Où est l'arnaque 78 - Minoration du rang d'une matrice (d'après oral Mines-Ponts MPI 2023)
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- เผยแพร่เมื่อ 31 ก.ค. 2024
- Algèbre, accessible à partir de la 1ère année
D'après un oral de Mines-Ponts MPI 2023
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00:00 Blabla et énoncé
01:55 1)
03:19 2)
06:45 3)
10:12 Révélation
Remarque..
Si le fait de détecter la fausse équivalence m'a semblé aisé , ça ne m'a pas aidé à résoudre le problème (intéressant)
Oui en effet, détecter une fausse équivalence réduit juste nos droits en quelque sorte ^^'
Peut-être que…
Par une nouvelle opération divine Ker(A)=Ker(A^T) dans un espace super agréable :)
Au lieu de s’envoler dans des considérations un peu houleuses come certains… On prend juste des matrices 2x2 pour avoir un contrexemple parlant:
(0 1
0 0)
X=( 1 0 ) est dans le noyau alors qu’il n’est jamais dans le noyau de la transposée :) (ou peut-être dans un espace super agréable qui sait).
Un espace super agréable, d'aucuns diraient un espace propre ? ;)
@@ayoubetlesmaths Associé à une valeur propre non triviale, négative, appartenant au cercle unité mais non complexe. Sans trop de longueur on s’en sort 😂
SPOIL
1) Curieusement, l'hypothèse de positivité des coeff de la matrice n'est pas utilisée. J'imagine qu'elle sert dans la suite du sujet originel?
2) je note t_M la transposée de la matrice M: on a
t_X t_A X = (t_X t_A) X = t_(A X) X = 0 car A X = 0 plus directement il me semble
1) Non, même pas (enfin il ne me semble pas). Il restait une dernière question : " y a-t-il un n pour lequel toutes les matrices de taille n vérifiant les hypothèses de A sont inversibles ?" (réponse : non, en prenant simplement une matrice triangulaire supérieure stricte avec que des 1 au-dessus de la diagonale) Ou alors, l'élève qui a rapporté le sujet ne l'a pas rapporté en entier
2) Je ne vois pas tout à fait la différence avec ce que je fais, vous devez aussi dire que c'est égal à - t_X X pour conclure non ?
@@ayoubetlesmaths il me semblait qu'on pouvait éviter de parler de transposition de scalaire en étant (un poil) plus direct, d'où ma remarque. J'ai éludé le fait que cette quantité est -t_X X, le raisonnement pour conclure étant identique
Je vois, merci ! Ca permet en effet d'aller un peu plus vite
Mais je ne suis pas mécontent d'avoir parlé un peu de la taille des objets manipulés
Wow j'ai absolument rien compris !
Spoilers :
Donc la moratité c'est que si X est vecteur propre à la fois de A, et de sa transpoée tA, alors c'est pour la même valeur propre, c'est ça ?
Et sinon l'arnaque j'ai juste pas compris du tout où voulait en venir l'argument "mêmes hypothèses".
J'ai dû attendre le débunk pour comprendre ce que l'argument était censé être. Finalement l'argument supposé était :
X est dans le noyau de A or tA a un certain point commun avec A donc A et tA ont même noyau donc tA * X = 0 aussi.
L'erreur est tellement éclatée au sol que j'avais juste laissé tomber à ce moment là (j'ai réécouté plusieurs fois !).
J'aurais pas deviné l'arnaque parce que j'avais juste pas du tout compris la substance de l'argument proposé.
C'est juste pareil que de dire :
Soient M,N deux matrices carrées et X telles que MX = 0. Montrer que NX = 0.
Eh bien M,N ont les mêmes hypothèses (ce sont des matrices) donc ce qui est vrai de l'une est vrai de l'autre. (bah oui bah non !)
C'est comme de dire soient a,b deux réels. Supposons que a = x. Déduire que b = x. (eh bien oui ce sont des réels tous deux !)
C'est pas du où est l'arnaque, c'est où avons nous rangé la camisole de force ?
Exactement, si X est vecteur propre à la fois de A et de sa transposée, c'est nécessairement pour la même valeur.
Vous avez tout compris à l'outrecuidance de cette "arnaque". Votre exemple sur les matrices carrées permet de se rendre compte à quel point c'est absurde, mais vous seriez étonné de voir que ce genre de "raisonnement" se pratique pas si rarement que ça par les élèves... Il y a quelque chose de plus profond que de l'analogie fumeuse, c'est parfois un souci de compréhension de la chaîne des dépendances et des quantificateurs. Si X avait été dans le Ker de TOUTE matrice vérifiant les hypothèses de A, alors... Et si vous me dites "mais il n'y avait aucun quantificateur qui dit TOUTE" dans ce cas, je vous rejoins parfaitement, mais comme les élèves sont souvent radins en quantificateurs, non seulement ils ne les emploient pas quand ils sont nécessaires, mais il leur arrive aussi de les imaginer quand ils ne sont pas là...