ขนาดวิดีโอ: 1280 X 720853 X 480640 X 360
แสดงแผงควบคุมโปรแกรมเล่น
เล่นอัตโนมัติ
เล่นใหม่
整数問題って難しいけど解けるとめっちゃ嬉しいし楽しくなるよねしかも解が分数にはなり得ないという神問題
合同式の大切さが分かる問題
整数問題って答えが整数なところが好き
当たり前だけどすごい分かる
なお数列とベクトル
うつくしい
@@buyoyonbuiyon えぐい内分とかわけわからん比が出た時暴れたくなる。でも、麻薬な所で最終的に綺麗な数字がスポッと出たらひょー
@@buyoyonbuiyon B無くなりさえしたら数学最強なってたわ
a,b,c の最大値をcとするとcは等号含めて17から10になり、全部あたったら2、12、12が出ました。PASSLABOの整数問題やって、初めて自分で答えが出たので、嬉しいです。
備忘録"70V 2周目【 文字は すべて自然数とする。 a²＋b²＋c²＝ 4･73 ･･･① 】mod4 の合同式を使うと、自然数 n は、 n☰ 0, 1, 2, －1 で それぞれ、 n²☰ 0, 1, 0, 1 ( 2種 ) これより、 ①を満たすものは、 ( a, b, c )☰ ( 0, 0, 0 ) だから、 ( a, b, c )＝ ( 2p, 2q, 2r ) と表せる。 ①に代入して、p²＋q²＋r²＝ 73 ･･･② 対称性により、p ≦ q ≦ r ･･･③ としてよい。②より、 0＋0＋r² ≦ 73 ≦ r²＋r²＋r² だから、 73/3 ≦ r² ≦ 73 これより、r＝ 5, 6, 7, 8 ここからは シラミツブシで ( ⅰ ) r＝ 5 のとき、 p²＋q²＝ 48 これに p²＝ 1, 4, 9, 16 を順に代入して、 適さない。 ( ⅱ ) r＝ 6 のとき、 p²＋q²＝ 37 これより ( p, q )＝ ( 1, 6 ) ( ⅲ ) r＝ 7, 8 のとき、⑴と同様に適さない。 以上より、 ( p, q, r )＝ ( 1, 6, 6 ) ⇔ ( a, b, c )＝ ( 2, 12, 12 ) ･･･☆ ③の条件を除いて、☆の並び替えの 3組が求めるもの■
毎日パスラボ見てたらすぐに方針浮かぶようになってめっちゃ嬉しい
僕この前数検準2級受けてきたんですけど、これの2020バージョンが出ました。僕は4で割った505の時点でゴリ押しました。キレイな解き方分からなくて考えてた時にこれ見つけてめっちゃ感動しました！ありがとうございます。
1%の人しか解けない問題が「良い」問題っていう感じ方の意識の高さたるや
すごく難しいけど解けると楽しい
それが数学
よっしゃあ！99%の一般人だ
とてもためになる動画、ありがとうございます！！mod4に注目する解法は思いつきませんでした。はじめに「a≧b≧cとしても一般性は失われない」としたうえで、a＝17,16,15,14,13,12,11,10と絞り込んで愚直に解きました。答え合っていたから嬉しかったけど、PASSLABOさんの合同式を使って解いているのがとても鮮やかに映りました！！こういう解法を思いつくかどうかが模試で(3)まで完答できる人と(2)どまりの人の差なのかなと感じました。
ただ予備の後にあげてくれてありがとう
PASSLABOさん達のおかげで自力で解けました！！これからもよろしくお願いします！！
今年からはあいだまんがよくしゃべるようになったから急激に好感度上がった
解説分かりやすくて好きになりました
40歳のおっさんでも分かるのは説明の上手、頭の良さが分かります。高校の先生がこれくらいのスキルがあれば数学楽しかったかもな。
自分が数学できないのを高校の先行のせいにしてんの草
@@鄭和-i2b マジレスするけど、コメ主は出来ないとは言ってないぞ？なぜそういう解釈になったのだ？
鄭和 ひねくれすぎ
@@今井ポテチ それ数学っぽい。
鄭和 早よ成仏してくれ
a'^2+b'^2+c'^2=73 の時点でmod 3を取ると(b',c')=(3,3), (3,6), (6,6)になってmod 4より楽。
私もそうやりました。
同じことが書いてあったので自分のコメントは消しました。
最初に法を3にしたワイ無事死亡
とある廃人 73=3×24+1≡1(mod3)平方数を3で割った時の余りは0か1だから、a',b',c'のうち2つは余り0、1つは余り1だとわかるコメ主様のやり方だとa'≡1(mod3)と仮定してb'あるいはc'は3,6のいずれかとできるからではないでしょうか？
自分もそうやった。
PASSLABOの他の問題で平方数はmod3,4に注目するっていうの覚えてたから今回はノーヒントで解けた！嬉しい～！
最初の式の段階でmod3で考えるとa.b.cのうち2つは3の倍数と絞れて、mod4で出る条件と合わせるとa.b.cのうち2つは6の倍数という条件が得られます。a.b.cは17以下なのでa.b.cのうち2つは6か12って絞れて計算が楽になります。
できればそれ以降の計算の流れを教えて欲しいです。
2つは6の倍数なのなんで？必ず1つは6の倍数なのは分かったんですけど
a≦b≦cとしても一般性は保たれる。この時、a^2+b^2+c^2＝292≦3c^2であり、10≦c≦17 なので、場合分けして、a≦bを使って解きました。
なんでcの下限が10になるんですか？
@@aaatheee7364 たしかに。上記の不等式では10以上とは出てきませんね。おそらく9以上かと。
@@aaatheee7364c^2 ≧292/3=97.3... だからc=9ならまだ81でしょ？∴ c≧10 同様にしてa≦9もわかる
a=b=cと考えるとa=b=c
まだ中学生でmodとか習ってなくて分からないところも多かったけど納得できる説明で見ててワクワクしました高校で習うのが楽しみです
数学出来る人は凄いな。社会人になってからは何でもエクセルで解いてしまう。もちろん総当りで。
私はMODというものを知らなかったので、手探りで式変形をしたらこんな解き方ができました。まず最初の式を変形して a^2+b^2=292-c^2 という式を作ります。その式の両辺に2abを足して a^2+b^2+2ab=292-c^2+2ab 左辺を因数分解して (a+b)^2=292-c^2+2ab両辺を平方根して a+b=√(292-c^2+2ab)…①また、その式の両辺から2abを引いて a^2+b^2-2ab=292-c^2-2ab 左辺を因数分解して (a-b)^2=292-c^2-2ab両辺を平方根して a-b=√(292-c^2-2ab)…②①-②で 2b=√(292-c^2+2ab)-√(292-c^2-2ab)両辺を2乗して 4b^2=4ab-2√(292-c^2+2ab)(292-c^2-2ab)両辺を4で割り、移項して ab-b^2=1/2√(292-c^2+2ab)(292-c^2-2ab)この式に①と②を代入し、左辺を因数分解して b(a-b)=1/2(a+b)(a-b)両辺を(a-b)で割って b=1/2(a+b)この式を解くと a=bこれを与式に代入すると 2a^2+c^2=292移項して c^2=292-2a^21≦c≦17 と c=偶数 という絞り込みができたので、cに数を代入していくと a=12,b=12,c=2 という答えが出ました。
なんか数学オリンピックの入門編みたいな問題で良問ですね。MODを使った整数の問題範囲は脱ゆとりで復活したところで、受験生も教師もなかなか良問を見つけるのが難しいですが、これはナイスなオリ問です。
パスラボのおかげで整数問題得意になった！
整数問題やり始めて１週間ですが、PASSLABOの動画のおかげで簡単に解けました！ありがとうございます
私は1≦a≦b≦c≦17とおいてゴリ押しました。左側に1〜17までの2乗を書いておいて、c=17のとき、c=16のとき…としました。このとき、a^2+b^2+c^2≦3c^2より、292÷3=91…2から10≦c≦17と分かるので、これが大問1つ25分近くかけて良いとすれば(動画内の解法が頭に入っていなかったので)、8パターンくらいならゴリ押した方が良いなと感じました。「c=15のとき、すなわちa^2+b^2=67のとき」みたいにやっていっても、次に大きいbがa^2+b^2≦2b^2なので右辺の67と67÷2=33…1より6≦b≦8を調べれば良かったり、bがcを超えないことに気をつけてやれば案外調べないといけない範囲は絞られました。以下解答につきネタバレ注意で、対称性に注意して最後に(2,12,12)(12,2,12)(12,12,2)としました。私は計算がクソ遅いので15分以上かかりましたが、25分もかかりませんでした。本番だったら「あ、問題で差が出そう」と勘付くと思います。ゴリ押せるか否かは最初の検討で分かるので、綺麗な解法が浮かばないから諦めるじゃなくて、時には気持ちのごり押しで完答(まで行けなくても途中点)をもぎ取って欲しいなと思います。勿論、この動画見た方は、こんなごり押しよりはpasslaboさんの鮮やかな解答・思考法で挑まれることをお勧めします笑勉強になりました。ありがとうございました。
A²+B²+C²=73⇔(A+B+C)²≧73+2(AB+BC+CA)とcauchy-schwarzの不等式とA≧B≧Cという大小関係を置いて、対称性を使って解けました！！
一般性が失われない。という一言があるだけでも簡潔性が変わるなぁとこの問題で改めて思いました
素直に「面白ッ！」ってなりました✨受験に向けても、この武器が増えてく感じ…堪りません！
学生の頃こういう問題大好きだったなぁ 初見で解けたけどこれは美しい
久々に拝見しました、きっと良いDrになられると思いますよー。こんな先生は好かれる。
10分かからず解けましたパスラボさんのおかげで整数問題解けるようになってきた
mod総まとめの後に見たら結構簡単に解けて感動しました！
整数問題を体系化してパターンに落とし込むみたいの現役の頃やったことないから感心した完全にアドリブと過去の経験から手探りでやってた
一年遅れて見てますなんとなーくmod4取って解いたけど、平方数はmod3,4とるっていうしっかりした根拠があるんですね！！
中1の知識でいけた！a b c < 18とわかる。(18×18=324)292=4×73だからa^2÷4+b^2÷4+c^2÷4=73になるということ。この時a b c の二乗は4の倍数でなければならないため a b cは偶数とわかる。1〜17までの偶数は2 4 6 8 10 12 14 16そしてそれぞれの数の二乗を4で割った数は1 4 9 16 25 36 49 64この数の和で73を作るには36+36+1しかない。36は12の二乗を4で割ったもの、 1 は 2の二乗を4で割ったもの。よってa b c は12,12,2になる。12^2+12^2+2^2=292
modの全パターン解説から来ました。時間は掛かりましたが何とか自力で解けました！！分かりやすい解説ありがとうございます！もっとコンパクトに素早く解けるように頑張ります！
非常に分かりやすい説明だったと思います。ただa’,b’c’,と置いた時にその対称性を利用して、(a’
a、b、cが入れ替え可能なことに注目して、a>=b>=cとして、3•4•4=48
「3つの平方数の和が73」だという段階で，73≡1(mod3)だから，a,b,cのうち2つだけが3の倍数だと分かる.ここでa,bを3の倍数だとすると，それぞれの平方は9の倍数.73−(9＋9)＝55以下で，3の倍数でない，72との差が9の倍数となる平方数は1のみだから，c＝1以下，c=1を代入し，両辺を9で割り，a,bを求めるという方法なら，場合分けなしで解けます。
高校の範疇だと基本自然数に0が入ることが無いからこの解法でもいいのかな
対称式だからa
すばらしいです！感動しました！
①4で割った余りで分類→a,b,cがすべて偶数と分かる②4で割った余りで分類→a',b',c'のうち2つが偶数と分かる③3で割った余りで分類→a',b',c'のうち2つが3の倍数と分かる②③よりa',b',c'のうち少なくとも1つは6の倍数これで絞る方が簡単
全て偶数だったら②③よりの所は2つは6の倍数って事でいいですか？
292だと1-17までの平方数を書き出して、292から大きいものをc^2として引いていく292÷2に最も近い144まで調べれば十分であるcよりも大きいa、bは存在しないから次に大きい数字をbとしてa、bを探していく289/256/225/196/169には対応するa、bの組は存在しない144は144と4が存在し、121以下は考慮する必要がない範囲を絞ればこの解法と手間は大して変わらないし、むしろ簡単だと思いました
これは分かりやすい！出来た気になるのが怖い笑
1週間前までまっっっっっったく整数問題できなかったのに4時間でまとめた動画みて、毎日解いてたら解けるようになりました！本当に感謝しかないです！おまけに後半の処理はmod3でやった方が早いということも気づけるようになりました！
素晴らしい良問だと思います
平方数で置き換えて簡単に出来れば計算幾らか当てはめれば何とか行ける…けどこれが絶対間違えないようにっていうのが恐ろしいですね整数問題詰まったらまた見ます
動画再生する前に解いてみててabcは違う数字じゃなきゃいけないって思い込んで「あ、この組み合わせじゃダメか…」って結局最後まで総当たりして答え出なくて再生したら答え出てた
たまたまなぜかおすすめ出てきて見たけど、mod、、、合同式、、懐かしい、、、ってなった。笑笑なんとか理解が追いついて終わった時はめっちゃ気持ちよかった。解説上手です🌟
数弱なのに何故かおすすめに出てきたのでプログラミングで解きました forの3重ループで総当たりをして速攻で出ました。いい問題をありがとうございます。
整数好きだったつもりでしたが今回は解けなかったので悔しかったです。(コメ欄のみなさんは解けてますが。。泣）でも初めて見る解き方に感動しました。これからもいろんなことを吸収していきたいと思います！！なにとぞよろしくお願いします。
整数問題いいですよね・今回は平方数を４で割った余りで十分ですが, 8で割った余りが0, 1, 4のみというのも有用ですよね.・(a',b',c')のところで, 対称性からa'
めちゃくちゃ面白かったありがとうございます
整数問題初めてだけど、最初からコツを学べるから逆にラッキーかも！
17の二乗から1個ずつ高速で解いていったら動画終わるまで溶けたけど説明あんまり聞いてなかったからもう1回見ました笑
aの範囲を絞ってからゴリ押しで解いてしまった…
たった16個しか数字ないし、組み合わせ考えればだいぶ減るし、脳死で解けるからそれでも良さそう自分だったらゴリ押し使う
動画の解法も結局ゴリ押しだし、別にええんちゃう？
@@洗面器-w6i 逆に範囲絞る方に時間かかりそうだから、総当たりはアリ
今日も賢くなった。ありがとうございます。
mod4で4nまたは4n+2の形だとわかる。292を16で割ると余り4。だから4n+2の形をしているのはひとつだけ。これをa=4a´+2 、b=4b´ 、c=4c´とすると、a´^2+b´^2+c´^2+a´=18となる。a´=0～3を考えた。
パスラボの人達いつもスバルさんの授業受けてるから学力受験期から保ててそう
今回も神回！！
自分で問題作って自分で解説する人は稀だと思います。
a=10a1+a2 b=10b1+b2 c=10c1+c2 とおくと292
鈴木貫太郎さんの動画をいつも見てれば2乗とmod3、mod4が相性良いことぐらいわたしからすれば簡単にわかりますね！
あっという間の13分でした！
[受験生へ] 今回のような問題では、mod 4 の他にmod 3 と mod 5 の情報も最初に手に入れておくとさらに時間短縮できるから、よかったら覚えておいてね。(塾講師5年目より)[mod 3]整数の2乗を3で割った余りが0 or 1しかないことを利用する。292≡1 (mod 3) より、3数は3で割った余りが(0,0,1)ということになる。つまり、3数のうち2数は3の倍数であることがわかる。[mod 4]動画の通り[mod 5]整数の2乗を5で割った余りが0 or 1 or 4しかないことを利用する。292≡2 (mod 5) より、3数を5で割った余りは (0,1,1), (4,4,4)よって、今回は5の倍数からは何の手掛かりも得られそうにないa'^2+b'^2+c'^2=73 (☆)2数は3の倍数なので、(3,3),(3,6),(6,6)の3通りだけ調べればよいまた、今回は余談だが3数のうち最大の数の最小値も求めておくと場合分けが減る。(☆)式でa=b=cと仮定すると、3a^2=73 ⇔ a^2≒24.33………ゆえに、3数の最大数は少なくとも5以上であることがいえる。もしaを最大数と仮定して場合分けをするなら、a=8,7,6,5 のみをすればよい
浜村渚の計算ノート
外から失礼します。mod3の部分ですが、３数は３で割った余りが（2,1,1）でも成立するのではないでしょうか。もし私が間違っているだけならごめんなさい。(__)
@@あきたこ整数の平方数を3で割るとあまりが0か1しかないので2は含まれないと思います
mod3とmod4合わせたら6の倍数と分かるので6だけ調べるのはだめですか？
292 ≡ 0 (mod 4) だからa,b,cは全て偶数。292 ≡ 1 (mod 3)だからa, b, cのうち2つが3の倍数で1つが≡ 1 (mod 3)と絞り込める。だからa,b,cうち2個は17以下の6の倍数で6か12に絞れる。(6, 6, *) も(6, 12, *)も二乗和が292になる整数解はないが、(12, 12, 2)は二乗和が292になる。だから(a, b, c) = (2, 12, 12), (12, 2, 12), (12, 12, 2)の3通り。
いきなり出てきて考えてみたら楽しかったし、考え方が広がった①9^2×3=243,10^2×3=300一番近くても(10,10,10)か(10,10,9)か…②a固定しよう→11なら残りの和が171か…どう見ても無理か③12か？→残りの和が148あ、(12,12,2)か、結構早かったな
右辺が73なのでmod3で動画と同様に余りが0.0.1である数の組み合わせしかない。a’=3d, b’=3e, c’=3f±1と置いて代入して整理すると 3d^2+3e^2+3f^2±2f=24 もう一度mod3を考えるとfは3の倍数であるのでf=3gとおき、両辺3で割ると d^2+e^2+9g^2±2g=8 gの条件を満たし9g^2+2gが8より小さいのはg=0 同様に9g^2−2gが8より小さいのはg=1のときのみで d^2+e^2=1or8 これが成り立つのは(d,e)=(2,2)のときのみなので置いた式に代入していくと答えが求まる
a^2+b^2+c^2=73a^2+b^2+c^2-1=73-1a^2+b^2+(c-1)(c+1)=72mod4によりabcどれか一つは奇数でありもう二つは偶数。abcの対称性よりcを奇数とすると、(c-1)(c+1)は4の倍数 (0も含む)よってa^2=4α^2 b^2=4β^2 とすると、α^2+β^2+(c^2-1)/4=18こうすればα、βの候補を二つに絞れます！どうでしょうか。
ごめんなさい3つでした…笑弁明としては、ちょっと試せばすぐに一択になりはするってことですね…
答えには10分くらいでたどり着いた。良い頭の運動になった🙂
a>=b>=cで考える。18^2=324よりa
これから毎月、英語と数学のやるべき勉強方法の動画を出して欲しいです！特に夏休み中など...
今日も分かりやすかったです！！私は受験生のだったとき、整数苦手でした・・・サムねが3乗になっているのですが、２乗が正しいですよね？
凝縮してなくなっちゃったらどうするんですかみたいな質問しょうもなさすぎて好きww
鈴木貫太郎さんがよく使う合同式パターンやな
真ん中の右辺が73の式でa'≦b'≦c'とすると、3a'^2≦73だから1≦a'≦473≦3c'^2かつc'^2≦71(a,bが1以上なため)だから5≦c'≦8mod3で考えると、73を3で割った余りは1。左辺の余りの組み合わせは、0 0 1、0 1 0、1 0 0 のどれかなのでa', c'のうち少なくとも一個は余りが0。a'=3の場合とc'=6の場合をそれぞれ個別に考えると、(a', b', c')=(1,6,6)
3の倍数を使うか4の倍数を使うかで面倒か楽か分かれるから実験の段階で両方とも試した方がいいね！
この動画を見る前に思いついた解法。a, b, cの間にa ≦ b ≦ cの関係が成り立つように、a, b, cを置き換えて考えると、292 = a^2 + b^2 + c^2 ≦ 3 * c^2になるのでcは10以上の自然数となる。同様にするとaは9以下の自然数となる。また、a = b = 1の場合にcが一番大きな値を取ることができて、この場合であってもc^2 = 292 - 1 - 1 < 18^2だから、10≦c≦17であることまでは分かる。あとはcを10から17まで順番に仮定して、a ≦ bの関係からbが取りうる範囲を絞っていけば(a, b, c) = (2, 12, 12)のときに条件が満たせることが分かる。今回は292という比較的小さい値が出てきたので力技でも簡単に解けることに気がつければ中学生でも解ける内容かな。大学レベルにするにはもっと大きな値にして、手計算では解けないようにしないといけないかな。
a≦b≦cと置くと10≦c≦17なのでcに10〜17を代入して全パターン調べて解きましたたとえばc=12の場合a^2+b^2=148ここでa^2≦b^2なので74≦b^2より、9≦bだとわかる...合同式使った方が応用効くのは分かってます！！！ただこの程度の量なら時短テク使えば全パターン調べるのも難しくないなと
a, b, cを小さい順にs, t, uとおく292≡0 (mod4) より3つの数は全て偶数17 < √292 < 18 および 9 < √(292/3) < 10 より 10 ≦ u ≦ 16u = 16 とおくと s^2 + t^2 = 36 u = 14 とおくと s^2 + t^2 = 96u = 12 とおくと s^2 + t^2 = 148、この場合 s = 2, t = 12u = 10 とおくと s^2 + t^2 = 192......という感じで解けました。
あーすげぇや…a>=b>=cって置いて17からゴリ押ししてた…四桁くらいだとこれ使わないと解けなさそうですね、新たな引出しに感謝
整数問題はpass laboで何度か出題されて倍数や余りに着目するっていう発想があるから初手でつまずくことはなくなりました。
一応答えはあってたけど賢いやり方ではなく遠回りなやり方だったのでこの問題に出会えてよかった！
めちゃくちゃ面白かった
合同式は組が一意に定まることの論述が難しい印象があります。しっかり訓練を重ねて、減点されない答案を作ります！
対称性がすぐに思いつけるようにしたい
見た人と見てない人で合否が分かれそうな問題。いいね！にょほほ
確率問題の良問もたくさん紹介してほしいです！
めっちゃいい問題
この人扱ってる問題が全部難しすぎるんだよなぁ。
勉強頑張って戻ったら少し解けるようになった！
これを高校生の時に無料で見れる今の高校生めっちゃ羨ましい
直感で1つに12入れたらすぐ解けたので入試も直感でいきたいと思います！
ですよね、自分も直感の方がやりやすいです
ただ、安定性は無いので運が良くないとずっと詰まりますよね
それ大幅減点くらいそうですね
【１つのミスが命取り】→サムネ。
このコメもっと伸びろーーー！！
上手い！
うますぎる。
どゆことですか。分からん😭
点P サムネにミスがあった
合同式を使ってa,b,cが2の倍数かつそのうち2つが3の倍数であると分かるので、b,cが3の倍数であると仮定して…でも解けますね。合同式は偉大ですね。
2019年ニュースで「（なんと）42は3つの立方数の和で表せる――惑星コンピューターを使って最後の難問を解く」（所要時間100万時間を越える計算の結果）がありましたね。ちなみにa³+b³+c³=292の場合は、9で除したときに4か5が余りとして残る整数は解が存在しないことが分かっているので、整数の範囲で考えても解ないってどこかの記事でありました。
ᙏ̤̯ x=3kのとき、 x³ ⁹̳̲ 0x=3k+1のとき、 x³ ⁹̳̲ 1x=3k+2のとき、 x³ ⁹̳̲ -1 なので292 ⁹̳̲ 4より、立方数で表せない
これは面白い。2乗を4で割った時の余りが0か1しかないというところに、数学の美しさを感じてしまいますね。
a = 6t +/_ 2 , b = 6q c = 6 r と置けば 3 t*2 +/- 2t + 3( q*2 + r*2 ) = 24 左辺は mod3 で０ となるので ２t も 3の倍数となり、t の数は 0 or 1 しかありません。t=１ の時は 解なし、 t = 0 の時は a = 2, b = c = 12 ( 順不同） となり、チェックは格段に容易です* 累乗の意味です。
整数問題って難しいけど解けるとめっちゃ嬉しいし楽しくなるよね
しかも解が分数にはなり得ないという神問題
合同式の大切さが分かる問題
整数問題って答えが整数なところが好き
当たり前だけどすごい分かる
なお数列とベクトル
うつくしい
@@buyoyonbuiyon えぐい内分とかわけわからん比が出た時暴れたくなる。でも、麻薬な所で最終的に綺麗な数字がスポッと出たらひょー
@@buyoyonbuiyon B無くなりさえしたら数学最強なってたわ
a,b,c の最大値をcとするとcは等号含めて17から10になり、全部あたったら2、12、12が出ました。PASSLABOの整数問題やって、初めて自分で答えが出たので、嬉しいです。
備忘録"70V 2周目【 文字は すべて自然数とする。 a²＋b²＋c²＝ 4･73 ･･･① 】
mod4 の合同式を使うと、自然数 n は、 n☰ 0, 1, 2, －1 で それぞれ、 n²☰ 0, 1, 0, 1 ( 2種 )
これより、 ①を満たすものは、 ( a, b, c )☰ ( 0, 0, 0 ) だから、 ( a, b, c )＝ ( 2p, 2q, 2r )
と表せる。 ①に代入して、p²＋q²＋r²＝ 73 ･･･② 対称性により、p ≦ q ≦ r ･･･③ としてよい。
②より、 0＋0＋r² ≦ 73 ≦ r²＋r²＋r² だから、 73/3 ≦ r² ≦ 73 これより、r＝ 5, 6, 7, 8
ここからは シラミツブシで ( ⅰ ) r＝ 5 のとき、 p²＋q²＝ 48 これに p²＝ 1, 4, 9, 16
を順に代入して、 適さない。 ( ⅱ ) r＝ 6 のとき、 p²＋q²＝ 37 これより ( p, q )＝ ( 1, 6 )
( ⅲ ) r＝ 7, 8 のとき、⑴と同様に適さない。 以上より、 ( p, q, r )＝ ( 1, 6, 6 ) ⇔
( a, b, c )＝ ( 2, 12, 12 ) ･･･☆ ③の条件を除いて、☆の並び替えの 3組が求めるもの■
毎日パスラボ見てたらすぐに方針浮かぶようになってめっちゃ嬉しい
僕この前数検準2級受けてきたんですけど、これの2020バージョンが出ました。僕は4で割った505の時点でゴリ押しました。キレイな解き方分からなくて考えてた時にこれ見つけてめっちゃ感動しました！ありがとうございます。
1%の人しか解けない問題が「良い」問題っていう感じ方の意識の高さたるや
すごく難しいけど解けると楽しい
それが数学
よっしゃあ！
99%の一般人だ
とてもためになる動画、ありがとうございます！！
mod4に注目する解法は思いつきませんでした。
はじめに「a≧b≧cとしても一般性は失われない」としたうえで、a＝17,16,15,14,13,12,11,10と絞り込んで愚直に解きました。
答え合っていたから嬉しかったけど、PASSLABOさんの合同式を使って解いているのがとても鮮やかに映りました！！
こういう解法を思いつくかどうかが模試で(3)まで完答できる人と(2)どまりの人の差なのかなと感じました。
ただ予備の後にあげてくれてありがとう
PASSLABOさん達のおかげで自力で解けました！！
これからもよろしくお願いします！！
今年からはあいだまんがよくしゃべるようになったから急激に好感度上がった
解説分かりやすくて好きになりました
40歳のおっさんでも分かるのは説明の上手、頭の良さが分かります。高校の先生がこれくらいのスキルがあれば数学楽しかったかもな。
自分が数学できないのを高校の先行のせいにしてんの草
@@鄭和-i2b マジレスするけど、コメ主は出来ないとは言ってないぞ？なぜそういう解釈になったのだ？
鄭和 ひねくれすぎ
@@今井ポテチ それ数学っぽい。
鄭和 早よ成仏してくれ
a'^2+b'^2+c'^2=73 の時点でmod 3を取ると(b',c')=(3,3), (3,6), (6,6)になってmod 4より楽。
私もそうやりました。
同じことが書いてあったので自分のコメントは消しました。
最初に法を3にしたワイ無事死亡
とある廃人
73=3×24+1≡1(mod3)
平方数を3で割った時の余りは0か1だから、a',b',c'のうち2つは余り0、1つは余り1だとわかる
コメ主様のやり方だとa'≡1(mod3)と仮定してb'あるいはc'は3,6のいずれかとできるからではないでしょうか？
自分もそうやった。
PASSLABOの他の問題で平方数はmod3,4に注目するっていうの覚えてたから今回はノーヒントで解けた！嬉しい～！
最初の式の段階でmod3で考えると
a.b.cのうち2つは3の倍数と絞れて、mod4で出る条件と合わせると
a.b.cのうち2つは6の倍数という条件が得られます。
a.b.cは17以下なのでa.b.cのうち2つは6か12って絞れて計算が楽になります。
できればそれ以降の計算の流れを教えて欲しいです。
2つは6の倍数なのなんで？
必ず1つは6の倍数なのは分かったんですけど
a≦b≦cとしても一般性は保たれる。この時、a^2+b^2+c^2＝292≦3c^2であり、10≦c≦17 なので、場合分けして、a≦bを使って解きました。
なんでcの下限が10になるんですか？
@@aaatheee7364
たしかに。
上記の不等式では10以上とは出てきませんね。
おそらく9以上かと。
@@aaatheee7364
c^2 ≧292/3=97.3... だからc=9ならまだ81でしょ？∴ c≧10 同様にしてa≦9もわかる
a=b=cと考えるとa=b=c
まだ中学生でmodとか習ってなくて分からないところも多かったけど納得できる説明で見ててワクワクしました
高校で習うのが楽しみです
数学出来る人は凄いな。
社会人になってからは何でもエクセルで解いてしまう。
もちろん総当りで。
私はMODというものを知らなかったので、手探りで式変形をしたらこんな解き方ができました。
まず最初の式を変形して a^2+b^2=292-c^2 という式を作ります。
その式の両辺に2abを足して a^2+b^2+2ab=292-c^2+2ab 左辺を因数分解して (a+b)^2=292-c^2+2ab
両辺を平方根して a+b=√(292-c^2+2ab)…①
また、その式の両辺から2abを引いて a^2+b^2-2ab=292-c^2-2ab 左辺を因数分解して (a-b)^2=292-c^2-2ab
両辺を平方根して a-b=√(292-c^2-2ab)…②
①-②で 2b=√(292-c^2+2ab)-√(292-c^2-2ab)
両辺を2乗して 4b^2=4ab-2√(292-c^2+2ab)(292-c^2-2ab)
両辺を4で割り、移項して ab-b^2=1/2√(292-c^2+2ab)(292-c^2-2ab)
この式に①と②を代入し、左辺を因数分解して b(a-b)=1/2(a+b)(a-b)
両辺を(a-b)で割って b=1/2(a+b)
この式を解くと a=b
これを与式に代入すると 2a^2+c^2=292
移項して c^2=292-2a^2
1≦c≦17 と c=偶数 という絞り込みができたので、cに数を代入していくと a=12,b=12,c=2 という答えが出ました。
なんか数学オリンピックの入門編みたいな問題で良問ですね。
MODを使った整数の問題範囲は脱ゆとりで復活したところで、
受験生も教師もなかなか良問を見つけるのが難しいですが、これはナイスなオリ問です。
パスラボのおかげで整数問題得意になった！
整数問題やり始めて１週間ですが、PASSLABOの動画のおかげで簡単に解けました！
ありがとうございます
私は1≦a≦b≦c≦17とおいてゴリ押しました。
左側に1〜17までの2乗を書いておいて、c=17のとき、c=16のとき…としました。
このとき、a^2+b^2+c^2≦3c^2より、292÷3=91…2から10≦c≦17と分かるので、これが大問1つ25分近くかけて良いとすれば(動画内の解法が頭に入っていなかったので)、8パターンくらいならゴリ押した方が良いなと感じました。
「c=15のとき、すなわちa^2+b^2=67のとき」みたいにやっていっても、次に大きいbがa^2+b^2≦2b^2なので右辺の67と67÷2=33…1より6≦b≦8を調べれば良かったり、bがcを超えないことに気をつけてやれば案外調べないといけない範囲は絞られました。
以下解答につきネタバレ注意
で、対称性に注意して最後に(2,12,12)(12,2,12)(12,12,2)としました。
私は計算がクソ遅いので15分以上かかりましたが、25分もかかりませんでした。本番だったら「あ、問題で差が出そう」と勘付くと思います。ゴリ押せるか否かは最初の検討で分かるので、綺麗な解法が浮かばないから諦めるじゃなくて、時には気持ちのごり押しで完答(まで行けなくても途中点)をもぎ取って欲しいなと思います。
勿論、この動画見た方は、こんなごり押しよりはpasslaboさんの鮮やかな解答・思考法で挑まれることをお勧めします笑
勉強になりました。ありがとうございました。
A²+B²+C²=73⇔(A+B+C)²≧73+2(AB+BC+CA)とcauchy-schwarzの不等式とA≧B≧Cという大小関係を置いて、対称性を使って解けました！！
一般性が失われない。という一言があるだけでも簡潔性が変わるなぁとこの問題で改めて思いました
素直に「面白ッ！」ってなりました✨
受験に向けても、この武器が増えてく感じ…堪りません！
学生の頃こういう問題大好きだったなぁ 初見で解けたけどこれは美しい
久々に拝見しました、きっと良いDrになられると思いますよー。こんな先生は好かれる。
10分かからず解けました
パスラボさんのおかげで整数問題解けるようになってきた
mod総まとめの後に見たら結構簡単に解けて感動しました！
整数問題を体系化してパターンに落とし込むみたいの現役の頃やったことないから感心した
完全にアドリブと過去の経験から手探りでやってた
一年遅れて見てます
なんとなーくmod4取って解いたけど、平方数はmod3,4とるっていうしっかりした根拠があるんですね！！
中1の知識でいけた！
a b c < 18
とわかる。(18×18=324)
292=4×73
だから
a^2÷4+b^2÷4+c^2÷4=73
になるということ。
この時
a b c の二乗は4の倍数でなければならないため a b cは偶数とわかる。
1〜17までの偶数は
2 4 6 8 10 12 14 16
そしてそれぞれの数の二乗を4で割った数は
1 4 9 16 25 36 49 64
この数の和で73を作るには
36+36+1
しかない。
36は12の二乗を4で割ったもの、
1 は 2の二乗を4で割ったもの。
よってa b c は
12,12,2
になる。
12^2+12^2+2^2=292
modの全パターン解説から来ました。時間は掛かりましたが何とか自力で解けました！！
分かりやすい解説ありがとうございます！もっとコンパクトに素早く解けるように頑張ります！
非常に分かりやすい説明だったと思います。ただa’,b’c’,と置いた時にその対称性を利用して、(a’
a、b、cが入れ替え可能なことに注目して、a>=b>=cとして、3•4•4=48
「3つの平方数の和が73」だという段階で，
73≡1(mod3)だから，a,b,cのうち2つだけが3の倍数だと分かる.
ここでa,bを3の倍数だとすると，それぞれの平方は9の倍数.
73−(9＋9)＝55以下で，3の倍数でない，72との差が9の倍数となる平方数は1のみだから，c＝1
以下，c=1を代入し，両辺を9で割り，a,bを求める
という方法なら，場合分けなしで解けます。
高校の範疇だと基本自然数に0が入ることが無いからこの解法でもいいのかな
対称式だからa
すばらしいです！感動しました！
①4で割った余りで分類
→a,b,cがすべて偶数と分かる
②4で割った余りで分類
→a',b',c'のうち2つが偶数と分かる
③3で割った余りで分類
→a',b',c'のうち2つが3の倍数と分かる
②③より
a',b',c'のうち少なくとも1つは6の倍数
これで絞る方が簡単
全て偶数だったら②③よりの所は2つは6の倍数って事でいいですか？
292だと1-17までの平方数を書き出して、292から大きいものをc^2として引いていく
292÷2に最も近い144まで調べれば十分である
cよりも大きいa、bは存在しないから
次に大きい数字をbとしてa、bを探していく
289/256/225/196/169には対応するa、bの組は存在しない
144は144と4が存在し、121以下は考慮する必要がない
範囲を絞ればこの解法と手間は大して変わらないし、むしろ簡単だと思いました
これは分かりやすい！出来た気になるのが怖い笑
1週間前までまっっっっっったく整数問題できなかったのに4時間でまとめた動画みて、毎日解いてたら解けるようになりました！本当に感謝しかないです！おまけに後半の処理はmod3でやった方が早いということも気づけるようになりました！
素晴らしい良問だと思います
平方数で置き換えて簡単に出来れば計算幾らか当てはめれば何とか行ける…
けどこれが絶対間違えないようにっていうのが恐ろしいですね
整数問題詰まったらまた見ます
動画再生する前に解いてみてて
abcは違う数字じゃなきゃいけないって思い込んで「あ、この組み合わせじゃダメか…」って結局最後まで総当たりして答え出なくて再生したら答え出てた
たまたまなぜかおすすめ出てきて見たけど、mod、、、合同式、、懐かしい、、、ってなった。笑笑
なんとか理解が追いついて終わった時はめっちゃ気持ちよかった。解説上手です🌟
数弱なのに何故かおすすめに出てきたのでプログラミングで解きました forの3重ループで総当たりをして速攻で出ました。いい問題をありがとうございます。
整数好きだったつもりでしたが今回は解けなかったので悔しかったです。(コメ欄のみなさんは解けてますが。。泣）でも初めて見る解き方に感動しました。これからもいろんなことを吸収していきたいと思います！！なにとぞよろしくお願いします。
整数問題いいですよね
・今回は平方数を４で割った余りで十分ですが, 8で割った余りが0, 1, 4のみというのも有用ですよね.
・(a',b',c')のところで, 対称性からa'
めちゃくちゃ面白かった
ありがとうございます
整数問題初めてだけど、最初からコツを学べるから逆にラッキーかも！
17の二乗から1個ずつ高速で解いていったら動画終わるまで溶けたけど説明あんまり聞いてなかったからもう1回見ました笑
aの範囲を絞ってからゴリ押しで解いてしまった…
たった16個しか数字ないし、組み合わせ考えればだいぶ減るし、脳死で解けるからそれでも良さそう
自分だったらゴリ押し使う
動画の解法も結局ゴリ押しだし、別にええんちゃう？
@@洗面器-w6i 逆に範囲絞る方に時間かかりそうだから、総当たりはアリ
今日も賢くなった。ありがとうございます。
mod4で4nまたは4n+2の形だとわかる。292を16で割ると余り4。だから4n+2の形をしているのはひとつだけ。これをa=4a´+2 、b=4b´ 、c=4c´とすると、a´^2+b´^2+c´^2+a´=18となる。a´=0～3を考えた。
パスラボの人達いつもスバルさんの授業受けてるから学力受験期から保ててそう
今回も神回！！
自分で問題作って自分で解説する人は稀だと思います。
a=10a1+a2 b=10b1+b2 c=10c1+c2 とおくと
292
鈴木貫太郎さんの動画をいつも見てれば2乗とmod3、mod4が相性良いことぐらいわたしからすれば簡単にわかりますね！
あっという間の13分でした！
[受験生へ] 今回のような問題では、mod 4 の他にmod 3 と mod 5 の情報も最初に手に入れておくとさらに時間短縮できるから、よかったら覚えておいてね。(塾講師5年目より)
[mod 3]
整数の2乗を3で割った余りが0 or 1しかないことを利用する。
292≡1 (mod 3) より、3数は3で割った余りが(0,0,1)ということになる。つまり、3数のうち2数は3の倍数であることがわかる。
[mod 4]
動画の通り
[mod 5]
整数の2乗を5で割った余りが0 or 1 or 4しかないことを利用する。
292≡2 (mod 5) より、3数を5で割った余りは (0,1,1), (4,4,4)
よって、今回は5の倍数からは何の手掛かりも得られそうにない
a'^2+b'^2+c'^2=73 (☆)
2数は3の倍数なので、(3,3),(3,6),(6,6)の3通りだけ調べればよい
また、今回は余談だが3数のうち最大の数の最小値も求めておくと場合分けが減る。(☆)式でa=b=cと仮定すると、
3a^2=73 ⇔ a^2≒24.33………
ゆえに、3数の最大数は少なくとも5以上であることがいえる。もしaを最大数と仮定して場合分けをするなら、a=8,7,6,5 のみをすればよい
浜村渚の計算ノート
外から失礼します。mod3の部分ですが、３数は３で割った余りが（2,1,1）でも成立するのではないでしょうか。
もし私が間違っているだけならごめんなさい。(__)
@@あきたこ整数の平方数を3で割るとあまりが0か1しかないので2は含まれないと思います
mod3とmod4合わせたら6の倍数と分かるので6だけ調べるのはだめですか？
292 ≡ 0 (mod 4) だからa,b,cは全て偶数。292 ≡ 1 (mod 3)だからa, b, cのうち2つが3の倍数で1つが≡ 1 (mod 3)と絞り込める。だからa,b,cうち2個は17以下の6の倍数で6か12に絞れる。(6, 6, *) も(6, 12, *)も二乗和が292になる整数解はないが、(12, 12, 2)は二乗和が292になる。だから(a, b, c) = (2, 12, 12), (12, 2, 12), (12, 12, 2)の3通り。
いきなり出てきて考えてみたら楽しかったし、考え方が広がった
①9^2×3=243,10^2×3=300
一番近くても(10,10,10)か(10,10,9)か…
②a固定しよう→11なら残りの和が171か…どう見ても無理か
③12か？→残りの和が148
あ、(12,12,2)か、結構早かったな
右辺が73なのでmod3で動画と同様に余りが0.0.1である数の組み合わせしかない。a’=3d, b’=3e, c’=3f±1と置いて代入して整理すると 3d^2+3e^2+3f^2±2f=24 もう一度mod3を考えるとfは3の倍数であるのでf=3gとおき、両辺3で割ると d^2+e^2+9g^2±2g=8 gの条件を満たし9g^2+2gが8より小さいのはg=0 同様に9g^2−2gが8より小さいのはg=1のときのみで d^2+e^2=1or8 これが成り立つのは(d,e)=(2,2)のときのみなので置いた式に代入していくと答えが求まる
a^2+b^2+c^2=73
a^2+b^2+c^2-1=73-1
a^2+b^2+(c-1)(c+1)=72
mod4によりabcどれか一つは奇数でありもう二つは偶数。
abcの対称性よりcを奇数とすると、(c-1)(c+1)は4の倍数 (0も含む)
よってa^2=4α^2 b^2=4β^2 とすると、
α^2+β^2+(c^2-1)/4=18
こうすればα、βの候補を二つに絞れます！
どうでしょうか。
ごめんなさい3つでした…笑
弁明としては、ちょっと試せばすぐに一択になりはするってことですね…
答えには10分くらいでたどり着いた。良い頭の運動になった🙂
a>=b>=cで考える。
18^2=324よりa
これから毎月、英語と数学のやるべき勉強方法の動画を出して欲しいです！特に夏休み中など...
今日も分かりやすかったです！！私は受験生のだったとき、整数苦手でした・・・
サムねが3乗になっているのですが、２乗が正しいですよね？
凝縮してなくなっちゃったらどうするんですかみたいな質問しょうもなさすぎて好きww
鈴木貫太郎さんがよく使う合同式パターンやな
真ん中の右辺が73の式で
a'≦b'≦c'とすると、3a'^2≦73だから1≦a'≦4
73≦3c'^2かつc'^2≦71(a,bが1以上なため)だから5≦c'≦8
mod3で考えると、73を3で割った余りは1。左辺の余りの組み合わせは、0 0 1、0 1 0、1 0 0 のどれかなのでa', c'のうち少なくとも一個は余りが0。a'=3の場合とc'=6の場合をそれぞれ個別に考えると、(a', b', c')=(1,6,6)
3の倍数を使うか4の倍数を使うかで面倒か楽か分かれるから実験の段階で両方とも試した方がいいね！
この動画を見る前に思いついた解法。a, b, cの間にa ≦ b ≦ cの関係が成り立つように、a, b, cを置き換えて考えると、292 = a^2 + b^2 + c^2 ≦ 3 * c^2になるのでcは10以上の自然数となる。同様にするとaは9以下の自然数となる。また、a = b = 1の場合にcが一番大きな値を取ることができて、この場合であってもc^2 = 292 - 1 - 1 < 18^2だから、10≦c≦17であることまでは分かる。あとはcを10から17まで順番に仮定して、a ≦ bの関係からbが取りうる範囲を絞っていけば(a, b, c) = (2, 12, 12)のときに条件が満たせることが分かる。今回は292という比較的小さい値が出てきたので力技でも簡単に解けることに気がつければ中学生でも解ける内容かな。大学レベルにするにはもっと大きな値にして、手計算では解けないようにしないといけないかな。
a≦b≦cと置くと10≦c≦17なので
cに10〜17を代入して全パターン調べて解きました
たとえばc=12の場合
a^2+b^2=148
ここでa^2≦b^2なので74≦b^2より、9≦bだとわかる
...合同式使った方が応用効くのは分かってます！！！ただこの程度の量なら時短テク使えば全パターン調べるのも難しくないなと
a, b, cを小さい順にs, t, uとおく
292≡0 (mod4) より3つの数は全て偶数
17 < √292 < 18 および 9 < √(292/3) < 10 より 10 ≦ u ≦ 16
u = 16 とおくと s^2 + t^2 = 36
u = 14 とおくと s^2 + t^2 = 96
u = 12 とおくと s^2 + t^2 = 148、この場合 s = 2, t = 12
u = 10 とおくと s^2 + t^2 = 192
......という感じで解けました。
あーすげぇや…
a>=b>=cって置いて17からゴリ押ししてた…
四桁くらいだとこれ使わないと解けなさそうですね、新たな引出しに感謝
整数問題はpass laboで何度か出題されて倍数や余りに着目するっていう発想があるから初手でつまずくことはなくなりました。
一応答えはあってたけど賢いやり方ではなく遠回りなやり方だったのでこの問題に出会えてよかった！
めちゃくちゃ面白かった
合同式は組が一意に定まることの論述が難しい印象があります。
しっかり訓練を重ねて、減点されない答案を作ります！
対称性がすぐに思いつけるようにしたい
見た人と見てない人で合否が分かれそうな問題。いいね！にょほほ
確率問題の良問もたくさん紹介してほしいです！
めっちゃいい問題
この人扱ってる問題が全部難しすぎるんだよなぁ。
勉強頑張って戻ったら少し解けるようになった！
これを高校生の時に無料で見れる今の高校生めっちゃ羨ましい
直感で1つに12入れたらすぐ解けたので入試も直感でいきたいと思います！
ですよね、自分も直感の方がやりやすいです
ただ、安定性は無いので運が良くないとずっと詰まりますよね
それ大幅減点くらいそうですね
【１つのミスが命取り】
→サムネ。
このコメもっと伸びろーーー！！
上手い！
うますぎる。
どゆことですか。分からん😭
点P サムネにミスがあった
合同式を使ってa,b,cが2の倍数かつそのうち2つが3の倍数であると分かるので、b,cが3の倍数であると仮定して…でも解けますね。
合同式は偉大ですね。
2019年ニュースで
「（なんと）42は3つの立方数の和で表せる――惑星コンピューターを使って最後の難問を解く」（所要時間100万時間を越える計算の結果）がありましたね。
ちなみにa³+b³+c³=292の場合は、
9で除したときに4か5が余りとして残る整数は解が存在しないことが分かっているので、整数の範囲で考えても解ないってどこかの記事でありました。
ᙏ̤̯ x=3kのとき、 x³ ⁹̳̲ 0
x=3k+1のとき、 x³ ⁹̳̲ 1
x=3k+2のとき、 x³ ⁹̳̲ -1 なので
292 ⁹̳̲ 4より、立方数で表せない
これは面白い。
2乗を4で割った時の余りが0か1しかない
というところに、数学の美しさを感じてしまいますね。
a = 6t +/_ 2 , b = 6q c = 6 r と置けば 3 t*2 +/- 2t + 3( q*2 + r*2 ) = 24 左辺は mod3 で０ となるので ２t も 3の倍数となり、t の
数は 0 or 1 しかありません。t=１ の時は 解なし、 t = 0 の時は a = 2, b = c = 12 ( 順不同） となり、チェックは格段に容易です
* 累乗の意味です。