Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 9 ก.พ. 2025
- #БотайСоМной #040
Комплексные числа.
Тригонометрическая форма записи. Формула Муавра
Заявки на следующие ролики: youtubetrushin....
Библиотека курсов онлайн-школы Фоксфорд: foxford.ru/lib...
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть C (задания 13-19):
foxford.ru/cou...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть B (задания 1-12):
foxford.ru/cou...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике:
foxford.ru/cou...
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике:
foxford.ru/cou...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_tru...
Группа сайта TrushinBV.ru: trushin...
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
TH-cam-канал: / trushinbv
Очень мало преподавателей, которые умеют так хорошо объяснять. Причем контент очень полезный для школьников. Жалко, что количество зрителей относительно мало, но это зависит уже от них самих. Борис, спасибо огромное за вашу работу!
На самом деле их довольно много. Но не у всех хватает наглости лезть в youtube ))
Самое крутое объяснение комплексных чисел!
"Причем контент очень полезный для школьников. " - а это разве это школьный уровень?
@@inzhener2007 материал 1 курса вуза, теоретически может быть освоен в 11 классе, проблема не в сложности, а в количестве часов математики в старших классах и количестве тем которые в них можно впихнуть.
@@inzhener2007 изучал комплексные ещё в 9 классе, так что да
А ведь на лекциях с точно таким же содержанием я просто спал. А сейчас всё это смотрю с удовольствием.
ЖизА
ахаха))) Мы были молоды и нам не хватало общения и секса. Мы постарели, и нам не хватает знаний. Тогда они давались бесплатно, сейчас за знания приходится платить. Такой вот перекос
@@mOarDoor ок
Очень жаль
Спасибо большое! Я на 1 курсе и по векторному анализу у меня дед, которого невозможно ни то что понять, а даже просто услышать... Поэтому приходится открывать ютуб и смотреть вас) Всё чётко, по полочкам и без лишней шелухи! Однозначно лайк)
Господи спасибо большое. Вероятно я не вылечу благодаря тебе. Назову своего сына Борис
Хах, ну что, всё ок? не вылетел?
Борис Трушин, вы снова как всегда, вовремя! Огромное спасибо за объяснения!
Борис, огромное спасибо! 15 лет не занимался математикой, а тут все просто, доступно и интересно! И да, на формуле cos3x испытал натуральный катарсис)
А можно дальше расширять контингент, чтобы не только школьникам было интересно, но и студентам?)) Хотелось бы разбирать темы из дискретной математики, линала, матана и тому подобное) Например, какие-нибудь хардовые задачи из комбинаторики (что-нибудь с леммой Бёрнсайда, на ожерелье, графы раскраски...) или про матрицы потолковать, ну много всего) Они и для студентов годны и школьникам полезно
хорошие ролики, я под них даже не засыпаю. ХОТЯ ЭТО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Пожалуй, лучшая подача материала в сети. Спасибо большое!
Борис, спасибо большое за видео
Я вам очень благодарен
Ваши видео помогают мне лучше разобраться в математике и получать счастье от учёбы.
Спасибо большое
Учусь на иностранном языке, ваши занятия спасают! после лекций прихожу и смотрю объяснения по русски
Посмотрел как введение, так и этот урок. Давно уже закончил ММФ. От вашего повествования и последовательности так и навеяли воспоминания о чтении справочника Сканави при подготовке к поступлению.
Спасибо за Ваш труд! Преподаватель с большой буквы.
Спасибо огромное! Учусь ещё в школе, но очень интересуюсь темой комплексных чисел и их применения. Ваша серия роликов очень помогла (на базовом уровне) разобраться в теме.
Борис, коль уж речь зашла про комплексные числа, я бы очень хотел вас попросить разобрать идею гиперболических функций, их связь с тригонометрическими аналогами и их интерпретацию.
Зачем они нужны?
С какой целью их ввели?
В рунете совсем плохо объясняется суть...
Заранее бесконечно признателен.
@@hiler844 обещанного три года ждут.
А это нам ещё никто и не обещал)))
Все проще простого, при интегрировании и дифференцировании эти функции функции ведут себя очень похоже на соответствующие тригонометрические, местами с точностью до знака, также есть ряд свойств практически идентичных свойствам триг. ф-ций, более того при комплексном аргументе они взаимно переходят друг в друга. Вообще, в Википедии в статье Гиперболические функции все подробнейшим образом перечислено, посмотрите и будет Вам счастье.
Спасибо, вспомнил и лекции и школу.
Я когда узнал о комплексной плоскости и о умножении комплексных числах, я долго думал о том как находить все возможные комплексные корни уравнений и тогда я решил разбить окружность на равные части, сейчас я узнаю о том, что я был прав🎉
"тригонометрия нужна не только для решения простых задач из ЕГЭ" (с) Борис Трушин
Большое спасибо за Ваш труд!
Когда я был школьником, моя мать отказалась оплатить мне репетиторов.
Хотя бюджет был в пределах нормы.
И я пытался смотреть Ваши видео, чтобы узнать больше, чем проходят в школе.
Но мать отбирала у меня ноутбук (подаренный отцом на день рождения) и использовала его в развлекательных целях (слушала музыку ВКонтакте).
Ваши видео особенно полезны для сильных и любознательных школьников, которые хотят НЕ тупо "натаскаться" на ЕГЭ, а глубже понять математику.
И у которых нет денег на репетиторов.
*Было бы интересно, если бы Вы записали побольше видео по МАТАНАЛИЗУ и другим разделам ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ, которые Вы преподавали в МФТИ.*
Хочется и про формулу Эйлера послушать и возведение в комплексную степень. Видео понравилось.
Борис, отличное изложение! Сердечно благодарю!
Про использование комплексных числе в физике очень хочется послушать от вас. Много путанницы, так как все это еще и в физике... ждем-с)
Огромное спасибо!!!
Сразу лайк!
Спасибо, Борис. Очень хорошо объясняете )))))
Просто найкращий!
Супер!!! Молодец!!! Очень глубокое понимание математики!!!
Наш учитель математики в школе, чтоб дать нам более общий взгляд на понимание системы координат, начинал изложение не с Декартовой системы, а с более экзотических (косоугольной, полярной, биполярной). Таким образом он хотел чтоб мы не натаскивались на заучивание фактов исключительно из Декартовых координат.
Великолепно просто нет слов
Молодец, всё очень убедительно и без натуги. Заслуженный лайк!
Кто тут с первого курса)?
11 клас
Спасибо!
Борис, спасибо, отличное видео!
Отличный канал! Радуют ролики про математику, а не скучное егэ! А будут ли ролики про интегрирование и дифференциальные уравнения?
Когда-нибудь все будет )
Оставляйте свои "заявки" здесь: youtubetrushin.reformal.ru/
Даю уроки по математике - 9класснику попалось уравнение четвёртой степени непонятно, как его решать. Вспомнил, что Вы поминали формулу Кардано да Феррари, - вот углубляюсь в Ваши витийства. Вы потрясающий преподаватель🤗👍
Решение Диофантовых в комплексных.
Очень ждем про физику))
Красота!
Спасибо большое за объяснения, очень помогло понять
это супер!
Когда ездишь по заклам олимпиад и пропускаешь школу приходится смотреть такие видео, чтобы догнать программу😂
вот про физику очень интересно
Физики очень любят описывать колебания через "e" в комплексной степени. Поэтому i очень часто встречается там, где есть колебания.
Благодарю.
Отлично! Спасибо.
Очень интересно практическое применение комплексных чисел.
Спасибо
Ты начал с решения кубич уравн и закончил с извлечения корня с мнимого числа, потом перешёл в этом видео к понятию комплексн числа. Но где конец предыд видео нахожд корней с мнимых чисел, при котрых мы должны получить корни действ из твоего примера--х1=-1,х2=2, х3=3, где это видео, за ранее благодарю тебя за хорошее изложение материалов. Спасиба жду видео или укажи где его искать.
Осталось только решить то уравнение из видео про формулу Кардано
Здравствуйте, я хотел спросить, как решать задания по типу: найти сумму S = sin x + sin2x + ...+ sin(nx) с помощью комплексных чисел или без них. Такие же задания есть для косинусов, и для косинусов и синусов в квадрате. Но разбора таких заданий в интернете почти нет. Если уже есть такой ролик или есть ссылка на разбор подобного, то буду благодарен, если поделитесь. Но я почти ничего не нашёл.....
Здравствуйте! Очень хочется увидеть решения уравнения из видео про формулу Кардано до конца ( я пытался его дорешать, но с х= 1;2;-3 ничего так и не сошлось((), подскажите, пожалуйста, есть или будет в каком либо видео полное решение этого или подобного уравнения?
7:40 формула
15:40 извлечение корня ⁿ√
прекрасно разжёвано, спасибо!
Слава Трушину)
А всё таки было бы интересно посмотреть решение кубического уравнения с освоенными умениями. Потому как непонятно, как из мнимых результатов выходит действительные числа, а тем более в количестве 3 штуки
Спасибо вы тоже на высоте. Но вас так мало
Борису Трушину Нобелевскую премию по педагогике!!!
Очень хотелось бы услышать про формулу Эйлера.
меня все эти формулы успокаивают и усыпляют! просто бомба! А для младшего школьного возраста есть такие каналы? Девчонка или заснет или научится!
Можно поговорить о показательной форме комплексного числа, вообще о степени с комплексным показателем.
6:24 Мне трудно избавиться от желания построить прямоугольник при графическом умножении модулей мнимых числ.
Хотя бы потому, что сантиметры не умножают вдоль, сантиметры умножают поперёк. 😅
*спасибо*
Отличное видео, спасибо вам большое, правда есть просьба, сделайте что то со звуком( еще раз спасибо!
Так а кубическое уравнение-то изначальное мы решим когда-нить?) Чтобы уж пример закрыть.
А можете на конкретном примере показать, как извлекать корни из комплексных чисел с действительной и мнимой частью?
формула Эйлера и Пика
Эйлера -- это которая из? )
@@trushinbv связанная с гиперболическими функциями
Ну почему это так!? Как так?
... Нам Муавр это сказал ... 10:52
Маленькое замечание Борис. Почему "i" пишите за синусом? Такое впечатление может сложится, что умножается на аргумент "фи". Мне кажется нужно "i" писать перед синусом. А в остальном, все довольно доходчиво даже для школьников. Спасибо!
Привет. Что вы знаете о "тайных" комплексных числах?? Другими словами тайные, т.е. МетаФизичиские понятия. Можно через мнимую часть комплексных чисел, проводить вычисления. Вычисление функций, так как мир и процессы происходящие в нем, хорошо описывать функциями. Возможно вы знаете и владеете, что есть математический аппарат, который позволяет проводить различные расчеты с большей степенью точности и подробности, с "тайными" числами, чем мнимая часть комплексного числа
А где рассмотрение частного случая из видео про решение кубических уравнений??? Как там извлечь кубический корень из комплексного числа, не прибегая к ряду Тейлора?
Спасибо за интересную лекцию, но возник вопрос по поводу извлечения корня степени n из rho на 24:48. Почему здесь не рассматриваем n вариантов решения и принимаем что rho это действительное число, хотя на первый взгляд это кажется очевидным?
Потому что длины векторов не могут быть отрицательными, в отличие от углов этих векторов.
@@goonikes углы векторов отрицательные лишь условно,т.к. есть положительный угол,что будет эквивалентен этому отрицательному.
ρ = √( (Re(w))² + (Im(w))² ) по определению;
r = √( (Re(z))² + (Im(z))² ) по определению. И то, и то - неотрицательные действительные числа для любых комплексных w и z. Если бы r и ρ были бы комплексными числами, не обязательно неотрицательными действительными, то нет смысла записывать z как r (cos φ + i sin φ)
Расскажите про теорию графов и алгебраическую геометрию
Я правильно понял, чтобы найти чему равны корни уравнения z^n, нужно все фи(фи0, фи1... фиn) подставить в косинус и синус, сложить и полученное умножить на модуль?
Всё шикарно, но я глуп. Буду пересматривать.
Я пересмотрел. Когда я стал всё своими ручками пытаться выводить вперёд автора, примерно помня что нужно делать, всё стало получаться и пониматься. Чёткий урок, ничего не скажешь(без капли сарказма).
Я не понимаю как вывести формулу косинуса n-ного аргумента
21:15 я не очень понимаю как мы смогли выразить i через другое i и если мы их прировняем то получим что i это действительное число и равно 1/(sqrt2 -1), можно пожалуйста объяснить почему так.
Показательная форма записи комплексного числа когда будет?
зачем? рано еще
Для того, чтобы это сделать честно нужно про ряд Тейлора рассказать. Когда-нибудь и до этого дойдем )
17:40 - а почему мнимая часть должна ровняться единичке? С чего Вы это поняли или вывели? не могу догнать :(
Потому что наше число -- это 0 + 1*i
@@trushinbv большое спасибо
Продолжай
Мужчина разбирите вот какой факт, в тоэ или физике часто от sin или (cos) переходят к комплесным числам так, что бы коэффициент при мнимой части без i (или перед действительной) повторял формулу sin (или cos). Ещё говорят, что при таком вот сопоставлении одной синусоиде можно поставить в соответствие одно комплексное число и наоборот. Доказательства внятного в книгах по тоэ нет. Прошу привидете строгое доказательство об однозначности этого перехода.
Any other English speakers randomly recommended this?
Борис, раз вы уже начали обучать работе с комплексными числами, научите пожалуйста работать с показательными функциями с комплексным значением показателя, с этой темы можно перейти к формулам эйлера. Псс! эту тему ни в одном видосе подробно не обьясняют, вы будете первым. Просто у меня возникла проблема, я начал путь к выводу формулы Sh x =.... chx = ......(гиперболические функции) но туда путь идет через формулу эйлера, которая вытекает из формулы e^x e^yi = e^x( cosy + i sin y ). Хоть в лоб стреляй, ну никак я не могу понять как это равенство произошло, нигде не обьясняется как оно выводилось, было бы очень круто если бы вы обьяснили эту тему и уже тогда раз такое дело зашли бы все таки к долгожданной формуле Эйлера. Потому что из нее вытекают очень важные формулы гиперболических функций. Это важная тема, умоляю сделайте серию видосов на эти темы.
ведь просто щелкать задачи по формуле не понимая откуда она вывелась и что из себя представляет тааааак грустно( хочется понимать. Борис Викторович пожалуйста!
@@araikrasoyan702,
когда-нибудь расскажу. Но для этого нужно подтянуть матан. Без разложения в ряд Тейлора комплексную экспоненту определить не получится.
Расскажите,пожалуйста, про бином Ньютона)
17:40 А почему мнимая часть комплексного числа z^2 равна r^2 * sin2фи? Тогда уже вещественная часть его должна была , по идее , равняться r^2 * cos2фи? Объясните ,пожалуйста) А то я чё-то затупил ,наверное..
У чисто мнимого числа, которое берётся в примере, нет действительной части.
@@DostoinVnimaniay Верно. реально затупил ,уставший был)))
Как Вам формула : Cos a + i × Sin a = i ^ (2 × a / п )?
Жалко, что в институте мне комплексные числа преподавали не вы) единственный мой трояк, так как было ничего не понятно) профессор был слишком увлеченный))
если ты все понял, объясни пожалуйста как это сделать в алгебраическую форму
(1+ корень из 3 i)^2/2i^5, какое там конечное получится,объясни прошууу
@@ДианаПогосян-е9м тут тебе подойдет лучше другое видео. Где про алгебраическое умножение и деление.. мне кажется в твоём примере можно обойдись без тригонометрических вычислений
@@ДианаПогосян-е9м главное что тут понадобится - это помнить, что i*i = -1.в числителе квадрат суммы. Раскрываем и собираем все числа без i и все при i.
@@ДианаПогосян-е9м 1^2 + 2*sqr(3)*i + 3*i^2=1-3 + 2*sqr(3) i = -2 (1-sqr(3))
@@ДианаПогосян-е9м в знаменателе, если только i ^ 5 , то по обычным свойствам степени = i^2 * i^2*i = (-1)(-1)i = i
Что насчёт ролика по Гауссовым целым числам и решениям диафантовых уравнений с ними?
Очень тихий звук... Но содержание хорошее)
Можно звук сделать громче?
26:22 разве не + 2Пn
Решение уравнений в степени n при помощи комплексных чисел .?
Здравствуйте, а почему, когда cos2y=0 мы не берём точку -pi/2 +2pi k k €Z?
Потому что радианы - мусор...
Вася, реально ровно насыпаешь, вот только звук чисто не по понятиям тихий, магнитола не вывозит, подкрути по братский)
Может где-нибудь коротенько расскажите о комплексных корнях квадратного трёхчлена. С обычными корнями понятно, это точки пересечения параболой оси координат. А если парабола не пересекается с осью, то она имеет комплексные корни. Какой у них смысл?
Для этого нужно больше измерений. Это тоже точки пересечения, но не на плоскости.
@@Kokurorokuko Ну да. Я даже визуализацию видел в каком-то ролике. Просто хочется подробнее узнать, как она получается.
где твои ролики и мой интернет когда учился я в школе
Кому тяжело дался момент на 24:05, объясняю.
У нас угол nf может быть, например, 12 раз по 37 градусов. То есть, 12*37= 444 градуса. Но что это за бред, кто так записывает? Мы же в рамках 360 градусов себя ограничиваем? Так что запишем правильно: 444-360=84 градуса. Итого, это значение угла nf.
При этом, угол a тоже = 84, но только вот это уже чистые 84 градуса. То есть, угол a как шёл-шёл, так спокойно и пришёл в 84 градуса, не выходя вообще за «границы» окружности (то есть за 360 градусов).
Но разве это честно? Почему угол nf афганскую войну прошёл, сделав один полный круг, да ещё и 84 градуса, а угол a сразу пришёл в 84 градуса? Нечестно. Так поэтому мы и добавляем к углу a ещё 2p, чтобы вышло в итоге a=84+360=444 градуса, то есть в точности, как и у угла nf.
Но, в этом примере нам просто повезло, что лишь один круг пришлось пройти nf. А их то может быть миллиард, таких кругов. Именно отсюда и берётся 2pk.
21:03 почему при возведении в квадрат 1/√2 получается -1/2? Разве число не должно быть положительным?
Там не только 1/2^1/2,но там ещё i возводится в квадрат. А i в квадрате равно минус единице
Бином Ньютона можно заменить, для простоты, треугольником Паскаля, т.к. он элементарен, но показывает коэффициенты для любой степени, единственный минус этого способа, что для большой степени его долго строить, но для небольших степеней им воспользоваться проще, чем биномом
Треугольник Паскаля позволит вам найти биномиальные коэффициенты, но потом их все равно нужно будет подставить в бином. Так что без бинома Ньютона все равно не обойтись )
@@trushinbv так там коэффициенты и так уже в нужном порядке идут, главное понимать, как им пользоваться, но тогда становится понятно, как работает этот бином Ньютона. И я не говорю, как проще всего, я говорю, что лично мне проще, и выходит быстрее. И тот, и другой способ схожи, но всё же я думаю, что лучше знать несколько способов, и поэтому делюсь им.
@@Vlad-rf3xt, я хотел сказать следующее. Бином Ньютона -- это то, что получается из (a + b)^n после раскрытия скобок. Для нахождения биномиальных коэффициентов есть много разных способов. Можно руками скобки раскрыть, можно комбинаторно получить, можно по формулам, а можно взять из треугольника Паскаля. Но откуда бы мы не взяли эти коэффициенты то, что в итоге получится и называется биномом Ньютона.
@@trushinbv, да, вы правы
Микрофон погромче и будет нормально
Почему-то все преподаватели ограниченны и зашоренны. Как будто специально стараются обходить неудобные моменты стороной. На этот раз никто не догадывается возвести число в иррациональную степень. Ну например, 2 в степени корень из двух (тут корень арифметический). На всякий случай скажу, что возведение в степень операция не однозначная с точки зрения комплексных чисел, а вот корень стоило бы ограничить одним значением, чтобы не было путаницы, как это было с арифметическим корнем. Ах, да уже нашёл видео Бориса про иррациональную степень, молодец Борис, смотрим! Увы, Борис там так и не раскрыл тему.
Как возвести в с епень И
19:51, почему r =1?
Если синус равен единице, то r^2=1 (так как их произведение равно 1)
@@trushinbv на 12 минуте вы забили про r ? или так и должно быть ?
Где звук? Ничего не слышно