А условие в самом начале, что x>0 и y>0 разве обязано выполнятся для всех действительных чисел? Пример: x=9 и y=-3 есть корректное действительное решение. А нашел я их просто взяв логарифм от обоих равенств.
Смотрю комментарии и вижу: у многих вопросы, почему вдруг x, y>0? Постараюсь развеять ваши сомнения) Для начала отметим, что по условию нужно найти именно вещественные (не натуральные и не целые) решения. Так что будем считать, что x,y - вещественные цисла, то есть и степени вещественные (это важно!, сейчас объясню почему) Договорились, при возведении в вещественную степень основание степени должно быть всегда больше 0. Но с чего вдруг так решили? Зачем такое ограничение? Давайте разбираться) Попробуем возмести (-8) в степень (1/3) Понятно, что это -2 Но ведь мы можем представить рациональное число 1/3, как 2/6 Тогда, (-8)^(2/6) = корень 6 степени из (-8)^2 = 2 Опа, что же мы получили? Возводя отрицательное число в рациональную степень, мы получаем сразу 2 разных значения, то есть неопределенность! Поэтому, договорились, что в рациональную (ну и соответственно в вещественную) степень возводим только положительные числа (с ними никаких подобных противоречий нет) Так вот, возвращаемся к задаче: в ней просят найти именно вещественные решения x, y. А значит, и степень вещественная, Поэтому основание такой степени обязано быть >0. Если же в задаче бы просили найти решения в ЦЕЛЫХ числах (то есть и возводили бы в степень с ЦЕЛЫМ показателем x+y, тогда такого ограничения бы не было, и основание могло бы быть любым (так как показатель целой степени можно представить только единственным образом (целым числом), в отличие от рациональной/ вещественной (вспоминаем 1/3 = 2/6)) Вообще, очень советую посмотреть видео Бориса Трушина. Там отлично объяснено про отличия операций возведения в целую степень и рациональную/вещественную степень. Называется: «Про степень с действительным показателем | в интернете опять кто-то неправ #005» P.S. Валерий, закрепите пожалуйста сообщение. Надеюсь, поубавится много вопросов
Всем привет! Народ, спорим, что никто не решит? Вот задачка: Найти все a, для которых существует такое b, что при всех c выражение 2(b^2)-3ab+6ac-2(c^2)+b не положительно.
я бы логарифмировал первое ур-е по основ х... потом второе по y... потом вычел одно из другого... и решал бы с заменой логарифм y по осн x=t... там будет кв ур-е относителmно t... а дальше надо смотреть... завтра подумаю
Потому что отрицательные основания можно возводить только в целую степень, так что надо определиться с областью, в которой мы работаем: либо в целых числах, либо в вещественных. По умолчанию обычно берутся вещественные. Аналогично как например комплексные решения не рассматриваются при решении уравнений, если не оговорено обратного. Подробнее об этом можете посмотреть у Бориса Трушина: было в одном из его видео цикла "в интернете кто-то неправ"
залежить від того, з яким степенем працюємо. Якщо мова про дійні числа, то за означенням основа степеня має бути строго додатною. Якби в умові було сказано "розв'яжіть у цілих числах", то так -- це втрачений корень
@@ВасилийКоровин-г9э Противоречит тому, что по умолчанию условие подразумевает решать в вещественных числах, а в них операция возведения в степень имеет ограничение области определения - основание положительное. Похожую историю найдете, вбив в поиск ютуба "трушин неправ #019", ссылку не буду вставлять, т.к. коммент часто от них в спам уходит. Там пример другой, но тоже вроде как теряется корень.
Да не обращайте внимание. Это фишка Валерия Волкова. Типа чем российская математика отличается от западной и американской? А вот тем что решая систему на множестве вещественных корней, пропадут некоторые решения. При этом Волков не будет показывать решения на множестве целых чисел, где количество корней больше.
@@ВасилийКоровин-г9э "А может быть и целой" - а как, позвольте спросить, будет выглядеть график этой, "функции"? Эт уже скорее последовательность получится, т.к. никакой непрерывности не будет. Если в условии прописано, что уравнение нужно решить в целых числах - тогда действительно ничего не мешает основанию быть отрицательным. Но если таких оговорок нет, тогда мы относимся к выражению f(x)^(g(x)) как к функции, а эта функция имеет смысл при f(x) > 0. Все эти споры возникают по 2 причинам: 1) Операция возведения в степень является замкнутой только над полем комплексных чисел. Там тебе ни одз, ни ограничений, ни оговорок. Хочш возводить отрицательное число в рациональную степень - та ради бога (хотя, там тоже свои приколюхи есть)), но они не с одз связаны, об этом в другой раз). 2) Почитав школьные учебники, я не нашёл полного определения для "корня уравнения". В учебниках сказано следующее:"Корнем уравнения называется число, обращающее это уравнение в верное равенство". Но нигде нет важного замечания о том, что выражение должно иметь смысл (!!!) при подстановке этого самого корня. Банальный пример: sqrt(4) - это же 2? А почему только 2? Ведь (-2)^2 = тоже 4 , не так ли?) Это тонкий момент, спору нет. Если хотите его прочувствовать, советую посмотреть видео Трушина на тему возведения в рациональную степень.
Но ведь пара -3 и 9 тоже действительные числа и еще и степень целая, нельзя такое решение выкидывать. Да и когда y=-1 тоже. Кстати, спасибо что напомнили про случай с y=1
Валерий Волков, - Вы априори лучший, сколько слежу за Вашим каналом - все так доступно объясняете и реализуете в компьютерным редакторе и говорите бархатным голосом, как высоко-профессиональный репетитор при том не принежая тебя, а наоборот даря потенциал для дальнейшего само-развития и творчества.
Да вроде в уме решается. Возводим второе в степень х+у, первое - в куб. Получаем у^((х+у)^2)=у^36, откуда х+у=6. Откуда х^6=у^12, то есть х=у^2. Подставляем в первое уравнение, получаем: у^(2(у^2+у))=у^12 или у^2+у-6=0. Два корня, у=2 и у=-3. Соответственно, х=4 и х=9. Подставляем - всё сходится.
вы, наверное, не верно прочитали условие изначально. там x в степени (x+y), а не x в степени x и это всё вместе +y. На ночь глядя тоже затупил и неверный коммент написал))
Договорились, при возведении в вещественную степень основание степени должно быть всегда больше 0. Но с чего вдруг так решили? Постараюсь объяснить) Попробуем возмести (-8) в степень (1/3) Понятно, что это -2 Но ведь мы можем представить рациональное число 1/3, как 2/6 Тогда, (-8)^(2/6) = корень 6 степени из (-8)^2 = 2 Опа, что мы получили? Что возводя отрицательное число в рациональную степень, мы получаем сразу 2 ответа, то есть неопределенность! Поэтому, договорились, что в рациональную (ну и соответственно в вещественную) степень возводим только положительные числа (с ними никаких подобных противоречий нет) Вообще, если вы хотите глубже/подробнее понять эту тему, очень советую посмотреть видео Бориса Трушина. Называется: «Про степень с действительным показателем | в интернете опять кто-то неправ #005»
@@Gekko991и на канале Игоря Тинякова «Элеметарная математика» есть об этом. Прям серия роликов, общее название «Три сестры». Про функции а^x, x^a и x^x. Очень подробно и понятно все рассказано.
Валерий, надеюсь это не последнее видео на канале?
Я опасаюсь за звуки на заднем фоне в конце ролика 😂😂😂
Я даже не обратил внимание, когда записывал! :)
Спасибо! Я вспомнил 96-97, когда в Аэрокос коступал. Сам сейчас до полного просмотра решал. )
Шикарно! На первый взгляд какой сложный а решение - красивое, простым языком.
ln: (x+y)lnx=12lny (1)
(x+y)lny=3lnx (2).
(1):(2) lnx/lny=4lny/lnx;
(lnx)^2-4(lny)^2=(lnx-2lny)• (lnx+2lny)=(lnx-ln(y^2))•(lnx+ln(y^2)=ln(x/(y^2) • ln(x•y^2)=0;
1) x/(y^2)=1, x=y^2;
2) x•(y^2)=1, x=1/(y^2);
1. (1): (y^2)^(y^2+y)=y^(2y^2+2•y)=y^12; y^2+y-6=0, y1=-3, y2=2, x1=9, x2=4.
2. (y^(-2)^(y^2+y)=y^(-2y^2-2y)=y^12, y^2+y+6=0, not real y.
x=9, y=-3 and x=4, y=2, but x>0, y>0 have x=4, y=2.
А условие в самом начале, что x>0 и y>0 разве обязано выполнятся для всех действительных чисел? Пример: x=9 и y=-3 есть корректное действительное решение. А нашел я их просто взяв логарифм от обоих равенств.
Смотрю комментарии и вижу: у многих вопросы, почему вдруг x, y>0?
Постараюсь развеять ваши сомнения)
Для начала отметим, что по условию нужно найти именно вещественные (не натуральные и не целые) решения. Так что будем считать, что x,y - вещественные цисла, то есть и степени вещественные (это важно!, сейчас объясню почему)
Договорились, при возведении в вещественную степень основание степени должно быть всегда больше 0.
Но с чего вдруг так решили? Зачем такое ограничение?
Давайте разбираться)
Попробуем возмести (-8) в степень (1/3)
Понятно, что это -2
Но ведь мы можем представить рациональное число 1/3, как 2/6
Тогда, (-8)^(2/6) = корень 6 степени из (-8)^2 = 2
Опа, что же мы получили? Возводя отрицательное число в рациональную степень, мы получаем сразу 2 разных значения, то есть неопределенность!
Поэтому, договорились, что в рациональную (ну и соответственно в вещественную) степень возводим только положительные числа (с ними никаких подобных противоречий нет)
Так вот, возвращаемся к задаче: в ней просят найти именно вещественные решения x, y. А значит, и степень вещественная, Поэтому основание такой степени обязано быть >0.
Если же в задаче бы просили найти решения в ЦЕЛЫХ числах (то есть и возводили бы в степень с ЦЕЛЫМ показателем x+y, тогда такого ограничения бы не было, и основание могло бы быть любым (так как показатель целой степени можно представить только единственным образом (целым числом), в отличие от рациональной/ вещественной (вспоминаем 1/3 = 2/6))
Вообще, очень советую посмотреть видео Бориса Трушина. Там отлично объяснено про отличия операций возведения в целую степень и рациональную/вещественную степень. Называется:
«Про степень с действительным показателем | в интернете опять кто-то неправ #005»
P.S. Валерий, закрепите пожалуйста сообщение. Надеюсь, поубавится много вопросов
Всем привет! Народ, спорим, что никто не решит?
Вот задачка:
Найти все a, для которых существует такое b, что при всех c выражение 2(b^2)-3ab+6ac-2(c^2)+b не положительно.
Система страшная и раскручена очень эффектно. Но почему пара (-3,9) не является решением, Я не понял. Ведь проверку это решение вполне проходит.
я бы логарифмировал первое ур-е по основ х... потом второе по y... потом вычел одно из другого... и решал бы с заменой логарифм y по осн x=t... там будет кв ур-е относителmно t... а дальше надо смотреть... завтра подумаю
Легко решается через log
Мы же имеем право возвести минус 3 в 12 степень? А в 6 степень? Тогда решение 9 и -3 почему отбросили?
Реально будто Бетховена слушаю)
С чего вдруг у>0? Очевидно, например, что решением является х=1, y=-1.
Потому что отрицательные основания можно возводить только в целую степень, так что надо определиться с областью, в которой мы работаем: либо в целых числах, либо в вещественных. По умолчанию обычно берутся вещественные. Аналогично как например комплексные решения не рассматриваются при решении уравнений, если не оговорено обратного. Подробнее об этом можете посмотреть у Бориса Трушина: было в одном из его видео цикла "в интернете кто-то неправ"
залежить від того, з яким степенем працюємо. Якщо мова про дійні числа, то за означенням основа степеня має бути строго додатною. Якби в умові було сказано "розв'яжіть у цілих числах", то так -- це втрачений корень
@@0lympy И чему из написанного вами противоречит решение (1,-1)?
@@ВасилийКоровин-г9э Противоречит тому, что по умолчанию условие подразумевает решать в вещественных числах, а в них операция возведения в степень имеет ограничение области определения - основание положительное. Похожую историю найдете, вбив в поиск ютуба "трушин неправ #019", ссылку не буду вставлять, т.к. коммент часто от них в спам уходит. Там пример другой, но тоже вроде как теряется корень.
Да не обращайте внимание. Это фишка Валерия Волкова. Типа чем российская математика отличается от западной и американской? А вот тем что решая систему на множестве вещественных корней, пропадут некоторые решения. При этом Волков не будет показывать решения на множестве целых чисел, где количество корней больше.
А я не понял, почему вначале y больше нуля??? Ведь с другой стороны, он в третьей степени, значит может быть и отрицательный...
Посмотрел графики в десмосе. В первом уравнение x>0, y0. Во втором уравнении x>0, y>0.
Помогите мне пожалуйста, я не могу так больше
Спасибо за подробное решение.
Множество действительный чисел (R) определено на (-∞;+∞). Почему x>0; y>0?
Есть такая неписаная заморочка у математиков.
Брать основание степени строго положительным .
Откуда пошел этот тупизм и кто двигал его в массы я хз.
@@JOKER47978 потому что степень может быть и нецелой. А вы как из отрицательного числа корень вычитать будете?
@@alexpirochenko9474 А может быть и целой. И что тогда мешает?
Тогда - ничего. Но вам же никто этого не гарантировал....@@ВасилийКоровин-г9э
@@ВасилийКоровин-г9э
"А может быть и целой" - а как, позвольте спросить, будет выглядеть график этой, "функции"? Эт уже скорее последовательность получится, т.к. никакой непрерывности не будет.
Если в условии прописано, что уравнение нужно решить в целых числах - тогда действительно ничего не мешает основанию быть отрицательным. Но если таких оговорок нет, тогда мы относимся к выражению f(x)^(g(x)) как к функции, а эта функция имеет смысл при f(x) > 0.
Все эти споры возникают по 2 причинам:
1) Операция возведения в степень является замкнутой только над полем комплексных чисел. Там тебе ни одз, ни ограничений, ни оговорок. Хочш возводить отрицательное число в рациональную степень - та ради бога (хотя, там тоже свои приколюхи есть)), но они не с одз связаны, об этом в другой раз).
2) Почитав школьные учебники, я не нашёл полного определения для "корня уравнения". В учебниках сказано следующее:"Корнем уравнения называется число, обращающее это уравнение в верное равенство". Но нигде нет важного замечания о том, что выражение должно иметь смысл (!!!) при подстановке этого самого корня.
Банальный пример: sqrt(4) - это же 2? А почему только 2? Ведь (-2)^2 = тоже 4 , не так ли?)
Это тонкий момент, спору нет. Если хотите его прочувствовать, советую посмотреть видео Трушина на тему возведения в рациональную степень.
Но ведь пара -3 и 9 тоже действительные числа и еще и степень целая, нельзя такое решение выкидывать. Да и когда y=-1 тоже. Кстати, спасибо что напомнили про случай с y=1
Канал на рутубе надо бы завести
Эти звуки в конце видео на заднем фоне… 🚨 🚑 🚓
Kakie?
@@TheTinkywinky3 Migalki
А я решил с Натуральным Логарифмом. Была очень легко.
Что-то звук плохой в этом видео
Валерия Волкова надо в больницу. Не потому, что он плох, а потому что посторонние звуки записывает😂
Да х=1 у тоже 1
Валерий Волков, - Вы априори лучший, сколько слежу за Вашим каналом - все так доступно объясняете и реализуете в компьютерным редакторе и говорите бархатным голосом, как высоко-профессиональный репетитор при том не принежая тебя, а наоборот даря потенциал для дальнейшего само-развития и творчества.
Оригинально. Очень понравилось решение. Главное, начать, и всё пошло. Спасибо
Спасибо! Отличная задача, интересная и полезная!
Блин, а у меня ещё (9;-3) получилось😂
Блеск!!!
Да вроде в уме решается. Возводим второе в степень х+у, первое - в куб. Получаем у^((х+у)^2)=у^36, откуда х+у=6. Откуда х^6=у^12, то есть х=у^2. Подставляем в первое уравнение, получаем: у^(2(у^2+у))=у^12 или у^2+у-6=0. Два корня, у=2 и у=-3. Соответственно, х=4 и х=9. Подставляем - всё сходится.
Ой, блин! x=y=1 продолбал!
не в уме конечно, но с этим способом быстрее
Что-то при проверке ни один результат не сходится.... 🙂
У меня все сошлось
вы, наверное, не верно прочитали условие изначально. там x в степени (x+y), а не x в степени x и это всё вместе +y. На ночь глядя тоже затупил и неверный коммент написал))
С какого перепугу здесь X и Y строго больше нуля? Кучу отрицательных решений можно найти - почему мы их выкидываем?
Договорились, при возведении в вещественную степень основание степени должно быть всегда больше 0.
Но с чего вдруг так решили? Постараюсь объяснить)
Попробуем возмести (-8) в степень (1/3)
Понятно, что это -2
Но ведь мы можем представить рациональное число 1/3, как 2/6
Тогда, (-8)^(2/6) = корень 6 степени из (-8)^2 = 2
Опа, что мы получили? Что возводя отрицательное число в рациональную степень, мы получаем сразу 2 ответа, то есть неопределенность!
Поэтому, договорились, что в рациональную (ну и соответственно в вещественную) степень возводим только положительные числа (с ними никаких подобных противоречий нет)
Вообще, если вы хотите глубже/подробнее понять эту тему, очень советую посмотреть видео Бориса Трушина. Называется:
«Про степень с действительным показателем | в интернете опять кто-то неправ #005»
по определению показательной функции основание обязано быть больше нуля
по факту то же самое,что и с квадратным уравнением,дискриминант которого меньше нуля
Если не смотрели видео "Россия VS США - задача одна, ответы разные", очень советую посмотреть. Там как раз об этом подробно
@@Gekko991и на канале Игоря Тинякова «Элеметарная математика» есть об этом. Прям серия роликов, общее название «Три сестры». Про функции а^x, x^a и x^x. Очень подробно и понятно все рассказано.