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Jalmar肉体覇王さんが指摘しているように，少し誤解されているかもしれません．「全てのxに対して，f(x)-2」で，「全てのxに対して f(x)-2」であるという風に結論づけていますが，それは誤りです．全てのxに対して，f(x)-2のどっちかが成り立てばいいので，例えばあるxはf(x)-2の方を満たすとかいう状況も考えられます．しかし，例えば，あるx_0でf(x_0)0となってしまいますから，その十分大きいx_1に対してはf(x_1)>-2の方を満たしていなくてはいけません．fの連続性から，x_0とx_1の間で必ず-a
とても丁寧な指摘ですね！数学をしていると自分自身では論理の飛躍に気づけないことがあるので、このような指摘は魅力的で勉強になりました。(自分用)「全てのxに対して，P or Q」は「（全てのxに対して P）or（全てのxに対してQ）」と同値ではないと聞くと当たり前だな～と思うが、自分が解いたときには、まったく意識できていなかった。「全てのxに対して，f(x)-2」になるためには「全てのxに対して f(x)>-2」を満たせばいいかと安易に決めつけてしまった。直感的な議論に頼ってしまった。数学では雰囲気やノリで議論を進めてはいけないとわかっていたのに…。自分自身が論証を甘く見ていたというよりは解答作成における論証を怠っていたのだと思う。これからは精進しよう。具体的には、①主張を明確にする。②本当にそうであるかを問いかけ、確かめる。このプロセスを経ることで、論証力をつける。
（自分用）仮定：この問題がわからないという質問を受けたら…①合成関数のイメージと理解を問う。②「すべての～で〈不等式〉が成り立つ」と問われたら、どのようなことを考えるかを問う③具体例として、「すべての実数xにおいて、x^2+a>0 が成り立つときのaの範囲は？」などを問う今回の問題は合成関数を計算すれば、４次関数になる。定石通りに「f(f(x))の最小値>0」でもいいが大変そうなので避けたい。（ただ、定石通りでも解けることは確認しておきたい）今回の問題は合成関数を扱っているので、なんとかそのことを利用したい。結局のところ、f(f(x))とはxをfの箱に二回入れているだけである。関数のイメージは x→□→f(x) のようなもので、xを□に入れたらf(x)として出てくるということである。なので、f(f(x))は x→□→f(x)→□→f(f(x)) となる。f(x)→□→f(f(x))は一見わかりにくいが、f(x)=uとして考えると u→□→f(u) という見やすい形になる。合成関数をこのような見方ができていれば、本問の解答にグッと近づけただろう。合成関数の概念理解が重要だなと感じた。
amazing video Thank you from England
@大将聖蓮船部隊 おい馬場豊！
色々検討しがいがありそうな問題ですね
猫の件で心が乱れていたせいか、何か手こずっていたけど、改めてやり直したら出来た。ホッとした。
f(x)の値域が、f(x)≦0となる範囲を含まなければいいんで、f(x)の最小値=f(-(a+2)/2)>-2 これでa
いつも分かりやすい解説ありがとうございます！
問題集よりも分かりやすい！
試験の緊張感の中でも、これくらいの問題なら工夫なしでゴリ押してでも解きたいですね
文系数学で合成関数出てきてビビりました
文字にビビらず落ち着いて整理すれば意外と簡単ですね
文系プラチカに載ってて良問だなぁって思いました
高１の時初見で解いて四次関数の形なんて...三次関数も知らないのにと諦めながら解いていったらなんか合ってた記憶が...
与式を平方完成して、残ったaの二次式が正になる条件を一生懸命計算して答えにたどり着きました。下に凸なので、判別式で実数解を持たないと考えれば一瞬ですね。参りました。
合成関数の描き方を知っていれば子供だましみたいな問題になってしまいますね。
以下、( x, f(x) ), ( f(x), f(f(x)) ) がともに放物線 y=(x+a)(x+2) 上の点であることに注意する。f(x)が最小となるxが -aと-2の平均、そのときのf(x)が -2と-aの差の1/2倍の平方を-1倍したものであることに注意すれば、増減表は、以下のようになる。x ： -∞ → (-a-2)/2 → +∞f(x) ： +∞ → -(a-2)²/4 → +∞f(f(x))： +∞ ・・・・・・・ +∞-(a-2)²/4≦-2 とすると、上記増減表から、f(x)=-2となるxが存在し、このとき f(f(x))=0となるので、題意が成立しない。よって、題意が成立するためには -(a-2)²/4>-2 …① が必要であるが、このとき、増減表は以下のようになり、たしかに題意が成立する。x ： -∞ → (-a-2)/2 → +∞f(x) ： +∞ → -(a-2)²/4 → +∞f(f(x))： +∞ ＼ +の値 ／ +∞以上から求めるaの条件は、① ∧ a≧2 ⇔ 2≦a
f(x)=t と置いたら、tの値域（即ちf(f(x))の定義域）を考えて･･･と無駄なことをしてしまった。f(x)
勉強になります。
できたけど、理解が浅いため減点が心配だった。f(x)を横軸、f(f(x))を縦軸にしたグラフ…あれが描ければ、隙のない答案になりそう。
備忘録2周目👏70G" 【 合成関数 f( f(x) ) を 求めないのが ◎鉄板 】 f( f(x) ) ＝ ( f(x)＋a )( f(x)＋2 )＞0 より、 f(x) ＜－a または －2＜ f(x) ■(ⅰ) f(x)＜－a のとき、 ( x＋a )( x＋2 ) ＜－a ⇔ x²＋( a＋2 ) x＋3a ＜ 0 これは、 x→ ±∞ を考えたら 適さない。(ⅱ) －2＜ f(x) のとき、－2＜ ( x＋a )( x＋2 ) ⇔ x²＋( a＋2 ) x＋2a＋2 ＞ 0 これが すべての実数 x に対して、成立する条件は D＜0 これと、 a ≧ 2 を合わせて 2 ≦ a < 2＋2√2 ■
a=2のときはちゃんと検討した方が良さそうですね。合成関数の微分を使っていい感じに進んでいたが詰まった。(f'(x)+a)(f'(x)+2)の形が見えていたら違ったアプローチになっていたと思う。
因数分解できない判別式のところで平方完成するの、些細なことだけどちょっとびっくりしました
もんげー 貫太郎さんのよくやる技ですね。1次の係数が偶数ならこの方が圧倒的に早いです！
これは解の公式を導くときに用いられる手法で、公式の証明っぽく解く方法です。確か、貫太郎さんが一度動画にしていたと思います。
f(x)
動画UPありがとうございます。いつも楽しみにしています。
類問が一橋から出てたが、そっちのがグロかった😓
これは経験積んでないとキツそう
題意がそもそもよく分からなかった…。解説聞いたら「あっそういうこと、、」ってなったからいいけど
多分だけどf(x)
どこがいかんのかもうちょっと論理的に説明すると題意は∀x（f(x)-2）なのに貫太郎さんの説明ではこれが∀x(f(x)-2）であるかのように思えてしまうa≧２において両者は同値になるが 一般にはそうではない
これ合成関数にf(x)を具体的に代入してg(x)h(x)>0↔︎g(x)>0かつh(x)>0みたいな感じで最小値から範囲求めたんですけど合ってますか、、？
微分までして極値>0でやったけどできないのなんで 、、？
途中式を書いて下されば問題箇所がわかるのでお願いします
@@Mr-oe6hd f(f(x))={f(x)+a}{f(x)+2}よってdf(f(x))/dx=(df(x)/dx)(f(x)+2)+(f(x)+a)df(x)/dx =2f(x){df(x)/dx}+2{df(x)/dx}+a{df(x)/dx} =df(x)/dx{2f(x)+a+2}極値は(-a/2-1,f(f(-a/2-1))), ([f(x)=-a/2-1となるときのx],f(-a/2-1))lim(x→±∞)=+∞であるから、[f(f(x))の極値のy座標]>0となるaの範囲を求めればよい。f(f(-a/2-1))=(-a^2/4+2a-1)(-a^2/4+a+1)>0f(-a/2-1)=(-a^2/4+a-1)>0そんなaなくね？って止まってます。助けて関さん
Mr.都市伝説関暁夫 ？
masa kaku 遅れました ごめんなさい 微分の段階で違うのかと思います
お、これ昨日解いたわ
![[Factorization] A shortcut technique that is too bad if you don't know it.](http://i.ytimg.com/vi/3AcYxwuS22k/mqdefault.jpg)
Jalmar肉体覇王さんが指摘しているように，少し誤解されているかもしれません．
「全てのxに対して，f(x)-2」で，「全てのxに対して f(x)-2」であるという風に結論づけていますが，それは誤りです．
全てのxに対して，f(x)-2のどっちかが成り立てばいいので，例えばあるxはf(x)-2の方を満たすとかいう状況も考えられます．
しかし，例えば，あるx_0でf(x_0)0となってしまいますから，その十分大きいx_1に対してはf(x_1)>-2の方を満たしていなくてはいけません．fの連続性から，x_0とx_1の間で必ず-a
とても丁寧な指摘ですね！
数学をしていると自分自身では論理の飛躍に気づけないことがあるので、このような指摘は魅力的で勉強になりました。
(自分用)
「全てのxに対して，P or Q」は「（全てのxに対して P）or（全てのxに対してQ）」と同値ではないと聞くと当たり前だな～と思うが、
自分が解いたときには、まったく意識できていなかった。「全てのxに対して，f(x)-2」になるためには「全てのxに対して f(x)>-2」を満たせばいいかと安易に決めつけてしまった。直感的な議論に頼ってしまった。数学では雰囲気やノリで議論を進めてはいけないとわかっていたのに…。自分自身が論証を甘く見ていたというよりは解答作成における論証を怠っていたのだと思う。これからは精進しよう。具体的には、①主張を明確にする。②本当にそうであるかを問いかけ、確かめる。このプロセスを経ることで、論証力をつける。
（自分用）
仮定：この問題がわからないという質問を受けたら…
①合成関数のイメージと理解を問う。
②「すべての～で〈不等式〉が成り立つ」と問われたら、どのようなことを考えるかを問う
③具体例として、「すべての実数xにおいて、x^2+a>0 が成り立つときのaの範囲は？」などを問う
今回の問題は合成関数を計算すれば、４次関数になる。定石通りに「f(f(x))の最小値>0」でもいいが大変そうなので避けたい。（ただ、定石通りでも解けることは確認しておきたい）今回の問題は合成関数を扱っているので、なんとかそのことを利用したい。結局のところ、f(f(x))とはxをfの箱に二回入れているだけである。関数のイメージは x→□→f(x) のようなもので、xを□に入れたらf(x)として出てくるということである。なので、f(f(x))は x→□→f(x)→□→f(f(x)) となる。f(x)→□→f(f(x))は一見わかりにくいが、f(x)=uとして考えると u→□→f(u) という見やすい形になる。合成関数をこのような見方ができていれば、本問の解答にグッと近づけただろう。合成関数の概念理解が重要だなと感じた。
amazing video Thank you from England
@大将聖蓮船部隊 おい馬場豊！
色々検討しがいがありそうな問題ですね
猫の件で心が乱れていたせいか、何か手こずっていたけど、改めてやり直したら出来た。ホッとした。
f(x)の値域が、f(x)≦0となる範囲を含まなければいいんで、
f(x)の最小値=f(-(a+2)/2)>-2 これでa
いつも分かりやすい解説ありがとうございます！
問題集よりも分かりやすい！
試験の緊張感の中でも、これくらいの問題なら工夫なしでゴリ押してでも解きたいですね
文系数学で合成関数出てきてビビりました
文字にビビらず落ち着いて整理すれば意外と簡単ですね
文系プラチカに載ってて良問だなぁって思いました
高１の時初見で解いて四次関数の形なんて...三次関数も知らないのにと諦めながら解いていったらなんか合ってた記憶が...
与式を平方完成して、残ったaの二次式が正になる条件を一生懸命計算して答えにたどり着きました。下に凸なので、判別式で実数解を持たないと考えれば一瞬ですね。参りました。
合成関数の描き方を知っていれば子供だましみたいな問題になってしまいますね。
以下、( x, f(x) ), ( f(x), f(f(x)) ) がともに放物線 y=(x+a)(x+2) 上の点であることに注意する。f(x)が最小となるxが -aと-2の平均、そのときのf(x)が -2と-aの差の1/2倍の平方を-1倍したものであることに注意すれば、増減表は、以下のようになる。
x ： -∞ → (-a-2)/2 → +∞
f(x) ： +∞ → -(a-2)²/4 → +∞
f(f(x))： +∞ ・・・・・・・ +∞
-(a-2)²/4≦-2 とすると、上記増減表から、f(x)=-2となるxが存在し、このとき f(f(x))=0となるので、題意が成立しない。
よって、題意が成立するためには -(a-2)²/4>-2 …① が必要であるが、このとき、増減表は以下のようになり、たしかに題意が成立する。
x ： -∞ → (-a-2)/2 → +∞
f(x) ： +∞ → -(a-2)²/4 → +∞
f(f(x))： +∞ ＼ +の値 ／ +∞
以上から求めるaの条件は、① ∧ a≧2 ⇔ 2≦a
f(x)=t と置いたら、tの値域（即ちf(f(x))の定義域）を考えて･･･と無駄なことをしてしまった。
f(x)
勉強になります。
できたけど、理解が浅いため減点が心配だった。f(x)を横軸、f(f(x))を縦軸にしたグラフ…あれが描ければ、隙のない答案になりそう。
備忘録2周目👏70G" 【 合成関数 f( f(x) ) を 求めないのが ◎鉄板 】
f( f(x) ) ＝ ( f(x)＋a )( f(x)＋2 )＞0 より、 f(x) ＜－a または －2＜ f(x) ■
(ⅰ) f(x)＜－a のとき、 ( x＋a )( x＋2 ) ＜－a ⇔ x²＋( a＋2 ) x＋3a ＜ 0
これは、 x→ ±∞ を考えたら 適さない。
(ⅱ) －2＜ f(x) のとき、－2＜ ( x＋a )( x＋2 ) ⇔ x²＋( a＋2 ) x＋2a＋2 ＞ 0
これが すべての実数 x に対して、成立する条件は D＜0
これと、 a ≧ 2 を合わせて 2 ≦ a < 2＋2√2 ■
a=2のときはちゃんと検討した方が良さそうですね。
合成関数の微分を使っていい感じに進んでいたが詰まった。
(f'(x)+a)(f'(x)+2)の形が見えていたら違ったアプローチになっていたと思う。
因数分解できない判別式のところで平方完成するの、些細なことだけどちょっとびっくりしました
もんげー 貫太郎さんのよくやる技ですね。1次の係数が偶数ならこの方が圧倒的に早いです！
これは解の公式を導くときに用いられる手法で、公式の証明っぽく解く方法です。確か、貫太郎さんが一度動画にしていたと思います。
f(x)
動画UPありがとうございます。いつも楽しみにしています。
類問が一橋から出てたが、そっちのがグロかった😓
これは経験積んでないとキツそう
題意がそもそもよく分からなかった…。解説聞いたら「あっそういうこと、、」ってなったからいいけど
多分だけどf(x)
どこがいかんのかもうちょっと論理的に説明すると
題意は∀x（f(x)-2）なのに
貫太郎さんの説明ではこれが∀x(f(x)-2）であるかのように思えてしまう
a≧２において両者は同値になるが 一般にはそうではない
これ合成関数にf(x)を具体的に代入してg(x)h(x)>0↔︎g(x)>0かつh(x)>0みたいな感じで最小値から範囲求めたんですけど合ってますか、、？
微分までして極値>0でやったけどできないのなんで 、、？
途中式を書いて下されば問題箇所がわかるのでお願いします
@@Mr-oe6hd f(f(x))={f(x)+a}{f(x)+2}
よってdf(f(x))/dx=(df(x)/dx)(f(x)+2)+(f(x)+a)df(x)/dx
=2f(x){df(x)/dx}+2{df(x)/dx}+a{df(x)/dx}
=df(x)/dx{2f(x)+a+2}
極値は(-a/2-1,f(f(-a/2-1))), ([f(x)=-a/2-1となるときのx],f(-a/2-1))
lim(x→±∞)=+∞であるから、[f(f(x))の極値のy座標]>0となるaの範囲を求めればよい。
f(f(-a/2-1))=(-a^2/4+2a-1)(-a^2/4+a+1)>0
f(-a/2-1)=(-a^2/4+a-1)>0
そんなaなくね？って止まってます。助けて関さん
Mr.都市伝説関暁夫 ？
masa kaku 遅れました ごめんなさい 微分の段階で違うのかと思います
お、これ昨日解いたわ