INTEGRAL einfach erklärt - unbestimmte Integrale lösen, Stammfunktion
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- เผยแพร่เมื่อ 21 ก.ค. 2024
- Integral einfach erklärt
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man in der Integralrechnung unbestimmte Integrale mit der Stammfunktion lösen kann. Wir bestimmen alle Stammfunktionen mit der Konstanten c. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Integrale einfach erklärt
0:49 Beispiel 1: Unbestimmte Integrale lösen
4:24 Beispiel 2: Stammfunktion bilden
8:46 Beispiel 3: Integrale mit Parameter berechnen
11:58 Bis zum nächsten Video :)
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ich sehe gerade, da hat sich ein 53-jähriger bedankt.
ich bin 69 und bedanke mich auch!
denn ihre videos sind momentan für mich so etwas wie entspannende kurzurlaube (!).
ich suche mir da etwas aus und frage mich, verstehe ich das noch oder gestehe ich mir ein, das nicht mehr zu verstehen?
ich bin informatiker - und daher eigentlich nicht allzu weit von der mathematik entfernt. aber ich muss zugeben: mittlerweile doch! und sie erklären die dinge so, dass sie wirklich nachvollziehbar sind. ich glaube, da macht es dann gar keinen unterschied, ob man 69 oder 19 ist. hauptsache, man kann schon oder noch folgen.
die mathematik ist schon ein erstaunliches phänomen in unserer erstaunlichen welt.
und auch ein kurzweiliges!
Heute mit 53 verstehe ich, woran ich in meiner Schulzeit verzweifelt bin… Dankeschön.
Ich habs damals auch nicht gerafft. Vielleicht hab ich nicht zugehört, aber vielleicht hat es auch einfach keiner der hervorragend ausgebildeten Mathemathikdidaktiker geschafft es mir zur erklären. Echt frustrierend.
@@pablolachmann7044 Damals gab es noch kein TH-cam, man konnte den Lehrer nicht einfach "anhalten" und "zurückspulen" 🙂. Und die Lehrbücher waren auch nicht besser als heute. Zudem ging es in Mathe immer auch darum, ein Fach zu haben, bei dem man gut "sieben" kann...
@@murdock5537 Jetzt haben wir den Fachkräftemangel...
Lol.
Danke! Hallo Susanne, prima, dass Du die Integrale noch mal so schön erklärst. Ich hatte das Thema schon fast nicht mehr auf dem Schirm. Mathe muss halt immer wieder geübt werden. Vielen Dank und weiterhin gute Besserung!
Wie immer perfekt und äusserst verständlich erklärt. Einfach nur Top.
Die besten Mathe-Tutorials überhaupt !
Dankeschön! 🤩
Selbst in meinem Studium hilfst Du mir immer wieder weiter und rettest mich.
Ich muss erstmal alles aufholen, was die Lehrer in drei Jahren Oberstufe nicht hinbekommen haben...
Ich danke dir so sehr 🙏
Geht mir genauso
Ich danke dir für deine super hilfreichen Mathe-Erklärvideos 🙏🏼 mir liegt Mathe gar nicht und ich brauch auch ewig bis ich etwas in Mathe so richtig verstanden habe aber bei deinen Videos verstehe ich alles immer viel einfacher und schneller und dafür bin ich so dankbar 🙏🏼
Hallo, solch eine Erklärung hätte man vor 50 ! Jahren gern gehabt. Kompliment sehr gut und verständlich vermittelt. Bitte weiter so.
Hallo, erstmal vielen Dank für deine Videos. Ich muss gestehen ich benötige das meiste nicht wirklich, aber es macht immer wieder Spaß zu versuchen die Lösung vorher selbst zu versuchen und du erklärst super. Wenn ich mir gerade wieder eine Diskussion auf LinkedIn anschaue, hast du in Zukunft noch genug zu tun. Viele Lehrer*innen schaffen es nicht, den Stoff so verständlich zu vermitteln wie du.
Sehr schön erklärt, dank dir 🙏
Toll erklärt. Danke!
Hoffe, daß es Dir wieder besser geht.
Ich bin erst in der 8. Klasse und finde solche Themen sehr leicht, da so viele youtube Videos existieren, die das so einfach erklären, wie dieses. Toll erklärt!
YAA ich fühls, auch 8. klässler der mathe liebt
Wieder einmal Mathematik vom feinsten. Klasse!
Susanne ist einfach gut im Erklären; nach SWR3 - Manier eben ein toller Erklärbär(in). Merci für die Auffrischung zum unbestimmten Integral.
Schön, dass du wieder da bist!
Bester Kanal auf TH-cam
Dankeschön!! 🤩♥️
ein Mathe Kanal, wer hätte das gedacht 😁😁
👍💯💯 Sehr gut!
Dankeschön!
Sehr gerne! 🤗
Bist die beste, hast meine Klausur morgen gerettet
Dankeschön sehr gut erklärt
Freut mich, dass ich dir weiterhelfen konnte! :)
Hallo Susanne, vielen Dank für Deine Videos. Manchmal würde ich mir wünschen, wenn Du kurz darstellen könntest, wie ein konkreter Anwendungsfall aussehen könnte. Viele Grüße
Ja das wäre gut und dann auch im direkten Vergleich zum ableiten 👍
Ein super Überblick zum (Wieder)einstieg! Danke! Jetz habe ich eine Orientierung. (:
Perfekt, das freut mich sehr! 🥰
Sehr schöne Aufgabe, super erklärt, danke! Hier noch ein kleiner Hinweis: Aufgabe 2 kann man durch quadratische Ergänzung zum Integral von (x - 1)hoch 2 - 7 dx umformulieren, dann ergibt sich die elegantere Integrallösung (identisch mit der hier gezeigten): (1/3)(x-1)hoch 3 - 7x + C.
Korrektur wg. Vorzeichenfehler meinerseits: Es muss natürlich heißen: (1/3)(x+1)hoch 3 - 8x + C. Beim Ausmultiplizieren des kubischen Binoms erhält man sogar den C-Wert = (1/3) 🙂
Du hast mein Leben gerettet!!!!
Hallo Susanne! Ein für mich damals "grausiges" Thema jetzt anschaulich und verständlich. Super! Gute Besserung noch (Tee mit Zitrone und Gurke hilft-uraltes Hausmittel)
Hallo Susanne, ich finde deine Videos immer ganz interessant und perfekt erklärt. Könntest du mal wieder Videos zu beispielsweise komplexeren Integralen aus der Uni, die man mit Kenntnissen aus der Oberstufe lösen kann oder weitere Beweise mithilfe der vollständigen Induktion veröffentlichen?
Vielen Dank🎉
Top Video
beste frau !!! danke für alles
Hallo Susanne du machts das sehr gut, was mir in der Schule immer gefehlt hat ,war wofür brauche ich des eigentlich im Leben ( um sich des zu Merken oder zu vertiefen) , des wäre mal ein guter Aufhänger für ne extra Serie.
Ich habe mir leider die volle Platte selbst erarbeiten müssen E Technik Studium - hatte Abi gerade so, dann Lehre auf dem Bau - und wollte dann doch studieren ( ist schon scheiße wenn dir im Winter auf dem Bau des Wasser im Gibsbecher gefriert - und man muss verdammt hart arbeiten für wenig Geld ) DA GIBT ES DANN SEHR WENIG WAS VON DER SCHULE NOCH DA IST "zum Glück gab und gibt es Papula", und dann ist es ist eher der Ehrgeiz und Wille und Leidensfähigkeit
wieder mal verständlich erklärt, danke
Dankeschön! 😊
DU BIST EINE HELDIN!!!!
Das "+ C" für die Konstante hängt man nur beim unbestimmten Integral hinten an, oder auch beim bestimmten Integral wo man Grenzen hat?
Sehr toll erklärt die Lehrer müssen einfach von dir lernen wie man es erklärt.
Herzlichen Dank Susanne für diese Integral Aufgaben, ein Fest für Matheliebahber 🙏🥰
Lösung ▶
a) ∫ 4x⁶ dx
I = 4x⁶⁺¹/(6+1)
I = 4x⁷/7
I = (4/7)x⁷ + c
b) ∫ (x²+2x-7)dx, a ∈ ℝ
I= (x³/3 + 2x²/2 -7x)
I= x³/3 + x² - 7x + c
c) ∫ (8ax⁴ + x³/7) dx
I = 8ax⁴⁺¹/(4+1) +x³⁺¹/[(3+1)*7]
I = 8ax⁵/5 + x⁴/(4*7)
I = (8/5)ax⁵ + x⁴/28 + c
Wir freuen uns auf die weiteren Aufgaben aus dem "Calculus" Bereich.
Richtig gut erklärt
Würde sogar meine kleine Schwester verstehen 👍
Tolles Video:) nun hab ich doch noch eine Frage: ich soll ein unbestimmtes Integral von ln sqrt a * x^4 + 7^x bilden.
Der erste teil ist easy: ln sqrt a/5 * x^5 aber was geschieht mit 7^x?, wir daraus ein ln?
Kannst du mal einen Analysis Test von der Uni mit uns lösen? Würde es echt feiern 🙈
In der Schule hab ich nie verstanden wieso das +c so wichtig ist. Da ist es ja meistens echt nicht relevant und eher ein "joa ist halt so". Wenn man aber dann mal zB trigonometrische Funktionen integriert, bemerkt man wie wichtig das teilweise ist und wie viele Gleichheiten man durch verschiedene "+c" im Endeffekt haben kann.
HI ich habe bemerkt das viele ein Problem mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) haben habe es selber von einem Amerikaner gelernt eine elegante Methode mit der Dreireihigen Determinante vielleicht kannst du das auch mal zeigen ist die beste Methode dich ich gefunden habe ohne Satz des Sarrus. Liebe grüße und weiter so
Hallo kannst du mal ein Video zu Lotfußpunkte und Abstand windschiefer Geraden machen?
Warum kommt die Hochzahl bei x(hoch 4) unten beim Ergebnis wieder dazu? durch das multiplizieren müsste dann nur mehr 28x unten stehen oder 🙈?
wie mache ich das wenn das x im Nenner steht?
Sind N und Z in R enthalten?
Wie würde ich denn das unbestimmte Integral ( S al Integralzeichen) : S xe^3x dx lösen? Ich komme nicht drauf
So ein gutes Zuhause für Mathematik
mathe Sa gerettet
ist das Gegenteil von ableiten dann aufleiten? Wie würdest du als professionele Mathematikerin das geschweifte "S" bezeichnen?
Das Gegenteil von ungern ist ja gern. Ist dann das Gegenteil von Ungarn "garn"? :-)
Das Integralzeichen ∫ ist aus dem Buchstaben langes s (ſ) für lateinisch summa abgeleitet. Siehe de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung
@@walter_kunz Kommst du aus Ungarn?
@@walter_kunz Das Gegenteil von Walter wäre dann Alter?
@@walter_kunz Und das Gegenteil von Kunz wäre Strunz!
@@unclebrave9020 Nein, aus Österreich.
Susanne, ich liebe deine sadistische Ader. Wie du das Wort "Bruch" oder "Brüche" aussprichst, da hätte ich als Schüler schreiend die Flucht ergriffen, und ein paar Mädels mitgenommen. "Hallo, ihr Lieben, wir machen heute mal Bruchrechnung mit Integralen", ja, Mensch, sag's doch gleich!
Richtig und wichtig ein tag vor wiederholung verstanden
Love u
Und nun noch im Integral ne Quadratwurzel und über das Integral noch eine.
Das 2. Integral schreit nach einer quadratischen Ergänzung. (X+1)²+6, leider wird es dadurch nicht besser. Elegant ist leider nicht immer vorteilhaft :-(
Den Term könnte man aber tatsächlich „wie gehabt“ integrieren, da x+1 ein linearer Term ist. Heißt, integriert lautet der Term dann 1/3(x+1)^3 + 6x + c. :)
Stehe auf dem Schlauch.. Du rechnest doch nur die Stammfunktion 😊
(Warum wurde in der Aufgabe 3 keine Klammer gesetzt?)
Weil die nicht notwendig sind.
@@walter_kunz Danke. Die Folgefrage: Warum ist in Aufgabe 2 geklammert?
@@eckhardfriauf Braucht man eigentlich da auch nicht. Wird wohl der Übersichtlichkeit eine Klammer gesetzt worden sein.
@@walter_kunz Dem Übersichtlichkeitsargument stimme ich zu.Für Aufgabe 3 ergibt sich dadurch aber ein (Un)übersichtlichkeitsproblemchen. Nichts für ungut.
@@eckhardfriauf Für die einen ist es so und für die anderen halt so :-)
Hauptsache richtig!
Morgen Klausur 🥟🍜🍜🥘
Cool viel erfolg
Hallo, was mir immer in der Schule gefehlt hat, war die praktische Anwendung der Mathematik im Leben. Manche Gebiete der Mathematik sind sehr wichtig (Arithmetik - rechnen muss man können, Geometrie - Fläche berechnen ist auch wichtig) manche aber so abstrakt (wie Integrale). Gibt es da Beispiele für höhere Mathematik die Praxisnahe sind. Danke.
du musst nur googlen: integration anwendung. du erfährst dann viel tiefsinniges, aber zb auch etwas über die batkuve, die funktion für die abbildung des batzeichens.
@@porkonfork2021 wenn man googlet ist eben alles tiefsinnig und hier wird so verständlich erklärt.
@@ANELELEKTRONIK1 ich dachte, du hättest nach anwendungsbeispielen gefragt
@@porkonfork2021 schau mal, das ist mein Problem: immer wenn ich frage werde ich weiter verwiesen 😃. Mein Kollege hat mir die Mathe nach dem Elektrotechnik Studium so erklärt: "ich kann berechnen viele Teufel auf die Nadelspitze passen aber verstanden habe ich es nicht". Bitte kein googeln. Das ist keine Hilfe. 😐
Im Alltag hast du natürlich recht. Aber deinen komfortablen Alltag, mit all den tollen modernen Geräten, die hat ja mal irgendwer erfunden. Und der musste dafür kompliziertes Zeug ausrechnen. Der muss dann natürlich das entsprechende Fach studieren. Da man in der Schule aber nicht weiß, wer jetzt Physiker und wer Putzkraft wird, muss man erstmal allen Schülern eine gewisse Grundkenntnis beibringen. Der spätere Physiker musste halt auch so einen "Unsinn" wie Sozialkunde und Geografie lernen. Diese Frage kann man also genausogut auch umdrehen. "Wozu muss ich als Physiker im Alltag wissen welche Staatsform Burkina Faso hat?"
Manche Alltagsaufgaben werden halt auch einfacher, wenn man die komplizierten Dinge kennt und sie vielleicht auf etwas anderes zurückfühen kann.
Ich baue gerne mal im Hobby (also "Alltag") an elektrischen Schaltungen. Da kann es schon hilfreich sein, wenn man mal einen Sinus integrieren kann (Wechselspannung z.B.). Ich hab auch selber meine Heizung optimiert, weil der Heizungsbauer das nicht hinbekam. Ist auch toll, wenn man dann was über Thermodynamik und Strömungsmechanik (Heizung ist fließendes Warmwasser) weiß. Physik ist ausschließlich angewandte höhere Mathematik. Das ist halt auch mein "Alltag". Also ja, man kann es auch im Alltag brauchen, man muss aber nicht.
die armen die zu dem thema vor 2 jahren klausur schreiben mussten und es noch nicht dieses video gegeben hat (ist mir passiert, deshalb schreib ich die klausur auch nochmal)
wieso eigentlich immer der aufwand beim teilen von brüchen durch ganze zahlen? ich hab damals gelernt, einfach den nenner mit der ganzen zahl zu plutimizieren. beispiel hier: 1/7/4 = 1/(7*4) bei 11:20 im video
oder bin ich blöde und die methode funktioniert nicht immer?
Was heißt "plutimizieren"? Naja, wenn man es einmal umständlich gelernt hat, macht man halt es immer so umständlich! Und sie hat schon des Öfteren erklärt, dass sie Brüche liebt.
@@walter_kunz na? auch schon da? mahlzeit! noch nie was von plutimikation gehört? naja, bistn büsch jung für, wa?
@@daskraut Ne, zu alt! Aber Kindersendungen haben mich nie interessiert (auch als Kind schon nicht!).
hatte eigentlich gedacht sie schreibt als Integral 1/7 * 1/4 x^4 was dann zu 1/28 x^4 wird
(Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner)
auch bei der ersten Aufgabe 4 * 1/7 x^7
aber reine Formalität
th-cam.com/video/y_qhbmW51ns/w-d-xo.html
@@walter_kunz Das sind zu aller erst mal Bücher. Die wurden zwar auch verfilmt, aber es bleiben Bücher. Und Astrid Lindgren ist nicht die schlechteste Literatur für Kinder.
In 12 Minuten mehr verstanden als in 180 Minuten Unterricht.
Es gibt son jungen ^^ der hat 100 integral rechnungen gemacht in paar stunden glaube war world record
Hallo Susanne, ich fange noch mal an: Du hast die seltene Gabe komplizierte Sachen verständlich erklären zu können. Ist sehr selten. Gibt es eine Möglichkeit die sehr abstrakten Teile der Mathematik auf praktischen Beispielen zu erklären. Ich erkläre den Freuden (bin Elektroniker) Spannung und Strom mit einem Wasserfall. Es funktioniert fantastisch. Zu wissen was man damit macht hilft den Sinn der Berechnung zu verstehen. Oder? Integrale, Differenziale etc in die Praxis umgesetzt. Geht es?
Diese lange werbung ist so ranzig
Wenn man "ableiten" zu differenzieren sagt, sagt man dann "aufleiten" zu integrieren? 😅 Hatten einen Dozenten der fast schreiend den Raum verlassen hat bei der Diskussion 😁
Aufleiten haben wir in der Schule nie gesagt. Differenzieren kam vor aber der Begriff Ableiten war gängig. Die andere Richtung war das Integrieren. So kenne ich es auch von anderen. Ich denke, hier werden einfach nur für beides die gängigsten Begriffe genutzt.
Ja, manche tun das. Ist aber nicht gängig dieser Ausdruck.
Geil
Jetzt hab ichs verstanden das mit dem Bruch! In der Schule hab ich nie kappiert! Weil der Lehrer das anders erklärt hat!
Man, ich fühle mich jedes mal wieder 35 Jahre in die Vergangenheit versetzt, als diese Themen in der Schule dran waren. Mal so nebenbei gefragt: +c? Kann die Konstante nicht auch negativ sein?
Ja, wieso nicht.
c als reelle zahl kann negativen wert haben. dass man + c schreibt, dürfte, wie so vieles in der mathematik, eine konvention sein.
Das Vorzeichen der Integrationskonstante ist beliebig, denn sie fällt ja beim Ableiten weg.
+C am Ende der Stammfunktion steht repräsentativ für die Gesamtheit sämtlicher Stammfunktionen, deren Funktionen identisch aussehen, außer dass sie an der Ordinate um den Betrag von C vertikal nach oben oder unten verschoben sind.
@@othernicksweretaken Ordinate klingt, finde ich, deutlich besser und eloquenter als y-Wert. :D
Gutes Video wie immer aber ich hab eine Aufgabe bei der ich Hilfe brauche wäre nett wenn mir jemand hilft
a,b>0
a²+b²=161
a•b=75
a=10,467 ; b=7,159
@@Meinungsportale danke
Die 2. Gleichung lässt sich leicht nach a oder b auflösen, du kannst z.B. durch b Teilen und erhältst dann a = 75/b. Diesen Ausdruck kannst du jetzt für a in die 1. Gleichung einsetzen, wodurch du eine Gleichung erhältst, in der nur noch die Unbekannte b Enthalten ist. Diese (biquadratische) Gleichung kannst du dann nach b auflösen, den Wert für b in die 2. Gleichung einsetzen und diese letztendlich nach a auflösen. :)
@@jorex6816 das schwere war an der Stelle in der man erkennen muss das es eine biquadratische Gleichung ist ich dachte man braucht einfach nur Satz des Pythagoras beim erstellen der Aufgabe aber ich wusste nicht dass man in Nachhinein mit b² erweitert
Umgekehrt ist auch eine Lösung zu a*b=75.
Also a=7,1593 und b=10,4759.
Ich habe TR-Werte zwischengespeichert und mit denen weitergerechnet. Kein runden.
Jorex Lösungsweg folgend ergeben sich in der biquadratischen Gleichung folgende Werte: b1 und b2 aus der ersten Substitution u1 sowie b3 und b4 aus der zweiten Substitution u2.
Zwei davon (b2 und b4) sind durch ihre Wurzel (u=b²) negativ und fallen weg.
Die anderen beiden werden mit a = 75/b verrechnet.
Und dadurch ergibt sich:
b1 = 10,4759
b3 = 7,1593
a1 = 7,1593
a2 = 10,4759
Mit der Multiplikation als Prüfung ergeben sich:
b1*a1 = 75
b1*a2 = 109,7447 (falsch)
b3*a1 = 51,2553 (falsch)
b3*a2 = 75 (die Lösung von Meinungsportale)
7 plus x hoch 0
jetzt bitte integral von x*sqrt(1-x^2)
-1/3 (1 - x^2)^(3/2) + c
fand es etwas übertrieben am ende nochmal den kehrwert und "vier eintel" zu erklären. integrale sind letztlich oberstufenmathe, das sollte bis dahin jeder drauf haben.
hätte mir noch die generelle formel für integrale von polynomfunktionen gewünscht:
f(x)=x^n ⇒ ∫f(x)dx=x^(n+1)/(n+1)+C mit n≠−1 und C∈ℝ
stimme dir zu
Es sollte, ja! Aber soll ich Dir Namen nennen von Mitschülern nennen, die die Bruchrechnung auch in der 13 noch nicht verstanden hatten?
Das ist ein Monom. f(x)=∑a_n*x^n ,n ∈ ℕ, a_n ∈ ℝ (Ober und Untergrenze bitte dazu denken) wäre ein Polynom. In Worten hat Sie aber genau dies so beschrieben (Bruch mit neuem Exponent als Nenner ist das gleiche wie durch n+1 teilen nur anders aufgeschrieben. Dazu sind halt Formulierungen wie das "sollte jeder drauf haben" gerade das , was viele von der Mathematik weg bringt. Lieber einmal gründlicher erklären und das gesamte Zielpublikum versteht es, als einzelne links liegen lassen. Hier sind einige im Kanal, die sich verbessern wollen und nicht bereits alles drauf haben. Schüler, die evtl Stoff verpasst haben, sind dankbar für einfache Sprache und Erklärungen.
@@haraldreimann-trusheim2993
ein monom ist auch nur ein einsames polynom. ich verstehe deinen standpunkt, kann die meinung aber nicht teilen. wer in der 13. klasse einfachste bruchrechnungen nicht hinbekommt, der hat im abitur nichts zu suchen.
@@fackingcopyrights Du wärst erstaunt wie viele Studenten an der FH und Universität die einfachsten Rechnungen nicht hinbekommen. Es beklagen ja inzwischen viele Profs von MINT Studiengängen beziehungsweise Studiengänge, die Mathemodule enthalten, dass den jungen Leuten die einfachsten Grundlagen nicht gelingen.