Ещё один вариант решения: Находим гипотенузу - 13. Достраиваем полуокружность до полной окружности, а треугольник до равнобедренного со сторонами 13, 13, 10. По формуле S = p * r, где S - площадь треугольника, p - полупериметр, а r - радиус вписанной окружности, находим радиус, так как площадь и полупериметр нетрудно найти. А где радиус, там уже и диаметр.
Так же решала, достраивая полуокружность до окружности и треугольник до равнобедренного, и через площадь и полупериметр находится очень быстро радиус ,а затем и диаметр.
Как известно r любой вписанной окружности равен √((p-a)(p-b)(p-c)/p) где p полупериметр. Получается диаметр это 2 радиуса= 2√(100/9), что тоже самое что и 6 целыйх2/3)
Спасибо. Для разнообразия : Квадрат касательной , проведённой из данной точки равен произведению расстояний от этой точки до точек пересечения с окружностью секущей , проведённой из этой точки. (13-5)^2=12*(12-D) . Получаем ваш ответ. (научился в школе 😊) С уважением , Лидий Клещельский
А я снизу зеркально отобразил такой же треугольник и получилось, что в равнобедренный треугольник с основанием b = 10 и высотой h = 12 вписана окружность. Радиус окружности вписанной в такой треугольник находится по формуле: r = b * h / ( b + корень квадратный(4 * h в квадрате + b в квадрате))
После того, когда нашли гипотенузу(равную 13), достраиваем окружность и ещё такой же треугольник. Получаем окружность, вписанную в треугольник. Не помню свойства такой окружности, более 40 лет прошло с окончания школы. Но, кто помнит свойства такой окружности, быстро найдёт её радиус и диаметр.
решается практически в уме: пр. тр. с катетами 12, 5 - из пифагоровых троек значит гипотенуза равна 13 S - площадь тр. S = (12*5) / 2 = 30 D = (4*S)/(13+5) = 120/18 = 20/3 ;
Ещё один вариант решения:
Находим гипотенузу - 13. Достраиваем полуокружность до полной окружности, а треугольник до равнобедренного со сторонами 13, 13, 10. По формуле S = p * r, где S - площадь треугольника, p - полупериметр, а r - радиус вписанной окружности, находим радиус, так как площадь и полупериметр нетрудно найти. А где радиус, там уже и диаметр.
Да это более быстрое и красивое решение!
Так же решала, достраивая полуокружность до окружности и треугольник до равнобедренного, и через площадь и полупериметр находится очень быстро радиус ,а затем и диаметр.
Как известно r любой вписанной окружности равен √((p-a)(p-b)(p-c)/p) где p полупериметр. Получается диаметр это 2 радиуса= 2√(100/9), что тоже самое что и 6 целыйх2/3)
А здесь окружность разве вписана в треугольник?
Надо достраивать и удваивать сторону 5*2 ?
Спасибо. Для разнообразия : Квадрат касательной , проведённой из данной точки равен произведению расстояний от этой точки до точек пересечения с окружностью секущей , проведённой из этой точки. (13-5)^2=12*(12-D) . Получаем ваш ответ. (научился в школе 😊)
С уважением , Лидий Клещельский
Решил через подобие. R/5 = (12-R)/13. Перемножаем крест накрест, переносим R в левую часть, получаем тот же ответ.
Всё хорошо, но через подобие решается проще и быстрее.
По теореме о секущей и касательной, (13-5)^2=12×(12-D), откуда D=20/3.
S = r*5/2 + r*13/2 = r*9.
S = 12*5/2 = 30. r = 30/9 = 10/3 = 3.333… d = 2r = 6.666…
Всё хорошо, только я r из коэффициента подобия треугольников взял: катеты относяться 8/12, т.е. 2/3, т.о. r=2×5/3, т.е. те же 2 и 1/3.
А я снизу зеркально отобразил такой же треугольник и получилось, что в равнобедренный треугольник с основанием b = 10 и высотой h = 12 вписана окружность. Радиус окружности вписанной в такой треугольник находится по формуле:
r = b * h / ( b + корень квадратный(4 * h в квадрате + b в квадрате))
то есть по формуле r = S/p ?
Зачем Пифагор с возведением в квадрат? Можно просто записать тангенс одного из углов 5/12 = R/8.
После того, когда нашли гипотенузу(равную 13), достраиваем окружность и ещё такой же треугольник. Получаем окружность, вписанную в треугольник. Не помню свойства такой окружности, более 40 лет прошло с окончания школы. Но, кто помнит свойства такой окружности, быстро найдёт её радиус и диаметр.
Зеленый треугольник подобен исходному (прямоугольные, общий острый угол) . Значит
R/8=5/12,
R=10/3=3 1/3
D=6 2/3.
Проведём радиус к точке касания, он будет перпендикулярен гипотенузе. Получается маленький прямоугольный треугольник, подобный большому по двум углам (прямой и левый нижний).
R : 5 = малый катет : 12
Малый катет = 12R : 5
По теореме Пифагора:
Малая гипотенуза = √(144R^2 : 25 + R^2) = √(169R^2 : 25) = 13R : 5
Нижний катет большого треугольника = 13R : 5 + R = 12
18R : 5 = 12
18R = 60
2R = 60/9 = 20/3
Ответ: 20/3
Из подобия треугольников (12-R)/13=R/5, т.е. R=60/18=3+1/3
R = 60 / 15 = 4
D = 8
Что-то для олимпиадной задачи как-то простовато
решается практически в уме:
пр. тр. с катетами 12, 5 - из пифагоровых троек значит гипотенуза равна 13
S - площадь тр. S = (12*5) / 2 = 30
D = (4*S)/(13+5) = 120/18 = 20/3 ;
r/(12-r) = 5/13
Почему Савватеева нет на заставках?
А никого не смущает, что диаметр 6,6666, хотя на картинке видно, что он занимает более 4/5 от катета, который равен 12
Картинка это схема, браток, поэтому, все равно, что там тебе видно
Большой привет учителю! Это вы так учите? Или берётесь за то, что вы там рисуете?
Блин,радиусы допер провести,а до диагонали не додумался
Классная задачка!