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「今週の整数シリーズ」って、もう投稿しないんですか？
この手の問題は解を出すのは難しくないけど採点者を納得させるロジックを書くのが難しそう
説明が生徒の目線にあっているし、考え方の方向がわかり易く、丁寧です。🎉
備忘録‘’80V 2022 一橋大後期【 別解 】底の条件に注意して、x, y ∈正の整数, y ≧ 2 ･･･① 与式 ⇔ y^x＝6x＋y ･･･② ②＝k とおくと、①より、k＝ 8, 9, ···· で y＝－6x＋k ･･･③ y^x＝k ⇔ y＝k^1/x ･･･④ ここで、④において 一旦 x, y ∈実数化して グラフを描くと、単調減少 かつ lim y＝ 1 ( x→∞ )だから、③④の共有点は 高々2個 ･･･⑤ ②に、 x＝ 1, 2, ･･･ を順に代入して、( x, y )＝ ( 2, 4 ), ( 5, 2 ) ( ∵⑤ )■ 【 注意 】 グラフより、( x, y )の値は 大きくないと判断できる！
いい問題、良問ですね。指数関数の増加から予測して数を絞っていき一つ一つ調べていく作業は正に回答者の問題解決能力を見ているなぁと出題者も凄いし、それを教えてくださるたくみさんもありがたいです。勉強になりました😊
ショーハショーテン！がためし読みしたらめっっっちゃくちゃ面白くて、今回のたくみ先生が一回もボケてないこと忘れかけた。
xとyが十分大きい場合、二項展開によりy^x＞(x+y-1)(y-1)^(x-1)が言えるので、例えばx≧4,y≧3とすると6x+y＞(x+y-1)×8となって矛盾します。あとはx=1,x=2,x=3,y=2の4通り調べて終了と解きました。
社会人ですが、趣味でいつも楽しく動画を拝見しています。解き方がすごくスマートで、聴いているだけでも気持ちがすごくスッキリしますね。
なんか数学の解説聞いてると落ち着く
数学の解説聞くと便の出が良くなる
数学の解説を聞くと滋養強壮に良い
候補を脳筋で片っ端から調べるような問題たまに出てくるけど1周回って愛着ある
今週の整数好きだからずっと20待ってる
20は既に出てますよ！しかし、21以降出てませんが…
次の式変形で少なくとも y≧6 はあり得ないことがわかったので、あとはつじつま合わせの不等号での評価かグラフで解の個数についての記述をして終了。y^(x-1)=(6x/y)+1
f(x)=2^(x-1)-3x-1の増減表書いて単調増加だからx≦5を示す方が楽そう
@@BBLSSUS にわか乙
@@BBLSSUS 前期だったら一橋が文系はまぁ認める。後期は理系や。
log2の値を評価する必要があると思いますが、結構証明がダルそうな気がしますe
@@BBLSSUS 後期は数Ⅲも含まれます。
@@BBLSSUS 返信しましょう
記述が綺麗だから参考になる
15:19あたりのy(y²-1)は、(y-1)y(y+1)に因数分解して、18が連続3整数の積でないからこれを満たす整数解はないみたいにしても良さそう
ちょうど解説が欲しいと思ってた問題でしたw
数学やってるとこの手の記述問題やったら凄く説明力ついた感じがする
これはすごいタフだな
y>=2ではxの範囲が広いので、y=2とy>=3の時に場合分けしてやりました。
2015の一橋の整数解いてると少し整理しやすかった問題かも
15:06 x=3 の時は以下のようにした方が簡便。====================y(y^2-1)=18 を満たす自然数y を探す。右辺は 2x3x3 と素因数分解される。一方、左辺は (y-1)y(y+1)と因数分解され、連続する3つの自然数の積であるため、2x3x3 と等しくなることはない。よって y(y^2-1)=18 を満たす自然数y は存在しない。====================
OMCを解説してほしい
チョークのコツコツという音がいい。
最後のyを調べる部分、y≧2だからy^2-1
最後急にほんタメ始まったｗ
言ってる事9.9割何言ってるか分からん文系だけど、何故か心地いいわ。
数3じゃないんだからわかれよw
数Ⅰだけ使う人でしょ(適当)
今回はパターンでいけるから楽だった
Ｙが3以上の場合って調べなくていいんですか？
そっか、帰納法を使うのか
投稿してほしい〜！！
うぽつです＿|＼○＿❗もう、月曜か…
②の板書が「y≧1」 に見えて、「？？？」ってなったけど、③あたりでやっと「y≧2」に気付けた……
全く同じ笑
エブリデイたくみ！
y^x＝6y+xx,y＝5,2
5:56 単調増加関数同士を掛け算した関数が全て単調増加関数というわけではないので、言い方に少しだけ語弊があると思います
-1/xとx^2とかだね
いいもんだいやこれは
問題は与式を満たす正の整数の組を全て求めよではないので一組見つけられればいいのではないか。
単調増加ってイコールあるんだったわ…
指数関数＝一次関数と見れれば勝ち
整数問題のシリーズ・１つ目の問題：#1 → th-cam.com/video/vf0AKaqZHtI/w-d-xo.html・１つ前の問題：#18 → th-cam.com/video/uUxtwKn9s4M/w-d-xo.html・次の問題：#20 → th-cam.com/video/W3WruHbqjd8/w-d-xo.html 合同式・① → th-cam.com/video/6COGmURbrAw/w-d-xo.html・② → th-cam.com/video/oWKwtwNkvRI/w-d-xo.html 追加・一度聞いたら忘れない『ルジャンドルの定理』の授業 → th-cam.com/video/D2MZNyASS6g/w-d-xo.html
登録者数：93.7万人。増えた②。
数学的帰納法以外にx＞＝6示す方法あれば聞いてみたいです
xは離散変数ですので新しく連続変数tに置き換えて微分とかどうでしょうか？
どなたか、3:13に行なっている指数式に関する方法を教えてくれないでしょうか？また、これに関する動画などあれば教えていただきたいです。
yで括ってるだけだと思います。関係ないけどここ救急車の音聞こえますね
@@RYVITA-c6c 確かに。よく見たらそうですね。申し訳ないです！ありがとうございます。
計算自体は単純だけど、問題意図を読み取る力と総合的な理解が問われるのか、、、これが文系の高校が解くのって本当に一橋は凄いな、、、
面白い問題でした。どうやってyが4以下であることを示すが問われている問題ですね。私の方法は以下です。x=1とすると、明らかに不適なので、x≧2底の条件より、y≧2与式を変形すると、y^x-y=6xとなり、左辺をf、右辺をgとする。fとgはxに対して共に単調増加であるが、その発散の速度は圧倒的にfの方が速い。従い、f=gの統合が成立するためには、少なくともx=2においてf≦gであることが必要である。すなわち、y^2-y≦12が必要。よって、y≦4。後は、y=2,3,4について解けば、(x,y)=(2,4),(5,2)
発散の速度を高校数学で自明に用いてよいかが微妙な気がしますまたそのロジックが成立するのはxが十分大きいという仮定の元での話であり、せいぜい解が有限個しか存在しないことしか示せません例えば似た形でf=y^x-y、g=40xであったとしますokadaさんのロジックではx=2でf≦gである必要があるのでy=5は棄却されますが、実はf=gには(x,y)=(3,5)という解があります「十分大きい」の基準を定量的に評価できない限りは証明できません
@@user-dg4fj6vk9s 解説ありがとうございます。この示し方は、私も微妙だなと感じていました。また、反例の例示も助かります。勉強になりました。動画のように適切に不等式評価してxの範囲を絞るのが良いですね。
9:55 あたりからの証明を数学的帰納法でやられてるんですが、グラフを用いて示したいときはどのくらいまで丁寧な説明がいいのですか？（一般に指数関数のグラフは知られてるものとして増減表、極限いらないのか、それとも必要なのかなど）
この指数関数及び一次関数は数Ⅱでも出てくるような式なので, 極限まではいらないと思います.
おはようございます。👻🤱今日もありがとうございます。🍌🤱🍈🤱🍨🤱
条件②や③の文字２が１に見えてしまう．．．
[確認したいことが２点あります: ]1. ②式が y≧1 と書いてあるように見えるのですが、これは y≧2 と書いてあるものの 2の字体が1に見えるようになっているだけという事でよろしいのでしょうか？2. 最初のほうで、y^x=6x+y を y(y^(x-1)-1)=6x に変形してから論じていますが、この変形は何か深い意味でもあるのでしょうか？ この変形をしなくても、x=1 は y^1=6×1+y となり不適であることはすぐに言えます。そして、「(y≧2 より) 6x=y^x-y≧2^x-2 」から両辺を2で割れば、3x≧2^(x-1)-1 とすぐ出てきます。つまり、無理して y(y^(x-1)-1)=6x の式を作り、それを使って論じていく必要がないような気がするのですが・・・・[私の追加意見: ]3x≧2^(x-1)-1 からxを求める方法については、実際のテストでは、数学的帰納法を使うより、グラフを描いて説明したほうが早いのではないかと思われます。f(x)=3x と g(x)=2^(x-1)-1 のグラフを（本問では整数であるものの x>0 の範囲で連続関数として）描けば、一方が直線, もう一方が指数関数のグラフですから、x が一定値以上のときには指数関数のほうが大きくなることを、すぐ明示できます。あとは、そのグラフに、関連する(x, f(x)), (x, g(x)) の値を入れ込んでおけば、整数範囲でこの不等式が成り立つのは x≦5 の範囲であることを示せます。（・・・テストなどではこのほうが手っ取り早くすむのではないかと思います。）[Appendix: （蛇足?・・・興味ない人は、読み飛ばしてください）]優秀な講師であられるせいか、色々と難しく論じておられるようですね。私は、前回の投稿で、私も今年から数学系動画を作成していることをコメントした者です。すでに私が取り上げた問題を、(前回の動画だと記憶していますが) こちらの動画でも取り扱っておられました。が、私は中学方式の計算をもとに解説したのに対し、たくみ先生はかなりの高等数学のテクニックを用いて解いておられました。（証拠として申し上げますが、前回の投稿で示したとおり、私の作成動画はth-cam.com/channels/ahi9I-OtJ3xPKfLiFUMqAQ.html で、前回動画と同じ問題を、以前にアップずみです。）それにしても、一橋大学は、文系の大学の割には、ユニークで高度な整数問題を多く出題しているように感じます。私も整数問題に関しては、色々なバージョンの改題を多く作成してはいますが・・・【これについては⇒】動画 Dailymotion: SY_Math-Science_045 ( [Extra edition] The Special Event - 3 Second half)
もしこの問題を、大学レベルで解答するなら、どのように答えるの？追伸 大学の数学を、無限の極限を取ると、哲学に近づく。また、大学の物理を、無限の極限を取ると、数学に近づく。と、誰かがいってた。
この問題を作った者の弟です
この問題を作った者の弟のコメに返信したものです
僕はアホなので、睡眠用に使っています。
だりぃぃぃぃぃうおおおおお
(x, y) = (0, 1) もありそうなんだけど、なぜだめなんだろう。と思ったけど、底の条件から yは２以上と最初に。。。
そうでなくとも間違いだわw
いとおもしろし
老後のボケ防止で時々トライしています。 私はこんな風に考えました。6x = y(y*x-1 - 1 ) , x y は整数なので 左辺の組み合わせは 1 and 6x , 2 and 3x , 3 and 2x , 6 and x この組み合わせ（８通り）しかなく、実際代入していけば、y=2 x=5 と x=2 y=4 それほどの計算量でなくて導けます。6x = y(y*x-1 - 1 ) が整数 x、y で成立しているのですから y は１ではないことだけ気を付ければ良いのではないでしょうか？
済
「今週の整数シリーズ」って、もう投稿しないんですか？
この手の問題は解を出すのは難しくないけど採点者を納得させるロジックを書くのが難しそう
説明が生徒の目線にあっているし、考え方の方向がわかり易く、丁寧です。🎉
備忘録‘’80V 2022 一橋大後期
【 別解 】底の条件に注意して、
x, y ∈正の整数, y ≧ 2 ･･･①
与式 ⇔ y^x＝6x＋y ･･･②
②＝k とおくと、
①より、k＝ 8, 9, ···· で
y＝－6x＋k ･･･③
y^x＝k ⇔ y＝k^1/x ･･･④
ここで、④において
一旦 x, y ∈実数化して グラフを描くと、
単調減少 かつ lim y＝ 1 ( x→∞ )
だから、③④の共有点は 高々2個 ･･･⑤
②に、 x＝ 1, 2, ･･･ を順に代入して、
( x, y )＝ ( 2, 4 ), ( 5, 2 ) ( ∵⑤ )■
【 注意 】 グラフより、
( x, y )の値は 大きくないと判断できる！
いい問題、良問ですね。指数関数の増加から予測して数を絞っていき一つ一つ調べていく作業は正に回答者の問題解決能力を見ているなぁと出題者も凄いし、それを教えてくださるたくみさんもありがたいです。勉強になりました😊
ショーハショーテン！がためし読みしたらめっっっちゃくちゃ面白くて、
今回のたくみ先生が一回もボケてないこと忘れかけた。
xとyが十分大きい場合、二項展開により
y^x＞(x+y-1)(y-1)^(x-1)が言えるので、例えばx≧4,y≧3とすると
6x+y＞(x+y-1)×8となって矛盾します。
あとはx=1,x=2,x=3,y=2の4通り調べて終了と解きました。
社会人ですが、趣味でいつも楽しく動画を拝見しています。解き方がすごくスマートで、聴いているだけでも気持ちがすごくスッキリしますね。
なんか数学の解説聞いてると落ち着く
数学の解説聞くと便の出が良くなる
数学の解説を聞くと滋養強壮に良い
候補を脳筋で片っ端から調べるような問題たまに出てくるけど1周回って愛着ある
今週の整数好きだからずっと20待ってる
20は既に出てますよ！
しかし、21以降出てませんが…
次の式変形で少なくとも y≧6 はあり得ないことがわかったので、あとはつじつま合わせの不等号での評価かグラフで解の個数についての記述をして終了。
y^(x-1)=(6x/y)+1
f(x)=2^(x-1)-3x-1の増減表書いて単調増加だからx≦5を示す方が楽そう
@@BBLSSUS にわか乙
@@BBLSSUS 前期だったら一橋が文系はまぁ認める。後期は理系や。
log2の値を評価する必要があると思いますが、結構証明がダルそうな気がします
e
@@BBLSSUS 後期は数Ⅲも含まれます。
@@BBLSSUS 返信しましょう
記述が綺麗だから参考になる
15:19あたりのy(y²-1)は、(y-1)y(y+1)に因数分解して、18が連続3整数の積でないからこれを満たす整数解はないみたいにしても良さそう
ちょうど解説が欲しいと思ってた問題でしたw
数学やってるとこの手の記述問題やったら凄く説明力ついた感じがする
これはすごいタフだな
y>=2ではxの範囲が広いので、y=2とy>=3の時に場合分けしてやりました。
2015の一橋の整数解いてると少し整理しやすかった問題かも
15:06 x=3 の時は以下のようにした方が簡便。
====================
y(y^2-1)=18 を満たす自然数y を探す。
右辺は 2x3x3 と素因数分解される。
一方、左辺は (y-1)y(y+1)と因数分解され、連続する3つの自然数の積であるため、
2x3x3 と等しくなることはない。
よって y(y^2-1)=18 を満たす自然数y は存在しない。
====================
OMCを解説してほしい
チョークのコツコツという音がいい。
最後のyを調べる部分、y≧2だからy^2-1
最後急にほんタメ始まったｗ
言ってる事9.9割何言ってるか分からん文系だけど、何故か心地いいわ。
数3じゃないんだからわかれよw
数Ⅰだけ使う人でしょ(適当)
今回はパターンでいけるから楽だった
Ｙが3以上の場合って調べなくていいんですか？
そっか、帰納法を使うのか
投稿してほしい〜！！
うぽつです＿|＼○＿❗
もう、月曜か…
②の板書が「y≧1」 に見えて、「？？？」ってなったけど、
③あたりでやっと「y≧2」に気付けた……
全く同じ笑
エブリデイたくみ！
y^x＝6y+x
x,y＝5,2
5:56 単調増加関数同士を掛け算した関数が全て単調増加関数というわけではないので、言い方に少しだけ語弊があると思います
-1/xとx^2とかだね
いいもんだいやこれは
問題は与式を満たす正の整数の組を全て求めよではないので一組見つけられればいいのではないか。
単調増加ってイコールあるんだったわ…
指数関数＝一次関数
と見れれば勝ち
整数問題のシリーズ
・１つ目の問題：#1 → th-cam.com/video/vf0AKaqZHtI/w-d-xo.html
・１つ前の問題：#18 → th-cam.com/video/uUxtwKn9s4M/w-d-xo.html
・次の問題：#20 → th-cam.com/video/W3WruHbqjd8/w-d-xo.html
合同式
・① → th-cam.com/video/6COGmURbrAw/w-d-xo.html
・② → th-cam.com/video/oWKwtwNkvRI/w-d-xo.html
追加
・一度聞いたら忘れない『ルジャンドルの定理』の授業 → th-cam.com/video/D2MZNyASS6g/w-d-xo.html
登録者数：93.7万人。増えた②。
数学的帰納法以外にx＞＝6示す方法あれば聞いてみたいです
xは離散変数ですので新しく連続変数tに置き換えて微分とかどうでしょうか？
どなたか、3:13に行なっている指数式に関する方法を教えてくれないでしょうか？また、これに関する動画などあれば教えていただきたいです。
yで括ってるだけだと思います。関係ないけどここ救急車の音聞こえますね
@@RYVITA-c6c 確かに。よく見たらそうですね。申し訳ないです！ありがとうございます。
計算自体は単純だけど、問題意図を読み取る力と総合的な理解が問われるのか、、、
これが文系の高校が解くのって本当に一橋は凄いな、、、
面白い問題でした。
どうやってyが4以下であることを示すが問われている問題ですね。
私の方法は以下です。
x=1とすると、明らかに不適なので、x≧2
底の条件より、y≧2
与式を変形すると、
y^x-y=6xとなり、左辺をf、右辺をgとする。
fとgはxに対して共に単調増加であるが、その発散の速度は圧倒的にfの方が速い。従い、f=gの統合が成立するためには、少なくともx=2においてf≦gであることが必要である。
すなわち、y^2-y≦12が必要。
よって、y≦4。
後は、y=2,3,4について解けば、
(x,y)=(2,4),(5,2)
発散の速度を高校数学で自明に用いてよいかが微妙な気がします
またそのロジックが成立するのはxが十分大きいという仮定の元での話であり、せいぜい解が有限個しか存在しないことしか示せません
例えば似た形でf=y^x-y、g=40xであったとします
okadaさんのロジックではx=2でf≦gである必要があるのでy=5は棄却されますが、実はf=gには(x,y)=(3,5)という解があります
「十分大きい」の基準を定量的に評価できない限りは証明できません
@@user-dg4fj6vk9s 解説ありがとうございます。この示し方は、私も微妙だなと感じていました。
また、反例の例示も助かります。勉強になりました。
動画のように適切に不等式評価してxの範囲を絞るのが良いですね。
9:55 あたりからの証明を数学的帰納法でやられてるんですが、グラフを用いて示したいときはどのくらいまで丁寧な説明がいいのですか？
（一般に指数関数のグラフは知られてるものとして増減表、極限いらないのか、それとも必要なのかなど）
この指数関数及び一次関数は数Ⅱでも出てくるような式なので, 極限まではいらないと思います.
おはようございます。👻🤱今日もありがとうございます。🍌🤱🍈🤱🍨🤱
条件②や③の文字２が１に見えてしまう．．．
[確認したいことが２点あります: ]
1. ②式が y≧1 と書いてあるように見えるのですが、これは y≧2 と書いてあるものの 2の字体が1に見えるようになっているだけという事でよろしいのでしょうか？
2. 最初のほうで、y^x=6x+y を y(y^(x-1)-1)=6x に変形してから論じていますが、この変形は何か深い意味でもあるのでしょうか？ この変形をしなくても、
x=1 は y^1=6×1+y となり不適であることはすぐに言えます。そして、「(y≧2 より) 6x=y^x-y≧2^x-2 」から両辺を2で割れば、3x≧2^(x-1)-1 とすぐ出てきます。
つまり、無理して y(y^(x-1)-1)=6x の式を作り、それを使って論じていく必要がないような気がするのですが・・・・
[私の追加意見: ]
3x≧2^(x-1)-1 からxを求める方法については、実際のテストでは、数学的帰納法を使うより、グラフを描いて説明したほうが早いのではないかと思われます。
f(x)=3x と g(x)=2^(x-1)-1 のグラフを（本問では整数であるものの x>0 の範囲で連続関数として）描けば、一方が直線, もう一方が指数関数のグラフですから、
x が一定値以上のときには指数関数のほうが大きくなることを、すぐ明示できます。あとは、そのグラフに、関連する(x, f(x)), (x, g(x)) の値を入れ込んでおけば、
整数範囲でこの不等式が成り立つのは x≦5 の範囲であることを示せます。（・・・テストなどではこのほうが手っ取り早くすむのではないかと思います。）
[Appendix: （蛇足?・・・興味ない人は、読み飛ばしてください）]
優秀な講師であられるせいか、色々と難しく論じておられるようですね。私は、前回の投稿で、私も今年から数学系動画を作成していることをコメントした者です。
すでに私が取り上げた問題を、(前回の動画だと記憶していますが) こちらの動画でも取り扱っておられました。が、私は中学方式の計算をもとに解説したのに対し、
たくみ先生はかなりの高等数学のテクニックを用いて解いておられました。（証拠として申し上げますが、前回の投稿で示したとおり、私の作成動画はth-cam.com/channels/ahi9I-OtJ3xPKfLiFUMqAQ.html
で、前回動画と同じ問題を、以前にアップずみです。）
それにしても、一橋大学は、文系の大学の割には、ユニークで高度な整数問題を多く出題しているように感じます。私も整数問題に関しては、色々なバージョンの
改題を多く作成してはいますが・・・【これについては⇒】動画 Dailymotion: SY_Math-Science_045 ( [Extra edition] The Special Event - 3 Second half)
もしこの問題を、大学レベルで解答するなら、どのように答えるの？
追伸
大学の数学を、無限の極限を取ると、哲学に近づく。
また、大学の物理を、無限の極限を取ると、数学に近づく。
と、誰かがいってた。
この問題を作った者の弟です
この問題を作った者の弟のコメに返信したものです
僕はアホなので、睡眠用に使っています。
だりぃぃぃぃぃうおおおおお
(x, y) = (0, 1) もありそうなんだけど、なぜだめなんだろう。
と思ったけど、底の条件から yは２以上と最初に。。。
そうでなくとも間違いだわw
いとおもしろし
老後のボケ防止で時々トライしています。 私はこんな風に考えました。
6x = y(y*x-1 - 1 ) , x y は整数なので 左辺の組み合わせは 1 and 6x , 2 and 3x , 3 and 2x , 6 and x この組み合わせ（８通り）しかなく、実際代入していけば、
y=2 x=5 と x=2 y=4 それほどの計算量でなくて導けます。6x = y(y*x-1 - 1 ) が整数 x、y で成立しているのですから y は１ではないことだけ気を付ければ
良いのではないでしょうか？
済