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今から40年前の授業中に、複素数より広い概念ってあるんですかと質問したときの答えが「四元数」でした。なので40年ぶりに「四元数」という単語に出会えて、大変感動しました。ありがとうございました。
趣深いですね😊
博識おじいちゃん大好き
むず😂
素敵な物語だなぁ
ヨビノリのギャグは勉強で疲れてる時聞くと鼻で笑ってそのあとジワジワくる
幼稚園の頃10より上の数があることに衝撃を受けて今は複素数より外の世界があることに驚いている
100まで数えられるお友達はヒーローだったなあ
幼稚園のこととか給食毎日残してたことしか覚えてねーや
その時デンマークに移住したらそれ以上数えるの辞めそう
幼稚園の頃からいじめられてたことしか覚えてねえな
胸にかける 馬鹿って言う方が馬鹿なんですねぇ！！！！！じゃけんあの世逝きましょうね〜〜〜！！(全ギレ)
講義で教授が雑談で四元数、八元数の話をして別学科ながら興味が湧いた思い出。解説してくれて助かる。
ドローンの制御プログラム作るのに四元数を理解する必要があったのでめちゃくちゃ参考になりました。
逆に乗法の交換法則や結合法則だけを犠牲にするだけでうまく数の体系を広げることができたのがすげえな
これ
結合法則崩れるのは流石にやばい
逆に今まではたまたまその法則が成り立っていただけ
@@Mr-oe6hd四元数をさらに拡張した八元数では結合法則は満たさないよ。
ゼミで必要な調べものしていた時「く、クオータニオン…？」ってなったので、全信頼を置いているヨビノリさんのチャンネル行けばワンチャンあると思い来てみたら案の定あって感動しています。初めてコメントしました。いつもお世話になっています。
16:12四元数が好きな人が「ゴロリ」と増えたわくわくさんのくだりしつかり回収してて草
それ思った…笑最後の最後でちゃっかり回収してて草
3:57 ここでもさらっと「もう一個軸を作って遊ぼ」って言ってるね
ビニールビニール ほんとだ…笑
さすがふぁぼぜろ
11:06x1x2ijとかx1x3ikとかってどこ行っちゃったんだろ
ほんとにヨビノリさんの動画見る度に思うんだけど、黒板消しで綺麗に消すの上手すぎない？
電気系学生のわい、普段電流の記号と混ざらないように虚数記号にjを使ってるせいで余計に混乱している
わかりみの底無し沼
なぜjにしたのか…
@@tanaka-k1p iの次の文字だからなんだよなぁ
理系じゃないからわからんけど電気系ならjってジュールに使わんの？
@@flatline576 大文字Jがジュールで虚数は小文字jです。そもそもジュールは単位なので混ざらないです。
深掘りしたり気持ちの部分話してくれるの好きぃ八元数…あんまり聞かない…笑
kinki kidsがjnj jdsに見えるとはよっぽどの数学狂ですね。私は八元数どころか四元数すらこの動画で初めて知りましたが確かに物凄くワクワクしました。国や土地によって文字が変わり、言葉にすると同国内でも聞き取れない訛りが発生すれども数式は世界共通であるのも面白いですね。
今日もファボゼロのボケかーと思ってたら、最後に「ゴロリ」でしっかり回収していくの好き
8:48「滑舌が犠牲になってるな」→ってことは、ファボ4かファボ8になってるのか!?10:29「jnj jdsって読むようになります。」→やっぱりファボ0のままだった。
この授業のおかげで、現場で四元数に遭遇しても頭を抱えずに済みそうです。あと、いつかカルマンフィルタの授業もやって頂けると嬉しいです。
最初にこの四元数があって、これをヒントに外積や内積、そして線形代数ができあがったという歴史を本で知った時は胸熱だった。線形代数の計算って、あんなに単純に見えてもゼロオリジンで出来上がった物ではなく、こんな感じで知識を積み上げつつ完成されていったんだと。今では、線形代数は高校で習い、四元数は専門レベルでならう内容。
線形代数は高校で習いませんよ
興味があるのですが、どういった本か教えて欲しいです！
@@エフェドリン-d5y ベクトルは線形代数ですよ。
くれ ベクトルが線形代数の一部ってことで全てを習うわけではないので言いました
@@エフェドリン-d5y それ「日本史は学校で習いませんよ」「全てを習うわけではないので」って言うのと同じだぞ
今更だったら申し訳ないんだけど8:19の編集地味にすごくて好きです
ペチンという良い音が、病み付きになりそうですね？
掛け算の順序にうるさい小学校の先生は四元数で考えていたのか。
結合法則や交換法則が当たり前だと思ってはいけないってことですよね．
なるほど笑
RYO ()の位置変えようが順番変えようがこんな当たり前なことになぜわざわざなんちゃらの法則〜みたいな大それた名前付け点だろうって思ってたけどこういうことだったのか
行列でも同じようなことがあるよ
@@あふあふふ-w7j A x B
実数⊂複素数⊂三元豚⊂四元数⊂八元数
三元豚は草
三元豚は豚
ちょうど『3D‐CGプログラマーのためのクォータニオン入門』読み始めたとこ。超タイムリー。
jk = iつまり、JKは愛ですねファボゼロです
@Abigail Mares wat do u mean.....
@@gosshi5197 what do you mean...
わっどぅゆーみーん
わっ!どういう意味?
二乗したら−
最初のワクワクさんを最後きちんとゴロリで回収してるのが綺麗すぎ！ちなみに1番笑ったのはワクワクさんのくだりです。
すごく面白かった〜半径1の球面上にあるって言われて感動した
高校生の時にiは実部と虚部に分けられるツールで一つの式にxy成分を表せるものって気づいた時に、それなら3つもできるんじゃないかって思ったけど、「文字が２つあると文字同士の項が出てごっちゃになる〜」「j²=-1以外の良い特殊な数字ないか〜」ってなって考えるの疲れてやめたけど、どこかの天才さんたちが叶えてくれてたのか！
とりもち 高校生でそんなこと考えるとかあなたも相当頭いい笑
胸にかける 急に罵るの草
胸にかける 草
急に煽ってるやつ、自分も頭いいって言われたいんだろうなぁ…
@@胸にかける スピード感あって好き
え、えぐ、わくわくさんの話を序盤でしておいて、最後にゴロリ出してくるのえぐいって！！
惹かれるサムネ作るの上手すぎる
掛け算の順番の話は行列の話を思い出しました。たくみ先生のボケはファボを犠牲に、、、、😭
クオータニオンはめっちゃ3dゲームの製作に使っています。ただ完全には理解してないのでもっと勉強したいですね
すご
3次元の回転はホンマに意味不明です
クォータニオンはベクトルのお母さんですし……ね？
最後、ワクワクさん繋がりで”ゴロリ”と増えたと言ったのですね。首尾一貫してて好きです。
高校の時複素数を習って動画冒頭のように三次元や高次元の複素数（仮）のようなものがあれば便利なのにと考えてました数学素人が考えることは先人がとっくに研究してて驚いたと同時に高校の頃の自分の着眼点もあながち悪くなかったのかなとも思えました。
そんなん誰でも考える
むらきた やっぱ考えますよね〜考えるの楽しいですよね〜
すげえ、ワクワクさんとアンパンマンを作ったやなせたかしの関係が何かないかと調べたら何もなかったです！
これずっと気になってたやつーーーー！！！！まさかヨビノリに教えてもらえる日が来るとは、、、！！！
今回も、私の数学の知識の地平を広げてもらいました。感謝します。
ありがとうございました。わかりやすく、しかも、面白いです。しかし、頭を強烈に使うので、見終わった後に強烈な頭の疲労感に襲われます。眠りたいときに見る動画としても最高かもしれません。ありがとうございました。
kinki kidsのボケとかどうやったら思いつくんですか笑ボケとほっぺぺちんのエフェクト最高ですねw
外積が実部を0にした四元数の積だーってわかってからカッコつけて四元数使って計算してた笑
かっこよ
猛者
四元数という複素数より広い数があることが面白かったです！
現代制御で急にこれがでてきて意味わからんかったからありがたいです
四元数の概念自体は空間における回転みたいな感じでなんとなく知ってたけど方程式の解の数とかからみたことなかったなんか新鮮 ワクワクする
四元数の応用はどこもかしこもクルクル回すばかりで、本来の複素数の拡張という要素がすっかりなくなって寂しいですね。回す応用に効果てきめん過ぎた？
1:24つまりヨビノリはワクワクさんの始原である、と
ちょうどワクワクさんの起源を知りたかったので助かりました！！
実数→複素数→四元数→八元数2^0=1→2^1=2→2^2=4→2^3=8ってことで2^4=16元数とか2^5=32元数とかもあるのかな
4:20ヨビノリ自画像
なんでも論破【神動画投稿者】 おいこら
いや草
13:43 の方は立体像
かい おいこらで反撃すんの草
文系なので式など理解できない事は多いのですが、本当に面白いですね。数というのは概念であって、概念だからこそ、それを拡大すると更なる公理系が出現するというのは実に興味深いです。数学は宇宙の不思議を感じさせてくれる学問ですね。
毎回毎回興味深い動画をありがとうございます
気になって調べたら十六元数も定義できるんですねとすると三十二元数や六十四元数も定義ができる可能性が四元数レベルで存在する…？
その度に法則がなくなっていってキツそう
2進数で進んでくのおもろいなぁ
kinki kidsのくだりで不服にも笑ってしまった
元の数が増えたから解の自由度も増えたんだなあと解釈できる
前職でCG(OpenGL)を使ったレンダリング・画像処理の実装に四元数を使っていましたオイラー角と比べてジンバルロックがなく、回転行列よりもシンプルに記述できるなど非常に便利でした当時は独学でなんとか対応しましたが、やっぱりヨビノリはわかりやすくていいですね
一元数・二元数・四元数・八元数って並びを見るとどうしても十六元数があるんじゃないかと思ってしまう
ある
あるぞ
Q=a+bi+cj+dkとしたとき、これをQ=a+bi+(c+di)jとあらわすことができる。これは「複素数の複素数」だ。こうして「複素数」を拡張してゆくと、二・四・八・十六・・・になるらしい。ところで理論物理の「超弦理論」は現在11次元で構成されているが、実は16次元なんじゃないか。11元数では数学的に破綻してしまうだろうから。俺にはさっぱり分かんないが。
「○元数」の「○」の部分にもっと大きい数を入れる場合を考えると、漢数字では扱いにくい。将来はアラビア数字を使って4元数とか8元数と表記するようになるのでしょうかね。そういえば、「○角形」の表記も小・中学校では漢数字ですが、高校・大学と進むにつれてアラビア数字に巡り合うようになりました。
人間が作り上げた概念なのに謎が多いって不思議だなぁ
@皐月ぽきまる 作ったんだぞ
@皐月ぽきまる 物理学と数学がごっちゃになってるようですが、物理学が近年ですと理論で導かれた数式を、それがきちんと現実世界で機能しているかチェックするために実験を行って理論実験共々矛盾ないので新たな理論として物理体系に組み込まれるのに対し、数学は人間が勝手に取り決めた「公理」を出発して理論を構築し、これに無矛盾な定義であったりこれから出発してできた定理がうまく公理に戻って来られれば数学体系に組み込んでいいよ、というアプローチ方法が取られているのは分かりますよね？僕は物理学徒で数学にはあまり明るくないですが、大学で初年度程度の単位を収めているかそれに準ずる知識を持っていればこの違いは明白だし、あなたのような恥ずかしい間違いはしないと思うんですが
@皐月ぽきまる さらに噛み砕くと、「人間が決めた公理」⇆「定義や定理など」を行き来しているだけなのでそこに現実の介在はないと思われますがどうですか？最もこれが数学の面白いところで、勝手に決めたのに現実世界で役に立つものも何個かあったというのは往々にしてあるんですが
滑舌が犠牲 は褒められて良いと思う四元数で連想するのはij=-ji=kなどから外積、そこから三次元内空間内の回転それに相対論面白そうだなあ
jnj jdsは正直めちゃくちゃおもろい
10:35 ここさらに -n jds にできそう(nが実数なら)
最近寝れないときによく見てます
ImHがR^3と同一視できることを用いて、ベクトル解析の性質を四元数を用いて書き直していく授業して欲しいです。
本で行列使って数を考える話があって面白そうだったんで、やってください！
「複素数の基礎の基礎から学べる書籍」に記載があった内容だ。交換法則が成り立たないことが抜けていたから、計算を間違えた記憶がある。
四元数初めて知りました！めっちゃ面白そう！
四元数を取り上げてくださり、ワクワクさんを生み出してくださりありがとうございます。ｗクリフォード代数についても、いつか授業してもらえると嬉しいです。
多分視聴者が付いてこれないw
@@一松総一郎 たくみ先生の秀逸なギャグで面白おかしくクリフォード代数を料理してもらいましょうw
複素数平面習った時、これもうひとつ軸増やせないのかなって思ってたけど、やっぱりあるんだ
その視点持ってるのすごい
自然界に反粒子が存在しないことは、直感的には、素粒子レベルには非可換な世界があることを裏付けているような印象をうける
オチがうますぎる。
クォータニオン(四元数)は、回転を伴う3次元空間上の座標計算が必要だった時に勉強しました。たしか、オイラー角(ロール、ピッチ、ヨー)を用いた座標計算の欠点である「ジンバルロック」が克服できるらしい。たぶん、ドローンの姿勢制御プログラムなどにも使われているはず。数学は実際のモノ作りにも役に立ちますよ！
4:03 いや3次元の軸書くの上手っ
しれっと、真顔でボケてるの面白いです
二回聞いて、自力で計算して、やっと、分かった！
中3でこんな面白いのに出会えた
1:30 ヨビノリがワクワクさんを作って遊ぼしちゃったのか
→ → → →OA×OB≠OB×OA外積とも関係するんかなぁ
関係します。i,j,kをそれぞれi軸、j軸、k軸方向の単位ベクトルと考えれば、ij=-ji=kなどは外積そのものです。
そもそも四元数の考えをベクトルに持ち込んだんですよ
空間ベクトルやってたからその解説はありがたいです
Hiroaki Nakajima すげえ
この動画、本当にいろいろなことを知れてわくわくする。面白い。これが後のわくわくさんを生ｎ
〜元数ってもしかして〜に当てはるのは〔2^x〕ですか? 例えば1:実数2:複素数4:四元数8:八元数(16:十六元数)...八元数の先の世界も知りたいです！
1,2,4,8の時はある程度扱いやすい法則があるけどそれ以外の時はそれらの法則が満たされないので16元数などが存在するとは言えません。定義はできると思いますが。
2^n元数(n:自然数)が定義できて、そこから2^x元数(x:実数)が定義できたりするんだろうかそうなるともはや意味をなさないかもしれないけど
kokiri 118 項の数がおかしくなりそう笑
噛むたびに自分のほっぺ叩いてるうちに膨らんできてアンパンマンになれたんですね！
なるほどなーそれなら話が繋がる
名考察
現在高校生なんだけど、複素数習った時に、空間ベクトルみたいに軸もう一本増やして定義できないかと思い定義してみた結果、既に過去の人がもっと深く定義してたことを知って萎えた記憶があります。
四元数のゼータ関数がどうなるのかを知りたい。
ワクワクしすぎてワクワクさん産まれるくだりすべってるんだろうなと思いながらやるメンタルの強さよまぁすべってるけど
直線が綺麗
例えば16元数、32元数と増やして行った時に最後まで残る性質ってどんなんなんだろう。
定義によるんじゃないですか？四元数の場合も乗法に関して閉じていると言う性質を犠牲にすれば交換法則が成り立つように出来るかもしれないですし(知らないけど)
16元数だと零因子(逆数が存在しない)が出てきて割り算ができない場合があります。
ランゲルハンス島民 例えばね
じゅうろくげんすう
16元数から先はないことが存在しないことが証明されているらしいですよー
1990年につくってあそぼが放送開始されたのでその際にヨビノリたくみのワクワクがワクワクさんを産んだとすると、2020年現在ヨビノリたくみの年齢>=30でなければいけない。という絶対に他のことに頭使った方がいい思考をした。
四元数解説待ってました
んー、なるほど、わからん、どこまでマニアックなんだえ、つまりは、このわけわからんのが現実で必要とされてるのか!!!
数を拡張していくと何かしら犠牲になる法則があるのって逆に、大きい数の括り(八元数)の中でも乗法の結合法則が成り立つのが四元数、四元数の中でも乗法の交換法則が成り立つのが複素数と定義されていると考えると納得ですね。台形のうち、もう1組の対辺も平行なものを平行四辺形とするみたいに。実数から複素数に拡張するときには何か犠牲はあったんですかね？
かしこい
ぱっと思いつくのだと√a×√b=√abは犠牲にされてますね
一番大きいのは順序（不等式）だと思う。複素数では 1 < i みたいな順序を考えることができないからね。
こういう話って本当にワクワクする
まさかすぎるワクワクさん誕生秘話に驚きを隠せない
ヨビノリすご
何も分からないのに理解しようとして頭痛くなる
円形や球のものを見る度に自分の顔の丸さに毎回ひどく落ち込むたくみさん→ハイパーコンプレックスたくみ
もっと根本的に複素数よりも拡張された数が必要な状況って何なんでしょうか。自然数で割り算をすると自然数じゃない場合があるから拡張して有理数有理数の平方根や超越数など有理数じゃない場合とかがあるから拡張して実数実数の範囲である負数の、平方根が実数の中にないから拡張して複素数複素数に何が足りないから、四元数まで拡張しないといけないのか回転に便利、とかいうのは、数の使い方としてかなり高度なものだし(α, θ)×(β, φ)=(α×β, θ+φ)みたいな極座標表示などの表記法で解決できる問題な気もするしコンピュータさんにとっては行列よりも計算量がそんなに楽になるんですかね。
数学的発想に浸かり過ぎているせいか、そういう発想が新鮮に感じました。確かに、数の拡張の動機としては、負の数や有理数や平方根や虚数を考える理由付けで、四則演算や代数方程式で例外をなくしたい！という説明がよくされますよね。（超越数は代数方程式じゃないけど、極限操作でも例外をなくしたい！ 代数的数だけじゃスキマだらけで足りないし。）でも代数方程式も、極限も、複素数体で話が閉じてしまう（気取って言うと代数的閉体で完備）。その先は、「必要性」とかでなく、「複素数を含むさらに大きな多元体（実係数のベクトルみたいに書ける数で、四則演算が普通に自由にできる閉じた体系）ってあるの？」→「完全なものはない。乗法の可換性だけあきらめるなら四元数体、他の法則をあきらめないならそれで打ち止め。」という、純粋に数学的事実の追求でしかない気がします。3次元幾何への応用は線形代数・ベクトル解析ですべてできるから、四元数でやるメリットってメモリが少なくて済むこと（行列だと成分が多くなるので）くらいだろうし。6:50の包含関係の図が、進撃の巨人の壁に見えたりして。中にいても平和で何の不足もないのに、なぜ壁の外へ出ようとするのか。何の必要性があるのか？…海が見たいから！みたいな。 犠牲は覚悟（笑）
ありがとうございます。必要性という意味では複素数でちゃんと閉じている、ということがわかりました。つまりそれ以降の拡張に関しては、犠牲になるものの価値の捉え方によって「妥当な」「誰もが納得する」拡張の仕方が変わる可能性がある、ということですね。だからこそ、3次元空間の回転に便利、という「数学なんて勉強して何の役に立つの？」に対する回答があることが動機として強くなるんですかね。あとは、平方数が負数になる場合（x²=-1 の解）があるなら絶対値が負数になる場合（|x|=-1 の解）は定義できるのか、というあたりが素人目線での興味ですね。
ははあなるほど… x²=-1 と |x|=-1 って“方程式”として捉えると似てますね。ただし、x²=aは四則演算だけでできている「代数方程式」ですが、|x|=-1はそうではない。そうすると、「絶対値ってそもそも何？」ってことになります。ちなみに、実数の2乗が負にならない理由は、〈2乗〉という代数演算と、〈大小関係〉がシンクロしていること（不等式の両辺に正の数を掛けても大小関係が保たれるとか、負の数を掛けると必ず逆転することetc.）から導かれます（気取って言うと「順序体」が自動的にもつ性質）。ここで、〈正〉とか〈負〉とかは、そもそも「0との大小関係」であることに注意。それで、x²=-1に解がある世界（複素数）に拡張するには、必然的に大小関係（順序構造）をあきらめなければならなくなる。いっぽう〈絶対値〉は、0との〈距離〉を表す実数なので、定義上、負でない。たとえば〈確率〉が負にならないのと同じような。x²が正になるか負になるかは“結果論”だから前提を変えれば変わりうるけど、 |x|が非負なのは“定義”だからどうしようもないというか。符号を〈向き〉とみなした「負の面積」とかもあるし、「値が複素数である面積」（測度）まであるくらいだから、「負の距離」だって作れるかもしれないけれど、そもそも〈絶対値〉の意義は「複雑な対象のサイズを、実数を利用して把握するためのもの」（気取って言うと〈ノルム〉）だから、〈絶対値〉の定義に含まれる“非負”をはずしたら、それはもはや別の概念になるでしょう……
数学っておもしろいですねぇ。複素数 z=x+yi の絶対値 |z|=√(x²+y²) であることを前提として四元数 q=a+bi+cj+dk の絶対値 |q|=√(a²+b²+c²+d²) である、ということには何の違和感もなく、またa, b, c, dは実数でその平方の和だから必然的に非負数になることも直感に反しない一方で四元数を「複素数 z=x+yi のxとかyが複素数だったらどうなるの？」という動機から始まる拡張でありx=a+cj, y=b+dj として q=a+cj + (b+dj)×i = a+bi+cj+dk であるなんて方針で定義したとしたら|q|=√(x²+y²)=√{(a+cj)²+(b+dj)²} とするなんて主張も一応アリな気がしちゃって、となると絶対値の範囲が複素数に拡張されて...と思ったけど|q|=√(|x|²+|y|²)=√(|a+cj|²+|b+dj|²) とするの方がスマートな気もしてきました。絶対値を0および正の実数の範囲から拡張するには、実数→複素数→四元数ではない方向に拡張した数（それこそ、何の役に立つかわからない数）を定義しないといけなさそうですね。絶対値を負数を含めた実数や何なら複素数の範囲に拡張するための数、という本末転倒な定義ですね。ごちそうさまでした。
数2Bを教えてたおじいちゃん先生が複素数って言う時、クソ数…クソ数…って聞こえたの思い出した
複素数に親を殺された数学教師かよ
四元数の応用について授業してほしいです！
非ユークリッド空間の話聞いてみたいです！
球面になったとき感動した
100年以上前までの古典力学は、ベクトルじゃなくて四元数を使っていたらしいですねベクトルが使われるようになったのは、ギブスがエール大学での講義で用いられたのが最初だとか
ベクトルの方が歴史浅いなんて驚きでした…！やはり習う順≠歴史順ですね…
最後のお疲れ様が何か意味を感じた
文字の書き方講座の動画出してください。
ワクワクさんからゴロリの流れが秀逸すぎる
先週の線形代数の数学演習の最後の問で行列I,J,Kが与えられて二乗とか積が正にその形になってたんだが、あれって四元数の話だったのか……
四元数ちょっと興味あったから有難い
何気なくunityで回転は四元数ね、ハイハイいうて使ってたけどこんな深い意味があったのか
建築学科の学生時代にイギリスのある範囲に敷地決めて建物を設計するという課題があって、たまたま四元数が刻まれてるブルーム橋の近くだったので四元数の産みの親であるハミルトン先生の記念館を計画したことがあります。懐かしい。
![เปิด อาณาจักร หมื่นล้าน "สาระตั้ม" l [Nickynachat]](http://i.ytimg.com/vi/3XE0nPF4YkQ/mqdefault.jpg)
今から40年前の授業中に、複素数より広い概念ってあるんですかと質問したときの答えが「四元数」でした。なので40年ぶりに「四元数」という単語に出会えて、大変感動しました。ありがとうございました。
趣深いですね😊
博識おじいちゃん大好き
むず😂
素敵な物語だなぁ
ヨビノリのギャグは勉強で疲れてる時聞くと鼻で笑ってそのあとジワジワくる
幼稚園の頃10より上の数があることに衝撃を受けて今は複素数より外の世界があることに驚いている
100まで数えられるお友達はヒーローだったなあ
幼稚園のこととか給食毎日残してたことしか覚えてねーや
その時デンマークに移住したらそれ以上数えるの辞めそう
幼稚園の頃からいじめられてたことしか覚えてねえな
胸にかける 馬鹿って言う方が馬鹿なんですねぇ！！！！！じゃけんあの世逝きましょうね〜〜〜！！(全ギレ)
講義で教授が雑談で四元数、八元数の話をして別学科ながら興味が湧いた思い出。
解説してくれて助かる。
ドローンの制御プログラム作るのに四元数を理解する必要があったのでめちゃくちゃ参考になりました。
逆に乗法の交換法則や結合法則だけを犠牲にするだけでうまく数の体系を広げることができたのがすげえな
これ
結合法則崩れるのは流石にやばい
逆に今まではたまたまその法則が成り立っていただけ
@@Mr-oe6hd四元数をさらに拡張した八元数では結合法則は満たさないよ。
ゼミで必要な調べものしていた時「く、クオータニオン…？」ってなったので、全信頼を置いているヨビノリさんのチャンネル行けばワンチャンあると思い来てみたら案の定あって感動しています。初めてコメントしました。いつもお世話になっています。
16:12四元数が好きな人が「ゴロリ」と増えた
わくわくさんのくだりしつかり回収してて草
それ思った…笑
最後の最後でちゃっかり回収してて草
3:57 ここでもさらっと「もう一個軸を作って遊ぼ」って言ってるね
ビニールビニール
ほんとだ…笑
さすがふぁぼぜろ
11:06
x1x2ijとかx1x3ikとかってどこ行っちゃったんだろ
ほんとにヨビノリさんの動画見る度に思うんだけど、黒板消しで綺麗に消すの上手すぎない？
電気系学生のわい、普段電流の記号と混ざらないように虚数記号にjを使ってるせいで余計に混乱している
わかりみの底無し沼
なぜjにしたのか…
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理系じゃないからわからんけど電気系ならjってジュールに使わんの？
@@flatline576 大文字Jがジュールで虚数は小文字jです。そもそもジュールは単位なので混ざらないです。
深掘りしたり気持ちの部分話してくれるの好きぃ
八元数…あんまり聞かない…笑
kinki kidsがjnj jdsに見えるとはよっぽどの数学狂ですね。
私は八元数どころか四元数すらこの動画で初めて知りましたが確かに物凄くワクワクしました。
国や土地によって文字が変わり、言葉にすると同国内でも聞き取れない訛りが発生すれども数式は世界共通であるのも面白いですね。
今日もファボゼロのボケかーと思ってたら、最後に「ゴロリ」でしっかり回収していくの好き
8:48
「滑舌が犠牲になってるな」
→ってことは、ファボ4かファボ8になってるのか!?
10:29
「jnj jdsって読むようになります。」
→やっぱりファボ0のままだった。
この授業のおかげで、現場で四元数に遭遇しても頭を抱えずに済みそうです。
あと、いつかカルマンフィルタの授業もやって頂けると嬉しいです。
最初にこの四元数があって、これをヒントに外積や内積、そして線形代数ができあがったという歴史を本で知った時は胸熱だった。
線形代数の計算って、あんなに単純に見えてもゼロオリジンで出来上がった物ではなく、こんな感じで知識を積み上げつつ完成されていったんだと。
今では、線形代数は高校で習い、四元数は専門レベルでならう内容。
線形代数は高校で習いませんよ
興味があるのですが、どういった本か教えて欲しいです！
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ベクトルは線形代数ですよ。
くれ ベクトルが線形代数の一部ってことで全てを習うわけではないので言いました
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今更だったら申し訳ないんだけど8:19の編集地味にすごくて好きです
ペチンという良い音が、病み付きになりそうですね？
掛け算の順序にうるさい小学校の先生は四元数で考えていたのか。
結合法則や交換法則が当たり前だと思ってはいけないってことですよね．
なるほど笑
RYO ()の位置変えようが順番変えようがこんな当たり前なことになぜわざわざなんちゃらの法則〜みたいな大それた名前付け点だろうって思ってたけどこういうことだったのか
行列でも同じようなことがあるよ
@@あふあふふ-w7j A x B
実数⊂複素数⊂三元豚⊂四元数⊂八元数
三元豚は草
三元豚は豚
ちょうど『3D‐CGプログラマーのためのクォータニオン入門』読み始めたとこ。超タイムリー。
jk = i
つまり、JKは愛ですね
ファボゼロです
@Abigail Mares
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わっどぅゆーみーん
わっ!どういう意味?
二乗したら−
最初のワクワクさんを
最後きちんとゴロリで回収してるのが綺麗すぎ！
ちなみに1番笑ったのはワクワクさんのくだりです。
すごく面白かった〜
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高校生の時にiは実部と虚部に分けられるツールで一つの式にxy成分を表せるものって気づいた時に、それなら3つもできるんじゃないかって思ったけど、「文字が２つあると文字同士の項が出てごっちゃになる〜」「j²=-1以外の良い特殊な数字ないか〜」ってなって考えるの疲れてやめたけど、どこかの天才さんたちが叶えてくれてたのか！
とりもち 高校生でそんなこと考えるとかあなたも相当頭いい笑
胸にかける 急に罵るの草
胸にかける 草
急に煽ってるやつ、自分も頭いいって言われたいんだろうなぁ…
@@胸にかける スピード感あって好き
え、えぐ、わくわくさんの話を序盤でしておいて、最後にゴロリ出してくるのえぐいって！！
惹かれるサムネ作るの上手すぎる
掛け算の順番の話は行列の話を思い出しました。
たくみ先生のボケはファボを犠牲に、、、、😭
クオータニオンはめっちゃ3dゲームの製作に使っています。ただ完全には理解してないのでもっと勉強したいですね
すご
3次元の回転はホンマに意味不明です
クォータニオンはベクトルのお母さんですし……ね？
最後、ワクワクさん繋がりで”ゴロリ”と増えたと言ったのですね。首尾一貫してて好きです。
高校の時複素数を習って動画冒頭のように三次元や高次元の複素数（仮）のようなものがあれば便利なのにと考えてました
数学素人が考えることは先人がとっくに研究してて驚いたと同時に高校の頃の自分の着眼点もあながち悪くなかったのかなとも思えました。
そんなん誰でも考える
むらきた やっぱ考えますよね〜
考えるの楽しいですよね〜
すげえ、ワクワクさんとアンパンマンを作ったやなせたかしの関係が何かないかと調べたら何もなかったです！
これずっと気になってたやつーーーー！！！！
まさかヨビノリに教えてもらえる日が来るとは、、、！！！
今回も、私の数学の知識の地平を広げてもらいました。感謝します。
ありがとうございました。
わかりやすく、しかも、面白いです。
しかし、頭を強烈に使うので、見終わった後に強烈な頭の疲労感に襲われます。
眠りたいときに見る動画としても最高かもしれません。
ありがとうございました。
kinki kidsのボケとかどうやったら思いつくんですか笑
ボケとほっぺぺちんのエフェクト最高ですねw
外積が実部を0にした四元数の積だーってわかってからカッコつけて四元数使って計算してた笑
かっこよ
猛者
四元数という複素数より広い数があることが面白かったです！
現代制御で急にこれがでてきて意味わからんかったからありがたいです
四元数の概念自体は空間における回転みたいな感じでなんとなく知ってたけど方程式の解の数とかからみたことなかった
なんか新鮮 ワクワクする
四元数の応用はどこもかしこもクルクル回すばかりで、本来の複素数の拡張という要素がすっかりなくなって寂しいですね。
回す応用に効果てきめん過ぎた？
1:24
つまりヨビノリはワクワクさんの始原である、と
ちょうどワクワクさんの起源を知りたかったので助かりました！！
実数→複素数→四元数→八元数
2^0=1→2^1=2→2^2=4→2^3=8
ってことで2^4=16元数とか2^5=32元数とかもあるのかな
4:20
ヨビノリ自画像
なんでも論破【神動画投稿者】 おいこら
いや草
13:43 の方は立体像
かい おいこらで反撃すんの草
文系なので式など理解できない事は多いのですが、本当に面白いですね。
数というのは概念であって、概念だからこそ、それを拡大すると更なる公理系が出現するというのは実に興味深いです。
数学は宇宙の不思議を感じさせてくれる学問ですね。
毎回毎回興味深い動画をありがとうございます
気になって調べたら十六元数も定義できるんですね
とすると三十二元数や六十四元数も定義ができる可能性が四元数レベルで存在する…？
その度に法則がなくなっていってキツそう
2進数で進んでくのおもろいなぁ
kinki kidsのくだりで不服にも笑ってしまった
元の数が増えたから解の自由度も増えたんだなあと解釈できる
前職でCG(OpenGL)を使ったレンダリング・画像処理の実装に四元数を使っていました
オイラー角と比べてジンバルロックがなく、回転行列よりもシンプルに記述できるなど非常に便利でした
当時は独学でなんとか対応しましたが、やっぱりヨビノリはわかりやすくていいですね
一元数・二元数・四元数・八元数って並びを見るとどうしても十六元数があるんじゃないかと思ってしまう
ある
あるぞ
Q=a+bi+cj+dkとしたとき、これをQ=a+bi+(c+di)jとあらわすことができる。これは「複素数の複素数」だ。こうして「複素数」を拡張してゆくと、二・四・八・十六・・・になるらしい。ところで理論物理の「超弦理論」は現在11次元で構成されているが、実は16次元なんじゃないか。11元数では数学的に破綻してしまうだろうから。俺にはさっぱり分かんないが。
「○元数」の「○」の部分にもっと大きい数を入れる場合を考えると、漢数字では扱いにくい。
将来はアラビア数字を使って4元数とか8元数と表記するようになるのでしょうかね。
そういえば、「○角形」の表記も小・中学校では漢数字ですが、高校・大学と進むにつれてアラビア数字に巡り合うようになりました。
人間が作り上げた概念なのに謎が多いって不思議だなぁ
@皐月ぽきまる
作ったんだぞ
@皐月ぽきまる
物理学と数学がごっちゃになってるようですが、
物理学が近年ですと理論で導かれた数式を、それがきちんと現実世界で機能しているかチェックするために実験を行って理論実験共々矛盾ないので新たな理論として物理体系に組み込まれるのに対し、
数学は人間が勝手に取り決めた「公理」を出発して理論を構築し、これに無矛盾な定義であったりこれから出発してできた定理がうまく公理に戻って来られれば数学体系に組み込んでいいよ、というアプローチ方法が取られているのは分かりますよね？
僕は物理学徒で数学にはあまり明るくないですが、大学で初年度程度の単位を収めているかそれに準ずる知識を持っていればこの違いは明白だし、あなたのような恥ずかしい間違いはしないと思うんですが
@皐月ぽきまる
さらに噛み砕くと、「人間が決めた公理」⇆「定義や定理など」を行き来しているだけなのでそこに現実の介在はないと思われますがどうですか？
最もこれが数学の面白いところで、勝手に決めたのに現実世界で役に立つものも何個かあったというのは往々にしてあるんですが
滑舌が犠牲 は褒められて良いと思う
四元数で連想するのはij=-ji=kなどから外積、
そこから三次元内空間内の回転
それに相対論
面白そうだなあ
jnj jdsは正直めちゃくちゃおもろい
10:35 ここさらに -n jds にできそう(nが実数なら)
最近寝れないときによく見てます
ImHがR^3と同一視できることを用いて、ベクトル解析の性質を四元数を用いて書き直していく授業して欲しいです。
本で行列使って数を考える話があって面白そうだったんで、やってください！
「複素数の基礎の基礎から学べる書籍」に記載があった内容だ。
交換法則が成り立たないことが抜けていたから、計算を間違えた記憶がある。
四元数初めて知りました！めっちゃ面白そう！
四元数を取り上げてくださり、ワクワクさんを生み出してくださりありがとうございます。ｗ
クリフォード代数についても、いつか授業してもらえると嬉しいです。
多分視聴者が付いてこれないw
@@一松総一郎 たくみ先生の秀逸なギャグで面白おかしくクリフォード代数を料理してもらいましょうw
複素数平面習った時、これもうひとつ軸増やせないのかなって思ってたけど、やっぱりあるんだ
その視点持ってるのすごい
自然界に反粒子が存在しないことは、直感的には、素粒子レベルには非可換な世界があることを裏付けているような印象をうける
オチがうますぎる。
クォータニオン(四元数)は、回転を伴う3次元空間上の座標計算が必要だった時に勉強しました。たしか、オイラー角(ロール、ピッチ、ヨー)を用いた座標計算の欠点である「ジンバルロック」が克服できるらしい。たぶん、ドローンの姿勢制御プログラムなどにも使われているはず。数学は実際のモノ作りにも役に立ちますよ！
4:03 いや3次元の軸書くの上手っ
しれっと、真顔でボケてるの面白いです
二回聞いて、自力で計算して、やっと、分かった！
中3でこんな面白いのに出会えた
1:30 ヨビノリがワクワクさんを作って遊ぼしちゃったのか
→ → → →
OA×OB≠OB×OA
外積とも関係するんかなぁ
関係します。i,j,kをそれぞれi軸、j軸、k軸方向の単位ベクトルと考えれば、ij=-ji=kなどは外積そのものです。
そもそも四元数の考えをベクトルに持ち込んだんですよ
空間ベクトルやってたからその解説はありがたいです
Hiroaki Nakajima すげえ
この動画、本当にいろいろなことを知れてわくわくする。面白い。これが後のわくわくさんを生ｎ
〜元数ってもしかして〜に当てはるのは〔2^x〕ですか? 例えば
1:実数
2:複素数
4:四元数
8:八元数
(16:十六元数)...
八元数の先の世界も知りたいです！
1,2,4,8の時はある程度扱いやすい法則があるけどそれ以外の時はそれらの法則が満たされないので16元数などが存在するとは言えません。定義はできると思いますが。
2^n元数(n:自然数)が定義できて、そこから2^x元数(x:実数)が定義できたりするんだろうか
そうなるともはや意味をなさないかもしれないけど
kokiri 118 項の数がおかしくなりそう笑
噛むたびに自分のほっぺ叩いてるうちに膨らんできてアンパンマンになれたんですね！
なるほどなーそれなら話が繋がる
名考察
現在高校生なんだけど、複素数習った時に、空間ベクトルみたいに軸もう一本増やして定義できないかと思い定義してみた結果、既に過去の人がもっと深く定義してたことを知って萎えた記憶があります。
四元数のゼータ関数がどうなるのかを知りたい。
ワクワクしすぎてワクワクさん産まれるくだりすべってるんだろうなと思いながらやるメンタルの強さよ
まぁすべってるけど
直線が綺麗
例えば16元数、32元数と増やして行った時に最後まで残る性質ってどんなんなんだろう。
定義によるんじゃないですか？
四元数の場合も乗法に関して閉じていると言う性質を犠牲にすれば交換法則が成り立つように出来るかもしれないですし(知らないけど)
16元数だと零因子(逆数が存在しない)が出てきて割り算ができない場合があります。
ランゲルハンス島民 例えばね
じゅうろくげんすう
16元数から先はないことが存在しないことが証明されているらしいですよー
1990年につくってあそぼが放送開始されたのでその際にヨビノリたくみのワクワクがワクワクさんを産んだとすると、2020年現在ヨビノリたくみの年齢>=30でなければいけない。
という絶対に他のことに頭使った方がいい思考をした。
四元数解説待ってました
んー、なるほど、わからん、どこまでマニアックなんだ
え、つまりは、このわけわからんのが現実で必要とされてるのか!!!
数を拡張していくと何かしら犠牲になる法則があるのって逆に、大きい数の括り(八元数)の中でも乗法の結合法則が成り立つのが四元数、四元数の中でも乗法の交換法則が成り立つのが複素数と定義されていると考えると納得ですね。台形のうち、もう1組の対辺も平行なものを平行四辺形とするみたいに。
実数から複素数に拡張するときには何か犠牲はあったんですかね？
かしこい
ぱっと思いつくのだと√a×√b=√abは犠牲にされてますね
一番大きいのは順序（不等式）だと思う。複素数では 1 < i みたいな順序を考えることができないからね。
こういう話って本当にワクワクする
まさかすぎるワクワクさん誕生秘話に驚きを隠せない
ヨビノリすご
何も分からないのに理解しようとして頭痛くなる
円形や球のものを見る度に自分の顔の丸さに毎回ひどく落ち込むたくみさん
→ハイパーコンプレックスたくみ
もっと根本的に複素数よりも拡張された数が必要な状況って何なんでしょうか。
自然数で割り算をすると自然数じゃない場合があるから拡張して有理数
有理数の平方根や超越数など有理数じゃない場合とかがあるから拡張して実数
実数の範囲である負数の、平方根が実数の中にないから拡張して複素数
複素数に何が足りないから、四元数まで拡張しないといけないのか
回転に便利、とかいうのは、数の使い方としてかなり高度なものだし
(α, θ)×(β, φ)=(α×β, θ+φ)
みたいな極座標表示などの表記法で解決できる問題な気もするし
コンピュータさんにとっては行列よりも計算量がそんなに楽になるんですかね。
数学的発想に浸かり過ぎているせいか、そういう発想が新鮮に感じました。
確かに、数の拡張の動機としては、負の数や有理数や平方根や虚数を考える理由付けで、四則演算や代数方程式で例外をなくしたい！という説明がよくされますよね。（超越数は代数方程式じゃないけど、極限操作でも例外をなくしたい！ 代数的数だけじゃスキマだらけで足りないし。）
でも代数方程式も、極限も、複素数体で話が閉じてしまう（気取って言うと代数的閉体で完備）。
その先は、「必要性」とかでなく、「複素数を含むさらに大きな多元体（実係数のベクトルみたいに書ける数で、四則演算が普通に自由にできる閉じた体系）ってあるの？」→「完全なものはない。乗法の可換性だけあきらめるなら四元数体、他の法則をあきらめないならそれで打ち止め。」という、純粋に数学的事実の追求でしかない気がします。
3次元幾何への応用は線形代数・ベクトル解析ですべてできるから、四元数でやるメリットってメモリが少なくて済むこと（行列だと成分が多くなるので）くらいだろうし。
6:50の包含関係の図が、進撃の巨人の壁に見えたりして。中にいても平和で何の不足もないのに、なぜ壁の外へ出ようとするのか。何の必要性があるのか？
…海が見たいから！みたいな。 犠牲は覚悟（笑）
ありがとうございます。
必要性という意味では複素数でちゃんと閉じている、ということがわかりました。つまりそれ以降の拡張に関しては、犠牲になるものの価値の捉え方によって「妥当な」「誰もが納得する」拡張の仕方が変わる可能性がある、ということですね。
だからこそ、3次元空間の回転に便利、という「数学なんて勉強して何の役に立つの？」に対する回答があることが動機として強くなるんですかね。
あとは、平方数が負数になる場合（x²=-1 の解）があるなら
絶対値が負数になる場合（|x|=-1 の解）は定義できるのか、というあたりが素人目線での興味ですね。
ははあなるほど… x²=-1 と |x|=-1 って“方程式”として捉えると似てますね。
ただし、x²=aは四則演算だけでできている「代数方程式」ですが、|x|=-1はそうではない。そうすると、「絶対値ってそもそも何？」ってことになります。
ちなみに、実数の2乗が負にならない理由は、〈2乗〉という代数演算と、〈大小関係〉がシンクロしていること（不等式の両辺に正の数を掛けても大小関係が保たれるとか、負の数を掛けると必ず逆転することetc.）から導かれます（気取って言うと「順序体」が自動的にもつ性質）。ここで、〈正〉とか〈負〉とかは、そもそも「0との大小関係」であることに注意。
それで、x²=-1に解がある世界（複素数）に拡張するには、必然的に大小関係（順序構造）をあきらめなければならなくなる。
いっぽう〈絶対値〉は、0との〈距離〉を表す実数なので、定義上、負でない。たとえば〈確率〉が負にならないのと同じような。
x²が正になるか負になるかは“結果論”だから前提を変えれば変わりうるけど、 |x|が非負なのは“定義”だからどうしようもないというか。
符号を〈向き〉とみなした「負の面積」とかもあるし、「値が複素数である面積」（測度）まであるくらいだから、「負の距離」だって作れるかもしれないけれど、そもそも〈絶対値〉の意義は「複雑な対象のサイズを、実数を利用して把握するためのもの」（気取って言うと〈ノルム〉）だから、〈絶対値〉の定義に含まれる“非負”をはずしたら、それはもはや別の概念になるでしょう……
数学っておもしろいですねぇ。
複素数 z=x+yi の絶対値 |z|=√(x²+y²) であることを前提として
四元数 q=a+bi+cj+dk の絶対値 |q|=√(a²+b²+c²+d²) である、ということには何の違和感もなく、またa, b, c, dは実数でその平方の和だから必然的に非負数になることも直感に反しない一方で
四元数を「複素数 z=x+yi のxとかyが複素数だったらどうなるの？」という動機から始まる拡張であり
x=a+cj, y=b+dj として q=a+cj + (b+dj)×i = a+bi+cj+dk である
なんて方針で定義したとしたら
|q|=√(x²+y²)=√{(a+cj)²+(b+dj)²} とする
なんて主張も一応アリな気がしちゃって、となると絶対値の範囲が複素数に拡張されて...
と思ったけど
|q|=√(|x|²+|y|²)=√(|a+cj|²+|b+dj|²) とする
の方がスマートな気もしてきました。
絶対値を0および正の実数の範囲から拡張するには、実数→複素数→四元数ではない方向に拡張した数（それこそ、何の役に立つかわからない数）を定義しないといけなさそうですね。
絶対値を負数を含めた実数や何なら複素数の範囲に拡張するための数、という本末転倒な定義ですね。
ごちそうさまでした。
数2Bを教えてたおじいちゃん先生が複素数って言う時、クソ数…クソ数…って聞こえたの思い出した
複素数に親を殺された数学教師かよ
四元数の応用について授業してほしいです！
非ユークリッド空間の話聞いてみたいです！
球面になったとき感動した
100年以上前までの古典力学は、ベクトルじゃなくて四元数を使っていたらしいですね
ベクトルが使われるようになったのは、ギブスがエール大学での講義で用いられたのが最初だとか
ベクトルの方が歴史浅いなんて驚きでした…！やはり習う順≠歴史順ですね…
最後のお疲れ様が何か意味を感じた
文字の書き方講座の動画出してください。
ワクワクさんからゴロリの流れが秀逸すぎる
先週の線形代数の数学演習の最後の問で行列I,J,Kが与えられて二乗とか積が正にその形になってたんだが、あれって四元数の話だったのか……
四元数ちょっと興味あったから有難い
何気なくunityで回転は四元数ね、ハイハイいうて使ってたけどこんな深い意味があったのか
建築学科の学生時代にイギリスのある範囲に敷地決めて建物を設計するという課題があって、たまたま四元数が刻まれてるブルーム橋の近くだったので
四元数の産みの親であるハミルトン先生の記念館を計画したことがあります。懐かしい。