DÃMONTRER (1+x)âŋ âĨ 1 + nx. 2 mÃĐthodes - 2 mondes
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On dÃĐmontre l'inÃĐgalitÃĐ de Bernoulli de 2 maniÃĻres diffÃĐrentes:
La 1ÃĻre classique avec un raisonnement par rÃĐcurrence.
La seconde plus inÃĐdite en utilisant la convexitÃĐ d'une fonction bien choisie et l'ÃĐquation d'une de ses tangentes.
Plan de la vidÃĐo :
00:00 Enjeux de la vidÃĐo
00:55 On dÃĐmontre par rÃĐcurrence
07:30 Interlude
08:59 On dÃĐmontre avec les fonctions
15:04 Morale de la vidÃĐo
Jâaime beaucoup vos vidÃĐos car elles amÃĻnent les ÃĐlÃĻves (ou les curieux) à se servir de leur cervelle et non pas à caqueter des formules vides de sens, et jâen tire toujours dâexcellentes idÃĐes ou amÃĐliorations pÃĐdagogiques. Et tout ça avec le sourire. Encore faut-il trouver des ÃĐlÃĻves qui ont la curiositÃĐ intellectuelle de sâinteresser au sujet.
Le prof que j'aurais aimÃĐ avoir en sup! Merci pour vos vidÃĐos.
Je suis d'accord avec toi : la deuxiÃĻme dÃĐmonstration est une pure merveille.
On ne se lasse pas de ton enthousiasme ! ð brillant.
: Ne pas confondre "Le Croisillon" (#) avec " Le DiÃĻse " ( âŊ ) !ð
J'ai prÃĐfÃĐrÃĐ la premiÃĻre mÃĐthode (je trouve les suites et rÃĐcurrences plus intuitives) mais c'est hyper-intÃĐressant d'avoir les chemins diffÃĐrents pour cette demonstration !
Vous Êtes trÃĻs pÃĐdagogue ! Respect :)
Ps: je suis ingÃĐnieur en informatique et vos vidÃĐos me rappellent mes math de lycÃĐe.
Bonne continuation à votre chaÃŪne !
Merci pour ce retour ð
J'avais oubliÃĐ ces histoires de tangentes et fonctions convexes, merci pour le rafraÃŪchissement de mÃĐmoire !
Il me bluff !!! J arrive enfin a comprendre des notions qui m ÃĐchappaient totalement en terminale !!!âĪ
Trop bien ð
en fait, j'aime bien l'approche avec la tangente. c'est seulement à la fin que j'ai compris. loool
c'est quand mÊme trop fort. bon finalement la dÃĐmonstration n'a guÃĻre ÃĐveillÃĐ un ÃĐventuel souvenir. restons sur une note positive. gardons cette vidÃĐo à l'esprit pour la ressortir en cas de besoin. ð merci. ð
Super vidÃĐo :). Il y a une troisiÃĻme mÃĐthode qui utilise un outil classique, le tableau de variation :
On pose f(x) = (1+x)^n - 1 - nx
on a f'(x) = n(1+x)^(n-1) - n
Pour x > 0 , j'ÃĐspÃĻre qu'on accepte de dire que (1+x)^(n-1) >= 1 (disons par croissance de la fonction x^(n-1) et image de 1 et 1+x)
donc f'(x) = 0
Le minimum de la fonction est donc en 0, et f(0) = 0, donc f(x) > 0 pour x>0 CQFD.
14:39 "T'as levÃĐ les yeux ou pas ??? " ððð
Merci pour le rappel sur l'ÃĐquation de la tangente, elle ÃĐtait pas toute rÃĐcente celle là ! ð
Bonjour
Merci pour vos vidÃĐos toujours trÃĻs pÃĐdagogiques en plus d'Être ludiques. Je pense que le ministÃĻre de l'ÃĐducation devrait vous remettre le prix de la motivation des professeurs de mathÃĐmatiques !!
Nonn , mais MEDAILLE FIELDS !
Il est encore plus fort que MickaÃŦl Launey de " micmaths"
Câest trÃĻs fort .. ðŠ
Retour en Terminale S pour moi avec cette vidÃĐo ! La rÃĐcurrence est assez ÃĐvidente. Mais le coup de la convexitÃĐ, c'est fort !! J'avoue avoir une prÃĐfÃĐrence pour la 1ÃĻre mÃĐthode. J'ai tjs trouvÃĐ sympa d'ÃĐcrire "a fortiori" sur mes copies ðð ð
Un grand merci.
la convexite est tres ÃĐvidente pour le coup
Franchement excellent...cordialement Laurent
Merci pour ce retour
Je n'ai jamais vu la convexitÃĐ (mÊme quand on a eu maths en licence) et quand j'ai vu le raisonnement, c'est vachement intÃĐressant ð
8:46 J'ai fait des ÃĐtudes de maths jusqu'en master et je donne des cours particulier et je partage souvent ce sentiement aprÃĻs la dÃĐmonstration d'un truc ÃĐvident, surtout avec un ÃĐtudiant, parceque moi j'suis content d'avoir fait la dÃĐmonstration mais je me dis que je complique bien les choses pour lui haha.
le magiprof., t'es trop fort
Tu m'as rÃĐgalÃĐ sur cette vidÃĐo ! La beautÃĐ des maths ! Merci ð
Jâaime beaucoup la seconde dÃĐmonstration. Je ne suis pas sÃŧr que la convexitÃĐ soit ÃĐtudiÃĐe en terminale. Je vais voir quel est le domaine de validitÃĐ de n et s et si on peut lâÃĐtendre à lâespace des rÃĐels.
On aurait pu partir de n = 1 et mÊme n = 0 dans la premiÃĻre dÃĐmonstration car 1+x >=1+x et dans la premiÃĻre dÃĐmonstration, il fallait utiliser à un moment le fait que x + 1 => 0 pour Être totalement rigoureux. TrÃĻs intÃĐressant!
Super video perso je prÃĐfÃĻre la 2eme mÃĐthode (j'ai jamais trop aimÃĐ les suites ð )
D'ailleurs Est-ce que tu compte faire encore des vidÃĐos sur les derivÃĐes ? Celle ou tu parlait du Juste Prix ÃĐtait gÃĐniale ð
La deuxiÃĻme mÃĐthode est une bombe
TrÃĻs bonne vidÃĐo !
Le binÃīme de Newton serait une autre mÃĐthode bien plus rapide ;)
Bravo
Le dÃĐveloppement en utilisant le binÃīme de Newton a pour deux premiers termes le second membre de l'inÃĐgalitÃĐ les autres termes ÃĐtant positifs, on montre ainsi l'ÃĐgalitÃĐ directement, on peut meme obtenir a second terme plus dÃĐveloppÃĐ. Cela apporte une dÃĐmonstration supplÃĐmentaire :)
C'est la permiÃĻre idÃĐe qui m'est venue en tÊte envoyant l'icÃīne de la vidÃĐo !
(1+x)âŋ = 1 + nx + o(x) avec o(x) est une fonction qui tend vers 0 quand n --> infini !
comme tout les termes sont POSITIFS, on donc le RESULTAT ð
@@Quasar900 La positivitÃĐ des termes est suffisante. Le rÃĐsidu ne tend pas vers zÃĐro pour n vers l'infini en revanche.
@@Maxw8ll Oh oui, j'avais en tÊte le dÃĐveloppement limitÃĐ de (1+x)^n au voisinage de ZÃĐro pour x !
@@Quasar900câest rigoureusement faux, ton reste nâest pas un o(n) car ta fonction est ÃĐquivalente en lâinfini à x**n
@@xarus5944 o(x) et non o(n) ! et puis je devrais dire en voisinage de zÃĐro la formule que j'ai ÃĐcrite
la permiÃĻre idÃĐe qui m'est venue en tÊte envoyant l'icÃīne de la vidÃĐo !
(1+x)âŋ = 1 + nx + o(x) avec o(x) est une fonction qui tend vers 0 quand n --> infini !
comme tout les termes sont POSITIFS, on donc le RESULTAT ð
Trrrrrrrrraaaaaaannnnnnnn !!!! ð
o(x) est une fonction telle que o(x)/x tend vers 0 quand x tend vers 0
@@yoitteri1476 Bonjour , vous venez de vous rÃĐveillez , ? nous on est dÃĐjà à l'enigme du dimanche ! ð
c'est chaud de raconter n'importe quoi comme ca... qu'est-ce qui te dit que o(x) est positif ????????????
@@LouisLeCrack car x tend vers + âū donc (1+x)^n positif
@@LouisLeCrack Old School Boring AMERICAN teachers , sound and look like the following :
wah wah wah wah wawawaaah ðĨļðĨļðĨļðĨļ
Old School Lazy AMERICAN teachers :
Ok, Watch this Video ðĨļðĨļðĨļðĨļ
Strict Old school British teachers :
No talking, DO WORK ! ðĪðĪ
Super vidÃĐo comme d'hab, mais j'ai une petite remarque.
n n'a pas besoin d'Être strictement supÃĐrieur a 1, mais juste positif ou nul.
Pour n=1 on a (1+x)^n=1+x et 1+nx=1+x, l'inÃĐgalitÃĐ est respectÃĐe.
Pour n=0 on a (1+x)^n=1 et 1+nx=1, l'inÃĐgalitÃĐ est ÃĐgalement respectÃĐe.
Dites moi si je me trompe quelque part!
Dans la limite, il manque peut-Être juste le cas particulier x=0. Dans une limite, mÊme à l'infini. Si x est strictement ÃĐgale à 0 alors la limite des deux membres sera ÃĐgale à 1
J'aime bien les trois dÃĐmos. Mais, au risque de t'embÃĐter (encore), n'oublie pas de signaler dÃĻs le dÃĐbut dans quel ensemble on cherche les rÃĐponses, et encore plus dans quels ensembles sont prises les diffÃĐrentes variables. On n'apprend que "n" est entier qu'au bout d'une minute de video et on ne le voit jamais ÃĐcrit (ne pas oublier les dÃĐficients auditifs). Ãa reste un superbe boulot qui ma fait trÃĻs plaisir à regarder et à ÃĐcouter. Continue, j'adore ta chaÃŪne.
Petit-Pierre (ou Petite Pierre ) ! ð Donc vous connaissez le Japonais ?????
la permiÃĻre idÃĐe qui m'est venue en tÊte envoyant l'icÃīne de la vidÃĐo !
(1+x)âŋ = 1 + nx + o(x) avec o(x) est une fonction qui tend vers 0 quand n --> infini !
comme tout les termes sont POSITIFS, on donc le RESULTAT ð
Trrrrrrrrraaaaaaannnnnnnn !!!! ð
Vous Êtes au courant ? : Takahashi Youichi le crÃĐateur de Captain Tsubasa , va Finir l'histoire en Avr. 2024 et prendre sa retraite ð
TrÃĻs peu, je m'y suis intÃĐressÃĐ Ã une ÃĐpoque et j'avais ÃĐtudiÃĐ quelques bases grammaticales et un peu de vocabulaire. Mon surnom à l'ÃĐpoque ÃĐtait effectivement Petit Pierre et quand j'ai voulu le transcrire en japonais, j'ai dÃĐcouvert que le mot existait (caillou, gallet). Il ne me restait plus qu'à en faire mon inkan. :-) @@Quasar900
@@koishi6979 ä―åđīãããæĨæŽčŠãååž·ããããĻïž
c'ÃĐtait depuis quand, votre ÃĐtude du Japonais ?
Cette assertion se dÃĐmontre ÃĐgalement en utilisant le dÃĐveloppement limitÃĐ de (1+x)^n au voisinage de 0.
La 1ere est directe simple claire logique à la portÃĐe de tout le monde .
La 2ÃĻme purement mathÃĐmatique inaccessible que pour les mathÃĐmaticiens et en plus il faut tomber sur la droite tangente au point 0 au hazard en essayant plusieurs points .
Scientifiquement la 1ÃĻre est beaucoup meilleure..
"les mathÃĐmaticiens" hahaha c'est trivial
quelqu'un sait quelle est la 3e mÃĐthode qu'il a mentionnÃĐ au dÃĐbut?
Super exemple d'analyse et d'utilisation de a convexitÃĐ ð.
Et pour info, on prononce "Bernou lit" et non "Bernou yii" mÊme si cette seconde prononciation semble naturelle. Mes profs de physique ont trop insistÃĐ sur ce sujet pour que j'ignore ce fait dÃĐsolÃĐ ð
Alors figurez-vous qu'à França on dit encore [Gosse] pour le mathÃĐmaticien allemand "Gauss" au lieu du correct [Ga-ouss] ð
aussi [oueistrass] pour " Weistrass" alors que correctement c'est [ VayÃĻ-chtrass] !
Et piire : [AverroÃĻs ] pour " Ibn Rochd" ?
ibn = fils de ..
Rochd = attribu d'Être mÃĒture ou sage , d'oÃđ le qualificatif " Rachid" (homme) & "Rachida" (femme) donc : mÃĒture sage etc..!
biensÃŧr pour un Sage on dira " Hakim" !
:-)
@@Quasar900 A ce compte, oui on prononce mal presque tous les noms en langues ÃĐtrangÃĻres ... mais je dirais que c'est par ignorance de la prononciation.
Ma remarque avait du sens en ce que Jacques Bernoulli, certes suisse, a un nom en langue française.
Et quant à AverroÃĻs, ce n'est pas du tout une mauvaise prononciation mais le fait franciser, ou plus exactement latiniser, un nom en langue ÃĐtrangÃĻre
@@francoisdipaola419 Oui , ÃĐvidemment c'est le fait de franciser les noms qui change la prononciation ! juste pour Bernoulli c'est ÃĐcrit en lettre latines ð
: Ne pas confondre "Le Croisillon" (#) avec " Le DiÃĻse " ( âŊ ) !ð
Bonjour, on pourrait mÊme affirmer le rÃĐsultat pour n>=1 puisque (1+x)^1=1+1x
Je pense que la dÃĐmonstration sera regureuse si vous utiliser la notion de limite pour dÃĐterminer la dÃĐrivÃĐ de f en 0 parce que votre domaine de dÃĐfinition doit Être les rÃĐeles positives et 0 est dans la frontiÃĻre de cet intervalle ce qui exige plus prÃĐcisÃĐment l'ÃĐquation de la demi tangente à droite de f en 0 ....
Pourquoi n>1 ? ca marche pour n=1 et n=0, non ?
Je m'attendais presque à voir arriver de la gÃĐomÃĐtrie..ð
la permiÃĻre idÃĐe qui m'est venue en tÊte envoyant l'icÃīne de la vidÃĐo !
(1+x)âŋ = 1 + nx + o(x) avec o(x) est une fonction qui tend vers 0 quand n --> infini !
comme tout les termes sont POSITIFS, on donc le RESULTAT ð
Trrrrrrrrraaaaaaannnnnnnn !!!! ð
Pourquoi n = 2 pour dÃĐbuter. L'inÃĐgalitÃĐ est ÃĐvidente pour n = 0 ou 1. De plus, mÊme dans le cas gÃĐnÃĐral, n'est-ce pas ÃĐvident, si x >= 0 par la formule de Pascal ?
5:00 ca aurait ÃĐtÃĐ bien de prÃĐciser que ca marche de "juste" multiplier par la mÊme chose des deux cÃītÃĐs parce que (1+x) est positif sinon l'inÃĐgalitÃĐ change de sens !
J'ai prÃĐfÃĐrÃĐ la seconde. Mais c'est juste parce que je n'ai jamais aimÃĐ les rÃĐcurrences, mÊme si ça remonte à loin !
Pourquoi faire commencer à 2? Ãa marche pour 1 ( on a l'ÃĐgalitÃĐ et non le supÃĐrieur strict)
Pourquoi vous appliquez la tangente en 0?
Il y a beaucoup plus rapide et c'est instantanÃĐe avec l'inÃĐgalitÃĐ arithmetico gÃĐomÃĐtrique, qui dit que (X1.X2...Xn)^(1/n)
tu veux une mÃĐdaille ? tu compliques pour rien c'est trivial
@@LouisLeCrack pour la mÃĐdaille je suis preneur, je suis pas obligÃĐ de penser comme toi.. Et d'arriver à considerer que " c'est trivial"
@@flight7218 tu sais quoi je retire ce que jâai dit ta preuve est pas mal
Les math expertes auront mÊme une troisiÃĻme mÃĐthode ... :) (indice Newton)
Pourquoi on commence à n=2 et pas n=1?
Pourquoi, en maths, le terme "convexe" (courbe en U) est inversÃĐ par rapport au vocabulaire courant, oÃđ il dÃĐsigne au contraire une bosse (un creux ÃĐtant concave) ?
Convexe ça veut dire que le graphe et en dessus de toutes ces tangentes !
la permiÃĻre idÃĐe qui m'est venue en tÊte envoyant l'icÃīne de la vidÃĐo !
(1+x)âŋ = 1 + nx + o(x) avec o(x) est une fonction qui tend vers 0 quand n --> infini !
comme tout les termes sont POSITIFS, on donc le RESULTAT ð
Trrrrrrrrraaaaaaannnnnnnn !!!! ð
@@Quasar900 J'ai bien compris, mais ça rÃĐpond pas du tout à la question ð
@@Erlewyn Si tu penses à des polygones convexes ou concaves (convexe : on met un ÃĐlastique qui fait tout le tour sans "trous"), eh bien il y a en maths ce qu'on appelle l'ÃĐpigraphe : c'est l'ensemble des points M(x;y) du plans vÃĐrifiant y>=f(x) (autrement dit, tout ce qu'il y a "au dessus" de la courbe). Cette ensemble est convexe au sens de l'ÃĐlastique, et c'est une ÃĐquivalence.
Au sens de l'ÃĐlastique, d'ailleurs, la dÃĐfinition de la convexitÃĐ d'un ensemble E est : pour tout x,y de E, le segment [x;y] est inclus dans E (et par segment [x;y], comprendre : l'ensemble des points de la forme x*t+(1-t)*y. S'il y a un "trou" au niveau de l'ÃĐlastique, c'est qu'il y a deux points de E qui se font face à face sans que le segment qui les relient soient entiÃĻrement dans E.
Pour revenir à ton idÃĐe initiale : j'imagine que ta visualisation d'une bosse qui est convexe et d'un creux qui est concave vient du fait que tu visualiserais un ÃĐpigraphe "inversÃĐ" par rapport à ce que j'ai dit plus haut (y
Ah et j'ai oubliÃĐ de dire le meme "la premiÃĻre idÃĐe qui m'est venu en tÊte envoyant l'icÃīne de la vidÃĐo !"
Si x supÃĐrieure ou Ãgale à 0, si on y ajoute 1, on est pas certain d'Être strictement supÃĐrieure à 1. (8min 14)
Aurait on aussi pu comparer les deux dÃĐrivÃĐes? Si la dÃĐrivÃĐe de (1+x)n est supÃĐrieure supÃĐrieure la dÃĐrivÃĐe de 1+nx c'est qu'elle croit plus rapidement. Du coup si au point le plus bas elle est supÃĐrieure ou ÃĐgale elle le sera toujours. Ce qui est le cas en 0.
J'ai prÃĐfÃĐrÃĐ la 3eme dÃĐmonstration....
Est-ce que ma demonstration est correcte? montrons d'abord (1+x)^n >= 1 on sait que x>=0 donc x+1>=1 donc (x+1)^n>=1^n=1 de plus 1
je vais te dire: c'est totalement n'importe quoi....
Pas trÃĻs constructif comme retour @@LouisLeCrack : Pourriez-vous ÃĐlaborer davantage avec un support mathÃĐmatique ?
@@feumeu ok oui, la vous montrez que 1+nx et (1+x)^n sont plus grands que 1 mais qu'est-ce qui te dit que l'un est plus grand que l'autre ?? C'est comme si je disais a >=0 b>=0 donc a>=b. Vous voyez bien que ca marche pas ?
@@LouisLeCrack merci beaucoup c'est exact
Les deux mÃĐthodes.
7:40 J'ai les yeux qui saigne ...1+x ( n+1) sup ou ÃĐgale à .1+x ( n+1) +nxÂē ....avec n et x dans ]1; +00 ]
Joli.
J'ai prÃĐfÃĐrÃĐ la seconde dÃĐmonstration.
Ma question : Ã 12:27 tu dis "n il part de 2 et il monte" .... alors que tu montre le moins1 .... pourquoi alors "il monte" ???
Et si on devient amis ? on pourra donc ÃĐchanger du Savoir sur les sciences par example !
n est strictement supÃĐrieur à 1, or c'est un entier naturel donc n est SupÃĐrieur ou Egal à 2. Quand il dit que ça monte, c'est à dire que peu importe la valeur de n choisie, (n-1) sera tout le temps positif.
n-1 strictement superieur à 0 implique que n strictement SupÃĐrieur à 1. Or c'est le cas, donc on est bon. J'espÃĻre avoir ÃĐtÃĐ clair ð
@@mohammadbousnina3804
Vous Êtes du Maghreb ? Bonjour , et salut au Maghreb !
@@Quasar900 Non ?! Pourquoi dites-vous ça ?
@@mohammadbousnina3804
Votre nom , n'est-ce pas ? c'est normal qu'il y est bcp de personnes du Maghreb dans les ÃĐcoles de France en mathÃĐmatique !
Salut au Maghreb !
Alors lâinÃĐgalitÃĐ est vÃĐrifiÃĐe
Ouhhhhh lala autant la premiÃĻre dÃĐmonstration c'est du petit lait, autant la 2 je ne sais mÊme plus ce qu'est une dÃĐrivÃĐe, j'y reviendrai quand j'aurai "rÃĐcupÃĐrÃĐ" ce concept
(1 + x)^n âĨ 1 + nx
On sait que c'est vrai si n = 1 ou 2
si n = 1, (1 + x)^1 = 1 + 1(x)
si n = 2, (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 âĨ 1 + 2x (car x âĨ 0)
si n = 3, (1 + x)^3 = 1 + 3^2 + 3x + 1 > 1 + 3x
On va dÃĐmontrer si (1 + x)^n âĨ 1 + nx, (1 + x)^(n+1) âĨ 1 + (n + 1)x
(1 + x)^(n+1) = (1 + x)(1 + x)^n âĨ (1 + x)(1 + nx) = (1 + nx) + x(1 + nx) = nx^2 + (1 + n)x + 1 âĨ 1 + (n + 1)x (car nx^2 âĨ 0)
c'est vrai pour n=0
@@Johnny-cj8uf Oui. Mais monsieur a dit n > 1, donc n = 0 ça n'a rien à voir.
Effectivement, je te fais simplement remarquer que tu peux faire t'as rec pour n=0
SacrÃĐ ÂŦ tricheur Âŧ comment tâas su que câÃĐtait la tangente en 0ð?
Le binÃīme de Newton tronquÃĐ.
Si n=0
et mÊme si n=1
Si on dÃĐveloppe (1plus x) puissance n, on aura n fois (1 plus x) multipliÃĐ par lui mÊme, donc aura 1 X 1 n fois plus 1 X n fois plus qqchose qui est positif, donc c'est plus grand que 1 plus nx. C'est beaucoup plus simple comme dÃĐmonstration.
Absolument pas rigoureux mais lâidÃĐe mieux expliquÃĐe est correcte
@@xarus5944 Oui c'est mal expliquÃĐ car je n'ai pas un clavier de maths, mais je peux vous faire une dÃĐmonstration rigoureuse en 3 lignes.
BER-NOU-LI ! pas ber- nouille- i
Plus simple en posant g:x->(1+x)**n -1-nx. En la dÃĐrivant et en montrant que gâ est continue positive.=> g croissante sur R+ donc or en 0 g vaut 0 et en lâinfini g est positive (ÃĐquivalente à x**n) donc g est positive sur R+ donc pour tout x positif, (1+x)**n -1-nx>=0 dâou le rÃĐsultat