x^13, x^10>=x^7,x^2>=x, 1>0, т.е. каждое слагаемое слева превосходит соответствующее справа, а значит и в целом вся сумма слева больше, чем справа.
3. 0x^7, x^10>x^13, кроме того слева еще остается неотрицательное x^18 - таким образом значение левой суммы заведомо превосходит значение правой.
(Можно по другому: Если взять f(x)=x^18+x^10+x^2+1, g(x)=x^13+x^7+x, то f(0)>g(0) и f(1)>g(1). Кроме того на рассматриваемом промежутке f и g возрастают и выпуклы (легко увидеть, вычислив первую и вторую производные обеих функций). Очевидно что если одна возрастающая выпуклая функция больше другой на краях отрезка, то она больше и на самом отрезке.)
Неравенство доказывается элементарной логикой, постепенно преобразовывая его вычитанием одного слагаемого.
Супер
Интересно.
где используется такое неравенство
В физике твердых тел, в моделях ценообразования финансовых инструментов...
x≤0--- неравенство очевидно выполняется
00
x^2-x^7>0
1-x>0
Неравенство выполняется
x>1:
x^18-x^13>0
x^10-x^7>0
x^2-x+1>0
Неравенство выполняется
Вот и вышло,что неравенство выполняется для любого значения x
Ответ:x€R.
также решал, хорош
А можно в ответ написать x є R?
Отличное разжовывание примера! Это как раз для тех, кто не сразу видит решение, а тут все просто, и степени вообще не напрягают, то есть группировать попарно 1и2, 3 и 4, 5 и 6 слагаемые и все становится очевидно в устной форме
И добавлю, что пример был бы интереснее, если бы первый х^18 был заменён , например, на х^21
Хочу увидеть решение когда вместо неравенства уравнение, то есть левая часть равна нулю.
Спасибо,
отлично
Здорово
Интересно, что можно еще логически додумать. В неравенстве всегда из большей степени отнимается меньшая одного и того же числа значит все числа подходят, кроме 1 и 0 а так как в конце +1 то и при них все верно.
не понял как к красному перешёл
Можно предложить следующее решение. Пусть f(x)=x^18 - x^13 + x^10 - x^7 + x^2 - x + 1, f1(x) = 1 - x. Докажем, что f(x) > 0 при x = 0. Т.е. при x = f1(x) >= 0. Равенство достигается только при x = 0, f(0)= f1(0)=1>0. При х >= 1 легко доказывается, что f(x) > 0 .
Как с Вами связаться, ученик хочет онлайн репетиторство?
Пожалуйста превращения одного в другое по подробнее т.к. не совсем понятно что из чего выходит!
👍👍👍
Куда проще сгруппировать члены с четными степенями и нечетным отдельно:
(x^18 + x^10 + x^2 + 1) - x*(x^12 + x^6 + 1). А затем исследовать это выражение в интервалах:
*x < 0* - выражение > 0;
*x = 0* - выражение = 1 > 0;
*x = 1* - выражение = 1*(4 - 3) = 1 > 0;
*x > 1* - выражение = (x^18 + x^10 + x^2 + 1) - (x^13 + x^7 + x) = x^13*(x^5 - 1) + x^7*(x^3 - 1) + x^(x - 1) + 1 - выражение > 0, поскольку каждый член этой суммы > 0.
Наконец, самое трудное:
*0 < x < 1* - выражение = (x^18 + x^10 + x^2 + 1) - (x^13 + x^7 + x) = x^18*(1 + 1/x^8 + 1/x^16 + 1/x^18) - x^18*(1/x^5 + 1/x^11 + 1/x^17) = x^18* [ (1/x^18 - 1/x^17) + (1/x^16 - 1/x^11) + (1/x^8 - 1/x^5) + 1 ] = x^18*[(1 - x)/x^18 + (1 - x^5)/x^16 + ((1 - x^3)/x^8 + 1 ] - выражение > 0, поскольку x^18 > 0 и сумма в кв. скобках > 0 (в силу того, что каждый ее член > 0 при 0 < x < 1).
.
На 8:00 не совсем понял как раскрыли скобки и вынесли х
x^10-(x-1)=x^10-x+1=x(x^9-1)+1
@@dakoz спасибо)
@@johnsmith-ou2nv, не за что) год почти прошёл)
@@dakoz а я 2020 пережил)
На 5 шаге можно вернуться к исходному неравенству, а там видно что x^18>x^13, x^10>x^7 и т.д
Тоже хорошо.👍
Отлично. Садитесь - пять!
@Пироjouk а у меня пятибальная ))
Зачем так сложно?
Просто складываем все x,. получаем x в 10 степени минус x + 1 больше 0. Даже если в x отрицательное число изначально, то станет положительным в связи с четностью степени.
Поправьте, если ошибаюсь.
Anonym Firoops к сожалению степени это не коэффициенты, и складывать их так не получится
Нельзя так складывать)
@@DARKmine28 Имелось ввиду складывать степени, как это делается при умножении степеней с одинаковыми основаниями. Вы могли сделать вывод из результата, если бы не зафиксировали внимание на процедуре)
И зачем такая порнография? групируем их слева по 2 шт и видим что если х больше или равно 1 по модулю то каждая пара положительна и 1 в довесок, если модуль х меньше 1 то групируем аналогично справа налево и видим что ситуация та же. ВСЕ)
Так и понятно что старшая степень четная и при отрицательных значениях эта степень больше чем все остальные члены ряда. А при положительных тем более))
Это же не верное рассуждение, так как при 0
Скорее , надо было бы объяснять с точки зрения скорости роста отдельных слогаемых
Преобразование не нужно. На тех же промежутках попарно рассматриваются члены многочлена с теми же выводами.
промежуток 0,1 геморно без преобразований рассматривать
А чё геморного? Начни с другой стороны и все, при значениях 00
-х^7+х^2>0
-х+1>0
Все пары больше нуля. Значит неравенство выполняется
Один в один задачка из вступительных в 10й класс Л2Ш(из устной части лол)
Решением оказалась вся числовая ось.
Для тех кому очевидно-вы так на экзаменах напишите :Мне очевидно и без доказательств.Я так думаю 2 будет сразу.Очевидно!
Привет Валерий. Как же всё идеально и интересно. Спасибо вам большое. Обожаю такие объёмные задачи!!!