MONTRER QUE (a+b+c)² ≤ 3(a² +b ² + c²)
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- เผยแพร่เมื่อ 8 ก.ย. 2024
- 🎯 Tu veux la solution pour devenir solide en maths 💪 ? C'est ici : hedacademy.fr/...
Une bien belle démonstration avec de nombreux raisonnements et réflexes qu'il est intéressant d'avoir ou de développer.
Démontrer que pour a, b, c, des nombres réels, (a+b+c)² ≤ 3(a² +b ² + c²)
![Warhammer 40k: Space Marine 2 | เพื่อจักรพรรดิ ! [ตอนเดียวจบ]](http://i.ytimg.com/vi/4M0ckYMA4-U/mqdefault.jpg)
Amusant, j’ai aussi commencé par suivre la même « fausse piste » de la simplification par 2 😅 Par contre, j’ai légèrement dévié à la fin en réarrangeant 2a²+2b²+2c² en (a²+b²)+(a²+c²)+(b²+c²) - qui me paraissait avoir une bonne tête bien symétrique 🙃 puis (a²+b²) = (a-b)²+2ab (et idem pour les deux autres) soit au final 2a²+2b²+2c² = 2ab+2ac+2bc + (a-b)²+(a-c)²+(b-c)² donc évidemment ≥ 2ab+2bc+2ac puisque les 3 derniers termes sont positifs (on a l’égalité dans le cas où a=b=c). Une dernière petite remarque : au début, je ne suis pas sûr que factoriser (a+b+c)² comme ((a+b)+c)² et appliquer deux fois l’identité remarquable soit vraiment plus rapide ou plus simple que développer classiquement (a+b+c)(a+b+c) = aa+ab+ac+ba+bb+bc+ca+cb+cc (mais bon, les goûts et les couleurs… 😊)
La vache !!! Celle-ci était tendue ! Notamment la reconstruction des 3 identités remarquables. Chapeau prof !
C’est une application triviale de l’inégalité de Cauchy Schwartz …
@@LouisLeCrack Même les missions Apollo vers la Luna étaient Triviales 🙂
Bonjour, je vous propose de tracer la "courbe" d'équation | x + y | + | x - y | = c. Le résultat pourrait surprendre certains de vos abonnés.
C'était lourd de propriété et de manipulation !!
J'ai adoré le petit récap de fin pour retracer le chemin parcouru pour une vision d'ensemble, ça m'a permis de revenir en arrière et d'élargir ma vision, au lieu de me focus sur le niveau du progrès en oubliant cet avant.
C'est magnifique faites plus de vidéo comme ça s'il vous plaît
Elle m'a retourné le cerveau!
Je suis une étudiante Algérienne , mes leçons je les a y comprendre dans ta chaine car tu simplifié les math wlah. Merci😻
Avec plaisir 😊
J'avoue j'aurais aussi factorisé par 2, mais j'ai vu très vite l'impasse. Magnifique vidéo encore une fois.
Même réflexe 😊 Merci beaucoup
@@hedacademy Mais c'est simmmmple , avant m^me de cliquer voici la réponse :
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On sait tous que si a et b sont 2 réel positifs alors
La moyenne arithmétique est SUPERIEURE ou egale à Moy géométrique
càd : √(a*b) (Moy. géometrique) ≤ (a +b) /2 (Moy. arithmétique)
en effet : 0 ≤ (√a - √b) ²
0 ≤ a+b - 2√(ab)
2√(ab) ≤ a+b
√(ab) ≤ (a+b) / 2
Donc on considère a² , b² , c² qui sont Réels POSITIFS (donc √(a² * b²) =a*b , etc...) ;
donc on aura en considérant les Moyenne arithmétiques et géométriques :
a*b ≤ (a²+b²)/2
2ab ≤ a² + b²
de m^me :
2ac ≤ a² + c²
2bc ≤ b² + c²
Donc on aditionne terme à terme :
2ab + 2bc+2ac ≤ 2a²+2b²+2c²
on ajoute à chaque membre le terme a²+b²+c² et on aura :
a² + 2ab + b² + 2ac +2bc + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
(a+b)²+ 2c (a+b) + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
DONC :
(a+b+c)² ≤ 3 (a²+b²+c²) LE RESULTAT
TARAAAAAAAAAAAAANNNNNN
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On peut aussi juste considérer un cas a=0 a²+b²+c²+2(c-a)(c-b)>=a²+b²+c² 3(a²+b²+c²)>=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)=(a+b+c)². Je veux déjà suivre la vidéo mais je sens que je peux encore au moins trouver une autre méthode.
A force d'apprendre bêtement des formules, on finit par faire son galérien comme le monsieur au début. Comment développer (a+b+cಠintelligemment ?
On dit simplement que c'est (a+b+c)(a+b+c).
Quand on développe, on choisit un terme de la première parenthèse, et un second de la deuxième parenthèse, puis on les multiplie. Il y a trois choix dans chaque parenthèse, dont neuf associations possibles.
Trois de ces associations correspondent au choix du même terme dans chaque parenthèse : on obtient donc a², b² et c².
Le choix de a dans la première et de b dans la deuxième équivaut à celui de b dans la première et de a dans la deuxième. On les met donc ensemble et on a 2ab.
De même pour les choix de a et c et pour les choix de b et c, on obtient 2ac et 2bc.
Et comme on a fait nos neuf associations on a fini. Donc (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.
NB: l'avantage de cette méthode est qu'on peut l'utiliser pour des produits plus complexes. C'est même une démonstration possible pour le binôme de Newton.
Supposons qu'on veuille calculer (a+b)^n. On l'écrit comme (a+b)(a+b)...(a+b).
Comme il y a n facteurs (a+b), il y a 2^n termes quand on développe le tout, puisqu'on choisit a ou b dans chaque parenthèse.
Mais ces 2^n termes, on peut les classer ensemble. Car si on choisit a k fois et donc b (n-k) fois, la valeur est indépendante de l'ordre des choix : ça vaut a^k.b^(n-k).
Et en probabilités, combien y a-t-il de façons de choisir k termes sans remise parmi n ? Tout simplement C(n,k).
On obtient donc que (a+b)^n=somme(k=0,n,C(n,k).a^k.b^(n-k)).
Cette même méthode peut être utilisée pour montrer la formule de (a+b+c)^n, qui fait cette fois intervenir les coefficient trinomiaux.
@Igdrazil Le seul besoin d'une récurrence, si on veut vraiment être ultra-rigoureux à mort, c'est pour justifier que quand on développe le produit de n sommes de deux facteurs, on se retrouve avec 2^n facteurs, chacun étant entièrement déterminé par le choix d'un facteur dans chaque parenthèse. Mais c'est une démonstration complètement triviale. Mais sinon démontrer le binôme de Newton par récurrence (et je connais la démo, je l'ai même eue avec ma prof de Sup pour ma première khôlle en prépa), c'est se faire des noeuds dans la tête pour rien.
Utiliser la démonstration par récurrence, ça a le mérite d'être élégant, mais c'est parfois inutile. Vouloir s'enfermer à tout prix dans un type de démonstration, ça relève presque du fanatisme...
@Igdrazil Tu m'as l'air d'une érudition mathématique sans limites, et je suis pratiquement sur le point de t'accorder une vénération absolue. Il me manque juste une toute PETITE étape, mais je me doute que pour toi, la franchir sera une simple formalité. Tout ce que je te demande, c'est de démontrer le théorème que tu as énoncé, selon lequel toutes les démonstrations possibles et imaginables de la formule du binôme de Newton nécessitent de faire appel à un raisonnement par récurrence. J'ai hâte de lire la démonstration brillante (et rigoureuse bien entendu) que tu vas m'apporter. Ne me fais donc pas attendre davantage et partage un peu de ta science infinie avec moi !
@Igdrazil Je demande une démonstration. J'ATTENDS.
C’est une application triviale de l’inégalité de Cauchy Schwartz …
1:44 ca cest ce quon appelle etre dependant aux formule et identite remarquable
Bonjour ! Merci pour cette vidéo démonstration hedacademy ! ❤❤❤
j'adore cette gymnastique intellectuelle
Facile, la convexité de la fonction x-->x² permet d'écrire [(1/3)a+(1/3)b+(1/3)c]²
tu es la plus brave monsieur que j'ai vu❤
Mais c'est simmmmple , avant m^me de cliquer voici la réponse :
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On sait tous que si a et b sont 2 réel positifs alors
La moyenne arithmétique est SUPERIEURE ou egale à Moy géométrique
càd : √(a*b) (Moy. géometrique) ≤ (a +b) /2 (Moy. arithmétique)
en effet : 0 ≤ (√a - √b) ²
0 ≤ a+b - 2√(ab)
2√(ab) ≤ a+b
√(ab) ≤ (a+b) / 2
Donc on considère a² , b² , c² qui sont Réels POSITIFS (donc √(a² * b²) =a*b , etc...) ;
donc on aura en considérant les Moyenne arithmétiques et géométriques :
a*b ≤ (a²+b²)/2
2ab ≤ a² + b²
de m^me :
2ac ≤ a² + c²
2bc ≤ b² + c²
Donc on aditionne terme à terme :
2ab + 2bc+2ac ≤ 2a²+2b²+2c²
on ajoute à chaque membre le terme a²+b²+c² et on aura :
a² + 2ab + b² + 2ac +2bc + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
(a+b)²+ 2c (a+b) + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
DONC :
(a+b+c)² ≤ 3 (a²+b²+c²) LE RESULTAT
TARAAAAAAAAAAAAANNNNNN
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Impeccable, merci :)
J'étais bien parti comme toi...mais après j'ai pataugé grave dans l'couscous !! 😂😂😂
Merci Iman 🙏😀🙏trop fort !!!! et .....meilleurs voeux !!! On lâchera rien !!😀
Richard 👍😎🏁🐆
Merci Richard 😊
@@hedacademy ✋😀🤚
Iman chacune de tes videos est un régal intellectuel , j'attends chaque fois la nouvelle avec joie , toujours un defi !!! avec ta bonne humeur indéfectible en prime et tes expressions qu'il faudra compiler un jour !!
Merci infiniment pources moments précieux !!
Richard 👍😎🏁🐆
Merci beaucoup !
J'ai adoré 🎉
Ok, je crois que je peux aussi avoir cette méthode vu ce que j'ai écrit lors de la deuxième méthode: en considérant le polynôme (c-a)x²+2(b-a)x-(c-b), on constate que son discriminant réduit est positif ce qui est suffisant pour passer à la deuxième méthode puis on conclut de la même façon. Je pense à certaines choses actuellement. Je crois que je vais essayer de voir cette vidéo tout à l'heure mais maintenant ce n'est plus parce que j'ai la sensation de vouloir trouver une autre méthode hum.
Ce n'est pas la plus élémentaire, mais la meilleure méthode c'est Cauchy Schwarz car elle est immédiate.
L'inégalité est plus forte en remplaçant 3 par 2.
De plus en développant :
(a-b-c)² on remarque que
2(ab+ac+bc)
Mais c'est simmmmple , avant m^me de cliquer voici la réponse :
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On sait tous que si a et b sont 2 réel positifs alors
La moyenne arithmétique est SUPERIEURE ou egale à Moy géométrique
càd : √(a*b) (Moy. géometrique) ≤ (a +b) /2 (Moy. arithmétique)
en effet : 0 ≤ (√a - √b) ²
0 ≤ a+b - 2√(ab)
2√(ab) ≤ a+b
√(ab) ≤ (a+b) / 2
Donc on considère a² , b² , c² qui sont Réels POSITIFS (donc √(a² * b²) =a*b , etc...) ;
donc on aura en considérant les Moyenne arithmétiques et géométriques :
a*b ≤ (a²+b²)/2
2ab ≤ a² + b²
de m^me :
2ac ≤ a² + c²
2bc ≤ b² + c²
Donc on aditionne terme à terme :
2ab + 2bc+2ac ≤ 2a²+2b²+2c²
on ajoute à chaque membre le terme a²+b²+c² et on aura :
a² + 2ab + b² + 2ac +2bc + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
(a+b)²+ 2c (a+b) + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
DONC :
(a+b+c)² ≤ 3 (a²+b²+c²) LE RESULTAT
TARAAAAAAAAAAAAANNNNNN
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PAS MAAAAAAA , M^me moi je l'ai pas vu !
Mais il faut connaitre les moyennes
Trop fort...
Super
Et Cauchy-Schwarz pour les vecteurs (a, b, c) et (1, 1, 1) ?
ça marche aussi !
Mais c'est simmmmple , avant m^me de cliquer voici la réponse :
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On sait tous que si a et b sont 2 réel positifs alors
La moyenne arithmétique est SUPERIEURE ou egale à Moy géométrique
càd : √(a*b) (Moy. géometrique) ≤ (a +b) /2 (Moy. arithmétique)
en effet : 0 ≤ (√a - √b) ²
0 ≤ a+b - 2√(ab)
2√(ab) ≤ a+b
√(ab) ≤ (a+b) / 2
Donc on considère a² , b² , c² qui sont Réels POSITIFS (donc √(a² * b²) =a*b , etc...) ;
donc on aura en considérant les Moyenne arithmétiques et géométriques :
a*b ≤ (a²+b²)/2
2ab ≤ a² + b²
de m^me :
2ac ≤ a² + c²
2bc ≤ b² + c²
Donc on aditionne terme à terme :
2ab + 2bc+2ac ≤ 2a²+2b²+2c²
on ajoute à chaque membre le terme a²+b²+c² et on aura :
a² + 2ab + b² + 2ac +2bc + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
(a+b)²+ 2c (a+b) + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
DONC :
(a+b+c)² ≤ 3 (a²+b²+c²) LE RESULTAT
TARAAAAAAAAAAAAANNNNNN
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Oui c’est tout à fait trivial…
@@LouisLeCrack Alors tu me traite de malade en ayant résolu cet exercice en 5 min ?
@@LouisLeCrack Toi tu sais résoudre ça ? Montre nous une résolution d'un exercice de cette chaine ! Allez- Allez !
Mais c'est simmmmple , avant m^me de cliquer voici la réponse :
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On sait tous que si a et b sont 2 réel positifs alors
La moyenne arithmétique est SUPERIEURE ou egale à Moy géométrique
càd : √(a*b) (Moy. géometrique) ≤ (a +b) /2 (Moy. arithmétique)
en effet : 0 ≤ (√a - √b) ²
0 ≤ a+b - 2√(ab)
2√(ab) ≤ a+b
√(ab) ≤ (a+b) / 2
Donc on considère a² , b² , c² qui sont Réels POSITIFS (donc √(a² * b²) =a*b , etc...) ;
donc on aura en considérant les Moyenne arithmétiques et géométriques :
a*b ≤ (a²+b²)/2
2ab ≤ a² + b²
de m^me :
2ac ≤ a² + c²
2bc ≤ b² + c²
Donc on aditionne terme à terme :
2ab + 2bc+2ac ≤ 2a²+2b²+2c²
on ajoute à chaque membre le terme a²+b²+c² et on aura :
a² + 2ab + b² + 2ac +2bc + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
(a+b)²+ 2c (a+b) + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
DONC :
(a+b+c)² ≤ 3 (a²+b²+c²) LE RESULTAT
TARAAAAAAAAAAAAANNNNNN
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Ouais je suis contente c'est moi qui l'ai premier premier à toucher j'aime ❤❤❤
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On sait tous que si a et b sont 2 réel positifs alors
La moyenne arithmétique est SUPERIEURE ou egale à Moy géométrique
càd : √(a*b) (Moy. géometrique) ≤ (a +b) /2 (Moy. arithmétique)
en effet : 0 ≤ (√a - √b) ²
0 ≤ a+b - 2√(ab)
2√(ab) ≤ a+b
√(ab) ≤ (a+b) / 2
Donc on considère a² , b² , c² qui sont Réels POSITIFS (donc √(a² * b²) =a*b , etc...) ;
donc on aura en considérant les Moyenne arithmétiques et géométriques :
a*b ≤ (a²+b²)/2
2ab ≤ a² + b²
de m^me :
2ac ≤ a² + c²
2bc ≤ b² + c²
Donc on aditionne terme à terme :
2ab + 2bc+2ac ≤ 2a²+2b²+2c²
on ajoute à chaque membre le terme a²+b²+c² et on aura :
a² + 2ab + b² + 2ac +2bc + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
(a+b)²+ 2c (a+b) + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
DONC :
(a+b+c)² ≤ 3 (a²+b²+c²) LE RESULTAT
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Pfiuuuu ... juste avant l'apero du Nouvel An ! C'est ... enfin bref !
Bon reveillon à toutes et tous !
J adore et le bac c etait il y a longtemps maintenant 😂
combien longftemps 10ans ou 30 ans ?? m^me 30 ans c'est rien §
Mais c'est simmmmple , avant m^me de cliquer voici la réponse :
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On sait tous que si a et b sont 2 réel positifs alors
La moyenne arithmétique est SUPERIEURE ou egale à Moy géométrique
càd : √(a*b) (Moy. géometrique) ≤ (a +b) /2 (Moy. arithmétique)
en effet : 0 ≤ (√a - √b) ²
0 ≤ a+b - 2√(ab)
2√(ab) ≤ a+b
√(ab) ≤ (a+b) / 2
Donc on considère a² , b² , c² qui sont Réels POSITIFS (donc √(a² * b²) =a*b , etc...) ;
donc on aura en considérant les Moyenne arithmétiques et géométriques :
a*b ≤ (a²+b²)/2
2ab ≤ a² + b²
de m^me :
2ac ≤ a² + c²
2bc ≤ b² + c²
Donc on aditionne terme à terme :
2ab + 2bc+2ac ≤ 2a²+2b²+2c²
on ajoute à chaque membre le terme a²+b²+c² et on aura :
a² + 2ab + b² + 2ac +2bc + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
(a+b)²+ 2c (a+b) + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
DONC :
(a+b+c)² ≤ 3 (a²+b²+c²) LE RESULTAT
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Je sais pas pourquoi ça me rappelle cet épisode de Malcolm où Hal doit changer une ampoule, puis il se rend compte que l'étagère où sont les ampoules est dévissée, puis que le tiroir contenant le tournevis grince,...
A = (a+b+c)² = (a + (b+c))²
B = 3(a²+b²+c²)
A = 0
=> a²+a²+b²+b²+c²+c² - 2ab - 2ac - 2bc >= 0
=> (a² - 2ab +b²) + (a² - 2ac +c²) + (b² - 2bc +c²) >= 0
=> (a-b)² + (a-c)² + (b-c)² >= 0
Donc A
Mouhamed ❤
Oulàlà quelle mixture !
J'y arriverais un jour, J'y arriverais. 😂
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On sait tous que si a et b sont 2 réel positifs alors
La moyenne arithmétique est SUPERIEURE ou egale à Moy géométrique
càd : √(a*b) (Moy. géometrique) ≤ (a +b) /2 (Moy. arithmétique)
en effet : 0 ≤ (√a - √b) ²
0 ≤ a+b - 2√(ab)
2√(ab) ≤ a+b
√(ab) ≤ (a+b) / 2
Donc on considère a² , b² , c² qui sont Réels POSITIFS (donc √(a² * b²) =a*b , etc...) ;
donc on aura en considérant les Moyennes arithmétiques et géométriques :
a*b ≤ (a²+b²)/2
2ab ≤ a² + b²
de m^me :
2ac ≤ a² + c²
2bc ≤ b² + c²
Donc on aditionne terme à terme :
2ab + 2bc+2ac ≤ 2a²+2b²+2c²
on ajoute à chaque membre le terme a²+b²+c² et on aura :
a² + 2ab + b² + 2ac +2bc + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
(a+b)²+ 2c (a+b) + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
DONC :
(a+b+c)² ≤ 3 (a²+b²+c²) LE RESULTAT
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(a+b+c)^2=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)
=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²
=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
3(a²+b²+c²)-(a+b+c)^2=2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac
=(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)
=(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2
Or la fonction carré est positive sur R, donc (a-b)^2>=0, (b-c)^2>=0 et (a-c)^2>=0
D'où (a-b)^2 +(b-c)^2+(a-c)^2>=0
3(a²+b²+c²)-(a+b+c)^2>=0
3(a²+b²+c²)>=(a+b+c)^2
CQFD
(a + b + c)^2 = a^2 + 2a(b + c) + (b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac
(a + b + c)^2 - 3(a^2 + b^2 + c^2) = 2ab + 2bc + 2ac - 2(a^2 + b^2 + c^2) = - [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] ≤ 0
(a + b + c)^2 ≤ 3(a^2 + b^2 + c^2)
Commentaire avant d'avoir vu la vidéo.
J'ai d'abord développé le membre de gauche :
(a+b+c)²=([(a+b)+c)]²=(a+b)²+2(a+b)c+c²=a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²=a²+b²c²+2(ab+ac+bc).
(a+b+c)² ≤ 3(a²+b²+c²) 2(ab+ac+bc)≤2(a²+b²+c²)ab+ac+bc≤a²+b²+c².
Et après j'avoue que j'ai bloqué...
Là c'est encore Cauchy-Schwarz mais avec les vecteurs (a, c, b) et (b, a, c)
Ou sinon on dit que (a-b)² + (b-c)² + (a-c)² est positif ; en développant et en divisant par deux on trouve a² + b² +c² - ab - bc - ac >= 0
@@maryvonnedenis6304
On peut aussi utiliser mécaniquement la méthode de Gauss pour réduire la forme quadratique précédente si on ne voit pas d'astuce. On trouve (en privilégiant a, puis b) qu'elle est égale à (a +(b/2) + (c/2))^2 + (3/4). (b-c)^2, d'où la positivité. Ceci dit Cauchy Schwarz c'est bien le mieux ici.
Mais c'est simmmmple , avant m^me de cliquer voici la réponse :
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On sait tous que si a et b sont 2 réel positifs alors
La moyenne arithmétique est SUPERIEURE ou egale à Moy géométrique
càd : √(a*b) (Moy. géometrique) ≤ (a +b) /2 (Moy. arithmétique)
en effet : 0 ≤ (√a - √b) ²
0 ≤ a+b - 2√(ab)
2√(ab) ≤ a+b
√(ab) ≤ (a+b) / 2
Donc on considère a² , b² , c² qui sont Réels POSITIFS (donc √(a² * b²) =a*b , etc...) ;
donc on aura en considérant les Moyenne arithmétiques et géométriques :
a*b ≤ (a²+b²)/2
2ab ≤ a² + b²
de m^me :
2ac ≤ a² + c²
2bc ≤ b² + c²
Donc on aditionne terme à terme :
2ab + 2bc+2ac ≤ 2a²+2b²+2c²
on ajoute à chaque membre le terme a²+b²+c² et on aura :
a² + 2ab + b² + 2ac +2bc + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
(a+b)²+ 2c (a+b) + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
DONC :
(a+b+c)² ≤ 3 (a²+b²+c²) LE RESULTAT
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Si l'on considère les vecteurs (a,b,c) et (1,1,1) c'est l'inégalité de Schwarz qui est facile ä dömontrer .
je vais prendre un doliprane ... :)
Le carré est toujours positif ... OU NUL ! Ne jamais oublié ce petit détail. Pas utile dans cette démonstration, mais c'est parfois vital.
En France l'ensemble des nombres "positifs" inclut 0 (ce qui n'est pas le cas pour "positive" chez les anglophones). D'où l'existence d'expressions comme "strictement positif" pour exclure le 0.
L'exponentiation est plus puissante que la multiplication. Donc dès la liggne du milieu c'était vu.
Fait
Preuve que 2+2=5❤
Même si 123+4×(5+6×78)+9
=2 024, ne nous compliquons pas cette année et souhaitons-nous qu'elle soit
Volontaire
Indolore
Résolue
Originale
Novatrice
Sereine
Magique
Agréable
Calme
Réussie
Opiniâtre
Non-alignée
BONNE ANNÉE ! !
ok bg
Sinon Cauchy-Schwarz ça marche aussi
@hedacademy cet exercice cest pour quelle classe? Car je suis en 3eme et jai pu le resoudre avant de regarder la video. Pas pour flex mais juste pour demander
Dès qu’on a vu identité remarquable donc 4ème je dirais
@@famillemoulhina7684 Tu es sur/e car ca me semble plus dur pour 4eme meme pour le brevet. Je dirai seconde ou premiere car on append pas les inegalites jusquen troisieme
@Igdrazil dacc mercii bcp
Ah j'ai honte, j'ai divisé par 2 et je me suis retrouvé bloqué comme un idiot, ah c'est bien la peine d'avoir fait sup et spé... Alors que c'était si simple...
Pas de quoi avoir honte, je pense qu’on est nombreux à avoir suivi cette « fausse piste ». C’est un réflexe normal de mathématicien, c’est comme un électronicien devant un ordinateur en panne, il va commencer par le démonter, vérifier les circuits, etc. Le béotien, lui, il va commencer par rebrancher la prise électrique… 😁
@@christianf9865 Ouais, mais quand même, j'ai été obligé de regarder la solution... tout ça pour 3 carrés, pas bien brillant...
Trop tendu pour moi la mdrrrr
Dans le même style, plus facile plus simple pour bien comprendre : démontrer que (a+b)²⩽2*(a²+b²) (I)
En effet (I) a²+b²+2ab⩽2a²+2b² 0⩽(a²-2ab+b²) 0⩽(a-b)² vrai, un carré est toujours positif ou nul dans R
ensuite on peut généraliser (a+b+c ++++ z)²⩽26(a²+b²+..... +z²)
Mais c'est simmmmple , avant m^me de cliquer voici la réponse :
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On sait tous que si a et b sont 2 réel positifs alors
La moyenne arithmétique est SUPERIEURE ou egale à Moy géométrique
càd : √(a*b) (Moy. géometrique) ≤ (a +b) /2 (Moy. arithmétique)
en effet : 0 ≤ (√a - √b) ²
0 ≤ a+b - 2√(ab)
2√(ab) ≤ a+b
√(ab) ≤ (a+b) / 2
Donc on considère a² , b² , c² qui sont Réels POSITIFS (donc √(a² * b²) =a*b , etc...) ;
donc on aura en considérant les Moyenne arithmétiques et géométriques :
a*b ≤ (a²+b²)/2
2ab ≤ a² + b²
de m^me :
2ac ≤ a² + c²
2bc ≤ b² + c²
Donc on aditionne terme à terme :
2ab + 2bc+2ac ≤ 2a²+2b²+2c²
on ajoute à chaque membre le terme a²+b²+c² et on aura :
a² + 2ab + b² + 2ac +2bc + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
(a+b)²+ 2c (a+b) + c² ≤ 3 (a²+b²+c²)
DONC :
(a+b+c)² ≤ 3 (a²+b²+c²) LE RESULTAT
TARAAAAAAAAAAAAANNNNNN
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Comment on sait qu'on peut écrire que (a+b+c)^2 =
((a+b)+c)^2 ...?
C’est parce que l’addition est « associative » : a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c) - par contre, ca ne marche pas avec la soustraction : a-b-c ≠ a-(b-c). Mais comme je l’ai dit dans un autre commentaire, il ne me semble pas forcément judicieux de passer par les identités remarquables, je trouve plus simple (et moins risqué 😅) de calculer tranquillement (a+b+c)*(a+b+c) = aa+ab+ac+ba+bb+bc+ca+cb+cc