Эта задача имеет интересные физические реализации. Если рассмотреть датчик счётчика Гейгера, который представляет собой трубку, заполненную разреженным газом, в которой пролёт частицы фиксируется по акту ионизации газа частицей (а появление иона регистрируется уже по импульсу тока: первичный ион в высоком напряжении->лавинный микроразряд вторичной ионизации->заметный импульс тока). Понятно, что вероятность того, что пролетающая частица "зацепила" молекулу газа, среди всего прочего оказывается пропорциональной длине пути частицы в трубке. Или, несколько упрощая: ионизация происходит, если длина траектории больше некоторой критической для этого датчика длины. Таким образом приходим к вопросу, какова вероятность того, что длина траектории больше некоторой величины. Если рассматривать плоский вариант задачи и потребовать, чтобы критическая длина была равна длине стороны вписанного в сечение датчика правильного треугольника, получаем в точности задачу Бертрана: есть частицы. "случайно" пролетающие сквозь датчик, и нужно узнать, какая их часть будет зарегистрирована. (Счётчик Гейгера работает чуть-чуть наоборот: знаем, сколько зарегистрировано - и по ним определяем, сколько было всего.) То была преамбула, а теперь будет амбула. Если радиоктивное вещество намазть на поверхность трубки (даже не обязательно равномерно!), то "случайность" траектории будет определяться углом вылета частицы с поверхности, и все направления равноправны. - Это первый случай, разобранный в ролике и дающий вероятность 1/3. Если радиоктивное вещество равномерно заполняет внутренность трубки (напр., пропускаем радиоактиный газ) - то это случай с бросанием случайной точки на круг, и он даёт вероятность 1/4. Если же имеем внешний поток частиц от удалённого источника (т.е. параллельный), то всё определится "прицельным расстоянием" - как далеко от центра трубки пролетит частица. (Сюда же попадает и суперпозиция параллельных потоков разного направления - напр., радиоктивное вещество размазано по стенам большой комнаты). Этой ситуации соотетствует третий случай - с его вероятностью 1/2. Так что все три решения оказываются правильными - нужно только понимать, чтО они моделируют. Dixi
Задачка с счётчиком Гейгера-Мюллера не всё так просто. Там действительно при ориентации на поток частиц меняется эффективность, но только от точечного источника, а с равномерным распределением, наверное, логичней выбрать, как вы и сказали, проекцию цилиндра в виде окружности. По этой причине диаметр окружности счётчика, как правило, много меньше длины. Однако стоит учесть энергию частицы, от которой сильно зависит эффективность, при том, что мы толком не знаем, что у нас I-131, Co-60 или вообще рентген.
@@MrRight_ept Спасибо за эти подробности, в реальном устройстве их наверняка нужно учитывать. Но речь шла о модельной ситуации, лежащей в основе процесса. Если разобрались с этим, то можем идти дальше и ловить "блох".
Выбор хорды надо делать по её определению. Хорда в планиметрии - отрезок прямой линии, соединяющей две точки окружности. Т.е. из определения хорды и следует способ построения. Случайно берем 2 точки на окружности и меряем длину отрезка.В таком случае имеем ответ №1, или 1/3. Если бы определение хорды было таким: хорда для окружности и точки в средине этой окружности - это отрезок прямой линии, центром которого является данная точка, а концы лежат на данной окружности. Тогда ответ 2. То же самое с вариантом 3. Определение хорды привязано к перпендикулярности радиуса, чего изначально нет. Кароч, тут уже написали, что три ответа моделируют три разные ситуации. Так что, имеем не парадокс, а софизм, замаскированный под парадокс.
Почему надо по определению хорды? По условию задачи нужно взять случайную хорду! То есть случайно из всего множества хорд а не построенных по определению как вы советуете !! А далее принцип безразличия, о нем в ролике вполне определенно сказано. Именно поэтому Пуанкаре и предпочитал 3-е решение ибо хорды там распределены более плотно и равномерно
Чтобы оценить соотношение благоприятных вариантов к общему количеству вариантов сначала нужно определить зависимости. Так по определению хорда - это отрезок соединяющий две точки , лежащие на окружности. Чтобы построить все возможные хорды данной окружности, зафиксируем первую точку в произвольной точке О окружности и будем второй двигаться по окружности против часовой стрелки. Таким образом, за один полный оборот получили множество хорд из одной точки, зависящих от длины окружности L. Далее сместим первую точку хорды на малое расстояние dx против часовой стрелки по дуге окружности и снова будем проходить второй точкой по окружности против часовой стрелки от первой точки хорды, пока не дойдём до изначально выбранной точки О. Будем продолжать этот цикл, пока не придём первой точкой обратно в точку О. Таким образом мы построим все возможные хорды. Определим зависимость длины дуги (обозначим как y), которую пробегает вторая точка от расстояния по дуге (обозначим как x) от точки О до первой точки хорды. Получаем следующие корни (x; y): (0; L), (L/4; L*3/4), (L/2, L/2), (L*3/4; L/4), (L, 0). Если построить график, то очевидно, что это график функции y=-x+L, при x от 0 до L. А количество всех возможных хорд будет зависеть от интеграла этой функции в пределах от 0 до L. В результате получаем (1/2)*L^2. Теперь оценим таким же образом зависимость благоприятных вариантов, т. е. когда длина хорды будет больше длины стороны вписанного правильного треугольника. Выберем начальную точку О в одной из вершин вписанного треугольника. Как было показано в видео, длина хорды будет больше длины стороны треугольника, если вторая точка хорды будет пробегать 1/3 длины окружности. Если смещать первую точку по окружности по тому же алгоритму, как тогда когда считали все возможные хорды, благоприятные хорды будут соответствовать 1/3 длины окружности до тех пор, пока первая точка не пройдёт расстояние 1/3 длины окружности. Для первых точек хорды, лежащих на участке от (1/3)*L до (2/3)*L длина благоприятной дуги будет равномерно сокращаться от (1/3)*L до 0. Далее, на участке от (2/3)*L до L благоприятных хорд не будет, так как все их вторые точки попадают за начальную точку O, а значит дублируют уже учтённые нами. Таким образом функция благоприятных вариантов будет состоять двух кусков. Для x от 0 до (1/3)*L: y = L/3, и на участке для x от (1/3)*L до (2/3)*L: y = -x + (2/3)*L. Количество благоприятных вариантов будет соответствовать интегралу этой функции в пределах от 0 до (2/3)*L. В результате получим (1/6)*L^2. Вычисляем вероятность как отношение оцененных множеств: ((1/6)*L^2)/((1/2)*L^2) = 1/3 или 33,(3)%. В решениях, описанных в видео, считаю допущены существенные ошибки. Объясняю почему. В первом решении ошибочно решено, что количество всех возможных хорд прямо пропорционально длине окружности. На самом деле получается пропорционально квадрату длины окружности, хотя мой ответ и совпал с этим решением. Во втором решении ошибка состоит в том,что не учтено, что не каждой точке окружности соответствует единственная хорда, для которой эта точка будет серединой. Для центра окружности это не так. Там вообще можно бесконечно много хорд (т. е. диаметров) провести, для которых эта точка будет серединой. В третьем решении тоже ошибка в центральной точке окружности. Через эту точку два раза учитываются одни и те же хорды при повороте радиуса на 180 градусов (у них меняются только условные первая и вторая точки, а по сути это одна и та же хорда).
Поставил на паузу после постановки задачи прикинул в уме что 0.33, смоделировал на компьютере, для душевного спокойствия первую точку не фиксировал, просто в цикле ставил 2 точки на единичной окружности(в полярной системе координат выбирал 2 случайных угла от 0 до 2х пи) считал длину хорды, сравнивал ее с √3 также получил 0.33. Потом до меня как будто бы дошло, что возможно варианты сэмплирования хорд могут влиять на конечную вероятность. В случае 0.33 мы как бы рассматриваем задачу из центра окружности. Однако если поместить эту окружность на плоскость и случайным образом бросать на эту плоскость линии а затем смотреть пересекла ли линия окружность, и если да, то сравнивать с длинной треугольника, если не пересекла, то просто пропускать.При таком выборе случайной хорды результат видимо будет отличаться. Надо проверить.
@@Ilja600 я, конечно, не Математик, но ваш подход к решению задачи выходит за рамки условия. Сказано хорда, значит хорда. Линия, которая содержит хорду это линия. Я, как понимаю я, вижу задачу дословно так, как сформулирована. Тем более, что здесь сравниваются две бесконечности, бесконечное число хорд большей длины, чем сторона треугольника и также бесконечное количество хорд меньшей длины. 🤗
Я тоже сразу начал именно так мыслить - интегральные исчисления или программное моделирование на больших выборках (как комментатор Ilia600) способны усмирить эту незавершённость, подвешенную в воздухе автором видео =)
@@ИгорьВ-г5л Линии не существует, также как и времени. Линия нужна просто что бы мы поняли логику данного действия. Если эту линию не чертить, ровным счетом ничего не поменяется.
Как по мне - наиболее правильный ответ 1/3. Хорда - отрезок, который соединяет две точки на окружности, поэтому кажется, что нормальное распределение нужно брать исходя из расположения двух точек на окружности, а не центров хорд. То есть у нас два выбора, которые влияют на результат, а не один. Для решения я бы взял вписанный N-угольник, и использовал бы его вершины для выбора точек хорд, устремив N в бесконечность. Для простоты будем брать 3*N-угольник, для больших значений N отклонения для 3N+1 и 3N+2 несущественны. Для каждой его точки под условие попадают только N/(3N-1) хорд. Устремив N в бесконечность, получаем 1/3. Таким образом, для любой точки на окружности вероятность получить нужную хорду - 1/3. А значит, вероятность получить нужную хорду: 1 * 1/3 = 1/3
С чего вы взяли, что если на кривой(окружность) взять множество случайных точек, из него взять множество случайных не повторяющихся пар, соединить точки в парах, то получится равномерное распределение отрезков?.. Это же как со случайных точек параболы опускать перпендикуляр на ось Х. Ясно, что распределение будет не равномерным, а значит не случайным. Нельзя к точкам на кривых привязываться.
У меня ещё на этапе формулировки возник вопрос, что значит случайно-выбранная хорда, но я решил, что нужно закрепить один конец, а второй - случайно располагать на окружности. Т.е. мой вариант - был бы первый. Но думаю, что правильней было бы понимать случайную хорду как случайную прямую, пересекающую окружность, а случайную прямую, как прямую через две случайные точки.
аналогично, когда то "побочным эффектом" получил что случайное расстояние полученное выбором двух случайных точек на трехмерной сфере распределено линейно, - дешевый и сердитый способ получения "без отходного генератора", но это если изначально есть случайное распределение на поверхности сферы, которое арифметическими алгоритмами не получить.
По моему, здесь смешение декартовой и полярной системы координат играют злую шутку. Точки со случайным линейным перебором Х и Y распологаются иначе, чем со случайным линейнчм перебором значений полярной системы fi, r.
@@serg5021 Первый случай распределения ещё хуже чем даже случайные углы из точки на окружности. Если мы поставим один конец хорды на точку окружности, а второй равномерно-случайно на длину окружности, - такие хорды скучкуются возле первой точки, и коротких хорд будет сильно больше, чем длинных.
Попробуйте "выйти за рамки" ;) • Возьмите произвольную прямую [в плоскости круга. • Решите задачу для хорд, продолжения которых пересекается с взятой прямой под произвольным фиксированным углом. ;)
Если от балды (как во втором и третьем решении) взять распределение центров хорд Гауссовым (мол мы так стреляли) то искомая вероятность будет существенно выше половины, т.к. большинство точек будет вблизи центра.
Парадокс только в том, что люди лезут со своими идеями туда где их не просят. Если бы человек рассуждал как машина, то получил бы третий вариант! А он начинает что-то придумывать, и в результате получает 1 и 2 варианты. Самый очевидный парадокс этого мира: Бог кого-нибудь просит, чтобы в него верили?
Никакого парадокса тут НЕТУ. Тут фокус запудривания мозгов. Вам дают отвлекающие, но не значащие ничего доп вводные - окружность, хорда, вписанный треугольник. Решение однозначное и простое. Дано: Отрезок (хорда) имеет произвольную длину от 0 до 2R. Вопрос: Какова вероятность того, что этот отрезок будет иметь длину больше фиксированного относительно R отрезка V3*R = 1.732R Решение: (2 - 1,732) / 2 = 0,268 / 2 = 0,134 13,4% хорд будут длиннее, чем 1,732R, все остальные будут короче. Проверка: Сколько произвольных хорд ( от 0 до 2R) будут длиннее R. Ответ: 1/2 или 50%
@@alexandrnovich8009 Восхитительно. Убедительно... Но неверно. Упущено кое-что. Ну, например: 60 градусов у угла треугольника, а у прямой - 180 градусов.
@@anatoliyignatyev2680 А при чём тут треугольник? В условии хорда окружности R cравнивается с отрезком V3R = 1,732R. Можно сравнить со стороной вписанного квадрата или семиугольника. Решение также будет однозначным.
Я считал что хорда определяется двумя точками на окружности, а каждую точку на окружности можно определить углом от 0 до 2*pi. С помощью теоремы косинусов подсчитал функцию длины хорды от двух углов. После преобразований получил неравенство cos(x-y) < -1/2 , где x и y это случайные углы от 0 до 2*pi. И если подсчитать площадь области на координатной плоскости, удовлетворяющей неравенству, и разделить на площадь квадрата со стороной 2*pi, то получится 1/3. Поэтому думаю что самый правильный способ первый, так как в нем получается такой же ответ.
@@cludok Это и есть простое. Хорда - это прямая соединяющая две точки окружности. Значит случайную хорду надо брать как прямую соединяющую две случайные точки окружности. Нахрена извращения с какими то центральными точками и прочим? "Парадокс" на ровном месте, я считаю.
@@usdg.lander ответ 1/2. Это и есть простое. 1/3 это та же 1/2. И кстати, 1/3 получается когда мы учитываем только одну точку хорды, а 1/2 получается когда мы учитываем две точки хорды и отвечаем на поставленный вопрос о вероятности.
Вы рассматриваете частный случай. По определению хорда - это отрезок на секущей прямой. Саму прямую мы можем провести через две точки находящихся как на окружности, внутри окружности и за пределами окружности. Самое большое количество точек будет, теоретически будет находится за пределами окружности на бесконечной плоскости. В этом случае ответ Р=36%. Лимит отношения площадей треугольника к окружности умноженное на 2/3. Либо сумма вероятностей, что тоже равно примерно 36%.
@@usdg.lander Согласен с Вами почти полностью. Кроме характеристики "высосанного из пальца". Все-таки считаю этот парадокс очень полезным и наглядным, который отлично демонстрирует , как важно четкое определение начальных условий задачи и самих определений.
Если исходить из определения хорды в начале ролика (хорда это отрезок соединяющий две точки на окружности), то случайная хорда это две случайные точки на окружности, тогда вариантов выбрать 1ю точку 2ПR , и 2ю 2ПR, вариантов выбрать случайную хорду 4(П^2)(R^2) , ну, а успешные те где длина хорды короче стороны треугольника, по идее это первый вариант как раз. Если же условие задачи бы звучало как, какова вероятность провести прямую через окружность, так что бы хорда образованная точками пересечения окружности и прямой была бы длиннее стороны треугольника - то 3й вариант. Аналогично со 2м вариантом.
Когда-то видел про эту же задачу на Numberfile, но вот что подумал сейчас. По факту нам не важно под каким углом будет идти хорда, ведь под каждым из углов будет один и тот же набор хорд длинее и короче стороны треугольника. Так что варианты, где изменяется её угол, можно откинуть. Допустим, выбрали только строго горизонтальные хорды. Тогда опять есть два варианта. Либо мы их распределяем с равномерным расстоянием друг от друга, либо ставим точки на окружности через определённый угол. Но тогда во втором случае получится, что коротких хорд станет больше. Это похоже на тот вариант, где ответом была 1/3. Так что делаем их с равным шагом друг от друга, а не по окружности. Должна получиться 1/2
Похоже, Вы ошибаетесь. На вероятность не могут влиять расстояния (угловые или линейные) между точками, через которые проходят хорды. Хорд бесконечное количество, но среди них есть принцип, по которому они делятся на две неравные части. Это длина хорды, являющейся стороной вписанного равностороннего треугольника. Есть три бесконечных множества. Множество хорд, образуемых множеством треугольников, множество хорд, которые короче стороны треугольника и множество хорд, которые длиннее такой стороны. При случайном выборе хорды, вероятность попасть на хорду из третьего множества выше. Вопрос - во сколько раз?
Будем исходить из определения хорды. Хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Логично предположить, что случайная хорда - это отрезок, соединяющий две случайные точки на окружности. Другие определения случайных хорд добавляют дополнительные условия, которых нет в определении хорды. Таким образом, «правильный» выбор случайной хорды - это метод #1, то есть выбор случайным образом двух точек на окружности, и соединения их отрезком. «Правильный» ответ 1/3. Конечно, строго говоря, однозначного определения случайной хорды нет, отсюда и весь парадокс: «нет однозначного ответа, если условие не сформулировано строго». В общем-то никакого особого парадокса здесь нет. Аналогичную задачу можно сформулировать так «какова площадь правильного многоугольника со стороной 1?» Понятно, что площадь не определяется однозначно потому что неизвестно число сторон. А в «парадоксе Бертрана» неизвестно что такое «случайная хорда». Как только мы определяем что это такое, решение становится однозначным.
@@pumfnuci а вы в курсе, какова «толщина» или «ширина» любого отрезка (в том числе хорды)? Какую площадь можно хордой «закрасить»? И когда вы говорите об их количестве, чем оно «строго ограничено»? Вы прямо на глазах изобретаете некую «дискретную геометрию», как какой-то новый Евклид или Лобачевский.
Есть еще один аргумент в пользу первого решения. По условиям задачи речь идет о хорде. По определению хорда - это отрезок ПРЯМОЙ линии с концами НА ОКРУЖНОСТИ. 1. Следовательно, и работать нужно напрямую с точками на окружности. Что делается только в 1-м решении. 2. Прямая однозначно определяется 2-мя точками. Во втором и 3-м решениях используются 3 точки. Сначала произвольная точка внутри круга, а затем накладывается условие, определяющее еще 2 точки на окружности. Получается решение с наложением избыточного требования для прямой, определяются 3 ее точки. Тем самым искажают вероятность, заданную в условиях задачи.
Да, весь парадокс сводится к определению равномерного распределения хорд. И здесь я согласен с комментарием Alex Black! Что такое хорда? Отрезок, соединяющий 2 точки на окружности. Что такое случайный выбор хорды? Он эквивалентен случайному выбору 2 точек на окружеости. Равномерное распределение хорд эквивалентно независимому равномерному распределению 2 точек на окружности. Из чего следует, что вероятность нахождения одного из концов хорды на выбранной нами дуге равен отношению длины этой дуги к длине окружности. Что приводит нас к решению задачи способом номер 1. Это решение естественно проистекает из определения хорды и построения ее "случайным" образом. Хотя метод Монте Карло даст нам более "равномерную геометрическую плотность" линий на плоскости. Но это уже другая, более "надуманная" история.
Правильный ответ: взять все хорды и из них посчитать те, что соответсвуют условию. Интегрально. Для начала сократим количество точек на окружности, например, до 8. Тогда, ответ будет 3/7, из 7ми возможных хорд - 3 длиннее. И так далее, для 16, 32, 999..99 хорд, ответ будет все более точным. Проверил, получилось 1/3. Затем проверил через случайные точки, программно, вышло так же. 166781/500000 0.333562
Вижу канал впервые, автор однозначно молодец. Дисклеймер, я в геометрии не сильна, поэтому где-то могу ошибится. Мои размышления: попытайся упростить: если длина случайной хорды колеблится от 0 до 2, какова вероятность, что длина больше корня из 3? Логично, что (2-sqrt(3))/2,не так ли? Что-то около 13%. А считать отношения площадей неправильно, т.к. чем больше "площадь благоприятных исходов" по отношению ко всей площади, тем больше найдётся таких точек, которые лежат на одной прямой, но каждая их пара даст одну и ту же длину хорды, если хорда проходит через эти точки. Эти самые точки сильно искажают картину, в сторону увеличения.
Тоже об этом подумал. Следуя так сказать принципу "максимального безразличия" так и нужно поступать, и тогда ответ - 13,397% . Но в том то и парадокс, что это даже меньше, чем 1/4, не говоря уже об 1/3, хотя казалось бы, вариант где получается 1/3 вполне понятен и логичен. А Пуанкаре вообще считал, что правильный ответ 1/2))) Автору спасибо, заставил пошевелить извилинами)
@@ДенисРуденко-й3ж ну ведь это некое наименьшее "пороговое" значение, и если мы принимаем верность способа манипуляции с площадями, то тогда ответ будет в следующем, что вероятность того, что хорда длинее стороны правильного треуголника принадлежит промежутку от (2-sqrt(3))/2 до 1/2 в зависимости от способа "случайного проведения" хорды. Ну а в случае с выбором точки, через которую будет проходить хорда, механизм возникновения парадокса в следующем: не все точки равносильны с точки зрения длин хорд, через них проходящих. Пример-иллюстрация, выберем точку поближе к центру окружности, не факт, что у вас вообще получится провести хорду, короче стороны правильного треугольника,т.е. способ вообще некорректный. Подытоживая, во всех случаях мы выявили причину разброса вероятности, и оценили предельные назначения разброса тем самым дали ответ на парадокс.
@@vladimir10 точных каких-то доказательств я вам не представлю, но попробую объяснить. Смотрите, механизм генерации в моём случае состоит в следующем: вместо того, чтобы выбирать случайную точку в круге, затем ещё одну, затем проводить через них прямую, мы идём другим путём, а именно - рисуем отрезок на бумаге, длиной в диаметр круга, и тыкаем в него, затем измеряем расстояние от его начала, до точки, куда мы попали, и уж потом рисуем хорду в круге той длинны, что мы измерили. Попадание в любую его точку равновероятно, вроде как. Если я правильно поняла ваш вопрос.
@@ТамараМасловская-и2у вы верно меня поняли. Я, однако, рассуждал иначе. Принял универсальным распределение угла, под которым случайная хорда видна из центра окружности, то есть от 0 до π. Получил 1/3, как и в видосе.
У Вас одно из самых правильно построенных объяснений. Во-1х, объясняющий всегда ответственный за правильность своего объяснения, а не слушающий (принцип западных стран). Во-2х, "правило 3 примеров" -- понимание должно быть доступно людям с разным типом мышление, для этого нужно проводить разные примеры, к тому же так лучше работает наша память. В-3х, везде где только возможно, Вы ставите не просто буквенное обозначение, именно словесное описание (например в дробях), тем самым не переключается внимание, что очень полезно людям с СДВ(Г), коих очень много есть и было среди многих людей (даже известных учёных). Спасибо большое!
Что же вы в таком случае не потрудились изложить свои мысли в сжатом и понятном виде? Что за принцип западных стран? Сформулируйте уж тогда этот принцип и укажите автора. Как слушатель может отвечать за правильность изложения материала лектором? Загадка 🤔
Правильный ответ 1/3 Что касается примера построения хорды по радиусу (5:40), то тут допущен интересный просчет. Если внимательно присмотреться, то выяснится, что при таком построении, когда больших и мелких хорд одинаковое количество, мелкие никогда не покроют свою часть дуги. Т.е. получим не полный набор событий (не будут учтены все возможные хорды), и соответственно не верный итоговый результат. Для получения полного набора событий придется вернуться к корректному покрытию дуги (через интеграл или другим способом), что даст тот же результат = 1/3. С третьим примером тоже самое. Резюме - нет никакого парадокса, есть ошибка при подсчете полного набора событий во втором и третьем случае.
#5(, если использовать принцип максимального безразличия): через центр проводим прямую, на прямой берём точку, через точку проводим прямые так, чтобы образовывались хорды, считаем вероятность для данной точки, усредняем вероятность для всех точек прямой.
Ну, и , чтобы не плодить правильные ответы, нужно найти ответ на главный вопрос: "Стакан наполовину полон или пуст?" Я знаю два ответа. Это "42", и "зависит от эксперимента, наполняем мы стакан, или опусташаем".
Не работает. Равномерные расстояния между числами на отрезке при построении дают неравномерные длины хорд! Например расстояния между точками на вашем отрезке от 0 до 2х между точками 0,1-0,2 и 0,2-0,3 будут одинаковыми по 0,1. И вероятность случайного отрезка длиной больше 0,1 в пределах 0,1-0,3 - 50% Теперь согнём этот 0-2х отрезок в кольцо. И хорда 0,1-0,2 будет иметь длину МЕНЬШЕ чем 0,1. Причём, хорда 0,1-0,3 тоже будет иметь длину меньше такого прямолинейного отрезка, в ёще большем соотношении.
Так вот, я подумал что этот вопрос нужно решить так: 1) Для начала, забудем о точках. Точки тут не нужны вообще. Их нет в условии и не надо их придумывать. 2) Треугольник тоже не нужно чертить. Его же просто для описания длины и углов ввели. 3) Предположим окружность с радиусом 1 и площадью Пи соответственно. 4) Далее следует определиться с единой поляризацией как с подмножеством. Например горизонтальной. Остальные подмножества это просто её подобия. 5) Рассмотрим равномерное покрытие площади поляризованными по единому вектору прямыми. 6) Выделим верхний и нижний сегменты от углов 2Пи/3 как те в корторых хорда короче стороны. 7) Если радиус равен 1, то высота одного сегмента равна 1/2. 8) Учитвая что поляризация это просто подмножество, то соотношение 1/2 сохраняется при всём множестве. С вероятностью всё нормально. Это с людьми что то не так. Все остальные способы это просто бред, так как невозможно установить равномерное по площади распределение при условии вращения или исключения нелинейных площадей до проведения расчета как такового.
Точно подмечено, я к такому же выводу пришёл. Надо изначально признать или договориться, что правильнее будет, когда при большой выборке случайных хорд, круг по его площади будет равномерно заштрихован (плотность штриховки одинакова). В таком случае подходит больше всего 3 вариант с вероятностью 1/2. Т.к. только в этом случае штриховка будет равномерной по всей площади круга (хорды перпендикулярно радиусу и равномерно случайным образом распределены между собой по этому же радиусу - плотность штриховки одинакова по всему полукругу). В 1 варианте при большой выборке плотность штриховки будет увеличиваться от центра к периферии, т.к. при равномерном распределении точек на окружности, кол-во хорд будет гуще там, где их длина становится меньше, т.е. ближе к периферии, вот и вероятность уже меньше для больших хорд и получается 1/3. Во втором варианте, когда выбирается случайно точка на всей площади круга и через нее проводится хорда, плотность штриховки от хорд в центре будет ещё меньше, чем при 1 варианте , т.к. хорды проведенные вне круга вписанного в треугольник, попадают только на площадь вне этого круга, а хорды проведенные в этом круге попадают так же и на площадь вне этого круга. Поэтому это не равномерное распределение хорд по площади круга.
"Равномерно" можно выбрать только из какого-то заранее определенного множества. Причем равномерность на одном множестве не обязательно дает такую же равномерность на другом. И во всех трех способах мы брали разные множества для выбора. И как вариант - первый способ, но вместо второй точки на окружности мы "равномерно" выбираем угол отклонения.
@@yr2235Стало быть о равносильности вы знаете только само слово. Ну тогда быстрый ликбез. Множества называются равной мощности если существует из первого взаимно однозначное вложение в подмножество второго, из второго существует взаимно однозначное вложение в подмножество первого. Тогда говорят кардинал (мощность) множеств совпадает. Если второе условие не выполнено, то мощность первого множества не больше, чем второго. Далее можно легко построить взаимно однозначное отображение любого открытого(закрытого, полуоткрытого) интервала во все множество действительных чисел. Есть также теорема о том , что можно квадрат можно заполнить точками отрезка. Все просто берете позиционную запись и четные цифры присваивание абсциссе, а нечётные ординатам. Есть на самом деле и более непрерывная функция. Поэтому мощности отрезка, действительной прямой, квадрата, плоскости и любого конечномерного векторного пространства над действительной прямой равны. Вот такая она штука кардинальность множеств. Удивительно но существует и другое упорядочение множеств , которое приводит к кардинально иным свойства , но полностью совпадает на множестве натуральных чисел. Это ординальность
На примере окружности с радиусом r. Множество всех хорд окружности можно представить как pi*r^2. Можество всех хорд, находящихся в сегменте, образованном стороной треугольника = (pi*r^2)/3 - (КОРЕНЬ(3)*r^2)/4. Таких сегмента - три, значит можество всех хорд, находящихся в сегментах, образованных сторонами треугольника = pi*r^2 - r^2*3*КОРЕНЬ(3)/4. Исходя из этих рассуждений, вероятность составит 1-3*КОРЕНЬ(3)/(4*pi) или примерно 0,586. Теоретически, вероятность будет именно такой, если выборку строить абсолютно случайным (!) образом, не основываясь ни на какой методике. Абсолютно случайно - это строить хорды между случайно выбранными точками без использования конкретной методики. Интересно посмотреть на результаты моделирования. Ведь если в примере с подбрасыванием монеты тоже применять некую методику (подбрасывания), вероятность тоже может быть вовсе не 1/2. Где я неправ?
Уточню. Предложен расчёт вероятности для случаев, когда хорда меньше стороны треугольника. Вероятность события, когда хорда больше стороны треугольника, составит соответственно 0,413. Набросал модель. Результаты эксперимента показывают вероятность 0,363.
И ещё одно уточнение. Результат моделирования заставил задуматься и незначительно изменить расчёт. Вероятность случая, когда случайно выбранная хорда окружности будет больше стороны равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность, будет равна (4-КОРЕНЬ(3)) / 6, или примерно 0,378, при условии, что хорда выбирается совершенно случайно без всяких методик (по двум случайным точкам на окружности или в середине окружности, по случайно выбранной точке в середине окружности и случайному углу, или каким-либо другим случайным образом). Бертран, с%ка. Украл моё обеденное время.
Задаём рандомный радиус, высчитываем длину окружности на основании сгенерированного радиуса. Далее генерируем 2 рандомные точки на окружности с условием от 0 до максимального ее размера, соединяем эти точки. Добавляем цикл, скажем, на миллиард раз. Сравниваем с длиной стороны треугольника и если больше, то увеличиваем счётчик. В конце выводим результат счётчика, поделенного на миллиард и умноженного на 100(можно попробовать такую программку написать:))
Хорда - отрезок соединяющий две точки кривой, значит выбрать случайную хорду это выбрать две точки по окружности, что сводится к первому варианту решения. Остальные два способа это случайный выбор чего-то другого, а хорда уже относительно этого строится, а не случайно выбирается, поэтому условию задачи они не соответствуют.
И я про то же. Хотя третий вариант с ходу казался самым логичным. Но если хорошо задуматься, то конечно первый. Но он был недостаточно полно объяснен автором видео. Полное объяснение более громоздкое и затрагивает арифметические прогрессии.
Дело в том, что во втором и третьем случае выбор хорды тоже математически соответствует условиям задачи, так как метод выбора хорды и в задаче не указан. То есть, если ответ во 2 и 3 случае верен математически, значит вариант 1 не учитывает все возможные вероятности и методы построения хорд. Причем нет ни какой гарантии, что и вариант 3 тоже учитывает все вероятности.
Получаю случайную хорду следующим образом: беру случайно 2 числа в диапазоне [0;1), умножаю это на 360. Т.е. это два случайных угла на единичной окружности. Потом нахожу координаты x,y через cos и sin для обоих углов. Потом нахожу расстояние между этими двумя точками. Отбираю те расстояния, которые больше корня из 3. В екселе на больших выборках в итоге вероятность 1/3.
Я думаю, что если речь идет о случайном выборе хорд, значит нельзя привязываться ни к вершинам вписанного правильного треугольника (1-й случай), ни к неким радиусам (3-й случай), ни к чему-либо еще. То есть надо исходить из того, что можно проводить эти хорды в буквальном смысле случайным образом и в любом месте. И тогда, если представить, что проведены все (или практически все) возможные хорды внутри окружности, то длиннее сторон треугольника окажутся хорды, пересекающие внутреннюю окружность. То есть надо сравнивать площади большого и малого круга (2-й случай).
Это не имеет значения, можно даже убрать этот треугольник вообще, оставив только длину его стороны - √3. Тогда где бы мы не поставили первую точку, мы бы могли повернуть окружность, так чтобы точка была например у вершины, другая точка относительно этой точки может находиться где угодно. При этом соотношение все равно останется 1/3, треугольник чисто для упрощения, чтобы понятно было когда именно хорда становиться длиннее стороны. Мы можем свободно вращать треугольник, но это не поменяет того факта что хорда будет длиннее стороны треугольника
Выпал ролик в рекомендации, посмотрел, очень понравилось. Почитал комментарии, подписался. Отличное комьюнити собралось. Пойду смотреть другие на канале!
Если перевести задачу на простой язык, то спрашивается, какова вероятность, что случайные 2 точки на окружности образуют дугу в пределах от 1/3 до 1/2 длины окружности? (До 1/2- потому, что это получится максимальная хорда- диаметр. Вычисление простейшее: (1/2-1/3)/(1/2)=1/3.
2 случайные точки - это единственный правильный способ рисовать случайную хорду. Но можно и упростить до одной точки в пределах 0-360°, потому что случайную хорду можно всегда повернуть одной точкой в ноль, это не повлияет на результат. Положительный ответ будет точка в пределах 120-240°, а это 1/3.
Не надо переводить задачу на простой язык сужая критерии. Хорда генерируется не только точками на окружности но и точками внутри нее. Почему не рассмотреть вариант где хорда строится по любым 2м точкам в пределах окружности? Или точка в пределах окружности и случайный угол наклона прямой?
@@ИванИ-у4т Не нужно усложнять задачу, придумывая себе новые критерии. В задаче четко сказано- Хорда. Вспоминайте понятие хорды, и решайте. Даже, если напридумывать способов ее проведения, она все- равно пересекает окружность в 2х точках, и решение возвращается к простейшему.
Само по себе, требование того, что решение должно быть именно одним правильным имеет редукционистский оттенок. Холистический подход предполагает множество правильных решений. Вместе с тем встает вопрос уровня правильности. Усреднение ответа и получение 13\36 является попыткой прийти к "истинному" решению. Таким образом, вводя различные понятия решений, мы можем прийти и к понятию "относительность правильности решения". Не менее заманчива- другая производная задача - а сколько может быть вариантов решений? Или пойдем далее - а какова частота получения одинаковых решений из из выбранного множетва решений?
Парадокса в постановке Бертрана нет. У него неверны 2 и 3 метод, в которых отсутствуют хорды без точки, делящей хорду на половинки. Это парадокс бесконечного отеля - если новый гость принадлежит к множеству натуральных чисел, то он уже заселён в отеле, а так как по условию он не принадлежит к этому множеству, то и места для него нет. Парадокс Бертрана некорректно сформулирован. Этот сломан, несите другой.
Чёт странно! По-моему в этой задаче вообще никакой неопределённости нет относительно метода её решения! (кстати я программист). Читаем что такое хорда в википедии - это отрезок, соединяющий 2 точки кривой. Так вот, берём генератор случайных чисел, и случайным образом выбираем 2 точки на окружности, затем рассчитываем длину хорды, определяем благоприятный или нет исход, записываем результат, и процесс повторяем ещё достаточно большое количество раз, пока вклад очередной итерации в конечный результат не станет ничтожно малым. Всё!!! Результат будет всегда стремиться к одному и тому же значению, если координаты точек на окружности были выбраны случайным образом с равномерным законом распределения случайности.
Считаю первое более точно описывающее случайность. Там выбирается случайная точка и от нее случайный луч. Во втором и третьем точка выбирается случайно, но дальше накладываются неслучайные условия для проведения хорды, которые нужно вычислять. Эта неслучайность расчета доп. условия и влияет на вероятность.
Я к такому же выводу пришёл. Надо изначально признать или договориться, что правильнее будет, когда при большой выборке случайных хорд, круг по его площади будет равномерно заштрихован (плотность штриховки одинакова). В таком случае подходит больше всего 3 вариант с вероятностью 1/2. Т.к. только в этом случае штриховка будет равномерной по всей площади круга (хорды перпендикулярно радиусу и равномерно случайным образом распределены между собой по этому же радиусу - плотность штриховки одинакова по всему полукругу). В 1 варианте при большой выборке плотность штриховки будет увеличиваться от центра к периферии, т.к. при равномерном распределении точек на окружности, кол-во хорд будет гуще там, где их длина становится меньше, т.е. ближе к периферии, вот и вероятность уже меньше для больших хорд и получается 1/3. Во втором варианте, когда выбирается случайно точка на всей площади круга и через нее проводится хорда, плотность штриховки от хорд в центре будет ещё меньше, чем при 1 варианте , т.к. хорды проведенные вне круга вписанного в треугольник, попадают только на площадь вне этого круга, а хорды проведенные в этом круге попадают так же и на площадь вне этого круга. Поэтому это не равномерное распределение хорд по площади круга.
Тут получается можно перефразировать условие в вероятность случайно получить угол по строго больший 120 и меньший 240. В диапазоне, естественно, от нуля до 360,наверно включая края диапазона. Тогда благоприятные исходы это 1-(2/360) -(вероятность получить от 0 включая до 120 исключая)- (вероятность получить от 240 исключая до 360 включая) . Что приблизительно равно 1/3
Интуитивное решение: проведём радиус перпендикулярно стороне этого треугольника. В силу симметрии окружности, достаточно рассмотреть все хорды, перпендикулярные этому радиусу (и пересекающие его). Т.к. сторона треугольника делит этот радиус пополам, то половина этих хорд будет лежать за пределами треугольника, и все они будут короче его стороны, а другая половина хорд будет пересекать этот треугольник и иметь длины больше длины стороны треугольника. Поэтому искомая вероятность равна 1/2.
Эта задача аналогична задаче суммы членов бесконечного ряда. Есть доказательство что выбором способа подсчёта можно получить в ответ любой результат! (Так сказать свойство бесконечности) В парадокс Бертрана не задан критерий случайности задания хорд (принцип их формирования) другими словами такие независимые параметры как, например начало или середина или вообще любая произвольная точка хорды и ее направление. По сути если считать эти оба параметра случайными в своих областях значений то и задача сводится к опредлению функции вероятности от двух независимых событий и тут мы .... 🤔 возвращаемся к началу рассуждений ☝️ 😂
Очевидно же, что доказательство сходимости натурального ряда содержит подвох. Дело в том, что мы изначально предположили, что ряд сходится. Раз из этой предпосылки мы можем получить различные значения, значит пришли к противоречию, значит предпосылка не была верна, то есть ряд не сходится. - обычное доказательство (в данном случае несходимости) от противного.
@@iforand не спорю с _знакопеременными рядами_ Я это привел в качестве примера _аналога_ неоднозначности результата от способа рассуждений (читай вычислений) в алгебре и по сути геометрии. А все из-за некорректного ограничения на условия задачи.
Отношение площади сегмента, образующегося стороной треугольника, к площади всего круга. Просто так думаю интуитивно. Во всех трёх случаях решение не прававены. Это подтверждается моделированием на какртинках-линии распределены не равномерно. Справедливое решение может быть тогда, кода плотность вероятности распределения линий, по всему кругу будет одинаковой. Другими словами способ нарисования линии не должен влиять на результат, их бесконечное множество.
В самой задаче идёт речь об окружности а не о круге. Хорда тоже определяется от окружности. И длина стороны треугольника тоже определяется от окружности. Второе и третье решение используют круг, то есть произвольно расширяют исходную задачу.
Очень заинтересовала задача, но я люблю поверять все так сказать на практике. По этому в екселе я запустил генератор случайных чисел (3 числа, первые 2 - координаты в диапазоне от -10 до 10, а третье - наклон прямой относительно оси ОХ от 0° до 180°) так я получил случайное распределение прямых в квадрате 20×20, в центре круг единичного радиуса, дальше проверяем какая часть получившихся прямых пересекает наш круг (то-есть являются хордами), и высчитываем какова их длинна и соответственно процент тех что больше чем корень из 3х. ИТОГО на массиве из 100 000 прямых у меня получилось что стабильно 11% прямых пересекают круг, из которых 50% (+- 0,9%) длиннее корня из 3х, значит выходит, что 3е решение правильное.
ну смотри, тут видео как раз о том, что в зависимости от способа вычисления - ты будешь получать разные ответы. ты в екселе реализовал один из вариантов - он дает один результат. реализовал бы другой принцип - получил бы другой результат.
Пока посмотрел только задани у меня получился ответ 1/3. Я так сделал. С любой точки хорда может направится в любом направлении от 0 до 180 градусов. И только та что от 60 до 120 будет длиннее.
Я думаю ответ будет 1/2 Так как выбирая первую точку для хорды, нужно выбирать от центра окружности до бесконечности. 0+оо/2 = оо значит первая точка с вероятностью стремящемся к 100% находится в бесконечности. Значит, вторая точка хорды определяет конечную вероятность. То есть, если из первой точки, находящийся на бесконечности,(либо от края обозримой вселенной) прочертить множество прямых линий в сторону окружности, то они все окажутся параллельны друг к другу. Дальше из условия длина хорды √3 и радиус =1. Дальше рассчитаем соотношение сторон, выходит p=b/R Пифагор: b=√R^2-(√3/2)^2=0.5R p=0.5 Я думаю это правильный метод расчета вероятности.. Изменено 15.01.2024. Пишите Ваши мысли, по критикуйте...)
Вот ещё аналогичное решение: хорда или меньше стороны, или больше. Будем выбирать случайную хорду, подбрасывая монетку - орёл большая, решка маленькая. Как и в вашем методе, вероятность 1/2.
Пусть переменная X равномерно распределенна на отрезке от 0 до 1. Пусть теперь мы геометрически делаем отображение отрезка в другой через функцию Y=function(X). При этом Y тоже будет распределен от 0 до 1. Если теперь относительно X мы точно знаем все ее вероятностные характеристики, то вот аналогичные характеристики Y будут впрямую зависеть от вида функции function(). Для любого математика и даже обывателя это не кажется удивительным, а наоборот логичным. Но тогда, если это логично, то почему же в случае Бертрановского примера это будет парадокс??))) В чем по большому счету Бертрановский "парадокс" отличается от примера который я привел? Да по сути ничем, разве что в моем случае все происходит на линии, а пример Бертрана на плоскости. Иными словами, когда мы в моем примере делаем какие то предположения относительно X мы берем в расчет заявленное ее свойство равномерности распределения от 0 до 1. Но когда мы переводим X в Y - последняя уже не имеет этого же равномерного распределения и чтобы что то утверждать относительно Y нам необходимо разобраться с функцией перевода X в Y. Вот также и у Бертрановской задачи. Во всех 3х решениях под равномерно распределенной величиной мы полагали некоторую (назовем ее как X - во всех 3х примерах она разная но это не важно, главное что эта X равномерно распределенная величина в некоторой системе координат), а потом искали вероятностные характеристики совершенно другой величины Y в другой системе координат. В каждом из 3х примеров Бертрана величину Y и Х связывает некоторая своя функция. Естественно что раз функции разные, то и характеристики Y будут разные. Короче. Не увидел в этом парадоксе собственно самого парадокса... )) Но лишь самую что ни на есть обыкновенность...
Чтобы сразу отсечь возражения что типа как же так, ведь все вроде происходит в одной и той же якобы системе координат - евклидовой плоскости, а я тут утверждаю что некая X которая равномерно распределена определена в одной системе координат, а мы находим характеристики Y - в другой. На самом деле оно так и есть - у X и Y разные системы. Например в 1м варианте, когда мы выбирали случайно точку на окружности, мы по сути равномерно распределенной величиной полагали угол в полярной системе. Во 2м варианте равномерно распределенной величиной был отступ от центра окружности и т.д. При этом во всех 3х вариантах результирующей переменной Y была одна и таже переменная в одной и той же системе.
А у меня такой вариант решения. Решаем в 2 этапа: 1. На радиус бросаем точку с равномерным распределением - это будет центр хорды. 2. Выбираем случайно угол пересечения хорды и радиуса от 0° до 90° с дискретностью в 1°
4:00 я решил похожим образом: Сторона треугольника отделяет дугу 120°, хорда максимум 180°(если диаметр), 180°-120°=60° это диапазон подходящих хорд, 60°/180°=⅓ это подходящие на общие
Я бы представил окружность как множество из бесконечного количества точек. Тогда для любой точки на окружности существует три точки вершин равностороннего треугольника, делящего эту окружность на 3 равные дуги. Для того, чтобы дуги действительно составляли именно 1/3 всего множества, отнесём к каждой дуге одну из вершин. Тогда, среди вариантов второй точки хорды, которые нас точно не устраивают будут: 1) точка, относящаяся к "подходящей" трети, её шанс выпадения 1/inf 2) точка, являющаяся началом хорды, потому что хорды тогда вообще не случится, но этот вариант мы учитывать не будем, т.к. он не создаёт хорд, а значит не относится к множеству всех возможных хорд 3) в остальных случаях нам не подойдут 2/3 всех точек Т.к. мы перебираем все возможные варианты начала и конца хорды, такой вариант должен покрыть все возможные варианты хорд, и, по-идее, должен быть наиболее правильным. Тогда вероятность нужной нам хорды 1/3 - 1/inf (можно дополнительно уточнить, что в итоговом ответе бесконечность на 1 точку меньше, чем множество всех точек окружности, т.к. нам не интересны пары, где "хорда" начинается и заканчивается в одной точке)
Можно свести условие к следующему: какова вероятность того, что хорда опирается на вписанный в окружность угол, градусная мера которого от 60⁰ до 120⁰ (по теореме синусов). тогда выполняется инвариантность тк не создаётся никакого иного условия, ответ 1/3
я бы считал отталкиваясь от определения хорды, надо две случайные точки на окружности, но тогда не совсем ясно что делать с симетрией, считать ли повороты и отражения в капилку положительных исходов. ) можно начать с дискретности, разбви круг на 360 точек и далее уйти в итрегральное исчесление и бесконечно малые. и там уже сравнивать лимиты
Мне нравится способ с вероятностью 1/3, ведь он определенно точно учитывает все многообразие хорд. А два других перегружены доп условиями типа точка делит хорду пополам.
Самое точное будет брать 2 случайные точки на окружности, а потом из множества исключить нулевые хорды (когда точки совпали) и повторные хорды из-за перемены точек местами. Но если считать, что уникальность хорды зависит и от направления проведения, то повторы - не исключать.
@@ДенисКермач-щ5я Почему же? 1-я точка ведь может быть где угодно на окружности (окружность же не имеет начала и конца). И не влияет на вероятность. Затем берется случайная 2-я точка и считается вероятность того, что расстояние между ними (длина хорды) будет соответствовать условию. Так что обе точки выбраны случайно.
@@alexblack9542 вот если брать и вторую точку именно случайно, то будет верно, а если брать длину хорды случайной в диапазоне между 0 и диаметром, то это уже иной подход, хотя и кажется, что это одно и то же. Но нужно смоделировать оба способа и сравнить, чтобы точно быть уверенным.
@@ДенисКермач-щ5я Так в первом варианте вторая берется случайно, на окружности. Но хорда длиннее стороны треугольника, только если попадает в дальнюю треть окружности от 1-й точки. То-есть первоначален случайный выбор 2-й точки, и только после считается длина хорды.
Идея. Берем вписанный в единичный круг многоугольник с числом вершин N. Посчитать длины диагоналей в нем легко, соответственно, можно написать функцию, значением которой будет доля диагоналей длиной > корня из 3 в зависимости от N. Решаем предел при N -> бесконечности, получаем искомую вероятность.
я так вижу 1 Все прямые в принципе одинаковые 2 Все круги одного радиуса (скажем радиуса Один ) равноценные. Выберем конкретную прямую и рассмотрим все круги с которой она пересекается. Радиус задан как 1. Остается выбрать центр круга - НО ТАК ЧТОБЫ КРУГ ПЕРЕСЕКАЛСЯ С ЭТОЙ ПРЯМОЙ . Для этого достаточно чтобы расстояние между прямой и центром было Один или меньше одного. Из этих выбранных центров - ПОЛОВИНА будет на расстоянии Д от прямой , таком , что выполняется 0.5 < Д < 1. именно тогда хорда будет длиннее поставленного условия . То есть вероятность хорды быть длиннее условия - ровно половина от всего. Ответ номер 3 в видео верный .
У меня получилось вообще √3/π для единичной окружности. Рассуждал так. Начальной хордой берётся одна из сторон треугольника. Далее берутся все хорды идущие к противоположному углу. Они совместно формируют квадрат, где противоположна сторона квадрата сформирована хордой соединяющей вписанного треугольника, но у которого вершина внизу. Левее и правее этого квадрата хорды короче стороны. Диагональ квадрата равна диаметру окружности, то есть 2. Сторона √3 по "дано". Неизвестная сторона квадрата по теореме Пифагора равна 1. Площадь квадрата 1*√3 = √3, площадь круга равна π. Отношение получается √3/π . При этом ни одна хорда не пропускается.
Моё решение такое. Поскольку длина хорды от угла не зависит, решение можно рассматривать для хорд в одной плоскости. Заполняем половину круга хордами в одной плоскости (для примера в горизонтальной снизу до середины круга) с равномерным шагом, стремящимся к 0. Для другой половины круга условия те же, поэтому рассматриваем только одну половину. Теперь подставляем рисунок из видео.. Все хорды, лежащие ниже основания треугольника будут меньше, а хорды от основания треугольника, до центра круга больше. Соответственно правильный ответ - 1/2
Мой хороший друг сказал: "Математика Царица всех наук!!! И падчерица физики..." После, некоторые, из наших, перестали с ним общаться (но это не точно). Нужно применить физику = поставить эксперимент! Так мы получим приближенный ответ, и на его результатах сможем выбрать верный.
Физический эксперимент проводить в реальности необязательно. Достаточно провести его мысленно и тогда мы поймем что такое "случайная хорда" с точки зрения этого физического эксперимента. Ибо все 3 решения задачи основаны на подмене понятия случайной хорды понятиями других случайных величин на основании которых строится хорда, и равномерное распределение этих величин на самом деле не дает равномерного распределения соответствующих им хорд, кроме последнего случая, когда мы получаем 1/2 в качестве решения задачи.
@@glukmaker не согласен. При построении хорды способом №3 мы берем равномерное распределение точек на РАДИУСЕ. Но если их спроецировать (перпендикулярами) на круг, то окажется, что точки проекций на кругу будут располагаться неравномерно (плотность увеличивается по мере приближения к краю радиуса). А определение хорды привязано к первоначальному выбору точек НА ОКРУЖНОСТИ, плотность которой равномерная. №2,3 - подменили определение хорды.
@@Rizomus Математика в чистом виде - никому не нужная абстракция и лишь в приложении к действительности осознаётся её бесконечный потенциал. Сферический молоток в вакууме "нафик" ни кому не нужен, но попробуй без него построить дом ))
@@Rizomus именно так. Падчерица без мачехи разъезжает с принцами по балам, а мачеха без падчерицы теряет рабочую силу, которую можно использовать (аллюзия с Золушкой).
Могу предложить ещё одно решение этой задачи. Предположим, что у нас круг радиуса 1, и что в него вписан единственный треугольник. Сторона которого будет тогда корень из трёх. Так как хорд в любом случае бесконечное количество, то можно все же попробовать оценить площади, занимаемые хордами, которые больше стороны треугольника, и которые меньше этой же стороны. Площадь всего круга равна пи эр квадрат, в нашем случае примерно 3,14. Площадь треугольника равна корень из трёх умножить на полтора и разделить на 2, примерно 1,3. Площадь оставшейся части круга равна 3,14-1,3=1,84. Площадь трети от этой площади равна примерно 0,61. Возьмём любую вершину треугольника и начнём проводить из неё хорды. Хорды меньшего размера займут две трети свободной от треугольника части круга, то есть, 2/3*1,84=1,22 Хорды большего размера займут остальную площадь, то есть 1,92. Повторим операцию с двумя другими оставшимися вершинами треугольника. Все площади, соответственно, утроятся. Итого площадь, занимаемая всеми маленькими хордами будет равна 3,66, а всеми большими будет равна 5,76. То, что эти площади больше площади круга, нас не должно беспокоить. Так как нам важно только их соотношение друг с другом. А вместе они составляют 100 процентов. Получается, что площадь, занятая большими хордами, составляет примерно 61 процент от всей площади. Соответственно, площадь, занятая маленькими хордами составляет 39 процентов. Соответственно, вероятность, что произвольная хорда будет большой или маленькой, тоже будет составлять эти же проценты. И это верно для любого единственного треугольника, вписанного в этот круг. А если у нас какая-то хорда оказалась исходящей не из вершины этого треугольника, то мы тогда рассматриваем её, как исходящую из вершины другого такого же треугольника, коих бесконечное множество. Но относительно любого другого треугольника соотношение площадей, занимаемых большими и маленькими хордами, будет таким же.
Не понимаю при чем здесь распределение хорд, если мы возьмём все возможные хорды (бесконечность), то они полностью заполнят круг, о каком их распределении тогда может идти речь...
Зачем выбирать способ построения хорд? Они все расположены СЛУЧАЙНО; те, что удовлетворяют неравенству l > a обязательно пересекают ПЛОЩАДЬ вписанного круга. Отношение площади вписанного к общей площади описанного круга и является искомым ответом: π*r² = π*a²/12; π*R² = π*a²/3; (π*a²/12) / ( π*a²/3) = 1/4. Можно и от противного: какова вероятность что l < a? Тогда все хорды должны лежать исключительно на площади кольца; π*(R² - r²)=π*a²/4; (π*a²/4)/(π*a²/3) =3/4.😛
3 вариант, он соответствует безразличным случайным способом расположенных в двухмерном пространстве прямой и кругу с отсевом тех их пар, что не пересекаются.
@@cottoncat3700 ессесно. первые два - частные случаи последнего. в чем парардокс-то? скажу больше, наверное есть еще лучше вариант заполнения хордами, где 1/2 стнет частным случаем. если проще, то результат станет еще точнее. давайте нобелевку епте.
Численный эксперимент на компе в постановке задачи как на 03:00 в ролике, без всяких доп. ухищрений (кроме проверки хорд на дубли), показывает "в точности" 1/3 :)
Задача изначально то как раз и сформулирована правильно ! Для начала всем придется согласится с тем, что круг вращается вокруг оси, кторая проходит через его центр (для стимуляции вашего воображения и как следствие визуализации) * В методе решения с 1/4 ошибка, так как это посчитано только для хорд у которых есть точка, что входит в множество точек вписанного круга и не учтены те хорды, что пройдут по касательной этого маленького круга, но все еще будут больше длины стороны треугольника, и те что пройдут параллельно такой касательной с шагом до момента когда поровняются с заданной длинной стороны треуг., в точке 1/2 радиуса, который проведен от центра круга через точку пересечения касательной на малом круге. * Метод расчета с ответом 1/3 также неверен для первоначальной задачи, так как он определяет лишь вероятность для фиксированного положения вписанного трехугольника, а множеста (ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ) , которые возникнут при его вращении вокруг оси центра большого круга, игнорируются. * Нарешти метод третий : 1/2 в данном случае не вероятность, а просто условно видимое разделение области анализирования по радиусу. Теперь внимательно, самое интересное: Ранее мы уже представили, что все это вращается, а теперь, пускай, 5:47 это видимый стоп кадр. Что мы здесь видим. Радиус в точке пересечения со стороной треугольника делит, условно, область внутри круга на ту, в которой как бы мы не провели хорду, она 100% выходит длиннее стороны ""а", и на ту область, в которой лишь ОДНО множество хорд, проведенных параллельно этой стороне треугольника ну и перепендик. радиусу, иссессина, которые будут уменьшаться в конечном итоге до размеров точки на длине большого круга, образуя условно сегмент круга. ОСТАЛЬНЫЕ ЛЮБЫЕ попытки провести хорды через току на радиусе будут давать множество хорд , БОЛЬШИХ длины ""а"", вплоть до диаметра большо круга и обратно. Тоесть нужно соотносить всю площадь круга и площадь того сектора, которій будет образовываться каждый раз, кода случайным образом проведенная хорда пройдет в той области радиуса, где перпендикулярная сторона треугольника при движении-приближении к линии большой окружности будет уменьшаться от "а" до 0. Отож малята : Считаем по формуле площадь сектора данного конкретно круга ( у нас же это выходит 1.227308) делим ее на площадь всего круга (большого) тоесть на пи (3.14, так как радиус у нас 1 , напоминаю) и полученое значение отнимаем от 1. Відповідь : 0.609... ~ 0.61 * Вероятность, в моем понимании, это не количественное значение, а пространственно наполнятельное что ли распределение того или другого, тех или иных шняжек, выреженное в конечном итоге в виде цифры, которые тоже нами же условно как бы приняты, тобта в итоге это все го лишь конкретно видимо-обозримо-хотьшотопощупательная форма визуал осознавания того пространства бога , в котором мы все едим, какаем, пукаем и т.д.
Можно провести простой эксперимент. Разделить окружность на очень большое количество частей (скажем, не меньше сотни). Случайная хорда определяется на мой взгляд случайным положением ОБОИХ ее концов. Соответственно нужно сделать ДВА комплекта бумажек с номерами от 1 до 100 (по количеству предполагаемых участков окружности). Затем смешать оба эти комплекта и слепым способом вытаскивать попарно эти бумажки и строить по этим номерам хорды. Если проделать такую процедуру раз двадцать-тридцать, то можно будет более-менее точно просто на основании статистики далать выводы о предполагаемой вероятности
Я вот подумал. Если хорда выбирается случайно, то и случайно выбирается еë длина в пределах (0;2R]. Длина стороны вписанного треугольника √3R. И получается длина хорды должна быть (√3R;2R]. То есть вероятность - это отношение длин двух интервалов: (2-√3)/2=1-√3/2
@@badcatprod сравнивать количество хорд немного бессмысленно, ведь их бесконечное, несчëтное множество. А сравнить 2 бесконечных, несчëтных множества нельзя
Согласно известной теореме, через любую точку круга можно провести ровно одну хорду, центром которой эта точка является. Таким образом, можно считать, что любая точка круга идентифицирует ровно одну хорду из всего множества хорд, а все точки круга - полное множество хорд. Далее из простой геометрии следует, что иметь длину больше стороны вписанного треугольника могут только те хорды, центр которых лежит внутри вписанной в треугольник окружности. Радиус этой окружности - 1/2*R, отношение ограниченной ей площади к площади всего круга - (1/2)**2 = 1/4. Решение не выглядит сложным))
В данном случае, задача сводится к способу выбрать две точки на окружности, такие что хорда между ними будет больше заданной длины; и сравнить количество случаев удовлетворяющих условию к общему количеству случаев выбрать две точки на окружности данным конкретным способом. Вот только способов выбрать две точки на окружности не один, не два и даже не три. Например, можно поместить нашу окружность в окружность вдвое большего радиуса так, чтобы они касались общей точкой. Провести хорду из точки касания в произвольную точку большей окружности. Если часть этой хорды окажется хородой меньшей окружности удовлетворяющей условию, значит данная точка нам подходит. Соотношение длины дуги большой окружности дающую все такие хорды к длине дуг, дающих хорды просто пересекающие мелкую окружность и будет ещё одним ответом. Только важно учитывать только те варианты, которые дают хоть какую-нибудь хорду на мелкой окружности. А если взять другой радиус большей окружности или выбрать другое положение точки касания, то и ответ, скорее всего, будет другим. Есть ещё вариант: Можно вписать нашу окружность в равносторонний треугольник. Тогда часть прямой из одной его вершины в произвольную точку противоположной стороны определит хорду в нашей окружении. Тогда линии соединяющие все точки этой страны с указанной вершиной ометают всю площадь треугольника, а заодно и всю площадь вписанной в него окружности, а значит дают и все возможные длины ее хорд. Вот и сравните отрезки стороны треугольника дающие нужные хорды с полной длинной его стороны. Ещё, как вариант, можно провести линию, соединяющую две стороны нашего описанного треугольника параллельную третьей стороне. Тогда все такие линии будут ометать полную площадь треугольника, а значит и вписанной в него окружность; а конкретную такую линию можно задать точкой ее пересечения с высотой или боковой стороной. Я убежден, что способов выбрать две точки на окружности - бесконечное множество. Думаю, у меня не получится привести здесь строгое доказательство данного утверждения, однако, я могу привести вот такой пример: Впишем нашу окружность в квадрат. Проведём в квадрате линию параллельную одной из его сторон, соединяющую две другие. А теперь, между сторонами квадрата которые параллельны нашей вспомогательной линии, от произвольных точек этих сторон, проведем другую линию, на этот раз криволинейную, произвольной формы. Теперь, скажем что положение нашей вспомогательной линии внутри квадрата определяет точка её пересечения с нашей произвольной кривой. Главное, чтобы каждому положению вспомогательной линии соответствовала лишь одна точка пересечения с кривой. Все положения вспомогательной линии ометают всю площадь квадрата, а также вписанной в него окружности, а значит определяют и все длины ее хорд. А так как наша произвольная кривая может быть почти любой формы, то и соотношение длины удовлетворяющего отрезка кривой с ее общей длинной тоже может быть любым. Что и даёт нам любое соотношение вероятности "выбрать то что нужно" к вероятности "выбрать хоть что-то". Как-то так.
@@bomuva если координата задается 64-битным числом, то точка 128-битной комбинацией. Когда погаснет солнце может к тому времени и произойдет такое, что две комбинации полностью совпадут... и тут же отсекутся простой проверкой.
Размещаем круг на прямоугольнике площадь которого гораздо больше. Выбираем в прямоугольнике пары случайных точек - и проводим через них линии. Если линия пересекла круг - она попадает в наши дальнейшие расчеты. Тогда мы берем хорду ей образованную - и смотрим длиннее она стороны треугольника или нет. Подсчитав отношение - получаем вероятность. При отношении площадей этого прямоугольника к кругу стремящемся к бесконечности - получаем настоящую вероятность по задаче ;)
Виталий, как заметили комментаторы в своих комментариях, звук действительно очень тихий. В дальнейшем контролируй уровень громкости. Что же касается ответа на парадокс Бертрана, то на вопрос, какой ответ правильный без ограничения условий на расположение хорды, неоднозначен. Нет и не может быть однозначного ответа. Это хорошо видно на трёх примерах. Когда-то учил в вузе математику, в том числе и Теорию вероятность по учебнику Елены Сергеевны Вентцель, но это было давно. А так, абстрагируясь от парадокса Бертрана, спасибо тебе за публикации и стремление приобщить людей, особенно молодых, к математике. *Моё уважение и лайк* 👍❤
Есть похожая проблема с которой я как то столкнулся, когда нужно было смоделировать случайные точки которые попадают на круг. Все зависело как раз от способа выбора этих случайных координат точек. 1) Если выбирать случайные х и у в описанном квадрате, что первое и пришло в голову и просто отсекать точки не попавшие в круг. Если точка не попадала в круг мы просто выбираем следующую и так пока не попадем. На самом деле вероятность что несколько точек подряд не попадут в круг спустя 3-4 попытки довольно низкая. И обычно пары попыток пересчета хватает. Но выглядит немного костыльно). 2) Позже мне подсказали перейти к полярным координатам. И уже выбор точки был r-радиус ( от 0 до 1) и а-угол ( от 0 до 2pi). Ну и координаты соответственно были х=r*cos(a) и у=r*sin(a). Но вот незадача, при достаточно большой выборке точки в центре были плотнее. Что тоже не очень. 3) Если данный алгоритм модифицировать для более равномерного распределения, то вместо r нужно выбрать квадратный корень из числа. И вот есть уже 3 метод. который более не менее удовлетворяет. 4) Есть еще один способ который я не применял, но он есть. Это выбирать на круге сектор, с довольно маленьким углом, который в приближении можно принять за треугольник и потом выбирать случайную точку уже в нем. Повторюсь, в данном видео эта проблема тоже присутствует - это неоднозначность выбора случайных величин, которые приводят к разным результатам. Рассмотрим например 3 вариант из видео: мы выбираем точку на радиусе, как в моем 2 варианте по сути. Если мы выбрали точку, то мы как бы выбрали целое кольцо и если мы нарисуем несколько колец разных радиусов с одинаковым количеством точек на них, то наглядно будет видно, что в кольцах малого радиуса точки плотнее чем на кольцах с бОльшим радиусом. И как следствие распределение этих точек тоже будет не совсем равномерным. А значит и сама вероятность будет не совсем правильной. Т.к. в условии задачи про способ выбора точек не слова, то получается что задача не совсем корректна или неполна.
Это меня натолкнуло, на некоторые мысли. То есть достижение какого либо результата (условно успеха, удачи) зависит не только от количества попыток. Но и от количества условий в которых эти попытки совершаются. Где попытки-это точки проходящего внутри круга отрезка. Совпадение длины отрезка со стороной треугольника-это удача. А площадь круга-это условия в которых совершаются попытки. Аналогии: 1-я Если написать 100 сообщений, в которых попросить 100 человек- скинуть тебе 10 долларов в твоем городе. Вероятность успеха ниже- чем если ты напишешь 100 сообщений с этой просьбой в 100 населенных пунктов твоей страны. И соответственно, вероятность еще выше, если ты напишешь это сообщение в города 100 стран. Конечно это без учета специфики уровня жизни граждан этих стран. И культурных особенностей. То же можно применить и к поиску потенциальной партнерши для брака. Поиску более высокого заработка в твоей профессии и т.д. Но это не точно....
По моему, задача сформулирована исключительно точно и полно. Трудность вижу в подсчете одинаковых ситуаций ( две разные точки дают два одинаковых варианта хорды ) . А так же то, что точки , расположенные на разном расстоянии от центра - дают разную вероятность хорды ( например точки ближе к центру - будут всегда выдавать бОльшие хорды , а маленьких хорд вообще не выдавать , а точки , расположенные на переферии - будут уже иметь ( бОльшую ) вероятность маленьких хорд.
Нет. Вероятность зависит от способа выбора хорд, а способ выбора не указан. Задача сформулирована неполно. Множества длинных и коротких хорд бесконечны, и можно подобрать закон выбора, дающий заранее заданную вероятность. А если не указывать закон выбора, то вопрос - а можно ли это сделать? Аксиома выбора в чистом виде.
Я думаю нужно исходить из понятия хорды- это линия пересекающая окружность в 2 точках. Следовательно нужно исходить от вероятностей координат точек, и не придумывать способ проведения хорды (этого нет в условии задачи). Первая точка может быть где угодно и не важна ее координата. А координата 2 точки влияет на вероятность, и если она находится в секторе 1/3 дуги напротив 1 точки, то длина хорды больше корня из 3. Так что 1 ответ верный, остальные не соответствуют условию задачи.
В самом начале, когда идёт иллюстрация вероятностей с помощью монетки и кубика, пропущено существенное уточнение: события должны быть РАВНОВЕРОЯТНЫ. Теперь вопрос: какие варианты выбора хорд можно считать равновероятными? Например, в первом случае вероятность выбрать хорду малой длины существенно меньше вероятности выбрать хорду средней длины (точек, расположенных близко к первой фиксированной точке, существенно меньше точек, расположенных на "средней" дистанции). Т.е. здесь равновероятность выбора точки на длине окружности приводит к разной вероятности выбора длин хорд - график плотности вероятности от длины хорды будет колоколообразным. В третьем случае равновероятными считаются события выбора точки на радиусе. При этом, вероятность выбора разных длин хорд здесь существенно более ровная (влияет только кривизна окружности).
С хордами разница в плотности вероятности. Что-то подобное считал тоже двумя разными способами. В одном случае я брал интеграл по дуге (то есть угол от -pi до pi), а в другом случае я брал формулу окружности и брал интеграл от -r до r. Результаты были разные. Как я понял, потому что во втором случае распределение по дуге не равномерное.
визуально задача похожа на попытку случайно заполнить круг точками (если делать это графическим алгоритмом по принципу rnd-угол + rnd-радиус - получим скопление точек в центре, если rnd-x + rnd-y в описанном квадрате с нормализацией радиуса - получим скопление в диагоналях) проблема заключается вобщем в том что площадь для нашего метода генерации это декартова размерность, а генерировать случайное число внутри непрямоугольной границы мы не то что бы тривиально можем (для этого вероятность выпадения первой координаты должна распределяться соразмерно циркулярной кривой и только второй может быть линейна но уже в ограниченном диапазоне). Простой способ это генерировать квадрат и отбрасывать неподходящие результаты. Поэтому если стремиться к равномерности заполнения случайными кривыми всей площади. То генерировать нужно не по точкам на окружности а по точкам всего круга. Это можно сделать через выбор случайных в описанном квадрате (исключая вышедшие за пределы) + rnd-угол наклона. Если аналитически то дальше это нужно проинтегрировать. В этом случае проще перейти к системе где угол наклона горизонтально фиксирован, а точка случайна. И собственно хорда длиннее там где она выше нижней границы нашего треугольника, (т.к. только там она длиннее стороны) но ниже соответствующей симметричной относительно круга позиции сверху. Иными словами половина основания на высоту дают 3/2 - высоты треугольника относительно 4/2 диаметра круга. т.е. нехватает 1/2 дважды, т.е. ровоно половины диаметра. Ответ 1/2
Любое условие определяет неравномерность распределения точек, через которые проходит хорда. Если окружность выпрямить на отрезок прямой в гильбертовом двумерном пространстве, и принят концы хорды равномерно распределенными, то расстояние между точками, большее корень из трёх на отрезке два пи единичной окружности равно корень из трёх разделить на два пи умножить на три так как считаем концы не на одном отрезке но и на соседних равно корень из трёх делить на пи это при равномерном распределении концов хорд по окружности
Первое о чем подумал. Я бы хорду выбирал так: конец хорды - в нижней точке окружности, а выбор хорды определялся бы углом (от 0 до пи), который она образует с горизонтальной осью. Равномерность распределения была бы "вшита" в этот угол.
Если совместить все варианты, то получается, что благоприятный исход зависит от того, находятся ли все точки хорды в "благоприятной" площади. А благоприятная площадь в данном случае - 0,757746515 от общей площади круга. Это собственно и ответ. Тут же возникает вопрос в том, что варианты с заданием хорды через 1 или 2 точки не верны - случайно задаются все точки хорды (общее кол-во безусловно стремится к бесконечности, поэтому варианты с заданными точками и абсолютно не верны). Однако есть ещё один удобный вариант, если мы не будем брать само положение хорды на круге, а возьмём лишь параметр хорды, то хорда может быть длинной от 0 до 2 единиц. При случайном распределении появления хорд, её длина тоже будет иметь случайное распределение. Соответственно нам нужны длины более корня из 2-х, а это будет встречаться в 0,292893219 случаев. Ах ты ж.... какие разные варианты.
1 выбираем две точки на окружности случайным образом 2 расстояние между точками длина хорды по самой сути определения хорды. 3 есть распределение для точки случайной точки на окружности. 4 сопочтавив 2 распределения получаем распределение для длины отрезка между точками 5 сравниваем с эталоном и получаем ответ. П.С. Интуитивно догадываюсь, что в ответе есть Золотое Сечение. Примерно 3/5
Да, главная проблема - неточность условия. Это всё-равно, что спросить: какова вероятность того, что количество яблок в корзине будет больше 10. И конечно надо понимать, что линия - нулевая толщина, поэтому в любой площади уместится бесконечное количество хорд, как в области большей, так и меньшей вмещающей сторону треугольника. Отсюда вопрос задачи можно переформулировать как: каково отношение одной бесконечности к другой. Для исключения бесконечностей необходима "дискретизация", установление толщины полосы вместо линии, тогда и "линий" для определенной точности расчета достаточно будет определенное количество. А правильный ответ 1/4. Тот же треугольник для получения всевозможных хорд надо вращать, и так получаем внутренний круг в котором благоприятные хорды. И если дополнить условие задачи максимальным количеством хорд, то вероятность естественно снижается до 1/4.
Похоже, я нашёл адекватное решение этой задачи. Я подумал, что искомая вероятность должна быть отношением средней длины хорды к стороне треугольника. Вопрос: как вычислить среднюю длину хорды? Ну, это среднее арифметическое сумм длин всех хорд. Из соображений симметрии достаточно рассмотреть только параллельные хорды. (Остальные получатся поворотом этих рассмотренных хорд на определённый произвольный угол, одинаковый для всех, что будет линейно увеличивать сумму длин на ту же величину и линейно же уменьшать её среднеарифметическое, что в итоге в точности скомпенсирует результат. Даже если итерировать по Δφ и устремить его к нулю.) Из тех же соображений симметрии можно ограничиться только четвертью окружности, рассматривая центральные углы от 0 до π/2 и половины получающихся хорд. В итоге всё сводится к нахождению суммы sin((πk)/(2n))/n для всех k=[0...n], что есть сумма длин ординат углов, делённых на шаг итерирования (который равен 1/n), а n суть количество отрезков разбиения, если принять радиус окружности равным 1, что даст приблизительное значение. В заключение же следует устремить шаг к нулю, а значит n к бесконечности, и найти этот предел. Wolfram выдает результат, равный 2/π: попробуйте формулу Limit[Sum[sin(πk/(2n))/n,{k,0,n}],n->∞] и проверьте сами. Длина же стороны правильного треугольника в окружности диаметром 1 равна √3/2. Но это диаметром, а у нас радиус, поэтому √3/2 у нас будет длина половины стороны треугольника. Осталось вычислить отношение 2/π к √3/2 и получить окончательно 4/(π√3) ≈ 73,5% Именно таков процент хорд, длиннее стороны треугольника.
Вероятность или 1/3 или 1/2. 1/4 можно, я думаю отбросить, так как через произвольную точку внутри большого или малого круга нужно проводить хорду одну так, чтобы точка была ее центром. Т.е. через бесконечное количество точек (к слову, бесконечность континуальная) за пределами малого круга мы проводим одну хорду, внутри малого круга мы также через бесконечное множество точек проводим одну хорду. Но есть одна точка внутри малого круга, через которую мы можем провести бесконечное (континуальное) множество хорд по этому правилу - это точка центра. Получается так, что у нас континуальное количество точек с одной хордой за пределами малого круга, континуальное количество точек с одной хордой внутри малого круга и одна точка внутри малого круга с континуальным количеством хорд. По сути с решением 1/4 можно было бы согласится, если бы не эта точка центра. НО, тут еще можно заметить, что мы имеем дело с непрерывным распределением (поэтому и точек континуально много), а значит вероятность попасть в одну какую-то конкретную точку равна нулю. Т.е. в центр мы не попадем никогда, а значит, если проводить хорду по этому правилу, что эта точка будет центром хорды, то да, вероятность будет 1/4. Вот только с таким ограничением на построение хорд я не согласен. И если оградиться от этого ограничения, то, возможно, вероятность будет 1/2. Постараюсь объяснить. Если мы возьмем эти два круга - основной большой и малый вписанный в треугольник наш, то за пределами малого круга через произвольную точку проходит точно как минимум одна хорда (для которой эта точка - середина), которая короче длины стороны треугольника. Но если мы откажемся от построения хорды через эту точку, как середины хорды, то получается что через такую точку можно провести еще несколько таких хорд. Сколько? Если точка не лежит на окружности меньшего круга, то бесконечно много. Для таких хорд будет можно сказать "коридор" значений, когда они еще не пересекают малый круг. А раз есть этот "коридор", и учитывая, что даже маленький "коридор" бесконечен континуально, то таких хорд, которые мы можем провести через точку вне малого круга, и которые не будут пересекать этот малый круг будет континуально много. С другой стороны, если точка лежит внутри малого круга, то там вообще не важно, какую хорду мы через нее проведем - любая хорда будет больше длины стороны реугольника, а значит таких хорд тоже континуально много. Получается, что если убрать условие, что проводить можно хорду только так, что точка - это ее середина, то отношение площадей малого и большого круга нас уже не интересует. Так как мы начинаем сравнивать уже просто два континуума (за пределами малого круга и внутри него). А учитывая, что это одна и та же мощность двух множеств точек (и хорд), то с этой точки зрения абсолютно не важно будет ли точка внутри малого круга или за его пределами - и там и там таких точек континуум (и более того, для любой одной такой точки можно построить количество хорд тоже континуум). Т.е. мы просто сравниваем два континуума, два равномощных множества. Логически это означает, что вероятность 1/2 (что длиннее может быть, что короче). Ну а то, что она может быть 1/3, тут я предлагаю похожий способ как в видео. Представьте, что вы поставили одну точку хорды на окружности, это произошло случайно естественно, с равномерным распределением (т.е. наша точка может быть в любой точке окружности). Чтобы провести хорду нужно поставить вторую другую точку (также случайно), и тут возможны следующие варианты относительно первой - если она будет на дуге лежать так, что будет ближе, чем треть окружности (в любом из направлений), то хорда будет меньше длины стороны треугольника (три стороны треугольника как раз и смотрят на эти дуги, которые составляют треть окружности). Так как таких направлений два, то мы можем говорить о двух таких дугах и, соответственно о двух третях окружности. Соответственно, чтобы вторая точка относительно первой была расположена так, чтобы хора была длинной, ей необходимо преодолеть расстояние в 2/3 от длины окружности (либо 1/3 по часовой, либо 1/3 против часовой). А значит у второй такой точки есть только 1/3 длины окружности, т.о. и вероятность для второй точки будет 1/3. У первой точки хорды, кстати, вероятности вообще нет (ну или она нулевая, или, еще точнее, нам не принципиально где точка будет поставлена), главное это вероятность нахождения второй точки хорды на окружности относительно первой. Вот и думайте, какая вероятность тут уместнее - геометрическая по двум точкам и равная 1/3. Или вот такая логическо-множественная, немного мудреная, и равная 1/2.
Правильный ответ 1/4 тк случайную хорду в круге можно выразить через одну точку, в ответе 1/2 случайная хорда выражено только половиной таких точек, тк круг двухмерный, а в результате 1/3 если посмотреть на все получившиеся хорды, взятые к примеру через каждый градус, то длинных будет больше , хотя их должно быть равное количество. ну и на последок рисунок с 1/4 похож на клубок, что подразумевает реальное отражение задачи
Эту задачу можно свести к вопросу о количестве чисел расположенных на 2 любых интервалах, т.к. мы можем построить бесконечное количество хорд больших "а" и бесконечное количество хорд меньших "а"...здесь вообще не важно какие интервалы будут взяты, количество чисел которые можно распределить на обоих интервалах не будет отличаться, т.к. нет ограничений, другими словами распределение чисел будет 50/50. Поэтому правильный ответ 1/2.
Каждый ответ верен для своего способа "случайного" построения хорды. Не проверял, но уверен что компьютерная модель будет выдавать рассчитанный этими способами результат, в зависимости от выбранного правила "случайного" построения хорды.
ну ответов то можно придумать бесконечное количество, а правильный будет только один - 1/3. первый способ применим к окружности с конечным количеством вершин, остальное - делят бесконечности и получают хрен знает что.
Правильный ответ: 1\2. Все варианты, где хорды образуются вращением вокруг какого-либо центра - не верны, т.к. не известен шаг вращения. Правильно сосчитать все хорды можно лишь при плоско-параллельном перемешении прямой перпендикулярной диаметру. Так вот первые и последние пол-радиуса хорда будет меньше стороны треугольника, а остальное расстояние равное радиусу - больше. В итоге будут перебраны все возможные хорды и больше и меньше стороны треугольника они будет на равных отрезках диаметра. Что не понятно?
Если представить хорду как основание равнобедренного треугольника с вершиной в центре и углом γ, тогда для единичной окружности вероятность l>√3 можно записать как 2sin(γ/2)>√3, где γ случайный угол от 0 до π. Решив уравнение 2sin(γ/2)=√3 найдем угол γ=π2/3. То есть 1/3 всех углов будет удовлетворять начальному условию
Одно смущает (не в Вашем решение, а вообще): если выбирать случайно одну точку и случайно другую, получится что γ=α-β - "сумма" двух равномерно распределенных величин - имеет НЕравномерное распределение, т.е. 1/3 уже никак не получится. Т.е. есть разница между "тыкаем точку вверху и выбираем второй конец на окружности" и "тыкаем точку где угодно и тыкаем вторую где угодно" или я какой-то прикол в разности углов не учел?
Да, зря смущало, прикол в том что хоть α-β распределена неравномерно (в диапазоне -2π...2π, при α=0..2π, β=0..2π), но вот γ=|α-β| - уже равномерно (в диапазоне 0..2π). Короче, без разницы, случайно первую точку выбирать или вверху ставить.
Задача сформулирована точно! Что значит случайная хорда - отрезок, соединяющий две случайно выбранные точки на окружности, и не более!!! На мой взгляд, вероятность случайно выбрать хорду длиннее заданного значения равна вероятности выбора точки на окружности, удаленной от случайно выбранной другой точки на окружности на заданное расстояние, которая из первого равна 1/3...
Какой же это парадокс, там всё просто расчитывается, надо только корректно взять все возможные хорды и найти сколько среди них больше стороны треугольника. Я даже програмку написал, которая это считает. Правильный ответ 0.5, т.е. 1/2. В программе я ограничил окружность 628 точками, но чем точек больше, тем точнее результат, идеальная окружность состоит из бесконечного числа точек, но в программу такое не забьёшь. Кому интересно, вот програмка: ``` #include #include #include int main() { const std::size_t n = 628; // количество вершин в многоугольнике const std::size_t R = 100; // радиус описанной окружности const double alpha = 2.0 * M_PI / n; // угол между соседними вершинами std::size_t a = 0; std::size_t b = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { double x1 = R * std::cos(alpha * i); double y1 = R * std::sin(alpha * i); for (int j = i + 1; j < n; ++j) { double x2 = R * std::cos(alpha * j); double y2 = R * std::sin(alpha * j); double length = std::sqrt((x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1)); if (length > 173.20508) { a++; } else { b++; } } } std::cout
Второе решение должно было привести к 1/2, так как к 1/4 приводит ответ если добавить дополнительные условия задачи, я согласен что площадь вписанного круга 1/4, но ведь мы не выбираем случайную точку, мы выбираем случайную хорду, а значит достаточно чтобы хорда пересекала Радиус вписанного круга, а так как радиус вписанного круга 1/2, то соответственно и вероятность будет 1/2.
да... или длиннее или короче))) тут как поведет. вероятность это всегда 50-50 а вот каково соотношение вероятностей длинной к короткой это другой вопрос))) 1/2 100%
Эта задача имеет интересные физические реализации. Если рассмотреть датчик счётчика Гейгера, который представляет собой трубку, заполненную разреженным газом, в которой пролёт частицы фиксируется по акту ионизации газа частицей (а появление иона регистрируется уже по импульсу тока: первичный ион в высоком напряжении->лавинный микроразряд вторичной ионизации->заметный импульс тока). Понятно, что вероятность того, что пролетающая частица "зацепила" молекулу газа, среди всего прочего оказывается пропорциональной длине пути частицы в трубке. Или, несколько упрощая: ионизация происходит, если длина траектории больше некоторой критической для этого датчика длины. Таким образом приходим к вопросу, какова вероятность того, что длина траектории больше некоторой величины.
Если рассматривать плоский вариант задачи и потребовать, чтобы критическая длина была равна длине стороны вписанного в сечение датчика правильного треугольника, получаем в точности задачу Бертрана: есть частицы. "случайно" пролетающие сквозь датчик, и нужно узнать, какая их часть будет зарегистрирована. (Счётчик Гейгера работает чуть-чуть наоборот: знаем, сколько зарегистрировано - и по ним определяем, сколько было всего.)
То была преамбула, а теперь будет амбула.
Если радиоктивное вещество намазть на поверхность трубки (даже не обязательно равномерно!), то "случайность" траектории будет определяться углом вылета частицы с поверхности, и все направления равноправны. - Это первый случай, разобранный в ролике и дающий вероятность 1/3.
Если радиоктивное вещество равномерно заполняет внутренность трубки (напр., пропускаем радиоактиный газ) - то это случай с бросанием случайной точки на круг, и он даёт вероятность 1/4.
Если же имеем внешний поток частиц от удалённого источника (т.е. параллельный), то всё определится "прицельным расстоянием" - как далеко от центра трубки пролетит частица. (Сюда же попадает и суперпозиция параллельных потоков разного направления - напр., радиоктивное вещество размазано по стенам большой комнаты). Этой ситуации соотетствует третий случай - с его вероятностью 1/2.
Так что все три решения оказываются правильными - нужно только понимать, чтО они моделируют.
Dixi
То есть реально все три ответа правильные, и это даже не рофл. Круто ^^
Спасибо
Задачка с счётчиком Гейгера-Мюллера не всё так просто. Там действительно при ориентации на поток частиц меняется эффективность, но только от точечного источника, а с равномерным распределением, наверное, логичней выбрать, как вы и сказали, проекцию цилиндра в виде окружности. По этой причине диаметр окружности счётчика, как правило, много меньше длины. Однако стоит учесть энергию частицы, от которой сильно зависит эффективность, при том, что мы толком не знаем, что у нас I-131, Co-60 или вообще рентген.
@@MrRight_ept Спасибо за эти подробности, в реальном устройстве их наверняка нужно учитывать. Но речь шла о модельной ситуации, лежащей в основе процесса. Если разобрались с этим, то можем идти дальше и ловить "блох".
Вы меня пугаете. Значит этому гейгеру доверия нет!
Выбор хорды надо делать по её определению.
Хорда в планиметрии - отрезок прямой линии, соединяющей две точки окружности.
Т.е. из определения хорды и следует способ построения. Случайно берем 2 точки на окружности и меряем длину отрезка.В таком случае имеем ответ №1, или 1/3.
Если бы определение хорды было таким: хорда для окружности и точки в средине этой окружности - это отрезок прямой линии, центром которого является данная точка, а концы лежат на данной окружности. Тогда ответ 2.
То же самое с вариантом 3. Определение хорды привязано к перпендикулярности радиуса, чего изначально нет.
Кароч, тут уже написали, что три ответа моделируют три разные ситуации.
Так что, имеем не парадокс, а софизм, замаскированный под парадокс.
по факту первые два случая являются частным 3. есть рлдюбэ еще лучше варинты, который увеличат процент вероятности
Почему надо по определению хорды? По условию задачи нужно взять случайную хорду! То есть случайно из всего множества хорд а не построенных по определению как вы советуете !! А далее принцип безразличия, о нем в ролике вполне определенно сказано. Именно поэтому Пуанкаре и предпочитал 3-е решение ибо хорды там распределены более плотно и равномерно
Чтобы оценить соотношение благоприятных вариантов к общему количеству вариантов сначала нужно определить зависимости. Так по определению хорда - это отрезок соединяющий две точки , лежащие на окружности. Чтобы построить все возможные хорды данной окружности, зафиксируем первую точку в произвольной точке О окружности и будем второй двигаться по окружности против часовой стрелки. Таким образом, за один полный оборот получили множество хорд из одной точки, зависящих от длины окружности L. Далее сместим первую точку хорды на малое расстояние dx против часовой стрелки по дуге окружности и снова будем проходить второй точкой по окружности против часовой стрелки от первой точки хорды, пока не дойдём до изначально выбранной точки О. Будем продолжать этот цикл, пока не придём первой точкой обратно в точку О. Таким образом мы построим все возможные хорды.
Определим зависимость длины дуги (обозначим как y), которую пробегает вторая точка от расстояния по дуге (обозначим как x) от точки О до первой точки хорды.
Получаем следующие корни (x; y): (0; L), (L/4; L*3/4), (L/2, L/2), (L*3/4; L/4), (L, 0).
Если построить график, то очевидно, что это график функции y=-x+L, при x от 0 до L.
А количество всех возможных хорд будет зависеть от интеграла этой функции в пределах от 0 до L. В результате получаем (1/2)*L^2.
Теперь оценим таким же образом зависимость благоприятных вариантов, т. е. когда длина хорды будет больше длины стороны вписанного правильного треугольника. Выберем начальную точку О в одной из вершин вписанного треугольника. Как было показано в видео, длина хорды будет больше длины стороны треугольника, если вторая точка хорды будет пробегать 1/3 длины окружности. Если смещать первую точку по окружности по тому же алгоритму, как тогда когда считали все возможные хорды, благоприятные хорды будут соответствовать 1/3 длины окружности до тех пор, пока первая точка не пройдёт расстояние 1/3 длины окружности. Для первых точек хорды, лежащих на участке от (1/3)*L до (2/3)*L длина благоприятной дуги будет равномерно сокращаться от (1/3)*L до 0. Далее, на участке от (2/3)*L до L благоприятных хорд не будет, так как все их вторые точки попадают за начальную точку O, а значит дублируют уже учтённые нами. Таким образом функция благоприятных вариантов будет состоять двух кусков. Для x от 0 до (1/3)*L: y = L/3, и на участке для x от (1/3)*L до (2/3)*L: y = -x + (2/3)*L.
Количество благоприятных вариантов будет соответствовать интегралу этой функции в пределах от 0 до (2/3)*L. В результате получим (1/6)*L^2.
Вычисляем вероятность как отношение оцененных множеств: ((1/6)*L^2)/((1/2)*L^2) = 1/3 или 33,(3)%.
В решениях, описанных в видео, считаю допущены существенные ошибки. Объясняю почему.
В первом решении ошибочно решено, что количество всех возможных хорд прямо пропорционально длине окружности. На самом деле получается пропорционально квадрату длины окружности, хотя мой ответ и совпал с этим решением.
Во втором решении ошибка состоит в том,что не учтено, что не каждой точке окружности соответствует единственная хорда, для которой эта точка будет серединой. Для центра окружности это не так. Там вообще можно бесконечно много хорд (т. е. диаметров) провести, для которых эта точка будет серединой.
В третьем решении тоже ошибка в центральной точке окружности. Через эту точку два раза учитываются одни и те же хорды при повороте радиуса на 180 градусов (у них меняются только условные первая и вторая точки, а по сути это одна и та же хорда).
Мудрëно, но логично, а значит верно.
Поставил на паузу после постановки задачи прикинул в уме что 0.33, смоделировал на компьютере, для душевного спокойствия первую точку не фиксировал, просто в цикле ставил 2 точки на единичной окружности(в полярной системе координат выбирал 2 случайных угла от 0 до 2х пи) считал длину хорды, сравнивал ее с √3 также получил 0.33. Потом до меня как будто бы дошло, что возможно варианты сэмплирования хорд могут влиять на конечную вероятность. В случае 0.33 мы как бы рассматриваем задачу из центра окружности. Однако если поместить эту окружность на плоскость и случайным образом бросать на эту плоскость линии а затем смотреть пересекла ли линия окружность, и если да, то сравнивать с длинной треугольника, если не пересекла, то просто пропускать.При таком выборе случайной хорды результат видимо будет отличаться. Надо проверить.
@@Ilja600 я, конечно, не Математик, но ваш подход к решению задачи выходит за рамки условия. Сказано хорда, значит хорда. Линия, которая содержит хорду это линия. Я, как понимаю я, вижу задачу дословно так, как сформулирована.
Тем более, что здесь сравниваются две бесконечности, бесконечное число хорд большей длины, чем сторона треугольника и также бесконечное количество хорд меньшей длины. 🤗
Я тоже сразу начал именно так мыслить - интегральные исчисления или программное моделирование на больших выборках (как комментатор Ilia600) способны усмирить эту незавершённость, подвешенную в воздухе автором видео =)
@@ИгорьВ-г5л Линии не существует, также как и времени. Линия нужна просто что бы мы поняли логику данного действия. Если эту линию не чертить, ровным счетом ничего не поменяется.
Как по мне - наиболее правильный ответ 1/3. Хорда - отрезок, который соединяет две точки на окружности, поэтому кажется, что нормальное распределение нужно брать исходя из расположения двух точек на окружности, а не центров хорд. То есть у нас два выбора, которые влияют на результат, а не один.
Для решения я бы взял вписанный N-угольник, и использовал бы его вершины для выбора точек хорд, устремив N в бесконечность. Для простоты будем брать 3*N-угольник, для больших значений N отклонения для 3N+1 и 3N+2 несущественны. Для каждой его точки под условие попадают только N/(3N-1) хорд. Устремив N в бесконечность, получаем 1/3.
Таким образом, для любой точки на окружности вероятность получить нужную хорду - 1/3. А значит, вероятность получить нужную хорду: 1 * 1/3 = 1/3
С чего вы взяли, что если на кривой(окружность) взять множество случайных точек, из него взять множество случайных не повторяющихся пар, соединить точки в парах, то получится равномерное распределение отрезков?..
Это же как со случайных точек параболы опускать перпендикуляр на ось Х. Ясно, что распределение будет не равномерным, а значит не случайным. Нельзя к точкам на кривых привязываться.
Тому, кто интересуется парадоксами и противоречиями в математике, рекомендую книгу Истархова В.А. "Лживость теории множеств"!
У меня ещё на этапе формулировки возник вопрос, что значит случайно-выбранная хорда, но я решил, что нужно закрепить один конец, а второй - случайно располагать на окружности. Т.е. мой вариант - был бы первый. Но думаю, что правильней было бы понимать случайную хорду как случайную прямую, пересекающую окружность, а случайную прямую, как прямую через две случайные точки.
аналогично, когда то "побочным эффектом" получил что случайное расстояние полученное выбором двух случайных точек на трехмерной сфере распределено линейно, - дешевый и сердитый способ получения "без отходного генератора", но это если изначально есть случайное распределение на поверхности сферы, которое арифметическими алгоритмами не получить.
По моему, здесь смешение декартовой и полярной системы координат играют злую шутку. Точки со случайным линейным перебором Х и Y распологаются иначе, чем со случайным линейнчм перебором значений полярной системы fi, r.
@@serg5021 Первый случай распределения ещё хуже чем даже случайные углы из точки на окружности. Если мы поставим один конец хорды на точку окружности, а второй равномерно-случайно на длину окружности, - такие хорды скучкуются возле первой точки, и коротких хорд будет сильно больше, чем длинных.
Попробуйте "выйти за рамки" ;)
• Возьмите произвольную прямую [в плоскости круга.
• Решите задачу для хорд, продолжения которых пересекается с взятой прямой под произвольным фиксированным углом.
;)
@@serg5021 Да, в первом варианте, речь идет скорее о вьіборе второй случайной точки на окружности, что меняет задачу.
Поздравляю с рекомендациями в ленте ютуба! Годная подача, лайк подписка.
Пример с мишенью некорректен. Человек целится не в мишень, а в ее центр. Вероятно распределяеься по Гауссу. Это не равно отношению площадей.
Полностью согласен
Но в условии не было что мы целимся
ты смысл парадокса не понял, мишень точно так же парадокс. можно сюда и физику приплести с энергией снаряда, силой притяжения и сопротивлением воздуха
Если от балды (как во втором и третьем решении) взять распределение центров хорд Гауссовым (мол мы так стреляли) то искомая вероятность будет существенно выше половины, т.к. большинство точек будет вблизи центра.
Человек он что то хочет, а математмка строна но случайна, чуешь разницу😂😂
Спасибо за ролик. Получается это и не парадокс вовсе.
Зы звук в видео тихий, даже на полной громкости тихо.
Парадокс, ведь мы имеем логически обоснованые но противоречивые выводы
Парадокс только в том, что люди лезут со своими идеями туда где их не просят. Если бы человек рассуждал как машина, то получил бы третий вариант! А он начинает что-то придумывать, и в результате получает 1 и 2 варианты. Самый очевидный парадокс этого мира: Бог кого-нибудь просит, чтобы в него верили?
Никакого парадокса тут НЕТУ. Тут фокус запудривания мозгов. Вам дают отвлекающие, но не значащие ничего доп вводные - окружность, хорда, вписанный треугольник.
Решение однозначное и простое.
Дано: Отрезок (хорда) имеет произвольную длину от 0 до 2R.
Вопрос: Какова вероятность того, что этот отрезок будет иметь длину больше фиксированного относительно R отрезка V3*R = 1.732R
Решение: (2 - 1,732) / 2 = 0,268 / 2 = 0,134
13,4% хорд будут длиннее, чем 1,732R, все остальные будут короче.
Проверка: Сколько произвольных хорд ( от 0 до 2R) будут длиннее R.
Ответ: 1/2 или 50%
@@alexandrnovich8009 Восхитительно. Убедительно... Но неверно. Упущено кое-что. Ну, например: 60 градусов у угла треугольника, а у прямой - 180 градусов.
@@anatoliyignatyev2680 А при чём тут треугольник? В условии хорда окружности R cравнивается с отрезком V3R = 1,732R. Можно сравнить со стороной вписанного квадрата или семиугольника. Решение также будет однозначным.
Я считал что хорда определяется двумя точками на окружности, а каждую точку на окружности можно определить углом от 0 до 2*pi. С помощью теоремы косинусов подсчитал функцию длины хорды от двух углов. После преобразований получил неравенство cos(x-y) < -1/2 , где x и y это случайные углы от 0 до 2*pi. И если подсчитать площадь области на координатной плоскости, удовлетворяющей неравенству, и разделить на площадь квадрата со стороной 2*pi, то получится 1/3. Поэтому думаю что самый правильный способ первый, так как в нем получается такой же ответ.
Всё гениальное должно быть простым.
@@cludok Это и есть простое. Хорда - это прямая соединяющая две точки окружности. Значит случайную хорду надо брать как прямую соединяющую две случайные точки окружности. Нахрена извращения с какими то центральными точками и прочим? "Парадокс" на ровном месте, я считаю.
@@usdg.lander ответ 1/2. Это и есть простое. 1/3 это та же 1/2. И кстати, 1/3 получается когда мы учитываем только одну точку хорды, а 1/2 получается когда мы учитываем две точки хорды и отвечаем на поставленный вопрос о вероятности.
Вы рассматриваете частный случай. По определению хорда - это отрезок на секущей прямой. Саму прямую мы можем провести через две точки находящихся как на окружности, внутри окружности и за пределами окружности. Самое большое количество точек будет, теоретически будет находится за пределами окружности на бесконечной плоскости. В этом случае ответ Р=36%. Лимит отношения площадей треугольника к окружности умноженное на 2/3. Либо сумма вероятностей, что тоже равно примерно 36%.
@@usdg.lander Согласен с Вами почти полностью. Кроме характеристики "высосанного из пальца". Все-таки считаю этот парадокс очень полезным и наглядным, который отлично демонстрирует , как важно четкое определение начальных условий задачи и самих определений.
Если исходить из определения хорды в начале ролика (хорда это отрезок соединяющий две точки на окружности), то случайная хорда это две случайные точки на окружности, тогда вариантов выбрать 1ю точку 2ПR , и 2ю 2ПR, вариантов выбрать случайную хорду 4(П^2)(R^2) , ну, а успешные те где длина хорды короче стороны треугольника, по идее это первый вариант как раз. Если же условие задачи бы звучало как, какова вероятность провести прямую через окружность, так что бы хорда образованная точками пересечения окружности и прямой была бы длиннее стороны треугольника - то 3й вариант. Аналогично со 2м вариантом.
Когда-то видел про эту же задачу на Numberfile, но вот что подумал сейчас. По факту нам не важно под каким углом будет идти хорда, ведь под каждым из углов будет один и тот же набор хорд длинее и короче стороны треугольника. Так что варианты, где изменяется её угол, можно откинуть. Допустим, выбрали только строго горизонтальные хорды. Тогда опять есть два варианта. Либо мы их распределяем с равномерным расстоянием друг от друга, либо ставим точки на окружности через определённый угол. Но тогда во втором случае получится, что коротких хорд станет больше. Это похоже на тот вариант, где ответом была 1/3. Так что делаем их с равным шагом друг от друга, а не по окружности. Должна получиться 1/2
Похоже, Вы ошибаетесь. На вероятность не могут влиять расстояния (угловые или линейные) между точками, через которые проходят хорды. Хорд бесконечное количество, но среди них есть принцип, по которому они делятся на две неравные части. Это длина хорды, являющейся стороной вписанного равностороннего треугольника. Есть три бесконечных множества. Множество хорд, образуемых множеством треугольников, множество хорд, которые короче стороны треугольника и множество хорд, которые длиннее такой стороны. При случайном выборе хорды, вероятность попасть на хорду из третьего множества выше. Вопрос - во сколько раз?
@@koncheev из чего следует что вероятность третьего множества выше?
Будем исходить из определения хорды. Хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Логично предположить, что случайная хорда - это отрезок, соединяющий две случайные точки на окружности. Другие определения случайных хорд добавляют дополнительные условия, которых нет в определении хорды. Таким образом, «правильный» выбор случайной хорды - это метод #1, то есть выбор случайным образом двух точек на окружности, и соединения их отрезком. «Правильный» ответ 1/3. Конечно, строго говоря, однозначного определения случайной хорды нет, отсюда и весь парадокс: «нет однозначного ответа, если условие не сформулировано строго». В общем-то никакого особого парадокса здесь нет. Аналогичную задачу можно сформулировать так «какова площадь правильного многоугольника со стороной 1?» Понятно, что площадь не определяется однозначно потому что неизвестно число сторон. А в «парадоксе Бертрана» неизвестно что такое «случайная хорда». Как только мы определяем что это такое, решение становится однозначным.
@@konstantinborozdin2270 Спасибо, добрый человек, вот теперь стало понятно :)
@@pumfnuci а вы в курсе, какова «толщина» или «ширина» любого отрезка (в том числе хорды)? Какую площадь можно хордой «закрасить»? И когда вы говорите об их количестве, чем оно «строго ограничено»? Вы прямо на глазах изобретаете некую «дискретную геометрию», как какой-то новый Евклид или Лобачевский.
Есть еще один аргумент в пользу первого решения.
По условиям задачи речь идет о хорде. По определению хорда - это отрезок ПРЯМОЙ линии с концами НА ОКРУЖНОСТИ.
1. Следовательно, и работать нужно напрямую с точками на окружности. Что делается только в 1-м решении.
2. Прямая однозначно определяется 2-мя точками. Во втором и 3-м решениях используются 3 точки. Сначала произвольная точка внутри круга, а затем накладывается условие, определяющее еще 2 точки на окружности. Получается решение с наложением избыточного требования для прямой, определяются 3 ее точки. Тем самым искажают вероятность, заданную в условиях задачи.
Ну так все правильно! Случайная хорда либо длиннее стороны треугольника, либо нет. Значит 1/2
- Какова вероятность встретить живого динозавра?
- 50% (либо встречу, либо не встречу)
Искал такой ответ, шансы были 50 на 50
👍👍👍👍
@@inerfplaygames639 а если взять другую длину, тоже 50 на 50 получится. Либо больше, либо меньше. Но разве такое может быть?
😂
Да, весь парадокс сводится к определению равномерного распределения хорд. И здесь я согласен с комментарием Alex Black! Что такое хорда? Отрезок, соединяющий 2 точки на окружности. Что такое случайный выбор хорды? Он эквивалентен случайному выбору 2 точек на окружеости. Равномерное распределение хорд эквивалентно независимому равномерному распределению 2 точек на окружности. Из чего следует, что вероятность нахождения одного из концов хорды на выбранной нами дуге равен отношению длины этой дуги к длине окружности. Что приводит нас к решению задачи способом номер 1. Это решение естественно проистекает из определения хорды и построения ее "случайным" образом. Хотя метод Монте Карло даст нам более "равномерную геометрическую плотность" линий на плоскости. Но это уже другая, более "надуманная" история.
Очень полезный контент
Автору благодарность за старания
Правильный ответ: взять все хорды и из них посчитать те, что соответсвуют условию. Интегрально.
Для начала сократим количество точек на окружности, например, до 8. Тогда, ответ будет 3/7, из 7ми возможных хорд - 3 длиннее. И так далее, для 16, 32, 999..99 хорд, ответ будет все более точным.
Проверил, получилось 1/3. Затем проверил через случайные точки, программно, вышло так же.
166781/500000
0.333562
Вижу канал впервые, автор однозначно молодец. Дисклеймер, я в геометрии не сильна, поэтому где-то могу ошибится. Мои размышления: попытайся упростить: если длина случайной хорды колеблится от 0 до 2, какова вероятность, что длина больше корня из 3? Логично, что (2-sqrt(3))/2,не так ли? Что-то около 13%. А считать отношения площадей неправильно, т.к. чем больше "площадь благоприятных исходов" по отношению ко всей площади, тем больше найдётся таких точек, которые лежат на одной прямой, но каждая их пара даст одну и ту же длину хорды, если хорда проходит через эти точки. Эти самые точки сильно искажают картину, в сторону увеличения.
Тоже об этом подумал. Следуя так сказать принципу "максимального безразличия" так и нужно поступать, и тогда ответ - 13,397% . Но в том то и парадокс, что это даже меньше, чем 1/4, не говоря уже об 1/3, хотя казалось бы, вариант где получается 1/3 вполне понятен и логичен. А Пуанкаре вообще считал, что правильный ответ 1/2)))
Автору спасибо, заставил пошевелить извилинами)
@@ДенисРуденко-й3ж ну ведь это некое наименьшее "пороговое" значение, и если мы принимаем верность способа манипуляции с площадями, то тогда ответ будет в следующем, что вероятность того, что хорда длинее стороны правильного треуголника принадлежит промежутку от (2-sqrt(3))/2 до 1/2 в зависимости от способа "случайного проведения" хорды. Ну а в случае с выбором точки, через которую будет проходить хорда, механизм возникновения парадокса в следующем: не все точки равносильны с точки зрения длин хорд, через них проходящих. Пример-иллюстрация, выберем точку поближе к центру окружности, не факт, что у вас вообще получится провести хорду, короче стороны правильного треугольника,т.е. способ вообще некорректный. Подытоживая, во всех случаях мы выявили причину разброса вероятности, и оценили предельные назначения разброса тем самым дали ответ на парадокс.
Заранее сорри, если вопрос дилетантский, но почему длина хорды распределена равномерно?
@@vladimir10 точных каких-то доказательств я вам не представлю, но попробую объяснить. Смотрите, механизм генерации в моём случае состоит в следующем: вместо того, чтобы выбирать случайную точку в круге, затем ещё одну, затем проводить через них прямую, мы идём другим путём, а именно - рисуем отрезок на бумаге, длиной в диаметр круга, и тыкаем в него, затем измеряем расстояние от его начала, до точки, куда мы попали, и уж потом рисуем хорду в круге той длинны, что мы измерили. Попадание в любую его точку равновероятно, вроде как. Если я правильно поняла ваш вопрос.
@@ТамараМасловская-и2у вы верно меня поняли.
Я, однако, рассуждал иначе. Принял универсальным распределение угла, под которым случайная хорда видна из центра окружности, то есть от 0 до π. Получил 1/3, как и в видосе.
У Вас одно из самых правильно построенных объяснений. Во-1х, объясняющий всегда ответственный за правильность своего объяснения, а не слушающий (принцип западных стран). Во-2х, "правило 3 примеров" -- понимание должно быть доступно людям с разным типом мышление, для этого нужно проводить разные примеры, к тому же так лучше работает наша память. В-3х, везде где только возможно, Вы ставите не просто буквенное обозначение, именно словесное описание (например в дробях), тем самым не переключается внимание, что очень полезно людям с СДВ(Г), коих очень много есть и было среди многих людей (даже известных учёных).
Спасибо большое!
Что же вы в таком случае не потрудились изложить свои мысли в сжатом и понятном виде? Что за принцип западных стран? Сформулируйте уж тогда этот принцип и укажите автора. Как слушатель может отвечать за правильность изложения материала лектором? Загадка 🤔
@@abirwlag Гугл в помощь
Отлично. Видео крутое. Спасибо за разбор вопроса, уже запамятовал про эту штуку
Правильный ответ 1/3
Что касается примера построения хорды по радиусу (5:40), то тут допущен интересный просчет. Если внимательно присмотреться, то выяснится, что при таком построении, когда больших и мелких хорд одинаковое количество, мелкие никогда не покроют свою часть дуги. Т.е. получим не полный набор событий (не будут учтены все возможные хорды), и соответственно не верный итоговый результат. Для получения полного набора событий придется вернуться к корректному покрытию дуги (через интеграл или другим способом), что даст тот же результат = 1/3. С третьим примером тоже самое.
Резюме - нет никакого парадокса, есть ошибка при подсчете полного набора событий во втором и третьем случае.
Вас не смущает что точка хорды фиксируется в 1м методе?
@@ИванИ-у4т по сути, можно брать и первую точку рандомно, строить из неё треугольник и с вероятностью 1/3 2 точка попадёт в нужный "диапозон"
Правильно #4:
Случайно, от 0 до 2х, выбираем размер хорды. Ответ: 1 - 3½/2
#5(, если использовать принцип максимального безразличия): через центр проводим прямую, на прямой берём точку, через точку проводим прямые так, чтобы образовывались хорды, считаем вероятность для данной точки, усредняем вероятность для всех точек прямой.
Ну, и , чтобы не плодить правильные ответы, нужно найти ответ на главный вопрос:
"Стакан наполовину полон или пуст?"
Я знаю два ответа. Это "42", и "зависит от эксперимента, наполняем мы стакан, или опусташаем".
коротких хорд больше чем длинных
@@AndroidsReview и тех, и тех бесконечное несчëтное множество, как Вы их можете сравнивать?
Не работает. Равномерные расстояния между числами на отрезке при построении дают неравномерные длины хорд!
Например расстояния между точками на вашем отрезке от 0 до 2х между точками 0,1-0,2 и 0,2-0,3 будут одинаковыми по 0,1. И вероятность случайного отрезка длиной больше 0,1 в пределах 0,1-0,3 - 50%
Теперь согнём этот 0-2х отрезок в кольцо. И хорда 0,1-0,2 будет иметь длину МЕНЬШЕ чем 0,1. Причём, хорда 0,1-0,3 тоже будет иметь длину меньше такого прямолинейного отрезка, в ёще большем соотношении.
Так вот, я подумал что этот вопрос нужно решить так:
1) Для начала, забудем о точках. Точки тут не нужны вообще. Их нет в условии и не надо их придумывать.
2) Треугольник тоже не нужно чертить. Его же просто для описания длины и углов ввели.
3) Предположим окружность с радиусом 1 и площадью Пи соответственно.
4) Далее следует определиться с единой поляризацией как с подмножеством. Например горизонтальной. Остальные подмножества это просто её подобия.
5) Рассмотрим равномерное покрытие площади поляризованными по единому вектору прямыми.
6) Выделим верхний и нижний сегменты от углов 2Пи/3 как те в корторых хорда короче стороны.
7) Если радиус равен 1, то высота одного сегмента равна 1/2.
8) Учитвая что поляризация это просто подмножество, то соотношение 1/2 сохраняется при всём множестве.
С вероятностью всё нормально. Это с людьми что то не так.
Все остальные способы это просто бред, так как невозможно установить равномерное по площади распределение при условии вращения или исключения нелинейных площадей до проведения расчета как такового.
Точно подмечено, я к такому же выводу пришёл.
Надо изначально признать или договориться, что правильнее будет, когда при большой выборке случайных хорд, круг по его площади будет равномерно заштрихован (плотность штриховки одинакова).
В таком случае подходит больше всего 3 вариант с вероятностью 1/2. Т.к. только в этом случае штриховка будет равномерной по всей площади круга (хорды перпендикулярно радиусу и равномерно случайным образом распределены между собой по этому же радиусу - плотность штриховки одинакова по всему полукругу).
В 1 варианте при большой выборке плотность штриховки будет увеличиваться от центра к периферии, т.к. при равномерном распределении точек на окружности, кол-во хорд будет гуще там, где их длина становится меньше, т.е. ближе к периферии, вот и вероятность уже меньше для больших хорд и получается 1/3.
Во втором варианте, когда выбирается случайно точка на всей площади круга и через нее проводится хорда, плотность штриховки от хорд в центре будет ещё меньше, чем при 1 варианте , т.к. хорды проведенные вне круга вписанного в треугольник, попадают только на площадь вне этого круга, а хорды проведенные в этом круге попадают так же и на площадь вне этого круга. Поэтому это не равномерное распределение хорд по площади круга.
Умница! Всё именно так.
"Равномерно" можно выбрать только из какого-то заранее определенного множества. Причем равномерность на одном множестве не обязательно дает такую же равномерность на другом. И во всех трех способах мы брали разные множества для выбора. И как вариант - первый способ, но вместо второй точки на окружности мы "равномерно" выбираем угол отклонения.
Множества разной мощности. Вы правы.
@@yr2235 да нет все множества равномощны (коли речь идет о задаче о круге), и мощность равна мощности действительной прямой.
@@_Scrodinger_Cat_ почему равномощны? Квадрат же
@@_Scrodinger_Cat_ в смысле площадь = произведение 2х множеств
@@yr2235Стало быть о равносильности вы знаете только само слово. Ну тогда быстрый ликбез. Множества называются равной мощности если существует из первого взаимно однозначное вложение в подмножество второго, из второго существует взаимно однозначное вложение в подмножество первого. Тогда говорят кардинал (мощность) множеств совпадает. Если второе условие не выполнено, то мощность первого множества не больше, чем второго. Далее можно легко построить взаимно однозначное отображение любого открытого(закрытого, полуоткрытого) интервала во все множество действительных чисел. Есть также теорема о том , что можно квадрат можно заполнить точками отрезка. Все просто берете позиционную запись и четные цифры присваивание абсциссе, а нечётные ординатам. Есть на самом деле и более непрерывная функция. Поэтому мощности отрезка, действительной прямой, квадрата, плоскости и любого конечномерного векторного пространства над действительной прямой равны. Вот такая она штука кардинальность множеств. Удивительно но существует и другое упорядочение множеств , которое приводит к кардинально иным свойства , но полностью совпадает на множестве натуральных чисел. Это ординальность
На примере окружности с радиусом r.
Множество всех хорд окружности можно представить как pi*r^2.
Можество всех хорд, находящихся в сегменте, образованном стороной треугольника = (pi*r^2)/3 - (КОРЕНЬ(3)*r^2)/4.
Таких сегмента - три, значит можество всех хорд, находящихся в сегментах, образованных сторонами треугольника = pi*r^2 - r^2*3*КОРЕНЬ(3)/4.
Исходя из этих рассуждений, вероятность составит 1-3*КОРЕНЬ(3)/(4*pi) или примерно 0,586.
Теоретически, вероятность будет именно такой, если выборку строить абсолютно случайным (!) образом, не основываясь ни на какой методике.
Абсолютно случайно - это строить хорды между случайно выбранными точками без использования конкретной методики.
Интересно посмотреть на результаты моделирования.
Ведь если в примере с подбрасыванием монеты тоже применять некую методику (подбрасывания), вероятность тоже может быть вовсе не 1/2.
Где я неправ?
Уточню. Предложен расчёт вероятности для случаев, когда хорда меньше стороны треугольника.
Вероятность события, когда хорда больше стороны треугольника, составит соответственно 0,413.
Набросал модель.
Результаты эксперимента показывают вероятность 0,363.
И ещё одно уточнение.
Результат моделирования заставил задуматься и незначительно изменить расчёт.
Вероятность случая, когда случайно выбранная хорда окружности будет больше стороны равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность, будет равна (4-КОРЕНЬ(3)) / 6, или примерно 0,378, при условии, что хорда выбирается совершенно случайно без всяких методик (по двум случайным точкам на окружности или в середине окружности, по случайно выбранной точке в середине окружности и случайному углу, или каким-либо другим случайным образом).
Бертран, с%ка. Украл моё обеденное время.
Пишите ещё. У Вас хорошо получается.
Задаём рандомный радиус, высчитываем длину окружности на основании сгенерированного радиуса. Далее генерируем 2 рандомные точки на окружности с условием от 0 до максимального ее размера, соединяем эти точки. Добавляем цикл, скажем, на миллиард раз. Сравниваем с длиной стороны треугольника и если больше, то увеличиваем счётчик. В конце выводим результат счётчика, поделенного на миллиард и умноженного на 100(можно попробовать такую программку написать:))
Хорда - отрезок соединяющий две точки кривой, значит выбрать случайную хорду это выбрать две точки по окружности, что сводится к первому варианту решения.
Остальные два способа это случайный выбор чего-то другого, а хорда уже относительно этого строится, а не случайно выбирается, поэтому условию задачи они не соответствуют.
И я про то же. Хотя третий вариант с ходу казался самым логичным. Но если хорошо задуматься, то конечно первый. Но он был недостаточно полно объяснен автором видео. Полное объяснение более громоздкое и затрагивает арифметические прогрессии.
Дело в том, что во втором и третьем случае выбор хорды тоже математически соответствует условиям задачи, так как метод выбора хорды и в задаче не указан. То есть, если ответ во 2 и 3 случае верен математически, значит вариант 1 не учитывает все возможные вероятности и методы построения хорд. Причем нет ни какой гарантии, что и вариант 3 тоже учитывает все вероятности.
ерунда. выбор второй точки после первой и приводит к неправильному результату. обе точки нужно выбирать одновременно, тогда и получится 1/2
Еще одно определение - хорда пересечение прямой и окружности. Такая прямая может определяться 2мя точками не только на окружности но и внутри нее
Получаю случайную хорду следующим образом: беру случайно 2 числа в диапазоне [0;1), умножаю это на 360. Т.е. это два случайных угла на единичной окружности. Потом нахожу координаты x,y через cos и sin для обоих углов. Потом нахожу расстояние между этими двумя точками. Отбираю те расстояния, которые больше корня из 3. В екселе на больших выборках в итоге вероятность 1/3.
Сразу же подумал о численном решении и получении статистики, че голову ломать. :-)
@@Мыслиизбудущего Я думаю, это самое надежный метод решения в любой прикладной области. Особенно если формулы будут трехэтажными :).
Я думаю, что если речь идет о случайном выборе хорд, значит нельзя привязываться ни к вершинам вписанного правильного треугольника (1-й случай), ни к неким радиусам (3-й случай), ни к чему-либо еще. То есть надо исходить из того, что можно проводить эти хорды в буквальном смысле случайным образом и в любом месте. И тогда, если представить, что проведены все (или практически все) возможные хорды внутри окружности, то длиннее сторон треугольника окажутся хорды, пересекающие внутреннюю окружность. То есть надо сравнивать площади большого и малого круга (2-й случай).
Это не имеет значения, можно даже убрать этот треугольник вообще, оставив только длину его стороны - √3. Тогда где бы мы не поставили первую точку, мы бы могли повернуть окружность, так чтобы точка была например у вершины, другая точка относительно этой точки может находиться где угодно. При этом соотношение все равно останется 1/3, треугольник чисто для упрощения, чтобы понятно было когда именно хорда становиться длиннее стороны. Мы можем свободно вращать треугольник, но это не поменяет того факта что хорда будет длиннее стороны треугольника
Выпал ролик в рекомендации, посмотрел, очень понравилось. Почитал комментарии, подписался. Отличное комьюнити собралось. Пойду смотреть другие на канале!
Если перевести задачу на простой язык, то спрашивается, какова вероятность, что случайные 2 точки на окружности образуют дугу в пределах от 1/3 до 1/2 длины окружности? (До 1/2- потому, что это получится максимальная хорда- диаметр. Вычисление простейшее: (1/2-1/3)/(1/2)=1/3.
2 случайные точки - это единственный правильный способ рисовать случайную хорду. Но можно и упростить до одной точки в пределах 0-360°, потому что случайную хорду можно всегда повернуть одной точкой в ноль, это не повлияет на результат. Положительный ответ будет точка в пределах 120-240°, а это 1/3.
@@lifeplushack нет. Не единственный.
Не надо переводить задачу на простой язык сужая критерии. Хорда генерируется не только точками на окружности но и точками внутри нее. Почему не рассмотреть вариант где хорда строится по любым 2м точкам в пределах окружности? Или точка в пределах окружности и случайный угол наклона прямой?
@@ИванИ-у4т Не нужно усложнять задачу, придумывая себе новые критерии. В задаче четко сказано- Хорда. Вспоминайте понятие хорды, и решайте. Даже, если напридумывать способов ее проведения, она все- равно пересекает окружность в 2х точках, и решение возвращается к простейшему.
Само по себе, требование того, что решение должно быть именно одним правильным имеет редукционистский оттенок. Холистический подход предполагает множество правильных решений. Вместе с тем встает вопрос уровня правильности. Усреднение ответа и получение 13\36 является попыткой прийти к "истинному" решению. Таким образом, вводя различные понятия решений, мы можем прийти и к понятию "относительность правильности решения". Не менее заманчива- другая производная задача - а сколько может быть вариантов решений? Или пойдем далее - а какова частота получения одинаковых решений из из выбранного множетва решений?
Парадокса в постановке Бертрана нет. У него неверны 2 и 3 метод, в которых отсутствуют хорды без точки, делящей хорду на половинки. Это парадокс бесконечного отеля - если новый гость принадлежит к множеству натуральных чисел, то он уже заселён в отеле, а так как по условию он не принадлежит к этому множеству, то и места для него нет. Парадокс Бертрана некорректно сформулирован. Этот сломан, несите другой.
Откуда тогда берётся разница между 2 и 3 методом?
@@tipagleb от разной мощности множеств
1 и 3 методы) Так, для точности.
Чёт странно! По-моему в этой задаче вообще никакой неопределённости нет относительно метода её решения! (кстати я программист). Читаем что такое хорда в википедии - это отрезок, соединяющий 2 точки кривой. Так вот, берём генератор случайных чисел, и случайным образом выбираем 2 точки на окружности, затем рассчитываем длину хорды, определяем благоприятный или нет исход, записываем результат, и процесс повторяем ещё достаточно большое количество раз, пока вклад очередной итерации в конечный результат не станет ничтожно малым. Всё!!! Результат будет всегда стремиться к одному и тому же значению, если координаты точек на окружности были выбраны случайным образом с равномерным законом распределения случайности.
@@alexcurtman7854правда числа эти "Случайные" не такие уж и случайные
Для меня ответ очевиден. Из любой точки на круге количество длинных хорд будут относится к коротким как один к двум
Считаю первое более точно описывающее случайность. Там выбирается случайная точка и от нее случайный луч.
Во втором и третьем точка выбирается случайно, но дальше накладываются неслучайные условия для проведения хорды, которые нужно вычислять. Эта неслучайность расчета доп. условия и влияет на вероятность.
Верно)
Где в ревом методе случайная точка? Точку же зафиксировали в вершине треугольника.
Я к такому же выводу пришёл.
Надо изначально признать или договориться, что правильнее будет, когда при большой выборке случайных хорд, круг по его площади будет равномерно заштрихован (плотность штриховки одинакова).
В таком случае подходит больше всего 3 вариант с вероятностью 1/2. Т.к. только в этом случае штриховка будет равномерной по всей площади круга (хорды перпендикулярно радиусу и равномерно случайным образом распределены между собой по этому же радиусу - плотность штриховки одинакова по всему полукругу).
В 1 варианте при большой выборке плотность штриховки будет увеличиваться от центра к периферии, т.к. при равномерном распределении точек на окружности, кол-во хорд будет гуще там, где их длина становится меньше, т.е. ближе к периферии, вот и вероятность уже меньше для больших хорд и получается 1/3.
Во втором варианте, когда выбирается случайно точка на всей площади круга и через нее проводится хорда, плотность штриховки от хорд в центре будет ещё меньше, чем при 1 варианте , т.к. хорды проведенные вне круга вписанного в треугольник, попадают только на площадь вне этого круга, а хорды проведенные в этом круге попадают так же и на площадь вне этого круга. Поэтому это не равномерное распределение хорд по площади круга.
Тут получается можно перефразировать условие в вероятность случайно получить угол по строго больший 120 и меньший 240. В диапазоне, естественно, от нуля до 360,наверно включая края диапазона. Тогда благоприятные исходы это 1-(2/360) -(вероятность получить от 0 включая до 120 исключая)- (вероятность получить от 240 исключая до 360 включая) .
Что приблизительно равно 1/3
не включая. равные - неблагоприятно, но 2/бесконечность - бесконечно малая величина, пренебрегаем
Интуитивное решение: проведём радиус перпендикулярно стороне этого треугольника. В силу симметрии окружности, достаточно рассмотреть все хорды, перпендикулярные этому радиусу (и пересекающие его). Т.к. сторона треугольника делит этот радиус пополам, то половина этих хорд будет лежать за пределами треугольника, и все они будут короче его стороны, а другая половина хорд будет пересекать этот треугольник и иметь длины больше длины стороны треугольника. Поэтому искомая вероятность равна 1/2.
Эта задача аналогична задаче суммы членов бесконечного ряда. Есть доказательство что выбором способа подсчёта можно получить в ответ любой результат! (Так сказать свойство бесконечности)
В парадокс Бертрана не задан критерий случайности задания хорд (принцип их формирования) другими словами такие независимые параметры как, например начало или середина или вообще любая произвольная точка хорды и ее направление.
По сути если считать эти оба параметра случайными в своих областях значений то и задача сводится к опредлению функции вероятности от двух независимых событий и тут мы .... 🤔
возвращаемся к началу рассуждений ☝️ 😂
Намберфилы уже горят в аду за тот видос - там искали не сумму, а аналитическое продолжение.
Очевидно же, что доказательство сходимости натурального ряда содержит подвох. Дело в том, что мы изначально предположили, что ряд сходится. Раз из этой предпосылки мы можем получить различные значения, значит пришли к противоречию, значит предпосылка не была верна, то есть ряд не сходится. - обычное доказательство (в данном случае несходимости) от противного.
Это верно только для знакопеременных рядов, не сходящихся абсолютно, типа 1-1+1-1+1-1... или 1-1/2+1/3-1/4+...
@@iforand не спорю с _знакопеременными рядами_
Я это привел в качестве примера _аналога_ неоднозначности результата от способа рассуждений (читай вычислений) в алгебре и по сути геометрии. А все из-за некорректного ограничения на условия задачи.
@@f.linezkij Кроме случаев, когда в ряду которьій сходится, можно найти комбинации членов при которьіх ряд расходится ;)
Отношение площади сегмента, образующегося стороной треугольника, к площади всего круга. Просто так думаю интуитивно. Во всех трёх случаях решение не прававены. Это подтверждается моделированием на какртинках-линии распределены не равномерно. Справедливое решение может быть тогда, кода плотность вероятности распределения линий, по всему кругу будет одинаковой. Другими словами способ нарисования линии не должен влиять на результат, их бесконечное множество.
В самой задаче идёт речь об окружности а не о круге. Хорда тоже определяется от окружности. И длина стороны треугольника тоже определяется от окружности. Второе и третье решение используют круг, то есть произвольно расширяют исходную задачу.
Это слабая претензия. Они не расширяют задачу, а используют больше абстракций для ее решения.
Очень заинтересовала задача, но я люблю поверять все так сказать на практике. По этому в екселе я запустил генератор случайных чисел (3 числа, первые 2 - координаты в диапазоне от -10 до 10, а третье - наклон прямой относительно оси ОХ от 0° до 180°) так я получил случайное распределение прямых в квадрате 20×20, в центре круг единичного радиуса, дальше проверяем какая часть получившихся прямых пересекает наш круг (то-есть являются хордами), и высчитываем какова их длинна и соответственно процент тех что больше чем корень из 3х.
ИТОГО на массиве из 100 000 прямых у меня получилось что стабильно 11% прямых пересекают круг, из которых 50% (+- 0,9%) длиннее корня из 3х, значит выходит, что 3е решение правильное.
ну смотри, тут видео как раз о том, что в зависимости от способа вычисления - ты будешь получать разные ответы. ты в екселе реализовал один из вариантов - он дает один результат. реализовал бы другой принцип - получил бы другой результат.
Пока посмотрел только задани у меня получился ответ 1/3. Я так сделал. С любой точки хорда может направится в любом направлении от 0 до 180 градусов. И только та что от 60 до 120 будет длиннее.
Я думаю ответ будет 1/2
Так как выбирая первую точку для хорды, нужно выбирать от центра окружности до бесконечности.
0+оо/2 = оо значит первая точка с вероятностью стремящемся к 100% находится в бесконечности.
Значит, вторая точка хорды определяет конечную вероятность. То есть, если из первой точки, находящийся на бесконечности,(либо от края обозримой вселенной) прочертить множество прямых линий в сторону окружности, то они все окажутся параллельны друг к другу. Дальше из условия длина хорды √3 и радиус =1. Дальше рассчитаем соотношение сторон, выходит
p=b/R
Пифагор: b=√R^2-(√3/2)^2=0.5R
p=0.5
Я думаю это правильный метод расчета вероятности..
Изменено 15.01.2024.
Пишите Ваши мысли, по критикуйте...)
Вот ещё аналогичное решение: хорда или меньше стороны, или больше. Будем выбирать случайную хорду, подбрасывая монетку - орёл большая, решка маленькая. Как и в вашем методе, вероятность 1/2.
Пусть переменная X равномерно распределенна на отрезке от 0 до 1. Пусть теперь мы геометрически делаем отображение отрезка в другой через функцию Y=function(X). При этом Y тоже будет распределен от 0 до 1. Если теперь относительно X мы точно знаем все ее вероятностные характеристики, то вот аналогичные характеристики Y будут впрямую зависеть от вида функции function(). Для любого математика и даже обывателя это не кажется удивительным, а наоборот логичным. Но тогда, если это логично, то почему же в случае Бертрановского примера это будет парадокс??))) В чем по большому счету Бертрановский "парадокс" отличается от примера который я привел? Да по сути ничем, разве что в моем случае все происходит на линии, а пример Бертрана на плоскости. Иными словами, когда мы в моем примере делаем какие то предположения относительно X мы берем в расчет заявленное ее свойство равномерности распределения от 0 до 1. Но когда мы переводим X в Y - последняя уже не имеет этого же равномерного распределения и чтобы что то утверждать относительно Y нам необходимо разобраться с функцией перевода X в Y. Вот также и у Бертрановской задачи. Во всех 3х решениях под равномерно распределенной величиной мы полагали некоторую (назовем ее как X - во всех 3х примерах она разная но это не важно, главное что эта X равномерно распределенная величина в некоторой системе координат), а потом искали вероятностные характеристики совершенно другой величины Y в другой системе координат. В каждом из 3х примеров Бертрана величину Y и Х связывает некоторая своя функция. Естественно что раз функции разные, то и характеристики Y будут разные.
Короче. Не увидел в этом парадоксе собственно самого парадокса... )) Но лишь самую что ни на есть обыкновенность...
Чтобы сразу отсечь возражения что типа как же так, ведь все вроде происходит в одной и той же якобы системе координат - евклидовой плоскости, а я тут утверждаю что некая X которая равномерно распределена определена в одной системе координат, а мы находим характеристики Y - в другой. На самом деле оно так и есть - у X и Y разные системы. Например в 1м варианте, когда мы выбирали случайно точку на окружности, мы по сути равномерно распределенной величиной полагали угол в полярной системе. Во 2м варианте равномерно распределенной величиной был отступ от центра окружности и т.д. При этом во всех 3х вариантах результирующей переменной Y была одна и таже переменная в одной и той же системе.
В итоге подмена понятий.
А у меня такой вариант решения. Решаем в 2 этапа:
1. На радиус бросаем точку с равномерным распределением - это будет центр хорды.
2. Выбираем случайно угол пересечения хорды и радиуса от 0° до 90° с дискретностью в 1°
4:00 я решил похожим образом:
Сторона треугольника отделяет дугу 120°, хорда максимум 180°(если диаметр), 180°-120°=60° это диапазон подходящих хорд, 60°/180°=⅓ это подходящие на общие
я тоже думаю что это единственно правильное решение. Все эти костыли из 2 и 3го решения - ничто иное как манипуляции с распределением вероятностей.
Хороший канал. Подписка! Интересно рассказывает! Таких "популярных" рассказов о математике сейчас не хватает в русском ютубе
Наконец-то хоть один канал не про политику и деньги.
Я бы представил окружность как множество из бесконечного количества точек. Тогда для любой точки на окружности существует три точки вершин равностороннего треугольника, делящего эту окружность на 3 равные дуги. Для того, чтобы дуги действительно составляли именно 1/3 всего множества, отнесём к каждой дуге одну из вершин. Тогда, среди вариантов второй точки хорды, которые нас точно не устраивают будут:
1) точка, относящаяся к "подходящей" трети, её шанс выпадения 1/inf
2) точка, являющаяся началом хорды, потому что хорды тогда вообще не случится, но этот вариант мы учитывать не будем, т.к. он не создаёт хорд, а значит не относится к множеству всех возможных хорд
3) в остальных случаях нам не подойдут 2/3 всех точек
Т.к. мы перебираем все возможные варианты начала и конца хорды, такой вариант должен покрыть все возможные варианты хорд, и, по-идее, должен быть наиболее правильным. Тогда вероятность нужной нам хорды 1/3 - 1/inf
(можно дополнительно уточнить, что в итоговом ответе бесконечность на 1 точку меньше, чем множество всех точек окружности, т.к. нам не интересны пары, где "хорда" начинается и заканчивается в одной точке)
Можно свести условие к следующему: какова вероятность того, что хорда опирается на вписанный в окружность угол, градусная мера которого от 60⁰ до 120⁰ (по теореме синусов). тогда выполняется инвариантность тк не создаётся никакого иного условия, ответ 1/3
Ээээ, вы по сути другими словами пересказали 1й способ, в котором инвариантность как раз нарушается
я бы считал отталкиваясь от определения хорды, надо две случайные точки на окружности, но тогда не совсем ясно что делать с симетрией, считать ли повороты и отражения в капилку положительных исходов. ) можно начать с дискретности, разбви круг на 360 точек и далее уйти в итрегральное исчесление и бесконечно малые. и там уже сравнивать лимиты
Спасибо, офигенный видос!
Расскажи об интегральной геометрии.
Мне нравится способ с вероятностью 1/3, ведь он определенно точно учитывает все многообразие хорд. А два других перегружены доп условиями типа точка делит хорду пополам.
Вероятность 1/3 в случае, если точки равномерно распределеньі по окружности. Для равномерного распределения по площади круга, другие пропорции.
Самое точное будет брать 2 случайные точки на окружности, а потом из множества исключить нулевые хорды (когда точки совпали) и повторные хорды из-за перемены точек местами. Но если считать, что уникальность хорды зависит и от направления проведения, то повторы - не исключать.
Практически, первое решение к этому и сводится. Берем случайную первую точку на окружности, а затем случайную вторую на ней же.
@@alexblack9542 в том дело, что случайно они там берут только 1 точку, а не 2 случайных.
@@ДенисКермач-щ5я Почему же? 1-я точка ведь может быть где угодно на окружности (окружность же не имеет начала и конца). И не влияет на вероятность. Затем берется случайная 2-я точка и считается вероятность того, что расстояние между ними (длина хорды) будет соответствовать условию. Так что обе точки выбраны случайно.
@@alexblack9542 вот если брать и вторую точку именно случайно, то будет верно, а если брать длину хорды случайной в диапазоне между 0 и диаметром, то это уже иной подход, хотя и кажется, что это одно и то же. Но нужно смоделировать оба способа и сравнить, чтобы точно быть уверенным.
@@ДенисКермач-щ5я Так в первом варианте вторая берется случайно, на окружности. Но хорда длиннее стороны треугольника, только если попадает в дальнюю треть окружности от 1-й точки. То-есть первоначален случайный выбор 2-й точки, и только после считается длина хорды.
Идея. Берем вписанный в единичный круг многоугольник с числом вершин N. Посчитать длины диагоналей в нем легко, соответственно, можно написать функцию, значением которой будет доля диагоналей длиной > корня из 3 в зависимости от N. Решаем предел при N -> бесконечности, получаем искомую вероятность.
я так вижу
1 Все прямые в принципе одинаковые
2 Все круги одного радиуса (скажем радиуса Один ) равноценные.
Выберем конкретную прямую и рассмотрим все круги с которой она пересекается.
Радиус задан как 1. Остается выбрать центр круга - НО ТАК ЧТОБЫ КРУГ ПЕРЕСЕКАЛСЯ С ЭТОЙ ПРЯМОЙ .
Для этого достаточно чтобы расстояние между прямой и центром было Один или меньше одного.
Из этих выбранных центров - ПОЛОВИНА будет на расстоянии Д от прямой , таком , что выполняется 0.5 < Д < 1. именно тогда хорда будет длиннее поставленного условия .
То есть вероятность хорды быть длиннее условия - ровно половина от всего.
Ответ номер 3 в видео верный .
Это единственно верный ответ и правильное объяснение. Молодец!
У меня получилось вообще √3/π для единичной окружности. Рассуждал так. Начальной хордой берётся одна из сторон треугольника. Далее берутся все хорды идущие к противоположному углу. Они совместно формируют квадрат, где противоположна сторона квадрата сформирована хордой соединяющей вписанного треугольника, но у которого вершина внизу. Левее и правее этого квадрата хорды короче стороны. Диагональ квадрата равна диаметру окружности, то есть 2. Сторона √3 по "дано". Неизвестная сторона квадрата по теореме Пифагора равна 1. Площадь квадрата 1*√3 = √3, площадь круга равна π. Отношение получается √3/π . При этом ни одна хорда не пропускается.
Моё решение такое. Поскольку длина хорды от угла не зависит, решение можно рассматривать для хорд в одной плоскости. Заполняем половину круга хордами в одной плоскости (для примера в горизонтальной снизу до середины круга) с равномерным шагом, стремящимся к 0. Для другой половины круга условия те же, поэтому рассматриваем только одну половину. Теперь подставляем рисунок из видео.. Все хорды, лежащие ниже основания треугольника будут меньше, а хорды от основания треугольника, до центра круга больше. Соответственно правильный ответ - 1/2
Мой хороший друг сказал: "Математика Царица всех наук!!! И падчерица физики..."
После, некоторые, из наших, перестали с ним общаться (но это не точно).
Нужно применить физику = поставить эксперимент! Так мы получим приближенный ответ, и на его результатах сможем выбрать верный.
Физический эксперимент проводить в реальности необязательно. Достаточно провести его мысленно и тогда мы поймем что такое "случайная хорда" с точки зрения этого физического эксперимента. Ибо все 3 решения задачи основаны на подмене понятия случайной хорды понятиями других случайных величин на основании которых строится хорда, и равномерное распределение этих величин на самом деле не дает равномерного распределения соответствующих им хорд, кроме последнего случая, когда мы получаем 1/2 в качестве решения задачи.
@@glukmaker не согласен. При построении хорды способом №3 мы берем равномерное распределение точек на РАДИУСЕ. Но если их спроецировать (перпендикулярами) на круг, то окажется, что точки проекций на кругу будут располагаться неравномерно (плотность увеличивается по мере приближения к краю радиуса). А определение хорды привязано к первоначальному выбору точек НА ОКРУЖНОСТИ, плотность которой равномерная.
№2,3 - подменили определение хорды.
Ага, падчерица. При этом математика без физики чувствует себя великолепно, а физика без математики курит бамбук)))
@@Rizomus Математика в чистом виде - никому не нужная абстракция и лишь в приложении к действительности осознаётся её бесконечный потенциал.
Сферический молоток в вакууме "нафик" ни кому не нужен, но попробуй без него построить дом ))
@@Rizomus именно так. Падчерица без мачехи разъезжает с принцами по балам, а мачеха без падчерицы теряет рабочую силу, которую можно использовать (аллюзия с Золушкой).
Могу предложить ещё одно решение этой задачи.
Предположим, что у нас круг радиуса 1, и что в него вписан единственный треугольник. Сторона которого будет тогда корень из трёх. Так как хорд в любом случае бесконечное количество, то можно все же попробовать оценить площади, занимаемые хордами, которые больше стороны треугольника, и которые меньше этой же стороны.
Площадь всего круга равна пи эр квадрат, в нашем случае примерно 3,14. Площадь треугольника равна корень из трёх умножить на полтора и разделить на 2, примерно 1,3. Площадь оставшейся части круга равна 3,14-1,3=1,84. Площадь трети от этой площади равна примерно 0,61.
Возьмём любую вершину треугольника и начнём проводить из неё хорды. Хорды меньшего размера займут две трети свободной от треугольника части круга, то есть, 2/3*1,84=1,22 Хорды большего размера займут остальную площадь, то есть 1,92.
Повторим операцию с двумя другими оставшимися вершинами треугольника. Все площади, соответственно, утроятся. Итого площадь, занимаемая всеми маленькими хордами будет равна 3,66, а всеми большими будет равна 5,76.
То, что эти площади больше площади круга, нас не должно беспокоить. Так как нам важно только их соотношение друг с другом. А вместе они составляют 100 процентов.
Получается, что площадь, занятая большими хордами, составляет примерно 61 процент от всей площади. Соответственно, площадь, занятая маленькими хордами составляет 39 процентов.
Соответственно, вероятность, что произвольная хорда будет большой или маленькой, тоже будет составлять эти же проценты.
И это верно для любого единственного треугольника, вписанного в этот круг. А если у нас какая-то хорда оказалась исходящей не из вершины этого треугольника, то мы тогда рассматриваем её, как исходящую из вершины другого такого же треугольника, коих бесконечное множество. Но относительно любого другого треугольника соотношение площадей, занимаемых большими и маленькими хордами, будет таким же.
Не понимаю при чем здесь распределение хорд, если мы возьмём все возможные хорды (бесконечность), то они полностью заполнят круг, о каком их распределении тогда может идти речь...
Зачем выбирать способ построения хорд? Они все расположены СЛУЧАЙНО; те, что удовлетворяют неравенству l > a обязательно
пересекают ПЛОЩАДЬ вписанного круга. Отношение площади вписанного к общей площади описанного круга и является искомым ответом:
π*r² = π*a²/12; π*R² = π*a²/3; (π*a²/12) / ( π*a²/3) = 1/4. Можно и от противного: какова вероятность что l < a? Тогда все
хорды должны лежать исключительно на площади кольца;
π*(R² - r²)=π*a²/4; (π*a²/4)/(π*a²/3) =3/4.😛
3 вариант, он соответствует безразличным случайным способом расположенных в двухмерном пространстве прямой и кругу с отсевом тех их пар, что не пересекаются.
Мне кажется тоже так кажется, вероятности первых двух вариантов являются подмножествами третьего случая
Тогда будут хорды чья длина равна стороне треугольника, это тут ни как не учитывается
@@xaoc3932 веротность такого исхода стремится к нулю.
@@horeca-tech6741 смотря сколько точек брать на окружности, а так да
@@cottoncat3700 ессесно. первые два - частные случаи последнего. в чем парардокс-то? скажу больше, наверное есть еще лучше вариант заполнения хордами, где 1/2 стнет частным случаем. если проще, то результат станет еще точнее. давайте нобелевку епте.
Численный эксперимент на компе в постановке задачи как на 03:00 в ролике, без всяких доп. ухищрений (кроме проверки хорд на дубли), показывает "в точности" 1/3 :)
Никакого осадка не остается, морковку можно потереть на терке или порезать соломкой, зависит от того, что готовишь, салат или плов)
Задача изначально то как раз и сформулирована правильно !
Для начала всем придется согласится с тем, что круг вращается вокруг оси, кторая проходит через его центр (для стимуляции вашего воображения и как следствие визуализации)
* В методе решения с 1/4 ошибка, так как это посчитано только для хорд у которых есть точка, что входит в множество точек вписанного круга и не учтены те хорды, что пройдут по касательной этого маленького круга, но все еще будут больше длины стороны треугольника, и те что пройдут параллельно такой касательной с шагом до момента когда поровняются с заданной длинной стороны треуг., в точке 1/2 радиуса, который проведен от центра круга через точку пересечения касательной на малом круге.
* Метод расчета с ответом 1/3 также неверен для первоначальной задачи, так как он определяет лишь вероятность для фиксированного положения вписанного трехугольника, а множеста (ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ) , которые возникнут при его вращении вокруг оси центра большого круга, игнорируются.
* Нарешти метод третий : 1/2 в данном случае не вероятность, а просто условно видимое разделение области анализирования по радиусу.
Теперь внимательно, самое интересное:
Ранее мы уже представили, что все это вращается, а теперь, пускай, 5:47 это видимый стоп кадр. Что мы здесь видим.
Радиус в точке пересечения со стороной треугольника делит, условно, область внутри круга на ту, в которой как бы мы не провели хорду, она 100% выходит длиннее стороны ""а",
и на ту область, в которой лишь ОДНО множество хорд, проведенных параллельно этой стороне треугольника ну и перепендик. радиусу, иссессина, которые будут уменьшаться в конечном итоге до размеров точки на длине большого круга, образуя условно сегмент круга. ОСТАЛЬНЫЕ ЛЮБЫЕ попытки провести хорды через току на радиусе будут давать множество хорд , БОЛЬШИХ длины ""а"", вплоть до диаметра большо круга и обратно.
Тоесть нужно соотносить всю площадь круга и площадь того сектора, которій будет образовываться каждый раз, кода случайным образом проведенная хорда пройдет в той области радиуса, где перпендикулярная сторона треугольника при движении-приближении к линии большой окружности будет уменьшаться от "а" до 0.
Отож малята :
Считаем по формуле площадь сектора данного конкретно круга ( у нас же это выходит 1.227308) делим ее на площадь всего круга (большого) тоесть на пи (3.14, так как радиус у нас 1 , напоминаю) и полученое значение отнимаем от 1.
Відповідь :
0.609... ~ 0.61
* Вероятность, в моем понимании, это не количественное значение, а пространственно наполнятельное что ли распределение того или другого, тех или иных шняжек, выреженное в конечном итоге в виде цифры, которые тоже нами же условно как бы приняты, тобта в итоге это все го лишь конкретно видимо-обозримо-хотьшотопощупательная форма визуал осознавания того пространства бога , в котором мы все едим, какаем, пукаем и т.д.
Можно провести простой эксперимент. Разделить окружность на очень большое количество частей (скажем, не меньше сотни). Случайная хорда определяется на мой взгляд случайным положением ОБОИХ ее концов. Соответственно нужно сделать ДВА комплекта бумажек с номерами от 1 до 100 (по количеству предполагаемых участков окружности). Затем смешать оба эти комплекта и слепым способом вытаскивать попарно эти бумажки и строить по этим номерам хорды. Если проделать такую процедуру раз двадцать-тридцать, то можно будет более-менее точно просто на основании статистики далать выводы о предполагаемой вероятности
Я вот подумал. Если хорда выбирается случайно, то и случайно выбирается еë длина в пределах (0;2R]. Длина стороны вписанного треугольника √3R. И получается длина хорды должна быть (√3R;2R]. То есть вероятность - это отношение длин двух интервалов: (2-√3)/2=1-√3/2
А где доказательство, что хорд с различными длинами одинаковое количество? Может быть коротких больше, чем длинных или наоборот?
@@badcatprod сравнивать количество хорд немного бессмысленно, ведь их бесконечное, несчëтное множество. А сравнить 2 бесконечных, несчëтных множества нельзя
Это работает для отрезка. В силу кривизны окружности распределение длин хорд их точки неравномерно.
Согласно известной теореме, через любую точку круга можно провести ровно одну хорду, центром которой эта точка является. Таким образом, можно считать, что любая точка круга идентифицирует ровно одну хорду из всего множества хорд, а все точки круга - полное множество хорд. Далее из простой геометрии следует, что иметь длину больше стороны вписанного треугольника могут только те хорды, центр которых лежит внутри вписанной в треугольник окружности. Радиус этой окружности - 1/2*R, отношение ограниченной ей площади к площади всего круга - (1/2)**2 = 1/4. Решение не выглядит сложным))
Очень тихий звук. Делайте нормализацию.
В данном случае, задача сводится к способу выбрать две точки на окружности, такие что хорда между ними будет больше заданной длины; и сравнить количество случаев удовлетворяющих условию к общему количеству случаев выбрать две точки на окружности данным конкретным способом. Вот только способов выбрать две точки на окружности не один, не два и даже не три. Например, можно поместить нашу окружность в окружность вдвое большего радиуса так, чтобы они касались общей точкой. Провести хорду из точки касания в произвольную точку большей окружности. Если часть этой хорды окажется хородой меньшей окружности удовлетворяющей условию, значит данная точка нам подходит. Соотношение длины дуги большой окружности дающую все такие хорды к длине дуг, дающих хорды просто пересекающие мелкую окружность и будет ещё одним ответом. Только важно учитывать только те варианты, которые дают хоть какую-нибудь хорду на мелкой окружности. А если взять другой радиус большей окружности или выбрать другое положение точки касания, то и ответ, скорее всего, будет другим. Есть ещё вариант: Можно вписать нашу окружность в равносторонний треугольник. Тогда часть прямой из одной его вершины в произвольную точку противоположной стороны определит хорду в нашей окружении. Тогда линии соединяющие все точки этой страны с указанной вершиной ометают всю площадь треугольника, а заодно и всю площадь вписанной в него окружности, а значит дают и все возможные длины ее хорд. Вот и сравните отрезки стороны треугольника дающие нужные хорды с полной длинной его стороны. Ещё, как вариант, можно провести линию, соединяющую две стороны нашего описанного треугольника параллельную третьей стороне. Тогда все такие линии будут ометать полную площадь треугольника, а значит и вписанной в него окружность; а конкретную такую линию можно задать точкой ее пересечения с высотой или боковой стороной. Я убежден, что способов выбрать две точки на окружности - бесконечное множество. Думаю, у меня не получится привести здесь строгое доказательство данного утверждения, однако, я могу привести вот такой пример: Впишем нашу окружность в квадрат. Проведём в квадрате линию параллельную одной из его сторон, соединяющую две другие. А теперь, между сторонами квадрата которые параллельны нашей вспомогательной линии, от произвольных точек этих сторон, проведем другую линию, на этот раз криволинейную, произвольной формы. Теперь, скажем что положение нашей вспомогательной линии внутри квадрата определяет точка её пересечения с нашей произвольной кривой. Главное, чтобы каждому положению вспомогательной линии соответствовала лишь одна точка пересечения с кривой. Все положения вспомогательной линии ометают всю площадь квадрата, а также вписанной в него окружности, а значит определяют и все длины ее хорд. А так как наша произвольная кривая может быть почти любой формы, то и соотношение длины удовлетворяющего отрезка кривой с ее общей длинной тоже может быть любым. Что и даёт нам любое соотношение вероятности "выбрать то что нужно" к вероятности "выбрать хоть что-то". Как-то так.
Думаю, случайный выбор хорды должен быть по двум случайным точкам внутри круга. Но как посчитать при этом вероятности - это интересный вопрос. :)
Написать программу и запустить на часок...
@@AlexeyKravets метод Монте-Карло, как вариант, тоже неплох. Но хотелось-бы задачу решить аналитически.
Если две случайные точки совпадут, то количество возможных хорд будет бесконечным
@@bomuva если координата задается 64-битным числом, то точка 128-битной комбинацией. Когда погаснет солнце может к тому времени и произойдет такое, что две комбинации полностью совпадут... и тут же отсекутся простой проверкой.
Размещаем круг на прямоугольнике площадь которого гораздо больше. Выбираем в прямоугольнике пары случайных точек - и проводим через них линии. Если линия пересекла круг - она попадает в наши дальнейшие расчеты. Тогда мы берем хорду ей образованную - и смотрим длиннее она стороны треугольника или нет. Подсчитав отношение - получаем вероятность. При отношении площадей этого прямоугольника к кругу стремящемся к бесконечности - получаем настоящую вероятность по задаче ;)
Согласен с Пуанкаре)
Виталий, как заметили комментаторы в своих комментариях, звук действительно очень тихий. В дальнейшем контролируй уровень громкости. Что же касается ответа на парадокс Бертрана, то на вопрос, какой ответ правильный без ограничения условий на расположение хорды, неоднозначен. Нет и не может быть однозначного ответа. Это хорошо видно на трёх примерах. Когда-то учил в вузе математику, в том числе и Теорию вероятность по учебнику Елены Сергеевны Вентцель, но это было давно. А так, абстрагируясь от парадокса Бертрана, спасибо тебе за публикации и стремление приобщить людей, особенно молодых, к математике. *Моё уважение и лайк* 👍❤
Спасибо за обратную связь!
Есть похожая проблема с которой я как то столкнулся, когда нужно было смоделировать случайные точки которые попадают на круг. Все зависело как раз от способа выбора этих случайных координат точек.
1) Если выбирать случайные х и у в описанном квадрате, что первое и пришло в голову и просто отсекать точки не попавшие в круг. Если точка не попадала в круг мы просто выбираем следующую и так пока не попадем. На самом деле вероятность что несколько точек подряд не попадут в круг спустя 3-4 попытки довольно низкая. И обычно пары попыток пересчета хватает. Но выглядит немного костыльно).
2) Позже мне подсказали перейти к полярным координатам. И уже выбор точки был r-радиус ( от 0 до 1) и а-угол ( от 0 до 2pi). Ну и координаты соответственно были х=r*cos(a) и у=r*sin(a). Но вот незадача, при достаточно большой выборке точки в центре были плотнее. Что тоже не очень.
3) Если данный алгоритм модифицировать для более равномерного распределения, то вместо r нужно выбрать квадратный корень из числа. И вот есть уже 3 метод. который более не менее удовлетворяет.
4) Есть еще один способ который я не применял, но он есть. Это выбирать на круге сектор, с довольно маленьким углом, который в приближении можно принять за треугольник и потом выбирать случайную точку уже в нем.
Повторюсь, в данном видео эта проблема тоже присутствует - это неоднозначность выбора случайных величин, которые приводят к разным результатам. Рассмотрим например 3 вариант из видео: мы выбираем точку на радиусе, как в моем 2 варианте по сути. Если мы выбрали точку, то мы как бы выбрали целое кольцо и если мы нарисуем несколько колец разных радиусов с одинаковым количеством точек на них, то наглядно будет видно, что в кольцах малого радиуса точки плотнее чем на кольцах с бОльшим радиусом. И как следствие распределение этих точек тоже будет не совсем равномерным. А значит и сама вероятность будет не совсем правильной. Т.к. в условии задачи про способ выбора точек не слова, то получается что задача не совсем корректна или неполна.
Это меня натолкнуло, на некоторые мысли. То есть достижение какого либо результата (условно успеха, удачи) зависит не только от количества попыток. Но и от количества условий в которых эти попытки совершаются. Где попытки-это точки проходящего внутри круга отрезка. Совпадение длины отрезка со стороной треугольника-это удача. А площадь круга-это условия в которых совершаются попытки. Аналогии: 1-я Если написать 100 сообщений, в которых попросить 100 человек- скинуть тебе 10 долларов в твоем городе. Вероятность успеха ниже- чем если ты напишешь 100 сообщений с этой просьбой в 100 населенных пунктов твоей страны. И соответственно, вероятность еще выше, если ты напишешь это сообщение в города 100 стран. Конечно это без учета специфики уровня жизни граждан этих стран. И культурных особенностей. То же можно применить и к поиску потенциальной партнерши для брака. Поиску более высокого заработка в твоей профессии и т.д. Но это не точно....
По моему, задача сформулирована исключительно точно и полно. Трудность вижу в подсчете одинаковых ситуаций ( две разные точки дают два одинаковых варианта хорды ) . А так же то, что точки , расположенные на разном расстоянии от центра - дают разную вероятность хорды ( например точки ближе к центру - будут всегда выдавать бОльшие хорды , а маленьких хорд вообще не выдавать , а точки , расположенные на переферии - будут уже иметь ( бОльшую ) вероятность маленьких хорд.
Нет. Вероятность зависит от способа выбора хорд, а способ выбора не указан. Задача сформулирована неполно. Множества длинных и коротких хорд бесконечны, и можно подобрать закон выбора, дающий заранее заданную вероятность. А если не указывать закон выбора, то вопрос - а можно ли это сделать? Аксиома выбора в чистом виде.
Я думаю нужно исходить из понятия хорды- это линия пересекающая окружность в 2 точках. Следовательно нужно исходить от вероятностей координат точек, и не придумывать способ проведения хорды (этого нет в условии задачи). Первая точка может быть где угодно и не важна ее координата. А координата 2 точки влияет на вероятность, и если она находится в секторе 1/3 дуги напротив 1 точки, то длина хорды больше корня из 3. Так что 1 ответ верный, остальные не соответствуют условию задачи.
В самом начале, когда идёт иллюстрация вероятностей с помощью монетки и кубика, пропущено существенное уточнение: события должны быть РАВНОВЕРОЯТНЫ. Теперь вопрос: какие варианты выбора хорд можно считать равновероятными?
Например, в первом случае вероятность выбрать хорду малой длины существенно меньше вероятности выбрать хорду средней длины (точек, расположенных близко к первой фиксированной точке, существенно меньше точек, расположенных на "средней" дистанции). Т.е. здесь равновероятность выбора точки на длине окружности приводит к разной вероятности выбора длин хорд - график плотности вероятности от длины хорды будет колоколообразным.
В третьем случае равновероятными считаются события выбора точки на радиусе. При этом, вероятность выбора разных длин хорд здесь существенно более ровная (влияет только кривизна окружности).
С хордами разница в плотности вероятности. Что-то подобное считал тоже двумя разными способами. В одном случае я брал интеграл по дуге (то есть угол от -pi до pi), а в другом случае я брал формулу окружности и брал интеграл от -r до r. Результаты были разные. Как я понял, потому что во втором случае распределение по дуге не равномерное.
визуально задача похожа на попытку случайно заполнить круг точками (если делать это графическим алгоритмом по принципу rnd-угол + rnd-радиус - получим скопление точек в центре, если rnd-x + rnd-y в описанном квадрате с нормализацией радиуса - получим скопление в диагоналях) проблема заключается вобщем в том что площадь для нашего метода генерации это декартова размерность, а генерировать случайное число внутри непрямоугольной границы мы не то что бы тривиально можем (для этого вероятность выпадения первой координаты должна распределяться соразмерно циркулярной кривой и только второй может быть линейна но уже в ограниченном диапазоне). Простой способ это генерировать квадрат и отбрасывать неподходящие результаты. Поэтому если стремиться к равномерности заполнения случайными кривыми всей площади. То генерировать нужно не по точкам на окружности а по точкам всего круга. Это можно сделать через выбор случайных в описанном квадрате (исключая вышедшие за пределы) + rnd-угол наклона.
Если аналитически то дальше это нужно проинтегрировать. В этом случае проще перейти к системе где угол наклона горизонтально фиксирован, а точка случайна.
И собственно хорда длиннее там где она выше нижней границы нашего треугольника, (т.к. только там она длиннее стороны) но ниже соответствующей симметричной относительно круга позиции сверху.
Иными словами половина основания на высоту дают 3/2 - высоты треугольника относительно 4/2 диаметра круга. т.е. нехватает 1/2 дважды, т.е. ровоно половины диаметра. Ответ 1/2
Любое условие определяет неравномерность распределения точек, через которые проходит хорда. Если окружность выпрямить на отрезок прямой в гильбертовом двумерном пространстве, и принят концы хорды равномерно распределенными, то расстояние между точками, большее корень из трёх на отрезке два пи единичной окружности равно корень из трёх разделить на два пи умножить на три так как считаем концы не на одном отрезке но и на соседних равно корень из трёх делить на пи это при равномерном распределении концов хорд по окружности
Первое о чем подумал. Я бы хорду выбирал так: конец хорды - в нижней точке окружности, а выбор хорды определялся бы углом (от 0 до пи), который она образует с горизонтальной осью. Равномерность распределения была бы "вшита" в этот угол.
Интересно какой будет ответ в таком случае)
@@VitalMath, неохота считать. Вобщем-то там элементарная геометрия.
@@VitalMath 1/3. по сути 1й вариант
Если совместить все варианты, то получается, что благоприятный исход зависит от того, находятся ли все точки хорды в "благоприятной" площади. А благоприятная площадь в данном случае - 0,757746515 от общей площади круга. Это собственно и ответ.
Тут же возникает вопрос в том, что варианты с заданием хорды через 1 или 2 точки не верны - случайно задаются все точки хорды (общее кол-во безусловно стремится к бесконечности, поэтому варианты с заданными точками и абсолютно не верны).
Однако есть ещё один удобный вариант, если мы не будем брать само положение хорды на круге, а возьмём лишь параметр хорды, то хорда может быть длинной от 0 до 2 единиц. При случайном распределении появления хорд, её длина тоже будет иметь случайное распределение.
Соответственно нам нужны длины более корня из 2-х, а это будет встречаться в 0,292893219 случаев.
Ах ты ж.... какие разные варианты.
1 выбираем две точки на окружности случайным образом
2 расстояние между точками длина хорды по самой сути определения хорды.
3 есть распределение для точки случайной точки на окружности.
4 сопочтавив 2 распределения получаем распределение для длины отрезка между точками
5 сравниваем с эталоном и получаем ответ.
П.С. Интуитивно догадываюсь, что в ответе есть Золотое Сечение. Примерно 3/5
Да, главная проблема - неточность условия. Это всё-равно, что спросить: какова вероятность того, что количество яблок в корзине будет больше 10.
И конечно надо понимать, что линия - нулевая толщина, поэтому в любой площади уместится бесконечное количество хорд, как в области большей, так и меньшей вмещающей сторону треугольника. Отсюда вопрос задачи можно переформулировать как: каково отношение одной бесконечности к другой. Для исключения бесконечностей необходима "дискретизация", установление толщины полосы вместо линии, тогда и "линий" для определенной точности расчета достаточно будет определенное количество.
А правильный ответ 1/4. Тот же треугольник для получения всевозможных хорд надо вращать, и так получаем внутренний круг в котором благоприятные хорды. И если дополнить условие задачи максимальным количеством хорд, то вероятность естественно снижается до 1/4.
Похоже, я нашёл адекватное решение этой задачи. Я подумал, что искомая вероятность должна быть отношением средней длины хорды к стороне треугольника. Вопрос: как вычислить среднюю длину хорды? Ну, это среднее арифметическое сумм длин всех хорд. Из соображений симметрии достаточно рассмотреть только параллельные хорды. (Остальные получатся поворотом этих рассмотренных хорд на определённый произвольный угол, одинаковый для всех, что будет линейно увеличивать сумму длин на ту же величину и линейно же уменьшать её среднеарифметическое, что в итоге в точности скомпенсирует результат. Даже если итерировать по Δφ и устремить его к нулю.) Из тех же соображений симметрии можно ограничиться только четвертью окружности, рассматривая центральные углы от 0 до π/2 и половины получающихся хорд.
В итоге всё сводится к нахождению суммы sin((πk)/(2n))/n для всех k=[0...n], что есть сумма длин ординат углов, делённых на шаг итерирования (который равен 1/n), а n суть количество отрезков разбиения, если принять радиус окружности равным 1, что даст приблизительное значение. В заключение же следует устремить шаг к нулю, а значит n к бесконечности, и найти этот предел.
Wolfram выдает результат, равный 2/π: попробуйте формулу Limit[Sum[sin(πk/(2n))/n,{k,0,n}],n->∞] и проверьте сами. Длина же стороны правильного треугольника в окружности диаметром 1 равна √3/2. Но это диаметром, а у нас радиус, поэтому √3/2 у нас будет длина половины стороны треугольника. Осталось вычислить отношение 2/π к √3/2 и получить окончательно 4/(π√3) ≈ 73,5% Именно таков процент хорд, длиннее стороны треугольника.
Парадокс Бертрана интересен и применим к жизни, вероятностей много, кто диктует правила тот знает ответ, у каждого ответ свой!
Вероятность или 1/3 или 1/2. 1/4 можно, я думаю отбросить, так как через произвольную точку внутри большого или малого круга нужно проводить хорду одну так, чтобы точка была ее центром. Т.е. через бесконечное количество точек (к слову, бесконечность континуальная) за пределами малого круга мы проводим одну хорду, внутри малого круга мы также через бесконечное множество точек проводим одну хорду. Но есть одна точка внутри малого круга, через которую мы можем провести бесконечное (континуальное) множество хорд по этому правилу - это точка центра. Получается так, что у нас континуальное количество точек с одной хордой за пределами малого круга, континуальное количество точек с одной хордой внутри малого круга и одна точка внутри малого круга с континуальным количеством хорд. По сути с решением 1/4 можно было бы согласится, если бы не эта точка центра. НО, тут еще можно заметить, что мы имеем дело с непрерывным распределением (поэтому и точек континуально много), а значит вероятность попасть в одну какую-то конкретную точку равна нулю. Т.е. в центр мы не попадем никогда, а значит, если проводить хорду по этому правилу, что эта точка будет центром хорды, то да, вероятность будет 1/4. Вот только с таким ограничением на построение хорд я не согласен.
И если оградиться от этого ограничения, то, возможно, вероятность будет 1/2. Постараюсь объяснить. Если мы возьмем эти два круга - основной большой и малый вписанный в треугольник наш, то за пределами малого круга через произвольную точку проходит точно как минимум одна хорда (для которой эта точка - середина), которая короче длины стороны треугольника. Но если мы откажемся от построения хорды через эту точку, как середины хорды, то получается что через такую точку можно провести еще несколько таких хорд. Сколько? Если точка не лежит на окружности меньшего круга, то бесконечно много. Для таких хорд будет можно сказать "коридор" значений, когда они еще не пересекают малый круг. А раз есть этот "коридор", и учитывая, что даже маленький "коридор" бесконечен континуально, то таких хорд, которые мы можем провести через точку вне малого круга, и которые не будут пересекать этот малый круг будет континуально много. С другой стороны, если точка лежит внутри малого круга, то там вообще не важно, какую хорду мы через нее проведем - любая хорда будет больше длины стороны реугольника, а значит таких хорд тоже континуально много. Получается, что если убрать условие, что проводить можно хорду только так, что точка - это ее середина, то отношение площадей малого и большого круга нас уже не интересует. Так как мы начинаем сравнивать уже просто два континуума (за пределами малого круга и внутри него). А учитывая, что это одна и та же мощность двух множеств точек (и хорд), то с этой точки зрения абсолютно не важно будет ли точка внутри малого круга или за его пределами - и там и там таких точек континуум (и более того, для любой одной такой точки можно построить количество хорд тоже континуум). Т.е. мы просто сравниваем два континуума, два равномощных множества. Логически это означает, что вероятность 1/2 (что длиннее может быть, что короче).
Ну а то, что она может быть 1/3, тут я предлагаю похожий способ как в видео. Представьте, что вы поставили одну точку хорды на окружности, это произошло случайно естественно, с равномерным распределением (т.е. наша точка может быть в любой точке окружности). Чтобы провести хорду нужно поставить вторую другую точку (также случайно), и тут возможны следующие варианты относительно первой - если она будет на дуге лежать так, что будет ближе, чем треть окружности (в любом из направлений), то хорда будет меньше длины стороны треугольника (три стороны треугольника как раз и смотрят на эти дуги, которые составляют треть окружности). Так как таких направлений два, то мы можем говорить о двух таких дугах и, соответственно о двух третях окружности. Соответственно, чтобы вторая точка относительно первой была расположена так, чтобы хора была длинной, ей необходимо преодолеть расстояние в 2/3 от длины окружности (либо 1/3 по часовой, либо 1/3 против часовой). А значит у второй такой точки есть только 1/3 длины окружности, т.о. и вероятность для второй точки будет 1/3. У первой точки хорды, кстати, вероятности вообще нет (ну или она нулевая, или, еще точнее, нам не принципиально где точка будет поставлена), главное это вероятность нахождения второй точки хорды на окружности относительно первой.
Вот и думайте, какая вероятность тут уместнее - геометрическая по двум точкам и равная 1/3. Или вот такая логическо-множественная, немного мудреная, и равная 1/2.
Правильный ответ 1/4 тк случайную хорду в круге можно выразить через одну точку, в ответе 1/2 случайная хорда выражено только половиной таких точек, тк круг двухмерный, а в результате 1/3 если посмотреть на все получившиеся хорды, взятые к примеру через каждый градус, то длинных будет больше , хотя их должно быть равное количество. ну и на последок рисунок с 1/4 похож на клубок, что подразумевает реальное отражение задачи
Эту задачу можно свести к вопросу о количестве чисел расположенных на 2 любых интервалах, т.к. мы можем построить бесконечное количество хорд больших "а" и бесконечное количество хорд меньших "а"...здесь вообще не важно какие интервалы будут взяты, количество чисел которые можно распределить на обоих интервалах не будет отличаться, т.к. нет ограничений, другими словами распределение чисел будет 50/50. Поэтому правильный ответ 1/2.
Каждый ответ верен для своего способа "случайного" построения хорды. Не проверял, но уверен что компьютерная модель будет выдавать рассчитанный этими способами результат, в зависимости от выбранного правила "случайного" построения хорды.
ну ответов то можно придумать бесконечное количество, а правильный будет только один - 1/3. первый способ применим к окружности с конечным количеством вершин, остальное - делят бесконечности и получают хрен знает что.
Суперзадача! На мой взгляд, более простым представляется 1 решение, но более правильным - 3.
Первое решение автор видео преподнес неправильно, не полно. Оно является самым сложным.
Правильный ответ: 1\2. Все варианты, где хорды образуются вращением вокруг какого-либо центра - не верны, т.к. не известен шаг вращения. Правильно сосчитать все хорды можно лишь при плоско-параллельном перемешении прямой перпендикулярной диаметру. Так вот первые и последние пол-радиуса хорда будет меньше стороны треугольника, а остальное расстояние равное радиусу - больше. В итоге будут перебраны все возможные хорды и больше и меньше стороны треугольника они будет на равных отрезках диаметра. Что не понятно?
Если представить хорду как основание равнобедренного треугольника с вершиной в центре и углом γ, тогда для единичной окружности вероятность l>√3 можно записать как 2sin(γ/2)>√3, где γ случайный угол от 0 до π. Решив уравнение 2sin(γ/2)=√3 найдем угол γ=π2/3. То есть 1/3 всех углов будет удовлетворять начальному условию
Одно смущает (не в Вашем решение, а вообще): если выбирать случайно одну точку и случайно другую, получится что γ=α-β - "сумма" двух равномерно распределенных величин - имеет НЕравномерное распределение, т.е. 1/3 уже никак не получится.
Т.е. есть разница между "тыкаем точку вверху и выбираем второй конец на окружности" и "тыкаем точку где угодно и тыкаем вторую где угодно" или я какой-то прикол в разности углов не учел?
Да, зря смущало, прикол в том что хоть α-β распределена неравномерно (в диапазоне -2π...2π, при α=0..2π, β=0..2π), но вот γ=|α-β| - уже равномерно (в диапазоне 0..2π).
Короче, без разницы, случайно первую точку выбирать или вверху ставить.
Задача сформулирована точно! Что значит случайная хорда - отрезок, соединяющий две случайно выбранные точки на окружности, и не более!!!
На мой взгляд, вероятность случайно выбрать хорду длиннее заданного значения равна вероятности выбора точки на окружности, удаленной от случайно выбранной другой точки на окружности на заданное расстояние, которая из первого равна 1/3...
Красота математики!😂😂😂Одни парадоксы,что естественно:бесконечное пространство ,находящееся в бесконечном изменении не имеет мерности.
Какой же это парадокс, там всё просто расчитывается, надо только корректно взять все возможные хорды и найти сколько среди них больше стороны треугольника. Я даже програмку написал, которая это считает. Правильный ответ 0.5, т.е. 1/2. В программе я ограничил окружность 628 точками, но чем точек больше, тем точнее результат, идеальная окружность состоит из бесконечного числа точек, но в программу такое не забьёшь. Кому интересно, вот програмка:
```
#include
#include
#include
int main() {
const std::size_t n = 628; // количество вершин в многоугольнике
const std::size_t R = 100; // радиус описанной окружности
const double alpha = 2.0 * M_PI / n; // угол между соседними вершинами
std::size_t a = 0;
std::size_t b = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
double x1 = R * std::cos(alpha * i);
double y1 = R * std::sin(alpha * i);
for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
double x2 = R * std::cos(alpha * j);
double y2 = R * std::sin(alpha * j);
double length = std::sqrt((x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1));
if (length > 173.20508) {
a++;
} else {
b++;
}
}
}
std::cout
Второе решение должно было привести к 1/2, так как к 1/4 приводит ответ если добавить дополнительные условия задачи, я согласен что площадь вписанного круга 1/4, но ведь мы не выбираем случайную точку, мы выбираем случайную хорду, а значит достаточно чтобы хорда пересекала Радиус вписанного круга, а так как радиус вписанного круга 1/2, то соответственно и вероятность будет 1/2.
да... или длиннее или короче))) тут как поведет. вероятность это всегда 50-50 а вот каково соотношение вероятностей длинной к короткой это другой вопрос))) 1/2 100%