сложное, но красивое. подбором решил быстро, но такое за решение не считаю - всё же алгебраический аппарат даёт конкретный и универсальный ответ, в отличии от подбора. спасибо за методы.
метод подбора, это самый сильный метод решения в нашей реальности. Именно им решают вычислительные программы, а раз они решают большинство прикладных задач в мире, то и метод самый самый.
@@l00pka "все люди с волосами! - но мой сосед справа и слева с волосами, а я нет, как же _все_ получаются? - ну вам не повезло, вас ширина шага итерации пропустила" ))) это основная причина почему метод подбора не является максимально доказательным для аналогвых процессов. в остальном согласен - лучше так чем никак, поэтому и в физике проще имперически набить график и уже под него формулу построить.
@@l00pkaподбором решают информатики, это их задача. Математики решают твëрдой логикой и доказательствами, а иначе весело было бы если бы пифагор вместо формулы и доказатеьства просто бы понаходил длины сторон треугольника и записал в книжку
По сути решено подбором. Надо привести к виду x^x = a^a, чтоб решение было очевидным, для чего заранее надо знать a. Попробуйте так же решить 3.7^x + x = 0
@@Denis-bu4ri Не все же такие тугодумы как ты. Такие задачки решают в лоб. Потому что опыт подсказывает, что подобрать корень должно быть просто на тесте исходя из времени, который отводят для вопроса. Если не получается , корень - иррациональное число, то численными методами доступными каждому пятикласснику . Методом секущих или метод Ньютона-Рапсона. Последний уже больше подходит для старшеклассников со знаниями производных и имплементацией в среде программирования. Но ты дегенерат, даже не понял, что в данном решении важно не столько подобрать правильно корень, сколько доказать , что других корней кроме одного нет. В этом суть правильности решения, а не подборка подходящего корня.
@Denis-bu4ri я решил буквально за то время, пока смотрел на превью и думал, включать ли задачку? То есть, не более тридцати секунд. Во-первых, 4^х - положительная функция, так что х
Решил через W-функцию Ламберта Справка о W-функции Ламберта x·e^x=Wₙ(x): если -1/e0, то действительное значение одно: W₀(x); если x0, тогда действительное значение Wₙ(ln4) одно, а значит и действительный корень один, и его можно подобрать x=-1/2 Комплексных корней бесконечное количество
Когда учился в школе и универе, думал, что самое главное уметь решать такие сложные уравнения, чтоб быть успешным и умным. Оказалось, что в обычной жизни нафиг это не надо и уважение вызывает только у таких же упоротых фетишистов-математиков, а на работодателя или клиента впечатление не производит 😂
ты остановился в своем развитии. Математические упражнения для мозга, это как физические для мышц. Чем больше решаешь задач, тем мозг сильнее. И может решать те задачи, которые раньше не решал. Ну а мозг оказывается нужен для всего и это не только математика. Это то как организовать коллектив для решения нужной задачи. Это то как мотивировать своего ребенка на изучение наук, а не игру в компьютере и т.д. и т.п. Человек с неразвитым мозгом будет винить в своих бедах всех, кроме себя. Человек с натренированным мозгом будет искать решение жизненных проблем, которые стоят перед КАЖДЫМ.
Тебе это не нужно не потому что это бесполезная фигня, а потому что твой уровень на котором ты остановился не позволяет найти применения математике, тут можно только посочувствовать
@@sergeiivanov3668ой, вот только не надо, а? Конечно, смотря куда ты нацелился в IT, но в основном там не математические задачи. Более того, зачастую в IT люди без высокого математического уровня, здесь куда больше обычная логика требуется. И да, когда я 9 месяцев назад устраивалась на разработчика - ни на одном собеседовании не было ни одной задачи на математику - потому что тимлида интересует, как ты таски закрывать будешь, а не знаниями олимпиадного уровня блистать
4^x = -x 4^x - монотонно возрастающая функция -х - монотонно убывающая функция Если точка пересечения таких функций существует, то она единственна х = -1/2
ну тут есть недоговорка, t^t = a в некторых случаях может иметь по 2 корня, так как t^t не монотонная функция, но так как мы с самого начала сказали, что корень может быть только один, то можна не доказывать, что t^t=4 имеет только 1 корень(например t^t= 0.5^0.5 имеет два корня, 0.5 и 0.25)
По мне нарисовать график функции и понять, что число находится в пределе от -1 до 0, а затем просто попробовать методом проб и ошибок найти -1/2 легче, чем вот это вот всё. Хотя я понимаю, что сейчас так получилось, а с другим похожим примером может и не получится...
@@VladSSh Ну просто в данном случае, это самый быстрый вариант. Если бы он не проканал, то воспользовался бы решением автора. Просто на экзамене решать нужно как можно быстрее, а такой вопрос скорее всего был бы с вариантами ответа.
@@allozovsky второй корень проявляется, если выражение внутри функции меньше или равно нулю, что и есть В нашем случае Но для меня это менее очевидно Ежели выражение больше нуля или равно -1/e, то корень один
@@bratdarishki Судя по графику ветвей, в нуле тоже один корень, т.к. вторая ветвь уходит на -∞. Оно и логично: чтобы аргумент функции был равен нулю, нулю должен быть равен логарифм ln(a), откуда a = 1 и уравнение вырождается в 1ˣ - 1·x = 0 или x = 1. Теперь картина ясна.
Интересно. Где в жизни применяется? Ну, чтобы что посчитать? Учился в школе в физ-мат классе. Ни разу в жизни за 40 лет после школы даже близко с решением такого рода задач не столкнулся. Поэтому спрашиваю.
боже если ты после школы пошел работать дворником или картины рисовать то конечно даже близко не столкнешься, смысл такие вопросы задавать? пошел бы в науку и не с таким бы сталкивался. знания и умения нужно применять а не просто чтобы было. я уверен в мире есть люди которые говорят что я не учится ни читать ни считать ни писать и мне в жизни это никогда не пригодилось, а тебя вот научили писать, и ты имеешь возможность писать комменты в ютюбах 😏
Например если тебе надо в шейдере посчитать интенсивность излучения источника света на расстоянии r, а так как там затухание по физике идёт через квадрат расстояния, то вот тебе и похожее выражение
Все правильно ты говоришь. Я тоже учился в мат классе - такие задачи пригодились разве что для поступления в Универ, что в общем то немало, но в жизни это нафиг не надо. Тоже самое с шахматами - занимался до 1 разряда, много играл в интернете - но это бесполезный навык, который нигде нельзя использоваться. Может он пригодится в конце жизни, чтобы с деменцией бороться, но эта смекалка ничего не дает на практике от слова совсем
По-моему, корень х = - 0,5 очевиден сразу (почти всегда, в подобных школьных задачах, корень легко подбирается). Остаётся доказать, что других корней нет. Графики показательной (у=4^х) и линейной (у=-х) функции тоже школьникам хорошо известны. Думаю, можно принять графическое доказательство того факта, что эти графики имеют единственную точку пересечения.
Графики графиками, но могут быть решения и в комплексных числах. Кубическое ур-е, которое пересекает ось Х один раз имеет ещё два комплексных корня. То же самое может быть и здесь.
@@Volodymyr_Marikutsa При решении школьных уравнений и неравенств (если в условии задачи прямо не сказано про отыскание комплексных корней) по умолчанию требуется найти только лишь вещественные корни. В данной задаче (видео) так же.
В таких решениях всегда напрягает фраза "сделаем замену переменной". а) откуда мы знаем, что надо делать замену переменной? б) откуда мы знаем что на что менять?
В иррациональных числах единственное решение, оно нашлось, что там ещё проверять, что а вдруг, где-то есть ещё магическое число, что t в степени t дадут 4?
Сумма двух чисел будет равна нулю, если одно из чисел отрицательное. Произведём замену x = -x, получаем 4^-x - x = 0 -> (1/4)^x = x -> 1/4 = x sqrt x (корень степени х из х). Подбором находим x = 1/2, но поскольку произвели замену, то x = -1/2.
Заметим, что x >= 0. Дальше находим производную левой части: 4^x * ln(4) - 1. При положительных x, 4^x >= 1 и ln(4) > 1, значит производная всегда положительна, значит у нас возрастающая функция. Минимального значения функция будет достигать в самой левой точке: x = 0, но тогда 4^0 - 0 = 1. Минимальное значение возрастающей функции положительно, значит и вся функция положительна для всех x >= 0. А положительное число не может быть равно 0. Ответ: нет корней.
Зачем что-то куда-то переносить? Если, представить исходное равнение как функцию, то она получается строго возрастающей = корень единственный. Дальше останется угадать - это будет степень отрицательное число и 2-ки.
4^x+x монотонно возрастающая функция, а значит любое свое значение принимает только один раз. Если мы угадаем кооень, а он легко подбирается -0,5 ио задача решена
Я просто поперебирал несколько вариантов возведения 4 в отрицательную степень, от 0 до -1, где 0 слишком много, а -1 слишком мало. Со второй попытки подошло -0.5 :)
Я решил достаточно быстро устно, как? Ну попробуем подставить 0, получается 1, хорошо Попробуем подставить -1, получается -3/4 Следовательно решение где-то между 0 и -1 Что такое 4 в -1? Это 1/4 Что такое 4 в 1/2? Это 2, или корень от 4 Попробуем обьединить эти веши -1/2, степень, которая сначала превращает 4 в 1/4, а потом берёт из него корень и даёт 1/2 А по другую сторону как раз -1/2 Вот и получается 0 Скажу сразу, что это просто традиционный ход мыслей, это ни разу не эффективный способ решения, но это, так сказать, способ решения без самого решения как такового, а основанного на хорошем устном счёте, и понимании как меняется число в зависимости от изменения самой неизвестной
Я решал довольно глупым способом, зато в уме. Имеем 4^x=-x, откуда ясно, что x отрицательно. Чтобы не путаться, пусть x=-y. Тогда 4^(-y)=y или y*4^y = 1. При y>0 функция слева монотонно возрастает, как произведение двух возрастающих положительных функций. Осталось угадать единственное решение. При у>=1 левая часть явно >= 4. Так, что y меньше 1. Что бы такое взять? Будем надеяться, что y рационально. Тогда 4^y рационально. Корень какой степени извлекается из 4? Только квадратный? Берем y=1/2, подставляем ... получилось!!! Таким образом y=1/2, откуда x=-1/2.
Ну математика в программировании, на работе - нужна, например, аппроксимация и мн.др. Но я не сторонник всяких смекалок, скорее, предпочитаю численные методы. В данном случае, просто нарисовал график в yotx и нашел корень.
Так, ну, смотрите. 4^x + x = 0 4^x определенно положительно, значит чтобы получился 0 в сумме, x должен быть отрицательным. Теперь можно сказать, что x > -1, т.к. любая отрицательная степень 4 даст число < 1. Значит x тоже должен быть по модулю дробью < 1, то есть, выше упомянутый x > -1. Ну а дальше можно подбирать x каким-нибудь бинарным поиском (не напрямую конечно, а то 1/3 так н когда не получить), и можно быстро прийти к x=-1/2. 4^(-1/2) - 1/2 =0 1/(√4) - 1/2 = 0 1/2 - 1/2 = 0 0 = 0
На школьном уровне правильное решение. Но для общего развития я бы уточнил, что решение на поле вещественных значений) (касаемо примера, что нет решений)
корень -1/2 легко угадывается, 4**х монотонно возрастающая функция, x монотонно возрастающая функция, сумма двух возрастающих функций - возрастающая функция, следовательно каждому y будет только один х и значит корень только 1, его мы уже нашли.
0:51 откуда "функция" Взялась ? Я не очень понимаю. Сначала мы говорили об уравнении. А потом вдруг корень, но корень я .... я еще могу принять но -функция
Чтобы решить уравнение например 2x=10 Мы можем представить обе части этого уравнения как функции. Слева у нас будет возрастающая функция, а справа константа. Если мы найдём точки их пересечения, то мы поймём при каком значении x обе функции равны одному значению (в данном случае при x = 5) . Здесь всё тоже самое. Левую часть представляем как функцию 4^x (то бишь возрастающую) а правую как -x то бишь убывающую. Это нужно чтобы понять сколько на графике у них будет пересечений и сколько уравнение имеет корней.
@@ПётрВасильев-ф9т а. Теперь понял спасибо. Похоже это не так уж и трудно если говорить те слова которые надо что бы услышали. Однако функция это не константа. А в уравнении напротив стоит знак равно. Ну чисто логически не вяжется. А уж про корень я помолчу.
Леххко, в уме за минуту. За такой метод решения, пожалуй, можно и пару схватить в школке. 0. Преобразуем исходное уравнение: 4^x = -x. 1. Запишем две функции: y = 4^x и y = -x. 2. Изобразим (при наличии воображения - в уме) графики этих функций. 3. Видим, что пересекаются они в одной точке, и она слева от оси ординат. 4. Подбором получаем: x = -1/2. 5. Проверяем. А теперь, как всегда, послушаем, что скажет Валерий. PS. БЛИН!!! Начало совсем как у меня.
Я абсолютно точно так же решил, графики пересеклись примерно в значении Х=-1/2, оказалось , что это и есть решение: значение Х=-1/2 и подставил в исходное уравнение задачи, и всё сошлось.
Корень находится подбором А вот доказаткльство единственности - по идее берем проищводную и видим что она всегда >0. Значит функция монотонная и корень ровно 1
После того как я открыл для себя функцию Ламберта на такие методы решения смотрю с противной ухмылкой. По сути есть алгебраический аппарат для решения множества показательных уравнений, а их все равно решают подбором с исследованием монотоности...
Я понимаю, что автор описывает математическое решение... Но блин. Зачем все эти действия? Это решается за 30 секунд в уме, ибо уже из вида уоавнения сразу понятно, что Х отрицательная величина. А единственность решения исходит из того, что при отрицательном Х выражение 4^х будет бесконечно стремиться к нулю, тогда как Х бесконечно убывать. (для особо принципиальных - при возрастании Х по модулю. Ну или разверните шкалу зеркально 😉 не суть) То есть двух пересечений быть в принципе не может Алгоритмы - это хорошо. Но математику, пусть даже начинающему, неплохо было бы научиться "видеть" функции, дабы избежать ненужных вычислений в таких вот простых ситуациях Алгоритмы хороши там, где выражение сложное, многоступенчатое, и охватить его одним взглядом проблематично, где можно допустить ошибку
307.69 гр воды. если 850 это 85 процентов то 850 должно стать 65 процентами, то есть вычисляем вес всего раствора пр котором 850 гр станут 65 процентами . пишем пропорцию 850 равно 65 процентов и х равно 100 процентам. , итак 850 умножаем на 100 и делим на 65 и получаем вес нового раствора при котором 850 грам соответствует 65 процентам. это 1307,69грамм. вычтем из него 850 получим 457,69гр воды ,150 гр воды уже имеем и надо добавить 457,69 минус 150 равно 307,69.гр воды.
Ваши 307, 69 г ответ приблизительный, округлённый до сотых, а 4/ 13 кг это точный ответ, и получен гораздо проще. Смысл в том, что количество муравьиной кислоты остаётся постоянной, что в 85% растворе, что в 65% растворе.
Излишне как на меня... 1 мысль при виде уравнения была 0 но как все знают что любое число в степени 0 это 1. Тогда следующая мысль "если нам нельзя возвести в степень 0 так как будет 1 то возведем в отрицательную степень для того что бы вторая часть отнялась от первой итог (4^-05)+(-0.5) = 0...
Никогда не понимал применимости таких задач. Сами придумали, сами решили. Задача, как правильно заметил местный комментатор, для селюков-математиков. Развиваться надо, а не играть в придуманные примеры. :)
22 года назад я точно бы увидел путь к такому решению за доли секунды(побеждал в мелких олимпиадах за половину отведенного времени, где такое даже не предлагалось ввиду легкости). А сейчас смотрю, и, тупо не вижу логического пути и мыслей придти к этому решению. Было бы неплохо, если бы вы заранее аргументировали подобные замены. В итоге, без этого, путь решения выглядит подгоном под результат
@@dmitri1573 ну в целом мог быть и подбор. не всегда замена помогает. Но если постоянно решать какие-то сложные уравнение то со временем можно будет понять каким чаще способом что решается
Зліва зростаюча функція, справа число (0). Значить корень якщо і є, то єдиний. Далі користуємось методом "нам повезе", яким варто користуватись завжди і всюди, бо це лічені секунди, а в шкільних завданнях так взагалі в більшості випадків таки "везе". Очевидно, що х - від'ємне. Згідно нашого метода нам підходять або цілі х, або представлені у вигляді дробу (-n/2) (бо інакше іксу прийдеться бути ірраціональним, а це не так шоб везіння). Перевіряємо (-1) -- не підходе і видно, що треба більше. Відповідно перевіряємо (-1/2) яка підходе. Це все дуже швидко робиться. Я подробно розписував, щоб показати, що при такому підході (який дуже просто "доводиться до рефлексів") треба зробити лише дві дуже прості перевірки і якщо не спрацювало, то вже переходити до більш важких методів. Тобто втрати часу навіть якщо шлях хибний мінімальні. Але в шкільному (і не тільки) курсі везе дууууже часто :)
Устаревшая логика решения. Машинный метод куда более понятнее и быстрее. Только тугодумные профессора могут не принять тк он делается в голове за 10сек И так 1дейтвие определяемся со знаком явно он отрицательный 2) число явно меньше еденицы 3) пробуем половину еденицы 4) и о чуда решилось само за 10сек😂
Посмотрел видео, и как я рад что математика для меня даааааааавно в прошлом) вот прям забыл какое это дерьмо) и как же я счастлив что больше к ней не притрагиваюсь)
Увидел 4. Сразу подумал про квадратный корень. То есть в степени 1/2. В итоге 2+1/2. Ну а потом поменял знак в степени. Получил 1/2-1/2. Заняло 2-3 секунды.
Тьфу на вас сто раз!!! Вот нахрена мне это ютуб показал??? В итоге я построил графики в Exel, для графического решения этого уравнения при разных исходных данных (к примеру. если 4 заменить на другое число :)), потом не показалось мало - я добавил условное форматирование, что бы мне удобнее результаты смотреть было, потом добавил переменный шаг изменения искомого "X "для сходимости результатов , потом меня задрало бегать по листу и я добавил (индекс (поиск позиции...)).... ААААААААААА!!!! теперь я король этого уравнения - я могу найти X при любом основании с точностью до 8 знака!!!!!! Но нахрена мне это надо..... P.S. а все началось с того. что я за каким-то хреном вник в решение, и мне показалось что если 4 в основании уравнения заменить на 9 или на другое число - и вот хрен вы его решите точным методом, хотя при этом функции будут сходится. И понеслось.... Мальчик Леша 47 лет. :)
Рассуждал аналогично до того момента, когда автор пришёл к выводу, что если корень есть - то он единственный. Дальше быстрее найти его подбором чем вычислять. Понятно, что если бы подбором быстро найти не получилось, вычислять бы всё равно пришлось.
Посидел минуты три попердел и допер, что это -1/2, так как четыре в одной второй = корень из четырех = 2. При том нужно подставить минус, чтобы из двух сделать одну вторую, и из неё вычесть её же, получив ноль
Хорошие доказательство единственности решения.
после которого сразу виден этот единственный корень)
Легко решается по формуле Пика за 4 секунды
Это же не Эльмир)
а что за формула пика?
Эльмир даже здесь)
По формуле пика эта задача решается за 4 секунды только тугодумами. Формула Пика позволяет решить эту задачу максимум за десятую долю секунды.
Не первый год замечаю, что шутки про формулу Пика начинаются весной, когда приближаются экзамены.
сложное, но красивое.
подбором решил быстро, но такое за решение не считаю - всё же алгебраический аппарат даёт конкретный и универсальный ответ, в отличии от подбора. спасибо за методы.
метод подбора, это самый сильный метод решения в нашей реальности. Именно им решают вычислительные программы, а раз они решают большинство прикладных задач в мире, то и метод самый самый.
@@l00pka "все люди с волосами! - но мой сосед справа и слева с волосами, а я нет, как же _все_ получаются? - ну вам не повезло, вас ширина шага итерации пропустила" )))
это основная причина почему метод подбора не является максимально доказательным для аналогвых процессов.
в остальном согласен - лучше так чем никак, поэтому и в физике проще имперически набить график и уже под него формулу построить.
@@l00pkaподбором решают информатики, это их задача. Математики решают твëрдой логикой и доказательствами, а иначе весело было бы если бы пифагор вместо формулы и доказатеьства просто бы понаходил длины сторон треугольника и записал в книжку
Метод угадывания в науке разрешается, в частности, и в матем. Попробуй отгадать, если желаешь, корень уравнения x³-21x=20. Желаю Тебе УДАЧИ!
Автор точно так же решил задачу методом подбора, сведя условие к подбору того, чему равно Т, если Т в степени Т равно 4. А если бы было не 4, а 5?
Касательно решения уравнения t^t=2^2 : справедливо было сказано, что оно имеет единственное решение, поскольку эквивалентно исходному при x
Приветствую! Интересная задача, спасибо!
По сути решено подбором. Надо привести к виду x^x = a^a, чтоб решение было очевидным, для чего заранее надо знать a. Попробуйте так же решить 3.7^x + x = 0
0.51
При проверке получается 2,4588700401...=0
f(x)=4^x+x монотонная и непрерывная, график которой пересекается с абсциссой один раз. Подбираем подходящий x=-1/2 . Других корней нет.
Хахахаах я бы посмотрел сколько времени ты бы подбирал
@@Denis-bu4ri Не все же такие тугодумы как ты. Такие задачки решают в лоб. Потому что опыт подсказывает, что подобрать корень должно быть просто на тесте исходя из времени, который отводят для вопроса. Если не получается , корень - иррациональное число, то численными методами доступными каждому пятикласснику . Методом секущих или метод Ньютона-Рапсона. Последний уже больше подходит для старшеклассников со знаниями производных и имплементацией в среде программирования. Но ты дегенерат, даже не понял, что в данном решении важно не столько подобрать правильно корень, сколько доказать , что других корней кроме одного нет. В этом суть правильности решения, а не подборка подходящего корня.
@@Denis-bu4riэлементарно подобрать
@Denis-bu4ri я решил буквально за то время, пока смотрел на превью и думал, включать ли задачку? То есть, не более тридцати секунд.
Во-первых, 4^х - положительная функция, так что х
@@Denis-bu4riлегко проверить можно только те случаи, когда 4 в степени x рациональное, при этом ясно, что x < 0. Из всех вариантов остаются -1 и -1/2
Решил через W-функцию Ламберта
Справка о W-функции Ламберта
x·e^x=Wₙ(x):
если -1/e0, то действительное значение одно: W₀(x);
если x0, тогда действительное значение Wₙ(ln4) одно, а значит и действительный корень один, и его можно подобрать
x=-1/2
Комплексных корней бесконечное количество
При переходе с 1) к 2) как вы прологарифмировали -х, разве не нужно требовать, что -х>0 ? Или на множестве комплексных чисел так можно?
@@1luffiz вообще да, я забыл про это: для ln(-x) x
@@DEJiDSiNED Спасибо. Получается, что тут -х>0, потому что он равен 4^х ?
@@1luffiz да, я об этом тоже не подумал. Тогда x
@@DEJiDSiNED нет, ОДЗ это x € R (если по умолчанию автор решает на множестве действительных чисел)
Когда учился в школе и универе, думал, что самое главное уметь решать такие сложные уравнения, чтоб быть успешным и умным. Оказалось, что в обычной жизни нафиг это не надо и уважение вызывает только у таких же упоротых фетишистов-математиков, а на работодателя или клиента впечатление не производит 😂
ты остановился в своем развитии. Математические упражнения для мозга, это как физические для мышц. Чем больше решаешь задач, тем мозг сильнее. И может решать те задачи, которые раньше не решал. Ну а мозг оказывается нужен для всего и это не только математика. Это то как организовать коллектив для решения нужной задачи. Это то как мотивировать своего ребенка на изучение наук, а не игру в компьютере и т.д. и т.п. Человек с неразвитым мозгом будет винить в своих бедах всех, кроме себя. Человек с натренированным мозгом будет искать решение жизненных проблем, которые стоят перед КАЖДЫМ.
Тебе это не нужно не потому что это бесполезная фигня, а потому что твой уровень на котором ты остановился не позволяет найти применения математике, тут можно только посочувствовать
на собеседования в IT компании постоянно задачи по математике. И ЗП весьма приличная. Но если тебе кирпичи грузить, то да, це фигня ненужная.
Троих задротов уже порвало в клочья
@@sergeiivanov3668ой, вот только не надо, а? Конечно, смотря куда ты нацелился в IT, но в основном там не математические задачи. Более того, зачастую в IT люди без высокого математического уровня, здесь куда больше обычная логика требуется. И да, когда я 9 месяцев назад устраивалась на разработчика - ни на одном собеседовании не было ни одной задачи на математику - потому что тимлида интересует, как ты таски закрывать будешь, а не знаниями олимпиадного уровня блистать
На таких уравнениях надо много практиковаться
Пару уравнений решил таких и всё...
Легкотня, функция ламберта просто топ
а где можно найти много таких с ответами? как сборник или что-то такое
Сразу было видно, что ответ: 0,5л.
@@SergeyBur Нет
4^x = -x
4^x - монотонно возрастающая функция
-х - монотонно убывающая функция
Если точка пересечения таких функций существует, то она единственна
х = -1/2
-1/2 , подбор
@@ЛекаКузнеца как же гетеросексуальнопрологорифмировать?
@@ЛекаКузнец и что? В решении на видео тоже подбор, только ещё много лишних действий.
@@sed0kтам всё-таки не подбор но в лоб алгебраически. Но так да ответ очевиден
точно, нарисовать графики и найти пересечение
Интуицию никто не отменял, x=-(1/2)
ну тут есть недоговорка, t^t = a в некторых случаях может иметь по 2 корня, так как t^t не монотонная функция, но так как мы с самого начала сказали, что корень может быть только один, то можна не доказывать, что t^t=4 имеет только 1 корень(например t^t= 0.5^0.5 имеет два корня, 0.5 и 0.25)
3ˣ - 3x = 0 ¯\_(ツ)_/¯
Хорошее и обоснованное решение!
Строим графики функций, видим, что пересечение только в одной точке в II четверти, при отричательном х. Дальше подбираем корень.
Я так же решил.
Красиво. Всё по делу. Без воды и лишних соплей.
По мне нарисовать график функции и понять, что число находится в пределе от -1 до 0, а затем просто попробовать методом проб и ошибок найти -1/2 легче, чем вот это вот всё. Хотя я понимаю, что сейчас так получилось, а с другим похожим примером может и не получится...
Подбор - какое же это решение? Графика годится только для прикидки по количеству корней. А дальше всё равно решать нужно.
@@VladSSh Ну просто в данном случае, это самый быстрый вариант. Если бы он не проканал, то воспользовался бы решением автора. Просто на экзамене решать нужно как можно быстрее, а такой вопрос скорее всего был бы с вариантами ответа.
Аналитически решается через функцию Ламберта:
e^(x*ln4) = -x
1 = -x*e^(-x*ln4)
ln4 = (-x*ln4)*e^(-x*ln4)
-x*ln4 = W(ln4)
x = -W(ln4)/ln4 = -W(2*ln2)/2ln2 = -W(ln2*e^ln2)/2ln2 = -ln2/2ln2 = -1/2
ln4 > -1/e, так что ответ верный
Похоже на правду. А с 3ˣ - 3x = 0 так получится?
@allozovsky
a^x - ax =0
e^(xlna) = ax
-lna/a = -xlna * e^(-xlna)
-xlna = W(-lna/a)
x = -W(-lna*e^(-lna))/lna
x = -(-lna)/lna = 1
a = 3 - частный случай
@@bratdarishki Угу, а второй корень? Тройка даёт два корня.
@@allozovsky второй корень проявляется, если выражение внутри функции меньше или равно нулю, что и есть В нашем случае
Но для меня это менее очевидно
Ежели выражение больше нуля или равно -1/e, то корень один
@@bratdarishki Судя по графику ветвей, в нуле тоже один корень, т.к. вторая ветвь уходит на -∞. Оно и логично: чтобы аргумент функции был равен нулю, нулю должен быть равен логарифм ln(a), откуда a = 1 и уравнение вырождается в 1ˣ - 1·x = 0 или x = 1. Теперь картина ясна.
Интересно. Где в жизни применяется? Ну, чтобы что посчитать? Учился в школе в физ-мат классе. Ни разу в жизни за 40 лет после школы даже близко с решением такого рода задач не столкнулся. Поэтому спрашиваю.
В жизни такое может и не пригодится, но смекалка при решении нетривиальных задач прокачивается ещё как
боже если ты после школы пошел работать дворником или картины рисовать то конечно даже близко не столкнешься, смысл такие вопросы задавать? пошел бы в науку и не с таким бы сталкивался. знания и умения нужно применять а не просто чтобы было. я уверен в мире есть люди которые говорят что я не учится ни читать ни считать ни писать и мне в жизни это никогда не пригодилось, а тебя вот научили писать, и ты имеешь возможность писать комменты в ютюбах 😏
Просто нужно искать работу , где подобные знания пригодятся
Например если тебе надо в шейдере посчитать интенсивность излучения источника света на расстоянии r, а так как там затухание по физике идёт через квадрат расстояния, то вот тебе и похожее выражение
Все правильно ты говоришь. Я тоже учился в мат классе - такие задачи пригодились разве что для поступления в Универ, что в общем то немало, но в жизни это нафиг не надо. Тоже самое с шахматами - занимался до 1 разряда, много играл в интернете - но это бесполезный навык, который нигде нельзя использоваться. Может он пригодится в конце жизни, чтобы с деменцией бороться, но эта смекалка ничего не дает на практике от слова совсем
Обажаю уравнения из рекомендаций ютуба, всегда один корень из монотонности, только подобрать надо и все. Красота
По-моему, корень
х = - 0,5 очевиден сразу (почти всегда, в подобных школьных задачах, корень легко подбирается). Остаётся доказать, что других корней нет. Графики показательной (у=4^х) и линейной (у=-х) функции тоже школьникам хорошо известны. Думаю, можно принять графическое доказательство того факта, что эти графики имеют единственную точку пересечения.
Графики графиками, но могут быть решения и в комплексных числах. Кубическое ур-е, которое пересекает ось Х один раз имеет ещё два комплексных корня. То же самое может быть и здесь.
@@Volodymyr_Marikutsa
При решении школьных уравнений и неравенств (если в условии задачи прямо не сказано про отыскание комплексных корней) по умолчанию требуется найти только лишь вещественные корни. В данной задаче (видео) так же.
В таких решениях всегда напрягает фраза "сделаем замену переменной".
а) откуда мы знаем, что надо делать замену переменной?
б) откуда мы знаем что на что менять?
Лифшиц:
-Лев Давидович, я потерял в трамвае 30 страниц нашей с вами рукописи!
Ландау:
- Ничего страшного. Пишите: "Нетрудно показать, что..."
Из предыдущего опыта, конечно. Решаешь кучу разных задач разными способами, а потом для конкретной задачи подходящий способ сам в голове возникает.
@@dartal2 ага, мой семинарист по матану называл это "методом пристального взгляда"
Очень интересная задача. Спасибо.❤
К сожалению, далек от математики, но момент с t^t=2^2 показался скользким. Точно нельзя получить четверку какой-нибудь дробью в дробной степени?
В иррациональных числах единственное решение, оно нашлось, что там ещё проверять, что а вдруг, где-то есть ещё магическое число, что t в степени t дадут 4?
Это не алгебраическое решение, а обыкновенное подставление, угадывание.
тут имеет важность первого тезиса о том, что если корень есть, то он точно один
@@torburgmax Но угадывание при этом не перестает быть угадыванием.
Сумма двух чисел будет равна нулю, если одно из чисел отрицательное.
Произведём замену x = -x, получаем 4^-x - x = 0 -> (1/4)^x = x -> 1/4 = x sqrt x (корень степени х из х).
Подбором находим x = 1/2, но поскольку произвели замену, то x = -1/2.
Хорошее решение. А как тогда следует решать уравнение 4^х - х = 0 ?
Заметим, что x >= 0. Дальше находим производную левой части: 4^x * ln(4) - 1. При положительных x, 4^x >= 1 и ln(4) > 1, значит производная всегда положительна, значит у нас возрастающая функция. Минимального значения функция будет достигать в самой левой точке: x = 0, но тогда 4^0 - 0 = 1. Минимальное значение возрастающей функции положительно, значит и вся функция положительна для всех x >= 0. А положительное число не может быть равно 0.
Ответ: нет корней.
@@mikaelhakobyan9363 Да и если построить графики по точкам, будет видно, что они не пересекаются.
@@mikaelhakobyan9363 а откуда следует, что х неотрицателен? Показательная функция при отрицательном аргументе вполне себе определена
@@iwillwatch если x будет отрицательным, разность 4^x - x будет положительной.
Зачем что-то куда-то переносить? Если, представить исходное равнение как функцию, то она получается строго возрастающей = корень единственный. Дальше останется угадать - это будет степень отрицательное число и 2-ки.
4^x+x монотонно возрастающая функция, а значит любое свое значение принимает только один раз. Если мы угадаем кооень, а он легко подбирается -0,5 ио задача решена
Я просто поперебирал несколько вариантов возведения 4 в отрицательную степень, от 0 до -1, где 0 слишком много, а -1 слишком мало. Со второй попытки подошло -0.5 :)
аналогично.
Я методом подбора с лёгкостью нашёл. Сразу понял, что -½
Я решил достаточно быстро устно, как?
Ну попробуем подставить 0, получается 1, хорошо
Попробуем подставить -1, получается -3/4
Следовательно решение где-то между 0 и -1
Что такое 4 в -1? Это 1/4
Что такое 4 в 1/2? Это 2, или корень от 4
Попробуем обьединить эти веши
-1/2, степень, которая сначала превращает 4 в 1/4, а потом берёт из него корень и даёт 1/2
А по другую сторону как раз -1/2
Вот и получается 0
Скажу сразу, что это просто традиционный ход мыслей, это ни разу не эффективный способ решения, но это, так сказать, способ решения без самого решения как такового, а основанного на хорошем устном счёте, и понимании как меняется число в зависимости от изменения самой неизвестной
И при чем занимает этот способ 2-3 секунды.
Очень хитрое и интересное уравнение!
Я решал довольно глупым способом, зато в уме. Имеем 4^x=-x, откуда ясно, что x отрицательно. Чтобы не путаться, пусть x=-y. Тогда 4^(-y)=y или y*4^y = 1. При y>0 функция слева монотонно возрастает, как произведение двух возрастающих положительных функций. Осталось угадать единственное решение. При у>=1 левая часть явно >= 4. Так, что y меньше 1. Что бы такое взять? Будем надеяться, что y рационально. Тогда 4^y рационально. Корень какой степени извлекается из 4? Только квадратный? Берем y=1/2, подставляем ... получилось!!! Таким образом y=1/2, откуда x=-1/2.
Тоесть после 4^x = -x:
x = log_4(-x)
Дальше немного надо быне переписать свой длинный комментарий но чет лень, но решение существует
Некоторые уравнения такого типа решаются даже не подбором, а просто сразу видно. В данном случае у меня получилось почти сразу.
Подскажите, пожалуйста, в каком приложении осуществлялась запись решения?
Паинт
Ну математика в программировании, на работе - нужна, например, аппроксимация и мн.др. Но я не сторонник всяких смекалок, скорее, предпочитаю численные методы. В данном случае, просто нарисовал график в yotx и нашел корень.
Пришлось немного попотеть чтобы подобрать подходящий корень, и в итоге нашёл, это -1/2
Если подставить 0 - левая часть получается больше нуля, если -1 - меньше нуля, значит нужно искать посередине. Не надо потеть)
Подобрать корень - это не решение уравнения. Решить - это доказать, что найдены все корни и других нет
@@glebsaygin5728 Да ладно
Так, ну, смотрите.
4^x + x = 0
4^x определенно положительно, значит чтобы получился 0 в сумме, x должен быть отрицательным.
Теперь можно сказать, что x > -1, т.к. любая отрицательная степень 4 даст число < 1. Значит x тоже должен быть по модулю дробью < 1, то есть, выше упомянутый x > -1.
Ну а дальше можно подбирать x каким-нибудь бинарным поиском (не напрямую конечно, а то 1/3 так н когда не получить), и можно быстро прийти к x=-1/2.
4^(-1/2) - 1/2 =0
1/(√4) - 1/2 = 0
1/2 - 1/2 = 0
0 = 0
На школьном уровне правильное решение. Но для общего развития я бы уточнил, что решение на поле вещественных значений) (касаемо примера, что нет решений)
Спасибо. Решается в уме путём подбора.
Устно корень находится методом приближения с двух сторон, так как функции разной направленности
Валерий Волков реши пример мой пожалуйста. Кубический корень из(116-35√27) - куб. корень из(3-13√5) +13√5
корень -1/2 легко угадывается, 4**х монотонно возрастающая функция, x монотонно возрастающая функция, сумма двух возрастающих функций - возрастающая функция, следовательно каждому y будет только один х и значит корень только 1, его мы уже нашли.
Функция 4^x+x возрастает, значит, решений не более одного. x=-1/2 - решение, других решений нет.
Неа, есть решения в комплексном мире -___-. Через W-функцию ламберта легко за 2 минуты решил. 😂
@@Unlimit-729 хорошо, в действительных числах x=-1/2 - единственное решение
0:51 откуда "функция" Взялась ? Я не очень понимаю. Сначала мы говорили об уравнении. А потом вдруг корень, но корень я .... я еще могу принять но -функция
Чтобы решить уравнение например
2x=10
Мы можем представить обе части этого уравнения как функции. Слева у нас будет возрастающая функция, а справа константа. Если мы найдём точки их пересечения, то мы поймём при каком значении x обе функции равны одному значению (в данном случае при x = 5) .
Здесь всё тоже самое. Левую часть представляем как функцию 4^x (то бишь возрастающую) а правую как -x то бишь убывающую. Это нужно чтобы понять сколько на графике у них будет пересечений и сколько уравнение имеет корней.
@@ПётрВасильев-ф9т а. Теперь понял спасибо. Похоже это не так уж и трудно если говорить те слова которые надо что бы услышали. Однако функция это не константа. А в уравнении напротив стоит знак равно. Ну чисто логически не вяжется. А уж про корень я помолчу.
Леххко, в уме за минуту. За такой метод решения, пожалуй, можно и пару схватить в школке.
0. Преобразуем исходное уравнение: 4^x = -x.
1. Запишем две функции: y = 4^x и y = -x.
2. Изобразим (при наличии воображения - в уме) графики этих функций.
3. Видим, что пересекаются они в одной точке, и она слева от оси ординат.
4. Подбором получаем: x = -1/2.
5. Проверяем.
А теперь, как всегда, послушаем, что скажет Валерий.
PS. БЛИН!!! Начало совсем как у меня.
Я абсолютно точно так же решил, графики пересеклись примерно в значении Х=-1/2, оказалось , что это и есть решение: значение Х=-1/2 и подставил в исходное уравнение задачи, и всё сошлось.
Корень находится подбором
А вот доказаткльство единственности - по идее берем проищводную и видим что она всегда >0. Значит функция монотонная и корень ровно 1
Есть смысл сделать проще, построив графики в одной плоскости, подбором найти х = -1/2?
Подобрал корень в голове за 20 секунд.
Легко. Минус 2. Единственность решения - 4^х- возрастает на всей числовой оси, -х - убывает.
4^-2 это 1/4².
12 лет назад слышал про это уравнение) Класс)
хорошая задача. Когда в уме прикинул и понял секунд за 10, что ответ -1/2, а вот на доказательство нужно тратить время.
А че доказывать? Подставил и проверил. А то что корень один следует из монотонности функции. Попробуй x^3-2*x=2^x
В какой программе вы пишете решение данной задачи?
Почерк красивый...
ТОЧНО КАК У МОЕЙ МАТЕМАТИЧКИ ТАИСИИ МИХАЙЛОВНЫ !!!
После того как я открыл для себя функцию Ламберта на такие методы решения смотрю с противной ухмылкой. По сути есть алгебраический аппарат для решения множества показательных уравнений, а их все равно решают подбором с исследованием монотоности...
у вас замечательные навыки обоснования решения
Ты мне сейчас про корни уравнения за 50 секунд обьяснил лучше чем в учитель за учебный год
Я понимаю, что автор описывает математическое решение... Но блин. Зачем все эти действия?
Это решается за 30 секунд в уме, ибо уже из вида уоавнения сразу понятно, что Х отрицательная величина. А единственность решения исходит из того, что при отрицательном Х выражение 4^х будет бесконечно стремиться к нулю, тогда как Х бесконечно убывать. (для особо принципиальных - при возрастании Х по модулю. Ну или разверните шкалу зеркально 😉 не суть)
То есть двух пересечений быть в принципе не может
Алгоритмы - это хорошо. Но математику, пусть даже начинающему, неплохо было бы научиться "видеть" функции, дабы избежать ненужных вычислений в таких вот простых ситуациях
Алгоритмы хороши там, где выражение сложное, многоступенчатое, и охватить его одним взглядом проблематично, где можно допустить ошибку
Всю жизнь ненавидел математику. Сейчас мне 84, продолжаю ненавидеть её...
Можно всего лишь немного подумать и прийти к такому же выводу, т.е. имеется один вариант х=-1/2
Просто наугад -1/2 подобрал за 3 секунды.
Я вот так , на уроке , пару раз дал ответ взглянув на задачу пару секунд. Учительша подумала, что я подсмотрел на перемене и заранее решил задачу.
@@stairs_33 😅 бывает
Подскажите пожалуйста сколько воды надо добавить?
Дано: 1кг. Муравьиной кислоты 85%.
Надо довести концентрацию до 65%?
150 грамм .
Пусть х кг - масса нового раствора . Тогда 1*0,85= x*0,65; x= 85/ 65=17/13. ; 17/13- 1= 4/13 ; добавить 4/ 13 кг.
307.69 гр воды. если 850 это 85 процентов то 850 должно стать 65 процентами, то есть вычисляем вес всего раствора пр котором 850 гр станут 65 процентами . пишем пропорцию 850 равно 65 процентов и х равно 100 процентам. , итак 850 умножаем на 100 и делим на 65 и получаем вес нового раствора при котором 850 грам соответствует 65 процентам. это 1307,69грамм. вычтем из него 850 получим 457,69гр воды ,150 гр воды уже имеем и надо добавить 457,69 минус 150 равно 307,69.гр воды.
Ваши 307, 69 г ответ приблизительный, округлённый до сотых, а 4/ 13 кг это точный ответ, и получен гораздо проще. Смысл в том, что количество муравьиной кислоты остаётся постоянной, что в 85% растворе, что в 65% растворе.
Излишне как на меня... 1 мысль при виде уравнения была 0 но как все знают что любое число в степени 0 это 1. Тогда следующая мысль "если нам нельзя возвести в степень 0 так как будет 1 то возведем в отрицательную степень для того что бы вторая часть отнялась от первой итог (4^-05)+(-0.5) = 0...
Я методом подбора решил за 30 секунд, автор же на решения такой простой задачи потратил 3 минуты)
Никогда не понимал применимости таких задач. Сами придумали, сами решили. Задача, как правильно заметил местный комментатор, для селюков-математиков. Развиваться надо, а не играть в придуманные примеры. :)
Валерий, почему утверждают, что а умноженное на е в степени а равно а ? Не могу понять!
22 года назад я точно бы увидел путь к такому решению за доли секунды(побеждал в мелких олимпиадах за половину отведенного времени, где такое даже не предлагалось ввиду легкости). А сейчас смотрю, и, тупо не вижу логического пути и мыслей придти к этому решению. Было бы неплохо, если бы вы заранее аргументировали подобные замены. В итоге, без этого, путь решения выглядит подгоном под результат
Т.е. у вас это выглядит так: а давайте мы заменим, а может попробуем?.. Предпосылки к замене можно?
@@dmitri1573 ну в целом мог быть и подбор. не всегда замена помогает. Но если постоянно решать какие-то сложные уравнение то со временем можно будет понять каким чаще способом что решается
Посмотрел. Так и не понял, где же я это могу практически применить в жизни.
Хорошая задача, мне понравилась!
Зліва зростаюча функція, справа число (0). Значить корень якщо і є, то єдиний.
Далі користуємось методом "нам повезе", яким варто користуватись завжди і всюди, бо це лічені секунди, а в шкільних завданнях так взагалі в більшості випадків таки "везе".
Очевидно, що х - від'ємне. Згідно нашого метода нам підходять або цілі х, або представлені у вигляді дробу (-n/2) (бо інакше іксу прийдеться бути ірраціональним, а це не так шоб везіння). Перевіряємо (-1) -- не підходе і видно, що треба більше. Відповідно перевіряємо (-1/2) яка підходе.
Це все дуже швидко робиться. Я подробно розписував, щоб показати, що при такому підході (який дуже просто "доводиться до рефлексів") треба зробити лише дві дуже прості перевірки і якщо не спрацювало, то вже переходити до більш важких методів. Тобто втрати часу навіть якщо шлях хибний мінімальні. Але в шкільному (і не тільки) курсі везе дууууже часто :)
что то на эльфийском
Простая, но хорошая задача
Кстати по хорошему при возведении в степени 1/х надо ли было проверять условие х=0?
В уме это решил включая доказательство единственности.
спасибо., интересно
Есть же графический способ решения уравнений. В данном случае он вполне подходит. Проверяшь потом корень и все.
Устаревшая логика решения. Машинный метод куда более понятнее и быстрее. Только тугодумные профессора могут не принять тк он делается в голове за 10сек И так 1дейтвие определяемся со знаком явно он отрицательный 2) число явно меньше еденицы 3) пробуем половину еденицы 4) и о чуда решилось само за 10сек😂
Вообще,такое уравнение имеет бесконечно много решений и все они на комплексной плоскости
Люди до создания логарифмов:
Тут логарифмы помогут, только если использовать их вместе с W-функцией Ламберта, без неё они здесь бесполезны.
Намного быстрее и проще можно решить. Если есть желающие, могу показать.
Круто. Спасибо за обьяснение.
так решать - себе дороже. единственность решения тривиальна. корень, если не получается угадать, легко увидеть на пересечении графиков 4^x и -х
Посмотрел видео, и как я рад что математика для меня даааааааавно в прошлом) вот прям забыл какое это дерьмо) и как же я счастлив что больше к ней не притрагиваюсь)
когда в загадках появляются минусы и запятые, она становится обычным и неинтересным уравнением для скуфов...
Увидел 4. Сразу подумал про квадратный корень. То есть в степени 1/2. В итоге 2+1/2. Ну а потом поменял знак в степени. Получил 1/2-1/2. Заняло 2-3 секунды.
Я не понимаю нахрена до сих пор помню синус 45 градусов, ни разу в жизни не пригодилось, а уж эта то хрень и подавно ни к чему.
решил методом подбора за 3 секунды,шах и мат
Многие такие уравн. Решаются графически.3^х=30-х. Не всегда точно,2^Х+х=5,зато моментально.
Решил методом подбора :D
У меня всего один вопрос - где это может быть применимо в реальной жизни?
Тьфу на вас сто раз!!! Вот нахрена мне это ютуб показал??? В итоге я построил графики в Exel, для графического решения этого уравнения при разных исходных данных (к примеру. если 4 заменить на другое число :)), потом не показалось мало - я добавил условное форматирование, что бы мне удобнее результаты смотреть было, потом добавил переменный шаг изменения искомого "X "для сходимости результатов , потом меня задрало бегать по листу и я добавил (индекс (поиск позиции...)).... ААААААААААА!!!! теперь я король этого уравнения - я могу найти X при любом основании с точностью до 8 знака!!!!!! Но нахрена мне это надо.....
P.S. а все началось с того. что я за каким-то хреном вник в решение, и мне показалось что если 4 в основании уравнения заменить на 9 или на другое число - и вот хрен вы его решите точным методом, хотя при этом функции будут сходится. И понеслось....
Мальчик Леша 47 лет. :)
Если на тройки заменить, какие будут корни?
3ˣ - 3x = 0
С точностью до 8 знака.
Х1=0,826076; X2=1
@@aleks5328 Похоже на правду. Только последние знаки можно определить чуть точнее: 𝒙₁ ≈ 0.826017560
Похоже на правду. Только последние знаки можно определить чуть точнее: 𝒙₁ ≈ 0.826017560
Угу, подходит. Только точность можно немного повысить: 0.82601756
Рассуждал аналогично до того момента, когда автор пришёл к выводу, что если корень есть - то он единственный.
Дальше быстрее найти его подбором чем вычислять.
Понятно, что если бы подбором быстро найти не получилось, вычислять бы всё равно пришлось.
С первого взгляда кажется -0,5
Obviously, x must be negative. Let's try x = -1/2. Then, 4^(-1/2) = 1/4^1/2 = 1/2. Thus, 1/2 + (-1.2) = 0. Answer: x = -1/2.
Я даже формулу применять не стал, просто по интуиции подставил -1/2 и все...
Посидел минуты три попердел и допер, что это -1/2, так как четыре в одной второй = корень из четырех = 2. При том нужно подставить минус, чтобы из двух сделать одну вторую, и из неё вычесть её же, получив ноль
Кто подскажет, где в жизни встречаются такие задачи ? точнее в каких сферах жизни ?
Ну тут и без решения был очевиден ответ сразу🤷
Здесь можно было подобрать корень графически и сделать проверку
Сразу хотел извлечь корень(в степень ½) но не получилось. Добпвил минус и ответ сам себя показал))
мой мозг был не готов к этому видео