Formula for sum of squares of integers, proof
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- เผยแพร่เมื่อ 4 ส.ค. 2024
- ▼ IMPORTANT ▼ In this video we will see a way to find the formula to calculate the sum of the squares of the positive integers, step by step.
#sumulations #series #calculus
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Gracias maestro, no encontraba por ningún lado alguien que explicara tan bien cómo tu el. Procedimiento de las sumatorias, me ayudaste a ganar décimas en la prueba ❤️ mil gracias
Excelente vídeo..! me encanta que subas demostraciones :D
Extraordinariamente bien explicado; una labor sumamente útil para la difusión de la cultura matemática.
muchas gracias.
Tomen amigos de Mate Fácil su "Me Gusta" bien ganado y la suscripción por esta brillante demostración.
Despues de meses por fin pude entender la demostracion que hiciste, gracias, genial video...
Muchas gracias, muy bien explicado.
Gracias por subir este video 💓
Gracias por la explicación, me ayudó bastante
Gracias profe no se deje y siga subiendo más videos. Un saludo
Excelente explicación, me di x vencido... Llevaba horas tratando de encontrar la fórmula x mi cuenta
Muy buen video, cuando puedas monta más demostarciones
Muchas gracias, este video me ayudo mucho.
Todo un genio!!!!
no entiendo de donde sale (k+1)^2 -k^3 :( lo demás muy bien explicado👏
propiedad telescópica
Es un artificio para cancelar los cubos de k
Gracias lindo video
Resolviste mi tarea... 💙 Gracias
Excelente 🤝
Chamooo gracias, ahora a presentar mi tarea de Álgebra y Geometría ANALÍTICA :'V
Me agrada la explicación, pero seria bueno tambien explicarlo por la propiedad telescopica de la sumatoria, me parece mas fácil...
Hola. Muy buen canal. Mencionas en el vídeo que el método es solo.alguno de los utilizados. Me podría informar cuales son los otros métodos para encontrar la suma de los números enteros a la n potencia.
Hola!! Necesito ayuda, es como el primer ejemplo pero añadiéndole (k² + 1) como lo haría??
Muchas gracias!! sólo conocía la demostración por inducción completa
De echo.. La demostración por inducción es solo para verificar que si funciona... No es la demostración de donde surge la fórmula general.. Se entiende?.
Induccion es muy fácil. Es mejor aprender como surgen las fórmulas generales. Aunque la induccion viene de la mano. Saludos!
Excelente profesor
Gracias!
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Gracias, queria hallar la suma de x^4 y no recordaba el método
por que parte con: (k + 1)^3 - k^3, la verdad no entiendo eso
Esto se conoce como suma telescópica, parte de esa expresión porque es la que nos da la suma que buscamos al desarrollarla.
En el miembro del lado izquierdo quedaría 6n^2+1
Porque en lo que analizé en el comentario anterior se me olvidó restarle el 1^3 de la primera fila...
holaa una duda no entiendo porque se usa el cubo de la suma de dos cantidades al principio del video, no puede ser otra expresión y para que se usa?? gracias :)
hola, me podrias recomedar un libro para estudiar esta materia porfa, saludos
Hola, buenas noches, en tu vídeo esta explicado de una forma excelente, pero tienes un pequeño detalle de dedo, en tus sumatorias al cuadrado, pones 3 al cubo en ves de 3 al cuadrado, solo fue es detalle de todo lo demás excelente explicación saludos.
Hola muchas gracias y felicitaciones por la calidad de tu enseñanza.
Realmente admirable tu trabajo eternamente agradecido
Existe otra demostración ?
Lo que pasa es que tengo algunas dudas,por ejemplo al momento de reemplazar 3n ,e interpretarlo como la suma de los primeros numeros enteros(la formula del video anterior).
No es eso decir que 3n es igual a n(n+1)/2?????
Me parece que hay una contradicción,o que falta algo para la demostración
Saludos!!!
Corrección
La suma de los primeroa numeros enteros multiplicados por 3
Puedes usar inducción matemática y /o Newton-Pascal como la que dejo arriba como comentario
¿De dónde salió la diferencia de cubos del principio?
Me asalta una duda en la penultima columna, si en laúktima columna es "n", entonces la penultima sería (n-1), ése (n-1) al reemplazarlo en K, efectivamente se cancela el -n^3 de la última columna con un n^3 de la penúltima columna, porque en la penúltima columna al reemplazar (n-1) donde aparezca K obtengo lo siguiente...
(n-1+1)^3 - (n-1)^3
n^3 - n^3+3n^2-3n+1
Dicho lo anterior se cancela n^3 de la penúltima fila con el -n^3 de la última fila, pero el no tomó en cuenta que al sumar los dos últimos términos de las últimas dos filas queda la siguiente expresión
6n^2+2... Entonces el obvia esta expresión y nola toma en cuenta, y debería tomarla en cuenta ya que está sumando todo verticalmente...
En la penúltima fila tienes n^3-(n-1)^3, el n^3 de esa fila se cancela con el de la última fila. El (n-1)^3 se cancela con el de la fila de arriba. Es decir, simplemente va ocurriendo lo mismo que en los primeros renglones. Si aun te cuesta mucho trabajo ver eso, puedes intentar sumar desde 1 hasta 10 (en lugar de hasta "n"), y ver como todos los términos se cancelan, excepto el primero y el último. Es sencillamente una suma telescópica.
¡Saludos!
Me podria recomendar un libro para estudiarlo con mas analisis?
una duda, de que libros puedo conseguir este tipo de demostraciones ?
libros de olimpiada de mate
x2
Al principio del video saco una formula (k+1)^3-k^3 de donde salio eso? Explicaste que era similar a la formula gaussiana pero nada que ver si me puedes explicar a la vrevedad te lo agradeceria mucho, otra cosa quiero esta formula demostrarla por induccion completa pero no pude demostrarla me dan diferente
Esa es la parte ingeniosa de esta demostración. De que al restar ese tipo de terminos, quedan terminos de menor exponente y sustituyendo valores se originan las sumas que queremos. Funciona para cualquier exponente, siempre que se cuente con las formulas de las sumas para exponentes menores.
Por induccion tambien se puede demostrar, claro.
igual, yo tampoco se de donde salio esa diferencia de cubos
Y se puede hacer lo mismo con esta sucesión ( son elevados al cuadrado) 2+4+6+8+...+n
Hay algún fórmula, no encuentro 😢
¡Hola!
Como todos son impares, puedes factorizar un 2 en cada término, quedando:
(2*1)^2+(2*2)^2+(2*3)^2+(2*4)^2+...
Ahora, elevamos el 2 al cuadrado y queda
4*1^2+4*2^2+4*3^2+4*4^2+...
Factorizamos el 4, y queda:
4(1^2+2^2+3^2+4^2+...)
Y la suma dentro del paréntesis se calcula con la fórmula de este video.
Hola
(k+1)^3 = (k+1).(k+1)^2 = (k+1).(k^2+2k+1) = (k^3+2k^2+k+k^2+2k+1) = k^3+3k^2+3k+1
Acabo de ver el video y aún me queda la duda de dónde salió (k+1)^3-k^3 por favor si me pudieras explicar
Solo coloca esa expresión porque es la que le ayudará a demostrar la sumatoria
En matematicas,solucionar un problema,implica desarrollar una estrategia,y en esta demostracion ,utilisar una serie cubica es buena idea.
Pero usando el binomio de Newton y el triangulo de Pascal para casos desde primer grado a enésimo grado tendremos
Para los n cuadrado términos usaremos binomio al cubo y los coeficientes del triángulo de Pascal, teniendo en cuenta que los extrenos serán siempre 1 y n. Esta manera de demostrar las sumas es válida para enésimos términos vale decir para S^3,S^4,S^5....S^n
(n+1)^3 =1+3S^2 + 3S + n
n ^3 + 3n^2 + 3n +1 =1+3S^2 + 3S + n
n ^3 + 3n^2 + 3n +1 =1+3S^2 + 3n(n+1)/2 + n
n ^3 + 3n^2 + 3n +1 =1+3S^2 + 3n^2/2+3n/2 + n
n ^3 + 3n^2/2 +1n/2 =3S^2
multiplicando por 2
2n ^3 +3n^2 +n =6S^2
factorizando n y ordenando
6S^2 = n (2n^2+3n+1)
6S^2 = n (n+1)(2n+1)
S^2 = n (n+1)(2n+1)/6
Porfa una cubica
como sería haciéndolo con coeficientes binomiales?
Todo claro, pero de donde sale esa expresión (k+1)^3 - k^3? Es decir, sé que es la telescópica, pero por qué le aumentamos 1 número al exponente? por qué es al cubo (3) y no al cuadrado (2) ?
La explicación es extensa. Por eso los profes siempre inician desde el cubo de un binomio.
En resumen: la suma de los cuadrados 1, 5, 14, 30, •••, etc, es una sucesión que se sustituye por a1, a2, a3, a4, •••, etc. Se halla la diferencia común, que en este caso es variable, y, al construir la sucesión otra vez, pero algebráicamente término a término, se genera el cubo de un binomio.
Y como llegaste a eso de k?
el min 3:32 sin querer se le fue 3^3 y es 3^2 je
Es cierto :p pero lo demás es correcto, solo fue un error de dedo
Me retracto de los comentarios hechos anteriormente, hice la prueba con más números y efectivamente sólo queda en el lado izquierdo (n+1)^3-1^3
¡Muy bien!
Gracias y disculpen mi error profesores...
Como le hago si empieza mi sucesión con 11^2 ??
Depende, por ejemplo si te refieres a las suma de los "n" primeros números cuadrados perfectos para ese caso, entonces todo lo que suma desde 11´2 hasta n´2 sería igual a la sumatoria de 1 hasta el término de lugar n (que sería n) por la ley de formación (n´2) menos 1 hasta el término de lugar 10 (uno menos que el término de lugar inicial con el que comienza la suma que te dan y que sería 10) por la ley de formación (n´2)
Cuál es la fórmula para K^5?
Usando Newton-Pascal la suma 5 o S^5 es:
S^5 = ( 2n^6 +6n^5 +5n^4 -n ^2)/12
Simplemente pienso......ese ejercicio en una hora de trabajo arduo no la encuentra ni Mandrake..!!!
Pero si 1 al cuadrado mas 2 al cuadrado mas 3 al cuadrado ea 14, y 4 al cubo menos 3 al cubo es 37
entonces el k^3 seria...
k^3= n^2(n+1)^2 / 4
Que embole alpedo 🤣🤣😂😂
no entiendo como llegas a (k+1)^3-k^3, vi los videos pasados y no entiendo… help
Sos un groso ahora puedo demostrarlo en la facu
Excelente! Me da gusto que mi video te haya servido
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Mucho texto 😴